Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE
Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK PLANGEOMETRI... 9 9 FUNKTIONER... 0 0 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER... TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER......................... DIFFERENTIALREGNING... INTEGRALREGNING........................................ 5 4 VEKTORER I PLANET... 9 5 VEKTORER I RUMMET... 6 VEKTOR FUNKTIONER... 4 7 Differentialligninger... 5
TAL OG ALGEBRA FACITLISTE (rettet februar 0) TAL OG ALGEBRA - - a) b) -a - b 4 a) 0a b) 4d - 6c c) e + 9f 5 a) 0 b) -548 c) -07 6 a) 7ab - 9b b) 4a a c) - - a + d - ad 7 a) 4a + 9b b) 75c + 49d c) -0e - 66f -58ef 8 a) a) 4 9 a) a) 9 b) 8a + 9b 6 b) 4 5y c) d+ 7c 5 y c) c) - 7 6y 0 a) 0,04 b) 0,04 c) -0,04 d) 0,008 e) 0,008 f) -0,008 a) 4 b) 0 c) -54 - a),640 m b) 6.40 cm c).64.000 mm 4-5 4 5 a) a 4 b) b c) c d) ( +) e) ( +) f) ( + ) - 6 a) -99,75 b) c) 78,0 7 8 mm 8 = 4 mm 9 b = 8 mm 0 0,4 m LIGNINGER OG ULIGHEDER a) G = { R 0} b) G = { R } c) G = { R } d) G = { R > 0} e) G = { R > } f) G = { R < } a) G = R: = 8 b) G = R: = 0 c) G = R: = 4 5 a) - b) =- 4 a) G = R: = 5 b) G ={ R }: = 6 c) G ={ R }: = 8 5 a) G = R: = b) G: - 6, 7 : = 7 6 b = 60 mm c) G: {0,}: = - 7 R = 4,6 ohm 8 t = 0, C 9 n = 59 omdr/minut p d L i 0 a) v = 000 t s 000 t v s b) d = p L i p d L i c) s = 000 t v
Teknisk matematik Facitliste a) m = z a + z b) z a - mz = m c) z a - mz = m 9 kg, 08 kg 55, 56, 57, 58 4 0 5-6 98,8 kr. 7 7,08 % 8 5,4 % 9 a) B = 0,8 C =, D =,6 b) E =,4 F =,98 G =,4 40 a) G = R: = 5 og y = b) G = R: = og y = c) G = R: =, og y = 6 4 a) G: {-,} og y {-,-}: = 4 og y = b) G = R: = og y = 0 c) G: 0 og y 0: = 0, og y = 0,5 4 45, 5 4 4, 78 44 5, 0 45 a) G = R: = -, y =, z = 0 b) G = R: = 6, y = 4, z = c) G:,5, y {-5,}, z R: = -,5, y =-,69, z =-5,769 46 a) = 0 eller =,5 b) = 0 eller =, c) = 0 eller = 5, 47 a) = ± 0 b) = ± 8 c) = ± 48 a) G = R: = - eller = -0,667 b) G = R: = 0, c) G = R: ingen løsning 49 a) G: {-,}, = 4, eller = -,455 b) G: 0, = - eller = 0,667 c) G: {-5,7 ; -4 ; 0,7}, = -,645 eller =,646 50 = 5 og y = eller = og y = 5 5 = 6 5 = og y = 7 eller = 7 og y = 5 a) G = R, = ± eller = ± b) G = R, = ± 0,9540 c) G = R, =,94 eller =,50 54 a) G = R, = og y =- eller =-0, og y =,4 b) G = R, =,5 og y = -5,5 eller = -0, og y =,7 c) G = R, = og y = 6 eller = 8 og y = 55 a) G: -, = 4 b) G:, = 4 c) G: -, = 4 4 56 a) G: 0,75, = 7 b) G:, = 4 7 c) G:,5 ; = 7 eller = 57 a) G = R: = eller = 4 b) G = R: = - c) G: : = -0,6 eller =,96 eller =,055 58 a) > 5,5 b) <- c) 5 59 a) 5 b)
GEOMETRI c) 60 a) b) 5 c) 6 a) L = ],6 ; [ b) L = [ -8,5 ; [ c) L = ]6 ; [ 6 a) L = ] -5 ; [ b) L = [ -5 ; -,5[ c) L = ] - ; -[ eller ] -,5 ; [ 6 Stigning = 5,8 m 64 a) Fald =,9 promille b) = 5,5 = 5,74 4 = 6, 5 = 6,5 c) a = 5,65 b = 5,895 c = 6,75 4a = 6,4 4b = 6,69 4c = 6,97 6a = 7,0 6b = 7,490 6c = 7,770 65 H = 8 cm, L = 4 cm 66 a) 4 + 6y = 78 og 0 + 8y = 78 b) = cm og y = 6 cm c) Areal = 4 cm, Areal = 5 cm GEOMETRI 67 a) 65, 55 b) 4, 4 c) 8, 98 d) -, 70 68 lille viser: 0,5 /minut store viser: 6 /minut 69 a) 90 b) 50 c) 50 70 0 7 40 7 A = 67,5, B = 6,5, C = 50 7-75 - 76 a) A og C b) Modstående side er c, hosliggende sider er a og b 77 7,45 cm 78,9 m,,9 m,,58 m 79 8,8 cm 80 5, 8 67 8,5, 67,5 8 4, 44, 84-9 - 9 a) 45,04 b) 84,5 c) 9,54 9 a) 45 emner b) 49,5% c) emner d) 69,95% 4 TRIGONOMETRI 94-95 - 96 a) - b) - c) - d) = 7,47 y = 8,68 z = 67,8 97 a) B = 4,7 a =,90 cm b =,60 cm
