Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

Indhold 1 Introduktion 1 2 Injektive funktioner 2 3 Inverse funktioner 3 3.1 Konklusion....................... 7 3.2 Grafen for den inverse funktion............ 9 4 Sektioner 11 4.1 Kvadratroden...................... 14 4.2 De inverse trigonometriske funktioner......... 17 5 Løsning af simple ligninger i et nyt lys 23 5.1 Simple ligninger og inversion af funktioner...... 23

Resumé I dette dokument behandler vi begrebet inverse funktioner til injektive funktioner, og vi beskriver hvordan man kan lave såkaldte sektioner til funktioner som ikke er injektive. 1 Introduktion Hvis man tænker på en funktion som en fabrikshal med en maskine i midten, så er det meget naturligt at forestille sig situationer, hvor man har lyst til at kunne køre maskinen baglæns. Det kunne tænkes at nogen i nattens mulm og mørke havde sneget sig ind og kørt et hemmeligt element fra definitionsmængden igennem maskinen. Næste morgen finder man så det færdige produkt, og spørgsmålet trænger sig helt naturligt på: Hvilket element fra definitionsmængden blev sendt igennem maskinen for at producere dette produkt? Hvis ellers maskinen er af en sådan type at den kan køre baglæns (altså hvis funktionen er injektiv), så er den oplagte løsning på problemet at man tager det produkt som er kommet ud af maskinen og sender baglæns igennem. Denne baglæns maskine er det som kaldes den inverse funktion til vores oprindelige funktion. Det er dette begreb som vi skal gøre helt præcist i dette dokument. Desuden skal vi se hvad man gør hvis man har en funktion som ikke er injektiv, men alligevel gerne vil kunne køre den baglæns. Det kaldes at konstruere en sektion eller højreinvers til den oprindelige funktion. Forudsætninger Dokumentet er en direkte fortsættelse af Funktionsterminologi 1, og det forudsættes selvfølgelig at man har læst dette dokument først. Eftersom alting skal handle om funktioner med primær og sekundærmængde R, vil vi indføre en generel regel: 1 Læs om funktionsterminologi her side 1

Når ordet funktion optræder i dette dokument, så skal det læses som: En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R. 2 Injektive funktioner Vi starter med at repetere den centrale definition: Definition 1 En funktion f kaldes injektiv hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Den bedste måde at tænke på injektivitet på, er ved at have det abstrakte billede af funktionen inde i hovedet: En funktion er injektiv hvis to forskellige elementer i definitionsmængden aldrig bliver til det samme når man tager funktionen på dem. Dette er forsøgt illustreret på figur 1 Figur 1 forklarer også valget af ordet injektiv : Det kommer af det samme som det engelske ord to inject At sprøjte ind. Og det er jo lige netop hvad en injektiv funktion gør: Den sprøjter elementerne fra definitionsmængden ind i sekundærmængden, uden af nogen elementer kommer til at ligge præcis det samme sted. Det er nemt at se på en funktions graf om den er injektiv eller ej. At funktionen er injektiv betyder at grafen aldrig besøger den samme y-koordinat mere end én gang. Øvelse 1 Hvilke af følgende funktioner er injektive? f 1 (x) = 1 x side 2

Figur 1: Injektivitet af en funktion f 2 (x) = 5x + 1 f 3 (x) = x 2 f 4 (x) = x 3 f 5 (x) = sin x 3 Inverse funktioner Når en funktion, f, er injektiv, giver det os mulighed for at vende den om : Til ethvert element i værdimængden, giver det mening at spørge hvor det kommer fra, fordi der jo kun er et eneste x i definitionsmængden der rammer det. Vi definerer: side 3

Definition 2 Hvis f er en injektiv funktion, definerer vi den inverse funktion til f som: f 1 : { Vm(f) R y Dét x Dm(f) som opfylder at f(x) = y. Denne definition er pænt svær at læse. Kig på den en ekstra gang og vær sikker på at du forstår alle de følgende bemærkninger. 3.0.1 Bemærkninger: Man bør have billedet fra figur 2 i hovedet når man tænker på den inverse funktion til f. Bemærk at i modsætning til ord som f.eks. injektiv og monoton, er invers ikke er et tillægsord. Man kan altså ikke sige at en funktion er invers af samme grund som man ikke kan sige at en person er kæreste. Bemærk at: og Dm(f 1 ) = Vm(f) Vm(f 1 ) = Dm(f) Eksempel 1 Hvis definitionen af den inverse funktion minder dig om at løse ligninger, så er du på det helt rigtige spor! At beregne den inverse funktion i et punkt y handler nemlig om at løse ligningen: f(x) = y side 4

