Studieretningsprojekter i machine learning
|
|
- Astrid Clemmensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer en mængde data, som computeren derefter selv finder mønstre i. Man kan derefter give computeren et nyt sæt ukendte datapunkter som den, på baggrund af sin erfaring om datasættet, kan forudsige ønskede værdier for. ml er efterhånden blevet et uundværligt værktøj indenfor dataanalyse, specielt når det kommer til big data, hvor man ofte har alt for mange data og data i alt for mange dimensioner til at mennesker kan arbejde med dem. I ml skelner man ofte mellem to typer af metoder, nemlig regression og klassifikation: Regression handler om at beregne en værdi, typisk et decimaltal, ud fra en række parametre. Et eksempel er at bestemme prisen på et hus givet f.eks. boligareal, grundareal, afstand til havet osv. Klassifikation handler om at tildele en bestemt klasse til et datapunkt på baggrund af en række parametre. Et eksempel er at afgøre om en given mail er spam eller ej, f.eks. baseret på ordene i mailen, afsenderen, tidspunktet for modtagelsen osv. I alle ml-metoder skal man bruge parametre, ofte kaldet features, som er relevante for den pågældende opgave. I eksemplet med husprisen må man formode at prisen afhænger af f.eks. grundarealet, så dette vil være en god parameter at tage med i beregningerne. Til gengæld har farven på den forrige ejers bil nok ikke den store indflydelse på husprisen, så det vil ikke gøre modellen bedre at tage denne parameter med. At vælge de rigtige parametre er altafgørende for hvor godt modellen kommer til at fungere, og ofte er det her at størstedelen af arbejdet og snilden ligger. Den følgende tekst giver en kort introduktion til tankegangen i ml og beskriver nogle få metoder, der relativt let kan implementeres selv. I afsnit 2 beskrives ideén om at se data som koordinatsæt, mens afsnit 3 og afsnit 4 beskriver nogle metoder til at analysere sådanne data. Afsnit 5 beskriver nogle metoder til at identificere de vigtigste parametre i et datasæt. Slutteligt giver afsnit 6 et bud på et muligt projekt indenfor ml og dataanalyse. 2 Data som koordinatsæt Når man skal analysere store mængder data, er det nødvendigt at tage matematiske redskaber i brug. For at kunne arbejde matematisk med data, bliver man nødt til at betragte dem på en måde, så de kan indgå i ligninger. Lad os sige, at vi ønsker at lave et program, der kan forudsige prisen på et hus. Nu kan man jo ikke bare tage et billede af et hus og ud fra det gætte prisen, så vi må finde nogle tal eller parametre der beskriver huset, og som vi mener bør have en indflydelse på husprisen. Dette kunne f.eks. være boligarealet, grundarealet, antal værelser, byggeår, afstand til havet osv. Vi kan nu undersøge, om der virkelig er en sammenhæng mellem vores parametre og husprisen. Har vi adgang til nogle huse med kendte salgspriser, kan vi jo f.eks. lave en graf med boligarealet ud ad x-aksen og husprisen op ad y-aksen og se, om boligerne ser ud til at ligge på en ret linje, en parabel eller lignende. 1
2 I ovenstående eksempel har vi faktisk allerede lavet vores data om til matematiske størrelser nemlig koordinatsæt i en graf! Ved at bruge boligarealet som x-koordinat og husprisen som y-koordinat, har vi nemlig lavet punkter, der svarer til (x, y) = (boligareal, huspris), i et koordinatsystem, og disse punkter kan vi bruge på præcis samme måde, som vi normalt bruger punkter. Der er overhovedet ingen forskel på disse punkter og de punkter, der bruges i matematikundervisningen. Vi kan f.eks. beregne afstande mellem vores hus -punkter, beregne arealet mellem dem, tilpasse (fitte) en ret linje til dem osv. Nogle af disse beregninger er måske ligegyldige for bestemmelsen af husprisen, men andre er måske nyttige. At fitte en ret linje til punkterne kunne f.eks. godt være en god idé. Nu skal vi nok ikke regne med, at der er en perfekt sammenhæng mellem boligarealet og husprisen. Nogle af de andre parametre, der blev nævnt ovenfor, har sandsynligvis også en indflydelse på husprisen og der er helt sikkert flere parametre, vi slet ikke har tænkt på. Spørgsmålet er