Majorations du type supu inf u c pour l équation de la courbure scalaire prescrite sur un ouvert de R n, n 3

J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 www.elsever.com/locate/matpur Majoratons du type supu nf u c pour l équaton de la courbure scalare prescrte sur un ouvert de R n, n 3 Samy Skander Bahoura 175, rue du Chevaleret, 75013 Pars, France Reçu le 10 octobre 003 Dsponble sur Internet le 4 août 004 Résumé Sur un ouvert Ω de R n, nous démontrons des estmatons du type sup K u nf Ω u sur tout compact K Ω pour l équaton de la courbure scalare prescrte. Nous étudons le cas où l exposant sous-crtque tend vers le crtque. Concernant l exposant crtque, en dmenson 3 et 4, nous démontrons le contrôle des maxma des solutons par leurs mnma. Nous étudons auss l nfluence d une perturbaton non-lnéare de l équaton sur les solutons. 004 Elsever SAS. Tous drots réservés. Abstract On an open subset Ω of R n, we prove some estmatons of the type sup K u nf Ω u on any compact subset K of Ω for the prescrbed scalar curvature equaton. We study the case when the sub-crtcal exponent tends to the crtcal exponent. In dmenson 3 and 4, for the crtcal case, we controle the maxma of solutons by ther mnma. We also study the nfluence of a nonlnear perturbaton of the equaton on the solutons. 004 Elsever SAS. Tous drots réservés. Mots-clés : Équaton de la courbure scalare ; Cas crtque ; Perturbaton non-lnéare 1. Introducton Un des problèmes auquels nous nous ntéressons est le suvant : Problème 1. Étant donnée sur un ouvert Ω de R n l équaton suvante : u = Vu q 1 et u>0 dansω, E 1 ) Adresse e-mal : bahoura@math.jusseu.fr S.S. Bahoura). 001-784/$ see front matter 004 Elsever SAS. Tous drots réservés. do:10.1016/j.matpur.004.03.003

1110 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 où <q N = n/n ) et V est une foncton qu vérfe, pour tros réels postfs a,b,a, les condtons suvantes : 0 <a Vx) b, x Ω et Vx) Vy) A x y x,y Ω. On se pose la queston de savor s, pour chaque compact K de Ω, l exste une constante c>0, ne dépendant que de a,b,a,k,ω, telle que pour toute foncton u, soluton de E 1 ), on at : sup K u nf u c. ) Ω L opérateur est défnt par : = n sur R n. Lorsque q = N dans l Éq. E 1 ), quelques résultats sont connus : Le problème a été évoqué sur la sphère par T. Aubn ] lorsque V = cte, en lason avec le problème de Yamabé sup nf est alors fxe. En effet, consdérons sur la sphère S n 1), n 3, l équaton suvante : 4 n 1 n φ + nn 1)φ = nn 1)φn+)/n ). D après T. Aubn ], l exste β>1etp S n tel que S φ 1, on a alors : donc, max S n φ = φp) = β ] 1 n )/4 φq) = φ β,p Q) = β cosdp,q)]]. β + 1 β 1 ) n )/4 et mn φ = φ P)= S n maxφ mnφ = 1. S n S n ) β 1 n )/4 β + 1 Le résultat sur S n est d une grande smplcté. On peut se demander s dans un cadre plus général, une négalté telle que ) a leu. C est l objetdu Problème 1. En dmenson, le même problème se pose pour l équaton u + = e u sur S,ona: maxφ + mn φ = 0. S S Le résultat concernant la borntude de max K u + mn Ω u,oùk est un compact de Ω R pour l équaton u = V e u, a été démontré par Brézs, L et Shafrr 3]. R. Schoen a traté de ce problème en mprosant des condtons supplémentares sur V sans en donner de démonstraton pour n = 3, 4.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1111 Yanyan L 9] a ms en évdence des condtons suffsantes de régularté fortes sur V au mons C n et le gradant contrôle les dérvées successves) pour résoudre le problème sur la sphére S n. Il utlse par alleurs, les notons de blow-ups solés et solés smples. Cet artcle consste à obtenr des résultats comparables avec des hypothèses nettement plus fables. Quoqu l en sot, pour n 3, des hypothèses supplémentares dovent être données comme le montre ce contre-exemple de C.-C. Chen et C.-S. Ln 6]. Ces derners, consdèrent, sur la sphére S n 1) de rayon 1 de courbure scalare R 0 = nn 1), l équaton suvante : v + nn ) v = Rv N 1. 4 La foncton ux) = /1 + x )) n )/ vπ 1 x)) où π est la projecton stérographque, vérfe sur R n : u = Kx)u N 1, 1 ) ux) = O x n). ) Pour avor une foncton radale sur R n les auteurs prennent Kx) de la forme, Ry 1,...,y n+1 ) = Ry n+1 ),oùlesy sont les coordonnées de y = π 1 x) dans R n+1 S n R n+1 ). En effet, pour obtenr une foncton radale sur R n à partr d une foncton défne sur la sphère, l sufft de prendre la foncton de départ R, ne dépendant que d une coordonnée. De plus, la foncton K est chose vérfant les hypothèses suvantes : Kx)= nn ) + εk 0 x) avec K C 1 et ε>0, ) 1 K 0 r) < 0 pour 0 <r<1 et K 0r) = K 0 pour r 1 r = x ). r Pour r assez pett, K 0 r) = K 0 0) Ar l + Hr) avec Hr) r l + H r) r 1 l 0 quand r 0etl est un réel de ]1,n )/. Dans, leur théorème, les auteurs démontrent l exstence d une sute de fonctons u j dont les énerges u L N ) tendent vers l nfn. Comme par transformaton conforme l énerge se conserve, on peut affrmer, qu ls exhbent une sute de fonctons, sur la sphére, dont les énerges tendent vers l nfn. Fnalement, grâce à la formule de repésentaton de Green, sup u j nf u j +. Leur théorème est le suvant le ) sufft à prouver la nécessté d hypothèses pour établr une négalté du type )) : Théorème. Sot K ε x) = nn ) + εk 0 x ), K 0 vérfant les hypothèses précédentes, avec 1 <l<n )/. Alors,lexsteε 0 > 0 tel que pour tout 0 <ε<ε 0, l exste une

111 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 nfnté de solutons u ε j x ) de 1), ) avec K = K ε vérfant, u ε j r) = uε j 1/r)r n pour 0 <r 1.Deplus: ) Pour 0 <ε ε 0, la sute u ε j 0) est strctement crossante en j et on a : lm j + R n ) u ε n/n ) j dx =+. ) Pour j N, u ε j+1 r)rn )/ a un maxmum local en r = 1, j autres maxma locaux et j mnma locaux dans ]0, 1. D autre part, pour toute sute ε 0, u ε j+1 converge vers U 0 r) = 1/1 + r ) n )/ dans C loc Rn {0}) et on obtent : lm + R n u ε ) n/n ) ] n/s n/ j+1 dx = j + 1) nn ) n, S n étant la melleure constante de Sobolev. Vor T. Aubn ]). ) Pour j N, u ε j r)rn )/ a un mnmum local en r = 1, j maxma locaux et j 1 mnma locaux dans ]0, 1. D autre part, pour toute sute ε 0, u ε j converge vers U 0 r) = 1/1 + r ) n )/ dans Cloc Rn {0}) et l vent : lm + R n u ε ) n/n ) ] n )/S n/ j dx = j) nn ) n. Des problèmes smlares ont été étudés par C.-C. Chen et C.-S. Ln 7] dans le cas d ouverts Ω de R n, avec les hypothèses de Y.-Y. L. Ils consdèrent une perturbaton de l équaton par une foncton g C 1 Ω) strctement postve et vérfant une condton asymptotque à l nfn. L équaton étudée est alors : u = Vu N 1 + gu) sur Ω. Concernant l équaton avec la perturbaton non lnéare g, nous avons le problème suvant : Problème. Sur un ouvert Ω de R n, on consdère l équaton : u = Vu N 1 + Wu α et u>0, E ) avec n/n ) α<n 1 = n + )/n ). V et W vérfent pour des réels postfs donnés a,b,c,d,a,b, 0 <a Vx) b et 0 <c Wx) d, V L A et W L B.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1113 On se pose la queston de savor s pour chaque compact K de Ω, l exste une constante c, ne dépendant que de α, a, b, c, d, A, B, K, Ω telle qu on at, pour toute soluton u de E ) : sup K u nf u c. ) Ω Les prncpales remarques qu on dot porter sur ces deux problèmes sont : Les solutons sont consdérées comme réguleres C,α ) et on cherche à partr de l équaton, sans avor de condtons aux bords n de condton de borntude unforme d énerges, à montrer des résultats de borntude au sens localement unforme L loc ). Le but est d estmer le maxmum des fonctons u sur chaque compact par rapport à leurs mnma. Dans le cas de la dmenson 4, on mposera une condton à la constante de Lpschtz A de V : tendre vers 0 et au mnmum des solutons de ne pas tendre vers 0 pour pouvor avor des estmatons L loc de ces solutons. On verra que pour n 4 en supposant nos fonctons radales, nous pouvons mposer sur V des condtons de telle sorte qu on at une bonne estmaton L loc ). Théorème 1. Consdérons deux sutes {u ε }, {V ε } de fonctons relatves au problème concernant E 1 ) avec q ε = N ε N, alorsona: Pour tout compact K de Ω, l exste une constante c>0 ne dépendant que de a,b,a,k,ω telle que pour tout u ε : ε n )/ sup K u ε ) 1/4 nf Ω u ε c. Corollare 1. Consdérons deux sutes de fonctons {u ε } et {V ε } relatves au problème E 1 ), alors s on suppose, q = N ε avec ε 0 et V ε kε k > 0), l vent : Pour tout compact K de Ω, l exste une constante c>0 ne dépendant que de a,b,k,k,ω telle que sup K u ε ) 4/5 nf Ω u ε c. Remarque 1. Atknson et Peleter 1], Brezs et Peleter 4] et Z.-C. Han 8] se sont ntéréssés au cas d une sute de fonctons solutons de E ) dans la boule unté avec condtons de Drchlet, V 1etq = q = N ε. Ils démontrent la convergence d une telle sute vers une foncton partculère. Pour Atknson et Peleter une telle sute vérfe : ε u 0) 4n )]n )/ Ɣn) Ɣn/)]

