Løsningsforslag til Geometri klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse"

Transkript

1 1 Løsningsforslag til Geometri klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel 1 Eksperimentel geometri Øvelse 1 3) Der er uendeligt mange løsninger. Den viste er fundet ved at afsætte et linjestykke AB på 20 cm, tegne en cirkel med centrum i B og radius 17 cm, tegne en cirkel med centrum i A og radius 5 cm. Dernæst bestemmes to punkter C og D på de to cirkelperiferier, hvor afstanden er 10 cm, idet man vælger D på den lille cirkel og bruger D som centrum for en cirkel med radius 10 cm, som skærer den store cirkel i C. C D A B

2 2 Øvelse 2 5) Linjestykket AB lig 100 mm afsættes, og vinkel A lig 60 afsættes. Vinklens venstre ben forlænges til skæring med en cirkel, der har centrum i B og radius 94 mm, hvorved skæringspunkterne C og D fremkommer. Altså er der to løsninger. Undersøgelse 3 1) Gårdejerne søger et punkt P med samme afstand til alle gårdene A, B og C. Da punktet P skal have lige stor afstand til A og B, må det ligge på midtnormalen for AB og tilsvarende for de øvrige siders midtnormaler. P er derfor skæringspunktet mellem midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC. Der er altså kun ét punkt med den søgte egenskab, når man ser strengt geometrisk på det. Spørgsmålet er imidlertid, om denne løsning er den smarteste. Det kunne være billigere at minimere den samlede rørlængde hen til brønden, altså AP + BP + CP, og dette ville give en anden placering, som man kan eksperimentere sig frem til ved at tegne og måle (eller ved at bruge målefunktionen i et geometrisk tegneprogram) og så flytte P rundt, indtil man får den mindste værdi for AP + BP + CP. Det viser sig, at positionen udmærker sig ved, at vinklerne mellem de fra P udløbende rør er lige store og altså ) Grænserne for den enkeltes arbejdsmark udgøres af midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC.

3 3 Øvelse 3 Vi afsætter først vinkel A med sine to ben, AB på 6 og AD på 2½. Med hhv. D og B som centrum tegnes to cirkler med radier hhv. 6½ og 5. Hvor de skærer hinanden findes punktet C: Øvelse 4

4 4 Øvelse 5 1) Linjen c tegnes. Punktet C afsættes i en afstand på 10 cm fra c. Højden h c afsættes. Med centrum i C og radius 12 cm tegnes en cirkel. Skæringspunkterne med c betegnes A og A. Tilsvarende tegnes en cirkel med centrum i C og radius 14 cm. Skæringspunkterne med c betegnes B og B. Der er således fire løsninger: ABC, AB ' C, A' B ' C og A' BC, de er dog to og to kongruente. C h B A c A' B' 5) Inspireret af at h a er lig 10 cm tegnes to parallelle linjer med afstand 10 cm, den nederste kaldes a. På den øverste vælges et punkt som A. Med A som centrum og radius 12 cm tegnes en cirkel, denne skærer a i to punkter, M og M, det giver to løsninger, her viser vi kun den ene. Skæringspunktet M udgør midtpunkt på BC. Om B og C ved vi kun, at de skal ligge på a. Men vi ved, at den omskrevne cirkel har midtnormalernes skæringspunkt som centrum, derfor tegnes midtnormalen n til BC. For at finde centrum for den omskrevne cirkel tegnes en cirkel med centrum i A og radius 8 cm. Cirklen skærer n i to punkter D og E, et af disse udgør centrum. E kan ikke bruges, da en cirkel med radius 8 cm og centrum i E ikke kan nå a, hvor B og C skal ligge, altså er D centrum.

5 5 Med centrum i D og radius 8 cm tegnes en cirkel, hvor denne skærer a, har vi B og C. Havde vi benyttet M havde vi fået en hermed kongruent trekant. E A R n D m M ' B a M C

6 6 Kapitel 2 Lokalisering, afstand og bevægelse Øvelse 4 1) 2) c a b = + = + = = a c b = + = + = = ) og 4) AB = 10. Tegn situationen og find en passende retvinklet trekant med kateter 6 og 8. Øvelse 5 AC = AB = 3 (-7) = 10. Højden h i den ligesidede trekant findes ved hjælp af Pythagoras sætning: h + 5 = 10 h= 5 3 = 8, Så C får de på figuren angivne koordinater.