nu, hvordan vi kan gøre brug af alle disse parametre på én gang. I eksemplet ovenfor, hvor der var to parametre, boligareal og huspris, fik vi et koordinatsæt på et punkt i to dimensioner, nemlig (x, y) = (boligareal, huspris). (1) Tilføjer vi en ekstra parameter, f.eks. grundarealet, kan vi stadig betragte det som et koordinatsæt til et punkt, nu bare i tre dimensioner: (x, y, z) = (grundareal, boligareal, huspris). (2) Disse punkter kan også indtegnes i et koordinatsystem, men det skal gøres i tre dimensioner, og så bliver det lidt sværere at visualisere på en god måde. Man kan blive ved med at tilføje parametre til koordinatsættet tilføjer vi også byggeåret, får vi et punkt i fire dimensioner: (x, y, z, æ) = (byggeår, grundareal, boligareal, huspris). (3) Nu begynder vi dog at løbe tør for bogstaver, der stadig ser matematiske ud, til parametrene, så i stedet kalder man ofte parametrene x 1, x 2, x 3 osv. Punktet vil da kunne skrives som (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (byggeår, grundareal, boligareal, huspris). (4) Vi kan selvfølgelig tilføje flere og flere parametre, men det er svært at visualisere punkter i mere end tre dimensioner, så herefter må vi stole på matematikken, når vi skal finde sammenhænge i vores data. 3 Lineær klassifikation og regression En simpel metode til både regression og klassifikation bygger på et førstegradspolynomium (også kaldet lineært polynomium): y = w 0 + D w i x i = w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + (5) i=1 Her er D antallet af parametre, man bruger i sin model, w erne er konstanter, mens x erne er parametre. Har man kun én parameter, får man det velkendte y = ax+b. Variablen y i ligning (5) er værdien eller klassen, man ønsker at forudsige. Opgave 1 Hvorfor bliver ligning (5) til y = ax + b, når man kun har én parameter? Side 2 af 7
3 3.1 Metoden Metoden bygger som sagt på et førstegradspolynomium. Dette kan virke meget simpelt, men metoden er enormt effektiv hvis ens data faktisk opfører sig (nogenlunde) lineært. Metoden bruges forskelligt alt efter om man ønsker at bruge den til klassifikation eller regression. Klassifikation Metoden kan kun implementeres let, hvis man arbejder med to klasser, så dette vil vi tage udgangspunkt i. Variablen y i ligning (5) repræsenterer de to klasser, men det er ikke ligegyldigt, hvad vi kalder disse klasser. For at metoden virker, skal den ene klasse have klassen +1, men den anden skal have 1. Giv derfor hver kombination af parametre den y-værdi, som svarer til klassen. Når dette er gjort, kan datapunkterne konstrueres med +1 eller 1 på y s plads og førstegradspolynomiet fittes derefter til punkterne, f.eks. ved hjælp af Excel. Man kan slutteligt forudsige en klasse for et nyt datapunkt ved at beregne y for den nye kombination af paramtre. Klassen bestemmes da ved: { +1 hvis y > 0 Klasse = (6) 1 hvis y < 0 I tilfældet hvor y = 0, kan man ikke umiddelbart tildele punktet en klasse. Regression At forudsige værdier for datapunkter ved hjælp af et førstegradspolynomium er et kendt problem, som de fleste har løst mange gange i f.eks. Excel har man kun én parameter reducerer problemet nemlig til at fitte en ret linje til datapunkterne. Efterfølgende kan man forudsige y-værdier for ukendte værdier af parameteren x. Har man mere end én parameter, er løsningen stadig den samme, nemlig at fitte et førstegradspolynomium til dataene. Har man f.eks. to parametre, skal man fitte en funktion af formen y = ax 1 + bx 2 + c til dataene. Opgave 2 Hvilket geometrisk objekt svarer en funktion af formen y = ax 1 + bx 2 + c til? Desværre kan Excel ikke følge med, når man arbejder med mere end én parameter, men der findes mange gratis programmer på internettet, der kan. 4 k nearest neighbours k nearest neighbours (k-nn) er en metode til at forudsige en værdi eller klasse på baggrund af allerede kendte observationer (datapunkter). Basalt set bruger metoden de k nærmeste datapunkter ( naboer ) til at forudsige enten værdien eller klassen for et nyt datapunkt. Præcis hvor mange naboer man skal vælge (dvs. for stor k skal være) varierer fra situation til situation, og man må ofte bare prøve sig frem. 4.1 Metoden Givet et nyt datapunkt t skal afstanden d fra dette til alle andre datapunkter beregnes. Dette kan f.eks. gøres ved at beregne den Euklidiske afstand: d(t, x) = n (t i x i ) 2 = (t 1 x 1 ) 2 + (t 2 x 2 ) (t n x n ) 2, (7) i=1 Side 3 af 7
