DOCUMENTA BIOCHIMICA ET BIOPHYSICA

DOCUMENTA BIOCHIMICA ET BIOPHYSICA Formler - Fysiske konstanter - Talstørrelser 4. udgave, september 2000 Cellebiologisk kursus Det sundhedsvidenskabelige fakultet Københavns Universitet Forord til 2. udgave Biofysik (almen fysiologi) i det cellebiologiske kursus indgik tidligere som emnegruppe 1 i fysiologiundervisningen. I undervisningen inden for fysiologi fandt man det hensigtsmæssigt at udarbejde et hæfte (Documenta physiologica) med formler, fysiske konstanter og talstørrelser. Hæftet tjener som en vejledning under studiet og udleveres i en udgave med visse udeladelser, som forventes indlært, ved eksamen. I det cellebiologiske kursus har vi fundet det naturligt, at studenterne gives samme mulighed for at have et mindre opslagsværk til hjælp under læsningen og under eksamen. I lighed med Documenta physiologica er visse afsnit og formler i nærværende hæfte markerede for at angive, at tekst og formler betragtes som huskestof, der ikke indgår i den udgave, som udleveres til eksamen. Den markerede tekst er skrevet med denne skrifttype, og formlerne er markeret med (*). Den øvrige tekst, der udleveres til eksamen er skrevet med denne skrifttype. Afsnittet vedrørende emnegruppe 1 (biofysik, almen fysiologi) fra Documenta physiologica ligger til grund for afsnittet om biofysik i dette hæfte. Visse afsnit, som i Documenta physiologica var medtaget for at komplettere pensum, er dog udeladt eller skrevet om. Afsnittene indgår nu i noterne og/eller lærebogen. I undervisningen i biokemi har man hidtil udleveret en formelsamling. Denne formelsamling samt mere materiale, der ikke indgår som huskestof, er inkluderet i dette hæfte. Forord til 3. udgave I den foreliggende, 3. udgave er der kun foretaget mindre rettelser af typografiske fejl. 11. marts 1993 Medicinsk Fysiologisk Institut De biokemiske institutter Forord til fjerde udgave Denne udgave er en lettere modificeret version af 3. udgave med henblik på at lave en version, der kan lægges på institutternes hjemmeside og udskrives derfra. Som tidligere vil der være afsnit i denne udgave, som ikke er medtaget i den udgave, der udleveres til brug ved eksamen. De afsnit, som ikke er medtaget i eksamenseksemplaret er fortsat skrevet i kursiv, og de er desuden indrammet i denne udgave (som teksten i dette afsnit). Formler, som ikke medtages i eksamenseksemplaret, er ligeledes skrevet i kursiv og indrammet, men er ikke længere markeret med (*). September 2000 Medicinsk Fysiologisk Institut De biokemiske institutter

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 1. BIOKEMI I T= I o T er transmissionen, I er intensiteten af det transmitterede lys og I o er intensiteten af det indfaldende lys. 2. A (eller E) = ε c l A (eller E) er absorbansen (extinktionen), ε er den molære absorbtionskoefficient (extinktionskoefficient) i M 1 cm 1, c den molære koncentration, og l er lysvejen i cm. 3. A (eller E), T, I og I o er defineret som ovenfor. Io A (eller E )= log = log T I 4. A X+Y = A X + A Y A X+Y er absorbansen (extinktionen) for en blanding af X og Y, A X er absorbansen (extinktionerne) for X, og A Y er absorbansen (extinktionen) for Y. 5. ph = log(h + ) (H + ) er den molære hydrogenionkoncentration (egentlig aktivitet). 6. pk = logk A K A er ligevægtskonstanten for reaktionen HA! H + + A [protonacceptor] 7. ph = pk A + log [protondonor] 8. pk1+ pk 2 pi = 2 pi er det isoelektriske ph, og pk 1 og pk 2 er pk A for protolyserbare grupper. K' = (C) (D) (A) (B) for reaktionen A + B! C + D. K' eq er en konstant (ph 7,0 og 25 ºC) og (A), (B), (C) og (D) er de molære koncentrationer ved ligevægt. 9. eq 10. G o = 2,303 R T log K' eq G o er ændringen i standard fri energi ved ph 7,0. R er gaskonstanten (1,987 10 3 kcal mol 1 grad 1 eller 8,314 Joule mol 1 grad 1 ), og T er den absolutte temperatur = ºC + 273. 11. 12. (C) (D) o' G = G + R T ln (A) (B) for reaktionen A + B! C + D, hvor G er ændringen i fri energi og G o, R og T er defineret som ovenfor. hvor o' o' o' o' G total = G A + G B + G C +... o' G total er den samlede ændring i standard fri energi ved ph 7 af de koblede reaktioner A, B, C... Side 2

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 1st position (5' end) The Genetic Code 2nd position 3rd position (3' end)! U C A G! U Phe Phe Leu Leu Ser Ser Ser Ser Tyr Tyr STOP STOP Cys Cys STOP Trp U C A G C Leu Leu Leu Leu Pro Pro Pro Pro His His Gln Gln Arg Arg Arg Arg U C A G A Ile Ile Ile Met Thr Thr Thr Thr Asn Asn Lys Lys Ser Ser Arg Arg U C A G G Val Val Val Val Ala Ala Ala Ala Asp Asp Glu Glu Gly Gly Gly Gly U C A G BIOFYSIK (ALMEN FYSIOLOGI) 1. ENHEDER I SI-SYSTEMET 1.1. Decimale multipla af SI-enheder dannes ved hjælp af forstavelser Multiplikationsfaktor Forstavelse Symbol Eksempler på omregninger 10 12 tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 2 hekto h 10 deca da 10 1 deci d 10 2 centi c 10 3 milli m 10 6 mikro µ 10 9 nano n 10 12 pico p 10 15 femto f 10 18 atto a 1 cm 3 = (10 2 m) 3 = 10 6 m 3 1µs 1 = (10 6 s) 1 = 10 6 s 1 1 mm 2 s 1 = (10 3 m) 2 s 1 =10 6 m 2 s 1 Sammensatte forstavelser bruges ikke. Fx skrives nm (nanometer) i stedet for mµm. Side 3

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 1.2. Grundenheder i SI-systemet Størrelse Navn Symbol Længde meter m Masse kilogram kg Tid sekund s Elektrisk strømstyrke ampere A Temperatur kelvin K Stofmængde mol mol Lysstyrke candela cd 1.3. Nogle afledede enheder i SI-systemet Størrelse Navn Symbol Dimension Kraft newton N kg m s 2 Energi, arbejde joule J kg m 2 s 2 = N m = V C Effekt watt W J s 1 = V A Tryk pascal Pa N m 2 Frekvens hertz Hz s 1 Elektrisk ladning coulomb C A s Elektrisk potential volt V kg m 2 s 3 A 1 = J C 1 Potentialforskel volt V kg m 2 s 3 A 1 = J C 1 Elektromotorisk kraft volt V kg m 2 s 3 A 1 = J C 1 Elektrisk modstand ohm Ω V A 1 Elektrisk ledningsevne (konduktans) siemens S Ω 1 = V 1 A Elektrisk kapacitet farad F C V 1 1.4. Andre enheders sammenhæng med SI-enhederne Størrelse Navn Symbol Dimension Volumen liter l 10 3 m 3 = 1 dm 3 = 10 3 cm 3 Tryk atmosfære atm 101325 Pa Tryk mm Hg Torr 1/760 atm = 133,3 Pa Kraft dyn dyn 10 5 N Kraft kilogram-kraft kf 9,81 N Energi kalorie cal 4,1868 J Energi erg erg 10 7 J Energi liter-atmosfære l atm 101,3 J Energi elektronvolt ev 1,602 10 19 J Osmotisk koncentration osmol Osm* *Osm = T/1,86, hvor T er opløsningens frysepunktsdepression 1.5. Symboler for nogle størrelser, der anvendes inden for biofysik Navn Symbol Dimension Mobilitet B 1 m s 1 N Diffusionskoefficient D m 2 s 1 Elektrisk potential Ψ V Elektrisk potentialdifferens V = Ψ (1) Ψ (2) V Elektrisk felt dψ E = dx V m 1 Permeabilitetskoefficient P = D ( x) 1 m s 1 Fluks J mol m 2 s 1 Stofkoncentration C (M = molær) mol l 1 mol dm 3 Antal elementarladninger pr. dissocieret molekyle (regnet z helt tal med fortegn, dvs. positiv for kationer, negativ for anioner) Isotonisk forkortningshastighed v m s 1, cm s 1 Isotonisk belastning P N Maksimal tetanisk kraft P o N Side 4