1114 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 et pour x 0, u x) ε nn )/4 n ) n/4 ) Ɣn/4) 1 Ɣn) x n 1. Remarque. À propos du Corollare 1, l asé de construre un exemple de solutons de E 1 ) avec des fonctons V ε ) telles que V ε 0. Partons des fonctons ben connues : ) n )/ µε u ε r) = µ ε +, 0 r 1, r µ ε est un réel postf à chosr de telle manère que les hypothèses du Corollare 1 soent vérfées. u ε vérfe : avec u ε = nn )u N 1 ε = nn )u ε ε un 1 ε ε ) n )ε/ µε V ε r) = nn ) µ ε +. r = V ε u N 1 ε ε, Les fonctons V ε vérfent les hypothèses du Corollare 1 : En effet, 0 r 1 µ ε r + µ ε 1 + µ ε et on en dédut que : nn )µ n )ε/ ε 1 + µ ε )n )ε/ V εr) nn ). µ n )ε/ ε Il sufft de prendre µ ε tel que : µ s ε ε 1 quand ε 0, s >0. On peut par exemple prendre µ ε 1. Ans la premére hypothèse du Corollare 1 pour les fonctons V ε est ben vérfée. Le calcul de la dérvée de V ε donne : V ε r) µ n )ε/ ε nn ) rε µ ε µ n )ε ε nn ) 1 µ n )ε/ ε ε µ ε. En prenant, µ ε 1 par exemple on dédut que V ε r) kε, aveck une constante postve. Théorème. Consdérons deux sutes de fonctons {u }, {V } relatves à l Éq. E 1 ) : S n = 3 et q = 5, alors pour tout compact K de Ω l exste une constante c>0 ne dépendant que de a,b,a,k,ω telle que sup K u ) 1/3 nf Ω u c.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1115 S n = 4, q = 3 et la constante de Lpschtz A, relatve à V tend vers A 0,alors: En supposant que mn Ω u lm nf + A 8e 3a a, on obtent : Pour tout compact K de Ω, l exste une constante c>0 ne dépendant que de a,b,a ) N,K,Ω, telle que sup K u ) nf Ω u c. Corollare. S u ) et V ), sont deux sutes de fonctons relatves à l Éq. E 1 ), sur un ouvert Ω de R 4,alorsona: S la constante de Lpschtz A relatve à V tend vers 0 et s mn Ω u m>0 pour tout,ona: Pour tout compact K de Ω, l exste une constante c>0 ne dépendant que de a,b,a ) N,m,K, telle que sup u c. K Sur la boule unté de R n s on consdére des condtons supplémentares sur {u } et {V } àsavor: u et V sont radales et V r) V r ) A r n )/]+ε r n )/]+ε 0 r, r 1, ε>0. On obtent le : Théorème 3. Sous les condtons précédentes, on a : u 0) ] ε/n )+ε] u 1) c, où c>0 est une constante qu ne dépend que de a,b,a,ε. Remarque. On peut exhber des fonctons u et V vérfant les hypothèses du Théorème 3 sans que les V soent trvaux V 0). En dmenson 4, on peut prendre : ur) = 1 r, u r) = r et u r) =, 0 r 1, u = Vu 3, avec V = 8 1 r ) 3,

1116 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 et on a Vr) Vr ) = 8 1 r ) 3 1 r ) 3 1 r ) 1 r )] 3. S r 1/ etr 1/, alors Vr) Vr ) 8 3 163 9 3 r r. On vot alors que ε = 1. S on veut défnr deux sutes de fonctons u et V vérfant les condtons relatves au Théorème 3, l sufft de modfer u. Par exemple on prend u r) = 1 + α r en dmenson 4, avec α ) bornée, la sute V ) assocée à u ) sera défne comme dans l exemple précédent. Concernant le deuxème problème, nous avons le résultat suvant : Théorème 4. On consdère tros sutes de fonctons {u }, {V } et {W } solutons de E ), alors on a : Pour tout compact K de Ω, l exste une constante c > 0, ne dépendant que de α, a, b, c, d, A, B, K, Ω telle qu on at : sup u nf u c. K Ω Concernant le deuxeme problème et le théorème qu lu est assocé, on peut, en mposant d autres condtons sur la constante B relatve à la foncton W, avor le même résultat avec l exposant n/n ). Ce derner problème est ntermédare entre le cas sous-crtque et le cas crtque, pusqu on a deux termes : l un est crtque et l autre sous-crtque.. Démonstraton du Théorème 1 et du Corollare 1.1. q = N ε N Par soucs de compréhenson, nous allons détaller cette parte. On aura à utlser la technque «movng plane» qu utlse essentellement le prncpe du maxmum. On suppose, pour smplfer, que Ω = B 0), et on rasonne par l absurde, en essayant de démontrer qu l exste pour un certan β ]0, 1/3, une constante c ne dépendant que de a,b,a,β et un réel R ]0, 1 tels que pour tout u ε > 0, soluton de E 1 ),avecv = V ε, vérfe : ε /n ) ε/] 1 ) β sup u ε nf u c ε B R 0) B 1 0) R 4/N ε ) ε>0. Le fat de prendre l nf sur la boule unté dans la boule de rayon est lé aux calculs qu vont suvre, car nous serons oblgés d effectuer des translatons et l nous faut une certane marge de sécurté.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1117 On a remplacé l exposant 1/4 dusupparβ ; on verra que le résultat de cette deuxème parte du théorème est valable pour tout 0 <β<1/3. Supposons donc que pour tout c>0etr ]0, 1,lexsteV ε et u ε vérfant : ε /n ) ε/] 1 ) β sup u ε nf u c ε B R 0) B 1 0) R 4/N ε ) et u ε = V ε u N ε 1 ε. On chosra : R = R 0etc = c +. Notre hypothèse est : l exste deux sutes {u ε } et {V ε } notées, pour smplfer l écrture, {u } et {V } telles que pour tout N : ε /n ) ε /] 1 u = V u N ε 1, sup B R 0) u ) β nf B 1 0) u c R 4/N ε ) D une manère évdente on suppose sup u > 1etε 0), ) 4/3 ) β ) sup u sup u nf u ε /n ) ε ] 1 β B R 0) B R B 0) 1 0) sup u nf u, B R B 0) 1 0). donc : En partculer, ) 1+β c sup u B R 0) R 4/N ε +. ) ) sup u R /N ε ) c +. B R 0) Consdérons alors : s x) = u x) R x x ) /N ε ) avec u x ) = max u. B R 0) Sot a tel que s a ) = max s = u a ) R a x ) /N ε ). B R x ) Nous avons : Posons : s a ) s x ) = u x )R /N ε ) c avec c +. ) l = R a x ) et L = l 4 c ua ) ] N ε )/

