BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8 SØJLE OG VÆGELEETER 8 SØJLE OG VÆGELEETER 1 8.1 Brugrænsetilstane 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metoe 8.1. Dannelse af bæreevnekurve ve brug af esigniagrammer 4 8.1.3 inimum og maksimum armering 9 8.1.3.1 Søjler 9 8.1.3. Vægge 1 8.1.4 Skæv ubøjning 1 8.1.5 Eksempel Søjleberegning i brugrænsetilstanen 1 8.1.5.1 Beregningsforusætninger 1 8.1.5. Ubøjning om en stærke akse 13 8.1.5.3 Ubøjning om en svage akse 18 8.1.5.4 Skæv ubøjning 3 8. Anvenelsesgrænsetilstane 5 8..1 Eksempel urevnet tværsnit 5 8.. Ubøjning for revnet tværsnit 9 8.1
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8.1 Brugrænsetilstane I ette afsnit beskrives beregning af søjler og vægge i brugrænsetilstanen. Den generelle metoe for tværsnitsanalyse gennemgås, og er gives et bu på, hvoran en bæreevnekurve kan annes ve hjælp af esigniagrammer. Enviere behanles tilfælet for skæv ubøjning, hvor ubøjningen sker i en anen retning en tværsnittets hoveakser. Dette er primært relevant for søjler. 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metoe Ve imensionering af en søjle eller en væg i brugrænsetilstanen opstilles ligevægtsbetingelser for tværsnittet, som beskrevet i afsnit.1.1. Her blev betonens trykbirag til ligevægtsligningerne funet. I ette afsnit fines armeringsbiraget og ligevægtsligningerne for en søjle/væg opstilles og løses. Ve beregning af armeringsbiraget, skal er tages hensyn til krybningen. Det gøres ve at øge betonens tøjning me faktoren (1 + j ef ), hvor j ef er en effektive krybefaktor givet ve: jef = moment fra langtislast moment fra samlet last j På enne måe metages kun krybning fra en el af lastpåvirkningen, er er langvarig. Biraget fra krybning får ikke inflyelse på betonens spæningsblok, men på e samhørene armeringstøjninger og ubøjninger. s (1+j ef ) e a y x h R R at b s e Figur 8-1: Definitioner, som anvenes ve tværsnitsanalyse Det viste tværsnit er armeret me et lag tryk/træk-stænger i hver sie, me armeringsarealerne A s og A st. Armeringen er plaeret i afstanen fra betonkanten. 8.
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK De geometriske betingelser for armeringstøjningen fås til: x- es = ( 1+ jef ) e x h-x- est = ( 1+ jef ) e x For en given væri af x og e bliver tryk/trækkræfterne i armeringen givet ve: Trykarmeringen ( 1+ j ) x - ef e A a = min x A f s y s E s Trækarmeringen ( 1+ j ) h - x - ef e Ast E at = min x A f st y s Det er nu muligt at opstille ligningerne for en statiske ækvivalens, som vil bestemme tværsnittets bæreevne. Projektionsligningen: = + a - at er normalkraftkapaiteten svarene til et givent moment. varierer me momentet afhængig af søjlens ubøjningsgra for et givne moment. Denne sammenhæng kan optegnes i et - iagram. omentligningen om tværsnittets enterlinje: R 1 = h - x + y' Ł ł 1 + h - Ł ł a 1 + h - Ł ł at Hvor y er afstanen fra nullinjen til betontrykspæningens resultant. R er tværsnittets momentkapaitet. Ve at opstille momentligningen for tværsnittets enterlinje frem for nullinjen opnås et momentutryk, er er uafhængigt af normalkraften. omentbelastningen på en søjle/væg ugøres af to birag. Dels et lastfremkalte 1. orens moment og els et birag fra en exentriitet normalkraften får, når søjlen/væggen bøjer u, u. 8.3
