Tidlig identificering af elever i matematikvanskeligheder - Inspirationsmateriale BØRN OG UNGE
Indhold Forord... 2 Projektbeskrivelse... 2 Mappens opbygning.... 3 Matematikvanskeligheder... 3 Elevgruppen... 6 Udvalgte tests til identificering af elever i matematikvanskeligheder... 7 Testoversigt... 8 Talforståelse og talbehandling... 12 Før-faglige begreber og begrebsforståelse... 12 Strategier:... 15 Progression i Talforståelse:... 16 Addition... 17 Subtraktion... 18 Problemløsning... 19 Organisering og struktur... 20 Efterskrift... 21 Referenceliste... 22 1
Forord Denne mappe er et resultat af et etårigt udviklingsarbejde i Horsens kommune med støtte fra Skolestyrelsen. Mappen er ment som en inspiration til arbejdet med afdækningen af elever i matematikvanskeligheder. Undervejs i mappen henvises til at det er matematikvejlederen der forestår afdækningen af elever der ikke honorerer kravene i den almindelige matematikundervisning. At vi skriver matematikvejlederen skyldes at det er den funktion vi har haft, men det kan også være en matematikfaglig ressourceperson fra ressourcecenteret. Det væsentligste er, at det er den person der har indsigt i problematikkerne omkring elever med særlige behov i matematik. Som vejleder møder man ofte lærere der ønsker at man lige kan få eleverne op på niveau. Det er ikke mappens hensigt at løse denne udfordring, og vi stiller os tvivlende overfor om det kan lade sig gøre, selv om vi i vores projektperiode har oplevet, at man ved at få indblik i elevernes strategibrug og begrebsforstålse, har langt større mulighed for at udvælge og igangsætte tiltag, der kan hjælpe eleverne videre i deres matematiklæring. Det skal understreges, at projektet ikke har omhandlet tiltag, men har haft fokus på identificeringen af matematikvanskelighedernes karakter. Mappen er en inspiration til hvorfor man bør, og hvordan man kan, komme i gang med at afdække årsagerne til, at eleverne ikke kan følge med i matematiktimerne. Projektbeskrivelse Formålet med projekt Tidlig identificering af elever i matematikvanskeligheder var at udvikle en strategi for identificeringen af elever i matematikvanskeligheder, samt en procedure for hvordan disse bedst hjælpes i deres vanskeligheder. Dette således at disse elever kan bibeholde et sundt og konstruktivt tilhørsforhold til almenklassen frem for, på baggrund af vanskelighederne, at skulle modtage et specialtilbud og herved risikere stigmatisering der kan være hæmmende for livskvaliteten. En forudsætning for at dette kan lykkes er at matematikvejledere og lærere kvalificeres i arbejdet med matematikvanskeligheder. Det var derfor en del af projektets formål at kvalificere og viderebringe viden til det pædagogiske personale i Horsens Kommune. Projektets arbejdsgruppe bestod af Ditte Thommesen, matematikvejleder og -koordinator - Lundskolen, Gitte Pedersen, matematikvejleder - Torstedskolen, Kirsten Nielsen, specialundervisnings- og matematiklærer - Torstedskolen, Helle Sejer Damkjær, matematiklærer og faglig projekttovholder, Lone Gemmer, AKT lærer Lundskolen, Kirsten Sejersen, læsekonsulent PPR, Hanne Tække, psykolog - PPR. For at sikre videndeling af de opnåede erfaringer har arbejdsgruppen bag projektet udarbejdet denne mappe til kommunens skoler, som inspiration til, hvordan man kan gå i gang med tidlig identificering af matematikvanskeligheder. Projektmappen kan bruges af matematikkyndige specialundervisningslærere/matematikvejledere, dvs. matematiklærere der har sat sig ind i udfordringerne, teorierne og forskningen i relation til elever i matematikvanskeligheder. Det kan være vanskeligt at forstå hensigten med mappens indhold og testmaterialer uden at have læst litteraturen omtalt i referencelisten. 2
Mappens opbygning. Dokumentet indledes med en generel gennemgang af fænomenet matematikvanskeligheder. Det efterfølgende afsnit forsøger at kategorisere elever i matematikvanskeligheder i tre hovedkategorier som beskrives. Herefter følger et afsnit omhandlende de overvejelser vi har gjort os i forhold til de test vi har udvalgt til mappen. Afsnittet efterfølges af en oversigt over de test vi har valgt at anbefale som egnede til identificering. Vi har afprøvet flere test, som dog ikke har givet os tilstrækkelig indsigt i elevernes problemer og udfordringer, hvorfor de er fravalgt i denne mappe. Vi er i arbejdsgruppen bevidste om, at der findes flere test på markedet, men har valgt at gå i dybden og ikke afprøve flere end tiden tillod ud fra ønsket om at foretage en ordentlig efterbehandling af testresultaterne. I løbet af projektet, har vi fået indblik i, hvor vigtigt det er at have indsigt i faglig progression, strategier og begrebsforståelse samt forstå nuanceforskellene mellem strategier og algoritmer. Dette kan man læse mere om under afsnittet om talforståelse og talbehandling. Vi er klar over at matematik er meget mere, men har valgt at sætte fokus på talforståelse og - behandling, da der som oftest henvises til dette i litteraturen om matematikvanskeligheder og begynderundervisning. Matematikvanskeligheder I litteraturen, er der mange begreber og definitioner vedrørende matematikvanskeligheder. Ordene matematikvanskeligheder og dyskalkuli er tilknyttet stor usikkerhed i såvel udannelses- og forskningsregi, og der er generelt arbejdet langt mindre med disse begreber end med læsevanskeligheder og dysleksi. Generelt defineres elever i matematikvanskeligheder som elever, der ikke kan følge den normale undervisning. I et