Bøjning i brudgrænsetilstanden Per Goltermann
Lektionens indhold 1. De grundlæggende antagelser/regler 2. Materialernes arbejdskurver 3. Bøjning: De forskellige stadier 4. Ren bøjning i simpelt tværsnit 5. Andre tværsnit og trykarmering 6. Bøjning med normalkraft (Generelt) 7. Bøjning med normalkraft (M-N diagram) Session B3 Session B4 Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 2
1.Grundliggende antagelser Plane tværsnit forbliver plane Spændinger i beton og i armering bestemmes ud fra deres arbejdskurver Beton revner, når trækspændingerne overstiger trækstyrken. (Lidt senere vælger vi at ignorere trækstyrken i brudgrænsetilstanden) Der bruges regningsmæssige dimensioner og styrker (γ) i brudgrænsetilstanden Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 3
2. Materialernes arbejdskurver De reelle arbejdskurver er meget ulineære og komplekse Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 4
Middel, karakteristiske og regningsmæssige kurver Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 5
Idealiserede arbejdskurver Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 6
Idealiserede arbejdskurver ηf cd (1 λ)ε cu3 ε cu3 Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 7
3.Bøjning: De forskellige stadier ε cu3 Lille last Brud last Voksende belastning indtil brud Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 8
Bøjning: De forskellige stadier ε cu3 Gælder for normalt armerede tværsnit (ikke for lidt og ikke for meget armering) Lille last Brud last Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 9
Bøjningsbrud (BYG.DTU) Moment Ved bøjning af normaltarmerede bjælker starter man i den stive, urevnede tilstand derefter revner bjælken og bliver slappere til sidst flyder armeringen og revner og deformationer vokser kraftigt Bjælkeforsøg på BYG.DTU Youtube: ConStruct2800Lyngby + Beam bending - near the failure load Armering flyder Tværsnit revner Krumning Betonkonstruktioner - Anvendelsestilstand (afsnit 4.2) 10
4.Ren bøjning, Rektangulært tværsnit uden trykarmering. Normaltarmerede og balancerede tværsnit A cp ηf cd kλx z ε cu3 ε s = ( d x) x k=0,5 i et tværsnit med rektangulær trykzone η=1 og λ=0,8 for f ck <50MPa Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 11
Formeludledning ε ε ε ω ω ω uk s yd und bal Vi antager normalarmeret tværsnit, dvs. flydning i armeringen og knusning i betonen og finder: σ s yd s s yd N = F F = 0 F = N + F = F c s c s s c cp cd cp = f F = A f F = A η f A N + F η f s s yd = = cd Rd s c Af η M = F z = F z z er afstand imellem tyngdepunkterne af trækarmeringen og den plastiske trykzone f cd Anbefalet E-Eksempel 1.5 Rektangulær trykzone: Så kan den mekaniske armeringsgrad indføres: Af ω s yd = η bd f cd Hvorefter vi finder at: µ = ω(1 kω) 2 M Rd = µ bd η fcd HUSK: Check at det er et normalarmeret tværsnit. Anbefalet E-Eksempel 1.6 Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 12
Brudtilstanden: Tøjningsvariationer og armeringsniveauer ε cu3 Underarmeret ε yd ε uk Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 13
Underarmeret tværsnit ε > ε ω < ω s uk und Grænsen til et underarmeret tværsnit er bestemt af trækbrud i armeringen, dvs. d x ε ε = ε = ε x= d ω = λ cu3 cu3 s cu3 uk und x εcu3+ εuk εcu3+ εuk Denne grænse afhænger af armeringstypens brudforlængelse. I det underarmerede tværsnit ignoreres al armeringen og der regnes på den uarmerede beton i den elastiske tilstand men dette tværsnit kan sjældent overføre større bøjende momenter og muligheden udnyttes derfor sjældent. ε Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 14
Balanceret tværsnit εs = εyd ω = ωbal ε cu3 Det balancerede tværsnit er det design hvor tøjningen varierer fra - ε cu3 (tryk) i oversiden af tværsnittet til ε y i trækarmeringen. x bal ε yd ε uk ε ε + ε cu3 = cu3 ε yd d cu3 ωbal = λ ε cu3 + ε yd Armeringsgrader under den balancerede armeringsgrad giver normaltarmeret tværsnit, mens højere armeringsgrader giver overarmerede tværsnit. Dette er dog under forudsætning af at der ligger tilstrækkelig minimumsarmering i til at undgå underarmeret tilstand. Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 15
Overarmeret tværsnit εs < εyd ω > ωbal Den overarmerede tilstand er ikke behandlet i lærebogen, men kan beregnes ved at sætte σ = E ε s s s hvorefter ligningerne løses mht x således at N=0 (der kan evt itereres) I det overarmerede tværsnit udnyttes armeringens styrke ikke og bruddet er normalt et uvarslet knusningsbrud i toppen. Overarmerede tværsnit undgås normalt eneste undtagelser er, 1) hvis det er nødvendigt af hensyn til nedbøjningerne og/eller 2) der bruges forspænding af armeringen eller 3) der er tale om et søjletværsnit Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 16
5.Andre tværsnit λx λx λx Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 17
6. Bøjning med normalkraft d sc A cp F sc A sc N = F + F F Rd c sc s = A ( x) η f + A σ Aσ cp cd sc sc s s M = F (0,5 h kλx) + Rd c A σ (0,5 h d ) + Aσ ( d 0,5 h) sc sc sc s s Tøjningerne i armeringen er d x x dsc εs = εcu3 og εsc = εcu3 x x Spændingerne i armeringen er derfor σ = min( f, E ε ) ogσ = min( f, E ε ) s yd s s sc yd s sc Brug iteration (Excel eller lommeregnerens spreadsheet funktion er MEGET velegnet til den slags). eller løs ligningerne (SVÆRT) eller lav M-N diagrammer Anbefalet E-Eksempel 2.1+2.2+2.3 Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 18
7.Bøjning med normalkraft, M-N diagram Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 19
M-N Diagram Anbefalet E-Eksempel 3.6 Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 20
M-N Diagram, punkt B 1, C 1 og D 1 Punkterne B 1, C 1 og D 1 beregnes ligesom punkterne B,C og D. I B, C og D er der positivt moment, som trykker i oversiden af bjælken. Trykarmeringen A sc ligger derfor øverst i tværsnittet, mens trækarmeringen A s ligger nederst i tværsnittet. A sc A s I B 1, C 1 og D 1 er der negativt moment, som trykker i undersiden af bjælken. Trykarmeringen A sc ligger derfor nederst i tværsnittet, mens trækarmeringen A s ligger øverst i tværsnittet. A s A sc Betonkonstruktioner - Bøjning i brudgrænsetilstanden (kapitel 4.3) 21