7 7 Øvelse 6 D = (4,7). Sidelængden = 2 2 (0 4) + (3 0) = 5. Diagonallængden = 2 2 (4 3) + (0 7) = 50 = 5 2. Øvelse 7 Formlen bliver ( x x ) + ( y y ) Øvelse 10 For at finde koordinatudtrykket for vektoren AB skal vi ifølge teorien øverst på side 677 parallelforskyde AB, så startpunktet for AB falder i (0,0). Dette kan man gøre ved at trække x 1 fra førstekoordinaten og y 1 fra andenkoordinaten i de to punkter Ax ( 1, y1) og Bx ( 2, y 2). Herved får det nye endepunkt B ' koordinaterne ( x2 x1, y2 y1). Det betyder, at AB har koordinaterne ( x x, y y ) Øvelse 13 1) Tur A og tur C bringer os hjem igen. 2) Hvis man adderer alle x-koordinaterne og får 0 som resultat samt alle y-koordinaterne og ligeledes får 0 som resultatet, så fører turen tilbage til udgangspunktet. Det er, fordi vektorer adderes ved at addere x-koordinaterne for sig og y-koordinaterne for sig. Fx (3,6) + ( 7,4) = (3 + ( 7),6 + 4) = ( 4,10)

8 8 Øvelse 14 Efter 20 minutter er han nået 1 3 ud af vektoren (3,4), dvs. nået ud til begyndelsespunktet plus 1 3 af vektoren (3,4): , 4 = 1, 3 3 3, altså til ( ) 4 2 5, 2 + 1, = 4, 3 3. Efter en halv time er han kommet til begyndelsespunktet plus det halve af vektoren (3,4): , 4 =, , altså til 3 7 ( 5, 2 ) +, 2 =, Efter to timer er han kommet dobbelt så langt, altså begyndelsespunktet plus 2 gange vektoren 2 3, 2 4 6,8 5, 2 + 6,8 = 1,6 (3,4): ( ) = ( ), altså til ( ) ( ) ( ) Generelt kan vi se, at til tiden t er han nået til begyndelsespunktet plus vektoren (3t, 4t), således at svar nr. 2 er det korrekte. Øvelse 15 En behagelighed ved denne tur er at Ali kommer hjem igen, idet P(0) = ( 5 + 0, 2 0) = (4 9,10 12) = P(3). Skal man afgøre, om han på noget tidspunkt går hurtigere end 5 km i timen, skal man se på koefficienterne til t på de to koordinater. I intervallet [1,2[ ser vi, at der står hhv. t og 5t, hvilket betyder, at han på en time bevæger sig 1 km (tilbage) i x-aksens retning og 5 km opad i y-aksens retning, hvilket klart sammenlagt giver mere end 5 km dog ikke 6, idet han jo bevæger sig direkte 2 2 og ruten beregnes ved Pythagoras sætning til = 26 > 5km/t

9 9 Kapitel 3 Undersøgelser af rumlige figurer Her er ingen forslag til besvarelser, da øvelserne i den grad er en opfordring til selv at undersøge.

10 10 Kapitel 4 Bevisførelse i geometri Øvelse 1 En mulig udlægning er, at den direkte vej, linjestykket, mellem to punkter aldrig er længere end summen af de to afstande man får ved at gå via et tredje punkt. Øvelse 2 1) Vi antager, at l er parallel med m, og m er parallel med n. Vi skal vise, at l er parallel med n. Det gør vi med et indirekte bevis. Vi antager, at l skærer n i et punkt P. Gennem punktet P har vi nu ifølge det forudsatte to linjer, der er parallelle med m, men ifølge aksiom 3 kan der igennem punktet P kun trækkes en linje parallel med m. Altså er l lig med n. Vi har hermed vist, at enten er l parallel med n eller også er l lig med n, og så er de også parallelle (definition 3). 2) Det er ikke noget bevis inden for den Euklidiske ramme, fordi det ikke bygger på definitioner, aksiomer og sætninger, vi allerede har vist, men derimod bygger på noget, vi af anden vej ved om parallelle linjer. Øvelse 3 Formlen kan findes ved at dele n-kanten op i ( n 2) trekanter. Man får vinkelsummen ( n 2) 180 Øvelse 4 1) C og nabovinklen z udgør tilsammen to rette Vi ved også, at A+ B+ Cogså er to rette. Vi har altså i kort notation: z + C = A + B + C. Ifølge den 3. almene lov må vi gerne trække det samme fra på hver side, og vi ender med z = A + B, hvilket skulle bevises. 2) Det er ikke nok oplysninger til at bestemme alle tre vinkler. 3) Oplysningerne giver tre ligninger: B + C = 100; A + C = 150 og A + B = 90. Løses disse ligninger fås A = 70, B = 20 og C = 80. Men det kan ikke lade sig gøre. Den samlede vinkelsum bliver kun 170. Trekanten eksisterer altså ikke.