inkluderende og anerkendende perspektiv er det vigtigt at holde sig for øje, at vanskelighederne først får sin karakter og betydning i mødet med de fastsattte rammer. Sagt på en anden måde: det er først når en given elevs matematiklæring, af fx læreren, defineres som vanskelig at den bliver en vanskelighed. Matematikvanskelighederne udspringer dermed ikke af eleven, men af et misforhold mellem bl.a. eleven, undervisningen og det sociale. På trods af usikkerheden vedrørende matematikvanskeligheder ses der en række hovedretninger i brugen af begrebet dyskalkuli: 1. Nogle mener, at dyskalkuli skyldes specifikke neuro-biologiske mangler eller deficitter. Dyskalkuli skulle så indebære, at man opfatter én genstand ad gangen og må tælle 1,2, osv., mens andre opfatter fx tre genstande som ét hele og i ét nu ser det som tre. 2. Andre mener, at dyskalkuli kan være relateret til generelle kognitive funktioner. Det kan være semantisk hukommelse, arbejdshukommelse, rumsans mv. 3. Andre arbejder med en funktionel definition om, at mennesker har dyskalkuli, når de trods god undervisning og god intelligens har specifikke og vedvarende problemer med matematik. I uddannelsessammenhæng man kan dermed antage at alle de der oplever vedvarende vanskeligheder har dyskalkuli i en eller anden udstrækning - og derved har behov for støtte. Årsagen er mindre interessant 4. Nogle mener at ordet dyskalkuli som noget biologisk sammen med utydeligheden i definition og årsagsforklaringer medfører, at ordet ikke kan bruges i den pædagogiske verden 5. Og andre mener, at ordet dyskalkuli er for snævert til at indfange aktuelle samfundsmæssige og individuelle problemer med tal- og matematiklæring, mens ordene matematikvanskeligheder og regnehuller dækker bredere (Lindenskov, 2010) 3
I undervisningssammenhæng er begreberne ligeledes tilknyttet stor usikkerhed. Uddannelsesøkonomisk er der usikkerhed om hvorvidt en specifik definition (og diagnose) kan medføre store udgifter i sammenligning med dysleksi, uden at flere får en bedre matematisk læring og motivation. Omvendt kan der være en samfundsøkonomisk og individuel benefit ved at flere opnår bedre matematisk læring. Uddannelsesfilosofisk er man bekymret for om en stringent definition kan øge eksklusionen i forhold til de aktuelle elever. Omvendt er det positivt at de elever der i dag ikke oplever sig inkluderede i den almindelige daglige matematikundervisning kan få den rette støtte og derved opleve større inklusion. Ligeledes er der bekymring for at begrebet kan støtte forestillingen om sådan nogle som os ikke er i stand til at lære matematik og derved opgiver at forsøge. Omvendt kan en stringent definition afmystificere matematikvanskeligheder og modvirke forestillinger om at eleven er dum eller doven. I forbindelse med fagdidaktikken er der bekymring for, om en definition retter fokus på den enkelte elevs mangler og om det nedprioriterer den enkelte elevs potentialer, faglige læring i fællesskabet og faglig kreativitet. En risiko er at fokus drages væk fra det sociale, psykologiske og didaktiske og ensidigt lægges på det neurokognitive. På den anden side kan det være til fagdidaktisk inspiration at anerkende elever og forældres vanskeligheder, sådan som de forstår dem (Lindenskov, 2010). Arbejdsgruppen tilslutter sig at begrebet dyskalkuli og beskrivelsen heraf er for snævert og mangelfuldt beskrevet til at indfange det spektrum af vanskeligheder der synes at være i forbindelse med elevers matematiklæring. Dette indebærer dog ikke at arbejdsgruppen tager afstand fra de andre hovedretninger. Udgangspunktet er blot at der på nuværende tidspunkt ikke er tilstrækkelig viden om matematikvanskeligheder og at en tilstrækkelig velfunderet definition af begrebet dyskalkuli endnu ikke er fremlagt. Arbejdsgruppen arbejder derfor med betegnelsen matematikvanskeligheder. At vanskeligheder i matematiklæringen er et reelt fænomen der kræver opmærksomhed er der i arbejdsgruppen ikke tvivl om. Karakterfordelingen i de bundne prøvefag (FSA) i 9.klasse 2009/10 viser eksempelvis at 4686 elever fik 00 eller -3 i matematisk problemløsning. Til sammenligning fik 1.863 samme karakterer i læsning. Der er således over dobbelt så mange elever der scorer de laveste karakterer i problemløsning. Dette indikerer at en gruppe af elever har alvorlige vanskeligheder og muligvis ikke modtager den rette støtte og undervisning. Arbejdsgruppens erfaring er, at man som underviser, har så travlt med at nå pensum, at nå opgaverne i bogen, at det ikke bliver undervisning på elevens præmisser, men på bogens præmisser. Man kan stille sig selv det retoriske spørgsmål: Er det eleven eller bogen der er vigtig? Nogle elever får dermed ikke mulighed for at skabe den vigtige forståelse og fortrolighed der påpeges som væsentlig i arbejdet med at opbygge matematiklæring (Andersen, 1999). Eleverne forsøger at lære sig algoritmer og metoder uden ad og ofte mislykkedes de i denne proces og fastholdes i rigide strategier frem for at udvikle sig så de kan håndtere forskellige situationer med forskellige og fleksible strategier. I et velmenende forsøg på at differentiere i forhold til disse elever, er det arbejdsgruppens erfaring at undervisningen reduceres på forståelsesniveauet så eleverne primært undervises indenfor fakta og færdighedsniveauet. Eleverne træner f.eks. algoritmer uden skulle forholde sig til, i hvilke situationer disse algoritmer er svaret på et problem. Det er derfor nødvendigt at gøre op med traditionel matematikundervisning, forstået som gennemgang af dagens lektier, fælles gennemgang af nyt stof med eksempler, opgaveløsning i bogen, resten lektier til næste matematiklektion. Det vel og mærke med alle elever på samme side, i samme bog, på samme tid. 4