1118 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 et remarquons que d après ),ona: 0 <l R 0 u a ) +, L +. Posons, lorsque y L, v y) = 1 u a ) u { y u a ) +ε N)/ ] } + a et vérfons que s, y L,alorsx = yu a ) +ε N)/ ]+a B R x ). Grâce à l négalté trangulare : R x x =R a x + u a ) ] +ε N)/ y R a x u a ) ] +ε N)/ y et donc : R x x l l 1 4 c = l 1 1 4 c ) > 0, ) x x R l 1 1 4 c ) <R, v est ans ben défne et vérfe pour tout N, D autre part : v = V { a + y u a ) N+ε +)/ ]} v N ε 1, et v 0) = 1. v y) = s x) s a ) R a x ) /N ε ) R x x ) /N ε ) D où, pour tout N et y L : l R x x ) /N ε ). 0 <v y) 1 4 1 ) /N ε ). ) c Comme dans l étape de la démonstraton du Théorème 1, grâce aux théorèmes de Ladyzhenskaya et Ascol, de la sute de fonctons v on peut extrare une sous-sute qu converge unformément vers une foncton v 0 vérfant : v = V0)v N 1, v0) = 1, 0 <a V0) b<+.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1119 En fasant un changement d échelle on peut se ramener au cas : V0) = nn ). Les solutons postves de : v = nn )v N 1,surR n sont les fonctons vor le résultat de Caffarell, Gdas et Spruck 5]) : d où, enfn vy) = D après ) et comme c +, µ µ + y x 0 ) n )/ avec µ R + et x 0 R n. vy) 1 pour tout y R n, v0) = max R n v = 1 et v0) = 0 x 0 = 0, v0) = 1 µ = 1. Remarquons auss que : u a ) ] β = s a ) ] β s x ) ] β = u x )R /N ε ] 1) β. l β/n ε 1) D où, d après notre hypothèse, l β/n ε 1) u a ) ] β nf u B 1 0) c β R 4 β)/n ε 1) Rappelons que, u x ) = max Br 0) u. Comme l,r 0et0<β<1/3, on a : u a ) ] β nf u +. B 1 0).. Concluson de l Étape 1 v y) = v ε y) = u ε a ε + yu ε a ε )] ε/ /n ) ], avec a ε = a u ε a ε ). vérfe : ) v ε = V ε v N ε 1 n )/ 1 ε et v ε 1 + y. Cette convergence étant unforme sur tout compact de R n : u a ) ] β nf u + B 1 0) avec β<1/3eta 0.

110 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150.3. Étape. Passage en coordonnées polares et utlsaton de la méthode «movng plane» Lemme. On pose pour t ], 0], θ S n 1 : w t, θ) = e n )t/ u a + e t θ) et V t, θ) = V ε a + e t θ). Et on consdère l opérateur suvant : n ) L = tt σ, sur ], 0] S n 1, 4 où σ est l opérateur de Baltram Laplace sur la sphére S n 1,alors: Démonstraton. donc : tt w = t w = Par défnton de σ, d où : Lw = e n )ε t]/ V w N ε 1, pour tout. n ) e n )t/ u a + e t θ)+ e nt/ r u a + e t θ), ] n ) w + e n+)t/ rr u a + e t n 1) θ)+ 4 e t r u a + e t θ). σ w = e n )t/ σ u a + e t θ)= e n )t/ σ u a + e t θ), tt w σ w = n ) w + e n+)t/ rr u a + e t θ) 4 + n 1) e t r u )a + e t θ) 1 e t σ u a + e t θ) En remplacant e t par r>0, sachant que l expresson du laplacen en coordonnées polares est : en conséquence : = rr + Lw = tt w σ w n 1) r 1 r r σ, ]. ] n ) w = V e n )εt/ w N ε 1. 4

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 111.4. Étape.. Quelques proprétés concernant les fonctons w Posons η = 1/u a ) N ε )/,alors: Lemme. On a : log η = N ε 1) w log η,θ) w log η + 4,θ)>0, 0, ) δ 0, cδ) > 0, 0 = δ) N, tels que : log u a ) = n ε ) log u a ). 1 cδ) en )t/ u a ) n )ε /4 w t + log η,θ) pour tout θ S n 1, 0 et t δ. cδ)e n )t/ u a ) n )ε /4, Démonstraton. 1) En utlsant la défnton de v, donnée dans la concluson de l étape 1, nous pouvons écrre : w t + log η,θ)= e n )t/ u a + e t θη )η n )/ = e n )t/ u a ) ] n )ε /4 v e t θ). Toujours d après l étape 1 : Pour tout β>0, z t, θ) = e n )t/ v e t θ) converge unformément sur ], log β] S n 1 vers la foncton, zt) = e n )t/ e t ) n )/ 1 + e t ) n )/ = 1 + e t. S on prend log β = 4 et donc, t 4: Pour tout ε>0 l exste un enter 0 tel que 0 entrane pour t 4 z t, θ) zt) < ε. En conséquence : z 0,θ) z 4,θ)= z 0,θ) z0) ] z 4,θ) z4) ] + z0) z4) ε + z0) z4). Sachant que w est obtenue en multplant z par u a )] n )ε /4, comme zt) est maxmum en t = 0, pour 0 on prend ε<z0) z4)), on a : w log η,θ) w log η + 4,θ)>0.

11 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 ) Nous venons de vor qu en utlsant la convergence unforme des v, on obtent )..5. Étape.3. Utlsaton de la méthode «movng plane» On pose, lorsque λ t : Lemme 1. Sot A λ la proprété suvante : alors : t λ = λ t et w λ t, θ) = w λ t,θ). A λ = { λ 0, t λ,θ λ ) λ,1/] S n 1,w λ t λ,θ λ ) w t λ,θ λ ) 0 }, Lemme. Pour λ 0,ona: ν 0, tel que pour λ ν, la proprété A λ n est pas vrae. w λ w < 0 L w λ w ) < 0, sur ]λ,t ] S n 1 où t = β log η + log n )a A, 0 <β<1/3. 3) Un pont utle : ξ = sup { λ λ = + log η,w λ w < 0, sur ]λ,t ] S n 1 } exste avec t = β log η + log n )a A et 0 <β<1/3. Remarques. Dans le Lemme 1, l ne faut pas confondre t λ et t λ, le premer désgne le symétrsé de t alors que le second désgne un pont partculer pour lequel avec θ λ ), une proprété donnée est vérfée. Le Lemme 1 établt qu l exste un rang ν pett, tel que pour λ ν, onat: pour tout t, θ) ]λ,1/] S n 1 w λ t, θ) w t, θ) < 0. Sur les ensembles consdérés, le Lemme permettera d utlser le prncpe du maxmum. On trouve des fonctons h verfant : h 0 et Lh 0 avecl = tt σ n ) 4 oú σ est le laplacen sur la sphére S n 1. Localement L s écrt : j a j j + j b j j n ) /4 et un opérateur de ce type vérfe le prncpe du maxmum de Hopf.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 113 On chosra des domanes partculers, pour pouvor utlser le Lemme 1 convenablement. On vot auss que le Lemme est lé au Lemme 1 : pour λ ν, la dfférence w λ w est négatve. On verra l utlté du pont 3) après les démonstratons des Lemmes 1 et. Démonstraton du Lemme 1. D abord, on fxe l enter, on cherche le sgne de t w et D où, t w t, θ) = n ) e n )t/ u a + e t θ)+ e n/)t r u a + e t θ). ] n t w = e n )t/ u a + e t θ)+ e t r u. La foncton u est C 1, postve et sous-harmonque; on en dédut qu l exste A tel que r u A. D autre part, le prncpe du maxmum ndque que u attent son mnmum sur le bord et ans, Fnalement, n u a + e t θ) n mn u B e a n mn ) u = β > 0. B 0) t w e n )t/ β e t A ). Pour t<logβ /A ), β e t A > 0. Ans w est strctement crossante sur ], logβ /A )] unformément en θ S n 1. Supposons que Lemme 1 ne sot pas vra : Il exste une famlle de {λ k } telle que λ k, des réels t k ]λ k, 1/], θ k S n 1 tels que w λ k t k,θ k ) w t k,θ k ) 0. ) On va vor que pour λ k prs dans la famlle pour laquelle ) est vérfée, t k logβ /A ), 1/]. Supposons au contrare que t k < logβ /A ). Lorsque λ k est vosn de, nous avons λ k < logβ /A ). D autre part, sachant qu on a toujours t λ k <t, en prenant t = t k dans ]λ k, logβ /A ) et en utlsant la crossance de w on obtent l négalté suvante : w λ k t k,θ) w t k,θ)<0 pour tout θ S n 1. En partculer pour θ = θ k l négalté obtenue, contredt ).

