MAT B GSK juni 007 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 Grafen for funktionen f er vist på bilag 1. Løs ligningen f() = 4 og uligheden f() < 4. Svar : f() = 4 <=> =, = 1, = 1 eller = 3 ; L = { ; 1;1;3} (ses ved aflæsning) f() < 4 <=> < < 1 eller 1 < < 3 (ses ved aflæsning) Opg Prisen på en vare er 79,5 kr. Den forventes at stige med % pr. år. Bestem funktionen, der beskriver den forventede pris på varen efter år. Svar : Eksponentiel funktion f() = 79,5 1,0 ; = antal år Opg 3 Bestem en forskrift for den lineære funktion g, hvis graf går igennem punkterne (1;5 1 1 ) og ( 1;1 ). Svar : Lineære funktion = g() = a + b 1 1 5 1 4 Stigningstal a = = = 1 ( 1)) 1 1 1 Konstantled b = 1 a 1 = a = 1 ( 1) = 5 1 = 3 1 Dvs. = g() = + 3 6 5 (1;5,5) f()=+3.5 Serie 4 g()=+3,5 3 (-1;1,5) 1 - -1 1 3 4 5 6
Opg 4 Den retvinklede ABC på figuren er ligebenet og har arealet 18. Beregn længderne af kateterne. Svar : a = b og areal T = 1 a b = 18 <=> 1 a = 18 <=> a = 36 <=> a = b = 6 Hpotenusen c findes i øvrigt vha. Pthagoras : a + b = c <=> a = c = 7 <=> c = 7 8,49 Opg 5 Funktionen f har forskriften f() = 3 ( 4) Bestem en ligning for den vandrette tangent til grafen for f. Svar : f() = 3 ( 4) = 3 + 1 Den vandrette tangent findes ved differentiation og løse ligningen f () = 0 f () = 6 + 1 f () = 0 <=> 6 + 1 = 0 <=> = Tangentens ligning : = f() + f () ( ) <=> = f() = 1 14 1 f ()=0 =1 f()=-3^+1 f()=1 10 8 6 f() = - 3 /3+1 4-1 1 3 4 5 6 7 8 9
juni 007 delprøven med hjælpemidler Opg 1 Efter en sommerlejr 175 teenagere svarer om pengeforbrug til sodavand og is. Se Bilag. a) Gør skemaet færdigt. Svar : De manglende tal som skal indsættes, har jeg markeret med fed. Kr. [ i 1 ; i [ Intervalmidtpunkt m i Intervalhppighed h( i ) Intervalfrekvens f( i ) Summeret frekvens F( i ) [0;40[ 0 3 0,13 0,13,60 [40;80[ 60 7 0,41 0,54 4,60 [80;10[ 100 43 0,5 0,79 5,00 [10;160[ 140 3 0,13 0,9 18,0 [160;00[ 180 14 0,08 1,00 14,40 I alt 175 1,00 84,80 b) Hvilken af værdierne median eller gennemsnit størst? Begrund dit svar. Svar : Gennemsnit μ = = 5 i = 1 Produkt m i f( i ) m f i i = m 1 f 1 + + m 5 f 5 =,60 + + 14,40 = 84,80 Medianen ligger i intervallet [40;80[ (se summeret frekvens), dvs. middeltal er størst. Opg Trekanten herunder er ligebenet med AB = BC a)beregn længden af vinkelhalveringslinjen fra B. Svar : ABC er ligebenet og deler vinkelhalveringslinjen v B ABC i to kongruente.5 v retvinklede trekanter. Sinusrelationen giver = B sin(5 ) <=> sin(c).5sin(65 ) v B = 5,36 sin(5 ) b) Beregn radius i trekantens indskrevne cirkel. A r A Svar : tan( ) = <=> r =,5 tan( ) 1,59. 5 ( r = radius i trekantens indskrevne cirkel) Vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden i samme punkt som er centrum for trekantens indskrevne cirkel.
Opg 3 Radio- og TV varer med flere muligheder for betaling. Eks : Storskærm sælges for enten 5.000 kr. kontant eller udbetaling på 0 % af kontantpris, og restbeløbet betales med 48 lige store månedlige delser. Renten er 1,6 % pr. måned. a) Beregn udbetaling og restbeløb, når storskærmen ikke sælges kontant. Svar: Udbetaling = 0 % af 5.000 kr = 5.000 kr. Restbeløb = 5.000 kr. 5.000 kr. = 0.000 kr. b) Beregn den månedlige delse A0 r Svar : = n ; A 1 (1 + r) 0 = 0.000 kr.; r = 1,6%; n = 48 0000 * 0.016 Dvs. = 48 600,1 kr. 1 1.016 En anden storskærm sælges med en udbetaling på 5 %, hvorefter restbeløbet udgør 5.500 kr. c) Hvad er kontantprisen for denne storskærm? Svar : 75 % svarer til 5.500 kr., dvs. 100 % svarer til 34.000 kr. Opg 4 Sølvsmed sælger sølvmønt 8 kr. pr. bogstav og en sølvmønt med navnet Magnus indgraveret koster samlet 168 kr. a) Bestem en forskrift for en lineær funktion f, der angiver den samlede pris for en mønt med bogstaver. Svar : Lineær funktion på formen = f() = a + b; f() = 8 + b; f(6) = 168 <=> b = 10 Forskrift : = f() = 8 + 10 b) Bestem en forskrift for en lineær funktion, der angiver, hvor mange bogstaver, der kan indgraveres, når der er kr. til rådighed til sølvmønt og indgravering. 10 1 Svar : = 8 + 10 <=> = = 15 8 8
