Løsningsforslag MatB Juni 2012

Transkript

1 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion f er givet ved: f (x) = x 2 4x + k, hvor k er et reelt tal. a) Bestem tallet k så f har netop ét nulpunkt. a) Diskriminanten skal være lige med nul. 1

2 f (x) = x 2 4x + k D = B 2 4AC = 0 ( 4) k = 0 k = 4 Opgave 3 (5 %) Figuren viser to ensvinklede trekanter, ABC og DEF, hvor A = D, B = E og C = F. Nogle af siderne er angivet på figuren. a) Beregn længden af siden AC. Vi bruger forholdet mellem siderne: AC 21 = AC = 8 21 AC = = 14 2

3 Opgave 4 (5 %) En linje l indeholder punkterne P( 1, 3) og Q(2,3). a) Bestem en ligning for linjen l. Vi finder først hældningen: α = y 1 y 0 x 1 x 0 = 3 ( 3) 2 ( 1) = 2 y y 0 = α(x x 0 ) y 3 = 2(x 2) y = 2x 1 Opgave 5 ( 5 %) a) Løs ligningen: ln( x 2 ) = 6 ln(2) Vi finder først grundmængden: x 2 > 0 x > 0 ln( x 2 ) = 6 ln(2) ln( x 2 ) + ln(2) = 6 ln( x 2 2) = 6 3

4 ln(x) = 6 e ln(x) = e 6 x = e 6 Så løsningsmængden bliver: L = {e 6} Opgave 6 (15 %) I en trekant ABC, er længden af siden a = 8, længden af siden b = 11 og længden af siden c = 5. a) Skitsér trekanten og beregn B. b) Beregn længden af højden h c fra C på siden c. c) Beregn længden af medianen m b fra B på siden b. a) Vi skitsér trekanten med højden h c. 4

5 cosb = cosb = a2 + c 2 b 2 2 a c = B = cos 1 ( ) = 113,60 b) B 1 = ,6 = 66,4 0 C = 180 (66, ) = 23,6 0 cos(23,6 0 ) = h c 8 h c = cos(23,6 0 ) 8 = 7,33 c) Medianen skærer siden c i midten. Vi finder først vinklen A vha. cosinus relation cosa = b2 + c 2 a 2 2 b c = = 0,745 A = cos 1 (0,745) = 41,8 0 a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) a 2 = 5, ,5 5 cos(41,8 0 ) = 14,25 a = m b = 3,77 5

6 Opgave 7 (25 %) 1 En funktion f er givet ved: f (x) = 2 x 1 x 1 a) Bestem funktionens definitionsmængde. b) Bestem monotoniforholdene for funktionen. c) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 3 2, f (3 2 )). En linje l er givet ved: y = 1 2 x + 1. Linjen skærer grafen for f i to punkter, 4 P og Q. d) Bestem koordinatsættet til punktet Q. Grafen for f har, ud over tangenten i P, en anden tangent med hældningskoefficienten 2. e) Bestem koordinaterne til denne tangents røringspunkt med grafen for f. Funktionens definitionsmængde bestemmes: Nævneren må ikke være nul i en brøk a) f (x) = 1 2 x 1 x 1 = x 2 2x 2 = x 2 2(x 1) x 1 0 x 1 Dm f = R \ {1} Vi skitsérer funktionen vha. GeoGebra: 6

7 g(x) b) Monotoniforholdet bestemmes ved at finde den afledede funktion f (x) = f (x) = 2 (x 1) 8x 2) 2 1 4(x 1) 2 = = 0 Dvs. 1 0 falsk! 2(x 1) 2 f. (x) eksisterer altså ikke. Da f (x) er positiv vil funktionen f (x) være voksende i intervallet, hvor f (x) ikke er defineret for x = 1 ],1[ ]1, [ Dvs. R \ {1} c) Tangenten rører et punkt P( 3 2, f (3 )) på f.vi skal bestemme en ligning for 2 denne tangent Først finder vi tangentens hældning der hvor x = 3 2, dvs. punktet P s x- koordinat. f ( 3 2 ) = α = 1 2( 3 2 1)2 = 2 7

8 Dernæst finder vi y-koordinaten for funktionen f : f ( 3 2 ) = (x 1) = 1 2 Nu har vi et piunkt P( 3 2, 1 ) og en hældning α = 2 vi kan finde tangentens 2 ligning: y y 0 = α(x x 0 ) y ( 1 2 ) = 2(x 3 2 ) y = 2(x 3 2 ) 1 2 y = 2x = 2x ( ) y = 2x ( ) y = 2x 3,5 d) En linje l har ligningen: y = 1 2 x Linjen l skærer grafen for f i to punkter P og Q Vi skal bestemme koordinatsættet til punkt Q Man kan allerede i ovenstående figur aflæse disse koordinater som P(1,5; 0,5) og Q( 1; 0, 75) Man kan også beregne punkterne ved at sætte f (x) = l og løse ligningen mht. x 8

