INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en del af hensigten med at beskæftige sig med trigonometri, at arbejde undersøgende med matematik. En anden årsag til (gen)inddragelsen af trigonometri i folkeskolen kunne være, at så godt som alle ungdomsuddannelser har dette fagområde på programmet. Grundskolens undervisning i trigonometri kan altså også ses som et forsøg på at imødekomme overgangsproblemer fra folkeskolens matematikundervisning til ungdomsuddannelsernes matematikundervisning. I Kolorit introduceres trigonometri som et matematisk værktøj til at give svar på praktiske problemstillinger vedrørende måling af længder og areal. Hvad gør man når den længde eller det areal, man gerne vil kende, ikke kan måles direkte? Hvordan kan man regne sig frem til ukendte længder og arealer? Svaret bygger især på kendskab til ligedannede trekanters egenskaber. I kapitlet arbejder eleverne derfor bl.a. med at undersøge forholdet mellem kateter og hypotenuse i ligedannede trekanter. Det viser sig, at dette forhold er ens, når trekanterne er ligedannede. Eleverne behøver derfor kun at kende forholdet i én trekant for at kende forholdet i alle de trekanter, som er ligedannede med denne trekant. De kan derfor udarbejde tabeller over de forhold, der knytter sig bestemte gradtal i retvinklede trekanter altså, tabeller over trigonometriske værdier. På baggrund af tabellerne (eller på baggrund af indtastninger på lommeregner) kan de derefter beregne målene på de ukendte længder. I kapitlet veksles således mellem praktiske og teoretiske problemstillinger. Udgangspunktet er forskellige praktiske problemstillinger, der fører til undersøgelser indenfor matematikken. Resultatet af disse undersøgelser giver ny indsigt, som kan bruges i forbindelse med de praktiske problemstillinger. Set fra et arbejdsmådeperspektiv giver kapitlet på den måde gode muligheder for bl.a. at fokusere på det trinmål, der handler om at veksle mellem praktiske og teoretiske problemstillinger i forbindelse med matematiske problemer (se de følgende udpluk fra faghæftet). I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: Målestoksforhold Pythagoras sætning Kateter og hypotenuse (herunder hosliggende og modstående katete) Ligedannede, retvinklede trekanter Forhold Sinus, cosinus, tangens Arealberegning i trekant (bl.a. ved hjælp af trigonometri) Korder Herons formel Huskeliste: Evt. geometriprogram (side 90, 92, 94, 96) TRIGONOMETRI 1
FRA FAGHÆFTET Kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner kende og anvende forskellige figurers geometriske egenskaber fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras sætning arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri Matematik i anvendelse anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer Matematiske arbejdsmåder deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte i bl.a. it veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde TRIGONOMETRI 2
Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med trigonometri. Målet er, at I bliver i stand til at beregne de ukendte sidelængder i en retvinklet trekant, når I kender størrelsen på en af de spidse vinkler og en sidelængde. lærer begreberne sinus, cosinus og tangens i forbindelse med retvinklede trekanter. kan bruge jeres nye viden til at beregne længder og arealer. TRIGONOMETRI 3
Facit Side 90 Mundtligt 1.a og 1.b Fx 34,4 m 28 m 20 m 10,1 m 40 12 m 6 m 5,2 m 60 85,1 m 20 80 m TRIGONOMETRI 4
