Funktioner. Ib Michelsen

Transkript

1 Funktioner Ib Michelsen Ikast 2008

2 Version 2008, , 22:25:25, G:\f15.odt Inkl eksp.kap rettet Inkl. rentesregning Side inkl (86 sider) Potensregning mangler

3 Indholdsfortegnelse Sammenhænge mellem variable...95 Eksempler på variable...97 Koordinatsystemet Det almindelige retvinklede koordinatsystem Regneforskrift Om funktioner Definition af funktionsbegreber Funktioner: Grundbegreber Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede Oversigt: Vigtige funktionstyper Lineære funktioner Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Råd om tegning af grafer Funktioner, ligninger mv Regneark Lav et regneark Åbn (kør) Excel Diagram Grafer i regneark Millimeterpapir Enkeltlogaritmisk papir Dobbeltlogaritmisk papir Lineære funktioner Introduktion Definitioner Flaske-Peter Taxaturen igen Ligning Sætning: Forskriften for en lineær funktion Den omvendte sætning Sætning: Beregning af a Hældningskoefficienten Eksempel: Beregning af a og b Beregning af a og b Eksempel: Fra observation til model Regel om tendenslinjer Den lineære funktion: Oversigt og regler

4 Eksponentielle funktioner Logaritmisk skala Enkeltlogaritmisk papir Eksempler på eksponentielle funktioner Øvelse Regneark Definition: En eksponentiel funktion Tegn grafer for eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioners parametre Eksponentielle funktioners parametre Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler Rentesregning Navngivning ved rentesregning Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen Eksempel: Beregning af Kn Formler og ligninger Opsparingsannuitet Gældsannuitet

5 Sammenhænge mellem variable

6

7 Eksempler på variable Her er en tabel med to variable: den ene variabel er "År" og den anden "Kvinder i Ikast". Variable kan (tit) antage forskellige værdier. Her antager variablen År værdierne 1996, 1997, I tabeller står variables navne ofte ovenover værdien (eller i en særlig kolonne: en forspalte.) Der er ikke nogen bestemt regel for, om værdierne skal vises i kolonner som her eller i rækker - eller på en tredje måde. Det er blot et praktik spørgsmål. Der er heller ikke nogen, der siger, at variables værdier skal være tal: det kunne også være farver eller navne, men det vil ofte være tal. Folketal pr. 1. januar efter område, tid og køn År Kvinder i Ikast Derimod er det ikke tilfældigt, at kolonnen med år kommer først (vi læser fra venstre): vi kan bruge Kilde: Danmarks Statistik året som udgangspunkt og fx spørge: Hvor mange kvinder boede der i Ikast i år 2000? og du kender selvfølgelig til tabellæsning og dermed svaret: Der boede kvinder i år Derimod giver det omvendte spørgsmål ikke altid mening. Hvis du spørger: hvornår boede der kvinder i Ikast, kan du nok finde et svar, men ikke et entydigt svar. Se fx på tabellens øverste rækker: Fra 1996 til 1997 vokser antallet af kvinder fra til og må have passeret på et eller andet tidspunkt. Den variabel, hvor der kun er ét svar hvad angår den anden, placeres i tabeller som denne længst til venstre; er tabellen lagt ned, placeres den øverst. Den slags variable kaldes uafhængige variable. Den anden variabel kaldes en afhængig variabel. Forestil dig, at en slagter har hundredevis af færdigpakkede portioner med hakket kød. Hvilke variable kunne du foreslå til at beskrive kødet med? Vælg en pakke med en værdi for hver variabel (som et eksempel). Er alle værdierne tal? Du har en stor samling af bageopskrifter i bøger og diverse udklip. Hvilke variable kan de beskrives med? Åbn diasshowet Lav en liste over variable, der kan knyttes til billeder. 97

8 Et nyt eksempel kunne være variable knyttet til damesko: der kunne vi bruge variable som pris, farve, materiale størrelse, vægt, hælhøjde og meget andet. Størrelsen på skoene kan så være opgivet som danske skonumre (36, 37, 38 og lignende) eller som engelske skonumre; dvs. størrelsen kan opgives med 2 forskellige variable. Hvis den opgives som et engelsk nummer, ville det være smart, hvis forretningen havde en tabel hængende som nedenstående. Dansk str Engelsk str. 4 4½ 5½ 6 7 Som skokøber læser du ovenstående tabel: Prøv at beskrive med et par almindelige danske sætninger, hvilken information du kan bruge ved skokøbet - i logisk rækkefølge. Hvor godt er sammenhængen beskrevet i tabellen? Eksempel: Henne om hjørnet Overalt i aviser, i fjernsynet, på opslag, i brochurer og mange andre steder ses sådanne oplysninger, hvor to tal knyttes sammen: I året 2006 var antallet af kvinder i Ikast Eller fra et af de andre eksempler: Hvis du vil købe 4 øl på værtshuset Henne om hjørnet, koster det 72 kroner. Antallet, du vælger at købe, kaldes som tidligere nævnt den uafhængige variabel ; givet antallet kan prisen i alt bestemmes ved opslag i tabellen: prisen kaldes den afhængige variabel den afhænger af antallet. Sådan er tabellen tænkt: den uafhængige variabel skrives ofte i 1. række eller 1. kolonne. I dette eksempel kunne man dog også sige: Giv mig øl for 72. kr.! Så sommetider kan flere variable vælges som "uafhængig variabel". Antal øl Pris i alt Arbejderne i Vingården Du kender sikkert lignelsen, hvor alle arbejderne fik den samme dagløn - lige meget om de havde arbejdet 1 time eller 12 timer. Det kan vises i en tabel som denne: Antal arbejdstimer Løn i denar Den øverste række i tabellen viser den uafhængige variable; for ethvert antal arbejdstimer kan vi finde den tilsvarende løn.... Og det er ligeledes klart, at rækkerne i dette tilfælde ikke kan byttes om - og dermed 98

9 kan lønnen ikke vælges som uafhængig variabel. Begrundelsen er, at selvom du ved, hvad lønnen er, kan du ikke fortælle, hvor mange timer der er arbejdet for den. Oles vækst... Et yderligere eksempel kunne være en tabel som nedenstående, hvor du følger Oles vækst, for at se om han vokser "normalt". Oles alder (måneder) Oles vægt (g) Oles alder (måneder) Tabellæsning Hvor mange kvinder var der i Ikast kommune (primo) år 2000? Hvor mange g vejede Ole, da han var 8 måneder? Hvad koster 5 øl hos Henne om hjørnet? Variabeltyper Kan man i eksemplet med skostørrelser bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? Hvad kunne man spørge om i stedet for Hvad koster 6 øl?, hvis der byttes om på variablene? Geometriens standardtrekanter Hvilke variable kender du i forbindelse med standardtrekanter? Kan du finde eksempler på en uafhængig og en afhængig variabel? Kan du for nogle af eksemplerne bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? 99

10 Grafer i koordinatsystemet Du har formodentligt set grafer i din avis: grafer, der fortæller om priser på parcelhuse eller aktiekurser, om dollarkurser eller renter på obligationer. Det kunne også være beretningen om, hvorledes omsætningen er vokset i et firma. Koordinatsystemet er uhyre populært, fordi det er så velegnet til at fortælle om talsammenhænge. Og koordinatsystemer er både lette at læse og hurtige at læse.1 Øvelse: Aflæsning på graf Carl Larsen A/S Omsætning i millioner kroner år Hvad var omsætningen i firmaet Carl Larsen A/S i 1990? og i 1998? Og i 2004? Kunne grafens oplysninger vises i en tabel? Hvis ja: lav den ovenover. Hvilke fordele er der ved at vise data i en graf? Og hvilke fordele har tabellen? 1 Se også Niels Bo Bojesens tegning på kapitlets forside. Prøv at beskrive, hvad den fortæller. 100

11 Koordinatsystemet Det forudsættes, at du kender det almindelige retvinklede koordinatsystem og navne som x-akse, y-akse, 1. akse, 2. akse og navne som enhed på aksen, koordinater, et punkt i koordinatsystemet og punktets koordinater, 1., 2., 3. og 4. kvadrant, begyndelsespunkt (origo) Tegn et retvinklet koordinatsystem. Skriv (flest mulige af) ovennævnte betegnelser på figuren. Tegn punkterne A(-3 ; -1), B(-3; 5), C(-1 ; 3), D(1 ; 5) og E(1 ; -1). Forbind punkterne fra A til B til... til E med rette linjestykker. Hvad har du skrevet? Det almindelige retvinklede koordinatsystem Navnet antyder, at der findes andre koordinatsystemer: Du skal senere se både et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Hver type er velegnet til at vise en bestemt sammenhæng mellem x- og y-værdier for en række talpar. Hvert koordinatsystem har sit særlige papir, hvorpå det kan tegnes: til det almindelige retvinklede koordinatsystem anvendes millimeterpapiret (eller alm. ternet papir). Karakteristisk er: længdeenheden på akserne er overalt den samme (på den samme akse): længden af linjestykket på aksen fra 0 til 1 er den samme som længden af linjestykket fra 100 til 101. Aksen omtales som en almindelig tallinje. (Se figuren næste side. Trykt fra: 101

