MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver den tilsvarende pris. Sammenhængen mellem udbud og pris for samme vare er bestemt ved funktionen s() = 1 + 0 1 hvor angiver den udbudte mængde og s() angiver den tilsvarende pris. Graferne for de to funktioner er vist på figuren. Ligevægtsprisen er prisen, hvor efterspørgsel og udbud er lige store. a) Bestem ligevægtsprisen for den omtalte vare Svar : d() = s() <=> + 1 = 1 + <=> = 3 <=> = : 3 <=> = = <=> d() = s() = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8 1 1 10 8 ( ;8 ) f()=0.5*+ efterspørgsel s() = 0.5* + u dbu d d() = - +1 efterspørgsel 8 10 1 1 1 18 Opg a) Løs ligningen + 3 = 0 Svar : koefficienter og diskriminant : a = 1; b = 3; c = ; d = b a c = 9 +1 =5 + 3 = 0 <=> = L = { ;1} b ± a d <=> = 3 ± 5 <=> = eller = 1; Opg 3 Funktionen f har forskriften f() = og grafen er indtegnet på bilag 1. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet (1; ) og indtegn tangenten på bilag 1. 5 Svar : Tangentens ligning i punktet ( 0,f( 0 )) : f() = - - = f ( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) 3 f () = 1; f (1) = 1 1 = 1; f(1) = 1 dvs. tangentens ligning : = 1 ( 1) <=> = 7-1 f()=^-- f()=-7-7 - -5 - -3 - -1 1 3 5 7 - -3 - -5 - -7 (1 ;- ) = - 7
Opg Funktionen f er givet ved forskriften f() = a) Bestem definitionsmængde og nulpunkt for funktionen f. Svar : Kravet er at 0 <=> 3 dvs. Dm(f) = [3; [ f() = 0 <=> = 0 <=> = 3 f()= Serie Opg 5 For trekant ABC kendes følgende størrelser : sin(b) = 0,; a = og c = 7 a) Bestem arealet af trekant ABC Svar: T = 1 a c sin(b) = 1 7 0, = 8, A c = 7 b C a = B
august 009 delprøven med hjælpemidler Opg 1 8 G r a f 1 På figuren ses graferne for funktionen f() og dens afledte funktion f (). Graferne er angivet som Graf 1 G r a f og Graf. a) Gør rede for hvilken af graferne, der er graf for f() og hvilken, der er graf for f () Svar : Graf er f() og Graf 1 er f () - Graf er voksende for ϵ ] ; ] og i dette interval - er Graf 1 over eller på -aksen. - Graf er aftagende for ϵ [ ;0] og i dette interval er Graf 1under eller på -aksen. Graf er voksende for ϵ [0; [ og i dette interval er Graf 1 over eller på -aksen. Sætning : Hvis f () > 0 (graf 1) for alle ϵ ]a;b[ er f voksende i [a;b]. Hvis f () < 0 (graf 1) for alle ϵ ]a;b[ er f aftagende i [a;b]. f()=^3/3+*^- f()=^+* - -5 - -3 - -1 1 3 5 Opg I tabellen herunder ses resultatet af en undersøgelse af 100 husstandes årlige vandforbrug i m 3. Årligt vandforbrug i m 3 Intervalfrekvens ]0;80] 0,0 ]80;100] 0,1 ]100;10] 0,0 ]10;10] 0,30 ]10;10] 0, ]10;180] 0,0 a) Tegn sumkurven for fordelingen Svar : Grupperet observationssæt, da det er inddelt i intervaller. Sumkurven illustrerer summerede frekvenser. 1 Se sumkurven til højre 0.9 F k = f 1 + f + + f k ; F 1 = 0,0; F = 0,0 ; F 3 = 0,0 ; 0.8 F = 0,70 ; F 5 = 0,9 ; F = 1,00 0.7 0. 0.5 0. 0.3 0. Serie Serie 3 Serie Serie 5 Serie Serie 7 Serie 8 Serie 9 0 1 0.1 0 0 0 80 100 10 10 10 180 00
Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. tpeinterval, gennemsnit, fraktiler, kvartilafstand, varians b)beskriv fordelingen af vandforbruget v.ha. 3 statistiske deskriptorer Svar : Lav et nt detailleret skema med flere kolonner : Intervalfrekvens, summeret intervalfrekvens, Intervalmidtpunkt m i, Produkt m i f i (for at beregne gennemsnit) og produkt (m i µ) f i (for at beregne varians og standardafvigelse) Årligt vandforbrug i m 3 ] i 1 ; i ] Intervalfrekvens f i F i Summeret Intervalfrekvens Intervalmidtpunkt m i Produkt m i f i Produkt (m i µ) f i ]0;80] 0,0 0,0 70,8 (70 1,) 0,0 ]80;100] 0,1 0,0 90 1, (90 1,) 0,1 ]100;10] 0,0 0,0 110,0 (110 1,) 0,0 ]10;10] 0,30 0,70 130 39,0 (130 1,) 0,30 ]10;10] 0, 0,9 150 3,0 (150 1,) 0, ]10;180] 0,0 1,00 170 10, (170 1,) 0,0 µ = m i f i = 1, Tpeintervallet er]10;10] da det er hppigst forekommende Gennemsnit/middeltal µ = m i f i = m 1 f 1 + m f + + m f = 1, Kvartilsæt : 0,5-fraktilen i ]100;10] som er ca. 105 (aflæsning) 0,50-fraktilen i ]10;10] som er ca. 1 (aflæsning) 0,75-fraktilen i ]10;10] som er ca. 1 (aflæsning) Kvartilafstanden = 0,75-fraktilen 0,5-fraktilen 1 105 9 Varians og standardafvigelse s = (m i µ) f i = 0,3 og s = 5,311 (mest besværlige og tidskrævende at udregne) s = (m i µ) f i = 0,3 s = 5,311
Opg 3 I forbindelse med et bilkøb låner Olsen 50.000 kr. i banken. Det aftales, at lånet skal tilbagebetales med 10 halvårlige delser, hvoraf de første 9 er på.000 kr., mens den 10. delse bliver mindre. Renten fastsættes til 3% pr. halvår. Ved lånets oprettelse får Olsen en amortisationsplan af banken. På planen kan han følge lånets afvikling termin for termin. Første delse betales én termin efter lånets oprettelse. I tabellen er vist begndelsen af amortisationsplanen. Termin Primo restgæld Ydelse Rentebeløb Afdrag Ultimo restgæld 1 50.000,00.000 1.500,00.500,00 5.500,00 5.500,00.000 1.35,00.35,00 0.85,00 3 5 7 8 9 10 a) Forklar, hvordan tallene for. Termin i tabellen er udregnet. Svar : Ydelsen er =.000 kr. primo restgæld. termin = 5.500,00 kr. Renten er 3% af 5.500 kr. = 1.35 kr. Afdrag = delse renter = 35 kr. Dvs. Ultimo restgæld. termin = 5.500 35 = 0.85 kr. b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at Olsen har betalt den. delse. Svar : Restgældformlen efter t terminer : R t = K t A t = A 0 (1 + r) t dvs. R = 50.000 1,03 1.03^ 1 000 0.89,7 kr. 0.03 ( 1+ r)^t 1 r
Opg Virksomhed produkterne Mini og Midi og forarbejdes i afdelingerne A og B. Afd. A : 1,5 time til forarbejdning af 1 stk. Mini og 3 timer 1 stk. Midi Afd. B : 1 time til forarbejdning af 1 stk. Mini og 1 time 1 stk. Midi. Begrænsninger : timer pr uge i Afd. A og 11 timer pr. uge i Afd. B. Dækningsbidraget : 1000 kr. pr. stk. Mini og 1500 kr. pr. stk. Midi. Funktionen f(,) = a + b angiver det samlede dækningsbidrag (DB). a) Definér de to variable og og bestem en forskrift for funktionen f(,) Svar : = antal stk. Mini og = antal stk. Midi Kriteriefunktionen f(,) = 1000 + 1500 b) Opstil uligheder, der beskriver begrænsningerne i produktionen, og indtegn i et almindeligt koordinatsstem det område, der afgrænses af disse uligheder. Svar : 11 Skravering 1 10 f()=-+11 A : 1,5 + 3 <=> 0,5 +8 Skravering 9 B : 1 + 1 11 <=> + 11 = - + 1 1 8 (0 ;8 ) Beregne skæringspunkt : 0,5 + 8 = + 11 <=> 0,5 = 3 <=> = 7 5 ( ;5 ) Dvs. skæringspunktet er (;5) 3 N( 0 0 0 ) = -0.5 * + 8 f()=-0.5*+8 f()=-*/3+ 1 (1 1 ;0 ) 8 10 1 1 1 En niveaulinje N(t) er defineret ved f(,) = t c) Indtegn niveaulinjen N(000) svarende til f(,) = 000 og bestem det antal Mini og antal Midi, der skal produceres pr. uge for at opnå det størst mulige dækningsbidrag. Svar : Niveaulinjen N(000) er indtegnet på grafen. N(000) : 1000 + 1500 = 000 <=> = 3 + Ved parallelforskdning af niveaulinjer i pilens retning ses, at maksimum for f(,) fås i punktet (;5) dvs. stk. Mini og 5 stk. Midi Alternativt : Udregne kriteriefunktionens værdier i hjønepunkterne og konkludér : f(0;8) = 1.000 ; f (11;0) = 11.000 ; f(;5) = 13.500 dvs. f(;5) = ma. DB