11 11 Øvelse 6 Trekant ADE er ligebenet, så vinklerne kan bestemmes ud fra v. Trekant ADC er også ligebenet, så vinklerne kan også udtrykkes ved v. I alt bliver 5v = 180, v = 36, og det tre vinkler i trekanten er 72, 36 og 72. Øvelse 7 Den omvendte sætning må hedde: Hvis en trekant altså AC = CB. ABC har A = B, så er trekanten ligebenet, Bevis (tegn selv): Vi tegner vinkelhalveringslinjen CM i trekanten, de to trekanter CAM og CMB er kongruente, fordi de har to vinkler og dermed også den tredje vinkel parvis lige store, og de har CM fælles. Altså er AC = CB, hvilket skulle vises. Alternativ: Hvis man ikke er helt fortrolig med at bruge kongruenssætninger, kan man klare sig med et spejlingsargument, hvor man spejler trekanten i midtnormalen til AB. Men her har man i første omfang det problem, at man ikke kan vide, om midtnormalen går gennem C. Det kan man dog ret hurtigt argumentere for. Øvelse 10 Der ligger en dobbeltpåstand i sætningen, som ofte overses: 1) Hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB, og 2) Hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. For at kunne komme i gang med beviserne for disse to påstande, må vi lige repetere, at midtnormalen for AB pr definition er den vinkelrette på midtpunktet for linjestykket AB. For at understrege at beviser bygger på ræsonnementer, præsenterer vi beviset uden tegninger, men opfordrer læseren til selv at få støtte fra tegninger, hvis det bliver nødvendigt for at følge tankegangen.

12 12 Bevis for 1) Vi viser at hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB. Vi tegner først stykket AB, midtpunktet M og lader linjen m være vinkelret på AB i punktet M, og dermed er m altså midtnormal til AB. Vi lader P være et punkt på m og tegner PA og PB, så der opstår to trekanter PMA og PMB. Disse to trekanter er kongruente ifølge K3, idet MA = MB, PM = PM, og den mellemliggende vinkel ved M i begge trekanter er ret. Derfor er også PA = PB. Bevis for 2) Vi vil altså vise, at hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. Lad os tegne AB og punktet P samt linjestykkerne PA og PB. I udgangspunktet ved vi blot, at PA = PB, men ved anvendelse af sætning 3 ved vi også, at vinklerne ved grundlinjen i denne ligebenede trekant er lige store. Vi nedfælder nu den vinkelrette fra P på linjestykket AB lad os sige den ender i punktet N. Så er trekant PNA kongruent med trekant PNB. For hver af trekanterne har en ret vinkel, og vi har netop set, at de har vinklerne ved grundlinjen lige store. Det lægger op til, at vi kan bruge K2, hvis vi bare kan finde en side, som er lige stor i de to trekanter. Men her vil PM være et indlysende valg, da denne side er fælles for de to trekanter. Så de er kongruente, og dermed gælder også, at NA = NB, så N er midtpunkt, hvilket sammenholdt med de rette vinkler betyder, at linjen gennem N og P er midtnormal. P ligger altså på midtnormalen. Øvelse 11 Vi fortsætter øvelsen i at lave beviser uden tegninger. Men vi forestiller os trekant ABC tegnet og ligeledes to af midtnormalerne n og m for hhv. AB og BC. Lad P være skæringspunktet for n og m. Da P ligger på n, gælder ifølge sætning 4, at PA = PB. Men P ligger også på m, hvilket på samme måde betyder, at PB = PC. Kombineres de to ligheder fås PA = PC, hvilket betyder, at P ligger på midtnormalen til AC. P er altså det fælles skæringspunkt for alle tre midtnormaler. Ved at kombinere lighederne ses, at PA = PB = PC. Kaldes denne størrelse for r, ses at en cirkel med centrum i P og radius r vil gå lige akkurat gennem alle trekantens hjørner. Øvelse 12 I udgangspunktet har vi et parallelogram, altså en firkant ABCD med modstående sider parallelle, og vi vil bevise, at de modstående sider også er lige store. Fordi trekanter er det eneste, vi faktisk ved noget om i den teori, vi har opbygget, tegnes diagonalen AC, der giver os to trekanter ABC og ADC at ræsonnere ud fra. Da vi har en del parallelle linjer giver aksiom 4 (om at ensliggende vinkler ved sådanne er lige store) os nogle lige store vinkler: BCA = CAD og CAB = ACD. Da endvidere siden AC er fælles for de to trekanter, kan vi ved hjælp af K2 konkludere, at de to trekanter er kongruente. Det betyder specielt, at de øvrige sider også er parvis lige store. AB = CD og BC = AD, hvilket skulle vises.