12

13 Tegning af grafer Tegn et koordinatsystem på mm-papiret overfor. Lad det fylde hele siden. x-aksen går fra 0 til 10 (Oles alder (måneder)), y-aksen fra 0 til (Oles vægt (g)). Indret akserne. Tegn støttepunkter for grafen. Benyt data fra tabellen med Oles vægt. Forbind støttepunkterne med rette linjestykker. Hvad forudsætter det strengt taget? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 1. måned? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 9. måned? Hvorledes ser man forskellen på grafen? Hvad vejede Ole, da han var 1½ måned gammel? Beskriv hvorledes du finder svaret og hvorvidt du kan være sikker på, at det er rigtigt. Bemærk, at i princippet fortæller tabellen og grafen præcis den samme historie om Ole. Det er blot to forskellige måder at præsentere Oles vækst på. Regneforskrift Pris uden moms Moms (10 %) 1,00 0,10 2,00 0,20 3,00 0,30 4,00 0,40 5,00 0,50 6,00 0,60 7,00 0,70 8,00 0,80 9,00 0,90 10,00 1,00 Pris uden moms Pris med moms 1,00 1,10 2,00 2,20 3,00 3,30 4,00 4,40 5,00 5,50 6,00 6,60 7,00 7,70 8,00 8,80 9,00 9,90 10,00 11,00 Da momsen blev introduceret i 1967 regnede toldvæsnet ikke med, at alle kunne beregne moms og salgspris inklusive moms uden hjælp. Derfor blev der fremstillet tabeller som den ovenstående. Dengang var procenten 10 % - i dag er den 25 %. I dag vil man nok beskrive metoden til at finde momsen med (med dagens procentsats) således: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 25 /100 eller lidt nemmere at beregne: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 0,25 103

14 Med en regneforskrift vil vi beskrive sammenhængen således: Momsfunktionen x = salgsprisen for en vare uden moms (i kr.) f(x) = moms for en vare der koster x kr. (i kr.) f(x) = 0,25*x Bemærk: f(x) er en standardskrivemåde for at vise, at vi beregner noget ved hjælp af værdien x som er en slags joker, der står for en hvilken som helst værdi. Vi kunne lige så godt have skrevet moms(x) eller moms(salgspris_uden_moms). I stedet for f(x) benytter nogle andre matematikere betegnelsen y. At momsfunktionen her beskriver noget ude fra den virkelige verden: nemlig hvad staten opkræver i forbindelse med et momspligtigt salg. Sådanne beskrivelser kaldes matematiske modeller og derfor indgår der også en præcis beskrivelse af, hvad de to variable betyder (og enheden, de måles med.) Selv om de to første forklaringer ikke medtages, er der stadig tale om en funktion, men ikke længere en model. Det er muligt, at beregne funktionsværdier (som f(40) = 10), lave tabeller med sådanne talpar, tegne funktionens graf.) 2 Moms og funktionsforskrifter Tegn et koordinatsystem på mm-papir. Lad det fylde (næsten) hele siden. Lav en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen uden moms beregner prisen med moms. Lav også en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen med moms beregner prisen uden moms. at det er rigtigt. Kontroller modellerne på et eksempel, hvor du har en pris på 200 kr. uden moms, beregner prisen med moms og bruger resultatet i den anden funktion for at beregne prisen uden moms. Om funktioner Du har set 3 forskellige metoder til at én værdi af en variabel (fx "3" - altså 3 øl) benyt2 Og en af de store fordele ved matematik er, at den både kan studeres løsrevet fra den omgivende verden og anvendes i modeller. Og endvidere, at den samme matematik kan bruges til at beskrive vidt forskellige modeller. 104

15 tes til at finde den tilsvarende værdi af en anden variabel ("54" - prisen for de 3 øl.) Metoderne benytter hhv. tabel (som øleksemplet) graf (som i eksemplet om Carl Larsen A/S) regneforskrift (som i momseksemplet) I alle tilfælde siger vi, at vi har defineret en funktion, fordi vi har beskrevet en metode til at finde en værdi af den afhængige varible ved hjælp af en værdi af den uafhængige variabel. Definition af funktionsbegreber Funktion En funktion f er en sammenhæng mellem variable, hvor der: for hver værdi af den ene (uafhængige) variable findes præcist én tilsvarende værdi af den anden (afhængige) variable kaldet funktionsværdien 105

16 Kommentar Det er vist symbolsk på tegningen: fra værdien x (der står for en vilkårlig værdi for den uafhængige variabel) er der tegnet en pil over til den tilsvarende værdi for den afhængige variabel: f(x). Definitionsmængde og Værdimængde DM (definitionsmængden) er mængden af alle værdier, den uafhængige variabel kan antage og hvortil der svarer en funktionsværdi VM (værdimængden) er mængden af alle mulige funktionsværdier Kommentar f er sammenhængen mellem variable. Denne sammenhæng kan være beskrevet på forskellige måder: med ord i almindeligt sprog (verbalt), med pile som ovenover, men oftere med en tabel, en graf eller en regneforskrift. f(x) kaldes funktionsværdien for x, men x er en ikke specificeret værdi fra DM x er en slags joker, der skal erstattes af en værdi fra DM. Når x erstattes med en bestemt værdi som for eksempel 8, kan man finde f(8) ved at benytte funktionsbeskrivelsen: gå det rigtige sted ind i den rigtige tabel, aflæse den til 8 svarende værdi på grafen, erstatte x med 8 i regneforskriften osv. afhængig af den måde, funktionen er beskrevet på. DM og VM er symbolsk tegnet som dele af en større mængde: I eksemplet med spædbarnet Ole kan DM = [0 ; 15] dvs. at vægten følges i perioden fra fødslen (Ole er 0 måneder) til og med at han er 15 måneder, og tilsvarende er VM alle mulige vægte han har haft i den periode: VM=[3585 ; 10895].3 Det vil sige, at han har vejet mellem 3,585 kg og 10,895 kg. Punkterne i den ene mængdebolle vil i eksemplet være Oles aldre, punkterne i den anden mængdebolle er Oles vægte (i spædbarnsperioden.) Pilen fra x til f(x) med betegnelsen f er symbol på funktionen: hvorledes skal vi finde funktionsværdierne. Det vil kun sjældent i praksis være med pile; i eksemplet med Ole aflæses funktionsværdien i tabellen under x-værdien. Elementerne i DM er (symbolske) eksempler på den uafhængige variable; elementerne i VM er eksempler på den afhængige variable. I værtshuseksemplet Henne om hjørnet kan vi vælge at købe et eller andet antal øl: 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller måske endnu flere. Disse tal udgør definitionsmængden. Alle mulige priser i alt: 18, 36, 54, 72,... udgør værdimængden. Vi kunne beskrive et eksempel på sammenhængen således: Prisen for 4 øl er kroner Bemærk, at tabellen med Oles vægte kun er nogle få af de uendeligt mange, han har haft i perioden. Bemærk også, at spædbørn også kan tabe sig! 106

17 Men i matematik bruges som sagt sproget: pris(4) = 72 eller mere generelt: f(4) = 72 Hvis vi ser på funktioner helt generelt uden at tænke på et bestemt eksempel kaldes den uafhængige variabel ofte x og den afhængige variabel f(x) eller y. Den første skrivemåde minder om, at den afhængige variabel findes ved hjælp af en værdi for x; den sidste, at vises talparret som et punkt i et koordinatsystem, benyttes den afhængige variabel som y-værdi. f er navnet på funktionen. Ofte bruges også g og h eller moms eller skat, såvel som sin, cos og tan. Funktionen er kendt, når vi på en eller anden måde kan forbinde ethvert element i DM med et bestemt element i VM. Funktionen er sammenhængen - og tabeller, grafer og regneforskrifter er forskellige måder at beskrive denne sammenhæng. Det betyder i øleksemplet: Hvilken sammenhæng er der mellem antal øl og det, du skal betale for dem? Den kan beskrives ved at lave en tabel eller måske bare et prisskilt: 1 øl koster 18 kr. Så ved kunderne, at forskriften for prisfunktionen er: pris_ialt(x) = 18*x 4 Funktioner: Grundbegreber Et diasshow, se: Teaterabonnement i Nykøbing Teaterforening Lav en matematisk model med regneforskrift, der kan beregne prisen på et abonnement, idet du bruger oplysningerne herunder: Årets kontingent er 150,00 kr. Derudover betaler medlemmerne 175,00 kr. for hver forudbestilt billet i gruppe B; dog betales mindst for 3 billetter. Antal billetter Samlet betaling Denne enkle sammenhæng, hvor den afhængige variabel (her prisen) fås ved at gange den uafhængige variabel (her antallet) med en konstant faktor, kaldes ligefrem proportionalitet. 107

