Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Transkript

1 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere variable Test approimation (a, f(a)) f() Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet I R, f : I R Calculus Uge Calculus Uge Ligning for tangent [S] 2.7 Derivatives Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Tangentlinjen for grafen for en funktion y = f() i et punkt (a, b), b = f(a) er linjen gennem (a, b), som indeholder tangentvektoren (1, f (a)) til grafen (, f()) Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = i punktet (3, 6). Den afledede er y = 2 8, Ligningen for tangentlinjen er y (3) = 2 En ligning for tangentlinjen er y b = f (a)( a) eller y ( 6) = ( 2)( 3) y = 2 Calculus Uge Calculus Uge

2 Tangentplan [S] 11. Tangent planes and linear approimations Tangentplan Figur y Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(, y) i et punkt ( 0, y 0, z 0 ), z 0 = f( 0, y 0 ) er planen gennem ( 0, y 0, z 0 ), som indeholder tangentvektorerne D (, y) f(, y) til koordinatkurverne (1, 0, f ( 0, y 0 )), (0, 1, f y ( 0, y 0 )) 0 på grafen Γ f. (, y 0, f(, y 0 )), y ( 0, y, f( 0, y)) D R 2, f : D R Calculus Uge Calculus Uge Ligning for tangentplan Find tangentplan [S] 11. Tangent planes and linear... 2 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f, f y i en lille cirkelskive om ( 0, y 0 ). Tangentplanen for grafen i et punkt ( 0, y 0, z 0 ), z 0 = f( 0, y 0 ) har ligning Bevis Indsættes z z 0 = f ( 0, y 0 )( 0 ) + f y ( 0, y 0 )(y y 0 ) (, y, z) = ( 0, y 0, z 0 ) + (1, 0, f ( 0, y 0 )) = ( 0 + 1, y 0, z 0 + f ( 0, y 0 )) er ligningen opfyldt. Ligeså for den anden tangentvektor. Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). De partielle afledede er z = y 2 z =, z y = 2y z(1, 1) = 3, z (1, 1) =, z y (1, 1) = 2 I punktet (1, 1, 3) er tangentplanen givet ved z 3 = ( 1) + 2(y 1) Calculus Uge Calculus Uge

3 Tangentplan [S] 11. Tangent planes and linear approimations Find endnu en tangentplan [S] 11. Tangent planes and linear... Figur - Eksempel 1 z Eksempel Find en ligning for tangentplan i (1, 2, f(1, 2)). f = y 3 2y 2 f = y 3, f y = 3 2 y 2 y y f(1, 2) = 1, f (1, 2) = 19, f y (1, 2) = I punktet ( 0, y 0, z 0 ) = (1, 2, 1) er tangentplanen givet ved z z 0 = f ( 0, y 0 )( 0 ) + f y ( 0, y 0 )(y y 0 ) Tangentplan i (1, 1, 3) Som giver z 1 = 19( 1) + (y 2) Calculus Uge Calculus Uge Test tangentplan [S] 11. Tangent planes and linear... Lineær approimation [S] 3.8 Linear approimations Test Lad f(, y) = + y. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Udregningen giver f = 1 + y, f y = f (0, 0) = 1 0 Afkryds: ja nej Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion L() = f(a) + f (a)( a) kaldet lineariseringen af f i a. Approimationen f() f(a) + f (a)( a) kaldes den lineære approimation af f for a. Calculus Uge Calculus Uge

4 Find approimation [S] 3.8 Linear approimations Approimation i to variable [S] 11. Tangent planes and lin... Eksempel Find den lineære approimation af f() = i a = 1. Lineariseringen er Approimationen er f () = 1 2, f (1) = 1 2 L() = ( 1) 2 3 Tangentplanen er grafen for en lineær funktion L(, y) = f(a, b) + f (a, b)( a) + f y (a, b)(y b) kaldet lineariseringen til f i (a, b). Approimationen f(, y) f(a, b) + f (a, b)( a) + f y (a, b)(y b) kaldes den lineære approimation af f for (, y) (a, b) ( 1), for 1 2 Calculus Uge Calculus Uge Brug approimation Test approimation [S] 11. Tangent planes and linear... Eksempel f = y 3 2y 2 f = y 3, f y = 3 2 y 2 y f(1, 2) = 1, f (1, 2) = 19, f y (1, 2) = I punktet (1, 2) er den lineære approimation f(, y) ( 1) + (y 2) Benyttes til tilnærmelse f(1.1, 1.9) (1.1 1) + (1.9 2) = 2.5 Calculus Uge Test Betragt den lineære approimation til funktionen f(, y) = y 1 2 i punktet (, y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(, y) 1 2 (c) f(, y) 1 + y. 1 ( 1) + (y 1). (b) f(, y) 2y. (d) f(, y) 1 ( 2 + y) 2. Afkryds den rigtige: Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1, 1). (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