Der skal fokus på lærerens stilladsering af elevens læring i matematikfaget, således at eleven over (kort) tid bliver selvhjulpen, udvikler kompetencer og etablerer en fleksibel variation af strategier der gør dem handleparate i matematikholdige livsrelevante situationer. Vigtigheden af at få defineret tydelige individuelle læringsmål, også for de svage elever og specialundervisningselever, bør understreges som et afgørende element i lærerens didaktiske overvejelser. Læringsmål bør ikke alene have fokus på fakta og færdigheder men ligeledes på kompetencer, strategier, problemløsning, matematik i anvendelse og livs- og hverdagsmatematik. Det er den professionelle fagansvarlige lærers ansvar at sikre relevante og realistiske læringsmål for alle elever. Der bør i udvælgelsen af elevens læringsmål tages stilling til om målet har karakter af need to know eller nice to know (Lindhardt, 2003). Har al matematik lige stor relevans for elevers fremtidige liv eller skal vi nærmere bestræbe os på at gøre eleven duelig indenfor den givne elevs livsmatematik? Livsmatematik skal forstås som den matematik som den enkelte elev kan lykkes med at lære i relation til sit barndoms -, ungdoms - og voksenliv. Pointen er i denne sammenhæng at alle elever i princippet er elever med specielle behov og derfor også med forskellige behov for støtte. Konkret kan det betyde at eleven har følgende læringsmål: Aflæse, forstå og tolke et diagram eller en graf. Lærerens opgave er, at finde diverse diagrammer i avisartikler, matematikbøger mv., og stille opgaver, så eleven udvikler sig imod dette mål. Det handler i mindre grad om det tekniske i at kunne tegne et passende koordinatsystem, indsætte passende punkter, overveje om de skal forbindes til pinde eller sammenhængende grafer. Forståelsen for diagrammerne kommer før, og er formodentligt for det helt almindelige hverdagsmenneske, vigtigere end at kunne tegne det selv. Det tekniske niveau ift. selv at kunne udarbejde et sådan diagram eller en graf, kan være for svært, men at kunne aflæse det og tolke, hvad det viser, kan være lettere tilgængeligt. Det er måske også de færreste der udarbejder et diagram i dagligdagen, men det er ikke så sjældent forekommende, at vi præsenteres for et i aviser, banken, tv, vejrudsigter. Dette understreger vigtigheden af at afklare hvad er need to know og nice to know. Arbejdsgruppen har en tro på at det kan lade sig gøre at undervise eleverne sådan, at de føler matematikken er relevant for det liv de efterfølgende skal leve og at det i denne sammenhæng kan være ok at kunne løse ligninger ved at gætte og prøve efter fordi man har en forståelse for ligninger men ikke magter de tekniske færdigheder. Matematikundervisningen skal tilrettelægges så alle elever, også de elever der oplever vanskeligheder, lærer noget de kan, i stedet for alt det de ikke kan. Der opfordres til et øget fokus på matematikmestring frem for matematikvanskeligheder. 5
Elevgruppen Elever i matematikvanskeligheder er ikke en ensartet gruppe. I litteraturen optræder de meget forskelligt, mange forskellige kategorier og med flere forskellige problemstillinger. Vi har valgt at inddele i tre overordnede grupper: 1) Elever, der har specifikke dysfunktioner, der i særlig grad rammer matematiklæringen I litteraturen findes mange referencer til specifikke dysfunktioner så som dyskalkuli. Det er imidlertid ikke veldefinerede begreber og begreberne bruges med mange forskellige betydninger i litteraturen. Disse test og denne mappe kan ikke bruges til at diagnosticere elever med specifikke dysfunktioner. Testmaterialet kan bruges til at få en indikation ift. hvilke særlige specifikke vanskeligheder/dysfunktioner, der evt. kan ligge til grund for matematikvanskelighederne. I hvert enkelte tilfælde må det være en vurderingssag om der er brug for yderligere udredning hos PPR. 2) Elever, der har generelle faglige vanskeligheder I denne kategori er der tale om elever, der på mange eller næsten alle områder har problemer med at leve op til de faglige krav i skolen. Disse elever har brug for mere tid, flere eller andre materialer, andre arbejdsgange og bedre undervisning end klassekammeraterne. Både Lunde og Adler påpeger at denne elevgruppe bør rummes i normalundervisningen. De anbefaler, at man reducere mængden og kompleksiteten af den matematik denne elevgruppe bør lære. Vi opererer i projektet med Lindhardts citat: need to know or nice to know holdt op imod Magnes idé om Livsmatematik. Når man får afdækket, at der er tale om en elev, der falder inden for denne gruppe, anbefaler vi, at man rummer eleven i den normale matematikundervisning ved at hjælpe matematiklæreren til en passende undervisningsdifferentiering. 3) Elever der kognitivt ligger inden for normalområdet, men har en forsinket udvikling af matematikkompetencer og færdigheder Typisk for denne gruppe elever er, at de f.eks. har svage strategier, tæller på fingre, samt er længe om at forstå ideen bag positionssystemet og behandlingen af tal ud fra systemet. Denne elevgruppe kan med en tidlig og ekstra indsats komme på niveau med klassens øvrige gennemsnitlige elever og herefter fremover følge den normale matematikundervisning uden yderligere hjælp. 6