18 Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede Vi vil gerne vise, hvordan det er gået med tekstilbranchen i Herning. Antal beskæftigede Udvikling i antal beskæftigede i tekstilindustrien i Herning fra 1993 til Udviklingen kunne beskrives med ord. Måske ville det blive lidt uoverskueligt. Måske er tegningen nemmere og hurtigere at opfatte? Hvert punkt svarer til et talpar med xværdi og y-værdi. x-værdien angiver et årstal og y-værdien i samme punkt angiver antallet af beskæftigede dette år. Vi kan altså for ethvert årstal (mellem 1993 og 2003) finde et punkt og dermed den tilsvarende y-værdi: antallet af beskæftigede. Tekstilindustrien i Herning Viser tegningen i det foregående et eksempel på en funktion? Begrund svaret. Hvad er f(1993)? f(1996)? f(1999)? f(2004)? Vis med pile et eksempel på aflæsningen! Hvad er DM(f)? og VM(f)? Marker intervallerne på tegningen og skriv navnene på dem. Kan du finde en regneforskrift for funktionen? Kan du finde f(1992)? 108

19 Ugens menu For 200 år siden bestod morgenmaden i flåden af brød og brændevin. Brændevinsrationen var for eksempel på 2 pægl om ugen. Når 1 liter er 4,14 pægl, hvor mange liter har hver mand så fået om ugen? Udfyld tabellen herunder Beskriv sammenhængen mellem pægl og liter som en funktion med en regneforskrift. Tegn nederst på siden grafen for funktionen Bemærk: grafen går gennem (0,0); det er et kendetegn for ligefrem proportionalitet Antal pægl /16 Antal liter Brændevin i flåden. Det ses let, at dobbelt så mange pægl svarer til dobbelt så mange liter. 3 gange så mange pægl svarer til 3 gange så mange liter. Og så videre. Når dette forhold gælder, er de variable ligefrem proportionale. 109

20 Beskriv funktioner I de følgende eksempler skal du for hvert eksempel finde nogle variable og en funktion, der nogenlunde beskriver sammenhængen mellem dem. Benyt eventuelt flere forskellige metoder til at beskrive funktionen. Det betyder, at du skal gætte evt. meget upræcist på de tal, du skal bruge, og du behøver ikke at tage hensyn til alt: mindre væsentlige detaljer og undtagelser ses der bort fra. Prøv at medtage, hvilken måleenhed du bruger til at måle variable med (kr., meter, kg osv.) Model for en tur med taxa med variable: afstand og pris Vægten af træstolper med tværsnit på 10 cm x 10 c Vurder forbrug af maling udendørs for 1-plans træhuse af forskellig størrelse Model for varmeregning hvor de variable er udgift og forbrug Model for varmeregning hvor udgiften sammenholdes med gennemsnitlig indetemperatur Brændetid for starinlys Renskrift af et af eksemplerne 110

21 Oversigt: Vigtige funktionstyper V har allerede beskæftiget os noget med de trigonometriske funktioner: sin og sin-1, cos og cos-1samt tan og tan-1. I årets løb skal vi også beskæftige os meget med 3 andre funktionstyper: Lineære funktioner Lineære funktioner har regneforskriften: f(x) = a*x + b, hvor a og b kan være alle mulige reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny lineær funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = ½ og b = 1: f(x) = ½*x + 1 x f(x) ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 En lineær funktion (tabel) Den type har fået navnet lineær funktion, fordi grafen tegnet på mm-papir i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en ret linje. f(x) = 0,5 x + 1 4,0 3,0 2,0 1,0 0, ,0-2,0 En lineær funktion (graf) 111 6

22 Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner har regneforskriften: f(x) = b*ax, hvor a og b kan være alle mulige positive reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny eksponentiel funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: f(x) = 3*2X Denne type x funktioner tegnes f(x) 0,09 0,19 0,38 0,75 1, ofte på et specielt En eksponentiel funktion (tabel) papir kaldet enkeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en eksponentiel funktion tegnet på dette papir er en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen eksponentiel. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: tallene på y-aksen følger ikke den almindelige skala. Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en eksponentiel funktion. x f(x) = 3*2 100,0 10,0 1, ,1 0,0 En eksponentiel funktion (graf)

23 Koordinatsystem på enkeltlogaritmisk papir 5 Benyt det enkeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra 0 til 16 på x-aksen, idet hele bredden benyttes. På y-aksen erstattes det midterste 1 af 10 og det øverste 1 af 100. Skriv y-værdier ud for alle delestreger, hvor der i forvejen står et tal. Det er en god vane - også selvom du er 100 % sikker på, hvad hver enkelt delestreg står for. Vis - med meget præcise pile - y-værdierne: 11, 14, 17 38, 43 52, 53, 54 75, 84, 98 Tegn en ret linje mellem punkterne (2 ; 0) og (16 ; 100) Aflæs koordinater for alle punkter på linjen med x-værdierne 1,2, Skriv resultaterne i en tabel, hvor første række er 0, 1, og anden række er de hertil svarende aflæste y-værdier. Aflæs y-værdier som helt tal. Beregn for de samme x-værdier funktionsværdier for f(x) = 2 1,2770x. Skriv dem i en 3. række i samme tabel afrundet til helt tal. Sammenlign de beregnede y-værdier med de aflæste y-værdier. 5 En dekade er et interval, hvor det største tal er 10 gange større end det mindste. På det viste enkeltlogaritmiske papir kan hele intervallet på y-aksen opdeles i 3 dekader (fx fra 1 til 10, fra 10 til 100 og fra 100 til 1000.) Derforfor kaldes dette papir også "enkeltlogaritmisk med 3 dekader". På kan du også finde tilsvarende papirer med 1 til 6 dekader. Også intervaller som et fra 7 til 70 er en dekade! Bemærk, at det har den samme længde som fra 1 til 10. Bemærk også, at når du ændrer tallene på y-aksen må det kun ske ved at gange eller dele med 10 - evt. flere gange. Fx 4 kan ændres til 40 og 8 kan ændres til 0,

24

25 Potensfunktioner Potensfunktioner har regneforskriften: f(x) = b*xa, DM(f) = R+ R+ er de positive reelle tal; a kan være et vilkårligt reelt tal; b> 0.. For hver kombination af a og b fås en ny potensfunktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: f(x) = 3*x2 Denne type funktioner tegnes ofte på et specielt papir kaldet En potensfunktion (tabel) dobbeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en potensfunktionfunktion tegnet på dette papir altid vil være en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen en potensfunktion. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: hverken tallene på x-aksen eller y-aksen følger ikke den almindelige skala. x Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en potensfunktion. Koordinatsystem på dobbeltlogaritmisk papir. Benyt det dobbeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra 0,1 til 10 på x-aksen. Lav en tabel med støttepunkter for funktionen f(x) = 5*x2 På y-aksen indrettes aksen, så mest muligt af grafen kan være på papiret. Erstat de fortrykte tal med dem, du vælger. Indtegn støttepunkter for funktionens graf. Kontroller, at der kan tegnes en ret linje gennem alle støttepunkterne. 115

