Matematiklærer og Fælles Mål 2009

Matematiklærer og Fælles Mål 2009 af Thomas Kaas Vi har fået et nyt faghæfte for folkeskolens matematikundervisning endnu engang. Alle landets matematiklærere må bruge tid og kræfter på at sætte sig ind i en række nye bestemmelser endnu engang. Spørgsmålet er hvorfor? Hvilke kvaliteter findes i Fælles Mål 2009, som gør det vigtigt nok til, at så mange lærere skal bruge så meget tid og energi på at sætte sig ind i det nye? Kan det nye faghæfte føre til øget kvalitet i matematikundervisningen? Er ændringerne virkelig forbedringer? Kapitlet belyser disse spørgsmål set fra en matematiklærers perspektiv. Den er skrevet af én af de matematiklærere, der har været med til at formulere de nye trinmål og læseplaner og giver først og fremmest konkrete idéer til, hvordan Fælles Mål 2009 kan bruges på en hensigtsmæssig måde i forbindelse med planlægning og gennemførelse af matematikundervisning i folkeskolen. 1. 1 Hvad er det centrale i en matematikundervisning? Hvordan kan man beskrive, hvad matematikundervisningen bør omfatte, og hvad det hele går ud på? Faghæfterne har igennem de seneste 30 år haft forskellige bud på dette. I den vejledende læseplan fra 1976 beskrives undervisningens centrale dele gennem en opremsning af de fagområder, begreber og regnetekniske metoder, som anses for vigtige på de forskellige klassetrin. Fx står der under 3.-5. klassetrin: Enkle brøker indføres, og simple eksempler på regning med disse kan omfatte addition og subtraktion. I læseplanen fra 1995 beskrives det centrale også ved gennemgang af fagområder, begreber og metoder - men opremsningen er suppleret med overvejelser over, hvordan børn lærer matematik. Fx står der under 3.-7. klassetrin: Ved udvidelsen af talområdet til decimaltal og brøker bygges på elevernes hverdagserfaringer. Begrebsdannelsen støttes gennem anvendelse af såvel symbolrepræsentation som geometrisk repræsentation. Matematikkens anvendelse har en fremtrædende plads i denne læseplan. Desuden

rummer planen et helt særligt fagområde, Problemløsning og arbejdsmetoder, som ikke knytter sig så meget til et bestemt matematikindhold, men i højere grad til de grundlæggende arbejdsmetoder, der karakteriserer matematik. Man kan sige, at læseplanen fra 1976 lægger størst vægt på en pensumbaseret fagbeskrivelse, mens læseplanen fra 1995 viser en øget vægtning af elevernes forståelse, anvendelse og arbejdsmåder i forbindelse med matematikundervisning. I den pensumbaserede læseplan beskrives det centrale for matematikundervisning gennem fagets fagområder, begreber og tekniske metoder mens fagets anvendelse og arbejdsmetoder får en mindre fremtrædende plads. Den mere brede beskrivelse af matematisk faglighed, som begyndte i forbindelse med læseplanen fra 1995, er fortsat i de faghæfter, som er fulgt i årene efter Klare Mål og Fælles Mål. Fælles Mål 2009 bygger således også på en bred beskrivelse af matematisk faglighed, som jeg vil komme nærmere ind på i det følgende. Men først et par overvejelser over, hvilke problemer der kan være ved den mere snævre pensumbaserede beskrivelse af matematikundervisning. I rapporten Kompetencer og matematiklæring fra 2002 pegede Mogens Niss m.fl. på nogle af disse problemer. I denne forbindelse vil jeg særligt hæfte mig ved ét af dem: En pensumbaseret fagbeskrivelse gør det vanskeligt at klargøre, hvad matematikundervisning egentlig går ud på. Hvis der i en læseplan kun står en opremsning af fagområder, begreber og tekniske metoder, siges der ikke så meget andet end, at matematikundervisningen går ud på at lære noget udvalgt fagligt stof. Undervisningen identificeres på den måde med listen over det stof, som eleverne skal arbejde med selv om matematiklæreren forhåbentlig gerne vil noget mere med sin undervisning. På en måde svarer det til, at undervisning i engelsk identificeres med en liste over det ordforråd og de grammatiske regler, eleverne skal kunne bruge og kende. Men det er vel langt fra sikkert, at eleven er god til engelsk, selv om han kan nævne alle ordene og gengive de grammatiske regler. Det er først, når han kan sætte de grammatiske regler og ordene i spil, fordi han har opnået indsigt i nogle generelle tankegange og nogle indre sammenhænge i sproget, at eleven bliver i stand til at læse, forstå, kommunikere og selv bygge videre på sin viden, bl.a. igennem anvendelsen af de hjælpemidler, der kan knyttes til læring af sprog. På samme måde forholder det sig med matematik. Det vil være en fattig undervisning, hvis den ikke rækker ud over et pensum. Én ting er, at nogle elever opnår kendskab til de regneregler, der gælder for ligningsløsning. Men det sikrer på ingen måde, at eleverne kan sætte ligningerne og regnereglerne i spil. Hvis ligningsløsning skal være et redskab til at løse virkelighedens problemer, kræver det fx, at eleverne kan