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 2. FYSISKE KONSTANTER Navn Symbol Værdi Dimension Avogadros konstant N A 6,023 10 23 molekyler mol 1 Gaskonstanten R 8,314 1,987 J K 1 mol 1 cal K 1 mol 1 Boltzmanns konstant 1 k = R N A 1,38 10 23 J K 1 Faradays konstant F 96492 C pr. mol monovalent ion Elementarladningen 1 q e = F N A 1,60 10 19 C pr. univalent molekyle Standard tyngdeacceleration g 9,81 m s 2 Molekylære frysepunktsdepression 1,86 K pr. mol udissocieret stof pr. liter (ideal opløsning) 3. STOFTRANSPORT 3.1. Migration og diffusion 3.1.1. Transportligningen Stofmængden J, som pr. tidsenhed passerer en arealenhed anbragt vinkelret på transportretningen (fluks, transportstrømtæthed) er givet ved J = v C = B C f stofmængde m 2 s 1 hvor v (= b f) er den stationære hastighed af de transporterede partikler, B disses mekaniske mobilitet og f er kraften, der virker på hver enkelt partikel. Stofmængden er bestemt ved koncentrationsmålet C (fx antal molekyler pr. m 3, kg stof pr. m 3, mol pr. m 3 etc.). Mængden S, som pr. tidsenhed passerer vinkelret på arealet A, er derfor S = A J stofmængde s 1 3.1.2. Fick's lov for diffusion dc J= D stofmængde m 2 s 1 dx hvor D er stoffets diffusionskoefficient. For de fleste små molekyler og ioner er D for diffusion i vandig opløsning af størrelsesordenen 10 9 m 2 s 1 = 10 5 cm 2 s 1. 3.1.3. Diffusionskoefficienten D = k T B (Einstein-relationen); k er Boltzmann's konstant, T den absolutte temperatur. 2 s D = (Einstein-Smoluckowski ligningen), hvor 2t til tiden t; 2 s = s er mål for middelforskydningen til et givet tidspunkt, t. 2 s er middelværdien af de enkelte forskydningers kvadrater 3.1.4. Transport ved samtidig migration og diffusion Nernst-Planck ligningerne for elektrodiffusion: kt dc+ dψ J + = B + C + + z+ qe C+ dx dx kt dc dψ J = B C + z qe C dx dx 3.1.5. Permeabilitetskoefficienten αd αktb P = = m s 1 h h hvor α er fordelingskoefficienten for det transporterede stof mellem membranen og de to omgivende medier, og h er membrantykkelsen. Fick's lov for stoftransport gennem en membran ved diffusion i retningen i o: J = P [C (o) C (i) ] = P [C (i) C (o) ] Side 5

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 3.2. Ligevægtsfordeling af ioner over en selektivt permeabel membran Membranpotentialet kan ved ligevægt over en selektivt permeabel membran beregnes ved hjælp af Nernst ligning: (2) (1) (2) RT C V m = ψ - ψ = ln (1) zf C volt hvor C (1) og C (2) er koncentrationerne af den permeerende ion i de to faser, der adskilles af membranen. Bemærk at følgende - principielt forskellige - forhold kan vurderes ved hjælp af Nernst ligning: a) Membranpotentialet (ψ (1) ψ (2) ) såfremt den permeerende ion er i ligevægt mellem de to faser (nettotransporten J = 0). b) Såfremt der ikke er ligevægt i systemet, kan det beregnes ved hjælp af ligningen, hvilken potentialforskel, der skal etableres mellem de to faser for at opnå ligevægt for den permeerende ion ved de givne koncentrationer C (1) og C (2). Dette potential, der kaldes ionens ligevægtspotential, kan altså afvige fra membranpotentialet. Den potentialforskel, der skal etableres for at opnå ligevægt, skal netop være så stor, at nettofluksen J = 0. Det vil være undtagelsen, at potentialdifferensen mellem en celle og dens omgivelser kan udtrykkes ved Nernst ligning. Ligevægtspotentialet for en ion kan derimod altid beregnes af ligningen, når koncentrationerne i cellens og omgivelsernes vandfase er kendte. 3.3. Diffusionspotential Er membranen ikke ideelt selektiv permeabel for enten an- eller kationer således, at begge iontyper kan permeere membranen, opstår der et diffusionspotential, såfremt de to ioners bevægeligheder (B + og B ) er forskellige. 3.4. Osmose En opløsnings osmotiske tryk, frysepunktsdepression, damptryksnedsættelse og kogepunktsforhøjelse er de kolligative egenskaber ved opløsningen, som alle er et mål for aktiviteten af opløsningsmidlet (sædvanligvis vand). En opløsnings osmotiske tryk manifesterer sig først, når opløsningen bringes i kontakt med det rene opløsningsmiddel gennem en membran, som er selektivt permeabel kun for opløsningsmidlet. For tynde ideale opløsninger gælder van't Hoff's formel for det osmotiske tryk som en første ordens tilnærmelse Π = R T C hvor Π opløsningens osmotiske tryk. Trykenheden afhænger af de enheder for R, der anvendes. For en 1 molær opløsning af en anelektrolyt ved 0 C har man således Π = (8,314 J K 1 mol 1 (273 K) (10 3 mol m 3 ) = 2,27 10 6 Pa = 2,27 10 6 (9,87 10 6 atm) = 22,4 atm idet 1 Pa = 1/101325 atm = 9,87 10 6 atm. Størrelsen af det osmotiske tryk er primært bestemt af antallet af opløste partikler pr. volumenenhed og i mindre grad af opløste partiklers særlige egenskaber. En opløsning med osmolaliteten 1,0 har en frysepunktsdepression på 1,86 K. Adjektiverne isoosmotisk, hypoosmotisk og hyperosmotisk anvendes til at karakterisere, at en opløsning har samme, lavere eller højere osmotisk tryk (frysepunktsdepression) end en given referenceopløsning. Adjektiverne isoton, hypoton og hyperton anvendes for at karakterisere, om en normal celle vil ændre volumen (på grund af en osmotisk betinget nettobevægelse af vand), hvis cellen suspenderes i opløsningen. Vandtransport ved filtration og osmose gennem en ideel semipermeabel membran: (2) (1) (2) (1) Filtration: J HO= K 2 F[P P ]; C s= C C = 0 (2) (1) Osmose: J HO= K 2 F RT C s; P + P = 0 hvor C (1) og C (2) koncentrationerne af opløst stof i de to omgivende faser, og hvor P (1) og P (2) er trykket i disse. K F er filtrationskoefficienten som karakteriserer membranens gennemtrængelighed for vand drevet af en trykgradient både ved filtration og ved osmose. 3.5. Donnanfordeling af monovalente ioner, der kan permeere en membran En donnanfordeling indtræder, når to elektrolytopløsninger, hvoraf den ene indeholder en makroion, bringes i kontakt med hinanden gennem en semipermeabel membran, som kun er impermeabel for makroionen (f.eks. proteinmolekyler). Ved ligevægt har hver kation (+) og anion (-), som kan permeere membranen, fordelt sig mellem de to faser (1) og (2) i overensstemmelse med nedenstående formel Side 6

