Opgave 6 Ligningen 15 0 (x + 1 /2 dx = 42 løses ved hjælp af GeoGebra CAS: Løsningen er derfor a = 1. Se Bilag 2! Opgave 7 Et søjlediagram over hyppighed af lønsum er vist nedenfor. Gennemsnittet er 64.4 mio. $. Medianen er 64 mio.$. Nedre kvartil er 58 mio. $. Øvre kvartil er 70 mio. $. c) Et xy-plot af sammenhngen mellem den årlige lønsum og antallet af sejre er vist nedenfor. side 1 af 8
Den bedste rette linje har ligningen y = 0.61x 6.18, men som det ses af figuren er den lineære regressionsmodel ganske upræcis, hvilket også ses af at determinationskoefficienten R 2 er helt nede på 0.29. d) I den amerikanske basketballliga er der 30 hold og en nylig undersøgelse for sæsonen 2011-2012 har vist at holdenes løssum i gennemsnit er 64.4 mio. $. Ca. halvdelen af holdene ligger under gennemsnittet og de resterende hold ligger over. En fjerdedel har en lønsum under 58 mio. $ og en fjerdedel har en lønsum over 70 mio. $. Der er en svag tendens til at holdene med høj lønsum har mange sejre således at 1 mio. $ mere i lønningsposen giver 0.6 ekstra sejre. Opgave 8 Idet prisen som funktion af afsætningen er givet ved f (x) = 69 0.98 x for x [0; 100] kan prisen ved en afsætning på 25 tons beregnes til f (25) = 69 0.98 25 = 41.64 så prisen er 41 640 kroner. Omsætningen er givet ved R (x) = 69 x 0.98 x for x [0; 100]. Den afledte funktion er R (x) = 69 0.98 x + 69 x 0.98 x ln (0.98). Vi finder eventuelle stationære punkter ved at sætte den afledte lig nul. R (x) = 0 69 0.98 x + 69 x 0.98 x ln (0.98) = 0 1 + x ln (0.98) = 0 x = 1 ln (0.98) = 49.5 Vi beregner R (0) = 0, R (49.5) = 1256.45 og R (100) = 915.07. Den størst mulige omsætning er derfor 1 256 450 kroner. side 2 af 8
c) Omkostningerne C er givet ved C (x) = 12x + 250 for x [0; 100]. Overskuddet P er derfor P (x) = R (x) C (x) = 69 x 0.98 x (12x 250). Ved hjælp af GeoGebra CAS ses at den maksimale omsætning opnås når afsætningen er 32.8 tons. Den tilsvarende pris beregnes til 35 570 kroner. Opgave 9 Data fra filen ISS er indlæst i Open Office Calc og derefter sammentalt ved hjælp af en pivot-tabel (datapilot). Resultatet er angivet nedenfor. Vi ønsker at teste følgende nulhypotese: H 0 : Servicetypen er uafhængig af landsdel. A : Servicetypen afhænger af landsdelen. De forventede værdier fremgår af nedenstående tabel. side 3 af 8
c) Beregning af χ 2 -teststørrelsen given 26.3 hvilket er så meget over den kritiske værdi at GeoGebra har afrundet p-værdien til 0. Da p-værdien er under signifikansniveauet på 5 % afviser vi nulhypotesen H 0 om uafhængighed og konkluderer at fordelingen af de forskellige servicetyper er afhængig af landsdelen. Opgave 10 Den partikulære løsning til differentialligningen findes ved hjælp af GeoGebra CAS. dy = 0.05y + 10 dx Løsningen er således A (x) = 200 200 e x /20. side 4 af 8
Den forventede afsætning efter 30 dage er A (30) = 200 200 e 30 /20 = 155.37 eller 155 370 stk. Opgave 11 Funktionen f og dens afledte er Den anden afledte sættes lig nul. f (x) = 1 3 x3 + 6x 2 32x + 60, f (x) = x 2 + 12x 32, f (x) = 2x + 12. f (x) = 0, 2x + 12 = 0, x = 6. Da f er lineær og aftagende skifter f fortegn ved x = 6, så det er førstekoordinaten for et vendepunkt. Vendetangentens ligning er y = f (6) (x 6) + f (6) y = 4 (x 6) + 12 y = 4x 12. Vendetantentens skæringspunkt med x-aksen beregnes. t (x) = 0 4x 12 = 0 x = 3 side 5 af 8
Arealet kan beregnes ved at dele det op ved x = 3, og beregne hver delareal med et bestemt integral. Arealet er derfor lig 90. 3 0 f (x) dx + 6 3 (f (x) t (x)) dx = 333 4 + 27 4 = 90. Opgave 12A Ydelsen for et annuitetslån på 175 000 kroner, der skal betales over 10 terminer med en rente på 2.2 %, beregnes ved så den faste ydelse skal være 19 686.60 kroner. y = A 0 r 1 (1 + r) n = 175000 0.022 1 1.022 10 = 19686.6 Hvis Gregers i stedet betaler en ydelse på 21 000 kroner, vil restgælden efter 9. ydelse være 175000 1.022 9 21000 1.0229 1 0.022 = 6346.43. Efter yderligere en rente tilskrivning er gælden vokset til 6346.43 1.022 = 6486.05, så den sidste ydelse bliver 6 486.05 kroner. Opgave 12B En købmand laver en stikprøve på 1500 liter solgt mælk og ser at 450 liter var økologisk. side 6 af 8
Et 95 % konfidensinterval er beregnet til [0.277; 0.323]. Da 0.28 ligger i konfidensintervallet, kan vi ikke udelukke hypotesen om at 28 % af salget er økologisk mælk. Hvis andelen af økologisk mælk er 28 % så kan sandsynligheden for at mindst 450 liter er økologiske i en stikprøve på 1500 beregnes ved hjælp af sandsynlighedslommeregneren. Sandsynligheden for at sælge mindst 450 økologiske mælk er derfor 0.046. Opgave 12C Dækningsbidraget DB er givet ved DB (x, y) = 0.04x 2 + 60x + 5y 1000. Niveaukurven N (20000)er givet ved ligningen DB (x, y) = 20000 side 7 af 8
0.04x 2 + 60x + 5y 1000 = 20000 5y = 0.04x 2 60x + 21000 y = 0.008x 2 12x + 4200. Niveaukurven er derfor en parabel som illustreret på figuren. Af figuren ses at maksimum opnås ved at forskyde niveaukurven mest muligt opad, hvilket medfører at maksimum må antages på kanten hvor y = 6000. Vi sætter derfor y = 6000 ind i kriteriefunktionen og definerer følgende funktion. f (x) = DB (x, 6000) = 0.04x 2 + 60x + 5 6000 1000 = 0.04x 2 + 60x + 29000. Dette 2.-gradspolynomium har et maksimum som kan findes ved hjælp at toppunktsformelen, så x = 750. Det optimale er derfor at producere 750 stk. vare A og 6000 stk. vare B. 60 2 ( 0.04) = side 8 af 8