oversætte problemerne til matematikkens sprog og tolke de løsninger, de finder, i forhold til virkeligheden. Hvis ligningsløsning skal hjælpe eleverne til en større talforståelse, kræver det, at eleverne kan forstå tankegangen bag ligningsløsning, kan eksperimentere med forskellige løsningsstrategier og evt. forbinde de algebraiske udtryk med grafiske repræsentationsformer. Med andre ord: Hvis matematikken kun beskrives igennem et pensum, medfører det en reduceret opfattelse af matematisk faglighed. En læseplan må derfor rumme mere end listen med fagområder, begreber og regnetekniske metoder. Mogens Niss m.fl. gav en anden form for beskrivelse af matematisk faglighed end den pensumbaserede. Til formålet brugte de kompetencebegrebet. At have matematisk kompetence vil sige at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge. Eller med andre ord: Det er matematisk kompetence, der gør det muligt for elever at bringe begreber som ligninger og teknikker som ligningsløsning i spil i meningsfyldte sammenhænge. Med denne forståelse af kompetencebegrebet giver det god mening, at en læseplan for folkeskolens matematikundervisning nødvendigvis må rumme både overvejelser over de fagområder, begreber og teknikker, som vi ønsker, at eleverne skal vide noget om, og overvejelser over den form for matematisk kompetence, som vi ønsker, at eleverne skal have mulighed for at opnå. Allerede læseplanen fra 1995 rummer faktisk sådanne overvejelser, som det antydes i citatet på forrige side, men Kompetencerapporten har gjort det muligt at give en mere systematisk beskrivelse af overvejelserne. Gruppen bag Kompetencerapporten nåede nemlig frem til at udpege otte matematiske kompetencer, der tilsammen udspænder og indfanger det væsentlige i matematisk kompetence. De otte kompetencer er indbyrdes forbundet man kan sige, at de lapper ind over hinanden, men samtidig er de afgrænsede således, at de har hver sin identitet. Ingen af kompetencerne kan reduceres til de øvrige kompetencer.

Figur 1, Kompetenceblomsten (fra Kompetencer og Matematiklæring, Undervisningsminsteriet 2002) Jeg kommer tilbage til et par af kompetencerne på en mere konkret måde senere. Først skal det beskrives, hvordan kompetencerne indgår i den brede beskrivelse af matematisk faglighed, som kendetegner Fælles Mål 2009. Den nyeste læseplan har som den tidligere fire Centrale Kundskabs og Færdighedsområder: Matematiske kompetencer Matematiske emner Matematik i anvendelse Matematiske arbejdsmåder Groft sagt kan man sige, at de matematiske emner og matematik i anvendelse vedrører det, der traditionelt er forbundet med undervisningens indhold (pensum). De matematiske arbejdsmåder rummer trinmål vedrørende den måde, eleverne skal arbejde med indholdet på, og de matematiske kompetencer rummer trinmål vedrørende de sider af matematikkens natur, der skal gøre eleverne i stand til at få matematikken i spil.

