Lisakonstruktsioonid geomeetrias 1. Tsentraalpunkt Väga sageli piisab geomeetriaülesannete lahendamisel lisakonstruktsioonist, kus tuuakse sisse üksainus sobivalt valitud punkt, mis jagab joonise teatud mõttes eraldiseisvateks osadeks. See punkt tuleb valida nii, et ta seoks võimalikult hästi ülesande andmeid (nurgad vajaliku suurusega, lõigud võrdse pikkusega, lõikude pikkuste suhe õige vms). Tihti asub see punkt mingil lõigul ning tema sissetoomisega jaguneb joonis kaheks sarnaseks osaks, mida saab analüüsida teineteisest enam-vähem sõltumatult. Näide 1. (esti 2002) Ruudu külgedel ja valitakse vastavalt punktid ja nii, et =. Leia nurga suurus. Tõmbame punktist lõigule ristlõigu aluspunktiga G (joonisel on lisakonstruktsioonid tähistatud punasega). Täisnurksed kolmnurgad G ja on kongruentsed, sest neil on ühine hüpotenuus ning üks paar võrdse suurusega teravnurki. Järelikult G = = ning täisnurksed kolmnurgad G ja on samuti kongruentsed. Nurk on seega parajasti kaks korda väiksem kui nurk ehk 45. G Näide 2. (alti tee 1999) Kolmnurga nurkade ja poolitajad lõikavad külgi ja vastavalt punktides ja. Leia nurga suurus, kui + =. Valime küljel sellise punkti, et = ja =. t sirge on võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja, siis on ta alusega 1
risti. Sellest järeldub, et =. naloogiliselt leiame =. Kolmnurk on seega võrdkülgne ja = 60. Nüüd on + = 120, + = 120 ning + = 120, millest = 60. Näide 3. (alti tee 2001) On antud rööpkülik. unkti läbiv ringjoon lõikab lõike, ja vastavalt nende sisepunktides M, K ja N. Tõesta, et M + N = K. Valime lõigul punkti X nii, et X = MK. Siis on kolmnurk X sarnane kolmnurgaga MK, mistõttu : X = K : M. Kolmnurk X on sarnane kolmnurgaga N K, järelikult : X = K : N. rvestades, et =, saame nüüd M + N = K X + K X = K. N K X M Näide 4. (alti tee 1999) Kolmnurgas on = 60 ja <. unkt asub küljel ja rahuldab tingimust =. Külge pikendatakse punktini, nii et =. Tõesta, et =. Valime küljel punkti nii, et =. Kolmnurk on võrdhaarne tipunurgaga 60, st võrdkülgne. Kolmnurgad ja on kong- 2
Lisakonstruktsioonid geomeetrias ruentsed, sest = = 120, samuti = ja =. Järelikult =. 2. Joonise sümmetriseerimine Teine lisakonstruktsioonide võte on joonise täiendamine nii, et esialgse joonise kõik või mõned elemendid kuuluksid suurema ja sümmeetrilisema joonise koosseisu. Näiteks kui joonisel esineb täisnurkne kolmnurk, siis võime püüda seda täiendada ristkülikuks või ruuduks, samuti pikendada sirgeid ja lõike nii, et mingist punktist või sirgest teisel pool tekiks olemasolevaga analoogiline pilt. Samuti võime sisse tuua uusi lõike, et kuskile tekitada mujal juba esinev nurk, sarnased kolmnurgad vms. Näide 5. Tõesta, et kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Joonistame läbi kolmnurga tippude sirged, mis on paralleelsed vastaskülgedega. Kolmnurgad, ja on kõik kongruentsed kolmnurgaga. Järelikult on kolmnurga tipud kolmnurga külgede keskpunktid ning kolmnurga kõrgused kolmnurga külgede keskristsirged. Viimased aga lõikuvad ühes punktis, kolmnurga ümberringjoone keskpunktis. 3