Opg 5 I trekant ABC kendes følgende størrelser A = 35 ; b = 13 ; c = 10 a) Bestem længden af siden a Serie Svar : cosinusrelationen a = b + c Serie 3 b c cos(a) <= > a = 13 + 10 13 10 cos(35 ) <=> a 5 <=> a 5 7,8 A=35º ; b = 13 ; c = 10 b) Bestem størrelsen af den stumpe vinkel B An ven d cosin usrela tion en a^ + c^ b^ 5 + 100 19 Svar : cos(b) = = a * a* c *7.8*10 = b + c - *b*c*cos (A) 0,089 dvs. B 95 B c =1 0 a f()=+(-(-)^+)^0.5 A b =1 3 C Opg A Funktionen f har forskriften f() = 3 +1 a) Gør rede for, at funktionen f er voksende Svar : Når man skal bestemme monotoniforhold, skal man differentiere én gang dvs. finde f () og undersøge fortegn for differentialkvotienten f () f () = 3 1 + 1 f () = 0 <=> 3 1 + 1 = 0 <=> = 1 ± 0 <=> = fortegn for f () + 0 + dvs. f er voksende i ] ; [ NB! f () = 3 1 + 1 = 3 ( ) b) Gør rede for, at grafen for f har en vendetangent og bestem røringspunktet for denne Svar : Når man skal bestemme krumningsforhold, skal man differentiere to gange dvs. finde f () og undersøge fortegn for den anden afledede f () f () = 1 f () = 0 <=> 1 = 0 <=> = Fortegn for f () 0 + Der er fortegnsvariationen for f omkring = ( 0 +), dvs. f har en vendetangent i (;f()) = (;) Tangenten til grafen for f i punktet (1;3) har ligningen = 3
c) Grafen for funktionen f har en anden tangent, der er parallel med = 3. Bestem en ligning for denne tangent. Svar : Finde røringspunkt(er) ( 0,f( 0 )) til tangent(er) med stigningstal 3. f ( 0 ) = 3 0 1 0 + 1 = 3 <=> 3 0 1 0 + 9 = 0 <=> 8 0 0 + 3 = 0 <=> 0 = 1 eller 0 = 3 7 Røringspunkt i (3;f(3)) = (3;5) ; f (3) = 3 =3 * Tangentens ligning i (3;5) : = f (3) ( 3) + 5 <=> 5 (3 ;5 ) = 3 ( 3) + 5 <=> = 3 Opg B Virksomhed NYSTED producerer varen BETA Omkostninger : C() = 0,03 3,5 + 0 + 150 ; 0 Nsted kan afsætte hele sin produktion til prisen 519 kr. pr. stk. Omsætningen : R() = 519 ; 0 ved salg af stk. Overskuddet defineres som funktionen O() = R() C() a) Bestem det antal stk. BETA, der giver størst overskud Svar : O() = R() C() = 519 (0,03 3,5 + 0 + 150) = 0,03 3 +,5 + 99 150 O () = R () C () = 0,09 + 9 + 99 O () = 0 <=> 0,09 + 9 + 99 = 0 <=> = 9 ± 11. 0.18 = 9 ± 10.8 0.18 <=> = antal stk. BETA = 10 (dur ikke) eller = 110 0 110 Fortegn for O () i.d + 0 Dvs. maksimum for = 110 dvs. 110 stk. BETA giver størst overskud Grænseomkostningerne, GROMK, defineres som de ekstra omkostninger, virksomheden får ved at producere 1 enhed mere. I praksis sættes GROMK ved mængden lig med værdien af omkostningsfunktionens afledte funktion C (). 3 1 f()=^3-*^+1*- f()=3* f()=3*- Serie - -3 - -1 1 3 5-1 100000 90000 80000 70000 0000 50000 0000 30000 0000 10000 - -3 - (1 ;3 ) f() R =3 *- f()=519* f()=0.03*^3-.5*^+0*+150-0 0 0 0 80 100 10 10 10 180 00 C
Tilsvarende defineres grænseomkostningen GROMS GROMS ved mængden sættes derfor lig med værdien af omsætningsfunktionens afledte funktion R (). b) Bestem forskrifter for C () og R () Svar : C () = 0,09 9 + 0 ; R () = 519 I ligevægtssituationen er GROMK = GROMS c) Bestem ligevægtsmængden for BETA, hvor GROMK = GROMS og sammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a). Svar : C () = R () <=> 0,09 9 + 0 = 519 <=> 0,09 9 99 = 0 <=> f()=519 = 10 (dur ikke) eller = 110 900 dvs. samme resultat som i spørgsmål a) 800 700 G ROMK 00 500 00 300 G ROMS R ()=5 1 9 f()=0.09*^-9*+0 00 100 C ()=0,0 9 *^ -9 *+ 0 0 0 0 80 100 10 10 10 180 00