4 Teknisk matematik Facitliste b) A = 4,7 a = 6,4 cm c =,95 cm c) A = 5,6 B = 6,4 a = 5,5 cm 98 a) B = 5,84 C = 6,6 b =,85 cm b) C= 6,6 a = 7,6 cm c = 5,66 cm c) A = 8,6 C = 6,9 b =,5 cm 99 a) m a = 6,08 cm b) v B = 4,5 cm c) h c =,8 cm 00 a) m s = cm b) v T =,9 cm c) h s =, cm 0 a) v = 6,64 v = 6,6 b) v = 8,4 v = 4,57 c) v = 60,96 v = 9,04 0-0 a) B = 4, C = 67,8 c = 6,9 cm b) C = 96, c = 8,4 cm b =,47 cm c) Løsning I: B = 4,9 A = 5,8 a = 6,48 cm Løsning II: B = 6, A =,6 a =,88 cm 04-05 - 06 a) A = 70,9 B = 49, c = 9,7 cm b) B = 6, C =,8 a = 9,0 cm c) A = 49, B = 6, C = 68,5 07 a) B = 7,0 C = 4,9 a = 4,46 cm c =,8 cm b) Løsning I: A = 08,9 C = 9,5 b = 4,77 cm c =,54 cm Løsning II: A =,08 C = 7, b =,55 cm c = 6,80 cm c) A =,8 C = 88,7 a = 4,5 cm b = 6,57 cm c = 7,74 cm 08 a) Areal = 0,9 m b) Areal = 4,8 cm c) Areal = 9,6 cm R = 5,6 cm r = cm 09 AD = CD = 4,9 cm A = 4,4 B = 8,0 C= 6,7 Areal = 0,8 cm 0,4 m v = 9,5 = 0,9 mm s = 4 mm 4 a =,8 mm b = 6,5 mm 5 94,7 cm 6 a =,55 mm 7 a =,0 m b =,84 m c =,9 m 8 a =,40 m b = 4,50 m 9 L = 90,55 mm 0 d = 5 mm h = 46 mm d = 4,64 cm : 4 5 6 7 8 9 0 80 8, 58 4,89 0 95,9,6 79,9 68,,9 y 08 0 46, 86 69,89 76,94 9,94 04,65 60,94 49, 4 R = 64 N a = 7,6 5 Areal = 465,9 mm 6 a =, mm a = 7,8 mm b = 5 mm b =,8 mm
5 CIRKLEN 5 7 d = 80 mm 8 a = 96,67 mm 5 CIRKLEN 9 b = 4,9 cm 0 v = 56,8 Areal = 0,69 cm R = 9,8 cm 6% 4 Areal = 6,8 cm 5 v = 46, 6 Areal = 0,89 m 7 Areal = 0,8 cm 8 a) h = 0,68 cm b) Areal =,4 cm Areal =,6 cm 9 84 mm 40 L = 89 mm 4 L = 09 mm 4 a = 6,5 4 Areal = 7,7 mm 44 Areal = 6,6 cm 45 Areal = 676 mm 46 Areal = 4,9 m 47 Areal = 885,6 cm 48 Areal = 549,4 mm 49 Areal = mm 50 Areal = 474,45 m 5 L = 6,84 m 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER 5 645, cm 0,645 m 5 9,84 m 54 9,4 m 55 Ved rækkeevne 4 m /liter: 0 liter spand Ved rækkeevne 6 m /liter: 5 liter spand 56 a) - b) 77,5 c) 59,86 cm d) 57 a) - b) h = 5,9 cm c) 69,9 d) 6,4 cm e) 58 a) - b) 57,69 c) 578,77 mm d) - 59 a) a = 5,6 cm b =,8 cm c = 6,8 cm b) 89,9% 60 a),66 cm b) v = 09, k = 6,64 cm 6 a) 96,5 cm b) s =, cm s = 8, cm v = 6,0 k = 6,9 cm 6 76,5 mm 6 d = 6,67 cm 64 R = 8,0 cm 65 a) Grundfladekant =, cm Sidekant = 8,94 cm b) v = 5,7 c) v = 6,57 d) 84,6 cm 66 0,54 cm
6 Teknisk matematik Facitliste 67 y Punkt y 0 0,00 0,00 5,4,4 0,47 5,00 5,7 40,00 4 0,94 45,00 5 6,7 48,66 6,4 50,00 65 5 0 0 4 5 6 π. 0 = 6,8 68 Punkt y y 69 0 0,00 5,00 7,85 5,8 5,7 8,,56, 4,4 4, 5 9,6 6,59 6 47, 7,4 6,4 0 4 5 6 π. 0 = 94,4 Punkt y y 0 0,00,84 5,6 7,9 04,7, 57,08 9,4 4 09,44 70,7 5 6,80 55,55 6 4,6 50,00 7 0,00 55,68 8 5,6 5,8 9 04,7 56,9 0 57,08 557,0 09,44 577,8 6,80 59,97 4,6 598,5 748,5 7 0 8 0 9 4 5 6 π. 00 = 68,
6 OVERFLADER UDFOLDNINGER 7 70 Punkt y 0 0,00 50 5,6 6,40 04,7 00,00 57,08 50,00 4 09,44 00,00 5 6,80 6,40 6 4,6 50,00 0 y 4 5 6 π. 00 = 68, 7 Punkt y 0 0,00 50 9,7 50, 78,54 54,76 7,8 70,0 4 57,08 00,78 5 96,5 46,0 6 5,6 00,00 7 a) y = 0,5m b) 605,9 m 7 a) 785,98 m b) 798,9 mm 74 9,5 liter 75 a) m b) Cirkelringsudsnit: R =, m r = 0,8 m v = 54,87 k =,79 m 76 a) 6,7 m b) 4,04 m 77 Del - Cirkeludsnit Centervinkel = 54,55 Radius = 69,7 Korde = 70,09 Del - Rektangel Bredde = 47, mm Højde = 00 mm Del - Cirkelringudsnit Store radius = 50 mm Lille radius = 5 mm Centervinkel = 6 Korde = 475,5 mm Del 4 - Rektangel Bredde = 94,48 mm Højde = 400 mm