På den måde harmonerer de fire Centrale Kundskabs- og Færdighedsområder (CKF) med de overvejelser, enhver lærer må gøre, for at få noget som helst til at ske i en klasse. Læreren må overveje, hvad der skal arbejdes med?, hvordan der skal arbejdes? og hvorfor? Hvilken form for ekspertise søges der særligt gennem aktiviteterne? Ingen af de tre typer overvejelser kan undværes i forbindelse med undervisning og ingen af de tre typer overvejelser er nye for nogen lærer. Matematiske emner Matematik i anvendelse (Indhold) Hvad? Matematiske arbejdsmåder Hvordan? Kompetencer Hvorfor? Figur 2: Lærerens tre tankebobler Illustrationen skal vise, hvordan de tre typer overvejelser spiller sammen i en lærers planlægning. Når læreren skal planlægge et forløb, må der både findes målsætninger, som vedrører kompetencer, indhold og arbejdsmåder. Derfor står der således om samspillet mellem indhold, kompetencer og arbejdsmåder i læseplanen for 4.-6. klassetrin i Fælles Mål 2009:

I planlægningen må læreren have indhold, kompetencer og arbejdsmåder i spil på samme tid. Der sigtes på den måde mod udvalgte målsætninger fra flere CKF er i samme undervisningsforløb. Det er derfor vigtigt, at målsætningerne kan spille sammen. Fx kan et undervisningsforløb i 4.-6. klasse, der indholdsmæssigt sigter på elevernes udvikling af metoder til division, på samme tid sigte mod elevernes udvikling af problem- og symbolbehandlingskompetence og på elevernes evner til at samarbejde med andre om at løse problemer ved hjælp af matematik. Det er således samspillet mellem de tre typer overvejelser, der er det centrale i matematikundervisningen. 1. 2 Eksempel på planlægningsovervejelser Lad os prøve at dykke ned i nogle af de planlægningsovervejelser, der kan knytte sig til et forløb på mellemtrinnet. Vi er i 6. klasse. Matematiklærerne i to parallelle 6. klasser arbejder sammen om planlægningen af det kommende forløb. De har besluttet, at det skal handle om geometri, og indholdsmæssigt skal det i hvert fald sigte mod dette trinmål fra 6. klasse: arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning Lærerne ved, at elevernes forståelse af målestoksforhold og ligedannethed bl.a. har betydning for deres mulighed for at kunne arbejde med praktiske problemstillinger i forbindelse med landmåling, og på længere sigt vil disse begreber være afgørende for deres forståelse af trigonometri, som er et nyt matematisk emne ifølge Fælles Mål 2009. De kender på forhånd en række aktiviteter, der giver eleverne mulighed for at opnå viden og kunnen knyttet til begreberne ligedannethed, kongruens og målestoksforhold og søger flere idéer i lærebøger og hos kolleger. Men hvilke aktiviteter skal de vælge ud, og hvordan skal eleverne arbejde med dem? De valg, de foretager sig i deres planlægning, hænger sammen med de kompetencer og de arbejdsmåder, som det vil være hensigtsmæssigt, at eleverne arbejder med. En af de aktiviteter, lærerne gerne vil bruge i forløbet, handler om højdemåling. De vil gerne vise eleverne, hvordan kendskab til ligedannethed og målestoksforhold gør det muligt at bestemme højden af ting, der ellers ikke er lige til at måle. Fx kan eleverne bestemme højden af skolens flagstang ved at måle to vinkler og en afstand, hvis de efterfølgende tegner en model af situationen i et målestoksforhold, de kender. På baggrund af modellen kan de beregne den ønskede højde.

Figur 3: Fra Kolorit, matematik for sjette klasse, side 41 Lærerne ser, at eleverne igennem denne aktivitet også kan få mulighed for at arbejde med deres modelleringskompetence. Under trinmålene for 6. klassetrin, står der: opstille, behandle, afkode og analysere enkle modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af tegninger, diagrammer og tal (modelleringskompetence) De mener desuden, at aktiviteten med højdemåling giver gode muligheder for at lade eleverne samarbejde. Rent praktisk er det godt at være to til de udendørs opmålinger, og måske vil det være nødvendigt for mange

