Matematik og Form Splines. NURBS
|
|
- Søren Dahl
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012
2 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 h b = p (0) = a 1 h s = p (1) = a 1 + 2a 2 + 3a 3 fører til et lineært ligningssystem. Løsning a 0 = p(0) a 1 = p (0) a 2 = 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1) a 3 = 2p(0) 2p(1) + p (0) + p (1)
3 Hermitekurve Dermed bestemmes polynomiet p(t) ved indsætning af a 0, a 1, a 2, a 3 : p(t) = p(0) + p (0)t + ( 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1))t 2 +(2p(0) + 2p(1) + p (0) + p (1))t 3 = 1 (1 3t 2 + 2t 3 )p(0) + (3t 2 2t 3 )p(1) +(t 2t 2 + t 3 )p (0) + ( t 2 + t 3 )p (1) = F 1 (t)p(0) + F 2 (t)p(1) + F 3 (t)p (0) + F 4 (t)p (1) Hermitepolynomier F 1 (t) = 1 3t 2 + 2t 3 F 2 (t) = 3t 2 2t 3 F 3 (t) = t 2t 2 + t 3 F 4 (t) = t 2 + t 3 De samme polynomier for hver opgave! Det der ændrer sig (variable) er værdierne p(0), p(1), p (0), p (1). 1 Sortering!
4 Opgave: Find 3.grads parameterfremstilling med vektorfunktion p(t), vektorer a i p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at P b = p(0) = a 0 P s = p(1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 h b = p (0) = a 1 h s = p (1) = a 1 +2a 2 + 3a 3 fører til et lineært ligningssystem Løsning a 0 = p(0) a 1 = p (0) a 2 = 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1) a 3 = 2p(0) 2p(1) + p (0) + p (1)
5 Kubisk parameterfremstilling Dermed bestemmes den kubiske parameterfremstilling p(t) ved ved indsætning af a 0, a 1, a 2, a 3 : p(t) = p(0) + p (0)t + ( 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1))t 2 +(2p(0) + 2p(1) + p (0) + p (1))t 3 = (1 3t 2 + 2t 3 )p(0) + (3t 2 2t 3 )p(1) +(t 2t 2 + t 3 )p (0) + ( t 2 + t 3 )p (1) = F 1 (t)p(0) + F 2 (t)p(1) + F 3 (t)p (0) + F 4 (t)p (1) Hermitepolynomier F 1 (t) = 1 3t 2 + 2t 3 F 2 (t) = 3t 2 2t 3 F 3 (t) = t 2t 2 + t 3 F 4 (t) = t 2 + t 3 De samme polynomier for hver opgave! Det der ændrer sig (variable) er: p(0), p(1), p (0), p (1).
6 Hermitekurver Kubiske parameterfremstillinger Hermitepolynomier F 1 (t) := 2t 3 3t F 2 (t) := 2t 3 + 3t 2 F 3 (t) := t 3 2t 2 + t F 4 (t) := t 3 t 2 Hermitekurve p(t) = F 1 (t)p b + F 2 (t)p s + F 3 (t)v b + F 4 (t)v s 3.grads kurve med begyndelses- og slutpunkt P b, P s samt begyndelses- og sluthastighedsvektor v b, v s.
7 Bézierkurver af orden 3 Kubiske Bernsteinpolynomier B 0,3 (t) := (1 t) 3 = t 3 + 3t 2 3t + 1 B 1,3 (t) := 3(1 t) 2 t := 3t 3 6t 2 + 3t B 2,3 (t) := 3(1 t)t 2 = 3t 3 + 3t 2 B 3,3 (t) := t 3 B 0,3 + B 1,3 + B 2,3 + B 3,3 = 1 B(t) = B 0,3 (t)p 0 + B 1,3 (t)p 1 + B 2,3 (t)p 2 + B 3,3 (t)p 3 3. grads Bézierkurve til kontrolpunkterne P 0, P 1, P 2, P 3.
8 Hermitekurver og kubiske Bézierkurver 1 Sammenligning Hermitekurver er 3.grads kurver som bestemmes ved begyndelsespunkt P b og slutpunkt P s samt begyndelseshastighed v b og sluthastighed v s. Bézierkurver af grad 3 bestemmes ved fire kontrolpunkter: begyndelsespunkt P 0 og slutpunkt P 3 samt to håndtag (eller magneter) P 1 og P 2. Man kan specificere den samme 3.ordens-kurve både som Hermitekurve og som Bézierkurve.