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 eller C C = C C (1) (1) (2) (2) + + C C C (1) (2) + = (2) (1) + C Ved ligevægt findes der en potentialforskel over membranen (Donnan-potentialet), hvis størrelse kan beregnes ud fra Nernst' ligning. Tilstedeværelsen i den ene fase af en makroion, der ikke kan permeere membranen, medfører, at ligevægt ikke kan etableres, med mindre der etableres et overtryk (kolloid-osmotisk tryk) på den fase, der indeholder makroionen. 4. NERVEFYSIOLOGI 4.1. Perifere nerver Nervemembranens tykkelse er af samme størrelsesorden som de fleste cellemembraner hos dyr, 0,5-1 10 8 m = 5-10 nm (50-100 Å). Membrankapaciteten, C m, (udtrykt pr. m 2 membran) er ca. 10 2 F m 2 = 1 µf cm 2. Membranmodstanden, R m, er den elektriske modstand af en arealenhed nervemembran. Den hvilende nerves membranmodstand (blækspruttens kæmpeaxon) er ca. 0,1 Ω m 2 = 1000 Ω cm 2. Ledningsevnen (konduktansen) G m = R 1 m er derfor ca. 10 S m 2 = 1 ms cm 2 (= 1 mmho cm 2 ). Den exciterede membrans samlede konduktans øges indtil ca. 40 gange værdien i hvile. Konduktansen for Na + øges under excitationen forbigående til ca. 500 gange (den meget lave) hvileværdi (0,04 mmho cm 2 ). Den specifikke resistans, ρ i, af axoplasma er af størrelsesordenen 1-3 Ω m eller svarende til 100-300 Ω cm. Hvilemembranpotentialet, V m = ψ (i) ψ (o) = ca. 70 mv, hvor ψ (i) og ψ (o) er det elektriske potential i henholdsvis axoplasma og yderfasen (interstitiel væske, havvand). Transmembran potentialmåling er mulig på kæmpeaxoner ved hjælp af mikroelektrodeteknik. Målinger på nerveceller i CNS hos pattedyr har givet membranpotentialer af samme størrelse ( 70 mv). I den hvilende blækspruttenerve er forholdet mellem permeabiliteten af K +, Cl og Na + = 1: 0,5 : 0,025. Membrankonduktansen, G j, for en ion af typen j er defineret ved eq I = G ( V V ) j j m j eq hvor I j er den transmembrane strøm pr. arealenhed, båret af iontypen j, og hvor V j er ligevægtspotentialet over membranen for denne iontype. Aktionspotentialets amplitude målt transmembranalt er 100-120 mv og varer ca. 1 ms. Tærskelirritamentet er den laveste irritamentstyrke, som under de givne betingelser kan udløse en nerveimpuls. Tærskelpotentialet er det V m, hvor et aktionspotential udløses. Irritabilitetsændringer i umiddelbar tilslutning til stimulationen: a) irritamentstyrker mindre end tærskelirritamentet fremkalder i det stimulerede membranområde en fase med forbigående forøget irritabilitet; b) med irritamentstyrker større end tærskelirritamentet gennemløber det aktiverede membranområde følgende forbigående irritabilitetsændringer: først er membranen inexcitabel (den absolut refraktære periode), dernæst en fase, hvor irritabiliteten gradvis tiltager mod udgangsværdien (den relativt refraktære periode). Refraktærperiode i α-tråde fra n. ischiadicus hos frø har en absolut refraktær periode på ca. 1 ms og relativ refraktær periode på 3-4 ms. Rheobase er tærskelirritamentet for et "rektangulært" strømstød af vilkårlig lang (uendelig) varighed. Chronaxi er varighed af det tærskelirritament, hvis styrke er lig med den dobbelte rheobase. Nerveledningshastighed er bl.a. bestemt af axonernes diameter, myelinbeklædning og temperaturen. A-fibre: 1. α Tråde fra proprioreceptorer og somatiske, motoriske tråde: 12-20 µm, 70-120 m s 1 2. β Tråde for berøring og tryk: 5-12 µm, 30-70 m s 1 3. γ Motoriske tråde til muskulatur: 3-6 µm, 15-30 m s 1 4. δ Tråde for smerter og temperatur: 2-5 µm, ca. 10 m s 1 Side 7

Documenta Biochimica et Biophysica, 4. udgave, 2000 B-fibre: Præganglionære sympatiske tråde: <3 µm, 3-5 m s 1. C-fibre: Postganglionære og afferente autonome tråde: 0,3-1,3 µm; 0,6-2,3 m s 1. 4.2. Synaptisk transmission Den synaptiske spalte (afstanden fra det præsynaptiske til det postsynaptiske membrankompleks) er sædvanligvis 2-5 10 8 m (= 200-500 Å), men værdier ned til 1 10 8 m er målt. Den synaptiske forsinkelse er tiden, der forløber fra ankomsten af nerveimpulsen til den præsynaptiske terminal, indtil en potentialændring over den postsynaptiske membran netop kan registreres. Den postsynaptiske responstid er tiden herefter indtil tidspunktet for etableringen af et aktionspotential (klarest defineret ved den neuromuskulære transmission). Begge tider er ca. 0,5-1 ms. Ved den neuromuskulære synapse (motoriske endeplade) er varigheden af endepladepotentialet ca. 15 ms. I interneuronale synapser varer de synaptiske potentialer fra få ms til flere hundrede ms. Frigørelse af excitatorisk transmitter fremkalder en samtidig forøgelse af membranens konduktans for Na + og K +, hvilket fører til en depolarisering af membranen. For at denne skal resultere i et propageret aktionspotential, kræves der fx ved den motoriske endeplade en depolarisering på 30-40 mv. Nerveimpulser i hæmmende tråde fremkalder en frigørelse af inhibitorisk transmitter fra det præsynaptiske membrankompleks, som øger den postsynaptiske membrans konduktans for K + eller Cl. Denne konduktansforøgelse fører til en stabilisering af membranpotentialet omkring ca. -70 mv eller til en hyperpolarisation til ca. -80 mv: det inhibitoriske postsynaptiske potential (IPSP). Et enkelt neuron kan indgå i fra få hundrede op til ca. 100.000 synapser (Purkinje-celler). Integration og sortering af indkommende signaler sker ved samspillet mellem excitatoriske og inhibitoriske synapser (summation). 5. MUSKELFYSIOLOGI Nedenstående data gælder for tværstribet muskulatur fra frø ved ca. 20 ºC: 5.1. Strukturelle forhold Fiberdiameter 10 100 µm Fibrildiameter 1 2 µm Sarkomerlængde i slap tilstand ca. 2,2 µm Længde af A-filamenter 1,5 µm Længde af I-filamenter målt fra Z-linien 1,0 µm 5.2. Elektriske forhold Membranpotential i hvile, V m = ψ (i) ψ (o) 90 95 mv Aktionspotentialets amplitude 110 130 mv Varighed af spidspotential ca. 2 ms Varighed af "halen" (repolarisationen fra ca. -70 mv til V m ) 15 40 ms Tærskelpotential for udløsning af aktionspotential ca. 60 mv Tærskelpotential for aktivering af kontraktile system ca. 55 mv 5.3. Mekaniske egenskaber Den isometriske enkeltkontraktion har en latenstid på 2-5 ms. Kontraktionens varighed er 100-200 ms, og maksimum for kraftudviklingen nås efter 20-40 ms. En glat isometrisk tetanisk kontraktion kræver en stimulationsfrekvens på 80-100 Hz. Den maksimale, isometriske kontraktionskraft pr. enhed tværsnitsareal er 30-60 N cm 2. Ved isotonisk kontraktion kan den funktionelle sammenhæng mellem den initiale forkortningshastighed, v, og belastningen, P, beskrives ved Hill's formel: (P + a) v = (P o P) b hvor a og b er konstanter. P o er den isometriske tetaniske kraft (v = 0) ved den pågældende længde. Den maksimale forkortningshastighed (svarende til belastningen P = 0) er af størrelsesordenen 10 cm s 1 = 0,1 m s 1. Side 8

Note 5 til biofysik: En kort introduktion til elektricitetslære Side 1 NOTE 5 TIL BIOFYSIK EN KORT INTRODUKTION TIL ELEKTRICITETSLÆRE af H. P. Nissen-Petersen Skønt basale funktioner i den menneskelige organisme er baseret på elektriske fænomener, er mennesket ikke udstyret til at sanse elektriske størrelser. En fornemmelse for elektriske systemer er derfor baseret på vores forestillingsevne, og de fleste får, i hvert fald i starten, behov for at danne sig sådanne billeder og modeller, som forekommer den enkelte mere naturlige, og som afspejler de elektriske lovmæssigheder. I det følgende og i et kommende afsnit om membranmodeller vil der på denne baggrund blive draget analogier til andre områder af fysikken. Analogierne er indrammede. Som elektrisk mængdeangivelse bruges ladning, som måles i coulomb, der skrives C. Det svarer til masse, som måles i kilogram, der skrives kg. Ladninger findes både positive og negative. Der findes (så vidt vides) kun een slags masse. To ladninger, Q 1 og Q 2 med forskelligt fortegn tiltrækker hinanden med en kraft K, bestemt af Coulomb s lov: Q Q K = k r 1 2 2 hvor k er en konstant (tilpasset enhedssystemet) og r er afstanden mellem de to ladninger. Har de to ladninger samme fortegn vil de frastøde hinanden med nævnte kraft. To masser, M 1 og M 2 tiltrækker hinanden med en kraft K bestemt af massetiltrækningsloven: M M K = k r 1 2 2 hvor k er en konstant (tilpasset enhedssystemet) og r er afstanden mellem de to masser. I rummet omkring en ladning eksisterer altså kræfter, som vil påvirke andre emner, der har en elektrisk ladning (og kun dem). Man siger en elektrisk ladning skaber et elektrisk felt. Man definerer feltstyrken E, som kraften på en enhedsladning: +1C (enhed: N C 1, newton pr. coulomb). Da kraften K er proportional med ladningens størrelse Q findes (se Coulomb s lov): K = Q E hvor K er kraften målt i N (newton), Q er ladningen målt i C (coulomb) og E er feltstyrken, enhed: N C 1. Kraften K er en vektor, der karakteriseres den både ved en størrelse (numerisk værdi) og en retning. På et givet sted i rummet kan kraftpåvirkningerne fra flere omliggende ladninger Medicinsk Fysiologisk Institut, 20. april 2001

Note 5 til biofysik: En kort introduktion til elektricitetslære Side 2 adderes som vektorer ( kræfternes parallelogram ), og der kan opstå meget komplicerede felter. Ved at tegne linier, de såkaldte kraftlinier, med en retningsangivelse (en pil) og med en vis tæthed, kan man grafisk illustrere, hvorledes feltet (kraften på en enhedsladning) i et udstrakt område varierer. På et givet sted skal retningen på (tangenten til) kraftlinierne angive feltets retning, og tætheden (linier pr arealenhed) skal angive feltets størrelse. +Q Det enkleste eksempel er feltet omkring en positiv ladning +Q (der befinder sig helt alene i rummet). Set i et plan, vil kraftlinierne stråle radialt bort fra ladningen, som egerne fra navet i et cykelhjul. Dette feltbillede, i eet plan, er i overensstemmelse med Coulomb s lov. Da kuglearealet er proportionalt med afstandskvadratet og kraftlinieantallet konstant, vil kraftlinietætheden (rummeligt set) og dermed feltstyrken (kraften på +1C) aftage med kvadratet på afstanden, som udtrykt i Coulomb s lov. Vendes pilene illustrerer figuren feltet omkring en negativ ladning -Q. Et andet eksempel, yderst relevant for cellebiologien, er feltet mellem to (uendeligt store) planer, hvorpå der jævnt fordelt sidder henholdsvis positive og negative ladninger. For at finde feltstyrken et givet sted mellem planerne skal man altså her finde kraften på den positive enhedsladning, +1C, ved at addere kraftpåvirkninger fra de (uendelig mange) positive og negative ladninger på planerne. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + _ Det viser sig (ved hjælp af Coulomb s lov og lidt matematik), at feltstyrken er konstant overalt mellem de to planer, og vinkelret på disse. Feltet siges at være homogent. Uden for planerne er feltet nul. Eksemplet kunne forestille det elektriske felt inde i en biologisk membran, der ( i hvile ) groft set ikke er ledende, og hvor der typisk på indersiden er overskud af negative ladninger og på ydersiden af positive. Elektrisk potential. For at flytte ladninger i et område, hvor der hersker elektriske kræfter, kan det i nogle situationer kræve et arbejde, i andre kan man få udført et og endelig kan slet intet arbejde være involveret. Det afhænger af kraften og dens retning i forhold til vejstrækningen og dennes retning (arbejde er vejlængde multipliceret med kraftens komposant i vejretningen). Den energi, der modsvarer det udførte arbejde på ladningen, oplagres i ladningen som potentiel energi. Omvendt vil ladningen miste potentiel energi, hvis den må udføre et arbejde ved flytningen. Tænk på den analoge situation i et gravitationsfelt, der påvirker to lodder, som begge har massen m. Det ene står på gulvet, det andet er løftet op på et bord. Hvis bordet har højden h, har loddet på bordet en potentiel energi på m g h (tyngdekraft gange løftelængde) større end loddet på gulvet. Denne potentielle energi ville kunne omsættes til arbejde, ved f. eks at lade loddet falde ned på gulvet. Først ville energien omsættes til bevægelsesenergi og derefter til varme (og lidt lyd), når loddet rammer og opbremses af gulvet. Medicinsk Fysiologisk Institut, 20. april 2001

Note 5 til biofysik: En kort introduktion til elektricitetslære Side 3 Enheden for energi (arbejde) er N m = kg m 2 s 2, som kaldes joule og skrives J. I et elektrisk felt er det elektriske potential på et givet sted defineret som energien af en enhedsladning på stedet (i forhold til en placering i et feltfrit rum, altså uendeligt fjernt fra de ladninger, der skaber feltet (og kræfterne)). Enheden for elektrisk potential bliver derfor J C 1 (joule pr. coulomb), som kaldes volt og skrives V. Som oftest indgår potentialforskelle i problemstillingerne. På dansk bruges betegnelserne spænding og potential i flæng. Som eksempel beregnes potentialforskellen mellem to planer, på hvilke der sidder fordelt henholdsvis positive og negative ladninger med en ladningstæthed Q A 1 (ladninger pr. arealenhed). Afstanden mellem planerne er l og feltstyrken mellem planerne er E (se tidligere figur). Opladningen er sket ved aktivt med energiforbrug at flytte positive ladninger fra det ene plan (som derved bliver efterladt negativt ladet) og føre dem til det andet plan (som derved bliver positivt ladet). At føre endnu en enhedsladning fra det negative plan til det positive kræver et positivt arbejde, da kraften på enhedsladningen E er rettet mod bevægelsesretningen. Arbejdet W bliver da: W = E l (kraft gange vej) svarende til en potentiel energitilvækst U for ladningen på U = E l. Hvis man derfor kender potentialforskellen U mellem planerne (i biologiske situationer vil man ofte kende det såkaldte membranpotential) og afstanden mellem dem, kan man beregne feltstyrken mellem dem som E = U l Dermed vil man kende de elektriske kræfter på elektrisk ladede partikler, fx ioner, der befinder sig i membranen. Som enhed for feltstyrke anvendes derfor ofte V m 1 (volt pr. meter). (Kontrol af enheden: V m 1 (volt pr. m) = J C 1 m 1 = N m C 1 m 1 = N C 1 (newton pr. coulomb), som iflg. definitionen var enheden for feltstyrke). Ovennævnte betragtninger har forudsat statiske forhold, hvor ladninger ikke bevæger sig, selv om de er påvirket af kræfter. De indgående materialer karakteriseres som isolatorer, og forholdene her kaldes elektrostatiske. Når materialerne er elektrisk ledende (fx metaller og elektrolytopløsninger), vil ladninger kunne bevæge sig under påvirkning af elektriske kræfter, og elektriske strømme vil opstå. Man definerer elektrisk strøm, som det antal coulomb, der pr. tidsenhed strømmer gennem et tværsnit vinkelret på udbredelsesretningen. Man bruger typisk bogstav I for elektrisk strøm, og enheden bliver da C s 1 (coulomb pr. sekund) som kaldes ampere og skrives A. Man taler også om strømtæthed og mener dermed strømmen pr. arealenhed. Er den samlede strøm I gennem en flade med arealet S, bliver den gennemsnitlige strømtæthed I S -1 (ampere pr. kvadratmeter). Strømmens størrelse i en leder af et bestemt materiale bliver rimeligt nok bestemt af, hvor vanskeligt det er for ladningerne at bevæge sig i lederen og den energi, der er til rådighed for dette arbejde. Man definerer derfor lederens modstand R, som bliver bestemmende for strømmens størrelse I ved en given energi, der er udtrykt ved potentialforskellen U mellem lederens endeflader. Jo større modstand, des mindre strøm. Hersker der simpel omvendt proportionalitet, kan dette udtrykkes gennem Ohm s lov: U = R I Medicinsk Fysiologisk Institut, 20. april 2001

Note 5 til biofysik: En kort introduktion til elektricitetslære Side 4 Enheden for R bliver: V A 1 = J C 2 s, som kaldes ohm, der skrives Ω (græsk: omega). I biologien foretrækkes ofte at karakterisere en leder ved sin ledningsevne G, som den reciprokke værdi af modstanden R G = 1 R Ohm s lov omskrives da til I = G U der med ord udtrykker, at jo større (bedre) ledningsevne G en leder har og jo større potentialforskel U, der er til rådighed, jo større bliver strømmen I. Enheden for ledningsevne er Ω 1, som kaldes siemens og skrives S. En vittig sjæl har engang foreslået mho, som nu anvendes fuldt legalt. Ofte anvendes de afledte enheder, med foranstillet m (milli = 10 3 ) og µ (mikro = 10 6 ). Den analoge vandmodel til illustration af Ohm s lov ville være en pumpe, der skaber tryk og dermed leverer den energi, som får vandet til at strømme gennem en (snæver) slange. Energien bruges til at overvinde gnidningsmodstanden i slangen. Vandtrykket (enhed pascal = N m 2 (newton pr. arealenhed) eller J m 3 (energi pr. mængdeenhed) svarer til elektrisk potential (enhed volt = J C 1 (energi pr. mængdeenhed)). Vandstrømmen (enhed m 3 s 1 (mængde pr. sekund)) svarer til elektrisk strøm (ampere = C s 1 (coulomb pr. sekund) = el-mængde pr. sekund)). Gnidningsmodstanden kaldes den hydrodynamiske modstand og svarer til den elektriske modstand. Jo længere slangen er, des sværere bliver det at strømme igennem: modstanden vokser. Bliver derimod slangen tykkere strømmer vandet lettere: modstanden mindskes. I en elektrisk leder defineres begrebet specifik modstand ρ, som modstanden mellem to modstående flader i en terning af det aktuelle materiale, der måler een meter på hver led. Som i vandmodellen vokser modstanden med længden l af lederen, og mindskes med arealet S, dvs. ρ l R = S Drejer det sig fx om modstanden på tværs gennem en membran, vil modstanden vokse med tykkelsen (længden), men aftage med arealet. For en membran med en vis tykkelse vil man typisk angive modstand r pr. arealenhed r (og ikke den specifikke modstand ρ). Modstanden R af hele arealet S af denne membran vil da være R = r og enheden for r må være Ω m 2 S (og ikke Ω pr. m 2 pga. den omvendte proportionalitet mellem R og S). I øvelsen selektivt permeable membraner i det cellebiologiske kursus indledes med eksperimenter med simple elektriske kredsløb. Her kan læses yderligere om Ohm s lov, serie- og parallelforbundne modstande og kredsløb med to spændingskilder (Kirschoffs lov). Senere, i et efterfølgende afsnit om membranmodeller, gennemgås kapacitets-begrebet og et simpelt ohmsk kabel (med tab), som grundlag for forståelsen af nerveaktionspotentialets udbredelseshastighed og udbredelseslængde. Medicinsk Fysiologisk Institut, 20. april 2001

Teoretisk gennemgang af elektrisk kapacitet og membranmodeller. (03/01) Indledning: I den tidligere omtalte kort introduktion til elektricitetslære forud for øvelse med ionselektive membraner blev de grundlæggende definitioner vedr. elektriske kræfter og de elementære regler for jævnstrømskredsløb gennemgået: Coulombs lov, som beskriver elektriske kræfters afhængighed af ladninger og afstande. Elektrisk feltstyrke E på et givet sted blev defineret som kraften på en enhedsladning +1C på stedet (enhed: N/C = newton pr coulomb). Elektrisk spænding (potential) U blev defineret som elektrisk energi, knyttet til ladninger. (enhed: V = volt = joule pr coulomb). Elektrisk strøm I blev defineret som antal ladninger, der pr sekund passerer det aktuelle tværsnit (enhed A = ampere = coulomb pr sekund). Elektrisk modstand R defineredes udfra den lineære sammenhæng mellem strøm og spænding (Ohms lov): U = R I I det følgende gennemgås kapacitetsbegrebet og de membranmodeller, som indgår i biofysikøvelsen om nerven. Elektrisk Felt: Nedenstående figur viser to planer, hver med areal S i afstanden a, hvor der (ved brug af energi) er flyttet Q positive ladninger fra den nederste plade til den øverste. ++++++++++ Q ++++++++++ Potentialforskel U Feltstyrke E afstand: a Planareal: S - - - - - - - - - - Q - - - - - - - - - - Man kan vise, at feltstyrken E mellem planerne, hvis planerne er store, er konstant overalt (et homogent felt) og har størrelsen: Q 1 E = S Kε 0, hvor Q/S betegnes ladningstæthed, og ε 0 og K er konstanter Elektrisk potential: For at beregne forholdet mellem antallet Q af fordelte ladninger og den derved opståede potentialforskel mellem planerne, føres en enhedsladning +1C fra det negative plan til det positive. Det nødvendige arbejde W hertil (kraft gange vej) er: W = E a (enhed: J = joule), som modsvarers af ladningens potentialtilvækst, og dermed udtrykker potentialforskellen (spændingsforskellen) U mellem planerne: U = E a = Q (K ε 0 S) -1 a (enhed J/C = volt) som kan skrives: Q = C U, hvor C = K ε 0 S a -1 (1) 1