4 hvor t 1, t 2,..., t n er koordinaterne for det nye datapunkt (t), og x 1, x 2,..., x n er koordinaterne for et af de eksisterende datapunkter (x). De kendte datapunkter (dvs. ikke det nye) sorteres herefter afstand, og man kigger nu kun på de k datapunkter med den korteste afstand. Man kan nu bestemme enten en værdi eller en klasse som følger: Klassifikation Vælg den klasse, som de fleste af de k datapunkter tilhører. Hvis to eller flere klasser har lige mange datapunkter, vælges der tilfældigt. Hvis man kun har to klasser at vælge imellem, kan det være en fordel at vælge et ulige k, f.eks. 3, 5, 7 osv. Dette sikrer, at én af klasserne altid vil være i overtal. Regression Skal man bestemme en værdi t for datapunktet, er der mulighed for at gøre flere ting den simpleste er blot at tage gennemsnittet af de k nærmeste: t = 1 k k x i, (8) i=1 hvor x i indikerer værdien af det i te nærmeste datapunkt. En anden mulighed er at vægte de enkelte datapunkter, når man tager gennemsnittet. Ofte vægtes datapunkterne med d 1, dvs. jo større afstanden til datapunktet er, jo mindre betydning får det. Bruges denne vægtning kan værdien for det nye datapunkt beregnes som t = hvor d i er afstanden fra t til datapunktet x i. 5 Parameterudvælgelse k i=1 d 1 i x i k i=1 d 1 i, (9) Parameterudvælgelse (feature selection på engelsk) handler om at identificere de parametre, der indeholder mest information. Med andre ord prøver man at finde ud af hvilke parametre, der betyder mest for klassificeringen eller værdibestemmelsen af et datapunkt. Det kan nogle gange være nødvendigt at sortere de dårligste parametre fra, for at få en god klassifikation eller regression. Specielt k-nn kan give dårlige resultater, når man har relativt få datapunkter i forhold til antallet af parametre. Har man meget få parametre, kan man prøve at bruge alle tænkelige kombinationer af disse og se, hvilken giver det bedste resultat. Dette bliver dog hurtigt uoverkommeligt, når antallet af parametre stiger. Herunder præsenteres to simple teknikker, der kan hjælpe med at finde de mest informationsrige parametre. 5.1 Fremadrettet parameterudvælgelse Fremadrettet parameterudvælgelse (forward feature selection på engelsk) går ud på, at man træner sin model med én parameter ad gangen og finder den parameter, der indeholder mest information. Denne parameter beholder man og leder nu efter den af de resterende parametre, der sammen med den udvalgte giver det bedste fit. Dette fortsættes indtil man opnår den ønskede nøjagtighed. På punktform ser metoden således ud: 1. Træn modellen med én parameter ad gangen, indtil alle parametre har været afprøvet. 2. Udvælg den parameter (lad os kalde den x 0 ), der gav det bedste fit. 3. Lav nye parameterkombinationer af x 0 og hver af de resterende parametre, én ad gangen dvs. (x 0, x 1 ), (x 0, x 2 ), (x 0, x 3 ) osv. Side 4 af 7
5 4. Udvælg den parameterkombination (f.eks. (x 0, x 1 )), der gav det bedste fit. 5. Lav nye parameterkombinationer af (x 0, x 1 ) og hver af de resterende parametre, én ad gangen dvs. (x 0, x 1, x 2 ), (x 0, x 1, x 3 ), (x 0, x 1, x 4 ) osv. 6. Udvælg den parameterkombination (f.eks. (x 0, x 1, x 2 )), der gav det bedste fit. 7. Fortsæt med dette indtil den ønskede nøjagtighed er nået. En fordel ved fremadrettet parameterudvælgelse er, at man relativt hurtigt finder en parameterkombination, der giver en god nøjagtighed. En ulempe er, at fremadrettet parameterudvælgelse i starten finder den parameter, der i sig selv indeholder mest information men det er ikke nødvendigvis den parameter, der kombineret med andre vil være bedst. Dette tager den næste metode højde for. 5.2 Baglæns parameterelimination Baglæns parameterelimination (backwards feature elimination på engelsk) er, så at sige, en baglæns version af fremadrettet parameterudvælgelse. I stedet for at starte med at træne med én parameter ad gangen, starter man nu med alle parametre, men fjerner én ad gangen. Man finder så den kombination, der giver det bedste fit, og proceduren fortsætter, til man opnår sin ønskede nøjagtighed. På punktform ser metoden således ud: 1. Træn modellen med alle på nær én parameter, indtil alle parametre har været fjernet på skift. 2. Udvælg den kombination af paramtre, der gav det bedste fit. 3. Træn modellen på den nye kombination, hvor der igen fjernes én parameter ad gangen. 4. Udvælg den kombination af paramtre, der gav det bedste fit. 5. Fortsæt med dette indtil den ønskede nøjagtighed er nået. En fordel ved baglæns parameterelimination er, at metoden hele tiden ser på, hvilken kombination af parametre, der giver det bedste fit, og ikke kun ser på hvor godt de enkelte parametre virker. Til gengæld er metoden meget langsommere end fremadrettet parameterudvælgelse, da de fleste modeltræninger ligger i starten, hvor man stadig har de fleste parametre med. 5.3 Kombineret parameterudvælgelse Begge ovennævnte metoder har styrker og svagheder, og hvilken der virker bedst kommer meget an på ens data og parametre. Som en sidste mulighed skal det nævnes, at man kan forsøge at tage det bedste fra de to metoder ved at kombinere dem. Man kan f.eks. lave baglæns parameterelimination 5 gange efterfulgt fremadrettet parameterudvælgelse 2 gange, indtil man opnår den ønskede nøjagtighed. Man kan selvfølgelig ændre antallet af gentagelser, eller vælge at starte med fremadrettet parameterudvælgelse man må simpelthen bare prøve sig frem, indtil man finder en god kombination. At kombinere de to metoder kan kun lade sig gøre, hvis man har få data og/eller få parametre, da metoden hurtigt kommer til at tage alt, alt for lang tid. Side 5 af 7
6 6 Projekt i astronomi Herunder følger et projekt, der vil være mulighed for at lave. Projektet er ment som forslag, så der er rig mulighed for at ændre både emne og indhold tag en snak med os om mulighederne! Programmeringserfaring er på ingen måde et krav, da færdige programmer vil blive udleveret. 6.1 Introduktion I de seneste par årtier er mængden af astronomiske data steget eksplosivt i takt med at større og større teleskoper bliver bygget og det er ikke slut endnu. Om mindre end 10 år tager Large Synoptic Survey Telescope (LSST) sit første billede, og det vil i de efterfølgende år producere intet mindre end 30 TB data per nat. Det giver os to store udfordringer: for det første skal billederne analyseres i real time, så man med det samme kan give andre teleskoper verden over besked om interessante begivenheder såsom supernovaer, der hurtigt skal følges op på; for det andet vil LSST kunne kigge meget længere ud i universet og se meget svagere objekter, end man kan i dag. Man vil kunne se milliarder af stjerner, galakser og andre astronomiske objekter hver nat, og det er alt, alt for mange til at man kan lave detaljerede studier af hvert eneste objekt. Der er derfor brug for ekstremt effektive machine learning-teknikker til at udvælge de mest interessante objekter til videre undersøgelser. Det er dog et endnu uløst problem for ml-teknikkerne at overføre erfaring fra et datasæt (f.eks. SDSS) til et andet (f.eks. LSST). Det fungerer meget dårligt i dag, men problemet skal løses, hvis vi skal maksimere det videnskabelige udbytte. 6.2 Projektbeskrivelse Projektet tager udgangspunkt i data fra Sloan Digital Sky Survey (SDSS), som siden 2000 har taget billeder af himlen. Der er taget billeder af næsten en milliard objekter, og der bliver stadig fundet nye, ukendte objekter i billederne. Astronomerne selv bruger dog ikke billederne til så meget, simpelthen fordi det er svært at bestemme parametre (f.eks. størrelse, afstand og masse) for objekterne alene ud fra billederne. I stedet bruger man spektre af lyset fra objekterne, da disse indeholder en masse information. Desværre er det enormt tidskrævende og meget dyrt at tage spektre, så kun særligt lovende objekter bliver observeret på denne måde. Det gør dels, at man ikke får set det store billede, dels at man kun sjældent opdager helt