ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A

ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ht

MAT A ht 008-009 Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen, Klaus Marthinus og Systime A/S Kopiering og anden gengivelse af dette værk eller dele deraf er kun tilladt efter reglerne i gældende lov om ophavsret, eller inden for rammerne af en aftale med COPY-DAN. Al anden udnyttelse forudsætter en skriftlig aftale med forlaget. Omslag: Lisbeth Neigaard Omslagsfoto/illustration: Lisbeth Neigaard og Anne Marie Kaad Sat med New Century Schoolbook og Interstate. e-bogudgave 009 ISBN 87-66-635- Bogens website: mat.systime.dk Trykt udgave: Trykt hos Special-Trykkeriet Viborg a-s Printed in Denmark 009. udgave,. oplag ISBN-3: 978-87-66-635-7 (ISBN-0: 87-66-635-4) Skt. Pauls Gade 5 DK-8000 Århus C Tlf.: 70 00 systime.dk

INDHOLD FORORD.......................................... 5. VEKTORER I RUMMET............................ 8 Indledning.................................... 8 Det rumlige koordinatsystem................... 9 Stedvektor.................................. 9 Vektor i rummet............................. 9 Længden af en vektor........................ 0 Enhedsvektor............................... Prikprodukt................................. Vinklen mellem to vektorer................... Projektion.................................. 3 Liniens parameterfremstilling.................. 4 Om parameteren............................ 6 Punkt på linie............................... 7 Vindskæve linier............................. 7 Planens parameterfremstilling............... 9 En plan givet ved tre punkter................. Punkt i pland............................... 3 Liniens skæringspunkt med planen............ 4 Krydsprodukt............................... 5 Rækkefølge................................. 7 Planens normale form........................ 8 Skæring mellem to planer.................... 30 Vinkel mellem to planer...................... 3 Skæringspunktet mellem en linie og en plan på normalform....................... 33 Vinklen mellem en linie og en plan............. 35 Afstanden mellem et punkt og en plan......... 37 Afstanden mellem et punkt og en linie......... 39 Afstanden mellem to linier................... 40 Kuglen....................................... 43 Tangentplan til en kugle...................... 44 Skæringspunkterne mellemen linie og en kugle............................... 46 Skæring mellem plan og kugle............... 47 Skæring mellem plan og cylinder............ 48 Opgaver..................................... 53 Projekt..................................... 67. VEKTORFUNKTIONER........................... 80 Indledning.................................... 80 Banekurve, parameterkurve.................. 8 Koordinatfunktioner......................... 8 Afbildning af banekurve...................... 8 Den rette linie................................ 84 Punkt på linie............................... 86 Afstand.................................... 87 Vektorfunktionens y-funktion................. 89 Cirklen....................................... 90 Parameteren................................. 9 Ellipsen...................................... 9 Superellipsen................................. 94 Banekurvens skæring med koordinatakserne............................. 97 Tangenter til banekurven...................... 98 Vandret tangent............................. 00 Lodret tangent.............................. 0 Tangentvektorernes betydning................. 03 Hastighed.................................. 03 Fart........................................ 04 Acceleration................................ 04 Arealet mellem bankurven og -aksen........ 07 Sammensatte bevægelser..................... 09 Cykloiden................................... 0 Cardioiden.................................. Archimedes spiral........................... 6 Skruelinien.................................. 6 Skæringspunktet mellem to banekurver...... 9 Polære koordinater......................... 0 Funktionsudtryk i polære koordinater......... Overgangsformler............................ 3 Opgaver..................................... 6 Projekt..................................... 46 3. DIFFERENTIALREGNING....................... 5 Indledning................................... 5 Differentiation af reciprok funktion............ 53 Funktionen f()=e, dens Afledte funktion og stamfunktion..................... 54 Differentiation af en omvendt funktion......... 56 Definition af omvendt funktion:.............. 56 Differentialkvotienten til ln................ 57 Implicit differentiation........................ 58 Asymptoter................................. 63 Skrå asymptoter........................... 65 Asymptoter for polynomiebrøker............ 67 Polynomiers division med CAS................. 69 Opgaver..................................... 70 Projekt..................................... 75 4. INTEGRALREGNING........................... 79 Indledning................................... 80 Substitution................................. 8 Partiel Integration........................... 8 Anvendelser af integralregning................ 84 Omdrejningslegemer......................... 85 Rotation af en graf om -aksen............... 85 Rotation af graf om y-aksen................. 88 Omdrejningslegemer om andre symmetriakser end - og y-akse............... 9 Kurvelængder............................... 95 Overfladearealer............................. 96 Tyngdepunkter............................... 98 Tyngdepunkter for plane figurer............. 98 Opgaver..................................... 0 Rotationslegemer.......................... 04 Projekt..................................... 09 5. KOMPLEKSE TAL............................. 5 Indledning................................... 6 En praktisk og historisk introduktion........... 7 Descartes................................... 9 Det imaginære spøgelse.................... 0 Caspar Wessel............................... 0 Udvidelsen af talbegrebet en geometrisk og algebraisk betragtning..................... Egenskaber ved den imaginære enhed........ Gauss talplan.............................. 4 Det ultimative tallegeme.................... 5 Addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal................. 6 Regneregler for komplekse tal............... 7 Konjugerende tal........................... 8