8 Teknisk matematik Facitliste Del 5 - Tilslutningsstykke Punkt y 0 0,00 8,0 5,6 7,5 04,7 08,58 57,08 00,00 4 09,44 08,58 5 6,80 7,5 6 4,6 8,0 0 y 4 5 6 π. 00 = 68, Del 6 - Cirkelringudsnit Store radius = 9,64 mm Lille radius = 608,4 mm Centervinkel = 59,7 Korde = 90,7 mm Del 7 - Bøjning Punkt y Punkt 0 0,00 9,5 4 0,00 57,70 5,6 6,68 5 5,6 54,50 04,7 09,40 6 04,7 507, 57,08 99,46 7 57,08 497,0 4 09,44 89,5 8 09,44 487, 5 6,80 8, 9 6,80 480,05 6 4,6 79,56 0 4,6 477,8 7 0,00 78,47 0,00 676,9 8 5,6 8,4 5,6 678,96 9 04,7 88,4 04,7 686,4 0 57,08 98,8 4 57,08 696, 09,44 08, 5 09,44 706, 6,80 5,59 6 6,80 7,4 4,6 8,6 7 4,6 76,08 y 795,64 y 4 5 6 7 4 5 6 78 9 0 8 9 0 7 0 4 5 6 π. 00 = 68, 7 RUMFANG 78 90.000 liter 79 V = 7 cm A = 54 cm 80,47 cm 8 8 m 8 68 kg 8 a),7 cm b) 678 cm 84 a) 050 liter b) 50 liter
8 ANALYTISK PLANGEOMETRI 9 85 75 kg 86 a) cm b) 6 cm 87 a) 5 cm b) 79 cm 88 a) 86,9 cm b) 7,5 cm 89 a),76 cm b) 49 cm c) 44 cm 90 a) 4,5 cm b) 76 cm c) 0 9 469 m 9 a) 75, cm b) 70,8 cm 9 5,05% 94 a) A = 5, b) V = 56,55 95 a) A = 74,9 b) V = 669,79 96 a) 7.500.000 m b) 00.000.000 m 97 5 timer 5 minutter sekunder 98 a) V = 8,654 liter b) 0,89 m c) = mm y = 600 mm z = 050 mm 99 0.088 liter 00 a) 9,80 kg b),46 kg c),08 kg 8 ANALYTISK PLANGEOMETRI 0 AB =,7 AC = 0,0 BC = 7,6 0 a) ingen løsning b) = c) = 8 eller = -4 0 y = 8,7 eller y = -4,7 04 a) m AB (,5 ;,5) m AC (,5 ; 0) m BC (- ;,5) 04 b) m a = 8,0 m b = 7,4 m c = 6,04 05 a) Areal = 78 b) Areal = 59 c) Areal = 559 06 a) Areal = b) A = 85,60 B = 77,0 C = 7,9 07 a) Areal = 4 b) A = 94,76 B = 7,90 C = 0,4 D = 90 08 Areal = 0,5 09 a) - b) A(4,) B(7 ;,5) C(7,) c) A = 6,57 B = 6,4 C = 90 d) Areal =,5 0 a) - b) A(0,0) B(-5,0) C(-5,-4) D(-,-4) c) A = 9,9 B = 6,57 C = 90 D = 04,04 d) Areal = 4 a) (, 5) b) (,0) c) (-0,7 ;,0) a) - b) A(,) B(6,) C(6, -) D(4, -) c) Areal = 0 v = 4,78 4 v = 66,89 5 A = 8,4 B = 45 C = 6,57 6 a) y = 0,5 - b) y = + 6 c) y = -0,5 + 9 7 a) y = 0,9 -,4 b) y = 0, c) y = 0,89 +,05 8 Linjerne er parallelle 9 y = - + 7 0 y = 0,7 + y = -0,84 - y = -0,86 + 7,9 Linjerne står ikke vinkelret på hinanden 4 y = -,5 + 0,5 5 h a : y = - 4 h b : y = -0, - h c : y = -,5 6 a) y = -,5 + 4 b) Areal = 5 7 a) ( ;,5) b) R = 5,5
0 Teknisk matematik Facitliste 8 a) (4,6 ;,) b) r =, 9 (4,9 ; 5,) 0 a) A(,7) B(7, -) C(0,) b) A = 6,86 B = 5,4 C = 90 c) y = - + 9 d) y = -,08 + 9,5 e) y = -0,5 + 8 a) r = (a,b) = (0,0) b) r = (a,b) = (,-) c) Ligningen fremstiller ikke en cirkel - a) y = -4,46 y =,46 b) (-6,87 ; 0) (0,87 ; 0) (0 ; -,65) (0 ;,65) 4 a) y = 0,9 y = -0,7 b) v = 58,0 5 ( - ) + (y + ) =,6 6 a) - b) B(7,96 ; -,40) C(,0 ; -6,55) c) Areal = 5,5 7 a) - b) - c) Kl..0 d) Station E e) - f) Kl..9 8 a) - b) - c) - d) Lys I: 8 78 sek. Lys II: 74 4 sek. Lys III: 6 sek. Lys IV: 74 4 sek. e) 55 km/time 46 km/time 9 a) ( - 90,65) + (y + 500) = 500 b) A(-94,5 ; -79) B(90,65 ; 0) c) 8,08 m 40 a) R = 7,5 m b) + (y + 5,5) = 7,5 c) Stængerne nummereres fra venstre: stang = 40 m, stang =,0 m, stang = 6,50 m, stang 4 =,8 m, stang 5 = 0,69 m, stang 6 = 0 m, stang 7= 0,69 m, stang 8 =,8 m, stang 9 = 6,50 m, stang 0 =,0 m, stang = 40 m, stang = 5,8 m 9 FUNKTIONER 4 a) nej b) ja 4 a) Dm(f) = [-4 ; 