Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1
Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik. Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV. Du skal: - kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer. - selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger. Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at: En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige: I gennemsnit er temperaturen meget behagelig. Middelværdi med mere På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger fag o.s.v Her er alle svarene: 3,, 4, 2,, 4, 4, 4, 1, 3, 1,, 3, 4, 3, 1, 4, 1 Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. Find typetal og middelværdi. Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag. Størsteværdi er det største af svarene. Man får fag. Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 1 4 fag. Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag. Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får: 3 4 4 1 7 3,2 fag pr. kursist. 18 18 Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme. Lektion 9 Side 2
Hyppigheds- og frekvens-tabeller (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Svarene er: 3,, 4, 2,, 4, 4, 4, 1, 3, 1,, 3, 4, 3, 1, 4, 1 Lav en tabel over hyppighed og frekvens. Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v. Man får: Antal fag 1 2 3 4 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. 4 100 Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er 22%. 18 Tabellen udviddes og man får: Antal fag 1 2 3 4 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100% I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, men lad være med at skrive hele rækken af decimaler. I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent. Det ville man gøre, hvis det var en rigtig tabel i en avis eller på TV. Lektion 9 Side 3
Hyppighed Matematik på Åbent VUC Diagrammer Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og et kurvediagram. Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC. (fortsat) På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. Svarene er vist i tabellen: Antal fag 1 2 3 4 I alt Hyppighed 4 1 4 6 3 18 Lav et pindediagram over hyppighederne. Pindediagrammet kan se således ud: 7 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Antal fag Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden. Lektion 9 Side 4
Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver spurgt om, hvorledes de kommer til VUC. Svarene er vist i tabellen. Lav et cirkeldiagram over tallene Transportmiddel Antal personer Til fods 4 Cykel 6 Bus 3 Bil I alt 18 En hel cirkel er 360º (360 grader). Cirklen skal inddeles i 4 lagkagestykker. En for hver transportform. 4 4 360 Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º: Man får: 80º 18 18 De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter. Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser). Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler. Til fods Cykel 33% Bus 17% Til fods 22% Bil 28% Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over. Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene. Lektion 9 Side
Antal kursister Maj April Marts Feb. Jan. Dec. Nov. Okt. Sept. Aug. Matematik på Åbent VUC I august starter der 18 kursister på et VUC-hold. I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe. Tabellen viser antal kursister måned for måned. Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj Antal kursister 18 21 20 17 16 22 18 17 16 14 Lav en kurve over tallene. Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud: 2 20 1 10 0 Måned Hvilket diagram er bedst? Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer. Men her er et par tommelfinger-regler. Kurvediagrammer er gode, når man skal vise, noget der ændrer sig med tiden Pindediagrammer giver et godt billede af, hvor store en række tal er i forhold til hinanden. Cirkeldiagrammer giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele. Lektion 9 Side 6
Median, kvartil og boksplot Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse. Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene. på opgaver På en arbejdsplads er der syv ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 98, 108, 119, 124, 129, 16 og 17. Hvad er median-lønnen? På en arbejdsplads er der seks ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 102, 117, 128, 132, 134 og 13. Hvad er median-lønnen? Når der er et ulige antal lønninger, er medianen det midterste tal. Når der er et lige antal lønninger, er medianen midt imellem de to midterste tal. 98 108 119 124 129 16 17 102 117 128 132 134 13 Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130. Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time. 128 132 Tallet kan evt. beregnes: 130 2 I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst lønnede halvdel af de ansatte. Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 2%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil. 1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen. 3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen. 2. kvartil er det samme som medianen. Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler: 98, 80, 79, 82, 92, 8, 81, 78, 87, 10 og 78. Hvad er median-hastigheden for bilerne? Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil? Tallene skrives først op efter størrelse: 78 78 79 80 81 82 8 97 92 98 10 Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time Lektion 9 Side 7
1. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er under medianen. 3. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er over medianen. 78 78 79 80 81 82 8 97 92 98 10 Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er: 20, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201. Hvad er median-højden for spillerne? Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil? Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist: 179 188 192 198 201 20 207 210 188 192 2 190 198 201 2 199, 20 207 2 206 Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199, cm. 3. kvartil er 206 cm Median og kvartiler kan defineres på flere måder Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal. Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder: - Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (0%) af tallene. - 1. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (2%) af tallene. - 3. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (7%) af tallene. Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man, at 1. kvartil er 188 cm, medianen er 198 cm og 3. kvartil er 20 cm. Tænk selv over hvorfor! I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte, højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene. Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater. I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler, når man beskriver meget store mængder af tal. Fx lønningerne for alle lærere i Danmark eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store, har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger. Lektion 9 Side 8
Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet. på opgaver På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 130, 140, 10, 160 og 170. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 100, 140, 10, 160 og 170. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 130, 140, 10, 160 og 200. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? Median-lønnen er 10 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse. Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får: 130 140 10 160 170 100 140 10 160 170 130 140 10 160 200 70 10 kr. 720 144 kr. 780 16 kr. Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om. Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede, påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien. Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot. Tabellen viser resultatet af en undersøgelse af prisen på en liter letmælk i en række butikker. Lav et boksplot ud fra tallene. Mindsteværdværdi Største- 1. kvartil Median 2. kvartil 3,9 kr.,7 kr. 7,20 kr. 8, 2 kr. 9,9 kr. Man laver et boksplot i et koordinatsystem som vist. Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi Man markerer først medianen og de to kvartiler og tegner en boks. Derefter markerer man mindste-værdi og største-værdi, og tegner to linje-stykker. Alle boksplottets fire vandrette dele svarer til 2% af mælkepriserne. 3 4 6 7 8 9 10 11 Lektion 9 Side 9
Boksplottet viser højdefordelingen i cm for en gruppe mænd. Aflæs mindste-værdi, største-værdi, median og kvartiler. Fortæl lidt om, hvad disse tal viser om mændenes højde. 10 160 170 180 190 200 210 220 Mindste-værdien er 18 cm. Største-værdien er 211 cm. Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 17 cm, og 3. kvartil er 187 cm. Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på 187 17 = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 211 18 = 3 cm. Sådan findes kvartilerne, hvis der er et ulige antal observationer 1 16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 0 2 62 67 70 71 Sådan findes kvartilerne, hvis der er et lige antal observationer 1 16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 0 2 62 67 70 Lektion 9 Side 10