Division og multiplikation gøres lettere....... 8 Multiplikationens resultat omregnes til vinkelform og resultatet analyseres.......... 30 Divisionens resultat omregnes til vinkelform og resultatet analyseres.................... 30 Opgaver første del........................... 3 Komplekse tal på trigonometrisk form....... 34 Eulers form................................ 35 Taylorpolynomiet........................... 35 Den komplekse eksponentialfunktion og...... 36 Eulers formel.............................. 36 Komplekse tal på Eulers form................ 37 Bevis for multiplikationssætning til polær form 37 Bevis for divisionssætning til polær form...... 38 Bevis for potenssætning til polær form....... 38 Bevis for rodsætningen..................... 38 Komplekse tal anvendt på svingninger......... 38 Beregning på samme kredsløb............... 4 med komplekse tal.......................... 4 Energiovervejelser......................... 43 Opgaver anden del........................... 44 6. STATISTIK Indledning................................... 50 Ugrupperede observationssæt................ 5 Hyppighed, frekvens........................ 5 Varians og spredning....................... 53 Grupperede observationssæt.................. 55 Middeltal.................................. 55 Historgram................................ 56 Sumkurve................................. 57 Kvartilsæt.................................. 58 Deskriptorer............................... 59 Boplot.................................... 59 Kombinatorik.............................. 60 Multiplikationsprincippet, både og.......... 60 Permutation............................... 60 Kombination............................... 6 Additionsprincippet enten eller............ 6 Stokastisk variabel......................... 63 Forventningsværdien for en stokastisk variabel. 64 Varians og spredning for en stokastisk variabel.. 64 Endeligt sandsynlighedsfelt................. 67 Hændelse.................................. 68 To hændelser i et sandsynlighedsfelt......... 69 Sandsynlighedsfordelinger.................. 7 Binomialfordelingen........................ 7 Hypotesetest for en binomialfordeling.......... 75 Signifikansniveau........................... 76 Fejl ved hypotesetest....................... 76 Normalfordelingen......................... 76 Normalfordelt stokastisk variabel.............. 8 Sandsynlighedspapir........................ 84 Opgaver.................................... 9 Projekt..................................... 300 7. DIFFERENTIALLIGNINGER Indledning................................... 30 Hvad er en differentialligning?................. 3 Om differentialligninger generelt.............. 33 Ordinære og partielle differentialligninger.... 33, og n ordens differentialligninger.......... 33 Betingelser for konkrete løsninger af differentialligninger........................ 33 Linieelement............................... 34 Differentialligninger med adskilte variable.... 35 Forskellige typer af differentialligninger........ 38 Differentialligningen y =ky.................. 38 Vækstens afhængighed af populationens absolutte størrelse........................ 39 Differentialligningen y =ay+b................ 33 Differentialligninger af typen y =k y(a y) eller Den logistiske ligning....................... 36 Differentialligninger af typen y =k g()....... 39 En harmonisk fjederbevægelse............... 39 Differentialligninger med flere variable......... 33 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger.......................... 336 Runge Kutta................................. 336 Opgaver..................................... 340 8. MAPLE Indledning................................... 350 Pakker i Maple............................. 353 Regning med Maple......................... 353 Ligningsløsning.............................. 354 Ligninger med én ubekendt.................. 354 Symbolsk ligningsløsning.................... 354 Ligninger med ubekendte................ 354 Differentiation............................. 355 Implicit differentiation...................... 355 Grafen for den implicitte funktion............ 356 Maple tutorials............................. 357 Integration.................................. 358 Ubestemt integral.......................... 358 Bestemt integral........................... 358 Omdrejningslegemer......................... 359 Omdrejningslegeme om -aksen.............. 359 Grafisk præsentation af omdrejningslegeme... 359 Omdrejningslegeme om y-aksen............. 360 Vektorfunktioner............................. 36 Evaluering af vektorfunktionen.............. 36 Vektorfunktionens banekurve............... 36 Hastighedsvektor og accelerationsvektor..... 36 Rumgeometri................................ 36 Summen og differensen af vektorer.......... 363 Prikprodukt................................ 363 Krydsprodukt.............................. 363 Afbildning af en vektor i koordinatsystemet... 363 Afbildning af sumvektor..................... 364 Afbildning af vektorer og deres krydsproduktvektor........................ 365 Længden af en vektor....................... 365 Differentialligninger......................... 366. ordens differentialligninger................ 366. ordens differentialligninger............... 367 Kommandoer i Maple....................... 368 9. GRAFTEORI Indledning................................... 370 Dette kapitel............................... 370 Elforsyningsnet............................ 37 Grafteoriens grundbegreber.................. 37 Kendte tankeeksperimenter................. 380 Firfarveproblemet.......................... 38 Springertur................................ 383 Tennisfejerproblemet....................... 383 Billedliste................................... 387 Stikordsregister............................. 389

FORORD MAT A ht udgør sammen med MAT B og MAT B en samlet lærebogssystem til at dække kravene i læreplanen for Matematik A ht. Bogens matematiske emner dækker både kernestoffaglige områder samt et udvalg af andre relevante emneområder for ht (Komplekse tal, Statistik og sandsynlighedsregning, Differentialligninger og Grafteori), der kan indgå som supplerende stof. Endelig er der et kapitel om CAS-værktøjet Maple, der anvendes på flere højere læreanstalter. Bogens særlige form og nedslag i vigtige emner er også en opfordring til at eleverne er mere selvstændige i deres studier end på B-niveau. Det kommer blandt andet til udtryk ved, at der er afsnit som indeholder særligt udfordrende matematiske problemstillinger. I eksempler og projekter er tekniske og naturvidenskabelige problemstillinger vægtet højt. Til bogen er knyttet en hjemmeside mat.systime.dk, der vil udvide og understøtte bogens emner. Her kan findes nye øvelser, opgaver, facitlister og supplerende materiale. Forfatterne vil gerne takke Anne Marie Kaad for et stort og tålmodigt grafisk arbejde. juni 008 Klaus Marthinus Bernt Hansen Michael Jensen Allan Bohnstedt

VEKTORER I RUMMET

. Vektorer i rummet INDLEDNING Vi har tidligere beskæftiget os med vektorer i planen. Her så vi, hvordan disse kunne anvendes i beskrivelsen af f.eks. kræfter. Vi skal nu se, hvordan vektorbegrebet kan anvendes i rumlige sammenhænge. Det viser sig nemlig at vektorer er bekvemme at anvende ved beskrivelsen af flader og linier i rummet. Flader kender vi fra f.eks. hustage. Den moderne arkitektur byder ofte på skæve vinkler som umiddelbart forekommer vanskelige at beskrive matematisk. Maskinrummet i et skib er præget af komplekse rørføringer. Her kan vektorregning anvendes, i projekteringsfasen til bl.a. at kontrollere om to rør evt. kolliderer. DETTE KAPITEL I dette kapitel skal vi arbejde med det rumlige koordinatsystem. Vi genbruger i vidt omfang begreberne fra vektorer i planen, blot med tilføjelse af den 3. dimension. Vi indfører et rumligt koordinatsystem, der ud over -og y-aksen, også indeholder en z-akse. Vi skal beregne afstande, længder og vinkel mellem vektorer, vinkel mellem plan og linie, samt plan og plan. Desuden kigger vi på hvordan parameterfremstillinger bruges til at beskrive linier og planer i rummet. Endvidere skal vi se, hvordan snitflader i kugler og cylindre kan beskrives.

. Vektorer i rummet 9 DET RUMLIGE KOORDINATSYSTEM Vi har hidtil arbejdet i det plane retvinklede koordinatsystem, med en - og en y-akse. Hvis vi tilføjer en z-akse, der står vinkelret på y-planen får vi et rumligt koordinatsystem. Se fig.. Bemærk at man også her definerer en positiv omløbsretning. Man bevæger sig mod uret fra -aksen til y-aksen og fra y-aksen til z-aksen. Det rumlige koordinatsystem definerer 3 planer: y-planen, yz-planen og z-planen. De tre akser skærer hinanden i koordinatsystemets nulpunkt, origo som betegnes O, hvor O = ( 000,, ). Fig. STEDVEKTOR I MAT B definerede vi en stedvektor til et punkt A= ( A, Ay, Az) i rummet som: A OA = Ay A z VEKTOR I RUMMET Når vi danner en vektor i rummet, foregår det på samme måde som i planen.

. Vektorer i rummet EKSEMPEL. Vektor AB begynder i A = ( 574) B = ( 0,, 8). Se fig..,, og slutter i Fig. Vi danner stedvektorer: Vektor: OA = 5 7 4 og OB 0 = 8 0 5 5 AB = OB OA = 7 = 9 8 4 4 LÆNGDEN AF EN VEKTOR Har vi en vektor i planen, a =, kan længden beregnes som: y a = + y Formlen kan udvides til at gælde for en vektor i rummet. På fig. 3 ses en vektor, a. Det gælder om diagonalen, d, at: d = + y

. Vektorer i rummet Fig. 3 Vektorens længde bliver da: a = d + z = + y + z SÆTNING Længden af en vektor a = y er givet som: a = + y + z z EKSEMPEL. Længden af vektor 5 AB = 9 4 i eksempel beregnes: AB = 5 ( 9) 4, 05 ( ) + + = ENHEDSVEKTOR I MAT B definerede vi en enhedsvektor som en vektor divideret med dens egen længde. Denne definition overfører vi til rummet. Hvis vi har en vektor: a = y z e a beregnes koordinaterne til enhedsvektoren som:

. Vektorer i rummet + y + z y ea = + y + z z + y + z PRIKPRODUKT For vektorerne: a a = a a 3 b og b = b b 3 definerer vi prikproduktet som: a b ab = a b = a b + a b + a b a b 3 3 3 3 VINKLEN MELLEM TO VEKTORER Når vi skal beregne vinklen mellem to vektorer a og b i rummet, er det i princippet det samme som ved vektorer i planen, idet: ab cosv = a b EKSEMPEL 3. Vi beregner vinklen, v, mellem vektorerne 5 a = og b 3 = 6. 7 ab v = a b = 53 + ( ) 6+ 7 cos cos = 80, 4 5 + ( ) + 7 3 + 6 + 0

. Vektorer i rummet 3 PROJEKTION Antag at vi har to vektorer a og b som vist på fig. 4. Vi opløser a i to komposanter: Den ene komposant a b er parallel medb. Den anden komposant står vinkelret på b. Vi vil interessere os for komposanten a b, der også kaldes vektor a s projektion på vektor b. Fig. 4 Fra fig. 4 fås: Endvidere er: Vi indsætter: a = a cosv b ab cosv = a b a a ab b = a b ab ab = b Vi skal nu omskrive projektionen til vektorform. Det gøres ved at gange a b med enhedsvektoren eb : ab b ab ab = ab eb = = b b b b SÆTNING Koordinaterne til en projektiona b, hvor en vektor a projiceres på en anden vektor b er givet ved: a b a = b b b

. Vektorer i rummet LINIENS PARAMETERFREMSTILLING På fig. 5 ses en ret linie m i rummet. Fig. 5 Punkterne P0 = ( 0, y0, z0)og P= (, y, z) ligger på linien. P 0 er et fast punkt. Punkt P er et vilkårligt punkt (det kan glide langs linien). Vektoren: r r = ry r er retningsvektor. Det betyder, at r er parallel med linien og peger i liniens retning. Punktet O er koordinatsystemets nulpunkt (origo): z O = ( 000,, ) Ved hjælp af vektordiagrammet kan vi nu opstille en ligning, der beskriver stedvektoren til punktet P: OP = OP0 + P0 P OP0 er stedvektor til P 0. Vektoren PP 0 dannes ved at gange retningsvektoren r med et vilkårligt tal t. Dette tal kaldes en parameter: PP= t r Nu har vi at: 0 OP = OP0 + t r Vi indfører vektorkoordinater og får liniens parameterfremstilling:

5. Vektorer i rummet SÆTNING 3 En ret linie i rummet, som har retningsvektorenr r r r y z = og som går gennem punktp y z = (,, ) 0 0 0, beskrives ved parameterfremstillingen: y z y z t r r r y z = + 0 0 0 t R Hvor t er en parameter. For at fastlægge liniens parameterfremstilling skal vi altså kende koordinaterne til et punkt på linien samt en retningsvektor. EKSEMPEL 4. Et punkt P 0 54 = ( ),, er beliggende på en linie, l. En retningsvektor for l er givet ved: r = 6 7. Liniens parameterfremstilling bliver: l: y z t = + 5 4 6 7 Der kan skrives som: y z t t t = + + 5 6 4 7 EKSEMPEL 5. Vi kan danne en parameterfremstilling ud fra koordinaterne til to punkter på en linie. Punkterne A = (,, ) 59 og B = (,, ) 368 tilhører linien l. Vi vælger A som fast punkt og danner en retningsvektor ved hjælp af stedvektorerne til A og B:

. Vektorer i rummet r AB OB OA = = = 3 6 8 5 9 = 5 Parameterfremstillingen for l bliver: l: y z t = + 5 9 5 Man kommer ofte ud for at skulle opstille en parameterfremstilling ud fra to punkter. Nedenfor ses parameterfremstillingen for en linie, der går gennem to punkter A og B: SÆTNING 4 En linie, som går gennem to punkter A og B, kan beskrives ved parameterfremstillingen: y z OA t OB OA A A y = + = ( ) A t B A B A B A z y y z z + OM PARAMETEREN Ved at variere parameteren t fra minus uendelig til plus uendelig beskrives alle punkter på linien. Hvis vi for linien l i eksempel 5, f vælger: t = 3 kan vi beregne de tilhørende koordinater til stedvektoren til et punkt på linien: y z = + 5 9 3 5 = + = 5 9 5 3 3 3 8 6

. Vektorer i rummet 7 PUNKT PÅ LINIE Ved hjælp af liniens parameterfremstilling kan man således undersøge, om et givet punkt ligger på en linie. EKSEMPEL 6. Vi vil finde ud af om et punkt Q= (, y, z) = ( 877,, ) er beliggende på en linie m. Stedvektoren til Q er givet som: 8 OQ = y = 7 z 7 Parameterfremstillingen for m: 5 m: y = 5 + t z 9 Vi kigger på -retningen i parameterfremstillingen: ( ) = + t 5 Vi sætter udtrykket lig med -værdien fra stedvektoren OQ og finder den tilhørende værdi for parameteren t: ( ) = + t 5 8 t = Denne værdi for t indsættes i liniens parameterfremstilling: 5 8 y = 5 + = 7 z 9 7 Den fundne stedvektor har samme koordinater som Q. Vi kan dermed fastslå, at punktet Q ligger på linien. Vi kunne også have gennemført undersøgelsen ved at have kigget på y eller z-retningen. VINDSKÆVE LINIER Hvis to linier i rummet ikke er parallelle og ikke har et skæringspunkt, siger man, at linierne er vindskæve. På fig. 6 ses to linier, der er vindskæve. På fig. 7, hvor vi kigger vinkelret på y-planen, ser det ud som om, linierne faktisk skærer hinanden.

. Vektorer i rummet Når vi skal finde ud af, om to linier er vindskæve, kan vi f.eks. beregne koordinaterne til det skæringspunkt, der tilsyneladende er i y-planen. Det gøres ved at opstille to ligninger med to ubekendte med udgangspunkt i liniernes parameterfremstillinger: EKSEMPEL 7. Linierne l og m er givet som: l: y z s = + 3 7 4 3 9 m: y z t = + 8 5 Vi sætter ligningerne for l og m lig hinanden og kigger på - og y- retningen for de to linier: 3 7 3 4 9 8 + = s + + = + + = + t s t s 5 3 7 3 5 t Vi får at: s t = = 3 Fig. 6 Fig. 7

. Vektorer i rummet 9 Nu indsættes værdien for s i linie l og værdien for t i linie m: l: m: 3 5 y = 7 + 3 = z 4 9 3 4 5 y = + 3 5 = 3 z 8 Vi kan se, at z-koordinaterne i de fremkomne stedvektorer ikke er ens. Det betyder, at linierne ikke skærer hinanden. De er vindskæve! PLANENS PARAMETERFREMSTILLING Ved en plan forstår vi en plan flade i rummet. Hustage, gulve, vægge og lofter er eksempler på plane flader. I forhold til et evt. koordinatsystem, kan disse flader sagtens ligge skråt. Vi skal her se, hvordan man opstiller en parameterfremstilling for en plan flade i rummet. Vi skal kende et punkt på planen, samt to ikke ensrettede vektorer r og r, der er sammenfaldende med planen. Man siger, at vektorerne udspænder planen. Se fig. 8. Fig. 8

. Vektorer i rummet Af vektordiagrammet fremgår at: OP OP s r t r y z = + + = 0 y z s r r r t r y z 0 0 0 + + y z r r SÆTNING 5 En plan udspændt at to ikke parallelle vektorer, r r r r r r r r y z y z = og = og som går gennem et punkt P y z 0 0 0 0 = (,, ) beskrives ved parameterfremstillingen: y z y z s r r r y z = + 0 0 0 + t r r r y z Hvor s og t er parametre. EKSEMPEL 8. En plan α er udspændt af vektorerne: r r 5 0 7 4 = = og Planen indeholder endvidere punktet: P 0 4 3 = ( ),, Planens parameterfremstilling bliver derfor: α : y z s = + 4 3 5 0 + t 7 4