5 Test approimation [S] 11. Tangent planes and linear... Omskriv differentiabel Test - løsning f = giver i punktet (1, 1) f(, y) = y ( 2 + y) 2, f y = 1 ( 2 + y) 2 Bemærkning En funktion y = f() er differentiabel i a, hvis 5 y = f (a) + ɛ hvor ɛ 0, når 0 f (1, 1) = 1 2, f y(1, 1) = 1 Approimationen af f for (, y) (1, 1) skrives f(, y) ( 1) + (y 1) Calculus Uge Calculus Uge Tilvækst Differentiabilitet i to variable [S] 11. Tangent planes and linear... For funktion z = f(, y) er tilvæksten i (a, b) 6 z = f(a +, b + y) f(a, b) 7 z = f(, y) er differentiabel i (a, b), hvis z = f (a, b) + f y (a, b) y + ɛ 1 + ɛ 2 y Eksempel For z = 2 + y 2 er tilvæksten i (a, b) hvor ɛ 1, ɛ 2 0, når, y 0 Altså z = (a + ) 2 + (b + y) 2 (a 2 + b 2 ) z = 2a + 2b y y 2 Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approimation er god. Calculus Uge Calculus Uge

6 Differentiabilitet som forventet [S] 11. Tangent planes and lin... Brug approimation 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f, f y i en omegn af (a, b). Så er f differentiabel i (a, b). Bemærkning I så fald f(a +, b + y) f(a, b) + f (a, b) + f y (a, b) y når, y 0. Eksempel 2 f = e y f = e y + ye y, f y = 2 e y f(1, 0) = 1, f (1, 0) = 1, f y (1, 0) = 1 I punktet (1, 0) er den lineære approimation e y 1 + ( 1) + y Benyttes til tilnærmelse 1.1e 1.1 ( 0.1) 1 + (1.1 1) + ( 0.1) = 1 Calculus Uge Calculus Uge Differentialet [S] 11. Tangent planes and linear approimations Skriv differentialet Differentialet af en funktion y = f() er 9 dy = f ()d og for funktionen z = f(, y) 10 df = f (, y)d + f y (, y)dy dz = z z d + y dy Eksempel f = 2 + 3y y 2 f = 2 + 3y, f y = 3 2y dz = (2 + 3y)d + (3 2y)dy Benyttes til tilnærmelse f(2, 3) = 13, f (2, 3) = 13, f y (2, 3) = 0 f(2.05, 2.96) ( 0.0) = Bemærk z dz Calculus Uge Calculus Uge

7 Opgave [S] 11. Tangent planes and linear approimations Opgave fortsat [S] 11. Tangent planes and linear approimations Øvelse 9 f(, y) = y Begrund differentiabilitet om (1, ) og find den lineære approimation. er kontinuerte om (1, ). f = y, f y = 2 y Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse (1 + ) + y y ( 0.1) = 1.9 når (, y) (1, ). y 2 + 2( 1) + 1 (y ) Calculus Uge Calculus Uge Test differentialet [S] 11. Tangent planes and linear... Udvid til mange variable Test Givet z = ln(a + by). Differentialet er: (a) dz = a d + b dy. (b) dz = a d + a+by (c) dz = a ln(a + by)d + b ln(a + by)dy. Udregningen giver differentialet z = Afkryds den rigtige: a, z a+by y = b a+by b dy. a+by (a) (b) (c) Omtalen af tangentplan, lineær approimation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(, y, z) har tangentplan i punktet (a, b, c, d), d = f(a, b, c) med ligning w d = f (a, b, c)( a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) dz = z d + z y dy Calculus Uge Calculus Uge

8 Udvid til mange variable Afsluttende opgave - fortsat Funktionen w = f(, y, z) har lineær approimation f(, y, z) f(a, b, c) + f (a, b, c)( a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) og differential dw = w w w d + dy + y z dz Øvelse Find differentialet af Beregn først w = = w = ln 2 + y 2 + z 2 1 d 2 + y 2 + y 2 + z 2 d 2 + z y 2 + z 2 Calculus Uge Calculus Uge Afsluttende opgave Afsluttende opgave Øvelse - alternativ Øvelse - fortsat Beregn w = ln 2 + y 2 + z 2 = 1 2 ln(2 + y 2 + z 2 ) w = y 2 + z 2 2 = 2 + y 2 + z 2 Ved symmetri w y = Differentialet er w = ln 2 + y 2 + z 2 w = 2 + y 2 + z 2 y 2 + y 2 + z 2, w z = dw = d + ydy + zdz 2 + y 2 + z 2 z 2 + y 2 + z 2 Calculus Uge Calculus Uge