Bedømmelse af den skriftlige prøve efter matematik D Bedømmelseskriterierne til den skriftlige prøve efter D findes i læreplanen (Bilag 28 til avu-bekendtgørelsen) som punkt 4.3 Der lægges vægt på, at eksaminanden kan: a) anvende matematisk symbolsprog og matematiske begreber b) udføre matematiske ræsonnementer c) vælge hensigtsmæssige metoder og anvende disse til løsning af forelagte problemer d) præsentere en fremgangsmåde ved løsning af et matematisk problem e) anvende en forelagt matematisk model. Der lægges desuden vægt på, at eksaminanden kan bruge it-værktøjer hensigtsmæssigt. Afdeling for Ungdoms- og Voksenuddannelser Frederiksholms Kanal 26 1220 København K Tlf. 3392 5000 Fax 3392 5302 E-mail uvm@uvm.dk www.uvm.dk CVR nr. 20-45-30-44 2. maj 2014 Sags nr.: 147.79K.391 Bedømmelsen er en vurdering af, i hvilket omfang eksaminandens præstation lever op til de faglige mål, som er angivet under punkt 2.1. Derfor er der stor overensstemmelse mellem de faglige mål og bedømmelseskriterierne. Vi skal ved den skriftlige prøve bedømme, i hvilket omfang eksaminanderne har udviklet deres matematiske kompetencer med hensyn til symbolbehandling, håndtering af ræsonnementer, problembehandling, modellering og kommunikation. Hertil kommer bedømmelsen af eksaminandernes hjælpemiddelkompetence, som ikke optræder som et selvstændigt mål. Prøverne er beskrevet i det det overordnede afsnit om evaluering i læreplanerne. Generelt kan afsluttende prøver betegnes som summativ evaluering 1. I forbindelse med kvalitetsvurderingen af evalueringsformer kan man have glæde af at benytte to kriterier: Validitet: Reliabilitet: Validitet har fokus på at fastholde, hvad det egentlig er man forsøger at evaluere. Måler evalueringen det, den søger at måle? Fagkonsulenten har, i samarbejde med opgavekommissionen, ansvaret for at prøvesættene har en høj grad af validitet. 1 Wikipedia: Summativ evaluering skal vurdere, om en minimumskompetence er opfyldt, f.eks svarende til bestået eller ikke-bestået, i modsætning til formativ evaluering, hvis formål er at styrke den uddannelsessøgendes faglige udvikling.
Reliabilitet har fokus på at gøre bedømmelsen så klar og entydig som muligt, så bedømmernes personlige indstillinger kommer til at spille en meget lille rolle. Med andre ord: Er evalueringen pålidelig? Afdeling for Ungdoms- og Voksenuddannelser Generelt udmærker skriftlige prøver sig ved at have en stor grad af bedømmeruafhængighed. Prøveformen har som udgangspunkt en stor reliabilitet. Lærer og censor har i fællesskab ansvaret for at have fokus på dette aspekt.. Frederiksholms Kanal 26 1220 København K Tlf. 3392 5000 Fax 3392 5302 E-mail uvm@uvm.dk www.uvm.dk CVR nr. 20-45-30-44 For at gøre bedømmelsen af den skriftlige prøve efter D så bedømmeruafhængig som overhovedet muligt, altså give den en meget høj reliabilitet, er bedømmelseskriterierne suppleret med en generel rettevejledning. tinyurl.com/avu-matematik I det følgende gives eksempler på, hvordan den generelle rettevejledning skal benyttes. Alle spørgsmål i et prøvesæt tildeles uden hensyntagen til sværhedsgraden 5 point, 2. bortset maj 2014 fra det sidste/de sidste kompetencespørgsmål der tildeles 15 point. Sags nr.: 147.79K.391 1. I besvarelsen af spørgsmålene bør der indgå en beskrivelse af løsningsmetoden. Denne kan bestå af en forklarende tekst, et algebraisk udtryk (regneudtryk), en tegning m.v. Der kræves dog ikke beskrivelse af løsningsmetode i tilfælde, hvor resultatet umiddelbart er fremkommet ved en simpel figurbetragtning, ved fremstilling af et diagram eller en konstruktion, ved aflæsning af en tabel, graf o.l. Maj 2013 spørgsmål 2.1 Lea køber en pakke med 20 cigaretter for 42,00 kr. 2.1 Hvad er prisen for 1 cigaret? Eksaminanden har her besvaret spørgsmålet ved hjælp af et regneudtryk. Besvarelsen er korrekt og skal derfor tildeles 5 point Pilen og =D4/D5 er tilføjet besvarelsen, for at vise hvad eksaminanden har gjort. I de efterfølgende eksempler er eksaminandernes fremgangsmåde vist på samme måde. Maj 2013 spørgsmål 1.3 1.3 Fremstil et diagram, der viser energien fordelt på morgenmad, frokost, aftensmad og mellemmåltider. Brug regneark.