9 x 2 2(x 1) = 1 2 x Solve kommandoen i GeoGebra giver: x = 3 2 eller x = 1 Ved at indsætte disse x-værdier i funktionen f finder vi så y-koordinaterne på følgende måde: f ( 3 2 ) = (x 1) = 1 2 f ( 1) = 1 2 2( 1 1) = 3 4 Så punktets koordinatsæt bliver Q( 1, 3 4 ) e) Funktionen f har også en anden tangent med hældningskoefficienten 2. Vi bestemmer koordinaterne til dette røringdspunkt ved at løse følgende ligning: f (x) = f (x) = 2 1 2(x 1) 2 = 2 Solve kommandoen i GeoGebra CAS giver: 3 x = x = 3 2 er x-koordinaten til punktet P(3 2, 1 2 ). Derfor indsætter vi x = 1 2 i funktionen for at finde y-koordinaten: f ( 1 2 ) = x 2 2(x 1) = ( 1 2 1) = 3 2 Røringspunktet (vist i grafen som punkt A) har følgende koordinatsæt: A( 1 2, 3 2 ) 9

10 Opgave 8 (15 %) For en eksponentiel udvikling f (t) = b a t, hvor t er tiden, er der observeret følgende værdier: t f (t) 3,38 4,56 6,15 8,30 11,20 15,12 a) Bestem ved hjælp af regression konstanterne a og b. b) Bestem det tidspunkt t, hvor f (t) = 20 En anden eksponentialfunktion g er givet ved g(x) = 2,5 1,4 x c) bestem fordoblingskonstanten for funktionen g. a) Vi bruger geoegebra s regneark til at indsætte punkterne og lave en liste af punkter: f (t) = 2.5 e 0.3t a = e 0.3 og b =

11 b) f (t) = 20 hvor vi skal bestemme tidspunktet t f (t) = e 0.3t = 20 e 0.3t = = 8 Der tages nu logaritmen på begge sider af lighedstegnet: ln(e 0.3t = ln(8) c) Fordoblingstid er defineret som: 0.8t = ln(8) t = ln(8) T 2 = ln(2) ln(a) g(x) = 2,5 1,4 x Indsættes a = 1,4 fås fordoblingstiden T 2 = ln(2) ln(1,4) 2,06 Opgave 9 (10 %) En funktion f er givet ved: f (x) = ln(x) og en funktion g(x)er givet ved: g(x) = x 2 x 2 a) Bestem regneforskriften for den sammensætte funktion f (g(x)) = ( f g)(x). b) Bestem definitonsmængden for den sammensætte funktion. 11

12 Vi stareter med at finde definitions og værdimængderne af f og g Dm f = R + V m f = R Dmg = R V mg[ 2,25, [ Vi undersøger nu om følgende betingelser er opfyldte: 1. Er Dm f = Dmg nej 2. Er V mg Dm f nej ( f g)(x) har indskrænket definitionsmængde a) Vi finder den sammensætte funktion ( f g)(x)med den indskrænkede definitionsmængde ( f g)(x) = ln(x 2 x 2) b) Vi finder definitionsmængden af den sammensætte funktion x 2 x 2 > 0 Solve kommandoen giver følgende rødder: (x 2)(x + 1) > 0 Vi løser uligheden vha. følgende regel: a.b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) x 2 > 0 x + 1 > 0 x 2 < 0 x + 1 < 0 (x > 2 x > 1) (x < 2 x < 1) 12

13 x > 2 x < 1 Dvs. løsningsmængden bliver: L =], 1[ ]2, [= R \ [ 1,2] Og defintionsmængden: Dm( f g)(x) = R \ [ 1,2] Vi skitserer f (x), g(x) og ( f g)(x) Og konstaterer at definitionsmængden af den sammensætte funktion er indskrænket i forhold til funktionen g(x). Opgave 10 ( 10 %) På nedenstående figur er vist grafen for en differentiabel funktion, samt tangenten til grafen for f i punktet P(4, 2). 13

14 a) Bestem ved hjælp af figuren f (4). b) Bestem løsningerne til ligningen f (x) = 0 a) Vi bestemmer hældningen af tangenten mellem punktet P(4, 2) og punktet (5,0) hældningen af tangenten = f (4) = 0 ( 2) 5 4 = 2 b) Løsningerne til ligningen f (x) = 0 aflæses direkte af figuren: f ( 2) = 0 f (3) = 0 14