Näide 6. (esti 1993) Rööpküliku tipud,,, ühendatakse vastavalt külgede,, ja keskpunktidega. Niiviisi tekkinud lõigud lõikuvad omavahel punktides K, L, M, N. Leia nelinurkade ja K LM N pindalade suhe. Rööpkülikut koos sirgetega võime vaadelda osana kogu tasandit katvast lõikuvate joonte süsteemist, kui kopeerida joonist lõpmatult igas suunas. Lihtne on näha, et kujundite K, L, M, N ja K LM N pindalad võrduvad kõik ühe väikese rööpküliku pindalaga. Seega S K LM N : S = 1 : 5. R N S M K Q L Näide 7. (alti tee 2000) Olgu võrdhaarne kolmnurk, kus =90. Olgu M lõigu keskpunkt. Lõigule M läbi punkti tõmmatud ristsirge lõikab külge punktis. Tõesta, et M = M. Täiendame kolmnurga ruuduks K. Olgu N sirge lõikepunkt ruudu küljega K. Kolmnurgad M ja N on kongruentsed (saadavad üksteisest 90 pöördega). Seega on N lõigu K keskpunkt ning samuti M = N. Kolmnurgad N ja M on kongruentsed, sest N = M ning nende nurkade lähisküljed on vastavalt võrdsed. Seega N = M. 4
Lisakonstruktsioonid geomeetrias K N M Näide 8. (alti tee 1998) Olgu teravnurkne kolmnurk ning punktist küljele tõmmatud ristlõigu aluspunkt. unkt asub lõigul ja rahuldab võrdust =. Olgu punktist lõigule tõmmatud ristlõigu aluspunkt. Tõesta, et = 90. Täiendame kolmnurga ristkülikuks. Võrdustest = = saame, et täisnurksed kolmnurgad ja on sarnased ehk sirge läbib punkti. t = 90, siis asub punkt ristküliku ümberringjoonel. Järelikult = = 90. Näide 9. (esti 2001) Kolmnurga külgedel, ja võetakse vastavalt punktid, ja nii, et lõikudel, ja on ühine punkt O. 5
Tõesta, et O O = +. Tõmbame läbi punkti sirgega paralleelse sirge. Olgu L ja M vastavalt sirgete O ja O lõikepunktid selle sirgega. t kolmnurgad L ja on sarnased, siis : = L :. Samuti on sarnased kolmnurgad M ja, mistõttu : = M :. Järelikult + = L + M = ML. Kasutades homoteetiat punkti O suhtes, näeme, et kolmnurkade O ja OLM lineaarsed elemendid on võrdelised, seega M ML = O O. L O äris tihti osutub kasulikuks kolmnurga nurga poolitaja pikendamine kolmnurga ümberringjoone keskpunktini. Näide 10. Kolmnurgas olgu tipust tõmmatud nurgapoolitaja lõikepunkt küljega. Tõesta nurgapoolitaja omadus: : = :. Tõestatavat võrdust saab kirjutada ümber kujul : = :. Olgu nurgapoolitaja pikenduse lõikepunkt kolmnurga ümberringjoonega. Siis kaared ja on võrdsed, nii et =. Lisaks saame piirdenurkade võrdsusest, et kolmnurgad ja on sarnased, mistõttu : = :. Samuti on kolmnurgad ja sarnased, mistõttu : = :. Kokkuvõttes saamegi 6 = = =.
Lisakonstruktsioonid geomeetrias Märgime veel, et antud lisakonstruktsioooni puhul lõikub kolmnurga ümberringjoonega punktis ka külje keskristsirge, mis läbib omakorda ka ümberringjoone keskpunkti. 3. Joonise elementide ümberpaigutamine Lisakonstruktsioone võib ette võtta ka eesmärgiga viia joonisel eraldiasuvad elemendid kokku, näiteks tuua eraldiseisvad lõigud kokku või moodustada nendest kolmnurk. Nurki saab viia tipuga samasse punkti. Igasugusel ümberpaigutamisel tuleb alati silmas pidada ülesande lõppsihti, uus joonis peab olemasolevat informatsiooni mingis mõttes paremini ära kasutama. Näide 11. Trapetsi diagonaalide pikkused on 3 ja 5 ning aluste keskpunkte ühendava lõigu pikkus 2. Leia trapetsi pindala. Olgu vaadeldav trapets. Viime diagonaali paralleellükkega punktist lähtuvaks lõiguks G. Kolmnurga G pindala võrdub trapetsi pindalaga. Samamoodi viime trapetsi aluste keskpunkte ühendava lõigu punktist lähtuvaks lõiguks H. Lõik H osutub siis kolmnurga G mediaaniks. Seega kui pikendame lõiku H tema pikkuse võrra punktini I, saame rööpküliku GI, mille pindala on kaks korda suurem trapetsi pindalast. ool sellest rööpkülikust on kolmnurk GI külgedega 3, 4, 5. Järelikult on trapetsi pindala võrdne selle kolmnurga pindalaga ehk 6. H G Näide 12. (IMO eelvalik 1998) Olgu kumer kuusnurk, milles + + = 360 ja = 1. Tõesta, et = 1. I 7
Valime punkti nii, et ta asuks väljaspool nurga sisepiirkonda ning kolmnurgad ja oleksid sarnased. Siis on ka kolmnurgad ja sarnased, sest = ning = = =. t = ja : = :, siis on kolmnurgad ja sarnased, millest saame : = :. naloogiliselt on kolmnurgad ja sarnased, mistõttu : = :. Järelikult = = 1. Näide 13. (IMO 2001) Olgu teravnurkne kolmnurk ümberringjoone keskpunktiga O ning olgu tipust tõmmatud kõrguse aluspunkt küljel. On teada, et + 30. Tõesta, et + O < 90. Olgu sirge O lõikepunkt kolmnurga ümberringjoonega. Siis ilmselt = 90. nt = + = +. Seega tuleb meil tõestada, et > O ehk O >. Valime kolmnurga ümberringjoonel punkti nii, et. Olgu Y külje keskpunkt ja Z külje keskpunkt. t = = 30, siis O = 2 60. See tähendab, et r, kus r on ringjoone raadius. Järelikult O > Y = Z r /2, seevastu aga O = Y Y <r Y r /2. 8
Lisakonstruktsioonid geomeetrias Z O O Y 4. rvutusteks vajalikud abielemendid Kui ülesandeks on leida mingi arvuline väärtus (näiteks pikkuste või pindalade suhe), siis võib proovida sisse tuua mingi abielemendi, millest nö kinni hakata. Tihtipeale seostub see lõikude ümberpaigutamisega, et näiteks kanda mõnda pikkust ühest kohast teise või ära kasutada ülesandes antud infot lõikude pikkuste kohta. Näide 14. Kolmnurgas tõmmatakse tipust nurgapoolitaja. On teada, et + =a ja =b. Leia. Valime küljel pikendusel punkti nii, et = ning küljel punkti nii, et =. Tõestame, et kolmnurgad ja on sarnased. Tõepoolest, tähistades kolmnurga nurgad tähtedega α, β ja γ, saame = π α 2 = π α 2 β 2 = π+γ 2 ning = π = π π γ = π+γ 2, 2 samuti ilmselt =. Seega : = :. t = a ja =b, siis = ab. Märkus. Selle ideega saab avaldada kolmnurga nurgapoolitaja pikkuse nurgapoolitaja lähiskülgede pikkuste ja vastasküljel tekkivate osalõikude pikkuste kaudu. Nimelt d 2 = ( + )( )= = +( ). 9
Viimastes sulgudes olev avaldis on null, sest nurgapoolitaja omaduse põhjal : = :. 5. Lisaülesanded 71 72 73 74 Tõesta eva teoreem. Kolmnurga külgedel, ja võetakse vastavalt puntkid, ja. Tõesta, et kui sirged, ja lõikuvad ühes punktis, siis = 1 Märkus. Teoreem kehtib ka vastupidises suunas. Tõesta tolemaiose teoreem. Kui on kõõlnelinurk, siis = +. Märkus. Teoreem kehtib ka vastupidises suunas. (alti Tee 2016) Olgu selline kumer nelinurk, et =. Olgu T selline punkt diagonaalil, et T + T =. Tõesta, et T + +. (IMO 2009) Olgu kolmnurk, kus =. Nurkade ja poolitajad lõikavad külgi ja vastavalt punktides ja. Olgu K kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Oletame, et K = 45. Leia kõik võimalused, milline saab olla. 10