9 Hermitekurver og kubiske Bézierkurver 2 Hastighedsvektorer og kontrolpunkter Hermitekurve: endepunkter P b, P s, endehastighedsvektorer v b, v s. Bézierkurve: kontrolpunkter P 0, P 1, P 2, P 3. Hvis de skal bestemme samme 3. grads kurve: F 1 (t)p b + F 2 (t)p s + F 3 (t)v b + F 4 (t)v s ( ) = B 0,3 (t)p 0 + B 1,3 (t)p 1 + B 2,3 (t)p 2 + B 3,3 (t)p 3. Indsæt t = 0, t = 1: P b = P 0, P s = P 3 (samme endepunkter). Indsæt t = 0, t = 1 i den afledede til ligning (*): v b = 3P 0 + 3P 1 = 3 P 0 P 1 v s = 3P 2 + 3P 3 = 3 P 2 P 3 Begynd.-hastighed Sluthastighed = 3 vektor mellem de to første kontrolpkter = 3 vektor mellem de to sidste kontrolpkter
10 Kubiske splines Mål: C 2 -parameterfremstilling 2 for en kurve gennem punkter P 0, P 1,..., P n. Den består af n kubiske parameterfremstillinger (Hermite) p 1 (t) gennem P 0 og P 1 p 2 (t) gennem P 1 og P 2 p n (t) gennem P n 1 og P n. C 2 svarer til : p i (1) = p i+1 (0) = v i p i (1) = p i+1 (0) Derudover ønskes: p 1 (0) = p n(1) = 0 (Krumning = 0 i P 0 og P 1.) 2 C 2 : 1. og 2. afledede kontinuert!
11 Oversættelse til lineær algebra Ide: Find hastighedsvektorer v 0, v 1,..., v n sål. at p 1 (0) = v 0, p i (1) = p i+1 (0) = v i, 0 i n 1, p n(1) = v n p 1 (0) = 0, p i (1) = p i+1 (0), 0 i n 1, p n(1) = 0 p 1 (0) = 0 2v 0 + v 1 = 3P 0 P 1 p i (1) = p i+1 (0) v i 1 + 4v i + v i+1 = 3P i 1 P i+1 p n(1) = 0 v n 1 + 2v n = 3P n 1 P n Lineært ligningssystem: (n + 1) ligninger i (n + 1) ubekendte v 0, v 1,..., v n Koefficientmatriks A n+1 =
12 Beregning af hastighedsvektorerne Hastighedsvektorerne v 0, v 1,..., v n er løsningerne til: v 0 P 0 P 1 v 1 P 0 P 2 A n+1 = 3 højresiden v n 1 P n 2 P n v n P n 1 P n v 0 P 0 P 1 v 1 P 0 P 2 = 3A 1 n+1 v n 1 P n 2 P n v n P n 1 P n
13 Et simplet tilfælde: n = A 3 = 1 4 1, A 1 3 = , 3A 1 3 = v 0 4 v 1 P 0 P 1 2P 0 P 2 + P 1 P 2 ) = 1 2 ( P 0 P 1 + 2P 0 P 2 P 1 P 2 ) v ( P 0 P 1 2P 0 P 2 + 7P = 1 P 2 ) 1 4 P 0 P 1 P 1 P 2 ) 3 1 2P 0 P (5 P 1 P 2 P. 0 P 1 ) 3 7P 0 P 1 2P 0 P 2 + P 1 P 2 = 7OP 0 + 2OP 0 + 7OP 1 OP 1 2OP 2 + OP 2 = 5OP 0 + 6OP 1 OP 2 = 5P 0 P 1 P 1 P 2
14 Eksempel 3 punkter bestemmer 3 hastighedsvektorer P 0 : (4, 0), P 1 : (0, 4), P 2 : (4, 4); P 0 P 1 = [ 4, 4], P 0 P 2 = [0, 4], P 1 P 2 = [4, 0]; v 0 = 1 4 ([ 20, 20] [4, 0]) = [ 6, 5], v 1 = 1 2 [0, 4] = [0, 2], v 2 = 1 4 ([20, 0] [ 4, 4]) = [6, 1]. To Hermitekurver bestemmes Nu indsættes P 0, P 1, v 0, v 1 i parameterfremstilling p 1 (t) for Hermitekurve nr. 1: p 1 (t) = (1 3t 2 + 2t 3 )[4, 0] + (3t 2 2t 3 )[0, 4] + (t 2t 2 + t 3 )[ 6, 5] + ( t 2 + t 3 )[0, 2] = [4 6t + 2t 3, 5t t 3 ], t [0, 1]; og tilsvarende P 1, P 2, v 1, v 2 i parameterfremstilling p 2 (t) for Hermitekurve nr. 2: p 2 (t) = (1 3t 2 + 2t 3 )[0, 4] + (3t 2 2t 3 )[4, 4] + (t 2t 2 + t 3 )[ 0, 2] + ( t 2 + t 3 )[6, 1] = [6t 2 2t 3, 4 + 2t 3t 2 + t 3 ], t [0, 1].
