Lineære funktioner http://mimimi.dk/c/linearfunktion.ggb 151
Funktioner Et eksempel på en lineær funktion En funktion kan defineres (beskrives) på forskellige måder; herunder er funktionen f beskrevet ved hjælp af en funktionsforskrift (eller regneforskrift): f (x)=2 x3 Funktionsforskriften benyttes til at finde samhørende værdier af de variable, der indgår i funktionssammenhængen. Antag, at den ene variabel x = 5; for den anden variabel kan den tilsvarende funktionsværdi (dvs. f(5)) så beregnes: f (5)=2 53=7 7 kaldes tit den tilsvarende y-værdi. Sammenhængen kan vises som et punkt i koordinatsystemet: (5,7). Dette punkt ligger på grafen og er en del af grafen. Find (5,7) på figuren herover Beregn funktionsværdier svarende til alle de hele tal i definitionsmængden (der er vist) og udfyld derefter tabellen herunder: x f(x) Indtegn punkterne på figuren med et kryds 152
Lineære funktioner Eksperimenter med GeoGebra Følg linket side 151; indtast en række nye værdier for a og b: a = + 0,5 a = + 1,5 a = + 3,0 b = - 5 b = +2 a = 0 Hvilken betydning har fortegnet for a? Og fortegnet for b? Hvordan kan værdierne (som kaldes funktionens parametre) for a og b findes ved hjælp af tegningen? Øvelse: En bageopskrift I La Cuisine Gourmande 1 findes en opskrift på en gærkage: En savarin. Forfatteren opremser omhyggeligt, hvad der er brug for af råvarer, tilbehør, køkkenredskaber med videre. Her ses et uddrag af informationerne: Opskrift for 4 kager hver beregnet til 5 personer 10 g gær 2 spiseskefulde lunkent vand 250 g hvedemel blandet med 6 g salt 3 æg 10 cl mælk 10 g stødt melis 125 g smør 1 træske 4 savarinforme, diameter 14 cm Hævetid 30 minutter Bagetid 20 minutter Bagetemperatur 200 C Hvilke tal ville du ændre i opskriften, hvis der skulle bages 8 kager? til hvad? Ret opskriften, så den passer til 5 personer 1 Michel Guérard, La Cuisine Gourmande (Robert Laffont Paris, 1978) 153
Funktioner Øvelse for par: Elev A og elev B Elev A er købmand og sælger vingummibamser (sommetider til urealistiske priser!) Han noterer for hver øvelse hvad en tom pose koster og stykprisen for vingummibamserne. Elev B er journalist og må spørge købmanden: Hvad koster en pose med 15 vingummibamser? Og købmanden svarer efter at have regnet det ud. Og så må journalisten spørge igen men om prisen med et nyt antal vingummibamser. Efter nogle runder skal journalisten kunne fortælle: både hvad en tom pose koster og hvad stykprisen er. For journalisten gælder det om at klare opgaven med så få spørgsmål som muligt. Efter nogle omgange, kan eleverne bytte roller. Prøv i fælleskab at lave en opskrift på, hvorledes journalisten hurtigt kan finde de to priser. Eksempel: En taxatur En tur med taxa koster 30 kr. i startgebyr; derudover betales 10 kr. pr. km. Det er nemt at lave en tabel med afstand og pris for forskellige ture: Afstand i km 0 5 10 15 20 Pris i kr. 30 80 130 180 230 Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, fås: Pris for en taxatur 250 200 Pris i kroner 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 Afstand i km 154
