På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik
|
|
|
- Jacob Mørk
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 københavns universitet På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik Rune Johansen Ørsted 14. november, 2018 Dias 1/23
2 Overblik 1 Eksperimentel matematik? 2 Visualisering 3 Symbolsk inversion 4 At stoppe mens legen er god Dias 2/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
3 Eksperimentel matematik? xkcd.com Dias 3/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
4 Hvordan i alverden fandt de dog på det? Dias 4/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
5 Hvordan i alverden fandt de dog på det? Kvadratisk reciprocitet (Gauss): Lad p og q være (forskellige) ulige primtal. Definer: ( p q ) = { 1 hvis der findes n N så n2 q (mod p) 1 ellers Da er ( p q ) (q p p 1 q 1 ) = ( 1) 2 2. Dias 4/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
6 Hvordan i alverden fandt de dog på det? Dias 4/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
7 Hvad laver du her? Dias 5/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
8 Hvad laver du her? Data Science Developer (2018?) Software Developer ( ) Postdoc i eksperimentel matematik ( ) Dias 5/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
9 Hvad laver du her? Dias 5/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
10 Hvad er eksperimentel matematik? Den systematiske undersøgelse af eksempler på matematiske objekter (vha. computerprogrammer) med det formål at formulere generelle sætninger. Dias 6/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
11 Metode Undersøgelse fællestræk Hypotese Falsificering Modeksempler Fællestræk Ny hypotese Dias 7/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
12 Metode Undersøgelse fællestræk Hypotese Falsificering Modeksempler Fællestræk Ny hypotese Bevis! Dias 7/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
13 DARTMOUTH COLLEGE k ø b e n h a v n s u n i v e r s i t e t Nogle gange er et enkelt eksempel nok COUNTEREXAMPLE TO EULER'S CONJECTURE ON SUMS OF LIKE POWERS BY L. J. LANDER AND T. R. PARKIN Communicated by J. D. Swift, June 27, 1966 A direct search on the CDC 6600 yielded HO as the smallest instance in which four fifth powers sum to a fifth power. This is a counterexample to a conjecture by Euler [l] that at least n nth powers are required to sum to an nth power, n>2. REFERENCE 1. L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Vol. 2, Chelsea, New York, 1952, p Dias 8/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
14 Computerassisterede beviser Eksperimentel matematik: Computerprogrammer giver indsigt, som fører til formuleringen af sætninger og beviser. Computerassisteret bevis: Computerprogrammet leverer en del af argumentet i beviset for en sætning. Dias 9/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
15 Computerassisterede beviser Eksperimentel matematik: Computerprogrammer giver indsigt, som fører til formuleringen af sætninger og beviser. Computerassisteret bevis: Computerprogrammet leverer en del af argumentet i beviset for en sætning. Dias 9/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
16 københavns universitet Visualisering Dias 10/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
17 Krager og nødder (STX A, maj 2011) Opgave: Fit en aftagende potensfunktion. Hvor mange gange er kragen nødt til at smide nødden fra 15 meters højde? x y Dias 11/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
18 Krager og nødder (STX A, maj 2011) Opgave: Fit en aftagende potensfunktion. Hvor mange gange er kragen nødt til at smide nødden fra 15 meters højde? Dias 11/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
19 Krager og nødder (STX A, maj 2011) Opgave: Fit en aftagende potensfunktion. Hvor mange gange er kragen nødt til at smide nødden fra 15 meters højde? f (15) Dias 11/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
20 Mandelbrotmængden When seeking new insights, I look, look, look and play with many pictures (One picture is never enough). Benoit Mandelbrot Dias 12/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
21 Mandelbrotmængden When seeking new insights, I look, look, look and play with many pictures (One picture is never enough). Benoit Mandelbrot Dias 12/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
22 Symbolsk inversion deduktion Teori Data! induktion Dias 13/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
23 Hvad er det næste tal? 2, 5, 10, 17,? 120, 60, 80, 90,? Dias 14/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
24 Hvad er det næste tal? 2, 5, 10, 17,? 26 : Forskellene er de ulige tal. 28 : Forskellene er de ulige primtal. 120, 60, 80, 90,? Dias 14/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
25 Hvad er det næste tal? 2, 5, 10, 17,? 26 : Forskellene er de ulige tal. 28 : Forskellene er de ulige primtal. 120, 60, 80, 90,? 96 : Vi starter ved 120 og fortsætter med 120n/(n + 1). 120 : 10 gange antallet af 1-taller i binære repræsentationer af divisorer i 23 + n. Dias 14/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
26 LEGO-pyramider Regler: Klodser med bredde 2. Alle klodser i et vertikalt plan. Vi bygger kun opad. Dias 15/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
