Sandsynlighedsregning i 5. klasse 5. klasse skal fortsætte deres emne om statistik og sandsynlighed. I dag er de nået til chancebegrebet. Læremidlet er Format 5, siderne 64-65. Der er fokus på: hvilke ord, der kan bruges i hverdagssproget for at beskrive chancer. Ordene skal kombineres, så påbegyndte sætninger giver mening, der er flere mulige svar (opgave 19) hvilke matematiske beskrivelser, man kan anvende for at beskrive chancer i form af brøker, decimaltal og procent, såvel som omskrivning fra visuel geometrisk repræsentation af brøk til sproglig repræsentation brøkrepræsentation (3 ud af 4), decimaltal og procent. Opgaven her er en repetitionsopgave som optakt til matematisk beskrivelse af chancer i form af brøker, decimaltal og procent (opgave 20) hvordan man kan angive sandsynlighederne for forskellige udfald og hændelser (begrebet udfald og hændelser bliver dog ikke brugt). Eleverne skal angive sandsynlighederne for forskellige udfald og hændelser ved kast med en ti-sidet terning. De har ikke adgang til en ti-sidet terning, så de skal forestille sig de mulige udfald og hændelser (opgave 21) hvordan man kan eksemplificere begreberne udfaldsrum, samt jævn og ujævn sandsynlighed ved forskellige udfaldsrum. Opgaverne er med til at eksemplificere begreberne udfaldsrum, samt jævn og ujævn sandsynlighed ved forskellige udfaldsrum. Der er angivet 4 forskellige genstande, som man kan kaste med: Mønt, hårbørste, tændstikæske og ti-sidet terning. Eleverne skal angive udfaldsrummet og angive med et kryds, om der er jævn eller ujævn sandsynlighed (opgave 23). Eleverne skal derudover også producere en snydeterning og derefter kaste med den for at angive hyppigheden for de respektive udfald. De skal kaste 50 gange hver og registrere hele klassens eksperimenter (opgave 25). 10.00, introduktion 1
På skolen har de teater-ringning. Klokken ringer to minutter før timen reelt starter. Både læreren og eleverne er i lokalet og er klar til tiden. Læreren beder eleverne om at finde deres pladser, og straks efter er de klar til at modtage den første besked. Lokalet er stort, lyst og venligt, med hvide vægge. Væggene er prydet med omhyggeligt udførte tegninger og papirklip. To store whiteboardtavler og en activeboardskærm dækker næsten endevæggen, bagerst er der en stor rummelig reol, hvor elevernes ting er placeret i ens grønne klodskasser og ens hvide mapper. Lokalet støder lige op til biblioteket. Der er tre rækker med borde, både borde og stole er indstillet til hver elevs højde, så bordene går i bølge og dal, især på bagerste række. Udenfor regner det. Fra klasseværelset på 2. sal ser man en stor trætop, vi er sidst i maj. Læreren instruerer de 16 tilstedeværende elever (heraf fem drenge) i at slå op på side 64-65 i systemet Format 5, således at de kan danne sig et overblik over elementer og begreber i dagens emne. Det kan også betale sig at bladre tilbage til side 10-11, der omhandler brøker, decimaltal og procent. Det skal de nemlig også bruge. I orienterer jer lige i de vigtigste sider, mens jeg starter maskinen, siger han. Før timen fortæller læreren os, at klassen nok er dygtigere end gennemsnittet, det er både hans fornemmelse, og det fremgår også af MG-prøverne og de nationale test, påpeger han med et skævt smil: Så det er ikke kun mig, Nu hersker der en rolig, næsten tyst stemning i klassen. Enkelte elever, fx elev M1 på bagerste række tilføjer noter på siderne 10-11 med blyant hist og her. Udover elevernes bladren hører man kun lyden fra projektoren, som læreren har startet, og side 64 med overskriften Chance fra Format toner frem på skærmen. Så skriver læreren dagens program på tavlen: 1. Færdighedsregning 2. Format: Opgaverne 19, 20, 21, 23 og 25. Dagens program kommenteres af læreren: Først skal I arbejde med færdighedsregning i ca. 10 minutter, lige som I plejer hver onsdag. Husk at skrive dato, tælle antal rigtige op og føre statistik., siger læreren. Derefter skal I finde sammen i grupper. Der er kun en regel: Ingen skal sidde alene tilbage. Det behøver jeg egentlig slet ikke at sige til jer, I er knaldgode til det her, fortsætter han. Herefter påbegynder læreren introduktionen til emnet sandsynlighed, som eleverne skal arbejde med efter færdighedsregningen. Læreren står midt foran skærm og whiteboards med en både rolig og gestikulerende fremtoning. Hvad har I mødt af vigtige ord? spørger han. En pige rækker hånden op og svarer: Chance og risiko, det er dem i den grå infoboks. De ord, som man kan bruge, sætte ind. Hun refererer til opgave 19: Indsæt de manglende ord. En dreng supplerer med mulig og umulig. Læreren vil skrive ordene op på tavlen, tuschen er dårlig og kastes med et flot langt kast direkte i 2