af eleverne at kunne støtte sig op ad en makker i forbindelse med tegning og beregning. Derfor kommer et tredje mål vedrørende arbejdsmåder ind i billedet: samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger De tre udvalgte mål kommer til at udgøre en slags grundstamme i den videre planlægning. Lærernes følgende overvejelser knytter sig til de mål, som de opfatter som de vigtigste i det forløb, de er ved at planlægge. På den måde kommer målene til at fungere som en slags sparring for dem. De kommer til at stille sig spørgsmål, der knytter sig til indholdet: Hvilken viden og kunnen skal eleverne have om måling af vinkler og længder, før de kan arbejde med bestemmelse af ukendte højder? Hvilket begreb skal de have om ligedannethed og målestoksforhold for at kunne følge tankegangen i arbejdet? Hvordan skal de opnå denne viden, kunnen og begrebsdannelse? Hvordan skal vi udfordre alle? På samme måde stiller lærerne sig selv spørgsmål, der vedrører elevernes arbejde med modelleringskompetence. Lærerne forudser bl.a., at de resultater, der vil fremkomme ved hjælp af de tegnede modeller, vil være forholdsvis usikre pga. usikkerhed i målingerne, og vælger at gøre denne usikkerhed ved modellerne til en del af forløbet. Eleverne skal diskutere og forholde sig til de resultater, de får igennem modelleringen. I forbindelse med lærernes overvejelser søger de inspiration i læseplanen og i undervisningsvejledningen. Under Matematiske kompetencer finder de bl.a. følgende udsnit: Problemløsning, dialog og alsidig anvendelse af repræsentationer kan fortsat betragtes som udgangspunktet for undervisningen både med sigte på at undersøge, beskrive og analysere matematiske sammenhænge og med sigte på at udvikle elevernes modelleringskompetence. Og på baggrund af dette udsnit diskuterer de, hvilken rolle problemløsning, dialog og alsidig anvendelse af repræsentationsformer skal have i forløbet. Lærerne ser disse arbejdsformer som det bærende grundlag for elevernes læring. Eleverne må have mulighed for at løse problemer for at skabe refleksion over og med de centrale matematiske begreber og metoder det er bl.a. gennem denne refleksion, at læring sker. De må have mulighed for at indgå i dialog med hinanden og med lærerne for at afprøve deres idéer og præcisere deres tanker, og som en støtte for deres tænkning, må eleverne have mulighed for at anvende repræsentationsformer, som de kan tænke i. Planlægningen tager på den måde form som en vekslen mellem overvejelser, der vedrører indhold, kompetencer og arbejdsmåder. Igennem overvejelserne udvælges aktiviteter, og det viser sig, at forløbet vil

komme til at omfatte flere trinmål. De oprindelige tre trinmål bliver suppleret med flere mål, der i denne forbindelse prioriteres lidt lavere. Samtidig har lærerne praktiske overvejelser, der i højere grad baserer sig på deres særlige kendskab til de to 6. klasser. Aktiviteten med højdemåling udvides fx til at kunne omfatte måling af utilgængelige afstande for at give mulighed for at udfordre klassens dygtigste elever. Lærerne overvejer, om nogle elever evt. kan finde resultaterne på flere måder og de overvejer, hvordan eleverne kan komme til at arbejde i forskelligt tempo med de forskellige problemstillinger. Desuden er der overvejelser vedrørende gruppedannelser, forventninger til elevernes samarbejde, og der er en række praktiske beslutninger, der skal på plads bl.a. vedrørende bygning af vinkelmålere og den tidsmæssige planlægning. Lærerne aftaler, at eleverne undervejs i forløbet skal samle deres produkter i en mappe og som evaluering skrive en forklaring til hver opgave, de har løst. Efter at have gennemgået elevernes mapper har lærerne mulighed for at tale med eleverne om deres forståelse af de centrale begreber og spørge til deres viden og kunnen. På baggrund af disse overvejelser kunne lærernes plan for forløbet komme til at se sådan ud: Uge Aktiviteter Undervisningsmål 1 Er figurerne ens? Dialog om begreberne kongruent, ligedannet, målestoksforhold. formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) Tegn to ligedannede figurer. Bestem selv målestoksforhold. (præsentation for klassen produktet gemmes til mappen). udtænke og gennemføre uformelle og enkle formelle matematiske ræsonnementer og følge mundtlige og enkle skriftlige argumenter (ræsonnementskompetence) Undersøgelse af sammenhængen mellem arealforhold og målestoksforhold (skriv og fortæl om resultatet af jeres undersøgelser - produktet gemmes til mappen). arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning undersøge og konstruere enkle figurer i planen