. Vektorer i rummet EN PLAN GIVET VED TRE PUNKTER Vi har set, at der skal to punkter til at definere en linie. En plan indeholder en ekstra dimension. Vi skal derfor bruge tre punkter til at beskrive planen. Punkterne må ikke være sammenfaldende eller ligge på linie. Ved hjælp af punktkoordinaterne beregnes koordinaterne til de vektorer, der udspænder planen. Stedvektoren til et af punkterne bruges som fast punkt, svarende til P 0 i eksemplet ovenfor. På fig. 9 ses en plan givet ved tre punkter: Fig. 9 A= ( A, Ay, Az), B= ( B, By, Bz) og C= ( C, Cy, Cz) Vi danner vektorerne: r = OB OA r = OC OA Vi har nu planens parameterfremstilling: y = OA + s r+ t r z A B y Ay s B = + z A B z y z A C Ay t C + A C z y z A Ay A z

. Vektorer i rummet EKSEMPEL 9. En plan indeholder punkterne: A = (,, ) 38, B = (,, ) 59 og C = (,, ) 4 7 Vi opstiller planens parameterfremstilling: y z s = + 3 8 5 3 9 8 ( ) + t y z 4 3 7 8 ( ) = + + 3 8 7 s t 3 7 EKSEMPEL 0. En tagflade på en sekskantet bygning er givet ved punkterne: A = (,, ) 404, B = (,, ) 3 6 og C = (.,, ) 5 6 Vi opstiller parameterfremstillingen for den plan der udgør tagfladen: y z s = + 4 0 4 3 4 0 6 4 ( ) + t y z 5 4 0 6 4, ( ) = + + 4 0 4 s t 5, Fig. 0

3. Vektorer i rummet Bemærk: Når s = 0 og t = finder vi stedvektoren til punkt C: OC y z = = + 4 0 4 0 + = 5 5 6,, Tilsvarende har vi, når s = og t = 0 : OB y z = = + 4 0 4 + = 0 5 3 6, PUNKT I PLAN Vi vil undersøge, om et givet punkt er beliggende i en plan. Antag, at vi kender koordinaterne til et punkt: P y z = = (,, ) (,, ) 7 0 Vi vil undersøge, om det pågældende punkt er beliggende i en plan, α, som har parameterfremstillingen: α : y z s = + 4 3 3 7 5 + t 9 6 Hvis punktet er beliggende i planen, skal der findes s og t, så der gælder: = + 7 4 3 7 0 3 5 s + t 9 6 Vi udskriver - og y-retningen. Herved dannes et ligningssystem, som løses med hensyn til s og t: = + = + 4 3 7 7 9 s t s t Her bliver: s t = =

. Vektorer i rummet Vi indsætter s og t iα : y z = + 4 3 3 7 5 ( ) + = 9 6 7 0 Det ses, at P ligger iα, da den fundne stedvektor har samme koordinater som P. BEMÆRK: Vi kunne også have løst opgaven ved at danne et ligningssystem ud fra -z- eller y-z-retningerne. LINIENS SKÆRINGSPUNKT MED PLANEN Vi illustrerer med et eksempel på, hvordan man kan beregne skæringspunktet mellem en linie og en plan. EKSEMPEL. Antag at vi har en plan med parameterfremstillingen: y z s = + 3 4 7 + t 5 og en linie med parameterfremstillingen: y z u = + 8 3 5 7 Vi vil beregne koordinaterne til skæringspunktet P mellem linien og planen. Vi sætter derfor de to parameterfremstillinger lig med hinanden: + = 8 3 5 7 3 4 u + + s t 7 5 Vi opstiller en ligning for hver retning,, y og z, idet vi ganger parametrene ind i vektorerne:

5. Vektorer i rummet + = 8 3 5 7 3 4 u u u + + 7 5 s s s t t t + = + + = 8 3 7 5 3 u s t u s t 7 4 5 + = + + u s t Vi har nu 3 ligninger med 3 ubekendte. Ved hjælp af CAS-værktøj får vi løsningerne: s u = = = 4,t og Det nemmeste er nu at indsætte den parameter, der tilhører linien. Her er det u: y z = + 8 3 5 7 = 5 7 8 Vi kunne også have indsat s og t i planen: y z = + 3 4 7 + = + + + + 4 5 7 4 3 4 ( ) ( ) + + = ( ) 4 4 5 5 7 8 Skæringspunktet: P=(, y, z)=(-5, -7, 8) KRYDSPRODUKT Vi beskriver krydsproduktet af to vektorer, a og b, som en ny vektor, c, der har en længde svarende til arealet af det parallelogram, der evt. udspændes af a og b. Endvidere gælder, at c står vinkelret på det udspændte areal. Se fig.. Vi skriver: c a b = Vektor c er lig med vektor a kryds vektor b. Arealet, T, af parallelogrammet, på fig., kan skrives som:

. Vektorer i rummet T = h a Fig. Her er højden: Arealet bliver nu: h= sin b v T = a b sinv Vi får derfor: c = a b a sin b v = a b sin v = a b Det viser sig (beviset springer vi over), at krydsproduktet kan beregnes ved hjælp af tre determinanter. a a3 a b a b= a b = a a b a3 3 3 a a b b3 b a b a b 3 3 = b ( a b3 a3 b) 3 a b a b b b EKSEMPEL. Vektorerne: 3 a = 8 og b 6 = 7 Vi danner krydsproduktet:

. Vektorer i rummet 7 8 3 6 c= a b= 8 = 3 7 3 8 7 87 6 54 = 7 ( 37 6) = 9 3 86 45 6 Vi kan vise, at c står vinkelret på a og b : 3 54 a c = 8 9 = 354+ 8 ( 9) + ( 45) = 0 45 6 54 bc = 9 = 654 + ( 9) + 7 ( 45) = 0 7 45 RÆKKEFØLGE Når vi krydser to vektorer, er rækkefølgen ikke ligegyldig. Det viser sig, at hvis: a b= c så er: b a= c Fig.

. Vektorer i rummet Man siger, at a, b og c danner en højreskrue. Prøv at lade din strakte pegefinger på højre hånd pege i den første vektors retning. Langefingeren strækkes i den anden vektors retning. En strakt tommelfinger, vinkelret på det plan, som de to øvrige fingre danner, vil så være den vektor, der udgør krydsproduktet. PLANENS LIGNING PÅ NORMALFORM Vi forestiller os en plan (en skrå flade i rummet). Se fig. 3. Fig. 3 I planen ligger et vilkårligt punkt: Desuden har vi et fast punkt: P= (, y, z) P0 = ( 0, y0, z0) n er en vektor der står vinkelret på planen. n kaldes derfor normalvektor til planen: Vi danner vektoren: a n = b c 0 PP 0 = y y0 z z 0 Da n og PP 0 står vinkelret på hinanden, får vi:

. Vektorer i rummet 9 n P0 P= 0 a 0 b y y0 = 0 c z z 0 a ( ) + b ( y y ) + c ( z z ) = 0 0 0 0 a + b y+ c z a b y c z = Konstantleddene samles i én konstant: 0 0 0 0 d= a 0 b y0 c z0 Vi får da planens ligning på normalform: a + b y+ c z+ d=0 PLANENS LIGNING PÅ NORMALFORM: a n = b c En plan med normalvektoren n som indeholder punktet P = (, y, z ) 0 0 0 0 kan angives ved planens ligning på normalform: a + b y+ c z+ d =0 hvor og hvor d = a b y c z 0 0 0 P = (, y, z) er et vilkårligt punkt i planen. EKSEMPEL 3. To vektorer: 3 r = 4 og r = 5 3 udspænder en plan,α. Planen indeholder punktet P 0 57 = (,, ). Vi opstiller en planligning på normalform. Først danner vi normalvektoren, n, ved krydsproduktet:

. Vektorer i rummet a 7 n = b = r r = 9 c 0 Vi beregner d: d= a b y c z 0 0 0 d = ( 7) 5 9 7 ( 0) = 8 Ligningen for α : 7 + 9 y 0 z 8 = 0 SKÆRINGSLINIEN MELLEM TO PLANER På fig. 4 ses to ikke-parallelle planer, α og β. Planerne skærer hinanden i en skæringslinie, l. Fig. 4 Vi vil se, hvordan man ved hjælp af planernes normalligninger, kan danne en parameterfremstilling for skæringslinien. To planer, α og β, er givet ved ligningerne: α: β: a + b y+ c z+ d =0 a + b y+ c z+ d = 0 Skæringslinien udgøres af den punktmængde, der er fælles for de to planer. Vi erstatter variablen med parameteren t i begge ligninger:

. Vektorer i rummet 3 a t+ b y+ c z+ d = 0 a t+ b y+ c z+ d = 0 Vi vil nu udtrykke de to øvrige variable, y og z, ved hjælp af parameteren t. Det gøres ved at løse det lineære ligningssystem med hensyn til y og z. Vi bytter rundt: b y+ c z= a t d b y+ c z = a t d Ligningerne løses ved hjælp af determinantmetoden: y = a t d c a t d c b b c c ( a t d c a t d c = ) ( ) ( a c a c ) t+ c d c d = b c b c b c b c z = b a t d b a t d b c b c b ( a t d) b ( a t d) (b a b a ) t+ b d = = b c b c b c b c Nu kan vi skrive parameterfremstillingen for skæringslinien som: SÆTNING 6 Parameterfremstillingen for skæringslinien mellem to planer: α: a + b y+ c z+ d =0 β: a + b y+ c z+ d = 0 er givet ved udtrykket: t t ( a c a c ) t+ c d c d y = = ( a c a c ) c d c d t + b z c b c b c b c b c b c ( b a b a ) t+ b d ( b a b a ) b d b d t + b c b c b c b c b c b c

. Vektorer i rummet VINKLEN MELLEM TO PLANER Vinklen mellem to planer skal opfattes som den spidse vinkel. På fig. 5 ses den spidse vinkel v og den stumpe vinkel,80 0 v. Vinklen beregnes som vinklen mellem planernes normalvektorer. Fig. 5 EKSEMPEL 4. Planerne: α : + 4 y 3 z+ 5= 0 β : 3 + 7 y 6 z+ 0= 0 har normalvektorerne: n α = 4 3 Vinklen beregnes: v = cos 3 n β = 7 6 n n n n ( 3) + 4 7+ ( 3) ( 6) v = cos + 4 + ( 3) ( 3) + 7 + ( 6) α α β β = 0 39, 99 Hvis beregningerne resulterer i en stump vinkel, skal man huske at trække denne fra80 0.

. Vektorer i rummet 33 EKSEMPEL 5. Om normalvektorerne til to planer α og β gælder at: 3 n α = 5 og n β = 8 7 9 Vinklen mellem normalvektorerne beregnes: v = cos n n α β n n = 04 α β 0 Vinklen mellem de to planer bliver da: v = 80 v= 76 0 0 SKÆRINGSPUNKTET MELLEM EN LINIE OG EN PLAN PÅ NORMALFORM Hvis vi har en plan på normalform og en linie givet ved en parameterfremstilling, kan vi beregne skæringspunktet mellem planen og linien. Vi forudsætter, at linien ikke er parallel eller sammenfaldende med planen. Planen α er givet som: Linien l er givet som: α : a + b y+ c z+ d=0 l : r 0 r t 0 y = y0 + t ry = y0 + ry t z z 0 r z z 0 rz t = + r t 0 y= y + r t 0 y z= z + r t 0 z Vi indsætter udtrykkene for, y og z fra parameterfremstillingen i planligningen: a + b y+ c z+ d= 0 a ( + r t) + b ( y + r t) + c (z + r t) + d= 0 0 y 0 z 0

. Vektorer i rummet Denne ligning løses med hensyn til t. Den fundne værdi for t indsættes i parameterfremstillingen for linien, og koordinaterne til skæringspunktet beregnes. EKSEMPEL 6. En plan α har ligningen: 4 y+ 3 z = 0 En linie l har parameterfremstillingen: y = 8 + t 3 z 5 7 = t y= 8+ 3 t z= 5+ 7 t Koordinaterne til skæringspunktet P mellem α og l beregnes: Vi indsætter: ( t) 4 ( 8+ 3 t) + 3 ( 5+ 7 t) = 0 t= Den fundne værdi for t indsættes i parameterfremstillingen for l. Herved findes stedvektoren til P: At P ligger i planen α ses af at: OP = y = 8 + 3 z 5 7 0 OP = 4 9 P = ( 0, 4, 9) 0 44 + 39 = 0

. Vektorer i rummet 35 CAS-EKSEMPEL. Med CAS-værktøjet kan vi lave en model. Parameterfremstillingen for linien er nu givet som en (vektor)funktion. Koordinaterne til P dannes ved at transponere stedvektoren til P. Transponere betyder at bytte rundt på rækker og søjler i en matri a := b := 4 c := 3 d := OP() t := 8 5 + t 3 7 t s := aopt () 0 + bopt () + copt () + d 0 solve, t P := OP() t T s P = ( 0 4 9 ) VINKLEN MELLEM EN LINIE OG EN PLAN På fig. 6 ses en plan, α, der skæres af en linie, l. Vi vil beregne vinklen mellem planen og linien. Når man vil beskrive en vinkel mellem en plan og en linie, er det altid den spidse vinkel! Fig. 6 n er planens normalvektor. r er liniens retningsvektor. v beregnes som vinklen mellem normalvektoren og retningsvektoren: n r v = cos n r

. Vektorer i rummet Vinkel v, hvor 0 0 v 90 0, mellem linien og planen beregnes da som: v= v 90 0 Hvis vinklen mellem normalvektoren og retningsvektoren er stump, beregnes vinklen som: v= v 90 0 EKSEMPEL 7. En linie, l er givet ved parameterfremstillingen: l : y = 4 + t 5 z 0 9 Retningsvektoren: En plan, α har ligningen: r = 5 9 Normalvektoren: α : 3 + 4 y 5 z + 9= 0. 3 n = 4 5 Vi beregner vinklen v mellem retningsvektoren og normalvektoren: n r 0 v = cos 04 8 n r =, Vi ser, at vinklen er stump. Derfor er den spidse vinkel mellem linien og planen: 0 v= v 90 0 0 0 v = 04, 8 90 = 4, 8

. Vektorer i rummet 37 AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN PLAN Fig. 7 På fig. 7 ses en planα. Uden for planen befinder sig et punkt: I planen har vi punktet: Desuden har vi normalvektoren: P= (, y, z) P0 = ( 0, y0, z0) a n = b c Vi vil opstille en ligning til beregning af den vinkelrette afstand, d, mellem punktet og planen. På fig. 8 kigger vi på kanten af den plan, der udspændes af vektorerne n og P 0 P. Det betyder, at vi ser vektorerne i sand størrelse: Fig. 8