skraldespanden. Du var heldig, mumler en dreng. Ordene chance og risiko skrives på tavlen. Hvordan beskriver vi chancer, spørger læreren? Chancen for at vinde Melodi Grand Prix er sikker, indskyder elev F. Man kunne ikke tjene ret mange penge (der refereres til odds-setting, ved det nyligt overståede Melodi Grand Prix, hvor Danmark vandt). Hvordan kan man også beskrive chancer?, fortsætter læreren og svarer selv: Vi kan bruge brøk, decimaltal og procent, det var derfor at I også skulle kigge på side 10-11. Hvad med opgave 20, elev A, er det svært? spørger læreren. Næ, ikke rigtigt, svarer elev A. Hvordan få vi skrevet ¾ som decimaltal, elev V? Det ved jeg ikke. Er der nogen, der kan finde ud af det eller huske det?, spørger læreren, og dialogen fortsætter lidt endnu. Eleverne er koncentrerede og er tydeligvis med. Han bruger hele tavlen, noterer begreberne i den ene side, modsat activeboardskærmen, og han noterer forskellige brøker midt på tavlen. Herefter bladrer han frem til en ny side på skærmen, hvor begreberne jævn og ujævn sandsynlighed er nøglebegreber, og igen spørger læreren ind til flere elevers forståelse af disse begreber, såvel sikre som usikre. Den usikre elev, Y2 ryster på hovedet, den sikre X2 begynder nonchalant at kaste en blyant i luften og for derefter at gribe ud efter den. Han kan heller ikke svare på spørgsmålet. Y2 arbejder synligt koncentreret, hvilket er generelt for klassen. Der er i det hele taget en seriøs stemning i klassen. Hun skriver aktivt i sin bog og rådfører sig et par gange hos hendes sidemand om opgaverne. Læreren præsenterer nu begrebet udfaldsrum, som må anses for at være ambitiøst at behandle i en 5. klasse, men opgave 23 refererer til dette. Læreren eksemplificerer med terningekast, man kan kaste 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Elev M1 byder ind med, at det drejer sig om muligheder, og eksemplificerer med møntkast, der er to muligheder, den ene side og den anden side. Elev F på forreste række supplerer: Den kan vel også stå på kanten. Det hører læreren ikke, men han relaterer her til illustrationer på skærmen, hvor en mønt, en terning og en hårbørste er afbilledet. Samtalen fortsætter med gisninger om, hvorvidt kast med en hårbørste frembringer jævn eller ujævn sandsynlighed og hvor mange sikre udfald, der er. Ujævn, siger elev M2, Det er bare sådan jeg tænker, den er ikke jævn. Hun bekræftes i sit svar af læreren, men udfaldene i udfaldsrummet eksemplificeres ikke. Den sidste opgave omhandler kast med 3
selvproducerede snydeterninger, To drenge, den ene er udpeget som sikker elev (elev X2), får ansvaret for et regneark, hvor hele klassens data skal indtastes. 10.20, færdighedsregning Der er gået 20 minutter, og eleverne går nu i gang med færdighedsregning. Igen er det kun lyden fra projektoren, man hører. Dog taler elev F og elev P sagte sammen på forreste række, mens de venter på deres hæfte. Kan du huske, da vi så den film, hvor baseballspilleren kastede battet og det landede, så det stod lige op? Det var sejt, siger elev F. Elev P smiler. Deres tanker kredser stadig om mulige og næsten umulige udfald. Læreren forlader lokalet et par minutter og vender tilbage med en taske. Mange af eleverne arbejder stille, de benytter sig af kladdepapir eller tæller åbenlyst på fingre. Elev M1, drengen på bagerste række, sidder helt stille en stund, skriver, sidder helt stille endnu en stund, skriver igen. Han bruger ingen hjælpemidler. På den midterste række fungerer den ene pige, elev C, som en slags hjælpelærer. Sidekammeraten elev A prikker diskret hende på armen med blyanten, venter pænt på at hun er færdig, spørger kort og får et kort og tilsyneladende præcist og brugbart svar igen. Nå, skal man bare gange, konkluderer hun hviskende og arbejder koncentreret videre. De to elever er ikke på samme side, elev C er nået længere end elev A. Fire elever kommer op til katederet ved computeren og spørger til regnestykkerne, og efterhånden støder nogle flere til, og en lavmælt småsnakken breder sig. De hurtigste elever har klaret en færdighedsregning for 5. klasse med 20 opgaver, tjekket svar og ført statistik på under 10 minutter. I hæftet antydes der, at hver side med 20 opgaver er beregnet til ca. 20 minutters arbejde. Ikke nok med at de er hurtige, deres statistik viser, at de støt ligger på 18-20 rigtige ud af 20 opgaver. Nogle af drengene på første række, har før klaret en side på under fem minutter, viser deres statistik, med fin svarprocent vel at mærke. Pas på stemmerne, siger læreren, det er ikke alle, der er færdige med færdighedsregning. 