Bilagsoversigt Bilag CME s udbud af vejrderivater Bilag 2 Vejrudgaven af Black-Scholes modellen Bilag 3 Sammenligning af empiri og model for novembertemperatur Bilag 4 Sammenligning af empiri og model for daglig temperatur Bilag 5 Marsaglia-Bray
Bilag CME s udbud af vejrderivater Temperatur Futures og optioner på: USA CDD måned/sæson, USA HDD måned/sæson, USA uge I Atlanta, Baltimore, Boston, Chicago, Cincinnati, Colorado Springs, Dallas, Des Moines, Detroit, Houston, Jacksonville, Kansas City, Las Vegas, Little Rock, Los Angeles, Minneapolis, New York, Philadelphia, Portland, Raleigh/Durham, Sacramento, Salt Lake City, Tucson og Washington D.C. Futures og optioner på: Canada CAT måned/sæson, Canada CDD måned/sæson, Canada HDD måned/sæson I Calgary, Edmonton, Montreal, Toronto, Vancouver og Winnipeg Futures og optioner på: Europa CAT måned/sæson, Europa HDD måned/sæson I Amsterdam, Barcelona, Berlin, Essen, London, Madrid, Oslo, Paris, Prag, Rom og Stockholm Futures og optioner på: Asien måned/sæson I Osaka, Hiroshima og Tokyo Futures og optioner på: Australien CDD måned/sæson, Australien HDD måned/sæson I Brisbane, Melbourne og Sydney http://www.cmegroup.com/trading/weather/
Orkan Futures og optioner på: Orkan sæson og Orkan sæson maksimum (gælder kun for den største orkan) I Eastern U.S., Florida, Florida Gold Coast, Galveston-Mobile, Gulf Coast, Northern Atlantic Coast, Southern Atlantic Coast, Gulf Coast + Florida og Florida + Southern Atlantic + Northern Atlantic Frost Futures og optioner på: Frost måned/sæson I ingen byer endnu Snefald Futures og optioner på: Snefald måned/sæson I Boston, Chicago, Detroit, Minneapolis og New York Regn Futures og optioner på: Regn måned/sæson I Chicago, Dallas, Des Moines, Detroit, Jacksonville, Los Angeles, New York, Portland og Raleigh/Durham
Bilag 2 Vejrudgaven af Black-Scholes modellen. Tjek af løsningsforslag Først skal de afledte funktioner findes: = 2 ½ 2 + 2 ½ 2 = 2 + 2 = 2 ½ = = 2 ½ + Dernæst skal de sættes ind i formel 5...2: = 2 + 2 +½ =0 ½ 2 + 2 +½ =0 2 + + 2 2 2 =0 Formel 5...2 går op, og løsningsforslaget kan dermed bruges.
2. Udledning af forventede afkast 2 Først udledes nogle brugbare formler: Der tages udgangspunkt i standardnormalfordelingen: = = 2 = 2 = =[ ] = = Φ=Φ = Standardnormalfordelingen ændres til en normalfordeling med µ og σ. Derudover tilføjes, hvilket kommer fra løsningen til vejrudgaven af Black-Scholes modellen: = = =Φ = Φ = = Φ Φ (A2.) = = = + 3 + = + Φ Φ = + Φ Φ Φ Φ 2 Skrevet på baggrund af Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) appendix D.4 3 For at lave x fra standardnormalfordelingen om til s i en normalfordeling med µ og σ, skal der ganges med σ x og lægges µ til
= + Φ Φ (A2.2) Swap uden grænse Formlen for afkastet på en swap, p(x), kommer fra formel 3.2.. Ved hjælp af formel A2.2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ] = [0+ 0] = Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Swap med grænse Formlen for afkastet på en swap, p(x), kommer fra formel 3.2.. $ + + $ Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = og $ = bliver det forventede afkast følgende:
$ [ Φ Φ ]+ [ + Φ Φ ] + $ [ Φ Φ ] = $ Φ 0+ + Φ Φ + $ Φ = Φ + + Φ Φ + $ Φ =Φ + +Φ Φ + $ +Φ = +Φ + +Φ + + $ = +Φ +Φ + $ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Call option uden grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3... Afkastformen er den samme som ved en swap, men call optionen giver kun et afkast, hvis den endelige værdi er højere end strikeværdien. Ved hjælp af formel A2. 2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ] = [ 0+ Φ ] = + Φ
Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Call option med grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3... + $ Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ]+ $ [ Φ Φ ] = + Φ Φ + $ Φ = +Φ Φ + $ Φ $ = +Φ +Φ + $ +Φ = +Φ + +Φ + $ = +Φ +Φ + $ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Put option uden grænse Formlen for afkastet på en put, p(x), kommer fra formel 3..2.