nye objekter. Også her kan ml hjælpe, og det er det, projektet her undersøger. Vi vil benytte data fra omkring objekter fra SDSS-databasen ( org/). Vi skal bl.a. se på stjernedannelsesraten i galakser, dvs. hvor mange stjerne, der bliver dannet per år i galakserne. Dette tal kan fortælle om galaksernes dannelse og udvikling, men man skal som regel bruge et spektrum for at bestemme det. Vi vil forsøge at gøre det alene ud fra billederne. Vi vil også forsøge at finde kvasarer i SDSS-dataene. En kvasar er et meget fjerntliggende objekt, der udsender enorme mængder energi en enkelt kvasar kan udsende tusind gange så meget energi som Mælkevejen, der indeholder 200 til 400 milliarder stjerner. Kvasarer menes at være aktive områder omkring supertunge sorte huller i centrene af meget fjerne galakser, og siden de ligger så langt væk, kan vi få et unikt indblik i, hvordan universet så ud, da det var meget ungt. Kvasarer er dog svære at finde, da de til forveksling ligner stjerner, men vil vi vha. ml-teknikker forsøge at komme med kvalificerede bud på, hvilke objekter, der kunne være kvasarer. 6.3 Læringsmål I løbet af projektet vil den studerende blive bekendt med: ml-metoder til både regression og klassifikation. Hvordan disse metoder virker og hvilke fordele og ulemper de hver især har. Side 6 af 7
7 Galaksers opbygning og udvikling. Hvordan man kan bruge regression til at estimere stjernedannelsesraten i galakser og hvor præcist, dette kan gøres. Hvordan kvasarer fungerer og observeres. Hvordan man kan bruge klassificering til at finde kvasarer hvor fjerne kvasarer kan vi finde? Hvilken effekt det har, at antallet af kendte kvasarer falder med afstanden om det gør vores klassifikation dårligere, og om vi i så fald kan gøre noget for at afhjælpe problemet. Hvad ml-metoder kan (og ikke kan) hjælpe astronomien med. Side 7 af 7
Data-analyse og datalogi
Det Naturvidenskabelige Fakultet Data-analyse og datalogi Studiepraktik 2014 Kristoffer Stensbo-Smidt Datalogisk Institut 23. oktober 2014 Dias 1/15 Hvorfor bruge tid på dataanalyse?! Alle virksomheder
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereDenne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.
Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAf Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet
RØNTGENSTRÅLING FRA KOSMOS: GALAKSEDANNELSE SET I ET NYT LYS Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet KOSMISK RØNTGENSTRÅLING Med det blotte øje kan vi på en klar
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereEksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen
Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel
Læs merePeriodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs mereLærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):
Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereKvadratisk regression
Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePotensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir
1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mereÅrsplan matematik 7.klasse 2014/2015
Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.
Læs mereMellem stjerner og planeter
Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.
Læs mereHubble relationen Øvelsesvejledning
Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereFUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for
Læs mereProjekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst
Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereDET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014
DET USYNLIGE UNIVERS STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 GANSKE KORT OM KOSMOLOGIENS UDVIKLING FØR 1920: HELE UNIVERSET FORMODES AT VÆRE NOGENLUNDE AF SAMME STØRRELSE SOM MÆLKEVEJEN OMKRING 30,000 LYSÅR GANSKE
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereHvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space
Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Først lidt om naturkræfterne: I fysikken arbejder vi med fire naturkræfter Tyngdekraften. Elektromagnetiske kraft. Stærke kernekraft. Svage kernekraft.