Opg 5 Virksomheden X-Pe A/S startede 1/1 1993. Omsætningen i første 1 måneder : R() = 0,04 4 + 0,5 3 + 0,5 ; є ]0;1]. R() opgøres i 100.000 kr. = antal år efter virksomhedens start a) Beskriv vha. monotoniforhold og ekstrema for R, hvorledes omsætningen i X-Pe A/S har udviklet sig siden starten i 1993. Svar : Finde monotoniforhold og ekstremer ved differentiation og løse R () = 0 R () = 0,16 3 + 1,5 + = ( 0,16 + 1,5 + 1). R () = 0 <=> = 0 eller 0,16 + 1,5 + 1 = 0 0,16 + 1,5 + 1 = 0 <=> = 10 eller = 0,65 Dvs. R () = 0 <=> = 0 eller = 10 eller = 0,65 Da є ]0;1[ udelukker vi = 0,65 R () > 0 for 0 < < 10 og R () < 0 for 10 < 1; R () har fortegn + 0 omkring = 10 Dvs. omsætningen vokser for 0 < 10 og omsætningen aftager for 10 1 b) I hvilket år var omsætningen størst, og hvor stor var denne omsætning? Svar : maksimum i R(10) = 150 dvs. efter 10 år 160 140 omsætning enhed 100000 (10;150) f()=-0.04^4+0.5^3+0.5^ 10 100 80 60 R()=-0,04 4 +0.5 3 +0.5 40 0 antal år -1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14
Opg 6 Funktionerne f og g har forskrifterne f() = 4 + og g() = + 4 a) Vis, at tangenten med røringspunktet (1;f(1)) på grafen for f og tangenten med røringspunktet (3;g(3)) på grafen for g har samme hældningskoefficient. Svar : Finde tangenternes stigningstal/hældningskoefficienter ved differentiation : f () = 4 og g () = + 4 ; f (1) = og g (3) = dvs. f (1) = g (3) = dvs. tangenterne har samme stigningstal Tangenternes ligninger er : = f (1)( 1) + f(1) <=> = ( 1) 1 <=> = + 1 = g (3)( 3) + g(3) <=> = ( 3) + 1 <=> = + 7 b) Beregn afstanden mellem røringspunkterne for de to tangenter. Svar : Anvend afstandsformlen f(1) = 1; f (1) = ; g(3) = 1; g (3) = og disse værdier indsættes i afstandsformlen : Afstanden d = ( g (3) f (1)) + (3 1) = 8 =,83 f()=^-4+ f()=-^+4-5 4 =-+7 f()=-+1 f()=-+7 Serie f()=- =-+1 3 f()= -4+ 1 d=,83 - -1 1 3 4 5 6 7 (3;1) g()=- +4- -1 (1;-1) -
Opg 7A Alma får 8 kr. for hver bakke solbær og 5 kr. for hver bakke ribs. Solbær : 9 min og ribs : 4½ min. Alma kan højst tjene 350 kr. om dagen og højst arbejde 6 timer pr. dag. Størst mulig omsætning til bæravler. Han får 14 kr. pr. bakke solbær og 8 kr. pr. bakke ribs. Hvor mange bakker solbær hhv. ribs vil bæravleren have Alma til at plukke pr. dag? Svar : Solbær () Ribs () Maksimum Plukning 9 min 4½ min 360 min Indtjening Alma 8 kr. 5 kr. 350 kr. Omsætning bæravler 14 kr. 8 kr. Kriteriefunktion : f(,) = 14 + 8 ; = antal bakker solbær, = antal bakker ribs Niveaulinier: N(0): 14 + 8 = 0 <=> = 4 7 ; N(30): 14 + 8 = 30 <=> = 4 7 + 40 Betingelser: 9 + 4½ 360 <=> 80 og 8 + 5 350 <=> 70 1,6 Finde skæringspunkt(er) mellem begrænsningslinierne = 80 og = 70 1,6 Ved parallelforskdning af niveaulinierne i pilens retning ses, at maksimale omsætning fås i punktet (5;30) med f(5;30) = 14 5 + 8 30 = 590 Ved at tjekke hjørnepunkterne fås : f(0;70) = 560; f(40;0) = 560; f(5;30) = 590 Dvs. 5 pakker solbær og 30 bakker ribs 80 (0;70) N(0) 70 60 50 40 30 0 10 f()=-+80 Skravering f()=-1.6+70 Skravering 1 f()=-1.75 f()=-1.75+40 Serie Serie 3-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90-10 =-+80 N(30) (5;30) =-1,6+70 (40;0)
Opg 7B Funktionen f har forskriften + 9 og grafen for f har tre punkter fælles med koordinatsstemets akser. a) Bestem koordinaterne til de tre fællespunkter. Svar : f() = + 9 og Dm(f) = [ 3;3] f() = 0 <=> + 9 = 0 <=> = 3 eller = 3 = 0 => f(0) = 9 = 3 dvs. fællespunkterne er ( 3;0); (3;0) og (0;3) b) Vis, at den trekant, der hjørner i de tre fællespunkter er retvinklet. Svar : Lad A( 3;0); B(3;0) og C(0;3) dvs. AB = 6; AC = 18 = 3 og BC = 3 dvs. AC + BC = 9 + 9 = 36 = AB Altså : AC + BC = AB som er Pthagoras læresætning for retvinklede trekanter. Dvs. ABC er retvinklet. 4 f()=(-^+9 )^0.5 Serie (0;3) 3 f()=v(- +9) 1-3 - -1 1 3 4 (-3;0) (3;0)