114 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Ans, pour tout λ k 0, prs dans la famlle pour laquelle ) est vérfée : 1/ t k log β A. En partculer logβ /A ) log η + 4, car w log η,θ) w log η + 4,θ)>0.) Par compacté on obtent : Or, λ k, t k t 0 log β, 1 ] A en fasant tendre λ k vers, on obtent : 0 w λ k t k,θ k ) w t k,θ k ), u a + e t 0 θ 0 ) 0, et θ k θ 0 S n 1. or cec est mpossble car u > 0. Ans, on a démontré que pour λ pett, vosn de, w λt, θ) w t, θ) < 0, pour t, θ) ]λ,1/] S n 1. Démonstraton du Lemme. On commence par démontrer que n )aε t V termes postfs) Ae ]. t ) En effet, comme V = V t, θ) = e n )ε t]/ V ε a + e t θ),ona: D où, t V = n )ε e n )εt]/ V ε a + e t θ) + e n )εt]/ e t V ε a + e t θ) θ. n t V e n )εt]/ )aε Ae ], t où A est un majorant de la norme nfne du gradent de V. Ans, n )a t log ε + log A t V 0. Or, d après notre hypothèse de départ :

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 115 ε /n ) ε /] 1 uε a ε ) ] β c ε l ε R ε ) log ε n ε 1, n )/ ) β log u ε a ε ) ] = β log η ε, avec η ε =u ε a ε )] ε / /n ) a ε = a est le pont défn dans l étape 1). On vot alors que log ε + log n )a A β log η ε + log n )a A = t ε = t. Cec nous permet d avor la crossance en t de la foncton e n )ε t/ V sur l ntervalle ],t ]. On démontre mantenant le Lemme. Supposons que pour un λ 0onat: en notant w λ t, θ) w t, θ) < 0, t, θ) ]λ,t ] S n 1 ; Ṽ t, θ) = e n )ε t/ V t, θ), Ṽ λ t, θ) = Ṽ t λ,θ)= Ṽ λ t,θ), on peut écrre : L w λ w ) = Ṽ λ ) ) Ṽ w λ N ε 1 ) + Ṽ w λ N ε 1 w N ε 1]. On a vu que sur l ntervalle λ,t ], la foncton t Ṽ t, θ) = e n )ε t/ V t, θ) est unformément crossante et comme t λ,t ], t λ t = λ t t = λ t) 0, on en dédut que Ṽ λ Ṽ sur λ,t ] S n 1. D autre part, l exste un rang 1 à partr duquel N ε 1 > 1 > 0, pusque ε 0. Ans la foncton t t N ε 1 est crossante et on a fnalement : w λ <w w λ ) N ε 1 <w N ε 1. Le Lemme est ans démontré. Vérfcaton du pont 3) : D après le lemme de l étape. : w log η,θ) w log η + 4,θ)>0. On pose l = log η + 4et λ = + log η,alors: λ l = log η + ) log η 4 = log η.

116 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Comme λ <l <t, on obtent : et fnalement ξ exste ben. w λ l,θ) w l,θ)>0.6. Étape 3. Utlsaton du prncpe du maxmum pour la concluson Montrons que les fonctons w ξ w vérfent les proprétés suvantes : 1) sur ]ξ,t ] S n 1, w ξ w 0, ) sur ]ξ,t ] S n 1, Lw ξ w ) 0. Pour le pont 1), on utlse la défnton de ξ : l exste une sute {µ,k } telle que l on at : a) µ,k <ξ pour tout enter k, b) w µ,k w < 0sur]µ,k,t ] S n 1, pour tout k, donc : w µ,k t,θ) w t, θ) < 0, pour t ]µ,k,t et tout θ S n 1. La foncton w est contnue et tout t ]ξ,t ] est dans des ntervalles ]µ,k,t ] d après a), en passant à la lmte en k on obtent 1). Pour le pont ), la démonstraton est dentque à celle du 1), les fonctons w sont C, l sufft d écrre w µ,k w = w µ,k, ) w, ). Lemme. Les fonctons w ξ et w vérfent : max θ S n 1 w ξ t,θ) mn θ S n 1 w t,θ). Démonstraton. Supposons par l absurde que l on at : alors : max θ S n 1 w ξ t,θ)< mn θ S n 1 w t,θ); θ S n 1, w ξ t,θ)<w t,θ). 3) Notons : ht, θ) = w ξ t, θ) w t, θ) sur ξ,t ] S n 1. En utlsant les proprétés 1), ) et l Éq. 3), la foncton h vérfe :

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 117 ht, θ) 0 surξ,t ] S n 1 et ht,θ)<0, θ S n 1, Lh 0 surξ,t ] S n 1. Par le prncpe du maxmum de Hopf, on obtent que h attent son maxmum sur le bord ou ben elle est constante. S h n est pas constante, elle vérfe à l ntéreur du domane, h<maxh.làoùh attent son maxmum elle vérfe : ν h>0 ; ν est la normale extéreure. En ξ,θ), h est nulle et en t,θ) elle est strctement négatve, elle ne peut pas être constante. Donc : Comme ν = t, on obtent : ν w ξ h<0 sur]ξ,t ] S n 1 et ν hξ,θ)>0. w ) ξ,θ)= t w ξ t,θ) w t, θ) ] = t w ξ,θ)>0. En fxant, la défnton de ξ, comme borne supéreure d un certan ensemble précedemment défn, donne : Pour tout k>0, l exste µ k,σ k,θ k vérfant : ξ + 1/k > µ k >ξ,etµ k <σ k t, θ k S n 1 tels que w µ k σ k,θ k ) w σ k,θ k ) = w µ k σ k,θ k ) w σ k,θ k ) 0. 1er cas.sσ k σ 0 >ξ ou au mons une valeur d adhérence) : En passant à la lmte S n 1 est compacte et qutte à passer aux sous-sutes, θ k θ 0 ) et en utlsant la contnuté de w on obtent : w ξ σ 0,θ 0 ) w σ 0,θ 0 ) 0, w ξ σ 0,θ 0 ) w σ 0,θ 0 ) 0 ce qu contredt le résultat trouvé plus haut sur h. ème cas. Sσ k ξ : Comme en passant à la lmte, on obtent : w µ k σ k,θ k ) w σ k,θ k ) µ k σ k ) 0, w µ k σ k,θ k ) w σ k,θ k ) lm = t w ξ,θ 0 ) 0, k + µ k σ k ) ce qu contredt l négalté étable plus haut. Le lemme est démontré : α) mn Sn 1 w t,θ) max Sn 1 w ξ t,θ).

118 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 De plus, comme t, on obtent : β) w t,θ)= e n )t / u a +e t θ) e n )t / mn B u e n )t / mn B1/ 0) u,oùb est la boule de centre a 0 et de rayon e t < 1/. Sachant que et que w ξ t,θ)= e n )ξ t )/ u a + e ξ t θ ), ξ t = ξ t λ ) + λ et ξ λ t s = ξ t λ 0, nous pouvons écrre : w ξ t,θ)= w ξ t λ + λ,θ) = w s + + log η,θ) avec s 0. En utlsant une des proprétés des fonctons w, vues dans l étape, w ξ t,θ) ce n )ξ t λ +)/ u a ) n )ε /4, où c une constante postve ne dépendant pas de. Comme ξ λ,ona: γ ) w ξ t,θ) cu a ) n )ε /4 e n ) λ t )/. ans Ce qu peut s écrre, en combnant α) γ ) : Ou encore, e n )t / mn B 1/ 0) u cu a ) n )ε /4 e n ) λ t )/. e n ) λ +t )/ mn B 1/ 0) u cu a ) n )ε /4, u a ) 1 β)1 n )ε /) mn u c. B 1/ 0) On vot qu on s est ramené à une négalté du type u a )] δ mn u c, avecδ>0 car β<1/etε 0).