Udvalgte tests til identificering af elever i matematikvanskeligheder Her følger en skematisk oversigt over de forskellige test, vi har valgt ud og fundet egnet til kortlægning af elever i matematikvanskeligheder. For at få det fulde udbytte af testene og for at sikre at elevens matematikvanskeligheder afdækkes korrekt, vurderes det nødvendigt, at den person, der analyserer testene, har sat sig grundigt ind i den teori der ligger til grund for udarbejdningen af testene. Dette gøres bl.a. ved at læse den litteratur, der henvises til i denne mappe. For at kunne analysere de enkelte test i forhold til elevens strategiudvikling, er det en forudsætning at personen der analyserer testene har kendskab til Snorre A Ostads Strategier, strategiobservasjon og strategiopplæring eller tilsvarende teorier. Der findes test i Ostads materiale som udelukkende tester elevens brug af strategier, vi har dog valgt ikke at tage disse test med, da man i de andre test, ville kunne observere det samme som Ostad lægger op til, hvis testtageren er bevidst om progressionen for strategierne inden for de forskellige regningsarter. I denne mappe findes et afsnit som beskæftiger sig netop med Ostads strategier. Det vil være en tidskrævende opgave for den almindelige matematiklærer, at skulle sætte sig ind i litteraturen, der hører til de forskellige test. Derfor kan det være en fordel, at langt de fleste test tages og analyseres af skolens matematikvejleder eller de matematiklærere, der er knyttet til de enkelte skolers ressourcecentre. Vi er ikke stødt på en matematiktest, som vi finder egnet til at tage på en hel klasse på en gang, selv om enkelte af de test vi har udvalgt, lægger op til netop dette. Rigtig meget vigtig information går tabt, når testtageren ikke har mulighed for at spørge ind til, hvordan eleven tænker. Herunder registrere hvor meget hjælp eleven skal have for at kunne løse en opgave, og hvilken type hjælp eleven har behov for. Når en elev vurderes at have vanskeligheder, foreslår vi, at den eventuelle testning sker på baggrund af en dialog mellem den pågældende matematiklærer og en af skolens matematikvejledere. Samtalen og bekymringerne bør tage udgangspunkt i elevernes daglige arbejde, og de af matematiklæreren opstillede læringsmål for den enkelte elev samt de mål for faget som er opstillet fra ministeriet. Vi anbefaler, at der på de enkelte skoler etableres nogle retningslinjer og traditioner for, hvordan og hvornår disse samtaler finder sted, så man sikrer sig at alle klassers matematiklærere er i kontakt med matematikvejlederne i forhold til elever i matematikvanskeligheder. Meget af den litteratur der indeholder testene giver ligeledes bud på hvordan der kan følges op på de enkelte test. Til nogle af testene følger ligefrem materiale til, hvordan der følges op på kortlægningens resultat. Derudover må man antage, at når den enkelte matematiklærer bliver bekendt med, hvori elevens vanskeligheder består, kan vedkommende inddrage denne viden i sin undervisningsdifferentiering. Dette kan evt. foregå i samarbejde med matematikvejlederen. I testoversigten vil man kunne se, at vi anbefaler at forskellige test kan suppleres med andre test. Dette skyldes at testene tester noget forskelligt. Man vil dog også opdage, at der vil være overlap, dette vil så blot be- eller afkræfte om eleven har vanskeligheder i de områder, hvor der er overlap. Det er vigtigt, at testene ikke kommer til at stå alene, men kun udgør en del af en elevbeskrivelse. Litteraturen peger på forskellige kognitive dysfunktioner, som kan være årsagen til at eleven får vanskeligheder i matematik. Vi er bekendt med de forskellige årsager, men det er ikke inden for vores arbejdsområde at dykke dybere ind i udredningen af disse årsager. Disse elever bør indstilles til PPR. Testene i dette materiale vil kunne give en indikation på, at der bør laves en indstilling. 7
Testoversigt Titel Forfatter Målgruppe Tegn på vanskeligheder hos eleven Faglige områder Test-tager Opfølgning Bemærkninger TIM Oversigtkortlægning Birthe Henriksen Berit Pedersen Olav Lunde Individuel Indskoling, primært 1.-2. klasse Bedst individuel Fra 3. klasse Kan bruges Klassevis (3.+4. klassetrin) Manglende talforståelse. Benytter kun tællestrategier. Bekymring omkring elevens matematiske udvikling. Talforståelse Addition Subtraktion Talforståelse Addition Subtraktion Problem-løsning Hukommelse Koncentration Opmærksomhed Før-faglige begreber Rum - retning Form -størrelse Matematikvejleder Varighed: 1 lektion. Matematikvejleder Matematiklærer/ klassevis Varighed: 1 lektion Der er et skriftlig materiale til afhjælpning af vanskeligheder Kan suppleres med Bjørn Adlers Matematikscreening I. Som giver et bredere billede af elevens vanskeligheder. Der er uddybende test indenfor de enkelte områder der testes i. Der er et skriftlig materiale til afhjælpning af vanskeligheder Bog 3 Kan suppleres med Bjørn Adlers Matematikscreening II. Testen er adaptiv Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier God til at vise, hvilke områder der er vanskelige for eleven samt hvad eleven mestrer. Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier 8