Figur 2: En funktion og dens inverse funktion Lad os tage et eksempel hvor f er funktionen givet ved: f(x) = 3 x + 5 Denne funktion er voksende og dermed injektiv. Værdimængden består af alle de reelle tal. (Tegn grafen, hvis du er i tvivl!) Vi kan således tale om den inverse funktion f 1. For at beregne f 1 (17) skal man finde det x Dm(f) som opfylder at: dvs. dvs. Vi har altså beregnet at f(x) = 17 3 x + 5 = 17 x = 4 f 1 (17) = 4 side 5

Man kan tjekke at vi har regnet rigtigt ved at undersøge om: f(4) = 17 Som regel har man lyst til at finde f 1 (y) for alle y Vm(f) på en gang. Det gøres ved at løse ligningen: f(x) = y uden at specificere hvad y er. Dette giver (gør det selv på et stykke papir!): x = y 5 3 Vi har dermed beregnet at f 1 (y) = y 5 3 At variablen hedder y er blot en hjælp til os selv, for at minde os om at y ligger i Vm(f). Hvis man skal arbejde meget med den inverse funktion, er man velkommen til at glemme dette og kalde variablen x, sådan som man plejer. Det er altså præcis lige så korrekt at oplyse: f 1 (x) = x 5 3 Øvelse 2 Find den inverse funktion til følgende injektive funktioner: 1. f 1 (x) = 2x + 1 2. f 2 (x) = 1 (x 0) x 3. f 3 (x) = x 3 side 6

3.1 Konklusion Den helt, helt fundamentale egenskab ved en funktion f og dens inverse funktion f 1 er omtrent lige så indlysende som den er vigtig: Hvis man starter med et x Dm(f) og først tager f på dette, og bagefter tager f 1 på resultatet, så havner man tilbage hvor man startede, nemlig i x. Og hvis man starter med et y Vm(f) og først tager f 1 på dette, og bagefter tager f på resultatet, så havner man tilbage hvor man startede, nemlig i y. Dette formulerer vi lige i en sætning: Sætning 1 (Egenskab ved den inverse funktion) Hvis f er en injektiv funktion, og x Dm(f), så er: f 1 (f(x)) = x Og hvis y Vm(f) = Dm(f 1 ), så er f(f 1 (y)) = y Man kan tænke på dette som at en funktion og dens inverse ophæver hinanden. Dette retfærdiggør også skrivemåden f 1 for den inverse funktion. Den inverse funktion opfører sig nemlig omtren lige som x 1 når x er et reelt tal. Blot er x 1 invers af x med hensyn til produkt af reelle tal, mens f 1 er invers af f med hensyn til sammensætning af funktioner. Det bliver meget tydeligt hvis man skriver sætning 1 med terminologien fra sammensatte funktioner: side 7

Sætning 2 (Egenskab ved den inverse funktion) Hvis f er en injektiv funktion, så er: f f 1 = Id og f 1 f = Id hvor Id betegner identitetsfunktionen: Id(x) = x En bemærkning om notation Man skal passe ekstremt meget på ikke at forveksle den inverse funktion: f 1 med funktionen g givet ved: g(x) = f(x) 1 = 1 f(x) (Kan du nu begynde at se hvorfor man ikke må forveksle en funktion f med dens funktionsværdier f(x)?) 2 For at undgå denne forveksling anvender man ofte skrivemåden: f 1 for den inverse funktion. Det skal læses som f i bolle-minus-en (og ikke nul minus en ), og det skal forstås som f opløftet i minus første potens med hensyn til regneoperationen bolle. 2 Se advarslen i afsnittet om traditionel dovenskab her side 8