4[, Dm(g) = ]- ; 4] b) Vm(f) = [- ; ], Vm(g) = [- ; [ c) f(-) =, f() =, g(-) = -, g() = 4 a) Dm(f) = R, Vm(f) = R, f() = 4 b) Dm() f = { R }, Vm( f) = { y R y 0}, f( ) = 05, c) Dm(f) = R, Vm(f) = [- ; [, f() = d) Dm() f = { R }, Vm( f) = ]- ; - ] og] 0; [, f( ) = e) Dm(f) = R, Vm(f) = [ ; [, f() = 5 f) Dm(f) = R, Vm(f) = ] 0 ; ], f() = 0, 44 a) f er aftagende i ]-5 ; -] og [ ; 5], f er voksende i [- ; ] b) Lokalt Ma (,), Lokalt Min (- ; -) c) g er voksende i [-5 ; -] og [ ; 4[, g er aftagende i [- ; ] d) Lokalt Ma (- ; ), Lokalt Min ( ; -) 45 a) f er aftagende i ]- ; ], f er voksende i [ ; [ b) g er aftagende i ]- ; -] og [0 ; ], f er voksende i [- ; 0] og [ ; [ c) h er voksende i ]- ; -] og [ ; [, h er aftagende i [- ; ] 46 a) A(,), B(6,7), C(6, -) b) v c : f() = -6,65 + 4 c) m b : f() =,4 5,4 d) h a : f() = -0,5 +,5 47 a) lige b) lige c) ulige
0 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER d) ulige 48 a) ulige b) Hverken lige eller ulige c) lige d) ulige 49 a) (0, -4) b) (4,0) c) (4, -) d) (0,8) e) (-8,0) f) (-8,) 50 f() = 0,89( + 4) + 5 5 f() = -0,944( + 4) + 5 5 : a) = -,40, (-,40 ; 0,5) b) (0 ; 8,9) c) (-5,9 ; 0), (, ; 0) : a) = 4, (4, -) b) (0 ; 45) c) (,0), (5,0) : a) =, ( ;,5) b) (0 ; 0,5) c) (-,5 ; 0), (,5 ; 0) 5 a) f() =,78 + 6, - 5 b) (-4,05 ; -,0), (0,8 ;,4) 54 a) f() = + + b) f() = 5 + 7 55 (-, ; -8,4), (, ; 0,4) 56 a) L = [-, ; 0,] b) L = ]-,5 ; 0,5[ c) L = ] ; 4[ d) L = R 57 05, + 4 for -8 f ( ){ - 05, - 4 for <- 8 - + for i] - ; ] og [, [ 58 a) f ( ) = 8 6 -( - 8 + ) for i ];[ 6 b) =,48 eller = 6,77 eller =,87 eller = 4,88 59 (a o b)() = - 0,5 +,5, (b o a)() = -0,5 + 4 60 ( cod)( ) =, Dm( cod) { R }, ( doc)( ), Dm( doc) { R = = + 0 - = } 6 a) f - () = 0,5 0,5 b) Dm(f - ) = { R - < 0 } - 6 a) f ( ) = + b) Dm(f - ) = { R - < } 6 : (-, ; 0), (,4 ; 0) : (-, ; 0), (0,9 ; 0), (4,94 ; 0) : (- ; 0), (- ; 0), (, 0), (, 0 ) 64 a) = 0 cm b) V = 40.000 cm 65 = 00 m, y = 6,67 m 66 a = 4 m, b =,5 m 67 Stængerne nummereres fra venstre = 5,00 m, =,48 m, = 0,5 m, 4 = 9, m, 5 = 8,8 m, 6 = 8,00 m, 7 = 8,8 m, 8 = 9, m, 9 = 0,5 m, 0 =,48 m, = 5,00 m, = 8,08 m, =,7 m 68 a) 4 m b) 8,7 sek. c) 0 m d) 5 sek. 0 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER 69 a) =,9 b) = 0,9 c) =,079 d) = -,604 eller =,604 e) =,69 f) = -,9000 eller =,9000 70 Beregningen giver L - = 99,9 db, hvilket må anses for rimeligt i forhold til den målte værdi 7 L A,eq = 88,6 db(a) < L = 90 db(a) 7 a) f() = 5, 0,4 b) f() = 5 c) f() =,5 4 d) f() = 75, 0,658 7-74 a) f() = 6 0,5 b) T ½ =
Teknisk matematik Facitliste 75 f() = 4,0 0,8409 76 a) K = 5075 kr. K 5 = 586,4 kr. K 0 = 580,70 kr. b) K = 55 kr. K 5 = 5657,04 kr. K 0 = 6400,4 kr. c) K = 500 kr. K 5 = 608,6 kr. K 0 = 740, kr. 77 K = 690,98 kr. 78 a) : lineær : eksponentiel : parabel b) : f() =, + 4,5 : f() = 4,98 0,906 : f() = 0,05 79 a) f() =,5 0,447 g() = 8,5-0,684 b) (,98 ; 4,58) 80 = 99,6 m 8 a) 9804,87 kg b) 0,07 timer c) T ½ = 4, d) t = 7 timer 8 a) K = 69,9 b) Processen forløber 9,69 gange hurtigere 8 a) a = 56, K = 0,055 b) T = 0, C c) t = 6,88 min TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER 84 a) 57,0 b) 4,46 c),80 d) 4,4 85 a) 0,9460 b),70 c) 4,480 d) 5,968 86 a) =,0759 eller =,0657 b) = 5,9575 eller =,467 87 a) = 0,475 eller = 5,8557 b) =,809 eller = 4,480 88 a) =,89 eller = 4,55 b) = 5,777 eller =,6 89 a) L = [0 ;,760[ eller ]5,6888 ; p] b) L = [0 ; 0,808] eller [,78 ; p] c) L = [0 ; 0,04[ eller ],940 ;,849] eller [5,5756 ; p] 90 a) L = [,746 ;,9086] b) L = [0 ;,070[ eller ]5,0 ; p] c) L = ],694 ;,65] eller [4,80 ; 4,97[ 9 a) L = [,5 ; 0,5p[ eller [4,669 ;,5p[ b) L = ]0,5p ;,56[ eller ],5p ; 5,4978[ c) L = [0,974 ; 0,95[ eller [,90 ; 4,0567[ 9 a) = 0,466 + p n eller =,07 + p n p p b) = 0, 8 + n eller = 0, 556 + n 9 a) =,5708 + p n eller =,665 + p n eller = 4,74 + p n eller = 5,7596 + p n b) = p n eller = 0,77 + p n eller = 5,5605 + p n 94 a) = 0,664 + p n eller =,775 + p n eller =,79 + p n eller = 5,6909 + p n b) =,5687 + p n eller = 5,856 + p n 95 a) =,4 + p n b) =,89 + p n 96 a) T = sek. b) t = 0,5 sek. c) t =,5 sek. 97 a) T =,4 sek. b) t =,9 sek. c) t =,86 sek. 98 a) T =,09 sek. b) t =,57 sek. c) t = 0,5 sek. 99 a) I(0) =, ampere b) I() =,8 ampere c) I ma = 4,4 ampere I min = - ampere d) t =,5 sek. e) t= 7,5 sek. 00 a),55 liter b) h = 9, cm
DIFFERENTIALREGNING 0 a) - b) f(t) = 0,80 sin(0,50 t) +,5 c),6 meter d) 6,6 timer 0 a) f() = 5 sin(0,04-0,5p) + 55 b) - DIFFERENTIALREGNING 0 f () = 04 f () = 8 05 a) f () = 0,5 b) f () = 0,5 c) y = 0,5-0,5 d) y = - +,5 06 a) f () = 6 b) y = - 07 a) f () = - - b) f (0,5) = -4 f () = - f () = -0,5 c) f (-0,5) = -4 f (-) = - f (-) = -0,5 08 a) f () = 0,5-0,5 b) f (0,5) = 0,707 f () = 0,5 f () = 0,5 09 f er diskontinuert i = 0 f er diskontinuert i = a) f er kontinuert i = 0 b) f er ikke differentiabel i = 0 a) f er diskontinuert i = b) f er ikke differentiabel i = a) f () = -8 7 b) f () = c) f () = 5 d) f () =4,5 9 e) - f ( ) = f) =- - 4 f ( ) g) f () = - - h) f () = 4-5 4 a) f () = 5 + 6 - b) f () = ( + )( - ) - ( 4 + - ) + 8 + c) f ( ) = ( + ) 5 a) (, -4) b) t : y = 4-0 t : y = -4 + 4 6 Areal =,67 7 y = + 8 y = - 4 8 y = 5-4 9 t : y = -,46-0,6 t : y = 5,46-7,84 0 y = 0, + 6,78 f() = 0,5 a) Lokalt ma i (-,67 ; 8,48), Lokalt min i (, -) b) - a) f ( ) = - b) Lokalt ma i (0,0), Lokalt min i ( 4 ; -0,67) c) - NB! Opgaverne 4, 5 og 6 hedder i bogen 69, 70 og 7 4 a) f () = cos b) (,57 ; ), (4,7 ; ), (7,85 ; ), ( ; ) 5 a) f () = - sin b) (0,), (p ; -), (p ; ), (p ; -), (4p ; ) 6 a) f ( ) = cos - sin + (cos ) b) y = + c) y = + 0,844 7 a) f () = 0 (7 + ) 4 b) f () = 4 ( + 4-9 ) (8-7 ) c) f () = -5 (5 - ) -4 d) f () =,5 ( - ) -,5 8 a) f () = cos() b) f () = 6 sin() cos() c) f () = 8 cos() d) f () = - (sin ()) - cos () 9 a) f () = 8 cos( - ) sin( - ) b) f () = 8 (sin ()) cos () c) = - 5, ( f - ( ) + ) + d) f () = - 5 ( - ),5
4 Teknisk matematik Facitliste 0 a) v(t) = 0-9,8t b) t =,08 sek c) s = 8,09 m d) a(t) = -9,8 m/sek a) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen: (,0), (0,4) Minimum i (,0) Monotoniforhold: f er aftagende i ]- ; ] f er voksende i [ ; [ Vm(f) = [0 ; [ b) Skæringspunkter med - og y-aksen: (0,666 ; 0), (,4754 ; 0), (0, -) Lokalt ma i (,57 ; ) og (4,7 ; -), Lokalt min i (,67 ; -,5) og (5,80 ; -,5) Monotoniforhold: f er voksende i [0 ;,57], [,67 ; 4,7] og [5,80 ; p] f er aftagende i [,57 ;,67] og [4,7 ; 5,80] Vm(f) = [-,5 ; ] c) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen(-,6 ; 0), (0,0), (5,6 ; 0) Lokalt min i (-0,6 ; -0,97), lokalt ma i (,8 ;,7) Monotoniforhold: f er voksende i [-0,6 ;,8] f er aftagende i ]- ; -0,6] og [,8 ; [ Vm(f) = R d) Dm(f) =[- ; ] Skæringspunkter med - og y-aksen: (-,0), (,0), (0,) Maksimum i (0,) Monotoniforhold: f er voksende i [- ; 0] f er aftagende i [0 ; ] Vm(f) = [0;] e) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen: (0,0), (,59 ; 0) Minimum i ( ; -0,75) Monotoniforhold: f er aftagende i ]- ; ] f er voksende i [ ; [ Vm(f) = [-0,75 ; [ a) = 0 m og y = 40 m b) Areal 8.800 m a) Bredde = Højde = 0,6 m b) Areal =,57 cm 4 a) Bredde = 8,66 cm og højde =,5 cm b) W = 6,5 cm 5 a) a =,4 m og b = 0,7 m b) Areal =,75 m 6 a) a =,4 m og b =,4 m b) Areal = 7,96 m 7 AD = DC = 6, mm 8 a) = 6,49 m og y = 5,98 m 9 a) Cylinder: d =,7 m, h = 0,86 m. Kegle: d =, m, h =,56 m. Kasse: =,587 m, h = 0,794 m b) Cylinder: Areal = 6,97 m. Kegle: A = 6,64 m. Kasse: Areal = 7,56 m Keglen, da arealet er det mindste. 40 a) AP = 6 km b) Pris = 49 millioner kr. 4 z = 96,97 4 Skorstenen kan ikke komme om hjørnet, da den mindst mulige længde er 44,6 m. 4 v = 80,4 44 a) Centrum (,4) og radius r = 5 b) -
INTEGRALREGNING 5 6 c) f = - ( ) y + 8 d) y =, + 8, 45 a) - b) f ( ) = y c) y = 0,5 + 0,75 y = -0,5-0,75 46 a) - b) - c) f ( ) = 5y 47 Vandstanden > 4 meter 48 Kloakrøret ligger, meter under terræn og overholder kravet på 0,9 meter. 49 a) = 886,75 mm b) u = 5,97 mm 50 a) Afstanden CR = 5,87 km b) 7,9 km 5 Bebyggelsen overholder kravet, da den mindste afstand er,6 meter. 5 a) dy d = - y - 5 y 4 5 5 y + b) y = - + 5 4 5 a) + (y + 4495) = 45000 INTEGRALREGNING 54 a) 6 c) 5 6 6 6 5-4 + k b) - + k 4 + k d) 5 4 4 5 + k 55 a) - cos + k b) - ln cos + k c) sin + k d) cos sin + k 4 4 56 a) F( )= + k b) F( )= + 6 57 a) 0,5 b) 0,5 c) 0 58 a) 0,47 b),8856 c),5 d) 0,657 59 a) b) 60 A = 8 6 A = 6 A = 8 6 a) - b) A = 8, 64 A = 0,8 65 a) - b) A = 66 a) - b) 0,466 67 A = 0,5 68 A = 4
6 Teknisk matematik Facitliste NB! 69, 70, 7 er facit til opgaverne side 480-8, ikke opgaverne side 48-9; de hedder 4, 5 og 6. 69 A = 49, 70 A = 74,67 7 A = 7 a) f() = 0,08 + b) A =, 7 A =,604 74 A = 8,86 75 A = 60, 76 A = 0,5 77 A = 57,75 78 A = 64,67 79 a) - b) (,047 ; 0,866) c) A =,5 80 a) 0,69 b) 0,69 c),0986 8 a) y = + b) y = e 8 a) 4,045,40 b) f () =,0,40 c) Y = 5,99 -,97 8 a) f ( ) = - b) y = - c) y = -,5 +,69 84 a) y = + b) y = 4,778-7,89 5 85 a) f = - 5ln ( ) b) Maks: (,78;,89) c) - 4e - 4e 86 a) f ( ) = e b) Maks: (;,47) c) - 87 a) f () = e - e - b) Min: (0, ;,890) c) - 88 a) 5 4 - + + k ln 5 b) e + + k ln c) log - + 4+ k ln0 d) In + In + k e) 6,89 f),49 g) 7,8 h) 0,54 89 a) ( 0 + ) 5 + k
INTEGRALREGNING 7 - b) - ( + 4) + k 9 c) ( + ) + k d) ( + ) + k 90 a) b) + 4 k ( ) + ( + ) + k 4 c) - ( - ) 6 + k 6 d) 9 a) ln( + )+ k 6 sin k ( )+ b) - cos( 4 6)+ k 4 + c) e 5 + k d) 4+ 5 + k 4ln 5 9 a) cos + sin + k b) - cos( )+ ( )+ sin 4 k c) d) ln - 4 + k e 4 e - + k 9 a) b) A = 0,866 94 a) b) A =,49 95 a) b) A =,6585 96 a) b) V = 0,4488 97 a) b) V = 944,6
8 Teknisk matematik Facitliste 98 V = π r h 99 a) b) V =,0 400 a) b) V = 4 π r r 40 a) y =- h + r b) V = π r h r R 40 a) y = - + R h b) V = π hr + r + R r ( ) 40 a) b) A = 4,5 c) V = 9,7 404 a) b) A = 0,67 c) V =,5 405 a) A = 0,989 b) V = 4,89 406 a) V = 7,76 b) V y = 0,59 407 a) V = 5, cm b) V y = 0, cm c) h =,9 cm h y =,9 cm 408 a) V = 8,46 b) V y = 7,66 409 L = 4,95 40 L = 6,096 4 a),5 In 4 4 0,5 e 0,5 b) y =,0794 + 5 c) Min: ( 0,6 ; 4,68) 4 a) b) A =,9 c) L =,05 4 a) b) A = 4,70 c) L =,04 44 a) V = 690, m 45 a) V = 44,8 cm b) h = 4,068 cm c) V = 6,4 cm 46 a) R = 89,9 m
4 VEKTORER I PLANET 9 b) + (y + 6,9) = 89,9 c) dy d - = y + 77, 85 d) v =,04 e) V = 809674 m 47 y =,5 meter 48 V = 490,6 m 49 V = 0.500 m 40 V = 8 cm 4 V = 5. cm 4 VEKTORER I PLANET 4 a) - b)ab = 4 CD EF = = 7 6 5 c) AB = 7, CD = 5, 0 EF = 76, 4 a) a = 58, b) (7,-) 44 a) b = 447, b) (5,) 45 a) a = 9, b = 5, 8 c = 806, b) v a =,5 v b = 59,04 v c = 9,74 46 (5,0 ; 4,68) 47 (-,48 ; -8,65) 48 a) a = 6, b) (6,5) - c) -5, d) 05 80 e) (0 ; -0,5) 49 e + f = 9, 40 p + q = 7, 4 a) - 5 - d) 0 4 4 a) 6 4 c = 0 c 4 = 0, 77 b) - 4 e) 05, - b) 6,08 44 F = 94, F N = 8, 9 8, 07 45 a)ab = ac 74, =,, 00 0 b) a =, a = 0, 54 0, 49 46 a) -0, 67 b c c) 6 - f) 0, 5 b) 0,8 c) 0,
0 Teknisk matematik Facitliste - 47 a) 0, 4 99, b) 4,8 c) 5,68 48 a),6 b) 6,96 49 a) 5,7 b) 9,60 99, 440 a) -5, b) 0,5 c) 0,9 44 a) 7 9 6 :, b) 806 8 :, c) - 44 e= 08, 055, 44 e= 088, 048, : 6, 444 a) 095, b) - 045, -0, -089, 4 445 a) : 4, b) - :,4 c) : 4,4 5 d) - : 5,0 e), 5 :,59 446 a) -9 b) 9 c) 9 447 a),5 b) -,5 c) -5 448 a) 7, b),7 c) 6,4 449 a) 0 b) ± 6 c) 0 450 a) C = 90 b) A = 6,4 B = 6,57 45 Firkant ABCD er et rektangel 45 Vektorerne står vinkelret på hinanden - 45 a) b) -7 8 c) -5 6-454 (8, ) 455 (0,0), (4,-), (4,5) 456 Løsning : C(6,), D(7,-). Løsning : C(-6,), D(-5,-5) 6 457 a) : 7, b) -8 : 8 c) - 4 0 5 d) 5 5 e) f) 5-5 5 g) 0 h) 95,9 458 a) Areal = og T(,67 ;,67) b) Areal =,5 og T(-,67 ;,67) c) Areal = 9 og T(,) 459 a),5 b),5 c) 5,5 d) 0,50 460 077, 5, :,9 46 a) - 4 b),68 c),79
5 VEKTORER I RUMMET 46 6,64 46 a) 4,4 kn b) 7,68 kn c) 5 kn d) 48,0 kn 464 a) 4,4 kn b) 9,94 (i forhold til G) 465 a) - b) s = 4,0 kn, s =,56 kn 466 a) z = 4,6 b) v = 6,5 km/time 5 VEKTORER I RUMMET 5 467 a) AB = 5 b) AB = 768, 468 a) AB = 45, AC = 4, BC = 59, b) A = 07,5 c) Areal = 4,8 d) M B C = ( ; ;,5) e) m BC = 06, 469 a) T( ;,5 ; 4) A(,0,0) B(,,0) C(0,,0) D(0,0,0) b) s = 4,9 470 a) A(,0,0) B( ;,5 ; 0) C(,5,0) D(,5 ; ; ) E(,5 ;,5 ; ) F(,5 ; 4 ; ) b) AD =, 5m AE = 4,8m BE =,5m AE = CE = 4,8 m AD = CF =,5m 47 a) b) ) a y = ) a yz = 4 ) a z = 4) a =,6 5) a y = 5 6) a z = 4,47 47 a) fremstiller en kugle med centrum (, 6, ) og radius r = 7 b) fremstiller en kugle med centrum (8,5,0) og radius r = c) fremstiller en kugle med centrum ( 4,7,9) og radius r = 47 a) a+b= 8 a+ b = 4 b) (,, ) 94, 6 474 a) p+ q+ r = 0 p+ q+ r =, 5 0 b) p q r= p q r =, 6 5 7 c) p+ 4q r= 6 p+ 4q r = 7,9 4
Teknisk matematik Facitliste 0, 84 475 a) e a = 0, 5 0, 768 476 a) v = 4,9 477 a) t = 8 478 a) A = 8, B = 40,70 C =,08 479 a er parallel med b, da,5a = b 480 a) t = b) t =-4 48 a) b a = 576, b) a b =, 6 t 48 -aksen: 0 0 0 0 y-aksen: t z- aksen: 0 0 t 48 a) t + y = t - 4t eller + y = --4t z - 4+ 9t z 5+ 9t b) Skæring med y-plan: (,89 ; 0, ; 0) Skæring med z-plan: ( ; 0 ; 0,5) Skæring med yz-plan: (0 ; 4 ; 8,5) 484 A, B og C ligger på en ret linje, da AC = AB 485 a) Linjerne har ikke et skæringspunkt. b) Linjerne er vindskæve. 486 a) Linjerne har et skæringspunkt. b) Skæringspunktet er (,5,4). 487 a) Linjerne har ikke et skæringspunkt. b) Linjerne er vindskæve. 488 a) v = 96,49 4 b) a b= 7 6 489 Areal = 7 54 490 a) a b= 69 60 b) Areal = 06,9 49 a) y = -5 + s 5 + t 6 z 4-5 4