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Det er muligt at bestemme et maksimale lastfremkalte moment,, som søjlen/væggen kan belastes me u fra søjlens ligevægtsligning: = + u R ( 1+ jef ) 1 e L 1 x = R - s Her unyttes at søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet, me en formfaktor for krumningsforløbet på a. 1. Det vil sige, at ubøjningen er givet ve: 1 1 u @ k maxl s Hvor L s er søjlelængen og krumningen, k max, ugør forholet mellem kanttøjningen og ennes afstan til nullinien: k max = ( 1+ jef ) e x Her gives en kort opsummering af iterationsproessen: 1. Først vælges en væri for kanttøjningen e.. Herefter bestemmes x u fra projektionsligningen. 3. Tværsnittets samlee momentkapaitet R fås af momentligningen om tværsnittets enterlinje. 4. omentkapaiteten me hensyn til et lastfremkalte 1.-orens moment fås ve at trække ubøjningstillægget fra en samlee momentkapaitet. 5. En ny væri af kanttøjningen vælges og et unersøges om resultatet for er gunstigere. 8.1. Dannelse af bæreevnekurve ve brug af esigniagrammer I forbinelse me styrkeeftervisningen af søjler og vægge af beton i brustaiet er et, på grun af en stærkt ulineære opførelse, hensigtsmæssigt at anne en bæreevnekurve for en pågælene søjle eller væg som betragtes. Ve enne fremgangsmåe kan man, når bæreevnekurven fremstilles i - iagram, kontrollere flere lasttilfæle ve at sikre, at værierne af E og E, som søjlen eller væggen belastes af, ligger inen for bæreevnekurven. Bæreevnekurven kan annes ve at gennemregne et antal punkter u fra en generelle metoe, som er angivet i afsnit 8.1.1. Denne beregningsproeure er iterativ, og er erfor meget vanskelig at anvene som en hånregningsmetoe. Beregningerne kan og simplifieres en el ve at benytte e- 8.4
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK signiagrammer til bestemme nogle repræsentative punkter. Ve at trække rette linjer mellem isse punkter annes en konservativ bæreevnekurve. På Figur 8- er vist, hvorlees bæreevnekurven kan se u, og hvorlees en simplifieret beregning anner en bæreevnekurve på en sikre sie. 18 16 14 1 (km) 1 8 6 4 DCBAEFGHI 5 1 15 5 3 35 (k) 7 6 5 (km) 4 3 1 DCBAEFGHI 1 3 4 5 6 7 (k) Figur 8-: øjagtig bæreevnekurve (stiplet) i forhol til simplifieret bæreevnekurve annet ve hjælp af esigniagrammer (sort). Øverst er vist bæreevnekurven for en kort søjle og neerst er vist bæreevnekurven for en slank søjle. 8.5
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Designiagrammerne i Figur 8-3 til Figur 8-6 giver en simpel måe at bestemme bæreevnen af en søjle eller væg for en given lastkombination. Ve at betragte 3-4 repræsentative lastkombinationer kan en konservativ bæreevnekurve optegnes. Designiagrammerne angiver en enhesløs sammenhæng mellem normalkraften på en søjle eller væg og en ertil hørene momentkapaitet. Kurverne afhænger af tværsnittets armeringsgra, som for trækarmeringen efineres: F ' = t A f st bhf y Trykarmeringens armeringsgra fås på tilsvarene vis. Diagrammerne er ikke gælene for vilkårlige tværsnit. Forusætninger for brug af iagrammerne er følgene: Tværsnitsform: Gæler for rektangulære tværsnit Betonstyrke: Pa f k 5 Pa Armeringsstyrke: 4 Pa f k 6 Pa Afstan fra betonkant til enter af hovearmering, h/1 Effektivt krybetal: j ef = 1,6 svarene til tørt ineklima. Lavere værier af et effektive krybetal giver bæreevner på en sikre sie. Heruner ses esigniagrammer for armeringsgraerne F =,5, F =,75, F =,1 og F =,15. 8.6
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK /bh f,,18 F = F t =,5,16,14,1,1,8 L s /h = 1 L s /h = 5,6 L s /h = 15,4 L L s /h = s /h = 5, L s /h = 3,,,1,,3,4,5,6,7,8 /bhf Figur 8-3: Designiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler/vægge /bh f,,18 F = F t =,75,16,14,1,1,8,6,4 L s /h = L s /h = 15 L s /h = 1 L s /h = 5, L s /h = 35, L s /h = 5 L s /h = 3,,1,,3,4,5,6,7,8 /bhf Figur 8-4: Designiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler/vægge 8.7
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK /bh f,,18,16,14 F = F t =,1 Ls/h = 5,1,1,8,6 L s /h = 15 L s /h = 1 L s /h =,4 L s /h = 5, L s /h = 3 Ls/h = 35,,,1,,3,4,5,6,7,8 /bhf Figur 8-5: Designiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler/vægge /bh f,,18,16,14,1,1,8 F = F t =,15 L s /h = 5 L s /h = 1 L s /h = 15,6 L s /h =,4 L s /h = 5, L s /h = 3 L s /h = 35,,,1,,3,4,5,6,7,8 /bhf Figur 8-6: Designiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler/vægge 8.8
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8.1.3 inimum og maksimum armering I ette afsnit refereres nogle af e regler, er er anført i EC, for minimum og maksimum armering af betonsøjler og vægge. 8.1.3.1 Søjler Længearmering Længearmeringen skal plaeres, så er er minst én armeringsstang i hvert af søjletværsnittets hjørner. For irkulære søjler benyttes minst fire længearmeringsstænger. Længearmeringen i en søjle bør ikke være uner 8 mm i iameter. Den totale mænge længearmering skal være større en A s,min : A s,min = max,1 f y E,A E f y A er en regningsmæssige normalkraft er en regningsmæssige flyespæning for armeringen er tværsnitsarealet af betontværsnittet Samtiig bør arealet af længearmeringen ikke overstige A s,maks : Asmaks, =,4A Utrykket gæler uen for områer me stø. Ve stø kan A s,maks =,8A benyttes. Tværarmering Diameteren for tværarmeringen bør være minst 6 mm eller en fjereel af længearmeringsstængernes største iameter. Afstanen mellem tværarmeringen bør ikke overstige s l,maks givet ve: s = min l, maks gange iameteren af længearmeringen Den minste søjleimension 4 mm 8.9
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8.1.3. Vægge Loret armering Arealet af en lorette armering bør være mellem A s,vmin og A s,vmaks givet ve: Asv, min=,a Asvmaks, =,4A Hvis minimumsarealet er imensionsgivene, bør halvelen af ette areal plaeres ve hver overflae. Afstanen mellem to tilstøene lorette stænger må hverken overstige 3 gange vægtykkelsen eller 4 mm. Vanret armering Arealet af en vanrette armering bør være minst A s,hmin givet ve: A = max sh, min 5% af en lorette armering,1a Afstanen mellem to vanrette e vanrette armeringsstænger bør ikke være større en 4 mm. 8.1.4 Skæv ubøjning Ovenståene esigniagrammer kan bruges til beregning af ubøjning om henholsvis en stærke og en svage akse. Det er også nøvenigt at unersøge tilfælet me skævbøjning, hvor ubøjningen sker i et anet plan en søjlens to symmetriplaner. Det er muligt, om en besværligt, at lave en teoretisk løsning af tværsnitsligningerne for tilfælet me skævbøjning. Her gives imilerti et bu på en tilnærmet løsningsmoel, a beregningsomfanget ve en teoretiske løsning er for stort til brug ve alminelig imensionering. Bæreevnekriteriet for en kombineree påvirkning gives, på en sikre sie, me følgene utryk: Ez Ey + 1 z y Ez og Ey z og y er en lastfremkalte momentbelastning om tværsnittets z og y-akse. er tværsnittets momentkapaitet om z og y-aksen me hensyn til et lastfremkal te moment. Det vil sige en samlee momentkapaitet fratrukket momenttillægget fra søjlens ubøjning 8.1
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Utrykket bliver og for meget på en sikre sie, hvis maksimalmomenterne bruges om begge tværsnitsakser. I steet bør momenterne vælges svarene til maksimal bøjning om en ene akse og miel bøjning om en anen akse. omenterne fra exentrisk plaeree normalkræfter vælges på følgene vis. Hvis tværsnittet påvirkes af en række forskellige normalkræfter, n, efineres normalkræfternes sansynlige plaering ve exentriiter e i z og e i y angivet fra tværsnittets enterpunkt. Herefter vælges for hver normalkraft en passene tolerane De i, som efinerer et irkulært områe, inen for hvilket normalkraften kan være plaeret. Exentriiteterne kan, på en sikre sie, vælges svarene til exentriiteterne ve søjletoppen. Ve en grunigere beregning kan exentriiteterne for en miterste femteel af søjlens længe benyttes. Dette kræver og en tillægsunersøgelse af e lokale forhol ve søjletoppen me hensyn til knusning af betonen. e i y z i e i z De i a y Figur 8-7: Definition af exentriiteter for normalkraften i De resulterene momentvirkninger bestemmes ve hjælp af vinklen a, er kan betegnes som retningsvinkel for en skæve bøjning, og erme en retning i vil være plaeret inenfor et irkulære toleraneområe. Det er ikke umielbart til gætte, hvilken retning, er er en mest kritiske. Derfor uføres unersøgelsen for flere værier af a. Ofte kan intervallet for a inskrænkes til [;p/]. Den resulterene momentvirkning om henholsvis y og z-aksen fra normalkræfterne fås ve projektion af exentriiteterne De i in på tværsnittets hoveakser. For retningsvinklen a j fås følgene momenter: 8.11
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK ( sina ) n j i i Ey = z +D j i i= e e ( osa ) n j i i Ez = y +D j i i= e e I tilfæle me tværlast benyttes en fule momentvirkning fra tværlasten for henholsvis Ey og Ez. 8.1.5 Eksempel Søjleberegning i brugrænsetilstanen I ette eksempel ses på hjørnesøjlen i moul B/4 fra lastneføringseksemplet afsnit 3.5.5. Søjlen imensioneres for ubøjning om begge akser samt en kombination heraf. 8.1.5.1 Beregningsforusætninger Tværsnit 4 mm x 3 mm Karakteristisk betontrykstyrke f k = 35 Pa Regningsmæssig betontrykstyrke f = 35 Pa/1,4 = 5 Pa Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. A s = 4 mm A st = 4 mm = 4 mm Karakteristisk flyespæning f yk = 5 Pa Regningsmæssig flyespæning f y = 5 Pa/1, = 417 Pa Søjlelænge L s = 35 mm om begge akser. 8.1
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK A 1 4 7 B C stk. Y16 4 mm Bjl. Y6 pr. mm stk. Y16 3 mm Figur 8-8: Søjleplaering og tværsnit 8.1.5. Ubøjning om en stærke akse Designiagrammerne afsnit 8.1. benyttes til at anne en bæreevnekurve for tværsnittet. Armeringsgra og forholet mellem søjlelænge og tværsnitshøje uregnes: Af y 4mm 417Pa F t ' =F ' = = =,53 bhf 3mm 4mm 5Pa Ls h 35mm = = 8,3 4mm Der vælges nogle repræsentative værier af en imensionsløse størrelse /(bhf ) 8.13
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK bhf bhf bhf =, =, 3mm 4mm 5Pa= k =, 44 =, 44 3mm 4mm 5Pa= 1386k =, 76 =, 76 3mm 4mm 5Pa= 394k Herefter aflæses kurverne for armeringsgraerne F ' =,5 og F ' =,75, og er interpoleres mellem e aflæste værier: bhf =, : ( F ' =, 5) =, 4 ( ) F ' =, 75 =, 6,53 -,5 F ' =,53 =,4+,6-,4 =,4,75 -, 5 ( ) ( ) bhf =, 44 : ( F ' =, 5) =,1 ( ) F ' =, 75 =,14,53 -,5 F ' =,53 =,1+,14-,1 =,14,75 -,5 ( ) ( ) bhf =,76 : ( F ' =, 5) =, 6 ( ) F = = ', 75, 73,53 -,5 F ' =,53 =,6+,73-,6 =,63,75 -,5 ( ) ( ) Søjlens momentkapaitet svarene til normalkraftpåvirkningerne bliver nu: ( ) ( ) R = k =, 4 3mm 4mm 5Pa= 56km ( ) ( ) R = 1386k =,14 3mm 4mm 5Pa = 164km 8.14
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK ( ) ( ) R = 394k =, 63 3mm 4mm 5Pa= 83km I Figur 8-9 er søjlens bæreevnekurve vist sammen me en tilnærmee efineret ve punkterne A, B og C. 18 16 B (km) 14 1 1 8 C 6 4 A DEFGHI 5 1 15 5 3 35 (k) Figur 8-9: Bæreevnekurve (iht. www.bef.k, Søjleelementer) og tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om stærk akse (punkteret) Søjlen unersøges for lasttilfæle A-I fra hovetilfæle I-a som beskrevet i kapitlet om lorette lastvirkninger afsnit 3.5.5. Søjlen regnes tværbelastet af vinlast på faaen me en lastbree på,8 m. Vinlasten uregnes i henhol til EC1. aksimal vin: ( ) w = K g q z lastbree e FI p e pe k k = 1, 1, 5, 7 (,8 +, ),8m =,94 m m Reueret vin: ( ) w = K g y q z lastbree e FI p e pe k k = 1, 1, 5, 3, 7 (,8 +, ),8m =,88 m m 8.15