. Vektorer i rummet Af figuren fås følgende sammenhænge: dist = P P cosv hvor: n P0 P cosv = n P0 P n P0 P n P0 P dist = P0 P = n P P n 0 0 Her er: a 0 n P0 P = b y y0 = a a + b y b y + c z c z = a + b y+ c 0 0 0 z+ d c z z 0 Afstanden, dist (distancen), kan nu skrives som: SÆTNING 7 Afstanden, dist, mellem et punkt: og en plan med ligningen: er givet som: P = (, y, z) a + b y+ c z+ d =0 a + b y+ c z+ d dist = a + b + c EKSEMPEL 8. Afstanden, dist, mellem et punkt: og en plan α med ligningen: P = ( 3,, 5) 4 + 7 y+ z+ = 0 beregnes: dist = 4 3+ 7 ( ) + 5+ 4 + 7 + = 85,

. Vektorer i rummet 39 AFSTANDEN MELLEM ET PUNKT OG EN LINIE På fig. 9 ses en linie, l i rummet og et punkt P= (, y, z) der ikke er sammenfaldende med linien. Fig. 9 Vektoren: r r = ry r z er retningsvektor for linien, og punktet P0 = ( 0, y0, z0)er et punkt på linien. Vi kan nu opstille en ligning til beregning af den vinkelrette afstand, dist mellem punktet og linien. Af figuren fås: dist = P0 P sin v Vi husker fra afsnittet om krydsproduktet at: r PO P sin v = r P P Vi indsætter: r PO P r P dist = P0 P = P O r P P r O O SÆTNING 8 Afstanden mellem et punkt: P = (, y, z)

. Vektorer i rummet og en linie med parameterfremstillingen: er givet ved: r 0 y = y + t r 0 y z z0 r r 0 ry y y0 r P P r O z z z0 dist = = r r + r + r z y z AFSTANDEN MELLEM TO LINIER Vi vil bestemme den korteste afstand mellem to linier i rummet. Det forudsættes, at linierne ikke er parallelle eller sammenfaldende. De skal være vindskæve. Se fig. 0. Fig. 0 Om linierne l og m gælder at: l: m: y = OP0 + t r l z y = OQ0 + s r m z Vi vil danne en plan, der indeholder linien l, således at linien m er parallel med planen. Det opnås ved at planens normalvektor findes som krydsproduktet mellem de to liniers retningsvektorer. Nu kan vi bruge teorien fra afstanden mellem punkt og plan, idet vi beregner afstanden fra planen til punktet Q 0 :

. Vektorer i rummet 4 SÆTNING 9 Afstanden dist mellem to linier l og m: l: l : y = OP 0 + t r l z m: y = OQ + s r 0 m z beregnes som: Hvor n= r r l m npq dist = 0 0 n Bemærk: Det er det samme udtryk der blev anvendt, ved udledningen af formlen til beregning af afstanden mellem et punkt og en plan. Da hed vektoren PP 0. Se side 38. EKSEMPEL 9. To linier: l: 0 y = 3 + t 5 z 4 0 hvor OP 0 = 3 4 m: 8 y = + s z 5 6 hvor OQ 0 = 5 Vi finder normalvektoren: 8 3 n = 5 = 0 6 38 Vektoren:

. Vektorer i rummet 0 0 = PQ 0 3 = 5 4 9 Afstanden mellem de to linier bliver nu: dist = n PQ 0 0 n = 3 0 38 9 3 + 0 + ( 38) = 604, PROJEKTION AF LINIE PÅ PLAN Vi har tidligere set, hvordan man kan projicere en vektor på en anden vektor. Her vises, hvordan man opstiller en parameterfremstilling for en linie projiceret på en plan. Se fig.. Fig. r er retningsvektor for linien l. n er normalvektor til planen α r n er projektionen af r på n er retningsvektor for projektionslinien, m. r m Det gælder at: rm = r rn r n rn = n n

. Vektorer i rummet 43 r n rm = r n n Projektionslinien går gennem skæringspunktet Ps = ( s, ys, zs) mellem linien og planen. Nu har vi: SÆTNING 0 Parameterfremstillingen, m, for projektionen af linien l på planen α er: s m: y = y t r s + m z zs hvor P = (, y, z ) er skæringspunktet mellem l ogα. s s s s r n r = r n m er retningsvektor for m. n n er normalvektor tilα. KUGLEN Fra plangeometrien har vi, at en cirkel med radius r og centrum C= (, y ) kan beskrives ved cirklens centrums-ligning: 0 0 ( 0 ) + ( 0 ) = y y r Fig.

. Vektorer i rummet Denne ligning kan umiddelbart udvides. På fig. ses en gennemskåret kugle med centrum C= ( 0, y0, z0) og radius r. Kuglens centrumsligning er da: SÆTNING Ved en kugle med centrum C = (, y, z ) og radius r, er den punktmængde der udgør kuglens overflade, beskrevet ved kuglens cen- 0 0 0 trumsligning: y y ( z z ) r ( ) + ( ) + = 0 0 0 hvor P = (, y, z)er et vilkårligt punkt på kuglen. TANGENTPLAN TIL EN KUGLE En plan der rører en kugle i ét punkt kaldes en tangentplan til kuglen. Se fig. 3. Fig. 3 Vi kan sammenligne med tangenten til en cirkel. På fig. 4 ses et snit gennem kuglen og planen. C= ( 0, y0, z0) er cirklens centrum og P= ( p, yp, zp) er tangentplanens røringspunkt. Fig. 4

. Vektorer i rummet 45 Vi har normalvektoren : a n = b = y c z p p p 0 y0 z0 Med udgangspunkt i planens ligning på normalform, får vi hvor: a + b y+ c z+ d=0 d= a p b yp c zp SÆTNING En plan der tangerer en kugle med centrum C = (, y, z ) i punktet 0 0 0 P = (, y, z ) har ligningen: p p p a + b y+ c z+ d =0 hvor: a= p b= y y p c = z z p 0 0 0 d = a b y c z p p p EKSEMPEL 0. En kugle har ligningen: Kuglens centrum: ( ) + ( ) + ( ) = y 4 z 3 6 C= (, y, z ) = (,, ) 0 0 0 43 Et punkt P= ( p, yp, zp) = ( 5, 9, 4, 44) er beliggende på kuglen idet: ( ) + ( ) + ( ) = 5 9 4 4, 44 3 6. Vi vil opstille en ligning for tangentplanen til kuglen i punkt P. Normalvektoren:

. Vektorer i rummet a n = b = y c z p p p 0 5 3 y0 = 9 4 = 5 z0 4, 44 3, 44 d= a p b yp c zp d = 3 5 5 9, 44 4, 44 = 66, 4 Tangentplanens ligning bliver: 3 + 5 y+, 44 z 66, 4 = 0 SKÆRINGSPUNKTERNE MELLEM EN LINIE OG EN KUGLE Vi kan godt opstille en generel formel til beregning af skæringspunkterne mellem en kugle og en linie. Formlen er temmelig omfattende, så vi vil nøjes med at illustrere princippet med et eksempel: EKSEMPEL. En kugle med radius, r = 5, har centrum i punkt C = ( 8,, 3 ). Kuglen kan derfor beskrives ved ligningen: ( ) + ( ) + + = 8 y ( z 3) 5 En linie, l, har parameterfremstillingen: l: 7 y = + t 3 z 4 8 Vi udskriver de tre retninger fra l: = 7 t y= + 3 t z= 4+ 8 t Udtrykkene for, y og z indsættes i kuglens ligning: ( ) + ( + ) + + + = t 8 4 3 t ( 7 8 t 3) 5 Udtrykket kan omskrives til en andengradsligning og løses. Vi kan