3 Eksaminanden behøver ikke nogen forklaring til fremgangsmåden ved fremstillingen af diagrammet. Cirkeldiagrammet er korrekt og besvarelsen skal tildeles 5 point. December 2013 spørgsmål 3.4 3.4 Tegn sekskanten og cirklen (logoet) i målestoksforholdet 4:1. Eksaminanden behøver ikke nogen forklaring til fremgangsmåden ved fremstillingen af konstruktionen. Besvarelsen er korrekt og skal tildeles 5 point. Maj 2013 spørgsmål 1.2 1.2 Hvilken fødevare i tabellen indeholder flest kcal pr. gram? Brug regneark.
4 Eksaminanden kan i ovenstående eksempel umiddelbart aflæse, at det største energiindhold findes i Lätta. Besvarelsen skal tildeles 5 point December 2013 spørgsmål 2.5 2.5 Hvor lang tid går der, inden bistadet giver overskud? Eksaminanden kan umiddelbart aflæse, at bistadet giver overskud efter 4 år. Besvarelsen skal tildeles 5 point. 2. Et dynamisk geometriprogram må anvendes til beregning af fx længde, areal og vinkel-størrelser uden yderligere begrundelser. Maj 2013 spørgsmål 2.4 Skitse af Leas pakke cigaretter, set fra oven:
5 Eksaminanden har brugt GeoGebra til at finde længde og bredde. Begge dele er rigtige, der behøver ikke yderligere udregninger. Besvarelsen skal tildeles 5 point. Maj 2012 spørgsmål 4.5 Kuglestøderen står i en cirkel med en diameter på 213,5 cm, hvorfra han/hun støder kuglen så langt som muligt. Kuglen skal holde sig indenfor kastevinklen. 4.5 Find kastevinklen. (2 decimaler)
Eksaminanden har korrekt fundet vinklen ved hjælp af GeoGebra. Besvarelsen skal tildeles 5 point. December 2013 spørgsmål 3.2 3.2 Beregn længden af diagonalen d på logoet. Se skitse 2. 6 Eksaminanden har korrekt fundet længden ved hjælp af GeoGebra. Yderligere udregninger er ikke påkrævet. Besvarelsen skal tildeles 5 point. 3. En besvarelse, hvori de rigtige data fra opgavehæftet indgår, tildeles point. Maj 2013 spørgsmål 2.3 Lea vil holde op med at ryge og i stedet spare pengene op. Hun vil sætte 10 000 kr. i banken én gang om året. 2.3 Hvor meget vil den samlede opsparing være efter 37 indbetalinger, hvis renten er 3 % pr. år?
7 De korrekte data fra opgavehæftet indgår den årlige indbetaling, den årlige rente og antal opsparinger. Besvarelsen skal tildeles mindst ét point. 4. Afhængigt af spørgsmålets karakter tildeles besvarelser med rigtige resultater angivet uden tekst, mellemregninger eller illustrationer kun en lille del af spørgsmålets maksimale pointtal. Maj 2013 spørgsmål 2.1 Lea køber en pakke med 20 cigaretter for 42,00 kr. Eksaminanden har korrekt svaret 2,10 kr., men har ikke begrundet svaret. Vi kan ikke vide, hvordan eksaminanden har fundet resultatet. Et godt bud kunne være, at der er benyttet en lommeregner, og herefter er resultatet skrevet i regnearket. Bedømmelseskriterierne lægger vægt på eksaminandens kommunikationskompetence, derfor kan en korrekt besvarelse uden begrundelse kun tildeles en lille del af spørgsmålets maksimale pointtal. Spørgsmålet kan højst tildeles 5 point. Denne besvarelse skal derfor tildeles ét eller højst 2 point. 5. Resultater skal om muligt angives med benævnelser. Derimod kræves der ikke benævnelser i regneudtryk. December 2013 spørgsmål 3.2 Vidste du, at på en sommer kan der på 1 ha samles: ca. 80 kg honning på en hvidkløvermark ca. 100 kg honning på en rapsmark 1.1 Bierne har samlet 130 kg honning på en hvidkløvermark. Hvor stor er marken? Resultatet er angivet uden benævnelse. Besvarelsen skal højst tildeles 4 point.