Lineære funktioner Hvis alle punkter, vi kunne tegne, lå på en ret linje, er der tale om en lineær funktion. (Jævnfør definitionenside ***.) Fra funktionsoversigten tidligere blev det påstået, at funktioner med funktionsforskrifter af typen f (x)=a x+b er lineære funktioner. Da der kan tegnes en ret linje gennem alle de tegnede punkter, kan funktionen (måske?) være lineær. Men vi har jo ikke kontrolleret alle punkter. Spørgsmål om taxaturen Hvis vi går ud fra, at alle punkter på den tegnede linje svarer til sammenhørende værdier af en taxaturs længde og dennes pris: Hvad koster så en tur på 4 km? Ved svaret benyttes kun tegningen. Hvor langt kan vi køre for 200 kr.? Kontroller ved beregning, at dine svar på ovenstående 2 spørgsmål er rigtige Vi har tegnet lidt af grafen nemlig 5 støttepunkter og de ligger på en ret linje. Derfor tror vi, at alle punkter af typen (x;f(x) vil gøre det, men det kan vi faktisk ikke vide (endnu.) Hvis det er rigtigt, hvad vi tror, er taxafunktionen en lineær funktion. Vi benytter, at følgende regneforskrift kan bruges til beregning af prisen: f (x)=10 x+30 ; DM(f) = [0 ; [ Hvis vi vil finde svaret på (som ovenfor), hvor langt man kan komme for 200 kr., kan det fås ved at løse ligningen: f(x) = 200 Ligning f (x)=200 10 x+30=200 10 x+3030=20030 10 x=170 10 x/10=170/ 10 indsæt hvad f(x) betyder træk 30 fra på hver side regn ud (reducer) divider med 10 på hver side regn ud (reducer) 155
Funktioner x = 17 Det vil sige, at for 200 kr. kan man køre 17 km 2 Definitioner Graf Vi har givet en funktion, hvor både funktionens DM og VM er de reelle tal (eller en delmængde af de reelle tal). Grafen for en funktion er mængden af alle punkter i koordinatsystemet som (x ; f(x)), hvor alle x-værdier i DM(f) anvendes. En lineær funktion En funktion er lineær, hvis grafen er en ret linje eller en del af en ret linje. En funktions regneforskrift En funktion f kan defineres ved, at vi får oplyst DM(f) og hvorledes man for ethvert x kan regne f(x) ud. Definition af en konkret (ganske bestemt) funktion som model x = Afstanden (taxaen skal køre) målt i km f(x) = Prisen for en taxatur på x km målt i kroner f (x)=10 x+30 DM(f) = [ 0 ; [ ; det betyder, at taxaturen kan være fra nul kilometer og op; indrømmet: det er lidt skørt at køre 0 km. VM(f) = [ 30 ; [ ; det betyder at taxature koster fra 30 kr. og op. Bemærkning De to første punkter (x =... og f(x) =...) knytter funktionen med regneforskriften f (x)=10 x+30 sammen med virkeligheden. En primitiv model for samspillet kunne være: 2 Den teknik, der her benyttes for at løse ligningen, er typisk. I den oprindelige ligning, er vi på jagt efter et tal, der gør ligningen sand (dvs. skaber balance mellem højre og venstre side.) Ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet fås nok nye ligninger, men ligninger, der har den samme løsning som den oprindelige ligning. Ideen er at komme frem til en så enkel ligning, at svaret ligger lige for. 156
Lineære funktioner Virkelighed Matematisk model Hvad koster en taxatur på 3 km? x = 3 f(x) = 10x + 30 Den koster 60 kr.! f(3) = 10*3 + 30 = 60 Flaske-Peter Peter tager imod tomme vinflasker for købmand Olson. Han skal give kunden en seddel, hvor der står, hvor meget kunden skal have for flaskerne. Olson har udstyret ham med en tabel som den nedenstående: Antal flasker 1 2 3 4 5 6 7 8 Returbeløb i kr. 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 Antal flasker 9 10 11 12 13 14 15 16 Returbeløb i kr. 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 Antal flasker 17 18 19 20 21 22 23 24 Returbeløb i kr. 4,25 4,50 4,75 5,00 5,25 5,50 5,75 6,00 Antal flasker 25 26 27 28 29 30 31 32 Returbeløb i kr. 6,25 6,50 6,75 7,00 7,25 7,50 7,75 8,00 Beskriv funktionen (dvs. sammenhængen mellem antal flasker og returbeløb) på tilsvarende måde som taxatursfunktionen. Tegn funktionens graf. Er den lineær? Hvorfor? Går den igennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0;0)? Hvis funktioner er lineær, hvad kaldes så denne type? 157