3.2 Grafen for den inverse funktion Der er en smuk sammenhæng mellem grafen for en funktion og grafen for dens inverse funktion. Lad os som et eksempel tegne grafen for funktionen i eksempel 1. Funktionen er givet ved: f(x) = 3 x + 5 og dens inverse funktion er givet ved: Vi kan starte med at udregne: f 1 (x) = x 5 3 f(0) = 3 0 + 5 = 5 Dermed har vi automatisk også at: f 1 (5) = 0 (Hvis du har lyst, kan du selv regne efter at det passer) Den første af disse oplysninger viser at grafen for f går gennem punktet (0; 5). Den anden oplysning viser at grafen for f 1 går gennem punktet (5; 0). Hvis man prøver dette et par gange, opdager man at hver eneste gang grafen for f går gennem et punkt (x; y), går grafen for f 1 igennem til omvendte punkt, (y; x). Man får altså grafen for f 1 ved at tage grafen for f og bytte om på x- og y-koordinater i alle punkterne. Dette svarer til at spejle grafen i den skrå linje givet ved ligningen: y = x Se figur 3. side 9

Figur 3: Grafen for en funktion og dens inverse Sætning 3 Hvis f er en injektiv funktion, og f 1 er dens inverse funktion, så er grafen for f og grafen for f 1 hinandens spejlbilleder ved spejling i den skrå linje: {(x; y) R 2 y = x} Øvelse 3 Tegn graferne for funktionerne f og g i det samme koordinatsystem, hvor f(x) = x 3 og g(x) = 3 x = x 1 3 side 10

4 Sektioner Hvis en funktion f ikke er injektiv, giver definition 2 ikke mening fordi der pludselig er flere forskellige kandidater til hvad f 1 (y) skulle være. I stedet findes der en anden konstruktion, som man altid kan udføre. Det kaldes at finde en sektion eller en højre-invers til funktionen. Ideen går i al sin enkelhed ud på, at hvis en funktion ikke er injektiv, så kan man begrænse definitionsmængden indtil den bliver det. Lad os tage et eksempel: Funktionen f hvis graf er angivet på figur 4 er bestemt ikke injektiv. F.eks. rammer den funktionsværdien nul hele fem gange. Figur 4: Grafen for en funktion som ikke er injektiv Hvis vi begrænser definitionsmængden til f.eks. at være intervalside 11

let 3 : [ 1 2 ; 1] så bliver funktionen pludselig injektiv! Derfor kan vi lave den inverse funktion til denne begrænsning. Dette kaldes en sektion eller en højreinvers til f. På figur 5 har vi tegnet grafen for den omtalte begrænsning af f og for den tilhørende sektion s. Figur 5: Grafer for den omtalte begrænsning af funktionen fra figur 4 og for den tilhørende sektion. gode. Definition 3 Hvis f er en funktion der bliver injektiv hvis dens definitionsmængde begrænses til en delmængde A Dm(f), så kaldes den 3 Læg mærke til at der er masser af andre muligheder som er præcis lige så side 12

inverse funktion til denne begrænsning af f for en sektion eller en højreinvers til f. Bemærkninger Ordet sektion kommer af det som samme som det engelske section som betyder snit. Dette skyldes selvfølgelig at processen, hvor man tager en delmængde af definitionsmængden og finder en invers derpå, svarer til at man tager et udsnit af grafen og spejlvender det. Man kan passende have tegningen på figur 6 i hovedet når man tænker på hvad en sektion gør. Her ses det tydeligt hvad forskellen på en sektion og en invers er: Til en given y-værdi giver den ikke den x-værdi hvor f(x) = y, men i stedet giver den en x-værdi hvor f(x) = y. Den helt fundamentale egenskab ved en sektion er, at hvis man først tager sektionen i et punkt, og derefter tager selve funktionen, så havner man der hvor man startede. Hvis funktionen hedder f og sektionen hedder s, kan dette skrives som at: f(s(y)) = y Det omvendte er ikke altid tilfældet. Derfor bruger man også det alternative navn højreinvers, fordi s forkorter ud med f, når den står til højre for f. Den sidste egenskab er så vigtig at vi lige indrammer den som en sætning: Sætning 4 Hvis s er en sektion til en funktion f, og y Dm(s), så er: f(s(y)) = y side 13