. Vektorer i rummet 47 også bruge CAS som giver: t= 0, 697 t= 0, 47 Værdierne for t indsættes i parameterfremstillingen for l: 7 OP = + 0, 697 3 4 8 6, 303 OP = 3, 09, 576 P = ( 63, 03, 3,09,, 576) På samme måde beregnes koordinaterne til det andet skæringspunkt. Vi får: P = ( 7, 47, 0, 8, 7, 46) SKÆRING MELLEM PLAN OG KUGLE Når en kugle skæres af en plan fremkommer en cirkulær snitflade. På fig. 5 er planen udeladt. Vi viser blot snittet i en hul kugle. Koordinaterne, til centrum i snitfladen, beregnes som koordinaterne til skæringspunktet, P s, mellem planen og linien l. Linien l går gennem cirklens og kuglens centrum og har planens normalvektor som retningsvektor. Radius r s i den cirkulære snitflade beregnes ved hjælp af en Pythagoras. Se fig. 5: r = r CP s s Fig. 5

. Vektorer i rummet EKSEMPEL. En kugle med ligningen: ( ) + ( ) + = 3 y ( z 4) 4 skæres af en plan, α, med ligningen: 5 4 y+ 3 z+ = 0 Vi danner parameterfremstillingen til en linie, m, som går gennem kuglens centrum og som har planens normalvektor som retningsvektor: 3 5 m: y = + t 4 z 4 3 I planligningen indsættes udtrykkene for, y og z i parameterfremstillingen for m: 5 ( 3+ 5 t) 4 ( 4 t) + 3 ( 4+ 3 t) + = 0 t = 04. t indsættes i m og vi stedvektoren, OP s til kuglens centrum i den cirkulære snitflade: Snitfladens radius: 3 5 09, y = + ( 04, ) 4 = 368, z 4 3 74, r = r CP s rs = 4 (( 3 0, 9) + ( 368. ) + ( 4, 74) = 68, r s s SKÆRING MELLEM PLAN OG CYLINDER Når en cylinder skæres af en plan, der hverken er parallel med cylinderens frembringer eller grundflade, fremkommer en ellipseformet snitflade. Fra fig. 6 får vi:

. Vektorer i rummet 49 Fig. 6 r er retningsvektor for cylinderens centerlinie (akse). n er normalvektor til planen. a betegner længden af ellipsens halve storakse. b betegner længden af ellipsens halve lilleakse. Ellipsens centrum findes som skæringspunktet mellem planen og den linie, der udgør cylinderens centerlinie. Lilleaksens længde er lig med cylinderens diameter: b= D Storaksens længde beregnes. Se fig. 7: Fig. 7 D a = cosv D D r n a = = r n r n r n

. Vektorer i rummet Storaksen er sammenfaldende med projektionslinien for cylinderens centerlinie på planen. EKSEMPEL 3. En cylinder har diameteren: D =, 5 Cylinderens akse, l, er givet ved parameterfremstillingen: l: 9 y = 0 + t 3 z 4 Retningsvektoren: r = 3 Cylinderen skæres af en plan, α, med ligningen: y+ z= 0 Normalvektoren: n = Vi indsætter udtrykkene for, y og z fra l i planligningen: ( 9 t) ( 0+ 3 t) 4+ t= 0 t = Nu er stedvektoren til ellipsens centrum, OP s 9 8 OP s = 0 + 3 = 3 4 3 givet som:

. Vektorer i rummet 5 Vi skal beregne længden af ellipsens storakse: a = D r n r n 5, ( ) + 3 + + ( ) + a = 3 = 305, Vi illustrerer, hvordan stedvektorerne til storaksens toppunkter beregnes: Enhedsvektoren til projektionsliniens retningsvektor findes. Ved at gange denne med længden af den halve storakse fås en vektor med en længde, der svarer til den halve storakse. r n r r n n m = Nu bliver enhedsvektoren:. 66 rm =. 367 63. 3 0, 607 r m er = = m 0, 366 rm 0, 705 Vi ganger med længden af den halve storakse: 0, 607 0, 96 a= a e rm =, 55 0, 366 = 0, 558 0, 705, 076 Stedvektoren til det ene toppunkt: 8 0, 96 8, 96 OA = OPs + a = 3 + 0, 558 = 3, 558 3, 076, 94

. Vektorer i rummet Stedvektoren til det andet toppunkt: 8 0, 96 7, 074 OA = OPs a = 3 0, 558 =, 44 3, 076 4, 076 Stedvektorerne til lilleaksens toppunkter kan beregnes på samme måde. Man udnytter, at retningsvektoren for lilleaksen står vinkelret på retningsvektoren for storaksen.

. Vektorer i rummet 53 OPGAVER OPGAVE Punkterne: A = ( 57,, ) og B = ( 348,, ). Idet OA og OB betegner stedvektorerne til punkt A og B ønskes: a) Koordinaterne til OA. b) Koordinaterne til OB. c) Beregn koordinaterne til vektor AB og til vektor BA. d) Beregn længden af vektor AB, AB. OPGAVE Vektorerne: a = 3 5 b 4 = 6 a) Beregn koordinaterne til enhedsvektoren, e a. b) Beregn koordinaterne til enhedsvektoren, e b. c) Beregn vinklen mellem a og b. I vektor a er a z = 5. Den skal ændres, så a og b står vinkelret på hinanden. d) Beregn den nye værdi af a z. OPGAVE 3 Vektorerne: 4 a = 6 b 5 = 7 9 Beregn projektionerne a og b. b a

. Vektorer i rummet OPGAVE 4 Om vinkelspidserne i trekant ABC gælder: A = ( 59,, ), B = ( 468,, ) og C = ( 50,, ) a) Beregn trekantens sidelængder a, b og c. samt vinklerne A, B og C. b) Beregn projektionen AB AC og længden ABAC. OPGAVE 5 En ret linie, l, i rummet er givet ved parameterfremstillingen: l: y = 4 + t 5 z 8 4 a) Angiv koordinaterne til en retningsvektor, r for linien. b) Angiv koordinaterne til et punkt på linien. Stedvektoren til et punkt A på linien beregnes ved at sætte t =. Stedvektoren til et punkt B på linien beregnes ved at sætte t = 4. c) Beregn koordinaterne til vektoren AB. d) Beregn afstanden mellem A og B. OPGAVE 6 I alle punkter i y-planen er z = 0. I linien l fra opgave 5 er z= 8+ 4 t. a) Beregn den værdi af t, der gør at z = 0. b) Beregn koordinaterne til liniens skæringspunkt med y-planen. c) Beregn koordinaterne til liniens skæringspunkter med z- og yz-planen.

. Vektorer i rummet 55 OPGAVE 7 Punkterne: A = ( 59,, ), B = ( 468,, ) tilhører linien m. a) Opstil en parameterfremstilling for linien m. 0,, er et punkt på m. b) Undersøg, om punktet C = ( ) Et punkt D= ( 4, y, z ) ligger på linien. D D c) Beregn koordinaterne y D og z D. OPGAVE 8 Linierne l og m er givet som: l: m: 7 y = 4 + s 3 z 5 0 y = + t 6 z 0 a) Undersøg, om linierne er vindskæve. b) Beregn vinklen mellem l og m. OPGAVE 9 En linie, m, i rummet er parallel med yz-planen. Linien går gennem punktet P 0 = (, 4, ). Linien danner en vinkel med y-planen på 54 0. a) Opstil en parameterfremstilling for linien.