2. - 3. - 4. Pythagoras sætning kan kun bruges, når der kendes to af de tre sidelængder. Side 91 - Mundtlig 5. a b b a Side 92 - Problem 1. Fx B c a A 60 b C 2. a - b - c - 3. a 0,87 b 0,50 c 1,73 4. Fx TRIGONOMETRI 5
B c a A 60 b C 5. De tre forhold har samme resultater. 6. Det gælder for alle retvinklede trekanter med en vinkel på 60. 7. I alle retvinklede trekanter med en vinkel A på 40 gælder: 8. I retvinklede, ligedannede trekanter er forholdene mellem siderne ens. TRIGONOMETRI 6
Side 93 Færdighed (Facit står i grundbogen på side 184) Side 94 Mundtlig 1. Fx 10,0 cm 3,4 cm A 20 2. Ca. 340 m 3. Fordi 4. 0,34 1000 = 340 5. - Side 95 - Mundtlig 6. Det røde dragefly: 210 m Det gule dragefly: 208 m Det grønne dragefly: 170 m 7. Forholdet mellem siderne er 0,5. Resultatet er derfor 700 m 0,5 = 350 m. TRIGONOMETRI 7
Side 96 - Problem 1. og 2. Fx 1 0,8 0,6 0,4 0,2-1 -0,5 0,5 1-0,2 v=24-0,4-0,6-0,8-1 3. 0,41 4. v 4 0,07 8 0,14 12 0,21 16 0,28 20 0,34 24 0,41 28 0,47 32 0,53 36 0,59 40 0,64 44 0,69 TRIGONOMETRI 8
48 0,74 52 0,79 56 0,83 0,87 64 0,90 68 0,93 72 0,95 76 0,97 80 0,98 5. Fx Katetens længde er større end 0 og mindre end 1. Derfor kan forholdets mindste værdi komme så tæt på 0, det skal være, men aldrig blive 0 eller mindre. Forholdets største værdi kan komme så tæt på 1, det skal være, men aldrig blive 1 eller større. Side 97 Problem 1. a 29,4 m b 27 m c 20,7 m d 15,9 m Side 98 Mundtlig 1. cos (50 ) 0,64 2. tan (50 ) 1,2 3. a sin (50 ) 0,7660 b cos (50 ) 0,6428 c tan (50 ) 1,1918 4. - TRIGONOMETRI 9
Side 99 Mundtlig 5. Fx Cosinus er. I eksemplet er cos(23 ) =. Da cos(23 ) = 0,92, må det gælde, at. 6. 5,4 cm 7. a Først kan sin(23 ) bestemmes ved hjælp af lommeregner. Derefter kan resultatet bruges til at opstille en ligning (se opgave 8). b Først kan tan(23 ) bestemmes ved hjælp af lommeregner. Derefter kan resultatet bruges til at opstille en ligning (se opgave 8). 8. sin(23 ) 0,39 Da er s = 5,4 0,39 2,1 tan(23 ) 0,42 Da er s = 5,0 0,42 = 2,1 De to resultater passer med hinanden. 9. I rammen Samlet er siderne navngivet med bogstaver i stedet for katete og hypotenuse. Side 100 - Færdighed (Facit står i grundbogen på side 185) Side 101 Problem 1. Klippen er ca. 17 m høj. 2. Øen ligger cirka 229 m væk. 3. Dragen er ca. 12 m over vandoverfladen. TRIGONOMETRI 10
Side 102 Problem 1. Arealet af trekant ABC er 12. Det kan beregnes med formlen (hvor h er trekantens højde og g er trekantens grundlinje), eller man kan tælle sig frem. Den del, der ligger over højden, er halvdelen af et rektangel på 16 (altså 8 ), og den del der ligger under højden er halvdelen af et rektangel på 8 (altså 4 ). 2. Den del af trekanten, der ligger over højden, udgør en retvinklet trekant. I en retvinklet trekant er sin(v) =. Derfor gælder i eksemplet, at sin(c) = 3. Ved at gange med b på begge sider af lighedstegnet, fås h = b sin(c) 4. Da h = b sin(c), kan b sin(c) erstatte h i den kendte formel. 5. b sin(c) = sin(45 ) = 12, altså 12. 6. Grundens areal er ca. 128. Side 103 - Problem 1. cm 4,24 cm 2. Fordi korden ikke er en del af en retvinklet trekant. 3. Vinkelhalveringslinjen er vinkelret på korden og halverer den. De to trekanter, der opstår, vil derfor være retvinklede og kongruente (de har tre lige lange sider og to ens vinkler). 4. Den mindste vinkel er 20 fordi den udgør halvdelen af 40. Kordens længde er ca. 2,1 cm. 5. Bredden på scenens bagkant er ca. 9,2 m. TRIGONOMETRI 11
Side 104 - Færdighed (Facit står i grundbogen på side 185) Side 105 Færdighed (Facit står i grundbogen på side 185) TRIGONOMETRI 12