26

27 Råd om tegning af grafer Grafen skal kunne være på dit papir! Men den skal heller ikke gemme sig nede i et hjørne. Det skal du tage hensyn til, når du indretter skalaer på dine akser. Derfor starter du med at få overblik over, hvad der er den mindste og største x-værdi, henholdsvis mindste og største y-værdi. Almindelige tallinjer kan indrettes ret frit: enheden kan være større eller mindre afhængig af vor opgave. Hvis du har brug for tallene fra 10 til 20, behøver du ikke medtage tallene fra 0 til 10. Det eneste vigtige er: at målestokken er den samme overalt på samme akse, at enheden er valgt, så læsning af tal er nogenlunde nemt samtidigt med, at tegningen fylder så meget som muligt. På enkelt- og dobbeltlogaritmisk papir er der fortrykte tal på akserne. De bør konsekvent erstattes med dine egne klare og tydelige og store tal. På en logaritmisk skala, kan tallene ikke stå hvor som helst: der, hvor der er fortrykt 1 (10) skal der stå en hel potens af 10. Det vil sige tal som 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; osv. Hvis din mindste værdi på skalaen er 17, vælger du den potens af 10, som ligger nærmest under 17. Her vil potensen være 101 = 10. Dette tal skriver du længst til venstre på x-aksen eller længst nede på y-aksen i stedet for det 1-tal, der stod der i forvejen. Nu skal resten af tallene rettes: det næste 1-tal (til højre eller op) rettes, så det er den næste 10-potens: her 100, den næste bliver 1000, så osv. Logaritmiske skalaer kan være forskelligt indrettede med forskelligt antal dekader (dvs. interval hvor største endepunkt er 10 gange større end mindste endepunkt.) Imellem 10 og 100 betyder 2 ikke 2, men 20. Det rettes. Ligeledes rettes alle andre tal på aksen. Bemærk i øvrigt, at der ikke er lige mange delestreger mellem tallene på en logaritmisk skala: jo større tallene bliver, jo større spring bliver der mellem delestreger. Lommeregnerøvelse Kontroller beregningerne i tabellerne for de tre funktionstyper. Grafer og det rigtige papir Hjælp: Før du tegner: se på forskriften. Hvilken type ligner det? Prøv at indtegne den på det tilsvarende papir. Hvis linjen ikke er ret, kan der være tre forklaringer: Du har regnet forkert 117

28 Du har afsat støttepunktet forkert Du har valgt en forkert type papir Følgende funktioner tegnes ind på et papir, så grafen bliver en ret linje. For hver funktion laves 5 støttepunkter i et sildeben, hvor x-værdier vælges jævnt spredt ud over aksen fra mindst til størst. Alle x-akser skal i hvert fald indeholde intervallet fra 1 til 10. f(x) = 3x-10 p(x) = -2x g(x) = 10/x r(x) = 10 h(x) = 1,5x 10 s(x) = 10*0,8 x k(x) = 10*1,2x t(x) = 10*3x m(x) = 10*x 2 *1,5*x u(x) = -1,5x +10 n(x) = 3x 2 v(x) = 22x7/(4x) Grafer for sin og cos Tegn et koordinatsystem på millimeterpapir; x-aksen har en skala fra 0 til 90 (der fylder 18 cm), y-aksen har en skala fra 0 til 1 (der fylder 10 cm.) Indtegn støttepunkter for sinusfunktionen: (0 ; sin(0)), (10 ; sin(10)),, (90 ; sin(90)). Forbind dem med en udglattet graf. Tilsvarende tegnes grafen for cosinusfunktionen i samme koordinatsystem. Kan du se et mønster? Kan du finde en forklaring på mønstret? 118

29 Funktioner, ligninger mv. Vi benytter det almindelige retvinklede koordinatsystem til at tegne mange slags linjer og kurver, og det er ikke altid muligt umiddelbart at se, om der er tale om en graf, eller hvad der er tale om. Her er en oversigt, der skal gøre det lidt nemmere: Funktion og graf En graf er det grafiske billede af funktionen Grafen består af alle punkter i koordinatsystemet af typen (x ; f(x)), hvor x er en værdi i DM ( = definitionsmængden) og f(x) er den tilsvarende y-værdi i VM ( = værdimængden) For én bestemt x-værdi findes der kun én y-værdi, som her skrives f(x); dvs. en graf har aldrig to punkter lodret over hinanden En graf er ikke nødvendigvis sammenhængende ( = kontinuert) Linjers, cirklers med fleres ligninger En ligning er som bekendt et åbent udsagn med et lighedstegn: y = 3x - 4 x=3 y2 = x x2 + y2 = 32 Der indgår oftest både x og y i ligningerne, men ikke nødvendigvis For hvert punkt i planen undersøger man om ligningen bliver sand, når punktets koordinater indsættes i ligningen: hvis sand, markeres punktet. Mængden af alle markerede punkter udgør sommetider en genkendelig figur: er figuren en ret linje, har vi benyttet ligningen for den rette linje, er figuren en cirkel, taler vi om cirklens ligning. Omvendt kan man også starte med at tegne en figur og derefter forsøge at finde en ligning, der er sand, hvis man indsætter x- og y-værdier fra punkter på figuren. Den fundne ligning er figurens ligning. Nogle figurer kunne evt. opfattes som grafer men ikke alle. 119

30 Tendenslinjer Når vi indsamler data ( = talpar) fra den fysiske verden, vil vi ofte opleve, at sammenhængen kan beskrives med en enkel funktionssammenhæng. Men: at der til samme x-værdi svarer forskellige y-værdier og / eller de nøjagtige y-værdier afviger lidt fra den enkle fremstilling. Hvis sammenhængen trods alt er tydelig, vil vi sige, at dataene er korrelerede. Sådanne data kan beskrives med tendenslinjer, som er grafer for den funktion, sammenhængen tilnærmet kan beskrives med. Parameterfremstilling af kurver fejl, usikkerhed, unøjagtighed og tilfældigheder kan medføre, Hvis vi - som et typisk eksempel vil beskrive en rejserute på et kort, kan vi arbejde med en model som: t = tid (målt i sekunder eller år eller? fra et eller andet begyndelsestidspunkt som for eksempel rejsens starttidspunkt.) x(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod øst (eller vest) til tiden t (for eksempel målt i m eller km) og tilsvarende y(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod nord (eller syd) til tiden t. Hvis der afsættes punkter for enhver t-værdi fås en kurve. Kurven er en figur, der viser (noget) om funktionen, hvor DM er tiden og VM er positionerne på rejsen. DM er en delinterval af de reelle tal og VM er en delmængde af planen Funktioner 120

31 Regneark

32

33 Lav et regneark Et regneark kan sammenlignes med et stort stykke ternet papir. Kolonnerne nummereres A, B, C og rækkerne 1,2,3 Cellen B2 er det sted, hvor kolonne B og række 2 skærer hinanden. På figuren herunder står markøren i denne celle. Man kan se, at der er en sort ramme om cellen og at både B og 2 er skrevet med fed skrift. Ideen bag programmet er: 1. At man kan lave en fornuftig og klar opstilling af små og store regneopgaver 2. At man kan blande tekst og tal 3. At man kan anbringe formler i nogle af cellerne; disse regnes så automatisk ud, når man ønsker det. Det betyder, at man kan lave en mindre rettelse, og så kan programmet let gennemregne alt igen, uden at man selv får noget væsentligt arbejde. Åbn (kør) Excel 6 Tast teksten, du ser i regnearket på næste side, ind i dit eget regneark: 6 Hvis du ikke er meget dygtig til at arbejde med regneark, skal du selv prøve at lave et regneark som beskrevet. Ellers: hjælp din sidemand. 123

34 Marker cellerne A1:D1 og vælg en fyldfarve (fra malerbøtten ): Fortsæt med at skrive tekst og prøv at lave rammerne. Går det helt galt, kan du starte forfra ved at benytte rammen uden kanter! 124

35 Tallene skrives uden videre; du kan forøge decimalerne ved at markere cellen og klikke på ikonet med,00. For at programmet kan vide, hvor der skal regnes noget ud, startes der med et = i de celler. A2*C2 betyder, at de to tilsvarende tal skal multipliceres (ganges); produktet (gangeresultatet) beregnes automatisk af programmet og skrives i cellen, hvor formlen står; det vil her sige i D2. wfwefwee Formlen i D3 skal svare til den i D2 ("2" erstattes blot med "3"). Kopier den: Højreklik på originalcellen, vælg kopier. Højreklik så på cellen, der skal indeholde kopien: vælg indsæt. 125

36 Så skal de to beløb adderes (lægges sammen) og resultatet skrives i D4. Derfor skrives formlen i D4. D2:D3 betyder alle celler mellem disse to. De behøver ikke at være fra samme kolonne eller samme række. 126

37 For at fremhæve resultatet, er det så formateret med fyldfarve. Diagram Nu kan der konstrueres et diagram ved at markere de celler, der skal benyttes. Marker for eksempel først teksten (Æbler og Pærer), hold CTRL nede og marker de to tal: Så vælges guiden diagram og diagramtypen med videre: hvorefter man kan se et diagram: enten som objekt i regnearket eller som selvstændigt diagramark som her. 127

38 Resultatet ses herunder: Det er muligt at formatere enkelte dele, ofte ved at man klikker på den pågældende detalje og derefter udfylder en dialogboks. På cirkeldiagrammet kan man se en lille gul seddel med 128

39 oplysninger om et cirkeludsnit; den fremkommer, når man holder musen over udsnittet. Lagkagediagrammet Mål det røde cirkeludsnit med vinkelmåler. Beregn gradtallet med de oplyste tal. Får du det samme? Grafer i regneark Millimeterpapir Fra sildeben til punkter i det almindelige koordinatsystem Marker de data, der skal anvendes, vælg diagram og vælg derefter XY-punkt.7 Efter øvrige valg kan diagrammet se ud som på næste side: 7 I næsten alle opgaver er dette det naturlige valg (i matematik.) 129

40 Enkeltlogaritmisk papir I et nyt eksempel ses det ret tydeligt på figuren, at punkterne ikke ligger på en ret linje. Da det er svært - eller næsten umuligt - at genkende alt andet end rette linjer, kan man kontrollere, om der er tale om en eksponentiel funktion8, ved at indtegne punkterne på enkeltlogaritmisk papir. I Excel ændres det almindelige millimeterpapir til enkeltlogaritmisk papir ved at formatere y-aksen som herunder. 8 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 130

41 Klik på y-aksen: Sæt flueben ved Logaritmisk skala. Klik OK. Herunder ses det, at nu ligger punkternepå en ret linje. Dobbeltlogaritmisk papir Eksemplet her minder om det forrige, men der er ikke tale om en eksponentiel funktion, men derimod en potensfunktion9. For denne type - og kun denne type - vil punkterne ligge på en ret linje, hvis begge akser er logaritmiske. Derfor formateres begge 9 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 131

42 akser: Først den ene, så den anden, 132

43 og efter begge ændringer ligger punkterne ganske rigtigt på en ret linje: For at se, hvor godt en model passer til de oplyste data, kan man i alle tilfælde tegne en tendenslinje. Det er en linje, som man selv eller regnearket prøver at lægge tættest muligt på alle punkterne i koordinatsystemet. I regnearket gøres det sådan: højreklik på et af punkterne og vælg: Tilføj tendenslinje (som på næste side.) 133

44 Hvor godt det passer, kan afgøres på øjemål, men anvender du Excel, kan regnearket når du har valgt funktionstypen - finde en tendenslinje med de parametre, der passer bedst (dvs. at programmet finder talværdier for a og b) og R2, der et mål for, hvor klar sammenhængen er mellem to variable er. Værdien 0 betyder, at der ingen sammenhæng er værdien 1, at der er en klar sammenhæng. 134

45 Lineære funktioner

46

47 Introduktion Øvelse: En bageopskrift I La Cuisine Gourmande 10 findes en opskrift på en gærkage: En savarin. Forfatteren opremser omhyggeligt, hvad der er brug for af råvarer, tilbehør, køkkenredskaber med videre. Her ses et uddrag af informationerne: Opskrift for 4 kager hver beregnet til 5 personer 10 g gær 2 spiseskefulde lunkent vand 250 g hvedemel blandet med 6 g salt 3 æg 10 cl mælk 10 g stødt melis 125 g smør 1 træske 4 savarinforme, diameter 14 cm Hævetid 30 minutter Bagetid 20 minutter Bagetemperatur 200 C Hvilke tal vil du ændre i opskriften, hvis der skulle bages 8 kager? til hvad? Ret opskriften, så den passer til 5 personer Hvorledes vil opskriften se ud, hvis den skal passe til ca. 20 personer, men du kun har forme med diameter 20 cm? Matematik skal smage godt! Til lærere: se Eksperimentel Matematik, Matematiklærerforeningen, 2007, side 62 ( Se: 10 Michel Guérard, La Cuisine Gourmande (Robert Laffont Paris, 1978) 137

48 Eksempel: En taxatur En tur med taxa koster 30 kr. i startgebyr; derudover betales 10 kr. pr. km. Det er nemt at lave en tabel med afstand og pris for forskellige ture: Afstand i km Pris i kr Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, fås: Pris for en taxatur 250 Pris i kroner Afstand i km Hvis alle punkter, vi kunne tegne, lå på en ret linje, er der tale om en lineær funktion. (Jævnfør definitionen senere i bogen.) Fra funktionsoversigten tidligere blev det påstået, at funktioner med funktionsforskrifter af typen f(x) = ax + b er lineære funktioner. Da der kan tegnes en ret linje gennem alle de tegnede punkter, kan funktionen (måske?) være lineær. Men vi har jo ikke kontrolleret alle punkter. Om taxaturen Hvis vi går ud fra, at alle punkter på den tegnede linje svarer til sammenhørende værdier af en taxaturs længde og dennes pris: Hvad koster så en tur på 4 km? Ved svaret benyttes kun tegningen. Hvor langt kan vi køre for 200 kr.? Kontroller ved beregning, at dine svar på ovenstående 2 spørgsmål er rigtige 138

49 Eksperimenter med grafen Følg linket: Flyt med punkterne A og B (med musen) Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og: tallet a i vinduet til venstre? Beskriv det: Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og: tallet b i vinduet til venstre? Beskriv det: Hvilken sammenhæng er der mellem a og b og: ligningen Linje? Beskriv det: 139

50 Definitioner Graf Vi har givet en funktion, hvor både funktionens DM og VM er de reelle tal (eler en delmængde af de reelle tal). Grafen for en funktion er mængden af alle punkter i koordinatsystemet som (x ; f(x)), hvor alle x-værdier i DM(f) anvendes. En lineær funktion En funktion er lineær, hvis grafen er en ret linje eller en del af en ret linje. En funktions regneforskrift En funktion f kan defineres ved, at vi får oplyst DM(f) og hvorledes man for ethvert x kan regne f(x) ud. Definition af en konkret (ganske bestemt) funktion som model x= Afstanden i km f(x) = Prisen for en taxatur på x km f(x) = 10x + 30 DM(f) = [ 0 ; [ ; det betyder, at taxaturen kan være fra nul kilometer og op; indrømmet: det er lidt skørt at køre 0 km. VM(f) = [ 30 ; [ ; det betyder at taxature koster fra 30 kr. og op. De to første punkter (x =... og f(x) =...) knytter funktionen med regneforskriften f(x) = 10x +30 sammen med virkeligheden. En primitiv model for samspillet kunne være: Virkelighed Matematisk model Hvad koster en taxatur på 3 km? x=3 f(x) = 10x + 30 Den koster 60 kr.! f(3) = 10* = 60 Flaske-Peter Peter tager imod tomme vinflasker for købmand Olson. Han skal give kunden en seddel, hvor der står, hvor meget kunden skal have for flaskerne. Olson har udstyret ham med en tabel som den nedenstående: 140

51 Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. 1 0,25 2 0,50 3 0,75 4 1,00 5 1,25 6 1,50 7 1,75 8 2,00 9 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Beskriv funktionen på tilsvarende måde som taxatursfunktionen. Tegn funktionens graf. Er den lineær? Hvorfor? Går den igennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0;0)? Hvis funktioner er lineær, hvad kaldes så denne type? Taxaturen igen Vi har tegnet lidt af grafen nemlig 5 støttepunkter og de ligger på en ret linje. Derfor tror vi, at alle punkter af typen (x;f(x) vil gøre det, men det kan vi faktisk ikke vide (endnu.) Hvis det er rigtigt, hvad vi tror, er taxafunktionen en lineær funktion. Vi benytter, at følgende regneforskrift kan bruges til beregning af prisen: f(x) = 10*x + 30; DM(f) = [0 ; [ Hvis vi vil finde svaret på (som ovenfor), hvor langt man kan komme for 200 kr., kan det fås ved at løse ligningen: f(x) = 200 Ligning f(x) = *x + 30 = 200 indsæt hvad f(x) betyder træk 30 fra på hver side 10*x = *x = *x/10 = 170/10 regn ud (reducer) divider med 10 på hver side 141

52 regn ud (reducer) x = 17 Det vil sige, at for 200 kr. kan man køre 17 km 11 Øvelse Følg linket til øvelserne på internettet: Sætning: Forskriften for en lineær funktion Hvis funktionen f er lineær, kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax + b. Bevis I Først bevises, at hvis f er en lineær funktion og dens graf går gennem begyndelsespunktet (0;0), kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax Vi tegner et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion gennem begyndelsespunktet O (origo). I første omgang forudsættes, at grafen går gennem 1. kvadrant. Herefter vælges en tilfældig, men positiv x-værdi i første omgang; senere kan vi vise (som en øvelse), at selv om x-værdien er negativ, eller grafen går gennem 2. kvadrant, kan beviset gennemføres på næsten samme måde. Der tegnes to hjælpelinjer vinkelret på x-aksen gennem 1 og x på x-aksen, så der opstår 11 Den teknik, der her benyttes for at løse ligningen, er typisk. I den oprindelige ligning, er vi på jagt efter et tal, der gør ligningen sand (dvs. skaber balance mellem højre og venstre side.) Ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet fås nok nye ligninger, men ligninger, der har den samme løsning som den oprindelige ligning. Ideen er at komme frem til en så enkel ligning, at svaret ligger lige for. 142