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 119 Pour avor la contradcton de l hypothèse de départ, l sufft que : 1 β) 1 n )ε / ) β pour tout. On prend β dans ]0, 1/3 et on obtent une contradcton..7. Étape 4. Démonstraton du Théorème 1 Sot x 0 Ω alors l exste un réel r = rω)> 0 tel que, B r x 0 ) Ω. Consdérons la sute de fonctons : alors : d après le résultat qu précède : ū x) = u x 0 + rx) r /N ε ), x B 1 0), ū = r u x 0 + rx)r /N ε ) c,r > 0, = V u N ε 1 r N ε 1)/N ε ) = V ū N ε 1, ) ε n )/ β c sup ū nf B R 0) B 1 0) ū R 4/N ε ) et fnalement : x 0 B 1 0), c x0,r x0 > 0, ε n )/ sup B Rx0 x 0 ) u ) β nf Ω u c x0. Sot K un compact de B 1 0), pour chaque x K, on consdére le R x comme précedemment. Alors, K x K B R x x). Comme K est compact, l exste m N tel que K m j=1 B Rxj x j ). Donc, ε n )/ sup K u ) β nf Ω u.8. Démonstraton du Corollare 1 m j=1 ε n )/ sup B Rxj x j ) cβ,a,b,a,k,ω). u ) β nf Ω u La démonstraton utlse les mêmes téchnques que celles mses en œuvre dans la démonstraton du Théorème 1. On suppose toujours que Ω = B 0) R n et on commence par établr des estmatons locales : c = ca,b,a) > 0, R >0, sup B R 0) u ε ) β nf B 1 0) u ε c R 4/N ε ).

1130 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Pour cela, on rasonne par l absurde, les étapes sont les mêmes que celles pour la démonstraton du Théorème 1, la dfférence est l absence de ε n )/ dans le membre de drote ; on verra qu on peut chosr l exposant du sup auss proche de 1 qu on le veut. On exhbe une sute de ponts a ε ) tendant vers 0 telle que uε a ε ) ] β nf B 1 0) u ε +. ) Nous souhaterons utlser le prncpe du maxmum. Pour cela, on regarde l accrossement des fonctons V. Comme on a posé, V t, θ) = e n )εt/ V ε a ε + e t θ), on obtent : t V t, θ) e n )ε t/ n )aε A e ], t où a est un mnorant de V et A est un majorant de la norme nfne du gradent des V la condton A kε k>0), va être utlsée), donc : ] t V t, θ) e n )ε t/ n )aε n )a kε e t e n )εt/ ε ke ]. t Ans on obtent la condton de crossance suvante pour V : Pour t log n )a k = t 0 t V t, θ) 0 pour tout θ S n 1, le t 0 ne dépend pas de. Soent w la foncton w t, θ) = e n )t/ u a + e t θ), ξ λ = + log η et η = 1/u ε a )] N ε )/. Comme dans la démonstraton du Théorème 1, en supposant que mn θ Sn 1 w ξ t 0,θ)>max θ Sn 1 w t 0,θ) et en utlsant le prncpe du maxmum de Hopf, on aboutt à une contradcton. Fnalement on obtent : mn w ξ t 0,θ) max w t 0,θ). θ S n 1 θ S n 1 En reprenant la conséquence du lemme de l étape 3 du Théorème 1, on obtent : w t 0,θ) e n )t 0/ mn B 1 0) u ε, w ξ t 0,θ) c u a ε ) ] n )ε /4 e n )logη t 0 )/. Donc : C est à dre : mn u ε c u a ε ) ] n )ε /4 1 B 1 0) u ε a )] 1 n )ε /4]. uε a ) ] 1 n )ε / mn B 1 0) u ε c; cec contredt ) car β<1 n )ε / pour 0 et u ε a ε )] +.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1131 3. Démonstraton du Théorème et du Corollare. 1er cas : n = 3, q= N = 6 La démonstraton est smlare à celle du Théorème 1. Elle utlse les technques «blowup» et «movng plane». 3.1. Étape 1. La technque blow-up Commençons par prouver la proprété suvante : R ]0, 1, c>0, sup B R 0) u ) 1/3 nf B 1 0) u c R. En supposant le contrare, on exhbe une sous-sute {u j } {u }, une sute de ponts de la boule unté a j ) et tros sutes de réels postfs R j ), c j ), l j ) telles que a j 0, c j +, R j 0 et l j 0, u j = V j u 5 j, uj a j ) ] 1/3 nf u j c j. B 1 0) R j Comme on rasonne par l absurde, on peut supposer que u = u j. D autre part, on a vu qu on peut construre à partr de u ), une sute v ) vérfant : v y) = u a + y/u a ) ] s y u a ) v = V v 5, v v = l 4 c u a ) ], 1 1 + y ) 1/, unformément sur B β0), β >0. 3.. Étape. Passage en polares et proprétés de certanes fonctons Sot L 0 et L les opérateurs : L 0 = tt + t σ et L = tt σ, σ l opérateur de Laplace Beltram sur S 1). En posant : h t,θ,φ)= u a + e t cos θ sn φ...,...,...), on obtent : Notons, w = e t/ h,onaalors: L 0 h = e t V h 5. Lw = 1 4 w + V w 5 avec w > 0.

113 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Consdérons l opérateur L = L 1/4, Lw = V a + e t θ)w 5. Établssons quelques proprétés des fonctons w : En posant η = 1/u a ) on obtent : a) La sute w t + log η,θ)= e t/ u a + e t θ/u a ) ) u a ) = e t/ v e t θ) converge vers la foncton symétrque w = e t /1 + e t )) 1/ ], log β] S 1), pour tout β>0. b) Pour 0,w log η,θ) w log η + 4,θ)>0 pour tout θ. c) S λ>0, w = w λe t vérfe : unformément sur w log η,θ) w 4 + log η,θ)>0 pour tout θ. d) On a : δ 0, cδ) > 0, 0 = δ) N, tels que pour 0 et tout θ S 1). t δ 1 cδ) et/ w t + log η,θ) cδ)e t/ Les négaltés b) et c) permetteront de precser le sup des réels pour lesquels la proprété relatve à un ensemble noté A λ qu on défnra plustard), est non vde. L négalté d) est trés mportante et sera utlsée vers la fn, pour aboutr à une contradcton. Démonstraton. b) w log η,θ) w log η + 4,θ)= w 0 + log η,θ) w0) ] w 4 + log η,θ) w4) ] + w0) w4) ]. La convergence unforme des w nous permet d avor pour tout ε>0, un rang 0 à partr duquel on a : De plus, w log η,θ) w log η + 4,θ) ε + w0) w4) ]. w0) ] w4) ] = 1 e4 1 + e 8 = 1 + e8 e 4 1 + e 8 = e4 1) 1 + e 8 > 0. En prenant ε<w0) w4))/, on obtent b).

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1133 c) Sot C = w log η,θ) w 4 + log η,θ), alors d après b), C = w log η,θ) w log η + 4,θ) λ e log η e logη +4 ) >λη e 4 1 ) > 0. d) Par défnton de w et d après les proprétés de u, w t + log η,θ) e t/ = u a + e t θ/u a )] ) 1 u a ), 1 + e t et la convergence est unforme en θ d après a), c est à dre : ε>0, 0 ε, δ) > 0, 0, ε w t + log η,θ) e t/ 1 ε, 1 + e t pour tout θ et t δ. Comme 1/ 1 + e δ 1/ 1 + e t 1, nous avons pour tout θ et t δ : ε + Le chox suvant de ε permet d avor d) : ε = 1 w t + log η,θ) 1 + e δ e t/ ε + 1. 1 1 + e δ et cδ) = 1 + ε. 3.3. Étape 3. Utlsaton de la téchnque «movng plane» Posons : où λ 0 0 est à chosr convenablement, w = w λ 0 e t t λ = λ t et w λ t, θ) = w λ t,θ), z,λ = w λ w avec λ 0. Quelques lemmes mportants à propos des fonctons w λ w. Lemme 1. Pour 0 <β<1, lexsteunλ 0 µ 0 tel que w t, θ) > 0 s t t = β log η pour tout θ et tout. Tros remarques. ) Il est clar que t = β log η > 4 + log η pour 0. ) Le chox de l ntervalle ],t ], nous permet de conserver la postvté de la foncton, car le chox d un λ 0 ne permet pas nécessarement de conserver la postvté de la foncton, s on prend 0 au leu de t.