15 Kurver med n + 1 kontrolpunkter n-te ordens Bézierkurver defineres ved ( hjælp ) af Bernstein-polynomier n B k,n (t) = t k k (1 t) n k af grad n. B n (t) = B 0,n (t)p B i,n (t)p i + + B n,n (t)p n. B-splines defineres ved hjælp af stykkevis polynomiale funktioner af grad k - som er 0 på en del af intervallet. Sammenligning: Fordele og ulemper støttepunkter grad glathed lokal kontrol kubisk spline alle 3 C 2 Bézierkurve endepunkter n C B-spline endepunkter k C k 2 delvis a a Kontrolpunkt har indflydelse på område svarende til k + 1 punkter
16 NURBS Non-uniform rational B-splines Beskrivelse kontrolpunkter Q 0,..., Q n og kontrolpolygon grad k 1 knot vektor vægte NURB-Kurven (af orden k) er givet ved en (vektor-)parameterfremstilling r(t) = n i=0 N i,k (t)q i. Egenskaber NURB-kurven ligger altid i det konvekse hylster bestemt ved kontrolpunkterne n i=0 N i,k (t)= 1 for alle t: Hver af (tal-)basisfunktionerne N i,k (t) er dels et polynomium af grad k 1, dels konstant lige med 0. lokal kontrol: Hvert kontrolpunkt har kun indflydelse mellem fra en knude til og med de næste k styks.
17 NURBS Knotvektor, vægte Parametre Basisfunktionerne lever på et (tids-) interval med knots på. Knotvektoren er en (svagt) voksende følge knots som ligger på dette tidsinterval. Antal: antal kontrolpunkterne + orden (= k) uniform: Knots har ens afstand fra hinanden, ellers non-uniform. Knots kan være multiple og er det gerne i starten og slutningen eller for at frembringe knæk a. a eng.: kink Vægte Til hvert kontrolpunkt Q i kan man lade svare en vægt w i. Punkter med høj vægt tiltrækker kurven særlig meget. Parameterfremstilling r(t) = n i=0 w i N i,k (t)q i n i=0 w i N i,k (t). Derfor rational (=brøk)! En særlig grund: Kun med brøker af denne form kan man beskrive cirkler, ellipser mv. eksakt!
18 Rhino og Grasshopper Rhino PointsOn Kontrolpunkterne med Dir vandrende enhedstangentvektor Curvature vandrende krumningscirkel og beregning af krumningen CurvatureGraphOn Normalvektorfelt; længde = krumning. Antal normalvektorer kan indstilles. Grasshopper IntCrv Interpolationskurve (spline), som går gennem de afsatte punkter. V Point Set (læses ind i Pt). D kurvens grad (helst ulige!, gerne 3 eller 5). Crv NURBS kurve V og D som for IntCrV P (periodic): Martin Er Raussen kurven Matematik lukket og (yes) Form Splines. ellernurbs åben (no)
Matematik, Struktur og Form Splines. NURBS
Matematik, Struktur og Form Splines. NURBS Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 17 Opgave: Find 3.grads polynomium p (t ) = a0 + a1 t + a2 t 2 + a3 t 3 sål. at
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereNumeriske metoder i matlab
NMM minimodul 6 p. 1/2 Numeriske metoder i matlab Lektion 6 Tom Søndergaard Pedersen Palle Andersen Aalborg University NMM minimodul 6 p. 2/2 Interpolation Polynomium, splines, mindste kvadraters metode.
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereUVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas
UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne
Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereÅrsplan i matematik 9 klasse. 2018/2019 Abdiaziz Farah
Årsplan i matematik 9 klasse. 2018/2019 Abdiaziz Farah Eleverne arbejder med fem hovedemner 1) Tal, systemer og regneregler 2) Økonomi 3) Trigonometri 4) Data og Chance 5) Grafer og lineære sammenhæng
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereÅrsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj -Juni 2022 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Det Naturvidenskabelige Gymnasium
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010
Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1
Læs mereÅrsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16
Årsplan 9 Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Hovedformål Årsplanen for 9 Klasse i Matematik tager udgangspunkt i Forenklede Fællesmål (Undervisningsministeriet) Formålet med undervisningen er, at eleverne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereLæringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer
Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende
Læs mereKlasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige
STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard
Læs mereSidefagssupplering. Kapitel 1
Sidefagssupplering Geometrisk Design, Læseplan Kapitel Her læses afsnit til 4, der drejer sig om polynomielle kurver, specielt Bézier kurver. Der skal især lægges vægt på afsnit 4, som giver en fuldstændig
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2012 HTX Vibenhus
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereÅrsplan i matematik 8 klasse. 2018/2019 Abdiaziz Farah
Årsplan i matematik 8 klasse. 2018/2019 Abdiaziz Farah Materialer: arbejdsbog, /9 begrebsbog Uger Indhold Videns eller færdigheds mål Materialer Evaluering 34-38 kende de reelle tal og En Negative tal
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni skoleåret 2016/17 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 08/09 Htx Sukkertoppen,
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2018/19 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX Matematik
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere