Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F er kraften, q og Q er ladninger af to partikler og r er de to partiklers forskydningsvektor. Vi vil helt konkret (forsøge at) eftervise, at F r 2, når ladningerne er konstante og endvidere eftervise at F Q, når r og q er konstante. 1.2 Fremgangsmåde Vi udførte to forsøg. I det første forsøg ladede vi to kugler, hvor den ene stod på en vægt. Vi ladede de to kugler ved at overføre ladninger fra en van de Graaff-generator til to transportkugler. Dernæst overførte vi halvdelen af deres ladninger til forsøgskuglerne og vi noterede ladninger af hver transportkugle. Herefter varierede vi afstanden mellem de opstillede kugler, og for hver afstand noterede vi den tilhørende vægt. Til sidst målte vi kuglernes ladning med et coulombmeter, så vi kunne sammenligne med startladningerne. I det andet forsøg opstillede vi to kugler med fast afstand. Herefter halverede vi ladningen på den øverste af de to kugler gentagne gange (ved at berøre denne med en uladet transportkugle) for så at notere vægten. 2 Databehandling 2.1 Sammenhængen mellem kraft og afstand På det følgende plot ses vores målinger af kraften F som funktion af afstanden r 1
0.01 (r,f) med logaritmiske akser (r,f) Regression (lille r) Regression (stor r) F / N 0.001 1e-04 0.01 0.1 1 r / m Figur 1 Darapunkterne til dette plot kan ses i appendix A. Hvis vores måleresultater stemte overens med coulombs lov ville en potensfunktion af typen F r α, hvor α = 2, fitte vores resultater perfekt. Dette er dog ikke tilfældet. For små værdier af r kan man ud fra vores logaritmiske plot se, at α ikke er den samme som for større værdier af r. Vi har derfor på figur 1 fittet to funktioner af typen F = br a både for r < 0,8 og for r > 0,8. Vi har afbildet dem som henholdsvis blå og sort på figuren. Da vi kun medtog r som var mindre end 0.8 fandt vi følgende bedste potensfunktion (denne funktion er den blå på figur 1): Og for r > 0,8 fik vi a = 1,30 ± 0,03 (2,4%) b = 3,77 10 5 ± 0,3462 10 5 (8,9%) a = 1,92 ± 0,03 (1,6%) b = 8,01 10 6 ± 0,56 10 6 (7,0%) Umiddelbart undrer det os, at sammenhængen mellem r og F ændrer sig, når afstanden forstørres. På den følgende figur ses fittet for r > 0,8 samt vores målepunkter: 2
0.0025 (r,f) (r,f) Regression 0.002 0.0015 F / N 0.001 0.0005 0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 r / m Figur 2 At F r 1,92±0,03 afviger ikke meget fra Coulombs lov, så når afstanden mellem kuglerne bliver større end 0, 08 m stemmer vores forsøg nogenlunde overens med coulombs lov. For r < 0, 08 m får vi dog resultater, som afviger markant fra coulombs lov. Vi vil diskutere dette i et senere afsnit. 2.1.1 Udregning af ladningsprodukt For at få et prej om præcisionen, målte vi ladningerne på kuglerne før og efter udførelsen af de enkelte forsøg. Herefter kunne vi udregne ladningsproduktet, som så gerne skulle stemme overens med den værdi, vi får gennem vores plots. Kuglernes ladning blev målt til henholdsvis q 1 = 32 nc, Q 1 = 34 nc, q 2 = 30 nc og Q 2 = 32 nc, hvor indekserne angiver, om ladningerne blev målt før (1) eller efter (2). Alle har en usikkerhed på 0, 5 nc. Ladningsprodukterne P målt,i bliver derfor P målt,1 = q 1 Q 1 = 10,9 10 16 ± 0,233 10 16 C 2 P målt,2 = q 2 Q 2 = 9,60 10 16 ± 0,219 10 16 C 2 Ladningsproduktet P plot,i bestemt ud fra det tilsvarende plot kan herefter beregnes. Eftersom vi fittede med en funtion F = br a, får man jf. Coulombs lov, at b = qq 4πε 0. Man får endeligt: P plot,1 = qq = b 4πε 0 = 41,2 10 16 ± 3,85 10 16 C 2 P plot,2 = qq = b 4πε 0 = 8,91 10 16 ± 0,623 10 16 C 2 3