6. Et resultat, der angives med alt for mange decimaler i forhold til antallet af betydende cifre i de tal, der indgår i beregningerne, vil normalt ikke kunne give fuldt pointtal. December 2013 spørgsmål 3.1 Fakta om logoet: Den regulære sekskant har sidelængden 2 cm og vinklen 120. Sekskantens diagonaler skærer hinanden i et punkt, som er centrum for cirklen. Radius i cirklen er 1,3 cm 3.1 Hvad er arealet af cirklen på logoet? 8 En typisk fejl hvor eksaminanden ikke forholder sig til alle cifrene, der er fremkommet på grund af pi. Besvarelsen skal højst tildeles 4 point 7. Besvarelser, der består i en vurdering af en given sammenhæng, tildeles et pointtal, der afspejler i hvilken grad informationer og eventuelle beregninger er udnyttet. Maj 2013 spørgsmål 4.4 4.4 Foretag en sammenligning, hvor du blandt andet forholder dig til, om de to personer opfylder Sundhedsstyrelsens anbefaling? Eksaminanden har udelukkende konstateret, at de begge har gået langt over 10.000 skridt. Det er korrekt, at de begge mindst én dag har gået over 10.000 skrift. Men der er langt fra en dækkende vurdering. Forslag til pointtildeling: 1 point (Af hensyn til læseligheden gengives besvarelsen også som rå tekst) I gennemsnit går en læreren 9113 skridt om dagen, det er for lidt i forhold til sundhedsstyrelsens anbefalinger på 10000 skridt om dagen. Ergoterapueten går derimod 12339 skridt i gennemsnit om dagen, det er godkendt efter sundhedsstyrrelsens anbefalinger.
Både ergoterapeutens median, gennemsnittet, laveste og højeste antal skridt om dagen ligger højere end lærerens. Ergoterapueten kan gå helt op imod 24000 skridt om dagen, hvor en læreren højest går knap 15000 skridt. Det kan måske skyldes deres arbejdsområder, da en ergoterapeut er mere aktiv end en lærer. Ergoterapuetens skridt om dagen varierer meget mere end lærerens. Læreren bevæger sig indenfor området på 5000 til 16000 skridt om dagen. Hvorimod ergoterapuetens svinger fra 6000 til knap 24000 skridt om dagen. Denne eksaminand udnytter langt mere kvalificeret informationer og beregninger til at sammenligne de to personer. Forslag til pointtildeling: 5 point 9 8. Der tildeles fuldt pointtal til en besvarelse, hvor en kursist på grundlag af opgaveformuleringen kan gætte facit og derefter begrunde, at dette facit er løsningen. Maj 2013 spørgsmål 4.4 Lea vejer 80,8 kg og er 168 cm høj. Hun vælger i stedet for NUPO-kuren at ændre kostvaner ved at spise mere frugt og grønt. Hun begynder også at dyrke motion. Den nye vægt, hun derved opnår, kan udtrykkes ved følgende funktionsforskrift: Man bruger ofte Body Mass Index (BMI) som et mål for, om en person vejer for meget eller for lidt. BMI skal helst være i intervallet 19-25. 6.1 Hvor mange uger går der, før Lea har et BMI på 24?
Eksaminanden gætter/finder et korrekt (næsten) resultat og efterviser ved prøve. Der er dog et problem med højden i meter, derfor kan besvarelsen ikke tildeles fuldt pointtal. Forslag: 12 ud af 15 mulige point. 10 9. Selv om der er fejl eller forkerte følgeslutninger i besvarelsen af et spørgsmål, skal der tildeles fuldt pointtal til den øvrige del af besvarelsen, såfremt disse spørgsmål ikke har ændret karakter og i øvrigt er løst rigtigt. Maj 2013 spørgsmål 1.5 Lea går til zumba. Hun forbrænder 533 kcal pr. time, når hun dyrker zumba. Eksaminanden løser ikke opgave 1.4 korrekt (der er ikke anvendt tilbagegående procent). Til gengæld er løsningsmetoden i spørgsmål 1.5 korrekt. Resultatet afviger naturligvis fra det rigtige fordi, der er anvendt et forket tal for overskridelsen som grundlag for beregningen. Spørgsmålet har ikke ændret karakter som følge af det forkerte udgangspunkt. 1.5 skal derfor tildeles 5 point 10. Et spørgsmål, der er delvist løst, tildeles point på grundlag af et skøn over de rigtige løsningselementer. Maj 2013 spørgsmål 1.4 Eksemplet er det samme som forrige. Kursisten har ikke anvendt tilbagegående procent, men blot fundet 12 % af energiindtaget og trukket det fra. Besvarelsen skal ikke tildeles fuldt pointtal på grund af den forkerte løsningsstrategi, på den anden side har kursisten demonstreret kendskab til procentregning (korrekt udført, hvis der skulle udregnes 12 % af Leas energiindtag). Besvarelsen bør tildeles 2-3 point. Forslag: 2 point.