e 1 e 3 BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Deruover skal er tages høje for et moment, er fremkommer ve, at normalkræfterne er plaeret exentrisk i forhol til søjlens enterlinje. er reaktionen fra overliggene etager. 1 og stammer fra bjælken i moullinje B, se lastneføringseksemplet afsnit 3.5.5, lasttilfæle I-a. 3 er reaktionskraften fra en bjælke i faaen i moullinje 4. Bjælken unerstøttes på en konsol på søjlen. Reaktionen 3 sættes til k svarene til, at bjælken antages at bære en let faaebeklæning. Geometrien er vist på Figur 8-1. e 5 mm 15 mm 1 + 3 w 4 mm mm Figur 8-1: Belastning og geometri for bøjning om stærk akse Følgene exentriiteter fås ve anvenelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, iet en generelle uførelsestolerane T sættes til mm: e = T = mm e = T = mm 1 h 1 4mm 1 e3 = + 5 mm+ ' + T = + 5mm+ 15mm+ mm = 34mm 3Ł ł 3 Ł ł Hvor er veerlagsplaen, som har en bree på 15 mm og plaeres mit på konsollen. eenståene skema giver en opsummering af søjlens lasttilfæle. 8.16
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 1 + (k) 3 w E E (k) (k) (k/m) (k) (km) A 9+4=33 15,94 68 1,3 B 5+139=191 15,94 6 15,5 C 5+139=191 336,94 547 1,9 D 5+139=191 336,94 547 1,9 E 6+165=7 15,88 6 13, F 6+165=7 336,88 583 19,4 G 6+165=7 336,88 583 19,4 H 6+165=7 37,88 617,1 I 6+165=7 37,88 617,1 Figur 8-11: Opsummering af søjlens lasttilfæle, stærk akse E er søjlens samlee regningsmæssige lorette belastning og fås som: = + + + E 1 3 Søjlens regningsmæssige 1.-orens-moment E fås som en sum af momentbiraget fra e exentrisk plaeree normalkræfter og momentbiraget fra tværlasten. 1 E = 1+ e1+ e + 3e3+ wl 8 ( ) På Figur 8-1 er e 9 lasttilfæle vist i et --iagram sammen me søjlens bæreevnekurve. 8.17
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 18 16 14 1 (km) 1 8 6 4 A BE DC FGHI 5 1 15 5 3 35 (k) Figur 8-1: Søjlens lasttilfæle vist i et - iagram (iht. www.bef.k, Søjleelementer) 8.1.5.3 Ubøjning om en svage akse Bæreevnekurven for ubøjning om en svage akse annes ligelees ve brug af esigniagrammerne afsnit 8.1.. Armeringsgra og forholet mellem søjlelænge og tværsnitshøje uregnes: Af y 4mm 417Pa F t ' =F ' = = =,53 bhf 4mm 3mm 5Pa Ls 35mm = = 11,7 h 3mm Der vælges nogle repræsentative værier af en imensionsløse størrelse /(bhf ) bhf bhf bhf =, =, 4mm3mm 5Pa= k =, 4 =, 4 4mm3mm 5Pa= 16k =, 74 =, 74 4mm3mm 5Pa= 331k 8.18
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Herefter aflæses kurverne for armeringsgraerne F ' =,5 og F ' =,75, og er interpoleres mellem e aflæste værier: bhf =, : ( F ' =, 5) =, 4 ( ) F ' =, 75 =, 6,53 -,5 F ' =,53 =,4+,6-,4 =,4,75 -, 5 ( ) ( ) bhf =, 4 : ( F ' =, 5) =, 96 ( ) F ' =, 75 =,117,53-,5 F ' =,53 =,96+,117-,96 =,99,75 -,5 ( ) ( ) bhf =,74 : ( F ' =, 5) =, 34 ( ) F ' =, 75 =, 48,53-,5 F ' =,53 =,34+,48-,34 =,36,75 -,5 ( ) ( ) Søjlens momentkapaitet svarene til normalkraftpåvirkningerne bliver nu: ( ) ( ) R = k =, 4 4mm 3mm 5Pa= 4km ( ) ( ) R = 16k =, 99 4mm 3mm 5Pa = 94km ( ) ( ) R = 331k =, 34 4mm 3mm 5Pa = 3km I Figur 8-13 er bæreevnekurven vist sammen me en tilnærmee efineret ve punkterne A, B og C. 8.19
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 1 1 B 8 (km) 6 4 A C DEFGHI 5 1 15 5 3 (k) Figur 8-13: Bæreevnekurve (iht. www.bef.k, Søjleelementer) og tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om svag akse Søjlen unersøges for lasttilfæle A-I fra hovetilfæle II-a som beskrevet i kapitlet om lorette lastvirkninger afsnit 3.5.5. Der regnes ikke me tværlast på bjælken. Derimo tages høje for et moment, er fremkommer ve, at normalkræfterne er plaeret exentrisk i forhol til søjlens enterlinje. er reaktionen fra overliggene etager. 1 og stammer fra bjælken i moullinje B, se lastneføringseksemplet afsnit 3.5.5, lasttilfæle II-a. Bjælken unerstøttes på en konsol på søjlen. Geometrien er vist på Figur 8-14. 8.