27 LEGO-pyramider Regler: Klodser med bredde 2. Alle klodser i et vertikalt plan. Vi bygger kun opad. Antal bygninger: 1,3,10,35,126,462 Dias 15/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
28 LEGO-pyramider Regler: Klodser med bredde 2. Alle klodser i et vertikalt plan. Vi bygger kun opad. Antal bygninger: 1,3,10,35,126,462 Redskaber: Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) Generende funktioner (Maple: guessgf) Dias 15/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
29 Gæt et tal Opvarmning: Lidt sværere: Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
30 Gæt et tal Opvarmning: Lidt sværere: Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
31 Gæt et tal Opvarmning: π Lidt sværere: Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
32 Gæt et tal Opvarmning: π Lidt sværere: Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
33 Gæt et tal Opvarmning: π Lidt sværere: Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
34 Gæt et tal Opvarmning: π Lidt sværere: /3π π e 2 Dias 16/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
35 Partial Sums of Least squares Vi ønsker at finde en relation mellem α 1,..., α k R. Relation: (n 1,..., n k ) Z k Præcision ɛ: n 1 α n k α k < ɛ Norm: n n2 k Ønskes: Lille ɛ og lille norm. PSLQ: Givet α 1,..., α k R og ɛ finder algoritmen en tuple (n 1,..., n k ) Z k med lille norm. Eller en nedre grænse for hvor lille normen af en sådan tuple kan være. Dias 17/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
36 identify Maplekommandoen identify buger PSLQ: Test om x Q Test om x er algebraisk med grad 6 eller mindre. Test om f (x) Q for f F Test om f (x) er algebraisk med grad 6 eller mindre for f F Test om x er en heltalskombination af med t {π, e, ln 2} 1, t 1/2, t 1/2, t, t 1, t 2, t 2, t 3, t 3 Dias 18/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
37 10 12 cifre af π 250 f.v.t. 2 cifre (Archimedes, polygoner) 480 e.v.t. 7 cifre (Zu Chongzhi, polygoner) 1400 e.v.t. 11 cifre (Madhava af Sangamagrama, potensrække) 1706 e.v.t. 100 cifre (John Machin, potensrække) 1761 π er et irrationalt tal (Johann Heinrich Lambert)... mere end cifre i dag. Dias 19/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
38 10 12 cifre af π Borwein Bailey Plouffe: Kan man beregne det nte ciffer af π uden at kende de foregående? Lav en liste med konstanter hvor cifrene kan beregnes sådan. Brug PSLQ til at finde en relation til π. Bevis at relationen holder. Dias 19/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
39 10 12 cifre af π Borwein Bailey Plouffe: Kan man beregne det nte ciffer af π uden at kende de foregående? Lav en liste med konstanter hvor cifrene kan beregnes sådan. Brug PSLQ til at finde en relation til π. Bevis at relationen holder. Resultat: π = 2 F 1 ( 1 4, ) + 2 arctan ( 1 2 ) ln 5 = k= k ( 4 8k+1 2 8k+4 1 8k+5 1 8k+6 ). Dias 19/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
40 At stoppe mens legen er god Dias 20/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
41 Riemann ζ Riemann hypotesen: Alle ikke trivielle nulpunkter for ζ-funktionen har realdel 1/2. Eksperimenter: De nulpunkter som ligger tættest på 0 har realdel 1/2. Riemann beregnede selv nogle af de første nulpunkter med flere decimalers nøjagtighed. Dias 21/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
42 Fornyelsessystemer: En skræmmehistorie Fornyelsesystem: Lad L være en mængde af ord. Fornyelsessystemet F L er samlingen af alle (dobbelt uendelige) følger af bogstaver, som kan konstrueres ved at konkatenere ord fra L. Eksempel: L = {hej, med, dig}. hejhejmedhejdighejdig F L Dias 22/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
43 Fornyelsessystemer: En skræmmehistorie Fornyelsesystem: Lad L være en mængde af ord. Fornyelsessystemet F L er samlingen af alle (dobbelt uendelige) følger af bogstaver, som kan konstrueres ved at konkatenere ord fra L. Eksempel: L = {hej, med, dig}. hejhejmedhejdighejdig F L Invarianter: F L Et fortegn (af en determinant) F L En gruppe Z/n 1 Z Z/n k Z givet ved n 1,..., n k Samme invarianter for ækvivalente fornyelsessystemer. Dias 22/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
44 Råd og advarsler Prøv det! Også i undervisningen (foredrag i morgen). Kend den eksisterende teori før du starter. Erkend din bias. Hvor repræsentative er dine eksempler? Start simpelt. Optimer senere. Kendte problemer er ofte undersøgt meget grundigt (Collatz er for eksempel tjekket op til ).... og læs vores bog :-) Dias 23/23 På opdagelse i det matematiske laboratorium: En introduktion til eksperimentel matematik 14. november, 2018
Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver
Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,
Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
DM549. Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1.e: x Z: y Z: x + y < x y
DM549 Spørgsmål 1 (8%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1 Svar 1.b: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.c: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.d: x Z: y Z: x 2 + 2y = 0 Svar 1.e:
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Algebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet
Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Selvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Studerende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.
Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: 27.06.02 Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse
Komplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Fraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen
Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen
Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel
TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Matematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Euklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Reeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver
Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Gult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Eksperimentel matematik Projektkatalog 2009
Eksperimentel matematik Projektkatalog 2009 A Fornyelsessystemer For en liste v 1,..., v n af ord og et helt tal N kan man danne en ny liste af ord ved at opskrive alle delord af længde N af de ord der
Modellering af balance på en vippe
Modellering af balance på en vippe Dette er en beskrivelse af et undervisningsforløb i Fysik/Kemi og matematik i 8. klasse på Tingkærskolen i Odense. Deltagerne i forløbet var lærer Thor Hansen og de to
Hashing. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering. Philip Bille
Hashing Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering Philip Bille Hashing Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering Ordbøger Ordbøger. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer.
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Webside score futurehunter.net
Webside score futurehunter.net Genereret Juni 02 2015 21:33 PM Scoren er 59/100 SEO Indhold Titel Always take higher ground Leadership comes through experience Længde : 63 Perfekt, din titel indeholder
Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende
Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Viètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Matematikkens filosofi filosofisk matematik
K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
DM547/MM537. Spørgsmål 2 (3%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1.
DM547/MM537 Spørgsmål 1 (10%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1 Svar 1.b: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.c: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.d: x Z: y Z: x 2 + 2y = 0 Svar
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Løsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Jes S. Jørgensen Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK
Jes S. Jørgensen (JJ@eg-gym.dk) Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK Ungdomsudd. : Bedre fange de nye elever Folkeskolen : Bedre forberede til gymnasiet Den gode start Vise hvad matematik er
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Hashing. Hashing. Ordbøger. Ordbøger. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering
Philip Bille Ordbøger. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[x] fra et univers af nøgler U og satellitdata data[x]. Ordbogsoperationer. SEARCH(k): afgør om element
Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun
Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun 1 Analyse af algoritmer Input Algoritme Output En algoritme er en trinvis metode til løsning af et problem i endelig tid 2 Algoritmebegrebet D.
Hashing. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering. Philip Bille
Hashing Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering Philip Bille Hashing Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering Ordbøger Ordbøger. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer.
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
SÆRE SYMBOLER OG FORVIRRENDE FORMLER
SÆRE SYMBOLER OG FORVIRRENDE FORMLER Et oplæg om brugen af symboler og formler i undervisningen og om nogle af de problemer, de er skyld i. Marit Hvalsøe Schou IN D H O L D Præsentation Symboler i overgangen
Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Tallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Matematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Taylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Elementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Computerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012
Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede
Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB
International matematikkonkurrence
60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Hvilket trafikskilt har flest symmetriakser? D 2 På Lisas køleskab holdes nogle postkort fast af 8 stærke magneter. magnet
Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:
Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,
Opgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Evaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Matematikken i kunstig intelligens: Socialt intelligente robotter
Matematikken i kunstig intelligens: Socialt intelligente robotter Thomas Bolander, DTU Compute, Danmarks Tekniske Universitet 2. juni 2018 Thomas Bolander, Matematikken i AI, DTU Compute, 26. april 2018
MM537 Introduktion til Matematiske Metoder
MM537 Introduktion til Matematiske Metoder Spørgsmål 1 (11%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z:
Matematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009
Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at