En put option har også en afkastform som en swap, men modsat call optionen giver den kun et afkast, hvis den endelige værdi er mindre end strikeværdien. Ved hjælp af formel A2.2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ] = [ 0 + Φ 0] = Φ = +Φ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Put option med grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3..2. $ + Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = bliver det forventede afkast følgende: = $ [ Φ ] [ + Φ Φ ] = $ Φ 0 Φ Φ = $ Φ + Φ +Φ = Φ + +Φ +Φ =Φ + + +Φ = +Φ +Φ
Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Collar uden grænse Formlen for afkastet på en collar, p(x), kommer fra formel 3.2.2. + En collar giver en negativt afkast, hvis den endelige værdi er mindre end den nedre strike, samt et positivt afkast hvis den endelige værdi er større end den øvre strike. Dermed er formlen som ved en swap bortset fra, at der er intet afkast er mellem den nedre og den øvre strike. Ved hjælp af formel A2.2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ]+ [ + Φ Φ ] = [ 0 + Φ 0] + [ 0+ Φ ] = +Φ + + Φ = +Φ + Φ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Collar med grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3.2.2.
$ + + + $ Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = og $ = bliver det forventede afkast følgende: = $ [ Φ Φ ]+ [ + Φ Φ ] + [ + Φ Φ ] + $ [ Φ Φ ] = $ Φ 0+ + Φ Φ + + Φ Φ + $ Φ = K Φ + +Φ Φ + +Φ Φ + $ DΦ =Φ K + +Φ +Φ + +Φ +Φ + $ +DΦ = + +Φ K + +Φ + +Φ +Φ + $ = + +DΦ +DΦ +DΦ +DΦ + $ 4 Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. 4 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) har kun ganget D på det første led, men det skal være på alle leddene på nær det sidste.
Straddle uden grænse Formlen for afkastet på en straddle, p(x), kommer fra formel 3.3.. + En straddle giver et positivt afkast lige meget om den endelige værdi er over end under strikeværdien. Ved hjælp af formel A2.2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ] + [ + Φ Φ ] = 0 Φ 0+ 0+ Φ = +Φ + + +Φ =2 +2Φ + Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Straddle med grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3.3.. $ + + + $ Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = og $ = bliver det forventede afkast følgende:
$ [ Φ Φ ] [ + Φ Φ ] + [ + Φ Φ ] + $ [ Φ Φ ] = $ Φ 0 Φ Φ + + Φ Φ + $ Φ = Φ + Φ +Φ + +Φ Φ Φ + $ = Φ + +Φ +Φ + +Φ +Φ Φ + $ = + +Φ + +2Φ +Φ + + $ = 2 +Φ +2Φ +Φ + $ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Strangle uden grænse Formlen for afkastet på en strangle, p(x), kommer fra formel 3.3.2. + En strangle minder om en straddle, idet den giver et positivt afkast, både når den endelige værdi er under den nedre grænse samt over den øvre grænse. Forskellen er
dog, at der ikke er noget afkast mellem den nedre og den øvre strikeværdi. Ved hjælp af formel A2.2 bliver det forventede afkast følgende: [ + Φ Φ ] + [ + Φ Φ ] = 0 Φ 0+ 0 + Φ = +Φ + + Φ = + +Φ + Φ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater. Strangle med grænse Formlen for afkastet på en call, p(x), kommer fra formel 3.3.2. $ + + + $ Ved hjælp af formlerne A2. og A2.2 samt $ = og $ = bliver det forventede afkast følgende: = $ [ Φ Φ ] [ + Φ Φ ] + [ + Φ Φ ] + $ [ Φ Φ ] = $ Φ 0 Φ Φ + + Φ Φ + $ Φ
=Φ + Φ +Φ + +Φ Φ + $ Φ =Φ + +Φ +Φ + +Φ +Φ + $ +Φ = + +Φ + +Φ +Φ +Φ + + $ = + +Φ +Φ +Φ +Φ + $ Denne formel benyttes i VBA-koderne i Excel-arket Vejrderivater.
