Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a."

Transkript

1 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper f udviklinger, som kn beskrives ved hjælp f forskellige kombintioner f disse potenser f. for > Vi hr set på funktionen f() =, på funktionen f() =, på funktionen f() = = og på kombinerede funktioner, som f f() = + 4 for 0 < < for < 0 Fælles for disse tper f funktioner er, t de som grundfunktion indeholder vrinter f udtrkket. Indtil videre hr det gennemgående træk i funktionerne været, t vi kun hr set på heltllige potenser f. Dette princip vil vi nu frvige til også t omftte funktioner f tpen f() =, hvor er et vilkårligt reelt tl. Hvis eksponenten er en brøk, kn funktionen skrives på formen f() = p q = q p funktioner der generelt kun er defineret for positive reelle tl. Tænk blot på funktionen f() = =, hvor det som bekendt ikke er muligt t uddrge kvdrtroden f negtive tl. er fællesbetegnelsen for de funktioner, der indeholder en potens f. Når potensfunktioner optræder i en beskrivelse f nogle prktiske smmenhænge, en såkldt potensudvikling, så er det undtgelsen, t de kun optræder i rene udtrk f potensfunktioner. 80 KAPITEL 5

2 POTENSFUNKTION - POTENSUDVIKLING Ved en potensfunktion eller en potensudvikling forstås en udvikling, der kn beskrives ved en funktion med forskriften f() = b, > 0 hvor R og b R + E Ld der være givet en potensudvikling, der er beskrevet ved følgende potensfunktion f() = 3, > 0. Smmenhængen i - og -værdierne findes på sædvnlig vis ved t indsætte den ufhængige vribel. Vlget f - værdierne i ovenstående skem er ikke vlgt helt tilfældigt. Udregner vi den procentvise stigning i henholdsvis - og i -værdierne får vi skemet til højre: Hvis stiger 0%, så stiger 33,%. Mn kn vise, t øges -værdien med en fst procentsts, så øges -værdien også med en fst procentsts. Dette er en vigtig egenskb, som kntter sig til potensudviklinger. -værdi -værdi,0,0,,66, 3,543,33 4,758 Stigning i Stigning i -værdien -værdien 0% 33,% 0% 33,% 0% 33,% Ø Ld der være givet en potensudvikling repræsenteret ved nedenstående potensfunktion. f() = 3 0,75, hvor > 0 ) Vælg en vilkårlig -værdi og lv en tbel, hvor -værdierne hver gng stiger med 0%. Udregn de tilsvrende -værdier. b) Angiv en tbel, hvori den tilsvrende stigning i -værdierne er udregnet i procent. Inspireret f ovenstående eksempel og øvelse, vil vi her, uden bevis, konkludere nedenstående vigtige egenskb for potensudviklinger. POTENSUDVIKLINGER Potensudviklinger hr den vigtige egenskb, t øges -værdien med en fst procentsts, så vil -værdien også øges med en fst procentsts. Det er kun potensudviklinger, der hr denne egenskb. KAPITEL 5 8

3 5. GRAFEN FOR EN POTENSUDVIKLING Vi skl i dette fsnit se på, hvilke muligheder vi hr for grfisk t fbilde en udvikling, der følger en potensudvikling Der er oplgt den sædvnlige metode for fbildning i et normlt koordintsstem. Herefter vil vi introducere endnu et nt koordintsstem, en tpe koordintsstem, der er særdeles velegnet til grfisk fbildning f netop potensudviklinger. E Ld os betrgte den potensudvikling der er repræsenteret ved forskriften f() = 3. Med henblik på t tegne det grfiske billede i et sædvnligt koordintsstem bestemmer vi en række punkter, idet vi husker, t betingelserne > 0, b > 0 og er et reelt tl skl være opfldt. -værdi -værdi 0, 0,00,0,0 6 3,0 54 Vi kn bentte lommeregneren til t bestemme funktionsværdierne, som vist nedenfor. Grfen for f er vist her til højre i et pssende vlgt koordintsstem Bentter vi os f lommeregneren til t kontrollere det grfiske billede, fås følgende tbelværdier og grfiske billede, hvilket stemmer godt overens med det beregnede KAPITEL 5

4 Vi introducerede enkeltlogritmisk ppir i Mtemtik C, hvor -ksen hr logritmisk inddeling. Vi så, t eksponentielle funktioner f formen f() = b lle ved indtegning i et enkeltlogritmisk koordintsstem gv en ret linie. Vi skl nu se på et næsten tilsvrende funktionsppir, men hvor både -ksen og -ksen er logritmisk inddelt et såkldt dobbeltlogritmisk koordintsstem. Specielt er det for os interessnt t finde de funktionstper, der indtegnet i et dobbeltlogritmisk koordintsstem giver en ret linie. Vi skl senere se, t det netop er potensudviklinger som hr den egenskb. En dekde betder et ntl f ti; tidsrum på ti dge eller en periode på 0 år; et tiår! Eller som vi bentter det som inddelinger f 0 eller potenser f 0. Men først ser vi på opbgningen f et dobbeltlogritmisk koordintsstem. Dette gør vi gennem eksemplet på næste side. Løs nedenstående Sudoku-opgver. KAPITEL 5 83

5 E 0 Q(0,7, 0) 0 B A 0, 0, 0,3 0,4 0,5 O(, ) C R(0,5, 0,7) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 P(,5,,5) 3 4 S(4, 0,5) 5 6 0,3 D 0, E 0, Som det fremgår f det dobbeltlogritmiske koordintsstem ovenfor er -ksen (som ved et enkeltlogritmisk koordintsstem) opdelt i 3 lodrette dekder, og -ksen er nu også opdelt i vndrette dekder. 84 KAPITEL 5

6 Koordintsstemet er defineret, når vi hr vlgt -ksens og - ksens beliggenhed. Skæringspunktet mellem kserne får derved koordintsættet (, ). Koordinterne kn eventuelt være en potens f 0. Hermed er koordintsstemet defineret. Til derligere illustrtion er indtegnet punkterne O(, ), P(,5,,5), Q(0,7, 0), R(0,5, 0,7) og S(4, 0,5). Ø Aflæs koordinterne til punkterne A, B, C, D og E. Generelt gælder der følgende smmenhæng: GRAF I DOBBELT-LOGARITMISK KOORDINATSYSTEM De funktioner, der indtegnet i et dobbeltlogritmisk koordintsstem giver en ret linie, er netop potensfunktionerne, dvs. de funktioner, der hr en forskrift f() = b, > 0 hvor ³R og b ³R + KAPITEL 5 85

7 E3 I et speditionsfirm er der mnge forskellige størrelser, der skl tges hensn til: Når frgtruterne skl bestemmes, når ne bilertper skl nvendes, hvilken hstighed skl der køres med osv. Når gennemsnitshstigheden for trnsporten skl bestemmes, skl der tges hensn til hviletidsbestemmelser, benzinforbrug og mnge ndre ting. En medbestemmende fktor for det smlede benzinforbrug er den energi bilen skl fremstille for t overvinde vindmodstnden. Når hstigheden øges, så vokser vindmodstnden efter en nøje udregnet funktionsforskrift bestemt ved: f() = 0,6 0,5,5 Funktionen f ngiver den smlede vindmodstnd (målt i enheden Newton), når hstigheden øges enheder (målt i m/sek.). Newton (N) er en fsisk måleenhed, der måler energi. N er defineret som den energi, der skl til for t give en msse på kg en hstighedsforøgelse på meter pr. sek.. En vindspoiler koster c kr. Af digrmmerne kn vi læse, t mn kn årligt spre SKr (svenske kroner) ved en investering på omkring kr. En trnsportlst kører i gennemsnit km om året! 86 KAPITEL 5

8 Det er oplgt, t jo større vindmodstnd, der skl overvindes, jo større bliver benzinforbruget, som igen influerer på den smlede pris trnsporten koster. Vi ønsker t fremstille det grfiske billede i et dobbeltlogritmisk koordintsstem. Det grfiske billede kn nu nvendes til forskellige flæsninger. Bl.. kn vi flæse, t hvis vi fordobler hstigheden, så vil vindmodstnden stige med 300% Vindmodstnd N Hstighed målt i m/sek 0 Medvind hr stort set ingen indfldelse på brændstofforbruget, mens modvind og specielt sidevind tpisk kn reducere forbruget med op til 40% målt på enketdge. KAPITEL 5 87

9 Af eksempel 3 ser vi, t grfen for potensfunktionen f indtegnet i et dobbeltlogritmisk koordintsstem giver en ret linie. Ø En lndmnd hr f et gødningsfirm fået tilsendt følgende reklme: DYRT MEN GODT Reklmen kntter en smmenhæng mellem ntllet f kilo gødning, som lndmnden kn bentte sig f, og merudbttet f() pr. h opdrket jord målt i kr. Gødningsfirmet kntter smmenhængen i nedenstående funktion f. f() = 600,3, hvor 0 < 0 ) Tegn det grfiske billede for funktionen f i et dobbeltlogritmisk koordintsstem. b) Aflæs merindtjeningen pr. h. ved nvendelse f 0 kg gødning. Ø3 Indtegn grfer for nedenstående funktioner i et dobbeltlogritmisk koordintsstem. ) f() = 0,8 b) f() = 8 c) f() = 3 d) f() = 3 Ø4 Som en øvelse i mundtlig fremlæggelse, skl du gøre rede for opbgningen f et dobbeltlogritmisk ppir og bevise, t det kun er potensfunktionerne, der indtegnet i et sådnt funktionsppir giver en ret linie. Lndmnden nvender gødningen som foreskrevet i reklmemterilet. Et år hr hn hft en merindtjening pr. h på kr. c) Hvor mnge kg gødning hr lndmnden nvendt pr. h? d) Hvorfor er det nødvendigt med en øvre grænse på? 88 KAPITEL 5

10 5.3 BESTEMMELSE AF FORSKRIFT FOR POTENSFUNKTION En forskrift til en potensfunktion kn bestemmes ud fr to grfpunkter I lighed med tidligere vil vi gerne kunne fgøre, hvornår en given udvikling følger en potensudvikling. Hvis situtionen er omvendt, og vi kender nogle funktionsværdier for en potensfunktion, dvs. nogle punkter grfen går igennem, så er det muligt t bestemme forskriften for potensfunktionen. Der findes en grfisk metode og en beregningsmetode. Metoderne illustreres i nedenstående eksempel. E Ld der være givet grfen for en potensfunktion f, som går gennem punkterne (, 3) og (5, 8). Forskriften for f kn findes på to forskellige måder: Grfisk metode Som det ses f det grfiske billede for f, så er det oplgt t skæringen med -ksen er størrelsen b (fås når = ). Vi flæser her 0 b =,45. Hældningen for linien, svrende D til størrelsen, og fås ved = D, hvor og måles i cm. Vi måler her med linel = =,8 og får derfor = Grfen for f Ved den grfiske metode fås forskriften for f til f() =,45 =,45 Δ= c.,8 cm b =,45 Δ= c.,8 cm KAPITEL 5 89

11 Beregningsmetoden Funktionen f hr forskriften f() = b, og d grfen for f går gennem punktet (, 3) og (5, 8) kn forskriften findes som = Ë Û lnì Ü Í Ý ln b = Hvis vi sætter (, 3) = (, ) og (5, 8) = (, ), så kn udregnes til = Ë Û lnì Ü ln 8 Í Ý 3 = = ln 5 ln,07 og b til b = = 3.,07 =,43 Forskriften til f er ltså f() =,43,07 FORSKRIFT FOR POTENSFUNKTION Forskriften for en potensfunktion f()= b, hvis grf går gennem to punkter (, ) og (, ) bestemmes ved = Ë Û lnì Ü Í Ý ln b = 90 KAPITEL 5

12 Ø Som det fremgår f eksempel er det lidt besværligt grfisk t bestemme forskriften for f præcist. Resulttet er dog cceptbelt. Om en funktion f() = b oplses det, t f(0) = og f(5) = 54. ) Tegn i et pssende vlgt dobbeltlogritmisk koordintsstem grfen for f. b) Bestem tllene og b dels ved beregning og dels ved grfisk flæsning. c) Overvej, hvorfor liniens hældning i et dobbeltlogritmisk koordintsstem egentlig bre bestemmes på smme måde, som hældningen for en ret linie i et lmindeligt koordintsstem. Ø Bestem nedenstående funktioners regneforskrift. Vink! Tegn de to grfer og forlæng linierne, så de skærer -ksen (,5) g (3,3) (5,7) f (8,) Beviset for påstnden side 90 gennemføres ved vi bentter generelle punkter (, ) og (, ) til t bestemme forskriften med. Når punkterne ligger på grfen må = b b = = b = Mn hr fundet ud f, t hvis vindhstigheden fordobles når den rmmer en vindmølle, så vil energien i luftstrømmen være vokset i 3. potens. b = b = Ë = Ì Í Û Ü Ý ln ln Det er bl.. derfor, t flere og flere vindmølleprker skder op til vnds, hvor vinden hr størst hstighed. KAPITEL 5 9

13 b = ln = ln b = = ln ln Hermed hr vi vist påstnden. Bestemmelse f forskrift ved hjælp f lommeregner TI-84 For t bestemme forskriften for en potensfunktion vh. TI-84 skl mn først hve punkterne indtstet i lommeregneren. Ld os bestemme forskriften for den potensfunktion fr E, der går gennem punkterne (, 3) og (5, 8). Dette gøres i menuen STAT, EDIT, Edit X-værdierne skl indtstes i L, mens - værdierne indtstes L. Tllene skl stå overfor hinnden prvis. Nu skl forskriften beregnes. Dette gøres i menuen STAT, BRGN og vælg A: PotensReg, ENTER, ENTER Bemærk, t lommeregneren btter om på bogstverne og b. f(),485, KAPITEL 5

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS Software version 2.1 introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS introduktion og eksempler Copyright 2010 by Texas Instruments Denne PDF-fil er gratis og må frit bruges til undervisningsformål.

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Bjørn Felsager Revideret November 2011 329 Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Chi-i-anden-testen

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene?

Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene? Offentlige investeringer eller skattelettelser hvordan får vi mest vækst for pengene? Jan Rose Skaksen, Økonomisk Institut, CBS Jens Sand Kirk, DREAM Peter Stephensen, DREAM 1. Introduktion Danmark har

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL Lister kan i Excel anvendes til forskellige formål. Her skal vi se på et af disse, nemlig anvendelsen af lister til "databaselignende" funktioner. For at kunne anvende de

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Excel-6: HVIS-funktionen

Excel-6: HVIS-funktionen Excel-6: HVIS-funktionen Regnearket Excel indeholder et væld af "funktioner" som kan bruges til forskellige ting indenfor f.eks. finans, statistik, logiske beregninger, beregninger med datoer og meget

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

SAMFUNDSØKONOMISKE GEVINSTER VED ARBEJDSMARKEDS- RETTEDE INDSATSER FOR PERSONER MED HANDICAP

SAMFUNDSØKONOMISKE GEVINSTER VED ARBEJDSMARKEDS- RETTEDE INDSATSER FOR PERSONER MED HANDICAP JANUAR 2014 DET CENTRALE HANDICAPRÅD SAMFUNDSØKONOMISKE GEVINSTER VED ARBEJDSMARKEDS- RETTEDE INDSATSER FOR PERSONER MED HANDICAP RAPPORT ADRESSE COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby TLF +45 56

Læs mere

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Software version 3.6 Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Eksempelsamlingen 1. del Introduktion til værkstederne Copyright december 2013 by Texas Instruments Eksempelsamlingen vedligeholdes

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode)

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Adept Scientific 2008 I Document mode har du en helt blank side at skrive på, og altså ingen røde >. Når du åbner en ny side, ser øverste venstre hjørne således

Læs mere