Figur 6: Et abstrakt billede af en funktion f og en sektion s Eller formuleret ved hjælp af sammensætning af funktioner: f s = Id Du har allerede set masser af sektioner i brug i praksis, fordi nogle af de mest almindelige funktioner ikke er injektive. Her kommer de to mest oplagte eksempler. 4.1 Kvadratroden Funktionen: f : { R R x x 2 side 14

er ikke injektiv. F.eks. er f( 1) = f(1). Men hvis man begrænser definitionsmængden til at være [0; [ bliver den begrænsede funktion injektiv. Den sektion som fremkommer på denne måde kaldes som bekendt kvadratroden og skrives som: Bemærkninger s(x) = x = x 1 2 Bemærk, at eftersom definitionsmængden af vores begrænsning blev [0; [ og værdimængden af begrænsningen også er [0; [, bliver kvadratroden dermed defineret på [0; [ og har værdimængde [0; [. Graferne for begrænsningen af f og for kvadratroden er angivet på figur 7. Bemærk også at egenskaben fra sætning 4 i dette tilfælde siger at for alle y [0; [ gælder: f(s(y)) = ( y) 2 = y Derimod er det omvendte ikke tilfældet. Der gælder jo helt præcist at: s(f(x)) = x 2 = x Eksempel 2 Når man møder en ligning af typen: x 2 = a hvor a [0; [ er man ganske velkommen til at tage kvadratroden på begge sider, men da kvadratroden kun er en højreinvers kan man ikke konkludere at: x = a side 15

Figur 7: Grafen for begrænsningen af f(x) = x 2 og dens tilhørende sektion s(x) = x side 16

Man skal i stedet huske at kvadratroden kun giver en af de mulige værdier for x, og så ellers huske de andre muligheder, f.eks. ved at kigge på grafen for funktionen f(x) = x 2. I tilfældet med ovennævnte ligningstype betyder det at man skal huske at der også er en negativ løsning, sådan at den korrekte konklusion bliver: x = ± a 4.2 De inverse trigonometriske funktioner De trigonometriske grundfunktioner, sinus, cosinus og tangens er ikke injektive! (Tegn graferne hvis du er i tvivl!) Derfor er det egentlig skrupforkert at tale om de inverse trigonometriske funktioner og endda skrive dem som: sin 1 cos 1 tan 1 for de har ikke nogen inverse funktioner! Men der findes en standardkonstruktion af sektioner til de tre funktioner, som desværre er kendt i hele verden under de ovennævnte navne. Der findes nogle alternative navne, nemlig: arcsin arccos arctan Disse navne er meget bedre 4, men da det ikke kan lade sig gøre at ændre en skrivemåde som er udbredt i hele verden, er man nødt til at kende begge betegnelser. 4 Forstavelsen arc er en forkortelse for arcus. Det er latin og betyder bue (lige som ordet arc på engelsk). Dette er meget intuitivt, da vi netop har tænkt os at skære en enkelt bue ud af de bølgeformede grafer når vi skal lave disse sektioner. side 17

Definition 4 Funktionen sinus er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: [ π 2 ; π 2 ] På dette definitionsinterval er værdimængden lig med [ 1; 1] (Se grafen for denne begrænsning på figur 8 hvis du er i tvivl.) Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse sinus: sin 1, eller (mere korrekt) arcus sinus: arcsin. Den er således defineret på intervallet og har værdimængde Dm(arcsin) = [ 1; 1] Vm(arcsin) = [ π 2 ; π 2 ] Definition 5 Funktionen cosinus er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: [0; π] På dette definitionsinterval er værdimængden lig med [ 1; 1] (Se grafen for denne begrænsning på figur 9 hvis du er i tvivl.) Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse cosinus: cos 1, eller (mere korrekt) arcus cosinus: arccos. side 18

Figur 8: Grafen for begrænsningen af sinus og dens tilhørende sektion, arcsin. Den er således defineret på intervallet Dm(arccos) = [ 1; 1] og har værdimængde Vm(arccos) = [0; π] Definition 6 Funktionen tangens er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: ] π 2 ; π 2 [ På dette definitionsinterval er værdimængden lig med ] ; [ (Se grafen for denne begrænsning på figur 10 hvis du er i tvivl.) side 19

Figur 9: Grafen for begrænsningen af cosinus og dens tilhørende sektion, arccos. Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse tangens: tan 1, eller (mere korrekt) arcus tangens: arctan. Den er således defineret på intervallet og har værdimængde Dm(arctan) =] ; [ Vm(arctan) =] π 2 ; π 2 [ Bemærkninger Læg godt mærke til hvilke intervaller de forskellige trigonometriske funktioner bliver begrænset til når man definerer deres sektioner (f.eks. ved at prøve at huske graferne i dette afsnit side 20