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereOversigt. funktioner og koordinatsystemer
Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereSupermassive sorte huller og aktive galaksekerner
Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner V.Beckmann / ESA Daniel Lawther, Dark Cosmology Centre, Københavns Universitet Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Vi skal snakke om: - Hvad
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra med CAS i folkeskolen
Algebra med CAS i folkeskolen Introduktion Eksempler: Eksempel 1 Hvad er en ligning? Eksempel 2 KenKen med CAS, Eksempel 3 Parenteser og sliders Eksempel 4 Mere end x og konstanter Værktøjer: Introduktion,
Læs merea. Find ud af mere om sprogteknologi på internettet. Hvad er nogle typiske anvendelser? Hvor mange af dem bruger du i din hverdag?
En computer forstår umiddelbart ikke de sprog vi mennesker taler og skriver. Inden for sprogteknologien (på engelsk: Natural Language Processing eller NLP), der er en gren af kunstig intelligens, beskæftiger
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereI dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.
GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereJan B. Larsen HTX Næstved Computational Thinking Albena Nielsen N. Zahles Gymnasium 2018/2019
Forløb: Toksikologi Fag og emner Forløbet kan laves udelukkende i matematik og bioteknologi, men der er oplagt, at det implementeres i andre fag. Matematik modellering, differenceligninger, sandsynlighed,
Læs mereÅrsplan matematik 6. Klasse
Årsplan matematik 6. Klasse 2018-2019 Materialer til 6.årgang: - Matematrix grundbog 6.kl - Matematrix arbejdsbog 6.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 6.kl - Computer Vi skal i løbet af året
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereLogaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6
Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt
Læs mereLommeregnerkursus 2008
Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePROGRAM FOR ASTRONOMIDAGEN FREDAG, DEN 12. JANUAR Det meget nye og det meget gamle
PROGRAM FOR ASTRONOMIDAGEN FREDAG, DEN 12. JANUAR 2018 H. Kjeldsen, 30.11.2017 Det meget nye og det meget gamle 9.45 Kaffe/te og rundstykker Foran Fysisk Auditorium, bygning 1523-318 10.00 Velkomst Hans
Læs mereMODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI
MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI T (K) t (år) 10 30 10-44 sekunder 1 mia. 10 sekunder 3000 300.000 50 1 mia. He, D, Li Planck tiden Dannelse af grundstoffer Baggrundsstråling
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereM A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:
M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges
Læs mereTilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge
Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik Målgruppe: 07A Periode: Oprettet af: GL Mål for undervisningen: Matematik, 2017/18, 7. klasse. Undervisningen vil veksle mellem fælles gennemgang og selvstændigt arbejde, både individuelt
Læs mereMatematika rsplan for 8. kl
Matematika rsplan for 8. kl 2015-2016 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet
Læs mereTeori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen
Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive
Læs mereALGORITMER OG DATA SOM BAGGRUND FOR FORUDSIGELSER 8. KLASSE. Udfordring
ALGORITMER OG DATA SOM BAGGRUND FOR FORUDSIGELSER 8. KLASSE Udfordring INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Forløbsbeskrivelse... 3 1.1 Overordnet beskrivelse tre sammenhængende forløb... 3 1.2 Resume... 5 1.3 Rammer
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.
Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2
Læs mereUndervisningsplan 3-4. klasse Matematik
Undervisningsplan 3-4. klasse Matematik Formålet for faget matematik Guldminen 2019/2020 Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntroduktion til projektet Partnere og faciliteter Brorfelde Observatorium Undervisningspakker Lærerkurser Refleksion. Fremtidsperspektiver
Introduktion til projektet Partnere og faciliteter Brorfelde Observatorium Undervisningspakker Lærerkurser Refleksion Matcher udbud og efterspørgsel? Interesse for samarbejde? Fremtidsperspektiver Harestua
Læs mereStudieplan Stamoplysninger Periode Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Oversigt over planlagte undervisningsforløb Titel 1
Studieplan Stamoplysninger Periode August - November 2018 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Grundforløb) Søren Andresen 18-HH11, 18-HH12, 18-HH13
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018
ÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018 Der tages udgangspunkt i forenklede fællesmål fra UVM for matematik på 7-9. Klasse. Ved denne plan skal der tages højde for, at ændringer kan forekomme i løbet
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mere