11. En besvarelse, hvori der forekommer elementære fejl som regnefejl, skrivefejl, tastefejl o.l., fratrækkes ganske få point ud fra en vurdering af fejlens betydning for løsningen af det pågældende spørgsmål. Maj 2013 spørgsmål 2.2 Lea køber en pakke med 20 cigaretter for 42,00 kr. Lea ryger i gennemsnit 15 cigaretter om dagen. 11 Eksaminanden har i ovenstående eksempel lavet en elementær fejl har regnet med 352 dage på et år. Besvarelsen, der i øvrigt er korrekt, skal derfor kun fratrækkes ganske få point, den skal følgelig tildeles 3-4 point. Forslag: 4 point. 12. Der skelnes mellem elementære tastefejl og manglende overholdelse af regnehierarkiet. Der kan fratrækkes flest point ved regnehierarkifejl. Maj 2013 spørgsmål 2.3 Lea vil holde op med at ryge og i stedet spare pengene op. Hun vil sætte 10 000 kr. i banken én gang om året. I ovenstående besvarelse har eksaminanden lavet en regnehierarkifejl. Der skal derfor trækkes mere end ved end elementær tastefejl. Eksaminanden har rigtige data og rigtige løsningselementer. Besvarelsen skal derfor tildeles 2-3 point. Forslag: 2 point. 13. Ved tegning af figurer og kurver, aflæsning af grafer, målinger o.l. accepteres en mindre unøjagtighed.
12 Maj 2013 spørgsmål 6.1 Se informationer til opgaven under pkt. 8. 6.1 Hvor mange uger går der, før Lea har et BMI på 24? Eksaminanden har løst opgaven ved at tegne billedet af funktionen y = 80,8 0,989 x og af linjen y = 68, hvor Lea har et BMI på 24. Aflæsningen af skæringspunktet er ikke helt nøjagtig. Denne unøjagtighed skal ikke have negativ indflydelse på tildelingen af antal point. 14. Hvis en opgave består i at vælge mellem få beskrevne valgmuligheder tildeles der kun point, hvis valget er begrundet. Maj 2012 spørgsmål 4.4 4.4 En kugle har en omkreds på 33,6 cm. Afgør, om det er en kugle til kvinder eller mænd. Spørgsmålet indeholder 2 valgmuligheder. Eksaminanden har uden begrundelse skrevet Det er til en kvinde. Besvarelsen skal tildeles 0 point. 15. Hvor et spørgsmål lægger op til løsning enten ved aflæsning af kurve/graf/diagram eller beregning sidestilles de to løsningsmåder. December 2013 spørgsmål 2.5
13 2.5 Hvor lang tid går der, inden bistadet giver overskud? Denne eksaminand har løst problemet ved at lave grafisk løsning af to ligninger med to ubekendte Denne eksaminand har løst problemet ved at hjælp af ligningsløsning. Hvis der er konkluderet og kommunikeret korrekt skal begge besvarelser tildeles 5 point. 16. Hvis der i et spørgsmål er krævet brug af regneark, tildeles der kun fuldt pointtal, hvis regnearket er benyttet hensigtsmæssigt. December 2013 spørgsmål 1.4 Vidste du, at bierne flyver 20-30 000 ture for at samle kg honning. Det svarer til at flyve Jorden rundt tre gange. Jordens diameter er 12 756 km.