1134 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 ) Le chox d un β ]0, 1 nous permet de conserver une certane marge de manœuvre pour la sute obtenr notre résultat en utlsant notre hypothèse de départ). On prendera, β = 1/3. Lemme. Sot A λ, la proprété suvante : A λ = { λ 0, t λ,θ λ ) ]λ,t ] S 1), w λ t λ,θ λ ) w t λ,θ λ ) 0 }. Alors, l exste ν 0, tel que pour λ ν, A λ n est pas vrae. Remarque. Ce lemme est fondamental car l précse le domane d exstence des réels λ tels que w λ w < 0, où le Lemme 3, c-dessous, peut être utlsé. Lemme 3. Sot, λ un réel quelconque nféreur à λ = + log η.alors: µ 0 > 0, tel que s λ 0 µ 0 et donc w λ w < 0 L w λ w ) < 0. Ne pas confondre λ qu donne le symétrque de la foncton et le λ 0 qu nous permet de construre la foncton w = w λ 0 e t. Une ntérprétaton du Lemme 3 : ce lemme mplque, qu l exste une valeur µ 0 dépendant que de A, telle que s on se donne n mporte quelle sute δ avec pour tout, δ λ,alors, 4) Un pont utle : w δ w < 0 L w δ w ) < 0. ξ = sup { λ λ = + log η, w λ w < 0, sur ]λ,t ] S 1) }, ξ exste toujours d après le Lemme. Démonstraton du Lemme 1. Écrvons : Alors : w t, θ) = e t/ u a + e t θ) λ 0 e t = e t { e t/ u a + e t θ) λ 0 }. w t, θ) > 0 e t/ u a + e t θ)>λ 0. Rappelons que t = β log η avec η = 1/u a )]. Nous avons : λ 0 e t t)/ e t / u a + e t θ).

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1135 Or pour t t on a, e t /) e t/) e t /) mn u e t/) u a + e t θ), donc : λ 0 u a ) β mn u e t/) u a + e t θ) pour t t. D après notre hypothèse de départ celle qu dot aboutr à une absurdté) en prenant β = 1/3, on a : u a ) β mn u +. Le réel λ 0 peut être chost convenablement, on le chosra de telle sorte qu on at : λ 0 1/)u a ) β mn u 1/)e t/) u a + e t θ) pour t t et en conséquence, u a ) β mn u λ 0 1/)u a ) β mn u. Par exemple, on peut prendre λ 0 = λ 0, = 1/)u a ) β mn u on a une dépendance en foncton de ). Pour alleger l écrture, on écrra λ 0 devant e t au leu de λ 0, dans l expresson de w. Démonstraton du Lemme. D abord, on fxe l enter et on cherche le sgne de t w, t w t, θ) = 1/)e t/ u a + e t θ) + e 3/)t θ 1 1 u a + e t θ)+ θ u a + e t θ) ] λ 0 e t, t w = e t{ 1/)e t/ u a + e t θ) λ 0 + e t/ θ 1 1 u + θ u )}, où θ 1,θ ) = θ un pont de la sphére S 1). Comme u est supposée C 1,lexsteA tel que, u A. D autre part, d après le chox de λ 0 vor la fn de la preuve du Lemme 1) : 1/)e t/ u a + e t θ) λ 0 β = 1 u a ) ] β mnu > 0 pour t t. En conséquence, pour t t on obtent t w e t β e t/ A ). Ans pour t<logβ /A ), β e t/ A 0), la foncton w est strctement crossante, unformément en θ S 1). Comme w log η,θ) w log η + 4,θ)>0, on obtent logβ /A ) log η + 4 <t. Supposons que Lemme ne sot pas vra : Il exste une famlle de {λ k }, telle que λ k, b k ]λ k,t ] et θ k S 1) telles que w λ k b k,θ k ) w b k,θ k ) 0. )

1136 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Pour λ k vosn de, λ k verfe : λ k < logβ /A ) et donc pour t ]λ k, logβ /A )] la foncton w est strctement crossante. Comme t λ = λ t t pour λ t, on obtent alors : w λ t,θ) w t, θ) < 0 pour tout t, θ) ]λ,logβ /A )] S 1). Le réel b k vérfe avec θ k l négalté ), l vérfe également l négalté suvante : t b k logβ /A ) pour tout k. Par compacté, on obtent λ k, b k t 0 logβ /A ), t ] et θ k θ 0, θ 0 S. Comme les fonctons w sont contnues : w λ k b k,θ k ) w b k,θ k ) λ 0 e t 0 e t 0/ u a + e t 0 θ 0 ) = w t 0,θ 0 ), quand λ. En utlsant ), on obtent w t 0,θ 0 ) 0ett 0 t ce qu contredt le Lemme 1 d où le chox de t et non de 0, pour la borne de drote). Démonstraton du Lemme 3. Consdérons l opérateur L = L 1/4 = tt σ 1/4, σ est le laplacen sur S 1). On a Lw = Lw λ 0 e t ) = Lw + λ 0 Le t = V w 5 + 3 4 λ 0e t avec V t, θ) = V a + e t θ). De même, Lw λ = V λwλ )5 + 3 4 λ 0e λ t, où on a posé V λt, θ) = V a + e λ t θ). Ans, L w λ w ) 3λ 0 = e λ t e t ) + V λ ) ) V w λ 5 ) 4 + V w λ 5 ] w 5. Or, V a + e t λ θ) V a + e t θ) V e t e t λ ) Ae t e t λ ) s λ<t ce qu est toujours le cas c), d où L ] w λ w ) 3λ0 4 A w λ ) 5 e t λ e t ) { + V w λ + λ 0 e t λ ) 5 w + λ 0 e t) 5 }. Alors pour avor, l sufft que w λ w < 0 L w λ w ) < 0, ) 3λ 0 4 A w λ ) 5 0.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1137 Comme λ λ = + log η,λ t λ = λ λ ) + λ t) 0, alors : w λ t λ + λ,θ) 1 + ε)e λ t λ ) 1 + ε, où ε est un réel postf fxé. Pour établr cette négalté, on utlse la proprété d) de l étape : β >0, w t + λ,θ) = w t + δ + log η,θ) converge unformément vers w sur ], log β] S 1). On prendera t = λ t λ 0etβ = 1. Fnalement pour avor ), l sufft de chosr λ 0 3A/4)1 + ε) 5 = µ 0, on note que µ 0 ne dépend pas de λ λ. Démonstraton du pont utle 4). D après la proprété d) de l étape.1 : Posons, l = log η + 4, on a alors : Donc, w log η,θ) w log η + 4,θ)>0. λ l = log η + ) log η 4 = log η et λ <l <t. w λ l,θ) w l,θ)>0 et ξ exste. 3.4. Étape 4. Utlsaton des lemmes précédents et concluson On chost les λ 0, comme dans le Lemme 1, pus on détermne les ξ correspondant aux λ 0, du Lemme, et après on peut utlser le Lemme 3. Les fonctons w ξ w vérfent les proprétés suvantes : 1) sur ]ξ,t ] S 1), w ξ w 0, ) sur ]ξ,t ] S 1), Lw ξ w ) 0. D où par le prncpe du maxmum, on a le : Lemme. Les fonctons w ξ et w vérfent : max θ S w ξ t,θ) mn θ S w t,θ). La preuve du lemme est dentque à celle du Lemme 3 du Théorème 1. D après le chox de λ 0, à la fn de la preuve du Lemme, on a : w t,θ) 1/)e t / mn u.

1138 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 D autre part, d après le pont d) de l étape : w t + λ,θ)= w t + δ + log η,θ) wt + δ) e t+δ)/, unformément sur ], log β] S 1). D où : Ce qu peut s écrre : w ξ t,θ) 1 + ε)e δ/ e ξ t λ )/ ce λ t )/. e 1/)t λ ) mnu c pour tout. Comme λ = 4 + log η, t = β log η = 1 3 log η et η =u a )], on en dédut que : u a ) 1/3 nf u c. Cec contredt notre hypothèse de départ étape 1). 4. Cas : n = 4, q= N = 4 Dans ce cas, on suppose les fonctons V lpschtzennes de constantes A A 0. La démonstraton est assez smlare à celle de la dmenson 3. On se place sur Ω = B 0). Supposons que et montrons alors que : mn B 0) u lm nf + A 8e 3a a R >0, sup u nf u c = c a,b,a ) N,R ). B R 0) B 0) 4.1. Étape 1. Technque blow-up On démontre tout d abord la proprété suvante : l exste c>0etr ]0, 1 tels que sup B R 0) u ) nf B 0) u c R. Supposons le contrare, pour tout c,r > 0, l exste j N, tels que sup B R 0) u j ) nf B 0) u j c R.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1139 Le but est d arrver à une contradcton, on peut donc supposer que la sute extrate est la sute elle-même : Étant données deux sutes c + et R 0, l exste une sute u telle que sup u nf u c B R 0) B 0) R. Comme, la sute des mnma est bornée, on en dédut : Introdusons les fonctons suvantes : sup u R c. B R 0) s x) = u x) R x x ), où, x est le pont tel que, u x ) = max BR 0) u. Comme R 0, on a R >R et u x ) +, on obtent : u max s = s a ) s x ) = u x )R = x ) ] R +. B R x ) En posant, l = R a x l 0), on montre comme dans la démonstraton du Théorème 1, que L = l c u a ) +. Sot alors v la foncton défne par : v y) = u a + y/u a )) u a ) pour y l c u a ); on montre auss, comme dans la démonstraton du Théorème 1, que pour c 4mas c + ): v y) 1 1 1/. ) c ) Cette foncton vérfe v = W v 3 avec W y) = V a + y/u a )]. La sute v ) converge unformément vers la foncton vy) = 1/1 + V0) 8 y ) sur toute boule B β 0), β > 0, avec V0) = lm + V a ). Les étapes suvantes sont dentques à celles de la démonstraton du cas de la dmenson 3, mas des modfcatons mportantes sont à noter.