Evt. undersøgelser af sammenhængen mellem rumfangsforhold og målestoksforhold (kun for nogle af grupperne). 2 Dialog om princippet i højdemåling og om bestemmelse af afstande. Opgaver med tegning af kongruente og ligedannede figurer og med at anvende målestoksforhold. løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, egne repræsentationer og erhvervet matematisk viden og kunnen (problembehandlingskompetence) arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning Bygge udendørs vinkelmålere. undersøge og konstruere enkle figurer i planen 3 Anvendelse af de udendørs vinkelmålere til højdemåling og landmåling Nogle opgaver er bundne andre er selvvalgte. opstille, behandle, afkode og analysere enkle modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af tegninger, diagrammer og tal (modelleringskompetence) Fremstilling af modeller på baggrund af målinger (produkterne præsenteres og gemmes til mappen). Evt. anvendelse af it. Diskussion af modellernes anvendelse. se matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel. samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger 4 Kan I finde målet? Problemstillinger om måling i antikkens Grækenland. arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning Opsamling på begreberne ligedannethed, kongruens og målestoksforhold. sætte sig ind i og udtrykke sig såvel mundtligt som skriftligt om fremgangsmåder og løsninger i forbindelse med matematiske problemstillinger

Fremstilling og aflevering af (kommunikationskompetence) produktmapperne. Evalueringssamtaler med grupperne. Figur 4, En skitse til et forløb i 6. klasse Forløbets målsætninger kunne fx se sådan ud i stikordsform: Matematiske emner Matematik i anvendelse (Indhold) Forhold Ligedannethed Konstruktion Undersøgelse af figurer i planen Undervisnings - mål Matematiske arbejdsmåder Samarbejde Indgå i dialog Kompetencer Tankegang Problembehandling Ræsonnement Modellering Kommuni kati on Figur 5, En skitse til forløbets mål Det er klart, at de opdigtede læreres planlægningsovervejelser og selve planen i denne forbindelse kun er skitseret. Hensigten er først og fremmest at illustrere, hvordan Fælles Mål 2009 kan bruges i forbindelse med planlægningen. I et undervisningsforløb med matematik må læreren have indhold, kompetencer og arbejdsmåder i spil på samme tid. Det gælder altså om at planlægge på en måde, så eleverne får mulighed for at udvikle sig i et samspil indenfor disse tre hovedområder. Fælles Mål 2009 peger på de undervisningsmål, der skal knyttes til hovedområderne, og giver eksempler på, hvordan målene kan spille sammen. Faghæftet udgør derfor både en inspiration og en støtte til udvælgelsen af hensigtsmæssige aktiviteter.

