Matematiske knuder og kæder Benjamin Muntz Lærer ved H.C. Ørsted Gymnasiet bmmuntz@gmail.com
Forventninger
Hvad ved vi om knuder?
Hvad er en matematisk knude? 1. Knuden eksisterer i 3 dimensioner. 2. d n /d t n f eksisterer for alle n N. 3. df/dt t 0 for alle t R. 4. f( t 1 )=f( t 2 ) hvis og kun hvis t 1 t 2 Z.
Hvad er en matematisk knude? Trefoil (trekløverknuden) Unknot (ikke-knuden) Ikke en knude
Hvad er kæder så? Kæder er en forening af knuder. Vi kalder de individuelle knuder for komponenter
Hvad er kæder så? Hopf link Unlink (ikke-kæden) 1 komponent
De store spørgsmål Hvornår er to knuder ens? Hvordan skelner vi mellem forskellige knuder? Hvordan løser vi vilkårlige knuder?
Hvornår er to knuder ens?
Ækvivalens
Kurt Reidemeister NEIN! Tysk matematiker Arbejdede med knudeteori til 1933
Reidemeister træk R1:
Reidemeister træk R2:
Reidemeister træk R3:
To knuder er ækvivalente, hvis de er relaterede med en sekvens af Reidemeister træk.
1 3 2
Farvning af knuder
c Farveligningen: a + b 2c (mod n) a b c (mod n) a b
0 (mod 3) 1 + 2 2 3 0 + 1 2 2 0 + 2 2 1 1 2
1 (mod 5) 1 + 3 2 2 2 3 0 2 + 0 2 1 1 + 0 2 3 2 + 3 2 0
So what s the big deal?
a a a + b 2 a R1 b
b + c 2a a b a b c + d 2a (2a-b) + d 2a c R2 d b d
c c + k a b a + k b + k (a + k) + (b + k) (a + b) + 2k 2c + 2k 2(c + k)
Hvilke n farver en knude?
0 (mod n) x + y 2 0 0 + x 2 y 0 + y 2 x x y
- = 3x 0 (mod n) Trefoil kan farves modulo n, hvis 3 går op i n.
Farvematricen og knudens determinant
K kan farves modulo n, hvis gcd( det(k), n) > 1
Knudens determinant Hvis det(k)=0, kan K farves for alle n. Hvis det(k)=1, kan K ikke farves.
Kan ikke farves 10_124
Kan farves for alle n
Splitbarhed Påstand: En kæde kan splittes, hvis det(k)=0
Opsummering af farver og determinanter Farvning er en invariant egenskab Vi ved, hvilke værdier knuder kan farves med Determinanten fortæller os om knudens farveegenskaber
James Waddel Alexander II Hvad nu hvis vi beskriver knuder med polynomier i stedet for tal?
Orienteret knude
Knude funktioner L rl ml
Knude funktioner J K J#K
Den nye farvematrix Vi laver en matrix med information om variablerne i alle farvepolynomier. b a (1 t)a b + tc = 0 c
Alexanderpolynomiet Hvilke linjer vi tildeler hvilke variabler Hvilken række og søjle vi sletter Δ L1 =± t m Δ L2 Δ L1 Δ L2
Alexanderpolynomiets egenskaber Δ L ( 1) = det (K) Δ ml (t) Δ L ( t 1 ) Δ rl (t) Δ L ( t 1 ) Knudepolynomier indeholder meget mere information end talværdier! Δ J#K (t) Δ J (t) Δ K (t)
Sir Vaughan Jones Opfandt Jones polynomiet i 1984 von Neumann algebra à Statistisk mekanik à Knudeteori Fik Fieldsmedaljen i 1990
Jonespolynomiet Den opfylder V( O ) = 1 Den opfylder skein relationen t 1 V( L + ) tv( L )+( t 1/2 t 1/2 )V( L 0 )=0
Skein relationen t 1 V( L + ) tv( L )+( t 1/2 t 1/2 )V( L 0 )=0 L + L - L 0
5_1 10_132
Conway-knuden Kinoshita-Teresaka-knuden
Uløste problemer Findes der en ikke-triviel knude med samme Jones polynomium som unknot? Morwen Thistlethwaite viste at der findes ikke-trivielle kæder med samme Jones polynomium som unlink.
Løste problemer V( ) = V( )
Andre egenskaber Summen af to knuder: V(J#K)=V(J) V(K) For den modsatte orientering: V(rL)=V(L) Spejlbilledet af knuden: V(mL)(t)=V(L)( t 1 ) der er ingen!
Problemet med skein relationen 1) Vi skal regne 2 n udtryk 2) Vi er dovne 1024 udtryk!
Hvad er en tilstand? Positiv udjævning Negativ udjævning
Tilstands-sum formlen V(L)= ( t 1/4 ) 3w(D) ( t 1/2 t 1/2 ) sd 1 t s /4 sd er antallet af ringe i tilstanden s er summen af alle værdier w(d) er knudens vridning
Hvordan finder vi nye knuder?
Overflader Sfære Torus Genus 2
Overflader Disk Annulus
Euler karakteristikken Et tal der beskriver en figur på trods af dens krumning. χ(disk)=1 χ( Σ 1 Σ 2 )=χ( Σ 1 )+χ( Σ 2 ) Hvis vi limer en disk på alle kanter: χ( Σ )=χ(σ)+1
Genus af en knude Seiferts algoritme: 1. Vælg en orienteret knude 2. Lav positiv udjævning på alle krydsninger Vi kalder alle de lukkede cirkler for Seifert Cirkler 3. Tilføj en twisted strip til hver krydsning g(k)= 1 s+n/2
Primknuder They re prime numbers. But they re knots!
Primknudeopløsning En knude er en primknude, hvis den ikke kan skrives som en sum J#K#...#L, af ikke-trivielle knuder. g(j#k)=g(j)+g(k) g( K prim )=1
Hvorfor skal vi løse knuder?
Indhold Vi ved (næsten) ingenting om knuder Vi kan farve knuder Knude polynomier er awesome! Der findes uendelig mange knuder og vi ved ikke hvordan vi løser dem
Hvis i vil vide mere Katlas.org Læs min bog :3 Tak for opmærksomheden!