Funktioner Øvelse med GeoGebra Følg linket til øvelserne på internettet: http://pc-p4.mimimi.dk/c/retlinje.html Sætning: Forskriften for en lineær funktion Hvis funktionen f er lineær, kan funktionsforskriften for f skrives: f (x)=a x+b Bevis Vi går ud fra, at grafen for f er tegnet som en ret linje; her går den gennem punkterne D og C. Lad x være en vilkårlig værdi i DM; vi markerer punktet A1 med denne x-værdi. Den tilsvarende y-værdi kan findes ved at følge pilen fra A1 til C på grafen og finde y-værdien i C, evt. ved at følge den næste pil til y-aksen og aflæse den der. Vi har tegnet nogle hjælpelinjer: - gennem begyndelsespunktet O er der tegnet en linje l parallel med grafen for f - gennem A(1,0) og A1(x,0) er der tegnet linjer parallelle med y-aksen som skærer l i B og B1. De to trekanter OAB (lilla) og OA1B1 (turkis) er begge retvinklede; desuden er deler de vinklen med spidsen i O. På grund af 180-gradersreglen har de også den sidste vinkel fælles og er derfor ensvinklede. Heraf følger, at de er ligedannede, dvs. at der findes en fælles 158
Lineære funktioner forstørrelsesfaktor k. k kan beregnes med længderne af siderne OA og OA1, da de ligger overfor 2 lige store vinkler. Dvs.: k= OA 1 OA = x 1 = x Kalder vi længden af linjestykket AB for a, kan længden af linjestykket A1B1 beregnes som: A 1 B 1 =k A B =x a=a x Betragt nu firkanten OB1CD (grøn). De modstående sider er parallelle, altså er firkanten et parallelogram. De modstående sider i et parallelogram er lige lange. Kalder vi længden af OD for b, fås: B 1 C = OD =b Nu kan y-værdien i C (eller f(x)) beregnes som: f (x)= A 1 B 1 + B 1 C =a x+b QED 3 Den omvendte sætning Har en funktion forskriften f(x) = ax + b er funktionen f lineær. Bevis for sætningen (som øvelse) Tegn i et alm. retvinklet koordinatsystem de to støttepunkter (0 ; b) og (1 ; b+a) Tegn en ret linje gennem punkterne Lad linjen være grafen for funktionen g Find forskriften for g Begrund, at den rette linje også er graf for f hvormed sætningen er bevist. 3 Hvis vi vil tage højde for, at a, b og x også kanvære negative tal, bliver forklaringen lidt mere indviklet, men kan gennemføres med små ændringer. 159
Funktioner Eksempel: Beregning af a og b 4 Her vises, at man med kendskab til punkternes koordinater kan beregne a og b ved at løse ligninger. Vi kender fx de to punkter P(x 1 ; y 1 ) = (3 ; 7) og Q(x 2 ; y 2 ) = (13 ; 2) på en graf for en lineær funktion og vil finde forskriften for funktionen: Regneforskriften er f (x)=a x+b da f er lineær Da P er et punkt på grafen, gælder: f (3)=7 a 3+b=7 b=7a 3 Tilsvarende fås da Q er et punkt på grafen: f (13)=2 a 13+b=2 b=2a 13 Da de to venstresider er lige store (begge er b), må højresiderne også være ens: 7a 3=2a 13 7a 3+a 13=2a 13+a 13 7a 3+a 13=2 7+(133) a=2 ( 133) a=27 (133) a (133) = (27) (133) a= 27 133 a=0,5 Ved at indsætte resultatet i en af formlerne for b fås: b=2(0,5) 13 b=8,5 Beregning af a og b 5 Gennemfør beregningerne fra eksemplet ovenover, idet du ikke benytter de konkrete tal, men alene anvender de generelle betegnelser: (x 1 ; y 1 ) og (x 2 ; y 2 ). Se evt. http://pc-p4.mimimi.dk/c/sound/parameterbevislinear.pps 4 5 Sammenlign igen med øvelserne om taxaturen ovenover og om vingummibamserne (http://mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf) Det er et mål for matematikere at generalisere beregninger, regler, formler mv.; i tilfældet her går vi fra at have fundet a og b for én bestemt funktion til at se, at alle lineære funktioners parametre kan findes på fuldstændig tilsvarende måde. 160