10.40, Format Op mod 10 elever siver ud af klasselokalet direkte ud på gangen og biblioteket for i smågrupper at løse opgaverne i Format. Y2 går sammen med en kammerat, som hun tydeligt kommer godt overens med. Elev M2 arbejder stadig intensivt med færdighedsregning. Elev M1 har tilsyneladende valgt at arbejde alene i dag, men senere inddrages han i en af de to drengegrupper. 1 Den ene af de to udpegede drenge, der skal 1 Det gør han nogen gange siger lærer L. Lærer L mente, at han selv havde begået frispark på ham, da han ikke havde inddraget ham i regnearksgruppen og at han måske var lidt mut over det. Elev M1 er en elev med særlige forudsætninger, hyperintelligent, siger lærer L. 4
arbejde med regneark, elev X2, er færdig med færdighedsregning, og han får en kort instruktion i forhold til opgaven med regnearket af læreren. Herefter går både han og makkeren i gang med opgaverne i Format, og syv minutter senere er de klar til at påbegynde opgaven med regnearket. I biblioteket er der baggrundsstøj fra andre elevaktiviteter, udlån og småpjatterier, småsnak der drejer sig om fritidsforhold. Baggrundsstøjen generer ikke grupperne, der nu sidder rundt omkring. Få minutter senere har elev Y2 (usikker elev) i samarbejde med en anden elev, elev J, løst opgave 19 og er nu i gang med opgave 20. De arbejder meget koncentreret med opgaverne og med stor energi. Y2 udbryder blandt andet: Fuck det er godt efter at en del af opgaverne lykkedes. Hun går hun tilbage til klasselokalet for at spørge læreren om den tisidede terning, hvorvidt det er en konkret terning eller en forestillet terning, de skal regne med. Hun går igen tilbage til biblioteket, hvor de andre grupper arbejder fokuseret og gerne vil have kvittering hos læreren for udført arbejde. Faglige, sproglige usikkerheder og praktiske forhold drøftes: ¾, hvad er det i procent? Det må enten være 25, 50, 75 eller 100, for det er fjerdedele det må være 75, siger den ene pige, som arbejder på gangen. Nå ja, det var smart tænkt, siger den anden pige. Kan man sige sikker risiko? spørger en af drengene. Giver det mening? Han svarer egentlig selv, da han tilfreds siger: Der er sikker risiko for, at man dør Kan man sige, at der er meget lille risiko for at få sne om sommeren? Det er jo ikke umuligt., siger elev I, spørgende til sin makker. Mange grupper henvender sig til læreren for at høre, om 0 er med på den ti-sidede terning. De to drenge inde i klassen beslutter sig for, at det er den ikke, og de angiver det korrekte svar til at være 0,00 =0 %. Det er mest sandsynligt, at det lander på den her måde. Elev Y2 peger på den største flade på viskelæderet, kaster med viskelæderet et par gange og bekræftes i svaret. Viskelæderet påføres som et udfaldsrum med tre udfald med ujævn sandsynlighed i opgave 23. Hun er udpeget som værende usikker, men hun ser ud til at være ganske godt kørende. Hun siger: Org vi er gode, opgaverne er nu næsten færdige. Y2 og hendes makker viser i det hele taget stor interesse for opgaverne og skiftes til at tage ansvar. På en anden plads lægger elev M2 sidste hånd på sin optælling, sætter hæftet på plads og går ud til sin gruppe, som har reserveret en plads til hende. Undervejs gennem observationer i biblioteket fortæller læreren os, at han arbejder med elevernes forventninger vedrørende en times begyndelse. De ved, at når han giver signal 5