Elektrisk kapacitet: Q = C U Der er altså proportionalitet mellem det antal ladninger Q, som er fordelt mellem planerne, og den potentialforskel U som derved er opstået. Proportionalitetsfaktoren C kaldes kapaciteten (eng: capacitance) mellem planerne. Kapaciteten vokser med planernes areal S og aftager med deres afstand a. ε 0 = 8,85 10-12 C 2 N -1 m -2 er en konstant, tilpasset enhedssystemet. K er en dimensionsløs materialeafhængig konstant, som benævnes dielektricitetskonstanten (K = 1 i vacuum og K > 1 for andre isolationsmaterialer, som fylder mellemrummet mellem planerne). Enheden for kapacitet bliver: C V -1 = C 2 s 2 kg -1 m -2, som kaldes farad ( blødt d ) og skrives F. Oftest bruges de afledede enheder: µf (microfarad = 10-6 F), nf (nannofarad = 10-9 F) og pf (picofarad = 10-12 F). NB! Bogstav C bruges både som forkortelse for den elektriske ladningsenhed coulomb og til at indikere kapacitet. Opladning af kondensator. Den hastighed, hvormed spændingen U over en elektrisk kondensator lader sig ændre, afhænger af ladestrømmen. Denne fortæller, hvor mange ladninger der pr tidsenhed kan flyttes mellem pladerne. Denne elektrisk strøm I(t) (enhed: A = ampere = coulomb pr tid), leveres i nedenstående figur fra en generator. I(t) Generator I(t) C ++++++++Q+++++ + - - - - - - - -Q- - - - - U(t) Den hastighed, hvormed spændingen ændres, kan matematisk udtrykkes ved at differentiere ligning (1) m.h.t. tiden: dq du( t = I( t) = C ) (2) dt dt der udtrykker, at du(t)/dt (volt/sekund), afhænger af strømmen I(t) (ladninger pr sekund) og af kapaciteten C. Således vil en stor kondensator (med stor kapacitet) ændre spændingen relativt langsomt ved en given ladestrøm, men større ladestrøm giver større hastighed. En uendelig hurtig spændingsændring er ikke mulig, da det ville kræve en uendelig stor strøm! Under opladning går der ingen strøm i mellemrummet mellem pladerne i kondensatoren. Ladningerne fjernes fra den negative plade, føres som strøm i ledningerne og hober sig op på den positive, alt imens spændingen U(t) mellem pladerne vokser. t 1 Integreres ligning (2) fås: U( t) = I( t) dt+ U0 C 0 2

Der viser, at spændingen på kondensatoren til tiden t er proportional med summen af de ladninger, som ladestrømmen har tilført, og at denne spænding er omvendt proportional med kapaciteten (U 0 er en evt begyndelsesspænding). Oplagret energi: Energien (leveret af generatoren), der er medgået til opladningen til U volt, er oplagret i det elektriske felt, som er opbygget mellem pladerne, og det beregnes ved at summere arbejdsbidragene ved flytningen af alle ladningerne. Arbejdet afhænger af, hvor stor spændingen (eller feltet) er blevet på det aktuelle stade. Hvis spændingen, når der er flyttet q ladninger, er U(q) (volt = joule pr coulomb) bliver arbejdet dw med at flytte det næste ladningsbidrag dq: dw = U(q) dq Idet q = C U(q) findes dq = C du(q) som indsat ovenfor giver: dw = C U(q)dU(q), der ved integration fra U(t) = 0 til U giver Denne energi vil genvindes ved afladning af kondensatoren. Parallelforbindelse af kondensatorer. = 0 W U CU ( q) du( q) = ½ C U 2 C 1 C 2 C 3 C n C p De to systemer har samme kapacitet, hvis der opnås samme spænding U, når de oplades med samme ladning Q p = Q 1 + Q 2 + Q 3 + +Q n. Q 1 =C 1 U, Q 2 =C 2 U, Q 3 =C 3 U, Q n = C n U og Q p = C p U, der indsat ovenfor giver: U C p = U ( C 1 + C 2 + C 3 + + C n ) eller C p = C 1 + C 2 + C 3 + + C n Serieforbindelse af kondensatorer. C 1 C 2 C 3 C n C s Imellem de serieforbundne kondensatorer sker samme ladningsforskydning, som i de ydre tilledninger, således at de serieforbundne kondensatorer oplades med samme strøm (og dermed samme ladning), men til individuelle spændinger: Q s = Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q n. og U 1 + U 2 + U 3 + U n. = U U 1 =Q/C 1, U 2 =Q/C 2, U 3 =Q/C 3, U n = Q/C n og U = Q/C s, der indsat ovenfor giver: Q ( 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 + +!/C n ) = Q 1/ C s eller 1/ C s = 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 + + 1/C n 3

Reglerne for at sammensætte parallel- og serieforbundne kondensatorer er altså lige omvendt af reglerne for sammensætning af modstande: Parallel: 1/R p = 1/R 1 +1/R 2 +1/R 3 + +1/R n Serie: R s = R 1 +R 2 +R 3 + + R n Membranmodellerne. 1. Den kugleformede celle. Figuren til venstre viser en kugleformet celle. En elektrode er anbragt i cellens indre, og til tiden t = 0 udsendes fra elektroden en strøm konstant I m, som passerer membranen og samles op af en ydre elektrode (ikke er vist). Formålet med eksperimentet er at studere indflydelsen fra de karakteristiske størrelser R m og C m på den opståede ændring af membranspændingen U m. Figuren til højre viser et elektrisk ækvivalent kredsløb. Im Im R m C m U m Im Igennem membranen deler den konstante membranstrøm I m sig i en del I r (t), der løber gennen modstanden R m og en del I c (t), som er ladestrøm til C m. I. flg. Kirschoffs lov, der vedrører et knudepunkt, gælder til ethvert tidspunkt.: I m = I r (t)+ I c (t) endvidere er (til tiden t) I r (t) = U m (t)/r m (Ohms lov) og I c (t) = C m du m (t)/dt (af ligning (2)) der indsat ovenfor giver: I m = U m (t)/r m + C du m (t)/dt eller U m (t) + R m C m du m (t)/dt = R m I m (3) Denne ligning er en såkaldt første ordens (lineær og homogen) differentialligning. Den udtrykker, at summen af membranspændingen og en brøkdel (R m C m ) af den hastighed, hvormed membranspændingen ændrer sig, altid har den konstante værdi R m I m. (Alle leddene i ligningen har enheden volt, idet R m C m har enheden sekund.) I det øjeblik, hvor I m påtrykkes (t = 0), antages at U m (0) = 0, og af (3) ses, at membranspændingen da vokser med den maksimale hastighed, som er: du m (0)/dt = (R m I m ) / (R m C m ) = I m / C m (4) 4