Lineære funktioner Eksempel: Fra observation til model Aalborg Brutal Marathon Navn \ meter 7598 14517 21437 28356 35276 42195 Helle Møland Mortensen 35 70 105 142 180 218 Birgitte Munch Nielsen 40 79 118 156 193 231 Langfredag d. 9. april 2004 afholdtes Aalborg Brutal Marathon. Herover er vist mellemtider og sluttid for de to bedste kvinder. Vi vil undersøge, hvorledes de har løbet. Ved hjælp af tabellen laves et x-y diagram (med regneark, GeoGebra eller håndkraft). Vi tilføjer tendenslinjer (som er Excels navn for regressionslinjer; i GeoGebra benyttes kommandoen fitlinje) og finder forskrift for funktionen og kvalitet af tilpasningen. Bruges håndkraft er det vigtigt, minutter 250 200 150 100 50 Marathon 0 0 20000 40000 60000 HM BMN y = 0,0051x y = 0,0055x R 2 = 0,9974 R 2 = 0,9999 at man ikke tegner tendenslinjen gennem noget specielt punkt, men forsøger at lade alle punkter være tæt på linjen, så den samlede afstand minimeres. I det tilfælde er kvaliteten af tilpasningen et rent skøn. Både af diagrammet og beregningen 6 ses, at punkterne ligger (næsten) på en ret linje både for nr. 1 og 2. Var der synlige afvigelser skal de være små både sammenlignet med de målte størrelser og den samlede vækst i modellen. Når vi benytter en funktion til at beskrive virkeligheden, det vil sige laver en model, fortæller vi både, hvad der måles og hvilke måleenheder, der benyttes: meter Helle Møland Mortensen Birgitte Munch Nielsen Lineær (Birgitte Munch Nielsen) Lineær (Helle Møland Mortensen) 6 For begge løbere ses, at R 2 er meget tæt på 1,000; det betyder, at begge løberes tider næsten er en perfekt lineær funktion af afstanden. Da b=0, er samenhængen ligefrem proportional. 161
Funktioner Model for Helles løb x = afstanden, der er løbet (målt i m) f(x) = mellemtiden Helle har brugt til at løbe x meter (målt i minutter) Regneforskriften: f (x)=0,0051 x idet 0,0051 er den tid (i minutter) Helle bruger på at løbe 1 m (mere) Eksempel på beregning med f: f(35276) = 0,0051*35276 = 179,9 = 180 Det vil sige, at Helles beregnede mellemtid for 35276 m er 180 minutter. Dette resultat stemmer fint med den målte mellemtid; det gælder dog ikke helt præcist for alle mellemtiderne. En tilnærmet model Nævn to grunde til at ikke alle målte mellemtider passer med de beregnede. Hvordan kan det ses på regneforskriften for Helles løb, at hun har løbet med konstant hastighed? Regel om tendenslinjer Hvis du laver tegningen i hånden og skal lave en tendenslinje, må du ikke udvælge to af punkterne og tegne grafen gennem dem. Så er der jo ikke taget hensyn til alle de andre punkter (observationer). Du skal prøve at tage lige meget hensyn til alle punkter. Hvis de fuldstændigt ligger på en ret linje ja så tegnes tendenslinjen gennem alle. Du kan øve dig i at placere linjen rigtigt her: http://pc-p4.mimimi.dk/rm3/regression.html Næsten alle modeller der benytter målte data, vil kun passe nogenlunde til en enkel model: Det kan skyldes, at der skal tages hensyn til flere variable, end modellen tilbyder og at målte data ofte måles lidt unøjagtigt. Opgaver og besvarelser Opstilling af en model Antallet af medlemmer i Dansk Tennisforbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet 77.688. 162