Figur 10: Grafen for begrænsningen af tangens og dens tilhørende sektion, arctan. side 21

udenad). Læg især mærke til at arccos(y) giver det eneste tal x i intervallet [0; π] hvor cos x = y. Det betyder, at hvis x er en vinkel i en trekant, så kan man næsten tillade sig at glemme, at der er andre muligheder (alle vinkler i en trekant er jo mellem 0 og π) og simpelt hen lade som om arccos er den inverse funktion til cos. Af denne grund er det smart at bruge cosinusrelationen frem for sinusrelationen, når man skal finde en ukendt vinkel i en trekant. Eftersom arcsin(y) giver det eneste tal x i intervallet [ π; π] 2 2 hvor sin x = y, kan vi ikke umiddelbart udelukke at der også er en løsning mellem π og π (altså en stump vinkel) hvis x er en 2 vinkel i en trekant. Kun hvis trekanten er retvinklet, kan man tillade sig at glemme alle andre løsninger, og lade som om arcsin er den inverse funktion til sin. Eksempel 3 Når man møder en ligning, som f.eks. sin x = a hvor a [ 1; 1], er man velkommen til at tage arcus sinus på begge sider. Men da dette kun er en højreinvers, kan man ikke konkludere at x = arcsin a Man er nødt til at huske (f.eks. ved at kigge på grafen for sinus) at arcsin kun producerer en af de mulige værdier for x, og at en sådan ligning har uendeligt mange løsninger. Hvis ikke man har yderligere oplysninger, der kan hjælpe med at specificere x, er man nødt til at skrive alle muligheder op. Dette kan gøres ret elegant på følgende måde. side 22

Lad os som eksempel betragte ligningen: sin(x) = 1 2 En af mulighederne for hvad x kan være findes ved hjælp af arcus sinus, nemlig: ( 1 x 1 = arcsin = 2) π 6 Ved at betragte grafen for sinus kan man se at en af de andre løsninger ligger i: x 2 = π π 6 = 5π 6 Desuden kan det ses at alle andre løsninger fås ved at lægge 2π til eller trække 2π fra en af disse løsninger et helt antal gange. Dermed kan den samlede løsning skrives som: x = π 6 + t 2π x = 5π 6 + t 2π Hvor t Z 5 Løsning af simple ligninger i et nyt lys 5.1 Simple ligninger og inversion af funktioner Som du måske allerede har opdaget i kapitlet om inverse funktioner, så minder den måde man inverterer sammensatte funktioner på rigtig meget om metoden til løsning af simple ligninger: I begge tilfælde har man at gøre med en proces som er sammensat af flere dele der er udført efter hinanden, og man er så interesseret i at vende denne proces om. Og i begge tilfælde foregår det ved at man udfører alle dele baglæns i omvendt rækkefølge. side 23

Faktisk er det præcis den samme proces. Hvis man har en ligning med en enkelt ukendt, f.eks. 1 + 2x 1 3 = 41 så kan man altid betragte udtrykket på venstre side som en funktion af den ukendte. I vores tilfælde kan ligningen læses som: f(x) = 41 hvor f er funktionen givet ved: f(x) = 1 + 2x 1. 3 Funktionen f er sammensat af flere funktioner, nemlig funktionerne: f 1 (x) = 2x f 2 (x) = x 1 f 3 (x) = x 3 f 4 (x) = x + 1 Man kan således læse ligningen som: f 4 (f 3 (f 2 (f 1 (x)))) = 41 Og hvad er nu mere naturligt end at gøre det sidste som er sket baglæns på begge sider, eller med terminologien fra dette afsnit: tage den inverse funktion f4 1 på begge sider? Dette giver: f 3 (f 2 (f 1 (x))) = f 1 4 (41) Dermed er vi et skridt tættere på at have isoleret x. Bliver vi ved tre gange mere, får vi løsningen, nemlig: x = f 1 1 ( f 1 2 ( ( f 1 3 f 1 4 (41) ))) Dette er præcis vores metode til at løse simple ligninger. Blot skal man passe godt på når en af de ingående funktioner ikke er injektiv. I disse tilfælde må man bruge en passende sektion til at finde en mulig løsning, og så ellers være omhyggelig med at huske de andre mulige løsninger, fuldstændig som i eksemplerne 2 og 3. side 24