Til t = 0, hvor I m påtrykkes, vil I r (t) være nul, da U m (0) er nul, og hele I m bliver da ladestrøm, altså I c (0) = I m. Efterhånden som C m oplades og U m (t) dermed vokser, må du m (t)/dt aftage mod nul, når U m (t) nærmer sig spændingen R m I m. For t = uendelig bliver derfor I r = I m. Denne opvoksen af U m (t) fra nul mod R m I m med aftagende hastighed, kan beskrives matematisk som løsningen til ligning (3): hvor τ = R m C m kaldes systemets tidskonstant. U m ( t) = R m Im(1 e Det grafiske forløb af de omtalte størrelser er skitseret nedenfor. t τ ) I m I r I m I c I m R m I m U m 63% 0 τ t sec Øverst ses den påtrykte membranstrøm I m, og herunder delstrømmene I r og I c. Nederst er vist den deraf opståede membranspændingsændring U m,, som vokser eksponentielt mod slutværdien R m I m. Til t = τ antager membranspændingen værdien U m (τ) = R m I m (1-e -1 ) = 0.63 R m I m Til t = 0 er kurvens hældning (begyndelsestangenten s) tidligere bestemt af (4) til du m (0)/dt = (R m I m ) / (R m C m ) = (R m I m )/τ 5

Denne begyndelsestangent skærer slutværdien til tiden t = τ. Med kendskab til I m, kan man således af kurvens slutværdi bestemme R m, og af kurvens begyndelsestanget (eller af tidskonstanten) bestemme C m. (ligning (4) For et eksponentialt forløb, f. eks. ovennævnte tidsmæssige opvoksen, gælder det, at tangenten til et vilkårligt punkt på kurven vil skære slutværdien i afstanden tidskonstanten τ fra punktet. Eller sagt på en anden måde: Hvis forløbet fortsatte (lineært) med den hastighed, det har til et givet tidspunkt, ville slutværdien nås i løbet af tiden τ. Den cylinderformede celle. Et membranpotential U m, påtrykt nervens indre (i forhold til det uendelig godt ledende ydermedie) vil udbrede sig i x-aksens retning, på langs i nervens indre. Afhængigt af den indre langsgående modstand r l og af membranmodstanden r m vil potentialet aftage med voksende afstand fra stimulusstedet. I nedenstående betragtninger og beregninger er bl.a. membrankapaciteten udeladt, hvorfor kun membranpotentialets stationære udbredelse betragtes, og ikke dets tidsmæssige forløb. Figuren til venstre viser en nerve, som elektrisk er karakteriseret ved en langsgående modstand r l (Ω/m) (pr. længdeenhed af nerven) og en membranmodstand r m (Ω m) (pr. længdeenhed af nervens membranareal) (Bemærk enheden: Ω m). Figuren i midten viser en tynd skive med tykkelsen dx, så tynd at langsgående strøm i l og udgående membranstrøm i m kan regnes for konstante. Den langsgående strøm, der forlader skiven bliver i l di i. Figuren til højre viser det elektriske ækvivalente kredsløb af skiven. Først en overordnet kvalitativ betragtning: Membranspændingen U m (x) i afstanden x afhænger af membranspændingen umiddelbart før segmentet og af det indre spændingsfald i segmentet. Dette spændingsfald d(u m (x)) afhænger af modstanden R l og af strømmen i l, hvoraf en del er membranstrømmen, som igen afhænger af modstanden R m og af U m (x). Altså: spændingen afhænger af spændingsfaldet, der igen afhænger af spændingen. Denne afhængighed udtrykkes matematisk: Den indre modstand er proportional med længden: R l (Ω) = r l dx Membranmodstanden er omvendt proportional med arealet, og dermed med længden: R m (Ω) = r m /dx 6

Af Kirschoff s knudepunktslov findes: i m (x) = - d(i l (x)) (5) Faldet i membranspænding skyldes spændingsfaldet over R l : d(u m (x))=-i l (x) R l =-i l (x) r l dx eller d(u m (x))/dx = - r l i l (x) (6) Membranstrømmen bestemmes af membranspænding og membranmodstand: i m (x) = U m (x)/r m = (1/r m ) U m (x) dx Indsættes (5) heri fås: - d(i l (x)) = (1/r m ) U m (x) dx (7) Ligning (6) differentieres: d 2 (U m (x))/dx 2 = - r l d(i l (x)) dx og (7) indsættes: d 2 (U m (x))/dx 2 = - r l d(i l (x)) dx = r l (1/r m ) U m (x) dx, der omformes til: d 2 (U m (x))/dx 2 (r l /r m ) U m (x)dx = 0, Løsningen antages at have formen: U m (x) = A e Bx (8) For x = 0 antager U m (0) værdien U m,der indsat i (8) giver: A = U m, U m (x) = U m e Bx (9) Løsningen (9) indsættes i diferentialligningen: B 2 U m e Bx - (r l /r m ) U m e Bx = 0 1 hvoraf : B = rm rl Den endelige løsning bliver da: m m x λ U ( x) = U e hvor λ = r r m l kaldes længdekonstanten. Membranspænding aftager altså eksponentielt med afstanden fra stimulusstedet. Det samme gør både den langsgående strøm og membranstrømmen. 7

Nedenfor er membranspændingens eksponentielt aftagende forløb vist: U m (x) U m U m 0.37 0 λ x mm For x = λ fås U m (λ) = U m e -1 = U m 0.37 Kurvens hældning findes ved differentation: x d( Um( x)) U m λ = e dx λ For x = 0 bliver hældningen -U m /λ, og begyndelsestangenten vil da skære y-aksen i afstanden λ fra 0-punktet. Hvis kurven havde fortsat faldet lineært med begyndelseshældningen, var spændingen blevet nul i afstanden λ fra stimuluspunktet. Imidlertid aftager hældningen også (eksponentielt) med afstanden fra stimulusstedet. Det gælder for et hvert punkt, at tangenten til kurven vil skære x-aksen i afstanden λ fra punktet. Som nævnt tidligere er der i ovenfor gennemførte betragtninger og beregninger bl.a. ikke taget hensyn til tidsafhængigheden, knyttet til membrankapaciteterne og den hertil hørende ladestrøm. Ovenstående kurve viser derfor den værdi, som membranspændingen ville nå, når membrankapaciteterne på et givet sted var helt opladede (altså efter uendelig lang tid). Forår 2001, Hans Peter Nissen-Petersen 8