Lineære funktioner a) Benyt disse oplysninger til at opstille en lineær model, der beskriver udviklingen i medlemstallet i årene Kilde: Eksamensopgave 3, 2HF063-MAC Besvarelsen Opstilling af model for Dansk Tennis forbunds medlemstal I opgaven ønskes opstillet en lineær model. Kaldes funktionsforskriften f(x), er forskriften af typen: f (x)=ax+b Da det er udviklingen efter 1999, der skal beskrives, regnes tiden som år efter 1999. Begyndelsesværdien b er så medlemstallet i 1999. Hældningskoefficienten a fortæller om den (konstante) årlige ændring i medlemstallet, her -2100 Tallet er negativt, da medlemstallet falder. Modellen x er tiden målt i antal år efter startåret 1999 f(x) er medlemstallet x år efter 1999 f (x)=2100 x+77688 Noter Bemærk det fremhævede svar. Bemærk også, at der med overskrift og indledning skabes en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave går ud på. Bemærk endelig, den argumentation, der fører frem til modellen. Og læs så de krav, der typisk findes på side to i eksamenssæt. Overvej: Var det nødvendigt, at der i opgaveteksten stod hvilken funktionstype der skulle benyttes til modellen? 163
Funktioner Find parametre mv. Kilde: Eksamensopgave 2, 2HF091-MAC Besvarelsen I tabelform er der vist et par oplysninger om sammenhængen mellem tid og antal anmeldte voldsforbrydelser. Endvidere oplyses det, at udviklingen kan beskrives med en lineær model. a) Beregning af parametre Da tiden regnes i år efter 1998 fås begyndelsesværdien b i modellen umiddelbart: b = 13422 a kan beregnes med formlen: y a = x 2 2 y x 1 1 164
Lineære funktioner Ved indsættelse af tabellens tal hvor 1998 erstattes af 0 og 2006 af 8 fås: 19577 13422 a = = 769,4 8 0 For ikke at overdrive modellens nøjagtighed, kan tallene afrundes så modellens parametre bliver: a = 770 og b = 13400 b) Parametrenes betydning Modellens værdi for b betyder, at der i 1998 ifølge modellen blev anmeldt ca. 13.400 voldsforbrydelser. Modellens værdi for a betyder, at der ifølge modellen hvert år anmeldes ca. 770 flere voldsforbrydelser (end året før.) c) Modellens prognose Jeg vil finde det første år, antallet af anmeldte voldsforbrydelser ifølge modellen kommer over 25.000. Derfor løser jeg ligningen f(x) = 25000 (og jeg benytter de ikke afrundede parametre). Idet funktionsforskriften i modellen er 769,4 x+13422=25000 x=15,05 f (x)=770 x+13400, fås den nøjagtigere ligning: Heraf ses at 15 år efter begyndelsesåret er antallet under 25000, 16 år efter er antallet over 25000. Det vil sige, at i år 2014 er antallet af anmeldte voldsforbrydelser ifølge modellen over 25000. 165
Funktioner Den lineære funktion: Oversigt og regler Parametre: a (hældningskoefficent) og b (begyndelsesværdi) Forskrift: f (x)=ax+b Graf: ret linje i alm. retvinklet koordinatsystem (på millimeterpapir) Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier: Eksempel: a = 2 og b = 3 x 0 1 2 3 y 3 5 7 9 Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "større" [+a] Forskrift DM (typisk) VM (typisk) Koordinatsystem Aflæs b "Aflæs a" Lineær funktion f (x)=ax+b R R eller{k} Millimeterpapir f(0) f(1) - f(0) Beregn a Indtastning i TI 30 (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) = y x 2 2 y x 1 1 Beregn b Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") y1 ax 1 y 1 - [gul] [(-)] * x 1 = 166