Løsningsforslag MatB Juni 2013

Transkript

1 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x 2 4x + 3 T ( B A ; D 4A ) hvor D = B2 4AC D = ( 4) = 4 T ( 4 2 ; 4 ) = T (2; 1) 4 Opgave 2 (5 %) Et rektangel har sidelængderne 3 og 4. a) Bestem længden af rektanglets diagonal. 1

2 Løsning: a) c 2 = a 2 + b 2 c = a 2 + b 2 c = c = =5 Opgave 3 (5 %) a) Løs ligningen: x = 3 x 4 2

3 Løsning: a) x = 3 x 4 G = R 4(x + 1) = 2(3 x) 4x + 4 = 6 2x 4x + 2x = 6 4 6x = 2 x = 1 3 L = { 1 3 } Opgave 4 (5 %) Grafen for funktionen f (x) = x har en tangent med hældningskoefficient 1 4. a) Bestem en ligning for denne tangent. Løsning: a) f (x) = x α t = f (x) = 1 4 f (x) = 1 2 x 1 4 = 1 2 x 3

4 2 x = 4 x = 2 x = 4 α t = f (x) = 1 4 y f (x 0 ) = f (x) = (x x 0 ) y f (4) = f (4)(x 4) f (4) = 4 = 2 y 2 = 1 (x 4) 4 y 2 = 1 4 x 1 y = 1 4 x + 1 Opgave 5 ( 5 %) Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne: f (x) = ln( 1 x 5) og g(x) = 4x+2 2 a) Bestem definitionsmængden for den sammensætte funktion: ( f g)(x) = f (g(x)). Løsning: a) 4

5 f (x) = ln( 1 x 5) Dm f =]10; [ V m f = R x 5 > 0= 1 x > 5= x > 10 2 g(x) = 4x + 2 Dmg = R V mg = R f (g(x)) = ln( 1 (4x + 2) 5) = ln(2x + 1 5) = ln(2x 4) 2 Vi undersøger først om f (g(x)) og V mg Dm f og konstaterer at det ikke er tilfældet. Dvs. at vi er nødt til at indskrenke definitionsmængden, ved at se på at x > 10 for funktionen f g(x) > 10 4x + 2 > 10 4x > 8 x > 2 Dm( f g) =]2; [ Opgave 6 (10 %) To funktioner f og g er givet ved: f (x) = 2x + 5 og g(x) = 2x 2 + 6x 1. a) Bestem g( 1 ) og løs ligningen f (x) = 3 2 b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspukterne mellem graferne for de to funktioner. 5

6 Løsning: a) g(x) = 2x 2 + 6x 1 g( 1 2 ) = 2 (1 2 )2 + 6 ( 1 2 ) 1 = 5 2 f (x) = 3 f (x) = 2x + 5 = 3 2x = 2 x = 1 L = { 1} b) Vi starter med at skitsere grafen for de to funktioner og aflæse skæringskoordinaterne på følgende måde: 6

7 Vi kan også beregne skæringspunkterne ved at sætte de to funktioner lig hinanden: f (x) = g(x) 2x + 5 = 2x 2 + 6x 1 2x 2 + 4x 6 = 0 Vi løser denne andengradsligning ved først at finde diskriminanten: D = B 2 4AC D = ( 6) D = = 64 > 0 altså der er to reelle rødder. 4 8 = 3 x = = 1 4 Disse x-koordinater indsættes i den ene af funktionerne for at bestemme de tilhørende y-koordinater: f ( 3) = 2 ( 3) + 5 = = 1 f (1) = = = 7 Koordinaterne til skæringspunkterne mellem de to funktioner: A( 3, 1) og B(1,7) 7

8 Opgave 7 (15 %) Om firkanten ABCD oplyses, at B = 78 0, D = 90 0, AB = 4,3, BC = 9,1 og CD = 6,1. a) Bestem længden af diagonalen AC. b) Bestem længden af siden AD. c) Bestem C. Løsning: a) Vi skitsérer firkanten vha. GeoGebra: a) Vi bestemmer diagonalen AC vha. cosinusrelationen: AC 2 = AB 2 + BC 2 2 AB BC Cas(B) AC = 4, , ,3 9,1 cos(78 0 ) = 9,22 b) Bestemmelse af siden AD 8

9 Her kan vi umiddelbart bruge den Pythagoræiske sætning da trekanten ACD er retvinklet dvs. D = 90 0 AC 2 = AD 2 +CD 2 AD 2 = AC 2 CD 2 AD = AC 2 CD 2 AD = 9, ,1 2 = 6,92 c) Vinklen C Først beregnes vinkel C i trekanten ABC, dvs C 1 vha. cosinusrelatioenen: C 1 = cos 1 ( AC2 + BC 2 AB 2 2 AC BC ) = cos 1 ( 9, ,1 2 4,3 2 ) = 27, ,22 9,1 Dernæst beregnes vinklen C i trekanten ACD,dvs. C 2 vha. tangens i en retvinklet trekant: tanc 2 = AD CD = 6,92 6,1 = C 2 = 48,60 Hermed bliver vinklen C summen af C 1 og C 2 C = C 1 + C 2 = 27, ,60 0 = 75,74 0 Opgave 8 (20 %) En funktion f er givet ved: f (x) = x x a) Bestem definitionsmængden for f. b) Bestem det interval hvor f voksende. c) Bestem koordinatsættet til funktionens lokale minimum. d9 Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 1, f ( 1)). 9