Note 0: Læsevejledning til biofysik, cellebiologisk kursus Side 1 INDLEDNING BIOFYSIK I DET CELLEBIOLOGISKE KURSUS I biofysik (almen fysiologi) i det cellebiologiske kursus behandles følgende områder: 1. TRANSPORTPROCESSER 2. ALMEN NERVEFYSIOLOGI 3. CELLULÆR SIGNALERING 4. IMPULSTRANSMISSION OVER CELLEGRÆNSER 5. ALMEN SANSEFYSIOLOGI 6. ALMEN MUSKELFYSIOLOGI Undervisningen i biofysik baseres på Noter til biofysik (www.mfi.ku.dk) o Note 1: Migration og diffusion o Note 2: Membranpotentialer o Note 3: Receptorer o Note 4: Opklarende note om transport o Note 5: En kort introduktion til elektricitetslære o Note 6: Teoretiske gennemgang af "elektrisk kapacitet" og "membranmodeller" Alberts et al.: The Cell, 4. udgave (1994) ELLER Lodish et al.: Molecular Cell Biology, 4. udgave (2000) Berne & Levy: Physiology, 4. udgave (1998) Vejledninger i biofysikøvelser (www.mfi.ku.dk) o Øvelse 1: Membrantransport o Øvelse 2: Nerveimpulsen o Øvelse 3: Sensoriske receptorer o Øvelse 4: Muskelkontraktionen Læsevejledningen anfører ikke alle de forudsætninger i matematik, fysik og kemi, som er nødvendige for forståelsen af stoffet. Til hjælp ved indlæringen er sådanne forudsætninger tjener bl.a. notesamlingen. Som eksempler herpå er afsnittene om elektrisk felt og potential i note 1 (Migration og diffusion). Stof af denne type vil ikke blive afkrævet som samlet besvarelse, men det er nødvendigt for tilegnelse af lærestoffet at være fortrolig med begreber som elektrisk felt, elektrisk potential og elektrisk kapacitet. Lignende forhold gælder en række andre fysiske begreber som kraft, energi, effekt, tryk etc., der står anført i Documenta Biochimica et Biophysica (www.mfi.ku.dk). Ved henvisninger til undervisningsmaterialerne anvendes forkortelserne N1, N2, N3 og N4 (noterne), A (Alberts et al.), L (Lodish et al.), B&L (Berne & Levy) og Ø1, Ø2, Ø3 og Ø4 (øvelserne) I det følgende har vi defineret de adfærdstermer - efter Blooms taksonomi - der anvendes i denne læsevejledning: definere og beregne: er præcise udtryk og skulle ikke volde vanskeligheder. angive: oplyse om en størrelse, f. eks. om en koncentration eller et koncentrationsinterval, eller oplyse om indgående faktorer i en relation (f. eks. sammenhængen mellem diffusionskoefficient og molekylbevægelighed), eller oplyse om en systematisk inddeling (fx elektrisk versus kemisk synaptisk transmission). Som det vil fremgå af pensumbeskrivelsen anvendes termen ret bredt. beskrive: bruges når der ikke indgår årsags-virkningsforhold i emnet. Beskrivelsen kan naturligvis gøres mere eller mindre detaljeret (jf. næste punkt). redegøre for: bruges når man ønsker en beskrivelse af processer eller mekanismer, hvori der indgår årsagsvirkningssammenhænge. skitsere: anvendes når man ønsker kendskab til en kurves forløb med angivelse af parametre (kvalitativt) på X-akse (abscisse) og Y-akse (ordinat). tegne: anvendes når der skal tegnes et nøjagtigt kurveforløb med angivelse af parametrenes art og enhedernes størrelse på X-akse (abscisse) og Y-akse (ordinat). LÆSEVEJLEDNING INDEN FOR DE SEKS EMNEOMRÅDER Den studerende forventes at kunne: 1. TRANSPORTPROCESSER (N1; N2; A: 583-637; L: 578-613, 918-920; B&L: 3-29; Ø1) 1.1. STOFTRANSPORT I ET FRIT, UBEGRÆNSET MEDIUM definere transportstrømtætheden eller fluxen (N1) redegøre for den almene transportligning (J = N v = B N X) og herunder beskrive de enkelte faktorer, som er bestemmende for fluxen (N1) redegøre for de drivende kræfter bag transport ved migration og diffusion (N1) Medicinsk Fysiologisk Institut; 4. sept 2002

Note 0: Læsevejledning til biofysik, cellebiologisk kursus Side 2 beskrive de karakteristiske træk ved en diffusionsproces (N1) redegøre for Ficks lov for diffusion (N1, B&L) definere koncentrationsgradienten (N1) definere diffusionskoefficienten (N1, B&L) angive faktorer, der er bestemmende for diffusionskoefficientens størrelse (N1) redegøre i grove træk på det molekylære plan for mekanismen ved diffusionsprocessen (N1, B&L) angive sammenhængen mellem middelforskydning og diffusionskoefficient (Einstein-Smoluchowski-ligningen) og anvende relationen til vurdering af det tidsmæssige forløb af diffusionsprocesser (N1) angive sammenhængen mellem diffusionskoefficient og molekylbevægelighed (Einsteins relation) (N1) redegøre for størrelsen af stoftransport ved elektrodiffusion som eksempel på kombineret migration og diffusion (jf. Nernst-Planck-ligningerne som angives i Documenta Biochimica et Biophysica) (N2) 1.2. MEMBRANTRANSPORT definere permeabilitetskoefficienten (P) for et stof, der kan trænge gennem membranen (N1, A) angive de faktorer, som er bestemmende for permeabilitetskoefficientens størrelse (N1) anvende permeabilitetskoefficient ved beregning af transport (flux) af et stof med uladede molekyler gennem en membran (N1) 1.3. LIGEVÆGTSPOTENTIAL OG DIFFUSIONSPOTENTIAL definere begrebet en selektivt permeabel membran (N2) redegøre kvalitativt for oprindelsen til membranpotentialet over selektivt permeable membraner (N2, B&L) definere ligevægtspotential (N2) angive Nernst ligning for ligevægtspotentialet, og beskrive de enkelte faktorer, der er bestemmende for dette (N2, A, L, B&L) angive at der medgår så (relativt) få ladninger til opladning af en membran til ligevægtspotentialet, at koncentrationen i væskerne af den permeerende ion ikke ændres måleligt (N2, A) beregne ved hjælp af Nernst ligning om en given iontype er i ligevægt over en membran (N2, A, L) definere diffusionspotential (N2) redegøre kvalitativt for mekanismen bag et diffusionspotentials opståen og for de faktorer, som er bestemmende for dettes størrelse (N2, B&L) 1.4. OSMOSE definere begreberne en semipermeabel membran og en ideel semipermeabel membran (N1, N2) definere osmose (N1, B&L) redegøre kvalitativt for mekanismen ved osmose (N1, B&L) definere osmotisk tryk (N1, B&L) angive og anvende van't Hoffs ligning (N1, B&L) angive hvilke faktorer der er bestemmende for størrelsen af det osmotiske tryk (N1, B&L) 1.5. DONNANLIGEVÆGT angive betingelserne for fremkomsten af en Donnanligevægt (N2, A, L, B&L) angive udtrykket for ligevægtsfordelingen af de permeerende ioner (N2, B&L) angive hvorledes membranpotentialet, Donnanpotentialet, kan beregnes med Nernst ligning (N2, B&L) 1.6. DEN LEVENDE CELLES MEMBRANPOTENTIAL angive rimelige værdier under normale fysiologiske forhold for koncentrationerne af Na +, K + og Cl i axoplasma og ekstracellulærvæsken (A, L, B&L) angive et eksempel på den uexciterede (hvilende) membrans relative gennemtrængelighed for ioner (nerven: P Na : P K : P Cl = 1 : 40 : 30) redegøre for hvorfor de to oven for anførte forhold bevirker, at der eksisterer en potentialforskel over membranen (hvilemembranpotentialet) (N2) redegøre for de faktorer, som er bestemmende for hvilemembranpotentialets størrelse og fortegn (N2, B&L) redegøre for den mekanisme (aktiv transport), der betinger opretholdelse i længere tid af den "skæve" ionfordeling over membranen (A, L, B&L) redegøre for at membranpotentialet skal klassificeres som et diffusionspotential (og ikke som et ligevægtspotential), idet animalske membraner er permeable for mere end een iontype (N2) 1.7. TRANSPORT GENNEM CELLEMEMBRANER 1.7.1. Passive transportmekanismer redegøre for cellemembranens passive permeabilitetsegenskaber i relation til cellemembranens struktur (A, L) beskrive de karakteristiske træk for transport ved simpel diffusion gennem cellemembraner (N1, N4, A, L) angive hvilke typer af stoffer, som transporteres gennem cellemembranen ved simpel diffusion (N4, A, L) angive hvilke typer af stoffer, som nødvendigvis må transporteres ved faciliteret diffusion ("carrier-mediated diffusion") (N4, A, L, B&L) beskrive karakteristiske træk for faciliteret transport (mætningskinetik, kemisk specificitet, kompetitiv hæmning) (N4, B&L) Medicinsk Fysiologisk Institut; 4. sept 2002