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK e 5 mm 15 mm + 3 5 mm 15 mm e 1 e 1 mm 3 mm mm Figur 8-14: Belastning og geometri for bøjning om svag akse Følgene exentriiteter fås ve anvenelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, i et en generelle uførelsestolerane T sættes til mm: e = T = mm h 1 3mm 1 e1 = + 5 mm+ ' + T = + 5mm+ 15mm+ mm = 8mm 3Ł ł 3 Ł ł h 1 1 3mm 1 1 e = + 5 mm+ ' - T = + 5mm+ 15mm- mm = mm 3Ł ł 3 Ł ł Hvor er veerlagsplaen, som har en bree på 15 mm og plaeres mit på konsollen. eenståene skema giver en opsummering af søjlens lasttilfæle. 8.1
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 1 + 3 (k) (k) (k) (k/m) (k) (km) A 1 15+=35 1 68 4, B 1 15+=35 1 169 3,4 C 1 336+=356 1 49 38,9 D 1 336+=356 7 548 6, E 144 15+=35 1 191 38,6 F 144 336+=356 1 51 45,1 G 144 336+=356 8 58 9,5 H 144 37+=39 1 546 45,7 I 144 37+=39 8 616 3, Figur 8-15: Opsummering af søjlens lasttilfæle, svag akse w E E E er søjlens samlee regningsmæssige lorette belastning og fås som: = + + + E 1 3 Søjlens regningsmæssige 1.-orens-moment E fås som en sum af momentbiraget fra e exentrisk plaeree normalkræfter. ( ) = e + + e - e E 1 1 3 På Figur 8-16 er e 9 lasttilfæle vist i et --iagram sammen me søjlens bæreevnekurve. 1 1 8 (km) 6 4 E B FH C GI D A 5 1 15 5 3 (k) Figur 8-16: Søjlens lasttilfæle vist i et - iagram (iht. www.bef.k, Søjleelementer) 8.
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8.1.5.4 Skæv ubøjning I ovenståene beregninger er søjlen beregnet for ubøjning om henholsvis en stærke og en svage akse. Her unersøges søjlen for skæv ubøjning. Den mest kritiske lastkombination vureres at være LK H fra ubøjning om en svage akse. Her fås en totale normalkraftpåvirkning E til 546 k. omentkapaiteten svarene til enne normalkraft uregnes for begge akser. Designiagrammerne fra afsnit 8.1. benyttes. Som før fås armeringsgraen til F ' =F ' =,53 og forholet L s /h er lig 8,3 for en stærke akse og 11,7 for en svage akse. t Værierne for momentbæreevnen aflæses af esigniagrammerne afsnit 8.1. for en påførte normalkraft E = 546 k: 3 E 546 1 = =,173 bhf 3mm 4mm 5Pa Interpolering for stærk akse y ( F ' =, 5) =, 91 y ( F ' =, 75) =,111 y,53-,5 F ' =,53 =,91+,111-,91 =,93,75 -,5 ( ) ( ) ( ) mm mm Pa km y =, 93 =, 93 3 4 5 = 13 Interpolering for svag akse z ( F ' =, 5) =, 83 z ( F ' =, 75) =,14 z,53-,5 F ' =,53 =,83+,14-,83 =,86,75 -,5 ( ) ( ) ( ) hb f mm mm Pa km z =,86 =, 86 4 3 5 = 81 På Figur 8-17 er lastopstillingen optegnet og normalkræfternes exentriiteter ve søjletoppen er vist. 8.3
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK z e 1 y = 5mm e y = 5mm 1 = 144 k = 37 k = 1 k y De 1 = 5mm e 3 z = 31mm De = mm De = 5mm 3 = k De 3 = 5mm w Figur 8-17: Lastopstilling og exentriiteter for skæv ubøjning Den resulterene momentvirkning fines jævnfør afsnit 8.1.4 på følgene vis: ( sina ) n j i i Ey = z +D j i i= e e ( osa ) n j i i Ez = y +D j i i= e e Retningsvinklen for en skæve bøjning vælges i intervallet til [;p/] i 3. kvarant. Bemærk at exentriiteterne regnes me fortegn i forhol til bøjningsretningen. De nøvenige beregninger er vist her i skematisk form: 8.4