Ovenstående indekser angiver hvilken koefficient b fra figur 1, der bruges. Det ses tydeligt, at det første ladningsprodukt P plot,1 afviger meget fra det målte P målt,1. Dette omtales yderligere i diskussionen. 2.2 Sammenhængen mellem kraft og ladning På figur 3 ses målepunkter fra forsøget, hvor vi målte kraften ved forskellige ladninger (Q) af den ene kugle (den anden kugles ladning var konstant): 0.0014 (Q,F) (Q,F) Regression 0.0012 0.001 F / N 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Q / nc Figur 3 Datapunkterne til dette forsøg kan ses i appendix B. Den lineære regression på plottet er givet ved F = a Q + b a = 3,19 10 5 ± 0,30 10 5 N/nC (9,8%) b = 4,09 10 5 ± 7,40 10 5 N (181%) På plottet kan vi se, at vi har undervurderet vores måleusikkerheder markant. At vi er kommet til at gøre dette skyldes, at kuglerne har afgivet ladninger til omgivelserne under forsøget. 3 Diskussion Den første store afvigelse ses på figur 1, hvor målepunkterne i starten afviger fra den nævnte potenslov. 4
Som man kan se i afsnit 2.1.1 er P plot,1 ca. fire gange så stor som P målt,1, hvilket er meget svært at forklare, da P målt,1 er beregnet på baggrund af de ladninger, der blev målt på transportkuglerne ved forsøgets start, mens P plot,1, som beskrevet, skulle være gennemsnittet af ladningsproduktet i den første del af forsøget og som derfor, logisk set, burde være mindre end P målt,1. Det er da også værdien af P plot,1, der umiddelbart springer i øjnene, idet den afviger betydeligt fra de andre. Det virker derfor sandsynligt, at første del af forsøget har været påvirket af nogle store fejlkilder. På figur 1 ses også et tydeligt knæk på linjerne, som eventuelt kunne skyldes, at kuglerne har mistet ladning under forsøget, hvilket de jo gjorde. Det kunne også skyldes, at kuglernes ladning ikke er uniformt fordelt på overfladen grundet de to kuglers vekselvirkning. I det andet forsøg var fejlkilderne store, hvilket også ses på plot 3. Med lidt god vilje kan man godt få en lineær sammenhæng, men for at man for alvor kan fastslå denne hypotese kræves der nok flere målepunkter. 4 Konklusion På baggrund af forsøget er det nu vist, at F r 2 ved fastholdelse af ladningerne og med lidt god vilje også at F Q ved afstand og den ene ladning konstant. Vi har således eftervist Coulombs lov empirisk. 5
A Data til forsøg med variabel afstand I den første kolonne ses afstanden mellem kuglerne i centimeter. I den anden kolonne ses antallet af gram som vægten viste. I tredje og fjerde kolonne ses usikkerhederne for henholdsvis afstanden og vægten: r/cm F/g δr/cm δf/g 5,2 0,183 0,1 0,001 5,7 0,165 0,1 0,001 6,2 0,145 0,1 0,001 6,7 0,133 0,1 0,001 7,3 0,119 0,1 0,001 7,9 0,105 0,1 0,001 9,2 0,080 0,1 0,001 10,1 0,067 0,1 0,001 11,0 0,057 0,1 0,001 12,1 0,048 0,1 0,001 13,2 0,040 0,1 0,001 14,8 0,033 0,1 0,001 18,4 0,020 0,1 0,001 Tabel 1: Forsøg 1 B Data til forsøg med variabel ladning Første kolonne viser ladningen i nanocoulomb og anden kolonne viser kraften i gram. Tredje og fjerde kolonne er viser usikkerhederne: Q/nC F/g δq/nc δf/g 29 0,077 0,5 0,001 12 0,031 0,5 0,001 40 0,121 0,5 0,001 17 0,060 0,5 0,001 11 0,022 0,5 0,001 38 0,128 0,5 0,001 19 0,068 0,5 0,001 10 0,031 0,5 0,001 Tabel 2: Forsøg 2 6