53 to ensvinklede trekanter, idet begge er retvinklede og de har en fælles vinkel O. I den farvede trekant kaldes længden af den lodrette katete for a. Da skalafaktoren mellem trekanterne nemt ses at være k = x/1 = x, bliver længden af den anden lodrette katete a*x. Men længden er jo også funktionsværdien i x; dvs. f(x) = a*x Hermed er første del af sætningen bevist, men kun hvor a og x er positive tal. Udvid beviset Vis, at funktionsforskriften også er rigtig for x=0 og for x<0. Vis, at funktionsforskriften også er rigtig, når grafen går gennem 2. og 4. kvadrant. Bevis II Vi tegner igen et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion: f ; denne gang går grafen ikke gennem origo. Samtidig tegnes en linje parallel hermed gennem origo: Vi lader den være grafen for funktionen g. g har forskriften g(x) = a*x; jævnfør første del af beviset. Der tegnes en linje vinkelret på x-aksen gennem et tilfældigt punkt (x ; 0). Det punkt, hvor grafen for f skærer y-aksen kaldes (0;b). Det medfører at linjestykket fra origo til (0;b) får længden b (hvis b som på tegningen er positiv); den samme længde får den anden lodrette side i det markerede parallellogram. Derfor gælder: f(x) = g(x) + b og da g(x) = ax, fås, at for enhver lineær funktion gælder: f(x) = ax + b. Også her kunne beviset nemt ændres, så det også gælder for negative værdier af b. QED Den omvendte sætning Har en funktion forskriften f(x) = ax + b er funktionen f lineær. 143

54 Bevis for sætningen Tegn i et alm. retvinklet koordinatsystem de to støttepunkter (0 ; b) og (1 ; b+a) Tegn en ret linje gennem punkterne Lad linjen være grafen for funktionen g Find forskriften for g Begrund, at den rette linje også er graf for f hvormed sætningen er bevist. Sætning: Beregning af a En lineær funktion har en graf, der går gennem de to kendte punkter P(x1;y1) og Q(x2;y2). a i forskriften for f kan beregnes som: a = (y2 y1) / (x2 x1) Bevis 12 Grafen for f tegnes som en retlinje gennem P og Q. PQR er tegnet som en retvinklet trekant, hvor kateterne er parallelle med koordinatsystemets akser. Længden af kateterne er hhv. (x2 x1) for den vandrette og (y2 y1) for den lodrette. 12 Jævnfør øvelserne om vingummibamser (side 137.) 144

55 Den grønne linje er tegnet gennem O (0,0) og parallelt med den blå graf gennem P og Q og a kan som før findes som længden af den lilla trekants lodrette katete (a = AB ). Ved benyttelses af sætningen om ensliggende vinkler ved parallelle linjer, ses at de to trekanter (den lilla og den turkisfarvede) har to lige store vinkler ( O = P), de er begge retvinklede og med 180 -reglen fås, at de er ensvinklede og derfor også ligedannede. Da den lilla trekant har en vandret katete med længden 1 fås skalafaktoren k som: k = (x2 x1)/1 = (x2 x1) og a beregnes som: a = (y2 y1)/k = (y2 y1)/(x2 x1) QED Note: I beviset er det forudsat, at x2 > x1 og y2 > y1; er det ikke tilfældet, skal beviset ændres en smule, men kan stadig gennemføres næsten tilsvarende. Antag, at du har kørt med en taxa to gange: første gang 3 km og anden gang 7 km. Hvilken betegnelser (i beviset ovenover) svarer 3 til? og 7? Første tur kostede 60 kr. og 2. tur kostede 100 kr. Hvilken betegnelser (i beviset ovenover) svarer 60 til? og 100? Hvad kan vi kalde differencen (y2 y1) på almindeligt dansk i forbindelse med taxaturene? Hvad kan vi kalde differencen (x2 x1) på almindeligt dansk i forbindelse med taxaturene? Hvad vil du kalde det a, der beregnes som (y2 y1)/(x2 x1), på almindeligt dansk i forbindelse med taxaturene? Hældningskoefficienten 13 Definition: a (i funktionsforskriften f(x) = ax + b) kaldes grafens hældningskoefficient. 13 Nogle bruger betegnelsen "stigningstallet". 145

56 Sætning: a er tilvæksten i funktionsværdien, når x-værdien vokser med 1. Bevis: Det ses af: f(x+1) f(x) = (a(x+1) + b) - (ax + b) = ax +a + b ax b = a Eksempel: Beregning af a og b 14 Lige ovenover har vi fundet en formel for a med geometriske argumenter. Her vises, at man med kendskab til punkternes koordinater kan beregne a og b ved at løse ligninger. Vi kender fx de to punkter P(x1 ; y1) = (3 ; 7) og Q(x2 ; y2) = (13 ; 2) på en graf for en lineær funktion og vil finde forskriften for funktionen: Regneforskriften er f(x) = ax + b da f er lineær Da P er et punkt på grafen, gælder: a*3 + b = 7 [1] b = 7 a*3 Tilsvarende fås: a*13 + b = 2 [2] b = 2 a*13 Da de to venstresider er lige store, må højresiderne også være ens: 7 a*3 = 2 a* 13 7 a*3 + a*13 = 2 a* 13 + a* (13-3)a = (13-3)a 7 = 2 7 (13-3)a = (2-7) (13-3)a / (13-3) = (2-7) / (13-3) a = (2-7) / (13-3) a = - ½ (eller a= - 0,5) 15 Ved at indsætte resultatet i [1] eller [2], fås: b = 7 (-½) * 3 = 7 + 1½ b = 8½ 14 Sammenlign igen med øvelserne om taxaturen ovenover og om vingummibamserne ( mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf) 15 Var ligningen løst ikke med bestemte tal, men med koordinaterne (x1;y1) og (x2;y2), ville løsningen af ligningerne have givet den allerede fundne formel. 146

57 Beregning af a og b 16 Gennemfør beregningerne fra eksemplet ovenover, idet du ikke benytter de konkrete tal, men alene anvender de generelle betegnelser for koordinaterne: (x1 ; y1) og (x2 ; y2). Se evt. Eksempel: Fra observation til model Aalborg Brutal Marathon Navn \ meter Helle Møland Mortensen Birgitte Munch Nielsen minutter Langfredag d. 9. april 2004 afholdtes Aalborg Brutal Marathon. Herover er mellemtider og sluttid for de to bedste kvinder. Vi vil undersøge, hvorledes de har løbet; ved hjælp af tabellen laves et x-y Marathon diagram (med regneark, 250 andet programmel eller 200 håndkraft). Vi tilføjer Helle Møland Mortensen tendenslinjer og finder 150 Birgitte Munch Nielsen forskrift for funktionen og Lineær (Birgitte 100 Munch Nielsen) kvalitet af tilpasningen. Lineær (Helle Møland Mortensen) 50 Bruges håndkraft er det vigtigt, at man ikke tegner 0 HM BMN y = 0,0051x y = 0,0055x tendenslinjen gennem m e te r R = 0,9974 R = 0,9999 noget specielt punkt, men forsøger at lade alle punkter være tæt på linjen, så den samlede afstand minimeres. I det tilfælde er kvaliteten af tilpasningen et rent skøn. Både af diagrammet og beregningen17 ses, at punkterne ligger (næsten) på en ret linje både for nr. 1 og 2. Når vi benytter en funktion til at beskrive virkeligheden, det vil sige laver en model, fortæller vi både hvad der måles og hvilke måleenheder, der benyttes: 2 2 Model for Helles løb x = afstanden, der er løbet (målt i m) f(x) = tiden Helle har brugt til at løbe x meter (målt i minutter) 16 Det er et mål for matematikere at generalisere beregninger, regler, formler mv.; i tilfældet her går vi fra at have fundet a og b for én bestemt funktion til at se, at alle lineære funktioners parametre kan findes på fuldstændig tilsvarende måde. 17 For begge løbere ses, at R2 er meget tæt på 1,000; det betyder, at begge løberes tider næsten er en perfekt lineær funktion af afstanden. Da b=0, er samenhængen ligefrem proportional. 147