Titel Forfatter Målgruppe Tegn på vanskeligheder hos eleven Faglige områder Test-tager Opfølgning Bemærkninger Matematik for mig Michael Wahl Andersen Bedst individuel Fra 2. klasse Kan bruges klassevis Bekymring omkring elevens matematiske udvikling. Talforståelse Addition Subtraktion Problem-løsning Hukommelse Koncentration Opmærksomhed Før-faglige begreber Rum - retning Form -størrelse Matematikvejleder Matematiklærer/ klassevis Varighed: 1 lektion Der er et skriftligt materiale til afhjælpning af vanskeligheder inddelt i følgende kategorier: A-hæfter, 1.-4. klasse omhandlende talforståelse, addition, subtraktion, multiplikation B-hæfter, 4.-7.klasse omhandlende division, brøk, procent, decimal og blandende tal C-hæfter, 1.-7. klasse omhandlende geometri og måling. Er inspireret af Olav Lundes kortlægningstest. Men de stillede opgavetyper gør, at den er nemmere at bruge på indskolingselever end Olav Lundes oprindelige materiale. Kan suppleres med Bjørn Adlers Matematikscreening I eller II. Matematikscreening I Bjørn Adler Individuel Alder: 7-10 Indskoling - mellemtrin Bekymring omkring elevens matematiske udvikling. Talforståelse, Form og størrelse, Simpel addition og subtraktion. Koncentration Rum-retning Varighed: 1 lektion I vejledningen gives der forslag til, hvilke tiltag der kan arbejdes med. Til systemet findes en kopimappe, som hedder Kognitiv træning i matematik Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier Kan suppleres med TIM 9
Titel Forfatter Målgruppe Tegn på vanskeligheder hos eleven Faglige områder Test-tager Opfølgning Bemærkninger Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier Matematikscreening II Bjørn Adler Individuel Alder: 10-15 Mellemtrin og udskoling Bekymring omkring elevens matematiske udvikling. Talforståelse, Form og størrelse, Addition, subtraktion, multiplikation og division Hukommelse Rum, retning og tid Varighed: 1 lektion I vejledningen gives der forslag til, hvilke tiltag der kan arbejdes med. Til systemet findes en kopimappe, som hedder Kognitiv træning i matematik Denne test kan suppleres med Olav Lundes kortlægningstest. CHIPS Mogens Hansen m.fl. Individuel og klassevis Fra 1. klasse Eleven virker usystematisk. Tvivl om elevens kognitive udvikling. Elevens kognitive udvikling; Global, analyse, syntese og helheds tænkning. Alle Varighed: ca. 15. min. Testens resultat kan kun bruges ca. et halvt år frem. Herefter skal testen tages igen. Denne test kan bruges som supplement til de andre test. Testen er visuelt, så kræver ikke læsefærdigheder. Testen er ikke matematikfaglig, derfor kan resultatet af testen bruges generelt. Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier 10
Titel Forfatter Målgruppe ALP (Analyse af læseforståelse i problemløsnin g) Gudrun Malmer Individuel og klassevis Fra 2. klasse Tegn på vanskeligheder hos eleven Testen kan bruges som supplement til de andre test, når de viser tegn på, at eleven har vanskeligheder med problemløsningsopgaver. Faglige områder Test-tager Opfølgning Bemærkninger Afkodning og tolkning af tekst. Før faglige begreber. Logisk- og helheds tænkning. Alle Varighed: ca. 1 lektion. Testen kræver at eleven besidder læsefærdigheder. Ostads strategier tænkes ind i analysen af elevens valg af strategier 11
Talforståelse og talbehandling Vi er undervejs i projektet blevet inspireret af den progression der findes i tankerne omkrig tidlig læseudviklingsstrategier (LUS). Inspireret af Ostad og Pind, har vi forsøgt at udarbejde et første udkast til en progression i talforståelse, addition og subtraktion. Desuden er vi i løbet af projektet blevet inspireret af Lunde, Malmer, Høines og Wahl Andersen og deres fokus på, at elevernes begrebsforståelse har en væsentlig betydning for udviklingen af talforståelse, talbehandling og matematiklæring generelt. Før-faglige begreber og begrebsforståelse I matematikundervisningen benytter vi os af rigtig mange før-faglige begreber som f.eks.; mindre end, længere, under, før end osv. Forståelse af begreberne eller mangel på samme, kan have indflydelse på elevernes matematiklæring. For at eleverne kan arbejde med begreberne, skal de optræde som elevernes første ordens sprog. Første ordens sprog er sprog og begreber som vi benytter som en integreret del af vores ordforråd, som vi benytter naturligt uden at tænke yderligere over det. Sprog af anden orden er ord og begreber som vi ikke umiddelbart benytter naturligt og som vi i tankerne skal oversætte til noget vi forstår. På samme måde som når man lærer et nyt sprog og man skal oversætte ordene til dansk for at sætninger mv. giver mening. Der kan læses meget mere om første- og andenordens sprog i Begynneropplæringen af Marit Høines. For at få begreber, der er af anden ordens sprog, til at give mening for eleverne, kan det være en fordel at sikre sig at eleverne skaber oversættelsesled og mentale billeder. Det er vigtigt at der skabes relationer mellem de forskellige repræsentationer, hvilket bl.a. vil sige at det ikke er nok, at eleverne arbejder med konkrete materialer, men at der er fokus på at eleverne f.eks. skaber relation mellem de konkrete materialer til den formelle matematik, evt. ved at sætte egne ord og tanker på eller sætter problemstillingen ind i en hverdagskontekst. Dette søges illustreret i nedenstående model, der er stærkt inspireret af Wahl Andersen og Høines. Man kan læse mere i Matematiske billeder, sprog og læsning af Michael Wahl Andersen. 12
Konkrete materialer (Repræsentation) Formel matematik (Repræsentation) Begrebet og elevens forståelse af dette Hverdagssituationer (Repræsentation) Kommunikation (Repræsentation) Pilene viser relationer og oversættelsesled mellem begreberne og repræsentationsformerne 13