5 VEKTORER I RUMMET b) 0 + y 9z +5 = 0 49 a) Punktet (5,,4) ligger i planet b) 5 y = -5 + s -, - + t - z 4-0, 49-4 49 a) 9 + 7y + z 98 = 0 494 a) z = 0 b) ATB: + z = 0 ATD: y + z = 0 CTB: y z = 0 CTD: z = 0 495 BCGKF: y = 0 ADHJE: y = 4 ABFE: = 8 CDHG: = 0 ABCD: z = 0 EFKJ: + 4z 6 = 0 KJHG: + 4z = 0 496 5 y + z 7 = 0 497 a) t 0+ y = + 4t z 84 + 7t b) v = 5,04 498 a) v = 68 499 a) (,y,z) = (0,8,) b) v = 8,76 500 a) t + 4 y = 4-t z -t b) (,y,z) = (, ; 5,56 ; 5,) c) v= 4 50 a) v =,40 b) v = 85,6 50 e = 5,5 50 e = 4,04 504 e = 5, 505 e = 9,5 506 a) Planerne er parallelle, da n = n b) e = 0,4 507 a) e =,84 b) + y + z = 0 c) (6,5 ; 0 ; 0) (0,,0) (0,0,) 508 a) A(6,0,) B(6,0,) C(0,0,) D(0,0,) E(,7,4) F(,,4) b) AE = 469, c) + z 8 = 0 d) z + 6 = 0 e) v = 67,8 509 a) ( ;,5 ; 0,5) b) ( 4) + (y ) + (z + ) = 5,6
4 Teknisk matematik Facitliste 6 VEKTOR FUNKTIONER 50 a) - b) (0,) (0,5) c) t 0 0,5-4,5 y,5 4 6,5 d) - e) mindste afstand:,4 5 a) y = + b) y = + - 5 c) y = 5 sin(cos - (0,5)) t 5 a) r()= t + 4t t 5 t + t t b) r()= t 4 t 5 a) t y = - 4 + 5 + t b) t eller y = 7 + + 5t c) t y = - + cos 0 - + t sin 0 54 a) t y = + cos 5 + sin t b) t y = + 5 cos + 5 sin t 55 a) (-,) b) storakse = 8 lilleakse = 6 c) mindste afstand =,7 56 a) - b) v()= t 5 0t + 5 c) (,5 ; 5,5) d) (70,5 ; 0) e) 5,4 m/sekund 57 a) - t b) v()= t c) (,y) = (4,) t y = - 6 + - + 5t
7 Differentialligninger 5 58 a) - b) v()= t 0t + c) (0,4 ; 7,), t 59 a) r() t = t 0, t 0 008 b) (0,4 ; 0,6) c) -, t cos( t) 50 a) r() t = 05 + sin( t) b) - c) (0,94 ; ) (,77 ; -) (,96 ; ) (,750 ; -) d) (,06 ; 0,50) (-,0 ; 0,50) (,586 ; 0,50) (0,4 ; 0,50) e) (,77 ; -) (,750 ; -) f) højeste fart = 4,5 m/sekund 5 a) - b) Omkreds = 6,7 5 a) - b) (0,0) (,0) (-,0) c) (0,707 ; ) (0,707 ; -) (-0,707 ; ) (-0,707 ; -) d) (,0) (-,0) 5 a) - b) (0,) (0 ; 4,67) c) (p,6) (p,) (p,6) d) (-0,685 ; ) (6,968 ; ) (5,598 ; ) e) fart =,89 m/sekund 54 a) - b) (0,) c) ( 0,58 ;,7) (0,58 ;,64) d) (0,9 ;,4) (-0, ; 0,59) (-0,57 ;,4) (0,6 ; 0,59) e) (0,77 ;,4) cos( t) cos( t) 55 a) r() t = + 5 sin( t) + sin( 5t) b) - c) (0,) (0, ) (4,0) (,7 ; 0) (,7; 0) ( 4,0) d) (,7 ; ) (0,) (-,7 ; ) (-,7 ; -) (0,-) (,7 ; -) 7 Differentialligninger 56 a) y = 0,³ + + k b) y = 0,³ + 5,67 57 a) y = 0,5 4 + k b) y = 0,5 4 +,5 58 a) v = t² 6t + 6 b) a = t 6 c) 59 a) v = t³ t +
6 Teknisk matematik Facitliste b) s = 0,5t 4,5t² + t 50 a) 0,065 4 + 0,67³,5² + + k b) y = ³ + ² + k c) y =,³ + 6² 4 + k ( -) d) y = 9 + k 5 a) y = 0,5 ln(² + 4) + k b) y = 0,5 ln(² + 4) 0,4979 5 a) y = ³ + k b) y = ³ + 4 5 a) y = ² + k + k b) y = ² + 54 a) y = 0,08 4 + k + k b) y = 0,08 4 +,5 55 a) y = ± c e 0,5 b) y = e 0,5 y = e 0,5 y = 0,6065 e 0,5 y =, e 0,5 56 a) y = 0- + k b) y = 0- + 5 57 a) y = + k b) y = 58 a) y = ± c e b) y = 0,4979 e c) y = 0 0 59 a) y = c e 0,5 b) y = 0,6065 e 0,5 y =, e 0,5 540 a) y = ± c e + b) y = e + 54 a) y = 0,5² +,5k² + 0,5k b) y = 0,5² +,5 +,5 54 a) y = 0,5² + 0,5k² + 0,5k + b) y = 0,5² + 5, 54 a) y = + k e - 5, b) y = + 0, 048 e 544 a) y = + ke -8 b) y = + e -8 -
7 Differentialligninger 7 y = + e -8 y = + 9 - e 8 545 y = 0,67³ + 0,5² - 546 y = In e + k ( ) 547 y = ( 05, - 548 y = 6,9988 e -0,05 549 a) y = F L F - EI 6 EI b) = 00, y = 0, = 00, y =,5 = 00, y =,65 = 400, y = 4,9 = 500, y = 6,7 = 600, y = 8,47 c) 80000 550 a) y = - + 99 e 0, 475 b) =, y = 5 =, y = 86 = 4, y = 00 = 5, y = 06 c) I uge nr. vil halvdelen af befolkningen være smittet.