Bilag 3 Sammenligning af empiri og model for novembertemperatur Følgende figurer viser sammenligningen mellem den gennemsnitlige temperatur i novembermåned fra 980 til 2009 og en normalfordeling, hvor µ er 40,6 og σ er 4,3676. Figur A3.: Sammenligning af kumulativ tæthedsfunktion 20,00% 00,00% 80,00% Sammenligning af empiri og model - CDF 60,00% 40,00% 20,00% Empiri Model 0,00% 9 2 5 8 2 24 27 30 33 36 39 42 45 48 5 54 57 60 63 66 69 72 Indeks Kilde: Egen tilvirkning Figur A3.2: Sammenligning ved PP-plot Sammenligning af empiri og model - PP-plot 20,00% 00,00% y = 0,9835x + 0,0473 80,00% 60,00% 40,00% Empiri vs. Model 20,00% 0,00% 0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 00,00% 20,00% Kilde: Egen tilvirkning
Figur A3.3: Sammenligning ved QQ-plot 55 50 Sammenligning af empiri og model - QQ-plot y =,008x -0,6672 45 40 35 Empiri vs. Model 30 25 30 35 40 45 50 55 Kilde: Egen tilvirkning
Bilag 4 Sammenligning af empiri og model for daglig temperatur Følgende figurer viser sammenligningen mellem den daglige gennemsnitstemperatur fra. januar 980 til og med 3. oktober 200 og en normalfordeling, hvor µ er 50,0285 og σ er 9,7934. Figur A4.: Sammenligning af kumulativ tæthedsfunktion Sammenligning af empiri og model - CDF 20,00% 00,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% 0,00% Empiri Model -4-33 -25-7 -9-7 5 23 3 39 47 55 63 7 79 87 95 03 9 27 35 Indeks Kilde: Egen tilvirkning Figur A4.2: Sammenligning ved PP-plot Sammenligning af empiri og model - PP-plot 20,00% 00,00% y = 0,9908x + 0,0073 80,00% 60,00% 40,00% Empiri vs. model Lineær (Empiri vs. model) 20,00% 0,00% 0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 00,00%20,00% Kilde: Egen tilvirkning
Figur A4.3: Sammenligning ved QQ-plot Sammenligning af empiri og model - QQ-plot 20 y = 0,8698x + 3,052 00 80 60 40 20 Empiri vs. Model Lineær (Empiri vs. Model) 0-50 -20 0 50 00 50-40 Kilde: Egen tilvirkning
Bilag 5 Marsaglia-Bray 5 I forbindelse med simuleringen i VBA er der brug for at finde en række tilfælde tal fra standardnormalfordelingen. Dette kan gøres direkte ved at bruge VBA-funktionen rnd(), men dette er langsomt. I stedet kan Marsaglia-Bray metoden bruges, hvilket får VBAkoden til at køre noget hurtigere. Denne metode går ud på, at der genereres tilfældige tal fra standardnormalfordeling ved hjælp af uafhængige tilfældige tal fra den uniforme fordeling. =2 og =2 Disse tilfældige tal vil være uniforme mellem - og. Følgende betingelse sikrer, at X er U(0,): = + < De to uniforme tilfældige tal kan transformeres til to tilfældige tal fra standardnormalfordelingen: = [ 2ln /] og 2= [ 2ln /] 5 Skrevet på baggrund af Marsaglia, G. & Bray, T. A. (964)