Vi har herunder lavet en oversigt over nogle af de mest anvendte før-faglige begreber, der vurderes betydningsfulde i arbejdet med matematiske opgaver. Før-faglige begreber: Siden Ældre, Ældst Yngre, Yngst Dyrest Billigst Lang, Længst Høj, Højest Kort, Kortere, Kortest Lav, Lavere, Lavest Dyb, Dybere, Dybest Tynd, Tyndere, Tyndest Tyk, Tykkere, Tykkest Bred, Bredere, Bredest Smal, Smallere, Smallest Meget, Mere, Mange, Mest Før, Efter Mere end, Mindre end Lille, Mindre, Mindst Lige (=) Tilbage (frem og tilbage, få noget tilbage) Tilsammen Forrest, Foran Bagerst, Bag på Neden under, Nederst Ovenpå, Øverst Midten Ingenting Mangler Undtagen Hjørne, Kant Modsatte Række/rækkefølge Stor, Større, Størst Med henvisning til ovenstående er det vigtigt, at matematiklæreren i sin kommunikation med eleverne er bevidst om sprogbrug, herunder før-faglige begreber, og at disse ikke nødvendigvis indgår i elevernes førsteordens sprog. 14
Strategier: Ostad peger på vigtigheden i at eleverne ikke bruger fingertælling eller lignende hele vejen op igennem indskolingen. Dette vil på sigt overbelaste deres arbejdshukommelse, så eleverne mister overblikket. Ostad henviser til erfaringerne fra et udviklingsarbejde, hvor elever der kun benyttede sig af fingertælling eller lignende i indskolingen, var de samme elever der på længere sigt fik vanskeligheder i matematik. Det er dermed meget vigtigt at fokusere på, om eleverne udvikler deres strategier. Yderligere inspiration kan bl.a. fås ved at læse Ostads bog. I arbejdsgruppen er det vigtigt for os at pointere, at eleverne skal være mangfoldige i deres strategivalg. En god strategi viser ofte at eleverne har god talforståelse og kan splitte tallene op i håndterbare enheder. Eleveksempler vi har mødt ift. gode strategier: 8 + 5 Eleven siger: det er det samme som hvis man siger 5 + 5 det er 10 og så er det bare 3 mere det er 13 8 + 5 Eleven benytter sig af gode venner og siger: det er 8 + 2 + 3 som er 10 + 3, altså 13 6 + 6 Eleven siger det er 3, 6, 9, 12 15 + 17 Eleven siger 15 + 15 + 2 det er 30 + 2, altså 32. En anden elev siger om samme stykke 10 + 10 + 5 + 5 + 2 det er 32. Væsentligt i eksemplerne er, at eleverne har fået automatiseret en del regnestykker, og at de kan anvende dem til at slå andre tal i stykker, for at samle til enheder, de har automatiseret og kan gennemskue. Strategierne vælges ud fra hvilke regnestykker, der er automatiseret hos den enkelte. En traditionelt indlært algoritme er ens hver gang og ikke altid det hensigtsmæssige valg. F.eks. er det ikke smart i regnestykket 57-19 at opstille dem under hinanden, låne og trække fra. En elev med gode strategier og talforståelse ville i stedet sige: jeg kan trække 20 fra og så bare lægge den ene til igen. I udredningen/testningen er det meget vigtigt at få øje på elevernes strategibrug i talbehandling. 15
Progression i Talforståelse: Herunder er listet nogle områder, som skal beskrive de elementer der indgår i talforståelse. Der er ikke tale om en stringent progression, men fravær af enkeltområder kan være tegn på matematikvanskeligheder. 1. Kunne genkende mængder selv om de flyttes (reversibilitet) 2. Kunne tælleremser 3. Tælle mængder 4. Talnavn talsymbol talmængde Fokus på positionssystemet 5. Strategier for mængdebestemmelse At man ikke tæller fra 1 hver gang Kategorisering Tælle videre tæller 2 frem. 6. Analysere tal ud fra positionssystemet Se forskel på 37 og 39 Se forskel på 37 og 47 Se forskel på 78 og 87 Se forskel på 29 og 31 Som ordinaltal (tallinje) Som kardinaltal (talmængder) 7. Tallet lige efter Med tilvækst på 1,2,3 (med og uden 10 er overgang) Med tilvækst på 10,20,30 Med tilvækst på 100,200, 300 8. Tallet lige før Med tilvækst på 1,2,3 (med og uden 10 er overgang) Med tilvækst på 10,20,30 Med tilvækst på 100,200, 300 16
Addition Med inspiration fra Snorre Ostad og Pernille Pind er vi blevet bevidste om, hvor vigtigt det er at vi har for øje, at eleverne udvikler sig i den nedenstående progression og ikke stagnerer i tællestrategier. Målet er at elever videreudvikler deciderede additionsstrategier. Tællestrategier Tæller alt og forfra igen Eks. 3+2, først tælles 1,2,3 i konkrete materialer/tallinje, så tælles 1,2, til slut tælles 1,2,3,4,5 Tæller alt Eks. 3+2, først tælles 1,2,3 herefter tælles 4,5 Tælle videre Eks. 3+2, starter ved 3 og tæller 3,4,5 Minimumsantal tælleniveau Eks. 3+5, starter ved 5 tæller herefter 5,6,7,8 starter med at tælle fra største tal. Additionsstrategier: Additionsstrategierne er en videreudvikling af tællestrategierne. Eleven benytter sig af additionsstrategier, når han/hun er i stand til at kunne analysere det enkelte additionsstykke for bagefter at vælge en hurtig og hensigtsmæssig strategi for at kunne løse opgaven ved at benytte sig af en eller flere nedenstående processer. Automatiserede processer som indgår i additionsstrategierne.: Gode venner Gode venner og tællestrategier Automatiseret addition af de fleste 1-cifrede Automatiseret at lægge 10 er til. Automatiseret at lægge 100 er til. Fakta-viden om begrebet addition + Benævnes og Opgavetyper: Kunne løse følgende opgavetyper uden kontekst: a+b=? a+?=c?+b=c Kunne identificere addition i kontekst i følgende opgavetyper: (Pernille Pind, Matematik for alle, s. 90) Forøgelse: Man har noget og får mere af samme slags. Eks.: Eva har 5 æbler, hun får 3 æbler mere. Hvor mange æbler har Eva så? Sammenlægning: Forskellige ting samles i et overbegreb. Man forener flere mængder. Eks.: Eva har 5 æbler og 3 pære. Hvor mange stykker frugt købte Eva i alt? Sammenligning: Sammenligning, hvor det ene tal og forskellen er givet, og det andet tal efterspørges. 17