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK a [km] 1 [km] [km] 3 [km] W [km] S j E [km] j E R j j Ey + 1 Ez z y p 8 p 4 3p 8 j Ey 6, 1,3 7,5,6 j Ez 7,4 43, -,4 1, 49,,61 j Ey,8,8, 6,6 1,3 13,7,11 j Ez 6,8 4,7 -,4,9 48,,59 j Ey 5, 5,1,4 6,9 1,3 18,9,15 j Ez 5, 41,1 -,6,7 44,4,55 j Ey 6,8 6,7,6 7,1 1,3,5,18 j Ez,8 38,8 -,8,4 39,,48,67,7,7,66 p j Ey 7,4 7,,6 7, 1,3 3,7,19 j Ez 36, -3, 33,,41,6 Den største unyttelsesgra for skæv bøjning ses at være 7 %, hvilket gør enne lastkombination umielbart mere kritisk en bøjning om henholsvis en stærke og en svage akse. 8. Anvenelsesgrænsetilstane I ette afsnit fokuseres uelukkene på ubøjningsbestemmelse for søjler og vægge i anvenelsesgrænsetilstanen. Revnevieberegning er tit ikke relevant for søjler og vægge, a normalkraftpåvirkning gør, at tværsnittet ofte forbliver urevnet. Det kan eftervises at et tværsnit er urevnet ve at vise, at normalkraftens resultant befiner sig inenfor kernen af tværsnittet. Dette gøres i eksemplet, afsnit 8..1. Ubøjningsanalyse af søjler og vægge i anvenelsesgrænsetilstanen er prinipielt et samme som for bjælker. Betragtningerne omkring krybning, svin og tension stiffening fra afsnit 6..1.1, 6..1. og 6..1.3 er erfor gælene. Ve tværsnitsanalyserne for revnet og urevnet tværsnit skal søjlen/væggens normalkraft metages i ligevægtsligningerne. For et revnee tværsnit betyer ette at normalkraften giver anlening til 3. grasligning, hvis løsning vises i afsnit 8... For et urevnee tilfæle regnes me transformeret tværsnit som vist i afsnit 6..1.5 og spæningerne bestemmes ve hjælp af avier s formel, som vist i eksemplet afsnit 8..1. 8..1 Eksempel urevnet tværsnit Der benyttes samme tværsnit og lastopstilling som fra eksemplet afsnit 8.1.5. Størrelsen af ubøjningen om en stærke akse ønskes funet. 8.5
e 1 e 3 BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK e 1 + 3 w 4 mm mm Figur 8-18: Lastopstilling for karakteristisk last De karakteristiske laster kan bestemmes ve en lastneføring som vist i kapitel 3. I ette eksempel skønnes en væri for e lorette laster, ligesom forholet mellem langtis- og korttislast beror på et skøn. De karakteristiske lorette laster, 1 og sættes til i alt 45 k. Lastens exentriitet er en samme som i et tiligere eksempel, et vil sige mm. Den lorette last 3 stammer fra en let faae, så en karakteristiske væri sættes lig en regningsmæssige til k me en exentriitet på 34 mm. Karakteristisk vin uregnes i henhol til EC1: ( ) w =y q z lastbree e p e pe k k =,3, 7 (,8 +, ),8m =,59 m m E er søjlens samlee regningsmæssige lorette belastning og fås som: E = 1+ + + 3 = 45k + k = 47k 8.6
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Søjlens regningsmæssige 1.-orens-moment E fås som en sum af momentbiraget fra e exentrisk plaeree normalkræfter og momentbiraget fra tværlasten. 1 E = ( 1+ + ) e + 3e3+ wl 8 1 k = 45k mm + k 34mm +,59 ( 3,5m) = 16, 7km 8 m Søjletværsnit er ofte urevnee på grun af e store normalkræfter. Hvis en resulterene normalkraft er plaeret inenfor tværsnitskernen er tværsnittet urevnet. Kernens ustrækning fra tværsnitsenteret er 1/6 af tværsnitsimensionen. H = 4 mm 1/6 H = 7 mm e e 1/6 B = 5 mm B = 3 mm Figur 8-19: Plaering af en påførte normalkraft i forhol til kernen ormalkraftens exentriitet om en stærke akse svarene til et samlee 1. orensmoment uregnes: E 16,7km e = 35,5mm = 47k = E ormalkraften ses umielbart at ligge inenfor kernen. Denne exentriitet er ikke normalkraftens reelle exentriitet, a biraget fra søjleubøjning og eventuelt svin mangler. Dog giver et en go inikation af normalkraftens plaering. Dette tværsnit formoes erfor at være urevnet. 8.7
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Ubøjningsbirag fra krybning metages ve at benytte faktoren a, er inirekte giver betonens elastiitetsmoul. For beton me en karakteristisk trykstyrke på 35 Pa foreslås i afsnit.1. følgene a- værier: Langtislast: a = 3,6 Korttislast: a = 7, 7 L K I ette eksempel vureres a. 75% af lastvirkning at skyles langtislast mens e resterene 5% skyles korttislast. Den effektive a-væri bestemmes ve vægtning: a = 3,6,75 + 7,7,5 = eff Tværsnitsanalysen for et urevnet tværsnit sker ve at uregne et transformeree areal og inertimoment. Det betragtee tværsnit er symmetrisk, hvorfor tyngepunktsaksen ligger i tværsnittets enterlinie. Dette betyer samtiig at er ikke vil komme birag til ubøjningen fra svin. stk. Y16 4 mm 4 mm Bjl. Y6 pr. mm stk. Y16 3 mm Figur 8-: Søjletværsnit AT = AC + a AS = 4mm 3mm+ 4 p 16mm = 1485mm 4 ( ) 1 IT = IC + a IS = ( 4mm) 3mm+ 4 p ( 16mm) ( 17mm) =,317 1 mm 1 4 3 9 4 8.8