1. 3 Sigte på udviklingen af bestemte kompetencer i undervisningen I læseplanen fra Fælles Mål 2009 er beskrevet, hvordan læreren igennem valget af hensigtsmæssige aktiviteter og igennem dialogen kan støtte elevernes udvikling af matematisk kompetence. Bl.a. hedder det i forbindelse med læseplanen for 4.-6. klassetrin: Det er også gennem dialogen, at eleven, med lærerens støtte, får mulighed for efterhånden at videreudvikle tankegangs- og ræsonnementskompetence, herunder skelne mellem forskellige slags matematiske udsagn og gennemføre enkle formelle ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande. I det følgende vil jeg med udgangspunkt i de to indledende aktiviteter fra forløbet om ligedannethed og kongruens forsøge at illustrere hvordan. I planen er disse aktiviteter kaldt Er figurerne ens? og Tegn to ligedannede figurer. Aktiviteterne er inspireret af Heidi Kristiansen fra Lynghøjskolen i Roskilde. De kursiverede citater og elevprodukterne er fra 6. klasse på Lynghøjskolen. Den førstnævnte aktivitet går ud på at diskutere, hvordan man kan afgøre, om to figurer er ens. Der tegnes 5-6 forskellige sæt af figurer på tavlen (eller de vises på Powerpoint/IWB). Eleverne skal sammen med læreren diskutere, om de er ens. Efter samtalen slår eleverne begrebet kongruent og ligedannet op i deres opslagsbog. De gennemgår nu igen de forskellige sæt af figurer for at afgøre, om de er kongruente, ligedannede eller ingen af delene. En af hensigterne med denne aktivitet kan være at udvikle elevernes tankegangskompetence. Tankegangskompetencen vedrører kort sagt matematisk tankegang. Eleverne må bl.a. have indsigt i de typer af spørgsmål, som er typiske for matematisk tankegang, for at kunne begå sig i matematikholdige situationer, og de må have blik for de typer af svar, der kan forventes. Selve hovedspørgsmålet i den beskrevne aktivitet er typisk for matematisk tankegang, Er figurerne ens? Svaret afhænger af, hvad vi definerer som ens. Ud fra definitionen kan eleverne begynde at forholde sig til påstande, sætninger, om figurerne, fx: To figurer er ligedannede, når de er ensvinklede. Eleverne må på sigt kunne skelne mellem sådanne definitioner og sætninger for at kunne udøve matematisk tankegang. I forbindelse med klassedialogen om hvad det vil sige at være helt ens, får eleverne netop mulighed for at stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik:

Figur 6, Kongruente trekanter? Må figurerne drejes rundt? Må de være spejlvendte? Må de ligge overfor hinanden? Det bliver tydeligt igennem klassedialogen, at svarene kalder på en aftale. Det må aftales, hvad vi forstår ved helt ens, før spørgsmålet kan besvares. Denne konklusion betragter læreren som en pointe i arbejdet med elevernes tankegangskompetence. Det bliver tydeligt, at der er brug for en definition. Hun fortæller, at der findes et begreb, som de kan bruge i afgørelsen og benytter lejligheden til at lade eleverne slå begrebet kongruente figurer op i deres opslagsbog. Sådan står der i deres bog: To geometriske figurer kaldes kongruente, hvis de kan bringes til at dække hinanden punkt for punkt. Når to figurer P 1 og P 2 er kongruente, skriver man P1 P2. (Hans Jørgen Beck: Gyldendals små opslagsbøger, Matematik, Gyldendal 2003). Klassen diskuterer nu betydningen af definitionen. Hvad vil det sige, at figurerne kan bringes til at dække hinanden punkt for punkt? En af eleverne siger: Man kan klippe dem ud og lægge dem oven på hinanden. Hvis de dækker hinanden helt, så er de kongruente altså helt ens. Der er enighed i klassen om, at definitionen kan tolkes på den måde, og eleverne har nu et grundlag for at kunne svare på spørgsmålene. Læreren får samtidig et grundlag for at kunne stille nye spørgsmål. Mon det er nødvendigt at klippe dem ud? Kunne vi måle os frem? Når eleverne går med på en diskussion som denne, åbner det flere muligheder for deres udvikling af tankegangskompetence. Hvad skal vi måle på trekanterne for at afgøre, om de er kongruente?, kan læreren spørge. Hvis vi måler alle sidelængderne og vinklerne og finder ud af, om de er ens, så kan vi vide, om de