Eks.: Eva har 5 æbler. Per har 3 æbler mere end Eva. Hvor mange æbler har Per? Efter en reduktion: En slags ligning. Der er trukket et tal fra det efterspurgte tal, og det er givet hvad der derefter er tilbage. Eks.: Eva spiste 3 æbler, nu har hun kun 5 æbler tilbage. Hvor mange æbler havde Eva før? I Matematik for alle, s. 90-98 af Pernille Pind, gives der eks. på hvorledes der kan arbejdes med addition på alle klassetrin i folkeskolen. Subtraktion Tællestrategier med inspiration fra Snorre Ostad og Pernille Pind: Tæller alt og forfra igen Eks. 5-2, først tælles 1,2,3,4,5 i konkrete materialer/tallinje, herefter tælles 1,2 væk. Så tælles resten, 1,2,3. Tilvækst/ Tælle-op-metoden. Eks.: 5-3. Eleven tager udgangspunkt i tallet 3 (udgangspunkt konkrete materialer/tallinje) og tæller herefter op til tallet 5 ved at sige 4,5 og tæller herefter antallet af fingre/hop på tallinjen. Tælle-baglæns-metoden. Eks. 5-3. Eleven starter ved 5 og tæller baglæns 4,3,2 ved hjælp af konkrete materialer eller tallinje. Minimumsantal tælletrin Vælger den mest hensigtsmæssige tællemetode, tælle-op-metoden eller tælle-baglæns-metoden, hvor der er færrest tælletrin. Eks.: 19-3: Tælle -baglæns-metoden. Eks. 19 17: Tælle-op-metoden. Subtraktionsstrategier: Subtraktionsstrategierne er en videreudvikling af tællestrategierne. Eleven benytter sig af subtraktionsstrategier, når han/hun er i stand til at kunne analysere det enkelte subtraktionsstykke for bagefter at vælge en hurtig og hensigtsmæssig strategi for at kunne løse opgaven ved at benytte sig af en eller flere nedenstående processer. Svaret er automatiseret Ved hjælp af Gode venner kan der trækkes lidt fra ad gangen. Eks.: 12-3, 12-2-1 Ved hjælp af kendskabet gode venner. Eks. 10-7= 3 fordi 3 og 7 er gode venner. Kan opsplitte tal i mindre enheder. Eks. 17-3 = 14 fordi 4+3=7 Strategier for at trække 10 ere fra. Strategier for at trække 100 ere fra. Fakta-viden om begrebet subtraktion - Opgavetyper: Kunne løse følgende opgavetyper uden kontekst: a-b=? a-?=c?-b=c 18
Kunne identificere subtraktion i kontekst i følgende opgavetyper: (Pernille Pind, Matematik for alle, s. 100) Reduktion: Reduktion af det, man har. Eks.: Per har 8 æbler, men spiser 3. Hvor mange æbler har Per så? Forskel efterspørges: Sammenligning, hvor forskellen efterspørges. Eks.: Per har 8 æbler og Eva har 3 æbler. Hvor mange færre har Eva? Hvor mange flere har Per? Hvor mange er der til forskel? Forskel givet: Sammenligning, hvor forskellen er givet. Eks.: Per har 8 æbler. Eva har 3 æbler færre end Per. Hvor mange æbler har Eva? Opdeling: Forskellige ting fra et overbegreb fordeles i sine underbegreber. Eks.: I en kurv er der 8 stykker frugt, både æbler og pærer. I kurven er der 3 æbler. Hvor mange pærer er der? Opfyldning. Man har noget og har et mål for, hvad man ønsker i alt. Eks.: Eva har 3 æbler. Hvor mange flere æbler skal hun have, før hun har 8 æbler? Mangel. Man har et mål for, hvad man ønsker i alt og et antal, som man allerede har. Eks.: Eva vil gerne have 8 æbler, men hun har kun 3. Hvor mange æbler mangler Eva? Efter en forøgelse. En slags ligning. Der er lagt et tal til det efterspurgte tal, og det er givet, hvad der derefter er. Eks.: Per har lige fået 3 æbler og har nu 8 æbler. Hvor mange æbler havde Per til at begynde med? I Matematik for alle, s. 101-111 af Pernille Pind, gives der eks. på hvorledes der kan arbejdes med subtraktion på alle klassetrin i folkeskolen. Problemløsning Vores definition af problemløsning er forholdsvis bred, men handler om at eleverne får en opgave de ikke umiddelbart har arbejdet med før. I dette afsnit vil vi alene forholde os til den problematik, der er omkring problemstillinger indlejret i en kontekst. Der er ikke meget værdi i at kunne regne, hvis man ikke kan regne den ud. I meget af den litteratur vi har læst, henvises til det problematiske i at elever i matematikvanskeligheder udelukkende arbejder i kontekstløse regnesituationer. Det er sjældent disse findes uden for matematiklokalet og det lever dårligt op til fælles mål. Det er ikke hensigtsmæssigt at reducere elever i matematikvanskeligheder til det billige lommeregnere kan i et samfund, hvor enhver er udstyret med en lommeregner i baglommen i form af en mobiltelefon. Hvis eleverne alene er sat til at træne de 4 regningsarter helt kontekstløst, kan de have overordentligt svært ved at genkende f.eks. subtraktion i en opgave indlejret i en tekst en problemløsningsopgave. Pind har i hvert af sine afsnit om de 4 regningsarter, et afsnit om kendeord, som eleverne skal kunne relatere til den specifikke regneoperation. Desuden har hun kategoriseret arketyper af regnehistorier inden for de 4 regningsarter. Bagerst i Pind findes ordlister til faglige og før-faglige ord, hvor der er kendeord til blandt andet de fire regningsarter. I Ostad kan man ligeledes læse at det er væsentligt at eleverne kan identificere de 4 regningsarter inden for de forskellige typer af kategorier. F.eks. kan det være svært for en elev at gennemskue, at der er tale om subtraktion i en regnehistorie som: Om 4 år er Sofie 9 år. Hvor gammel er hun nu? For mange elever er dette en additionsopgave i den kategori Ostad kalder a + 4 = 9. Malmer peger på 4 forskellige elementer som indgår i problemløsning. Alle 4 elementer er vigtige for at kunne løse problemer og det er afgørende at afkode elevernes evne til at magte alle 4 elementer. Herved kan man identificere hvori problemet består og herefter tilrettelægge tiltag der retter sig imod at eleven lære at kompensere for vanskelighederne eller at mestre det som er problemet. 19