Eksaminanden har lavet en korrekt beregning, men har udelukkende brugt regnearket som skrivemaskine. Det er ikke hensigtsmæssigt brug af regnearket, derfor kan der ikke tildeles fuldt pointtal. På den anden side er der jo anvendt korrekte data og vist matematiske færdigheder, så besvarelsen skal tildeles mindst 2 point. Besvarelser uden hensigtsmæssigt brug af regneark kan betragtes på linje med besvarelser med rigtige resultater angivet uden tekst, mellemregninger eller illustrationer. Forslag til pointtildeling bliver derfor: 2 point. 14 17. Det er ikke alle fejltyper, der nødvendigvis skal trækkes point fra, hver gang de optræder. Eksempler på disse fejltyper kan være for mange decimaler, forkert afrunding, forkert brug af benævnelser og lignende. December 2013 spørgsmål 3.1 December 2013 spørgsmål 4.1 December 2013 spørgsmål 1.1 Ovenstående tre eksempler viser besvarelser med for mange decimaler, forkert afrunding og forkert brug af benævnelser. Ved fejl og mangler af disse typer skal der fratrækkes point, men altså ikke nødvendigvis hver gang hvis samme fejltype opstår flere gange. 18. I bedømmelsen indgår opgavebesvarelsens kommunikationsværdi inkl. korrekt brug af symboler. 19. Karakterfastsættelsen sker på baggrund af en samlet vurdering af, i hvilken grad præstationen opfylder niveauets mål.
Disse sidste to punkter handler om et samlet skøn og en samlet bedømmelse. Punkt 18 og 19 forpligter lærer og censor til at afslutte bedømmelsen med at fokusere på kommunikationsværdien og en overordnet vurdering af graden af målopfyldelse. Disse afsluttende betragtninger kan føre til, at den endelige bedømmelse resulterer i en karakter, der er én højere eller lavere end den karakter den samlede pointtildeling peger direkte på. Hvorfor tildeles alle spørgsmål det samme maksimale pointtal (bortset fra det/de sidste spørgsmål)? Nogle censorer og lærere nævner fra tid til anden, at der er stor forskel på sværhedsgraden af spørgsmålene og at pointtildelingen ikke passer med arbejdsmængden eller sværhedsgraden. Det er helt korrekt! Der er stor forskel på sværhedsgraden og arbejdsmængde af spørgsmålene. Et eksempel på forskellen i sværhedsgrad kan findes i maj 2013 opgave 2 om rygning. 2.1 Hvad er prisen for 1 cigaret?. Dette kan løses med simpel division, 42 : 20 = 2,1, altså 2,10 kr. pr. stk. Opgaven slutter med spørgsmålet: 2.4 Hvad er længden (l) og bredden (b) af Leas pakke cigaretter?. Længden findes nemt ved hjælp af multiplikation, 7 0,75cm = 5,25 cm. Bredden byder på større udfordringer. Hvis eksaminanden erkender, at der kan dannes en ligesidet trekant mellem 3 centre af cigaretter, så kan spørgsmålet besvares ved hjælp af Pythagoras,, altså en bredde på 2,05 cm. Alternativt kan spørgsmålet besvares ved at lave en konstruktion i et geometriprogram. Begge spørgsmål har sin berettigelse i sættet. Spørgsmål 2.1 besvarede 81,4 % af eksaminanderne korrekt og fik dermed tildelt 5 point. Spørgsmål 2.4 blev kun besvaret helt korrekt af 1,3 % (53,8 % fik tildelt 2 eller 3 point). Spørgsmål som 2.1 betyder, at vore fagligt svage kursister også kan arbejde lidt med sættet. Hvis spørgsmål 2.1 er det eneste spørgsmål, der er svaret på, er karakteren -3; der skulle opnås mindst 12 point for at få karakteren 00, og mindst 35 point for at opnå 02. Spørgsmål som 2.4 betyder, at de dygtigste kursister også bliver udfordret. Hvis spørgsmålet om bredden ikke kan besvares, ville eksaminanden alligevel uden problemer kunne opnå karakteren 12. I sættet maj 2013 kunne en kursist miste 11 point og alligevel opnå topkarakter. Eksamenssættene er sammensat, så det er muligt at opnå nogle point ved benyttelse af forholdsvis simpel matematik, samtidig kræver det fagligt overblik og sikkerhed at opnå gode karakterer. Pointtildelingen kan ikke ses isoleret fra opsætningstabellen, men skal ses som et samlet hele. Det har aldrig været hensigten, at de enkelte spørgsmål skulle tildeles point efter sværhedsgrad eller arbejdsmængde. Den forholdsvis nye type opgaver, med kun ét spørgsmål, tildeles 15 point i modsætning til de øvrige, der alle tildeles 5 point. At denne opgavetype tildeles 15 skyldes hensynet til, at en eksaminand ikke skal kunne opnå karakteren 12 uden at besvare en hel opgave. Med andre ord - en eksaminand skal ikke kunne få 12 uden at score point i denne opgavetype. 15