58 Regneforskriften: f(x) = 0,0051*x, idet 0,0051 er den tid (i minutter) Helle bruger på at løbe 1 m (mere) Eksempel på beregning med f: f(35276) = 0,0051*35276 = 179,9 = 180 Det vil sige, at Helles beregnede mellemtid for m er 180 minutter. Dette resultat stemmer fint med den målte mellemtid; det gælder dog ikke helt præcist for alle mellemtiderne. En tilnærmet model Nævn to grunde til at ikke alle målte mellemtider passer med de beregnede. Hvordan kan det ses på regneforskriften for Helles løb, at hun har løbet med konstant hastighed? Regel om tendenslinjer Hvis du laver tegningen i hånden og skal lave en tendenslinje, må du ikke udvælge to af punkterne og tegne grafen gennem dem. Så er der jo ikke taget hensyn til alle de andre punkter (observationer). Du skal prøve at tage lige meget hensyn til alle punkter. Hvis de fuldstændigt ligger på en ret linje ja så tegnes tendenslinjen gennem alle. Du kan øve dig i at placere linjen rigtigt her: Hastighed og hastighed Bilspeedometre viser ofte forkert; for en bestemt bil er der målt den tid (i sekunder), det tager, at køre 1 km. De målte data er anført i tabellen herunder. Speedometeret viste Tid i sekunder Virkelig hastighed ,0 54,7 43,3 35,4 Opgaven fortsætter på næste side 148

59 Hjælpeskema Afstand Køretid 1 km 93 sekunder 1 sekund 1 minut 1 time Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/sekund? Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/time? Udfyld skemaet med de virkelige hastigheder. Gør rede for, at den virkelige hastighed er en tilnærmet lineær funktion af hastigheden, som speedometeret viste. (Med tilnærmet menes, at der må være små og usystematiske afvigelser fra en ret linje. Men f. eks. Må grafen ikke have bueform.) Beskriv sammenhængen. Hvis parameteren b er= 0, er de to variable ligefrem proportionale. Er det tilfældet her? Hvad vil speedometeret vise ved hastighederne 50, 80 og 130 km i timen? En lineær model for væksten i antallet af biler Vækst i antal biler (Hele Landet) y = 24406x R2 = 0, , , ,00 Antal 80000, , , ,00 0, , ,00 År (efter 1996) Kilde: Danmarks Statistik, november (Antal biler i 1996 var: ) (

60 Hvorledes kan man se på diagrammet, at der er tale om en lineær model? Kan man se det samme på en anden måde? Hvad betyder tallet: "24406"? Hvad betyder tallet "-12905"? Hvad betyder tallet "0,8955" Lineære modeller for prisudviklingen Benyt diagrammet herunder: Opstil en model, der beregner indekstallet som en funktion af antal år efter Skriv løsningen her: Forbrugerprisindeks Indeks År efter Primo

61 Den lineære funktion: Oversigt og regler Parametre: a (hældningskoefficent) og b (begyndelsesværdi) Forskrift: f(x) = a*x +b Graf: ret linje i alm. retvinklet koordinatsystem (på millimeterpapir) Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier: Eksempel: a = 2 og b = 3 x y Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "større" [+a] Lineær funktion Forskrift f(x) = ax + b DM R VM R Koordinatsystem Millimeterpapir Aflæs b f(0) "Aflæs a" f(1) - f(0) Beregn a (eller {k}) y 2 y1 x 2 x1 Indtastning i TI 30 (y2-y1) / (x2-x1) = Beregn b y1 ax1 Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") y1 - [gul] [(-)] * x1= Se også: (Grundbegreber) 151

62

63 Eksponentielle funktioner

64

65 Logaritmisk skala I koordinatsystemer har vi akser. I det sædvanlige retvinklede koordinatsystem er akserne indrettet således, at hver gang vi bevæger os fx 1 cm længere ud vokser x- eller y-værdien med en bestemt værdi: 1, 5, 13 eller en anden fast værdi uafhængig af udgangspunktet. En sådan skala kaldes også en lineær skala. (På engelsk: metric scale) Skriv de manglende tal på aksen forudsat at skalaen er lineær Hvis vi går over til en logaritmisk skala vokser x- eller mere typisk y-værdien med en bestemt faktor! Det betyder, at vi skal gange med et bestemt tal, hvis vi bevæger os et bestemt stykke - fx. 2 cm på aksen. Eksempel på logaritmisk skala Fra 1 til 3 er der ganget med 3. Fra 3 til 9 er der ganget med 3. Afstandene (fra 1 til 3 og fra 3 til 9) er de samme på aksen. Var afstandene større, skulle vi gange med et større tal, var de mindre, skulle vi gange med et tal mellem 1 og 3. Skriv de manglende tal på aksen ovenover Skriv de manglende tal på aksen, idet skalaen her er logaritmisk Hvad skal der ganges med, når vi hopper to punkter i pilens retning? 155

66 1 Enkeltlogaritmisk papir På enkeltlogaritmisk papir indrettes x-aksen med en sædvanlig skala; værdierne kan være både positive og negative. På y-aksen anvendes kun positive værdier og alle tal skal svare til de fortrykte tal. Bemærk, at nederst er y-værdien angivet til 1, en tredjedel oppe findes 10, og endnu højere oppe findes igen 10 2 gange. Disse tal skal rettes afhængig af, hvilke y-værdier der passer med dit datamateriale, men altid på en måde, så disse tal ændres til 10 i en eller anden potens: Eksempler: 1, 10, 100, 1000, osv. eller 0.1, 0.01, Er et af tallene rettet skal de øvrige rettes tilsvarende: hver gang du går en tredjedel op, skal tallet være 10 gange større, hver gang du går en tredjedel ned, skal tallet være 10 gange mindre. På denne side er der en gengivelse af et enkeltlgaritmisk papir; dog vises kun ca. ¼ af den normale bredde. Og i modsætning til det enkeltlogaritmiske papir, der normalt benyttes i skolen, har dette kun 2 dekader I margenen er der 21 fortrykte tal: 1, 2, 3,... 9, 1. Det første (nederste tal) skal her være 1. 5 Overskriv dem alle TYDELIGT med den korrekte værdi også hvor den ikke ændres. 4 Mål hvor mange millimeter der er mellem 3 og 6. Kald tallet m. 3 Skriv værdien af m her: Udfyld tabellen herunder; for hver af xværdierne måler du m mm højere op på yaksen og noterer det tal, du kommer til som y-værdi. 2 Beskriv med alm. ord det du ser i tabellen

67 x y Find med din almindelige lineal punktet midt i mellem 1 og 2 på den logaritmiske skala og aflæs værdien. Kan du også beregne det samme tal? Find derefter punktet midt mellem 5 og 30: Aflæs værdien og beregn det derefter. På hjemmesiden kan du se en logaritmisk skala med 6 dekader. Alle potenser af 10 er skrevet; de øvrige tal kan fås ved at bevæge en skyder. Undersøg hjemmesiden På hjemmesiden ses 2 logaritmiske skalaer der ligger mere eller mindre forskudt. Forklar, hvorfor de i startpositionen virker som en 30 tabel Forklar, hvorledes man kan bruge siden som en gangemaskine Indtil 1970'erne var regnestokken et almindeligt redskab for bl.a. ingeniører, der ofte skulle gange tal med hinanden før lommeregneren blev hver mands eje. I den simpleste udgave var den blå skala skrevet på en fast lineal og den røde skala var skrevet på en skyder, der kunne glide frem og tilbage inden i den første. Se fx

68 Eksempler på eksponentielle funktioner Eksempel: Et beløb indsættes i en bank Niels Ole sætter 10 kr. i Sparekassen; en gang årligt beregner Sparekassen renter og lægger beløbet til saldoen. Niels Ole glemmer alt om indskuddet, men finder bogen 16 år senere og kan så se, at hans formue i årene har ændret sig som tabellen viser: År Saldo , , , , ,40 Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, får vi figuren til venstre: Vi tegner en ret linje tæt ved alle punkterne og ser, at der er et mønster i afvigelserne fra den rette linje: en graf gennem alle punkterne ville være bueformet. Forbinder vi alle nabopunkter med rette linjestykker, ville disse blive stejlere og stejlere. Saldoens vækst 28,00 26,00 24,00 Kroner 22,00 20,00 18,00 16,00 14,00 12,00 10, Hvis væksten var lineær, blev der tilskrevet det samme beløb i renter År Saldoens vækst 100,00 Kroner hvert år. Men Niels Ole har også fået renter af renterne (dvs. renters rente ); hans saldo vokser med den samme procent hvert år (svarende til større og større kronebeløb). Tegnes de samme punkter ind i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, fås figuren til højre: Nu ses det, at punkterne ligger på en ret linje. 10, År