De fire elementer, man skal være opmærksom på, er: Afkodning af tekst og symboler Matematiske begreber Forståelse af ord/udtryk Regneoperationer Organisering og struktur I arbejdet med elever i matematikvanskeligheder, er det vigtigt at have fokus på den tidlige indsats. Dette for at undgå, at elevens holdning til faget bliver af negativ karakter. Olav Lunde siger følgende om dette: Eleverne med vanskeligheder i matematik er i højere grad end andre elever med lærevanskeligheder præget af angst (præstationsangst) og en negativ holdning til matematikfaget. Denne holdning kan vare ved hele livet igennem. (Lunde, 2002, s.57) Arbejdet med en tidlig indsats kræver, at forarbejdet er i orden. Det er vigtigt, at hvert enkelt barn er ordentligt afdækket. Det anbefales at matematikvejlederne bruger flere forskellige tests, jf. test-oversigten. Vær opmærksom på at en test er et øjebliksbillede som skal ses i sammenhæng med barnets situation. Endvidere er det en fordel at observere barnet i klassen for på den måde at inddrage læringsmiljøet og dets påvirkning af barnets præstationer. Tilrettelæggelse af et evt. undervisningsforløb skal ske ud fra elevens behov og forudsætninger. Dette kan foregå både enkeltvis, i grupper eller på tværs af klasser, men det er vigtigt, at der er tale om en daglig dosis. Efterhånden som læreren erhverver sig en større viden om elevernes udfordringer i matematik, får matematikvejlederen en stor rolle i forhold til at være en sparringspartner i tilrettelæggelsen af undervisningsdifferentiering i klassen. Ansvaret for eleverne vil altid være hos den enkelte matematiklærer. Matematikvejlederens rolle bliver derfor at vejlede læreren og varetage afdækningen af elevens matematikvanskeligheder. 20
Efterskrift Som beskrevet i forordet er denne mappe en inspiration og vidensdeling i forhold til vores 1-årige udviklingsarbejde om identificering af elever med særlige behov i matematik. Der kommer mere og mere fokus på området, og vi har undervejs erkendt, at der er flere og andre test og udredningsmaterialer. Vi har dermed ikke behandlet eller afprøvet alt, hvad der findes og har ikke læst alt relevant litteratur. Det er en proces, der kommer til at strække sig videre i de kommende år. I udviklingsarbejdet har vi ikke beskæftiget os med tiltag, men vil alligevel pointere at hensigten med udviklingsprojektet har været at inkludere eleverne i matematikundervisningen og, ved hjælp af udredningen, blive klogere på, hvilke tiltag der er nødvendige at udvikle. I den forbindelse er vi blevet meget opmærksomme på betydningen af undervisningsdifferentiering og vigtigheden af at have læringsmål for specielt denne elevgruppe. Læreren skal have fokus på hvad eleverne mestrer og udvikler i forhold til matematiklæring - og ikke hvad de ikke mestrer. Begreberne Need to know or Nice to know af Bent Lindhardt og nærmeste udviklingszone af Vygotsky, er blevet meget centrale for os. Det er vigtigt at være opmærksom på, hvad man vil få ud af at afdække en elev. Har man ikke tænkt at ændre eller foretage efterfølgende tiltag på baggrund af den viden man har fået, er selve afdækningen omsonst. 21
Referenceliste Test oversigt: Titel Forfatter Forlag Bemærkninger Pris (2011) TIM Birte Henriksen og Berit Pedersen Gyldendal Kopimappe 478,50 Matematikscreening I Bjørn Adler Kognitivt Centrum Kopimappe 2300,00 Matematikscreening II Bjørn Adler Kognitivt Centrum Kopimappe 2300,00 Matematikscreening III Bjørn Adler Kognitivt Centrum Kopimappe 2300,00 ALP Gudrun Malmer Saxo Bog 697,50 Oversigtskortlægning Olav Lunde Læreboka Forlag Bog 312,00 Chips Mogens Hansen m.fl. Hogrefe Vejledning og hæfter 195,00 Matematik for mig Helle Andersen m.fl. Alinea Lærervejledning 579,00 Elevhæfter 25,00 Litteratur: Adler, Björn (2008): Dyskalkuli & matematik. En håndbog i matematikvanskeligheder oversat af Bent Nørgaard, Special-pædagogisk forlag, side 3-34 Andersen, Michael Wahl (1999): Skal skal ikke Matematik nr. 4, 1999 Andersen, Michael Wahl (2002): Rummelighed i matematik vejledning i kortlægning af elevens vanskeligheder B Forlag Malling Beck, Oversat og bearbejdet af Michael Wahl Andersen Andersen, Michael Wahl (2008): Matematiske billeder, sprog og læsning Dafolo Henriksen, B. og Pedersen, B. (2009): TIM. Tidlig Indsats i Matematik Vejledning Gyldendal Høines, Marit Johnsen (1998): Begynneropplæringen. Fagdidaktikk for barnetsrinnets matematikkundervisning Caspar Forlag Lindenskov, Lene (2010) i CSV SydØstfyn (2010) Talblindhed dyskalkuli Lindhardt, Bent (2003): Giv dem en tanke, Matematik nr. 2, 2003 Lunde, Olav (2002): Rummelighed i matematik om elevernes vanskeligheder i matematik A Forlag Malling Beck, Oversat og bearbejdet af Michael Wahl Andersen Lunde, Olav (2002): Rummelighed i matematik om at støtte eleven C Forlag Malling Beck, Oversat og bearbejdet af Michael Wahl Andersen Lunde, Olav (2010): Nu får jeg det til Om tilpasset læring i matematik Special Pædagogisk Forlag. Oversat af Bent Nørgaard Ostad, Snorre A. (2008): Strategier, strategiobservasjon og strategiopplæring Med fokus på elever med matematikkvansker Læreboka Forlag Pind, Pernille (2009): Matematik for alle. Håndbog i matematikundervisning, Forlag Pind og Bjerre 22
Horsens Kommune Rådhustorvet 4 8700 Horsens www.horsenskommune.dk BØRN OG UNGE