til at gå i gang, så er det meningen, at alle skal orientere sig i materialet fra sidste time og til denne time, finde opgaver frem, se i lærebøger og fokusere på indholdet. På den måde er vi i gang allerede fra start, siger læreren, og jeg har tid til at klargøre programmet. 11.00, Format (fortsat) og regneark. Fem piger sidder omkring det samme bord, det er en to-mandgruppe og en tremandgruppe, og de hjælper hinanden. Den ene gruppe er ved opgave 21 og den anden ved opgave 23. Midt på bordet ligger en smartphone. Eleverne er i gang med at finde eksempler på jævn og ujævn usikkerhed. De leder efter ting på biblioteket, først fokuserer de på en grøn klodskasse med bøger, men den afvises, den er ikke firkantet, siger de, den er ikke jævn. Heldigvis er der en stor papkasse formet som en terning med Ronja Røverdatter på, som godkendes. Nogle minutter senere glider gruppesnakken over til forskellige ordsprogs betydning og omtale af forældres gøren og laden. I klassen ved katederet har to af drengene på forreste række arbejdet sig frem til opgaven, hvor de skal fremstille snydeterninger, der skal kastes 50 gange. Elev M1, der er ved at klippe terningen ud, inviterer sig selv med i gruppen ved at sige: Jeg klipper ikke jeres terning ud. Han går hen til drengene, og resten af tiden arbejder de i princippet sammen. De har dog alle tre stor fokus på de to regnearksansvarlige drenge og taler også om mobil-apps og musik. De sidder ikke ned, men bevæger sig frem og tilbage foran tavlen. Regnearksgruppen, elev X2 og elev V, er færdige med at klargøre. Nu kan klassekammeraternes data skrives ind. De to drenge bliver siddende ved katederet og begynder på opgaven med snydeterninger. De gør sig umage med at klippe terningerne ud, og ser koncentrerede ud. Da de er ved at være færdige, kommer elev N fra forreste række op til dem. Han ser på regnearket, som er åbnet på smartboardet, og siger drillende: Hvorfor er der kun smiley er efter jeres navne? Derfor begynder elev X2 at lave forskellige smiley er efter de andre drenges navne, men hans opmærksomhed er hurtigt tilbage ved opgaven igen. Han og elev V påbegynder eksperimentet: Elev V slår med terningen, imens elev X2 noterer resultaterne direkte i regnearket. Elev X2 skynder på elev V og mener, at det kan gå meget hurtigere. Bagefter bytter de to drenge plads og gentager øvelsen. Denne gang styrer elev X2 selv tempoet. Da de er færdige, kommer lærer L ind i klassen, og elev X2 fortæller ham om deres eksperiment: Se, vi har kun fået to 6 ere! Elev X2 er begejstret over eksperimentets resultat, og lærer L og elev X2 bliver enige om, at det må være fordi, det er en snydeterning. 6
Herefter opstår en smule ventetid, fordi ingen af de andre grupper er klar med resultaterne endnu. Elev X2 og elev V begynder at beatbokse for to andre drenge, og drengene ser ud til at more sig med at underholde de andre. Det varer dog ikke længe før den første gruppe kommer og afbryder dem, da de er klar med resultaterne. Elev X2 og elev V omstiller sig hurtigt og vender tilbage til opgaven. De fleste grupper er næsten færdige og er nu ved at løsne lidt for koncentrationen ved at åbne for fritidsemner og gå rundt for at vise hinanden de handicappede terninger. Elev I henvender sig til læreren med en noget krøllet snydeterning: Jeg kan ikke lime, den er helt spasset og nu har jeg også fået lim på fingrene. Læreren beroliger: Det er jo også en snydeterning, prøv den bare. Trods en lidt flydende koncentration er eleverne dog stadig fokuserede på den aktuelle opgave. Grupperne benytter sig af forskellige strategier, da de noterer slag for snydeterningen. Det viser sig, at det er overordentligt svært at slå 1 og især 6, og meget let at slå 3 og til dels 4. Pigerne med den krøllede snydeterning noterer hvor mange de får af hver slags med streger, mens de højt og i fællesskab tæller antal slag. Den ene slår og den anden noterer, ved 25 skifter de. De får lidt problemer, da de skal aflevere resultaterne, regnearksdrengene vil have dem i rækkefølge. De drøfter situationen med læreren. Han foreslår, at de fx siger 4 ettere, 8 toere osv., rækkefølgen er ligegyldig i regnearket. De når dog ikke at få deres resultater registreret inden timen er slut. Pigerne i femmandsgruppen arbejder nu sammen, de har udpeget en som sekretær, hun har tegnet et skema, skrevet R, M og A i øverste række. De tre piger med initialerne R, M og A slår på skift og fortæller sekretæren, hvad de har slået. Talrækker noteres i respektive pigers felt. Det går rimeligt stærkt. Læreren har været i kontakt med alle elever i times løb. Klokken er 11.32, egentlig er timen slut, men en del af eleverne arbejder støt videre. Tiden er løbet fra os, som sædvanlig, siger han og konstaterer, at alle grupper er nået langt, og at en opsamling og status ikke kan nås her før spisetid. Læreren beder dem gemme deres registrerede slag, de arbejder videre med registreringen fredag. Regnearksgruppen lukker computeren og projektoren ned. Arket gemmes automatisk i google. Madpakker tages frem. 7
8