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Ubøjningen mit på søjlen fås af: 1 + u u L u u E E urevnet E urevnet = S urevnet = 1 ES 1ESIT IT - a a LS urevnet 16,7km = =,9mm 5 9 4 1, 1 Pa,317 1 mm - 47k 35 ( mm) E Det unersøges, om antagelsen om urevnet tværsnittet er korrekt ve at aere ubøjningen mit på søjlen og normalkraftens exentriitet og kontrollere, at en resulterene normalkraft staig befiner sig inenfor kernen. 1 1 e+ uurevnet = 35,5mm+,9mm= 36,4mm h= 4m= 7mm 6 6 Hvis tværsnittet have haft ubøjning fra svin skal ette ubøjningstillæg lægges til u urevnet når ubøjning og tværsnitsspæninger bestemmes. Ubøjninger om tværsnittets svage akse fines på tilsvarene vis. Ønskes armeringsspæninger og betonkantspæning bestemt, kan e for urevnee tværsnit, fines af avier s formel for bøjning om to akser, hvor ubøjningens tillæg til momenterne meregnes. 8.. Ubøjning for revnet tværsnit I ette afsnit betragtes en søjle/væg i anvenelsesgrænsetilstanen ve revnet tværsnittet. Tværsnittet er armeret me et lag trykarmering og et lag trækarmering. I anvenelsesgrænsetilstanen benyttes en lineær-elastisk arbejslinje, hvor forholet mellem spæningerne i beton og armering er givet u fra tværsnittets geometri samt størrelsen a. Betonens kantspæning benævnes s. De geometriske betingelser fører til: s s s st x- = as x h-x- = as x Ligevægtsligningerne kan nu opstilles, iet en samlee normalkraft virkene på tværsnittet betegnes E og en samlee 1. orens momentvirkning betegnes E. 8.9
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Projektionsligningen: 1 E = bxs + ss As -sst Ast E s = 1 x- h-x- bx + a As -a A x x st Omskrivningen fås ve insættelse af e geometriske betingelser i projektionsligningen. omentligningen om tværsnittets enterlinje: = + u E E E i 1 h x h h E = bxs - + s s As - + s st Ast - Ł 3ł Ł ł Ł ł hvor u i er et gæt på ubøjningen. Utrykkene for s, s s og s st insættes i momentligningen og leene samles: 1 1 = x -6h - x Ł4 h E ł 3 E Ø As h Ast h As Ast ø E -6hŒa - -a - - a + œx º bh Ł ł bh Ł ł Ł bh bh ł E ß Ø As Ast h As Ast ø E + 6hŒ a -a ( h-) - - a + a ( h-) œ º Ł bh bh łł ł Ł bh bh ł E ß Dette er en 3. grasligning i x på formen x + a x + a x+ a =. Ligningen har én reel løsning: 3 1 3 1 1 1 1 1 1 x= - q+ q + p + - q- q + p 4 7 4 7 3 3 3 3 Hvor p og q er givet ve: 1 p = a - a1 3 1 q = a - aa + a 7 3 3 1 1 3 8.3
BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK Herme kan trykzonehøjen x fines og betonkantspæningen, s, kan umielbart bestemmes ve insættelse i momentligningen, hvilket giver: s = mbh E Hvor b - 1- -b 1 1 1 As 1 h Ast 1 m = b - b + a - + a - h Ł 3 ł bh Ł h ł b bh Ł h ł b, x b = h Armeringen skal unersøges for flyning. Armeringsspæningerne fines af e geometriske betingelser. Hvis armeringen flyer benyttes armeringens flyespæning i ligevægtsligningerne i steet for s s / s st og nullinjeybe og spæninger må bestemmes på ny. Ubøjningen kontrolleres nu: u = i+ 1 1 s 1 a Es x L s Hvis u i+1 afviger væsentligt fra u i gentages beregningerne me u i+1 som næste gæt på ubøjningen. Denne iteration fortsættes til tilfresstillene overensstemmelse er opnået. Det bør bemærkes, at ovenståene ligningssystem kræver stor præision i e ingåene talværier, for at give en fornuftig løsning. Revnevien fines på baggrun af spæningen i trækarmeringen på samme måe som for en bjælke, se afsnit 6... 8.31