. Vektorer i rummet OPGAVE 0 Fig. På fig. ses en antenne-mast. Masten er trebenet. De tre ben er afstivet med kryds-stivere. Koordinaterne til det ene bens endepunkter er givet som: P = (,, 0 ) og Q = ( 05,, 05,, 8) a) Opstil en parameterfremstilling for linien PQ. b) Beregn længden af benet PQ. Krydsafstivningen deler et ben i 6 lige store stykker, således der bliver 5 delepunkter. Se fig. Fig. c) Beregn længden af et disse stykker. d) Beregn koordinaterne til delepunkterne.

. Vektorer i rummet 57 OPGAVE ( ) = ( ) = Tre punkter A= 4,, 8, B 053,, ogc ( 67,, ) er beliggende i planenα. a) Angiv en parameterfremstilling for α. b) 3 Undersøg, om punktet Q = 0 er beliggende i planen. 70 OPGAVE Grundfladen i en ret pyramide, fig. 3, er et kvadrat med kantlængden s = 5 (meter) og højden h = 9 (meter). Pyramiden er placeret i et rumligt koordinatsystem med et hjørnepunkt i origo, således at en af grundfladens kanter er sammenfaldende med -aksen og hvor grundfladen er sammenfaldende med yplanen.. z y Fig. 3 a) Beregn koordinaterne til pyramidens spids. b) Opstil en parameterfremstilling for de planer, der udgør pyramidens skrå sider. OPGAVE 3 På fig. 4 ses et sommerhus. En terrasse er bygget ind i huset, således at man kan sidde i tørvejr. Loftet udgøres af en skrå trekant-formet flade mærket ABC hvor:

. Vektorer i rummet A = ( 00,, ), B = ( 03,, ) og C = ( 04,, 5, ) a) Opstil en parameterfremstilling for loftet. Punkt D= (, y, 0 ). B B b) Opstil en parameterfremstilling for væggen ABD. c) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinien, AB, mellem loftet og væggen. B D A C Fig. 4 OPGAVE 4 Bygningsværket ved Kunstmuseet Arken i Ishøj ved København, omfatter bl.a. nogle trekantede sejl. Se fig. 5. Fig. 5

. Vektorer i rummet 59 Et lignende sejl er monteret på 3 stålrør, hvis centerlinier udgår fra samme punkt, P = ( 0, 0, 0 ). Rørenes øvrige endepunkter er givet som: Q = ( 307,, ), Q = ( 35,, ) og Q 3 = ( 5,, 36, ). a) Find en parameterfremstilling for hver af rørenes centerlinier. b) Find en parameterfremstilling for den plan der udgør sejlet. c) Beregn længden af de 3 stålrør. d) Beregn koordinaterne til tyngdepunktet i den trekant, der har Q, Q og Q 3 som vinkelspidser. OPGAVE 5 En linie, m, med parameterfremstillingen: m: 0 y = 3 + u 5 z 8 9 skærer en plan α med parameterfremstillingen: α : 3 y = 7 + s 4 + t 5 z 3 0 9 Skæringspunktet betegnes P. a) Beregn koordinaterne til P. OPGAVE 6 To vektorer: a = 4 og b 6 = 0 0 0

. Vektorer i rummet a) Tegn stedvektorerne til a og b på et ternet papir eller i et tegneprogram. Beregn arealet af det parallelogram, vektorerne udspænder. b) Beregn krydsproduktet c= a b. c) Beregn længden af c. Sammenhold med arealet fra spørgsmål a). d) Vis, at a c =0 og at bc =0. Hvilken retning har c? OPGAVE 7 Om en plan, β, vides at normalvektoren: n = 3 4 Punktet P 0 = ( 57,, )er indeholdt i planen. a) Opstil en ligning på normalform for β. b) Q= (, 3, Q z ) er et punkt i planen β. Beregn z-koordinaten til Q. OPGAVE 8 En plan, α, har ligningen: + 4 y+ 3 z+ = 0 a) Beregn koordinaterne til følgende punkter: A= (, y, z) = ( 00,, A z ) B= (, y, z) = ( 0, B y, 0) C= (, y, z) = ( C, 00, ) b) Opstil en parameterfremstilling for planenα.

. Vektorer i rummet 6 OPGAVE 9 Ligningen for en plan på normalform er givet som: a) Vis at punkterne: d A= y z = (,, ), 00, a d B= (, y, z) = 0,, 0 b d C= (, y, z) = 00,, c er beliggende i planen. a + b y+ c z+ d=0 OPGAVE 0 En plan π har parameterfremstillingen: 0 5 y = 8 + s + t 4 z 3 0 a) Opstil en planligning på normalform for π. TIP: Normalvektoren findes ved at krydse de to vektorer der udspænder planen. OPGAVE En plan indeholder tre punkter: A = ( 4,, ), B = ( 37,, ) og C = ( 459,, ).. a) Opstil en ligning på normalform for planen. TIP: Normalvektoren n dannes ved at krydse vektorerne AB og AC.

. Vektorer i rummet OPGAVE Planen α er givet på normalform som: + 4 y+ 0 z 8 = 0 a) Undersøg om punktet Q = (, 7, 5) er beliggende i planen. b) Bestem koordinaterne til et punkt, i planen, som har z-værdien 9 TIP: Bestem f.eks. selv en y-værdi og løs planligningen med hensyn til. OPGAVE 3 To planer: α : 4 y+ 3 z = 0 β : + y+ 6 z+ 9= 0 a) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinien mellem α og β. b) Bestem vinklen mellem de to planer. OPGAVE 4 Der er givet tre planer: α :7 + 5 y+ 3 z = 0 β : + y+ 4 z+ 9= 0 π : 3 y+ z 0= 0 a) Beregn koordinaterne til skæringspunktet mellem de tre planer. TIP: Opstil parameterfremstillingen for skæringslinien mellem α og β. Beregn derpå denne linies skæring med planen π. b) Beregn vinklen mellem skæringslinien for α og β og planen π.

. Vektorer i rummet 63 OPGAVE 5 En plan har ligningen: 0 9 y+ 8, 5 z 34 = 0 a) Vis, at punktet P =,, 3 er beliggende i planen. En linie, l, går gennem P. Linien har retningsvektoren: r = 3 7 b) Beregn vinklen mellem linien og planen. En anden linie, m, går gennem punkterne A= ( 4,, 9) og B= ( 0,, 6). c) Beregn afstanden mellem linierne l og m. d) Beregn afstanden mellem punkt A og planen. OPGAVE 6 Ved projekteringen af maskinrummet på et nyt tankskib har man mistanke om, at to rør, p og q, vil komme i vejen for hinanden. Begge rør har diameteren: D = 300 mm. Røret p begynder ved en ferskvandskøler med koordinaterne ( 690,, ) (m) og slutter ved en tank i koordinaterne (, 4, 3 )(m). Røret q begynder ved en olieforvarmer med koordinaterne ( 3, 4, 8, 5 ) (m) og slutter ved en motor i koordinaterne ( 589,, )(m). Koordinaterne angiver centerlinie-punkter. a) Kan mistanken bekræftes? Begrund svaret med beregninger.