er kongruente., kunne være et elevsvar. Er I enige?, spørger læreren klassen. Ja, hvis vinklerne og siderne er ens, så er det jo den samme trekant så kan man klippe den ud, og så vil den dække, siger en anden. Gad vide, om det er nødvendigt at måle alle vinklerne og alle siderne for at afgøre, om de er kongruente, siger læreren. Hvor lidt kan vi mon nøjes med at måle? I forbindelse med elevernes svar på spørgsmål som disse kan læreren få indblik i forskellige elevers matematiske tankegang. Har eleverne blik for hvilke typer svar, der kan komme på tale? Kan de anvende betingede udsagn, som Hvis så? Vil de stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik, til hinanden i forbindelse med problemstillingen? Vi behøver i hvert fald ikke at måle alle tre vinkler, for hvis vi kender to af vinklerne, så kan vi regne den sidste ud, kan det tænkes, at en elev siger. Hvordan det?, spørger en anden elev i klassen måske. Kan vi altid vide det?, spørger en tredje. Som det antydes, kan der udvikles en matematisk samtale i klassen, hvor læreren søger at gøre matematisk tankegang til det centrale. Tankegangskompetence kan på den måde fungere som lærerens pejlemærke i den måde, hun guider eleverne og styrer samtalen. I klassen på Lynghøjskolen udviklede samtalen sig til også at omfatte ligedannede figurer. Hvis jeg nu fortæller jer, at de to trekanter er det, der kaldes ligedannede Kan I så fortælle mig, hvad der kan ligge i begrebet ligedannet?, spurgte læreren. Figur 7, To ligedannede trekanter Blandt elevsvarene var: De skal have samme form, men forskellig størrelse Man presser sammen i siderne, så den bliver mindre Det er den samme figur, den er bare blevet større eller mindre Du har skåret af siderne på den store for at få den lille I klassesamtalen søgte læreren sammen med eleverne at præcisere begreberne kongruent, ligedannet og målestoksforhold. På baggrund af samtalen stillede læreren opgaven: Tegn eller klip ligedannede figurerer. Skriv deres målestoksforhold. Du bestemmer selv forholdet. Eleverne præsenterede deres arbejde

for hinanden, og ved præsentationerne opstod der igen en matematisk samtale. I denne samtale var lærerens fokus i højere grad på de ræsonnementer, som eleverne kunne foretage på baggrund af deres arbejde altså på elevernes udvikling af ræsonnementskompetence. En af eleverne havde lavet denne planche: Der opstod diskussion om det angivne målestoksforhold, 1 : 2, i klassen. Hov, Heidi, det passer jo ikke. Den bliver jo ikke dobbelt så stor Den kan være der 4 gange., sagde en elev. Udsagnet gav mulighed for at diskutere forskellen på målestoksforhold og arealforhold, og det gav anledning til at dykke ned i årsagen til denne forskel. Hvordan kan det være, at arealet af det store rektangel er fire gange så stort som arealet af det lille rektangel, når deres målestoksforhold er 2 : 1? Nogle elever i 6. klasse kan ræsonnere sig frem til denne sammenhæng, og læreren kan evt. støtte deres tankegang med tegninger og vise de tilhørende beregninger. Tegningerne herunder støtter fx ræsonnementet: Det gælder altid, at når den ene side gøres dobbelt så stor, bliver arealet også dobbelt så stort. Først gøres den ene side dobbelt så stor (nu er arealet dobbelt så stort), så gøres den anden side dobbelt så stor (nu er arealet fire gange så stort).

2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm Figur 8, Sammenhængen mellem målestoksforhold og arealforhold En anden elev havde lavet denne planche: Han var havnet i problemer med at angive målestoksforhold i forbindelse med kvadraterne til venstre. En dreng fra klassen foreslog, at klassen skulle gå på jagt efter det tal, der giver 7, når det bliver ganget med 4.

Hvis vi kan finde det tal, kender vi jo målestoksforholdet! I denne situation vil det være rimeligt for de fleste elever i 6. klasse at gå på jagt efter det rigtige tal med lommeregner. Drengen fandt hurtigt ud af, at 3 3 resultatet var 1 4 og foreslog, at forholdet mellem det lille kvadrat og det store kvadrat skulle være 1 : 1 4. 3 Men situationen giver også mulighed for ræsonnementer. Er der nogen, der kan forklare, hvorfor 4 1 4 giver 7?, kunne læreren spørge. Et ræsonnement for en dygtig elev i 6. klasse kunne være: 4 gange 1 giver 1 1 4, og 4 gange 2 giver 8. Så må 4 1 2 give 6. Det rigtige tal må ligge lige mellem 1 2 og 2.. I 6. klassen på Lynghøjskolen bad læreren eleverne taste 7 : 4 på deres lommeregner. Eleverne kunne 3 konstatere, at resultatet var 1 4, og der opstod en tese om, at man let kan finde målestoksforholdet mellem to ligedannede figurer, hvis man kender to sidelængder. Forholdet kan simpelthen udtrykkes ved hjælp af to kendte sidelængder. En tredje elev havde lavet denne planche: Klassen diskuterede, om rektanglerne til venstre i det hele taget er ligedannede. Er de ligedannede bare fordi, begge to er én cm større?, spurgte en elev og klassen fik på denne måde en påstand at forholde sig til. På baggrund af de tidligere samtaler ræsonnerede en elev sådan:

Før så vi, at forholdet var 4 : 7 Men hvis vi bruger samme trick her, bliver der to forskellige forhold. Den ene side er 4 : 5, og den anden side er 3 : 4. En anden elev sagde: Man ganger jo ikke med det samme tal skal man ikke det?. Det sidste spørgsmål kunne give anledning til at undersøge konsekvensen, hvis man kan acceptere at gange med to forskellige tal, når fx et rektangel skal forstørres elle formindskes. Brudstykkerne af dialogerne skal først og fremmest demonstrere, hvordan læreren kan bruge kompetencebeskrivelserne som pejlemærker i sin undervisning. De spørgsmål, der stilles, kan i særlig grad sigte på en eller to bestemte kompetencer. På den måde kan kompetencebeskrivelserne bruges i undervisningen til at vælge en bestemt tilgang til indholdet en tilgang, der rækker ud over indholdet. I brudstykkerne fra 6. klasse fokuserer læreren fx i særlig grad på elevernes tankegangskompetence og ræsonnementskompetence, og denne tilgang hjælper til at få undervisningen til at række ud over indholdet, der i denne forbindelse er kendskab til begreberne kongruens, ligedannethed og målestoksforhold. 1. 4 Hvorfor så et nyt faghæfte? Fælles Mål 2009 er på mange måder en videreførelse af de tanker, der blev indledt med faghæftet i 1995, og som findes i Fælles Mål. Der bygges stadig på det samme læringssyn, hvor eleverne ses som aktive konstruktører af viden, og den brede beskrivelse af matematisk faglighed er videreført. Der er også stadig fire centrale kundskabs- og færdighedsområder, men disse er ændret, så matematiklæreren i højere grad får støtte til at planlægge og gennemføre undervisning, hvor indhold, kompetencer og arbejdsmåder spiller sammen. I denne artikel har jeg specielt koncentreret mig om denne ændring. Det er min opfattelse, at de Centrale Kundskabs- og Færdighedsområder i høj grad harmonerer med de tanker, en matematiklærer må gøre sig i forbindelse med planlægning og gennemførelse af undervisning. De matematiske emner og matematik i anvendelse kan betragtes som CKF er vedrørende indhold. Det er herfra, at undervisningsmål vedrørende undervisningens indhold hentes. Matematiske arbejdsmåder er som navnet siger det sted, hvor mål vedrørende centrale matematiske arbejdsmåder hentes. Matematiske kompetencer kan betragtes som et område, der rækker ud over indholdet. Det er elevernes matematiske kompetencer, der gør dem i stand til at bruge de færdigheder og den viden, de har vedrørende matematikkens fagområder. En matematiklærer må forholde sig til undervisningens indhold (hvilket fagområde skal vi arbejde med?), til arbejdsmåderne (hvordan skal vi arbejde?) og til elevernes udvikling af matematisk kompetence (hvad er det

mere overordnede sigte med arbejdet?), for det er indhold, arbejdsmåder og kompetencer, der tilsammen sætter eleverne i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikholdige sammenhænge. Det er min opfattelse, at Fælles Mål 2009 er en god hjælp i dette arbejde. Som eksemplerne i dette kapitel illustrerer, kan faghæftet både fungere som pejlemærker for valg af hensigtsmæssige aktiviteter og som inspiration til disse aktiviteter. I forbindelse med selve undervisningen kan især kompetencerne fungere som pejlemærker for lærerens handlinger. Jeg tænker derfor, at den tid, det tager at sætte sig ind i alt det nye, vil være godt givet ud. Fælles Mål 2009 er endnu et skridt i den rigtige retning.