69 Hvis en kapital på 500 kr. forrentes med 10 %: hvor mange procent er næste års saldo af dette års saldo (idet derikke hæves noget beløb)? Hvad skal dette års saldo ganges med for at beregne næste års saldo? Om "at lægge renter til..." I tabellen herunder ses, hvorledes der er beregnet rente af kapitalen på 10 kr., og at denne rente herefter er lagt til kapitalen. Hvis man kun er interesseret i at vide, hvad kapitalen er i 1953, er det dog nemmere straks at beregne 106 % af de 10 kr. med fremskrivningsfaktoren (svarende til skalafaktor.) Denne kapital kan beregnes sådan: Ny kapital =gammel kapital * 1,06 eller med tallene fra tabellen: Ny kapital = 10 * 1,06 = 10,60 Den næste nye kapital (i 1954) fås fuldstændigt tilsvarende. År Kapital rente 1953 Procent Kr. 10, % Kr. 0,60 6% Kr. 10,60 106% Radioaktivitet Du eller bedre: en gruppe starter med at have 100 terninger. De simulerer (ligner / efterligner) det radioaktive materiale. Radiaktivt materiale henfalder dvs. den radioaktive stråling bliver mindre og mindre. For nogle materialer går det meget hurtigt og for andre meget meget langsomt. Men for alle typer er der tale om, at i løbet af en bestemt periode for hver materialetype henfalder en bestemt brøkdel af stoffet. Denne brøk er et gennemsnit; det faktiske henfald varierer tilfældigt. Ved denne simulation leger vi, at i tiden mellem 2 runder fjernes i gennemsnit 1/6 af radioaktiviteten. 159

70 Noter, at du / I har 100 terninger (eller hvor mange I nu har.) Slå med alle terningerne fjern 6-erne og tæl dem. Beregn de resterende. Noter resultaterne. Slå med de resterende terninger fjern 6-erne og tæl dem. Beregn de resterende. Noter resultaterne. Gentag sidste punkt, indtil alt materiale er henfaldet det vil sige, at alle terninger er fjernede. Indtegn talparrene (x-værdier er tidspunkterne 0, 1, 2, 3... og yværdierne er det tilsvarende antal resterende terninger) på enkeltlogaritmisk papir; find tendenslinjen. Hvis du benytter et program, der kan vise forskriften for tendenslinjen: kunne du så have gættet, at den ville se sådan ud (omtrent)? Øvelse Regneark De nedenstående opgaver løses med et regneark 18 Find graf og forskrift for funktionen, der beregner værdien af en formue x år efter det tidspunkt startformuen ( mio kr.) blev sat i banken. Hvert år tilskrives 7 % i rente. Hvor mange år går der før formuen er fordoblet? og hvor mange år går der, før formuen vokser fra kr. til det dobbelte? En vognmand køber en brugt lastbil for kr kr. Hvert år mister den 30 % af værdien. Find en tabel, en graf og en regneforskrift, der viser sammenhængen. I den forrige opgave om formuen på kr. blev der ikke taget hensyn til hverken skat eller inflation. Find igen værdien af formuen ( mio kr.) x år efter starttidspunktet, men tag nu hensyn til: at der hvert år betales 60 % i skat af rentetilskrivningen og at formuen er mindre værd, fordi priserne i gennemsnit stiger med 2 % om året (kaldet inflation.) Hvor lang tid går der nu, før formuen er fordoblet? 18 I Excel skrives: y = b*ekx =b*(ek)x = b*ax (Dvs., at: a = ek = 2,718282k) 160

71 Definition: En eksponentiel funktion En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften: f(x) = b ax; DM(f) = R ; a>0; b>0. Bemærkning Du skal lægge mærke til, at begge parametrene er positive. Det medfører blandt andet, at y-værdierne ALDRIG bliver 0 (nul) eller negative. Tegn grafer for eksponentielle funktioner Følg linket og lav øvelsen Kan du ved at tegne en række grafer (på enkeltlogaritmisk papir) med forskellige valg af a og b sige noget om a s og b s betydning? Lav enten a eller b om ikke begge på en gang. Tegn grafen gennem y-aksen (x=0). Skriv reglerne her: Grafen skærer y-aksen i (, ) a>1 1 a=1 0<a<1 Tegnet " " betyder"medfører". I eksemplet her vides, at a er større end 1; du skal skrive, hvad det medfører (hvad man i så tilfælde kan regne ud.) 1) Eksponentielle funktioners parametre Hvis f er en eksponentiel funktion, hvor f(x) = b ax, er: f(0) = b f(1) = b*a f(1)/f(0) = (b*a)/b = a Bevis ovenstående sætninger 161

72 Fordoblingskonstant Tag en af dine grafer, hvor a>1. Vælg et tal på y-aksen (y1) blandt de mindste fra VM(f), som er nemt at finde præcist. Marker det. Beregn et nyt tal (y2), som er dobbelt så stort. Marker det. Find de tilsvarende x-værdier (x1) og (x2). Beregn T2 = x2 - x1 T2 kaldes fordoblingskonstanten. Kontroller, at vælger du to andre y-værdier (hvor den anden stadig er dobblet så stor som den første), vil du få (næsten) samme værdi af T2. Undersøg også fordoblingskonstanten på p4.mimimi.dk/c/t_2.html Beregn T2 med formlen: T2 = log(2)/log(a) Definer T½ (halveringskonstanten) for en aftagende (eksponentiel) funktion på tilsvarende måde. Find a og b? Lad f(x) = 3*1,5x. Beregn f(0) og f(1) og f(2). Tegn grafen med god afstand mellem de tre tal på x-aksen. Hvis du ikke kendte forskriften, men kun støttepunkter og tegning ville du så kunne finde regneforskriften for f? Nemt? Eksponentielle funktioners parametre Hvis grafen går gennem punkterne P(x1;y1) og Q(x2;y2), kan parametrene beregnes med formlerne: a= b= ( x 2 x1 ) y2 y1 y1 a x1 162

73 Bevis Da grafen går gennem P, må y1 = b ax 1 b = y1/ax 1 hvilket viser den sidste påstand. Tilsvarende fås på samme måde da grafen går gennem Q - at b = y2/ax 2 Heraf ses, at: y1/ax = y2/ax 1 2 ax /ax = y2/ y1 2 ax 2 Benyt potensregneregler på venstre side 1 - x1 a= = y2/ y1 ( x 2 x1 ) y2 y1 Bemærkning: Kendes grafen kan man ved aflæsning af f(0) og f(1) og en simpel beregning nemt finde parametrene. Unøjagtigheden ved beregningen af a kan dog være ret stor. Tegn grafer for eksponentielle funktion Tegn grafer på enkeltlogaritmisk papir for de eksponentielle funktioner med nedenstående parametre. Benyt støttepunkter med x-værdierne 0 og 1. a = 1,3; b = 20; a = 0,8; b = 15; a = 1,04; b = 3; a = 0,98; b = 300; a = 1,01; b = 137; Kontroller efter at have tegnet grafen, om støttepunktet med x-værdien 10 ligger på grafen. 163

74 Find forskriften Find forskriften for en række eksponentielle funktioner, hvor du kender 2 støttepunkter. Benyt formlerne baseret på punkternes koordinater. For hver funktion kontrolleres, om det beregnede b svarer til grafens skæring med y-aksen og om f(1)=ab; endelig beregnes f(10) eller en tilsvarende y-værdi som sammenlignes med den aflæste værdi for f(10): f(x): (3; 2) og (8; 6) g(x): (-4; 2) og (8; 6) h(x): (3; 6) og (8; 2) k(x): (3; 2) og (8; 2) m(x): (-5; 2) og (-10; 6) n(x): n(9) = 2 og n(6) = 4 Bemærkning om eksponentiel vækst Til højre er der tegnet grafen for en eksponentiel funktion f (som en ret linje på det enkeltlogaritmiske papir.) Der er også tegnet to (ens) retvinklede trekanter; den vandrette katete har længden 1, den lodrette (blå s) fortæller, hvad vi ganger f(0) med for at beregne f(1): Mål den blå katete i mm Mål ligeså mange mm op fra 1 på yaksen Hvilket tal aflæses der på y-aksen? Hvilken parameter er det? Skriv funktionsforskriften for f Lav kontrol med et sildeben hvor x= 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvis f(x) = 120, hvad er så f(x+1)? f(x+2)? f(x+7)?

75 Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler Parametre: a (vækstfaktor) og b (begyndelsesværdi) Forskrift: f(x) = b*ax Graf: ret linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier: Eksempel: a = 2 og b = 3 x y Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "gange større" [*a] eller p % større. Eksponentiel funktion Forskrift f(x) = b*ax DM R VM R+ Koordinatsystem Enkeltlogaritmisk papir Aflæs b f(0) "Aflæs a" f(1) /f(0) Beregn a x 2 x1 Indtastning i TI 30 Beregn b Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") y2 y1 (x2-x1)[gul]^(y2/y1)= y1 a x1 y1/[gul] [(-)] ^x 1= 165

76

77 Rentesregning