1140 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 4.. Étape. Passage en polare et proprété de certanes fonctons Comme dans le cas de la dmenson 3, on consdére les opérateurs suvants : L 0 = tt + t σ et L = tt σ, σ est l opérateur de Laplace Baltram sur S 3. Sot, w la foncton suvante : elle vérfe, w t, θ) = e t u a + e t θ), Lw + w = V a + e t θ)w 3. Comme dans le cas de la dmenson 3, on montre que les fonctons w ont les proprétés suvantes : a) w t + log η,θ)= e t u a + e t θ/u a )) = e t v e t θ) u a ) converge vers la foncton symétrque w = e t /1 + V0) 8 et ) unformément sur ], log α] S 3 pour tout α>0. b) Pour 0,w log η + 1 log V0) 8,θ) w log η +4+ 1 log V0) 8,θ)>0, pour tout θ, avec η = 1/u a )] /n ) = 1/u a ) on est en dmenson 4). c) S µ>0etsonpose w = w µe t alors : w log η + 1 ) log 8 V0),θ w 4 + log η + 1 ) log 8 V0),θ > 0 pour tout θ. 4.3. Étape 3. Utlsaton de la technque «movng plane» On pose : w t, θ) = w t, θ) mn B 0) u e t le µ du pont c) précédent est µ = mn B 0) u )/), Ṽ t, θ) = V a + e t θ). D autre part : t λ = λ t, w λ t, θ) = w λ t,θ) et Ṽ λ t, θ) = Ṽ λ t,θ). Ic, comme dans le Lemme 1 pour la dmenson 3, on cherche á savor s les fonctons utlsées sont postves, le chox de µ = mn B 0) u )/ dans le c) de l étape précédente sera tres mportant. Nous avons c : t 0 e t 1 u a + e t θ) mn B 1 a ) u mn B 0) u, car a 0.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1141 D où pour t 0 et pour tout θ dans S 3 : w t, θ) = e t u a + e t θ) mn B 0) u e t mn B 0) u e t > 0. Dans le cas de la dmenson 3, la borne de drote des ntervalles sur lesquels on applque le prncpe du maxmum vare, c c est plus smplement t t 0 = 0estfxe. Concernant le Lemme ans que le pont utle 4, ls sont les même ; on montre alors que { ξ = sup λ λ + + 1 } log 8 V0), wλ w < 0, sur ]λ,t 0 ] S 3 exste. Enfn, par contnuté des fonctons w, on obtent : t, θ) ]ξ,t 0 ] S 3, w ξ w 0. Lemme. On a : w ξ w < 0 L w ξ w ) < 0. Démonstraton. L w ξ w ) = Ṽ ξ ξ w ) 3 Ṽ w 3. D où : L w ξ w ) = Ṽ ξ Pour tous t ξ,t 0 ] et θ S 3, Ṽ ) w ξ ) 3 ξ + w ) 3 w 3 ]Ṽ. Ṽ ξ t, θ) Ṽ t, θ) = V a + e ξ t θ ) V a + e t θ) A e t e ξ t ). D autre part, s w ξ w < 0, alors, par défnton de w, on obtent : w ξ w mn B 0) u e ξ t e t) < 0. Et en utlsant le fat que 0 <w ξ <w, on obtent : ξ w ) 3 w 3 = w ξ ) ξ w w ) ξ + w w + w ) ] 3 w ξ Ces deux négaltés entranent, pour tous t ξ,t 0 ] et θ S 3, w ξ ) 3 w 3 3 mn B 0) u ξ w ) e ξ t e t). ) ξ w w ).

114 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 En conséquence on obtent : L w ξ w ) w ξ ) ) 3mnB 0) u Ṽ A w ξ e ξ t e t). ) Par défnton de w et d après ) de l étape 1, rappelons que pour tout t log l log + log η,ona: Comme, nous trouvons que w t, θ) = e t u a + e t θ/u a )) u a ) e t. w ξ t, θ) = w ξ t,θ)= w ξ t)+ ξ log η ) + log η,θ ], w ξ t, θ) = eξ t)+ξ logη ) u a + eξ t)+ξ log η ) u a ) θ ) u a ) e 8 8 e V0) a, car, ξ log η + 1 log 8 V0) et ξ t t 0. La constante e 8/a, peut être largement amélorée. Revenons à ) et précsons le sgne de : 3mn B 0) u Ṽ A w ξ 3a mn B 0) u = 3aA 8 e a A mnb 0) u 8e 3a a D après notre hypothèse de départ, lm nfmn B 0) u /A ) 8e )/3a a) et on en conclu que ) est négatve. Le lemme est démontré. La fn de la démonstraton est semblable à celle du Corollare 1. On a, après avor applquer le prncpe du maxmum, A mn θ S 3 w t 0,θ) max θ S 3 w ξ t 0,θ). Comme t 0 = 0eta 0etB 1 a ) B 0), on obtent : w t 0,θ)= e t 0 u a + e t 0 θ) mn ] B 0) u et 0 mn u. B 0) D autre part, la convergence unforme des w entrane : ].

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1143 w ξ t 0,θ)= w ξ t 0,θ) mn B 0) u e ξ t 0 w ξ t 0,θ) c e logη. Fnalement, u a ) ] nf B 0) u c; cec, contredt notre hypothèse de l étape 1 la constante c dépend de t 0, elle est ndépendante de ). 4.4. Preuve du Corollare Comme les constantes de Lpschtz A relatves à V tendent vers 0, on obtent : mn K u A m + 8e A 3a a, avec K compact de Ω et m mnorant unforme de la sute u. En applquant le Théorème, on obtent : sup K u ca,b,a ) N,K,Ω). m 5. Démonstraton du Théorème 3 Dans ce qu sut les fonctons u et V sont supposées radales. L équaton vérfée par u devent : u = u n 1) u r = V u N 1. Les fonctons u et V sont régulères, donc, u 0) = 0. Comme V a>0, on a r n 1 u ) < 0. La foncton r n 1 u est décrossante, d où rn 1 u r) 0etu est décrossante, pour r 0, 1], u 1) u r) u 0). Nos fonctons V sont censées vérfer : V r) V r ) A r n )/]+ε r n )/]+ε pour tout r, r 0, 1]. Supposons par l absurde que pour ce ε>0 donné on at : u 0) ] ε/n +ε) u 1) +.

1144 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 Introdusons la foncton : v vérfe : v r) = u r/u 0)] /n ) ) ; u 0) v = V v N 1, 0 <v r) v 0) = 1 et v 0) = 0. On suppose, sans nure à la généralté, que V 0) nn ). Alors en utlsant les théorèmes de Ladyzhenskaya et d Ascol, on conclut que : v v = 1 1 + r ) n )/, unformément sur tout compact de R n. Comme dans les démonstratons des Théorèmes 1 et, on utlse la méthode «movng plane». On pose : w est soluton de l équaton : où L est l opérateur, tt n ) /4. On pose auss : avec λ =u 0)] ε/n +ε) u 1)/. Calculons on trouve : Lw = tt w + = tt w + w t) = e n )t/ u e t ) et V t) = V e t ), Lw = V w N 1, w t) = w t) λ e n +ε)t/, n ) w 4 n ) n + ε) w + λ 4 4 ) n ) e n +ε)t/, 4 Lw = V w + λ e n +ε)t/) N 1 + λ εn + ε)e n +ε)t/. Comme dans la démonstraton du Théorème dmenson 3), vérfons que 1) w > 0sur],t ] avec t = 1 n +ε) logu 0)];