10 Løsning: a) Vi skitserer grafen for funktionen vha. GeoGebra Definitionsmængden af funktionen bliver følgende da man ikke kan dividere med nul: Dm f = R\0 b) Bestemmelse af det interval hvor funktionen er voksende: Vi bestemmer først funktionen differentialkvotient og sætter denne til nul. f (x) = x x f (x) = 2x 2 x 2 Løses denne ligning vha. solve fås: solve(2x 3 2 = 0,x) som giver x = 1 Vi tegner følgende tabel over fortegnsvariationen for den afldede funktion 10

11 x 1 0, 5 0 0, f (x) 4 9 I.D ,5 f ortegnet f or f (x) I.D. + f (x) I.D. lok min. Og konstatere at funktionen er aftagende i ] ;0[ ]0;1[og voksende i ]1; [. Funktionen er ikke defineret for x = 0. c) Koordinatsættet til funktionens lokale minimum Findes ved at indsætte x = 1 i den originale funktion for at finde den tilsvarende y-værdi: f (1) = = 3 Koordinatsættet til den lok. minimum er altså: (1,3) d) Tangenten til grafen for f i punktet P( 1, f ( 1)) y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) y f ( 1) = f ( 1)(x ( 1)) f ( 1) = ( 1) = 1 f ( 1) = 2 ( 1) 2 ( 1) 2 = 4 Indsættes disse i tangentligningen fås; y ( 1) = 4(x + 1) y + 1 = 4x 4 y = 4x 5 11

12 Opgave 9 (10 %) I tabellen ses karakterfordelingen ved en matematikprøve. Karakter Hyppighed a) Udregn middelværdien for karakterfordelingen. b) Bestem kvartilsættet og tegn et boksplot for karakterfordelingen. Løsning: a) Middelværdien kan beregnes ved at addere produkterne af de givne karakterer og deres hyppighed, for derefter at dividere med det samlede antal observationer: µ = ( 3 0) + (0 4) + (2 6) + (4 4) + (7 8) + (10 6) + (12 3) 31 b) Kvartilsættet og boksplot = = 5,81 Vi bruger GeoGebra til at beregne kvartilsættet ved at skitsere boksplot. Opgave 10 ( 10 %) En funktion f er givet ved forskriften: f (x) = 1 4 x x3 5 2 x2 + 3x

13 a) Gør rede for, at grafen for f har to vandrette tangenter. b) Bestem tallet a således, at ligningen f (x) = 2 a x 1har løsningen x =-4 Løsning: a) Inden vi finder vandrette tangenter skitseres funktionen Vi skal gøre rede for, at grafen for f har to vandrette tangenter vad at sætte funtionens første afledede til nul på følgende måde: Solve giver følgende: f (x) = 1 4 x x3 5 2 x2 + 3x + 5 f (x) = 4 4 x x x + 3 = x3 + x 2 5x + 3 solve[x 3 + x 2 5x + 3 = 0] {x = 1, x = 3] To af skøringspunkterne er sammenfaldende derfor har funktionen f vandrette tangenter i x = 1 og x = 3. 13

14 b) Vi skal bestemme tallet a således at ligningen f (x) = 2ax 1 har løsningen x = 4 Vi kender således løsningen til ligningen derfor er det jo oplagt at indsætte løsningen til ligningen: f ( 4) = 2a( 4) 1 = 8a 1 dvs. Den første afledede af funktionen med x = 4 skal være lig med ovenstående, f (x) = x 3 + x 2 5x + 3 ( 4) 3 + ( 4) 2 5( 4) + 3 = 8a = 8a 1 25 = 8a 1 a = 3 Opgave 11 (10 %) En funktion f er givet ved forskriften: f (x) = ln(x 2 ) + ln(5x). Funktionen kan skrives på formen f (x) = a ln(x)+b, hvor a og b er konstanter. a) Bestem konstanterne a og b. b) Bestem en ligning for den tangent til grafen for f, som er vinkelret på linjen givet ved ligningen: 3y + x = 1. 14

15 Løsning: a) For at bestemme konstanterne a og b, omskrives forskrifteen ved at anvende følgende logaritmeregler ln(a) + ln(b) = ln(a b) ln(a n ) = n ln(a) f (x) = ln(x 2 ) + ln(5x) f (x) = ln(x 2 5x) f (x) = ln(5x 3 ) f (x) = 3 ln(5x) f (x) = 3 ln(x) + ln(5) f (x) = 3 ln(x) + 1,61 Man kan nu tydeligt se af ovenstående, at a = 3 og b = 1,61 b) Tangentligningen som er vinkelret på 3y + x = 1 bestemmes. Først skal vi finde den første afledede af funktionen f (x) = 3 ln(x) + 1,61 som er et udtryk for hældningskoefficienten for funktionen: f (x) = 3 x Dernæst skal vi finde tangentligningengs hældning ved at omskrive ligningen 3y + x = 1 og finde hældningen af denne først: 3y + x = 1 15

16 3y = x + 1 y = 1 3 x Man kan umuddelbart aflæse hældningen til at være α = 1 3 Da vi ved at der gælder følgende for ortogonale linjer, kan vi hurtigt finde β α β = β = 1 β = 3 Tangentens hældning skal være lig funktionens første afldede: 3 x 0 = 3 x 0 = 1 Nu ved vi at vi har en tangent som står vinkelret på linjen 3y + x = 1 Tangentligningen har forskriften: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) y f (1) = f (1)(x 1 f (1) = ln(1) + 1,61 = 1,61 f (1) = 3 1 = 3 Indsættes disse fås den vinkelrette linjes ligning: y 1,61 = 3(x 1) y = 3x 3 + 1,61 y = 3x 1,39 16