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1145 ) le réel ξ défn par ξ = sup{λ + log η, w λ w < 0, sur ]λ,t ]} exste avec η = 1/u 0)] /n ) ; 3) w ξ w 0 Lw ξ w ) 0. 1) La premère asserton se démontre comme sut : w t) = e n +ε)t/ e εt u e t ) λ ), or pour t t,e εt e εt =u 0)] ε/n +ε) et u e t ) u 1) u est décrossante, ans : u w t) e n +ε)t/ 0) ] ε/n +ε) u 1) u 0)] ε/n +ε) ] u 1) et fnalement, pusque u 0)] ε/n +ε) u 1) +, on a, à partr d un certan rang, et pour t t : w t) > 0. ) ) La deuxème asserton, se montre comme dans le cas de la dmenson 3, la comparason de t et log η est crucale. 3) La démonstraton du trosème pont utlse l hypothèse sur V : d où, w ξ w 0 w ξ w λ e n +ε)ξ t)/ e n +ε)t/] < 0, L w ξ w ) = V ξ ) ξ V w ) N 1 + V λ εε + n ) e n +ε)ξ t)/ e n +ε)t/]. La convergence unforme sur tout compact K de la sute w entrane qu l exste c>0 tels que : w ξ t) cen )logη t )/ c pout tout. Rappelons que d après la défnton de A,ona: V ξ V A e n +ε)ξ t)/ e n +ε)t/]. On obtent : L ) w ξ ) εε + n ) e w n +ε)ξ aλ A c t)/ e n +ε)t/] et pusque λ +, cela entrane que : Lw ξ w )<0 pour 0. Comme dans les démonstratons des théorèmes précédents, le prncpe du maxmum mflque : w t ) w ξ t );

1146 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 or, à partr de l négalté ) et la convergence unforme des w : w t ) e n )t/ u 1) et w ξ t ) w ξ t ) c 1 e n )logη t )/, d où, u 0)e n )t u 1) c 1. En conséquence, u 0) ] ε/n +ε) u 1) = u 0) ] 1 n )/n +ε) u 1) c 1. Cec, contredt notre hypothèse de départ. 6. Démonstraton du Théorème 4 Soent {u }, {V } et {W } tros sutes de fonctons telles que u = V u N 1 + W u α dans Ω, avec u > 0etα ]n/n ), n + )/n ), V et W vérfant les hypothèses du Problème. Le schéma de la démonstraton est le même que celu du Théorème 3. On commence par établr une estmaton locale en utlsant les technques blow-up et «movng plane». On suppose Ω = B 0) et on cherche à démontrer qu l exste deux constantes postves c et R< telles que pour tout enter,onat: sup u nf u c B R 0) B 0) R n. On rasonne par l absurde en s nsprant de la démonstraton du Théorème 3, on exhbe une sute de ponts a ) tendant vers 0, deux sutes de réels postfs R ), l ) tendant auss vers 0 et enfn une sute de fonctons v ), bornées, qu convergent unformément vers une certane foncton postve v. Plus précsément, on a : u a ) nf B 0) u +, ) v y) = u a + yu a )] /n ) ] u a ), pour y l u a ) ] /n ) = L, avec u a ) + et L +. Chaque foncton v vérfe, pour tout enter et tout y, tels que y L, 0 <v y) β n )/ avec β 1.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1147 De plus, v = V v N 1 1 + u a )] N 1 α W v α, où V y) = V a + yu a ) /n ) ] et W y) = W a + yu a )] /n ) ]. Comme α ]n/n ), N 1, on vot alors en utlsant les théorèmes de Ladyzhenskaya et d Ascol, que la sute v ), on peut extrare une sous-sute convergeant vers une foncton v 0 vérfant : v = kv N 1 sur R n, v0) = 1 et 0 vy) 1 y R n, avec 0 <a k b. Par un changement d échelle, on peut toujours supposer que k = nn ) et on sat que la foncton v défne précédemmentne peutêtre quela suvante : ) 1 n )/ vy) = 1 + y. Mantenant, on peut consulter la démonstraton du Théorème 1 et utlser la technque «movng plane». On remarque que seul le Lemme est à vérfer. On commence par précser quelques notatons. Posons, pour t ], log ] et θ S n 1 : w t, θ) = e n )t/ u a + e t θ), V t, θ) = V a + e t θ) et W t, θ) = W a + e t θ). Par aleurs, sot L l opérateur L = tt σ n ) /4, avec σ l opérateur de Laplace Baltram sur S n 1. La foncton w est soluton de l équaton suvante : On pose pour λ 0: Lw = V w N 1 + e n+) n )α]t/ W w α. t λ = λ tw λ t, θ) = w t λ,θ), V λ t, θ) = V t λ,θ) et W λ t, θ) = W t λ,θ). Alors, pour pouvor vérfer s le Lemme du Théorème 1 reste valable, l sufft de noter que la quantté Lw λ w ) est négatve lorsque w λ w l est. En fat, pour chaque ndce, λ = ξ log η + η =u a )] )/n ) ). Tout d abord : w ξ t,θ)= w ξ t + ξ log η ) + log η + ) ],

1148 S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 par défnton de w et pour ξ t on peut écrre : w ξ t,θ)= e n )ξ t+ξ logη )]/ e n v θe e ξ t)+ξ log η ) ] On sat que L w ξ w ) = V ξ n )/ e n = c. w ξ ) N 1 V w N 1 ] + e δt ξ W ξ ξ w ) α e δt W w α ], avec δ = n + ) n )α)/. Les deux termes du second membre, notés Z 1 et Z, peuvent s écrre : et Z = W ξ Z 1 = V ξ W ) w ξ V ) w ξ ) N 1 + V w ξ ) N 1 w N 1] ) αe δt ξ + e δtξ ξ W w ) α ] w α + W w α e δt ξ e δt). D autre part, comme dans la démonstraton du Théorème, w ξ w et w ξ t, θ) c pour tout t, θ) ξ, log ] S n 1, où c est une constante postve ndépendante de de w ξ pour ξ log η +, D où Z 1 A w ξ Ans, V ξ V A e t e t ξ ) et ) N 1 e t e t ξ ) et Z B w ξ L w ξ w ) w ξ Pusque w ξ c, on obtent : L w ξ W ξ W B e t e t ξ ). ) α e t e t ξ ) + c w ξ ) α e δt ξ e δt)). ) α Aw ξ N 1 α + B ) e t e t ξ ) + c e δtξ e δt)]. ) ξ w w ) α A c N 1 α + B ) e t e t ξ ) + c e δtξ e δt)]. 1) Détermnons le sgne de Z =A c N 1 α + B)e t e t ξ ) + ce δtξ e δt )]. Comme α ]n/n ), n + )/n ), δ = n + n )α)/ ]0, 1. On dédut que pour t t 0 < 0: e t e 1 δ)t 0 e δt pour tout t t 0.

S.S. Bahoura / J. Math. Pures Appl. 83 004) 1109 1150 1149 Comme t ξ tξ t), en ntégrant les deux membres, on obtent : ce qu s écrt e t e t ξ L négalté 1) devent alors : L w ξ e1 δ)t 0 e δt e ) δtξ pour tout t t 0, δ e δtξ e δt δ e 1 δ)t 0 e t ξ e t). ) ξ w w ) α δc ] e e 1 δ)t + A cn 1 α + B t e t ξ ). 0 Pour t 0 < 0 assez pett, la quantté δc/e 1 δ)t 0 A c N 1 α B devent postve et le résultat cherché est obtenu dans l ntervalle ξ,t 0 ]. Le fat de prendre l ntervalle ξ,t 0 ] au leu de ξ, log ], n est pas gênant, au contrare, plus l ntervalle est pett plus l nfmum est grand. La sute de la démonstraton est dentque á celle de la fn du Théorème 1. On pourrat crore que t 0 dépend de ξ ou de w ξ,mast 0 dépend seulement de c, une constante qu ne dépend que de n, a et de b. On calcule t 0 pus on ntrodut ξ log η + comme dans les autres théorèmes, et on vérfe l négalté Lw ξ w ) 0 dès que w ξ w 0surξ,t 0 ]. Ayant détermné t 0 < 0 tel que δc/e 1 δ)t 0 A c N 1 α B sot postve, on pose : ξ = sup { µ log η +, w µ t, θ) w t, θ) 0, t, θ) µ,t 0 ] S n 1 }. Par défnton de ξ, w ξ w 0. Ensute, on vérfe que Lw ξ w ) 0. Comme dans le Théorème 1, le prncpe du maxmum, entrane : Or, donc : mn θ S n 1 w t 0,θ) max θ S n 1 w ξ t 0 ). w t 0,θ)= e t 0 u a + e t 0 θ) e t 0 mnu et w ξ t 0 ) c 0 u a ), Ce qu contredt notre hypothèse ). u a ) mn u c.