13 13 Kapitel 5 Elementer af geometriens didaktik Ingen løsningsforslag

14 14 Kapitel 6 Måling i indskolingen om at bestemme længder Vi giver principielt nødig svarforslag til undersøgelser, men hvis ikke du kan få hul på undersøgelse1 kunne du starte med regnestykket ( ):2

15 15 Kapitel 7 Måling og Areal Øvelse 6 1) Vi har et kvadrat med areal 257 m 2. Fra sætning 5 (der siger, at forstørres alle sidelængder i en 2 polygon med en faktor f, så bliver arealet f gang så stort) har vi, at hvis omkredsen fordobles, så bliver arealet 2 2 gang så stort, altså m 2 = 1028 m 2. 2) Hvis sportspladsen er blevet forstørret med samme faktor på længde og bredde, kan vi tillade os at anvende sætning 5. Da arealet er blevet firdoblet og da 4 = 2 2, må der være tale om en lineær forstørrelse med en faktor 2. Omkredsen er således blevet 1800 meter. Men her er virkelig tale om et skøn, fordi vi ikke ved noget om, hvordan sportspladsen er blevet større. Hvis man nysgerrigt følger dette spor, så skifter opgaven karakter af en øvelse til en undersøgelse. Undersøgelsen vil vise, at hvis sportspladsen af en eller anden mærkelig grund fra starten var meget lang og smal, så ville omkredsens vækst afhænge meget af om den nye sportsplads blev lavet ved at lægge fire af de gamle i forlængelse af hinanden eller ved siden af hinanden langs de lange sider. Teoretisk set kan man herved, på den ene side få at omkredsen kun vokser ganske lidt, og på den anden at den vokser med en faktor tæt på fire ligesom arealet. 3) Hvis sidelængderne i rektanglet vælges til hhv. 99,9 m og 0,1 m bliver arealet = (99,9 0,1) m 2 = 9,99 m 2, altså kan arealet blive mindre end 10 m 2. Det største areal, som et rektangel med en omkreds på 200 m kan få, er, når rektanglet har form som et kvadrat med sidelængden 50 m, hvor arealet = (50 50) m 2 = 2500 m 2, altså kan arealet ikke bliver større end 5000 m 2. 4) Dette er et spørgsmål, der har optaget matematikerne siden den græske oldtid, og problemet har navn efter et gammelt sagn: Didos problem, men kaldes også det isoperimetriske problem. Det drejer sig om, hvor meget areal man kan omslutte med en lukket snor med given længde. Det er nemt nok at se, at arealet kan blive meget lille, hvis man trækker snoren ud til en dobbelt linje. Så det udfordrende problem i denne forbindelse er, at få arealet så stort som muligt. Vi har ovenfor nævnt, at hvis formen skal være rektangulær, så har kvadratet den optimale form. Men hvad nu hvis det skal være en trekant, en femkant, eller hvis der slet ikke er krav til formen. En ledetråd i problemets udvikling har været, at det ser ud til, at arealet bliver større jo mere symmetri, der er i figuren. Vi vil ikke ødelægge den fornøjelse, der er i at prøve kræfter med noget, det har taget menneskeheden omkring 2000 år at få rede på, men vil give et kort svar på spørgsmålet i opgaven:

16 16 Svar: Ja, der er den sammenhæng, at en figur med omkreds L har et areal A, der tilfredsstiller uligheden: 0 A. Men arealet kan antage alle værdier derimellem. 2 L 4π Øvelse 8 Hvis man tegner en skitse af situationen bliver det klart, at du, som løber i et spor, kommer til at løbe ad en længere bane end din makker i sporet lige ved siden af dig, altså et spor længere inde. På langsiderne løber I lige langt, men du kommer alt i alt til at løbe i en cirkel med 1,2 meter større radius, hvilket giver en tur, der er 2πr = 2π 1, 2 = 7,54 meter, hvorfor din startstreg bør være 7,54 meter længere fremme end hos din makker i sidesporet.

17 17 Kapitel 8 Rumfang Øvelse r = R x arealet af tværsnitscirklen i højden x er derfor π r = π ( R x ). I cylinderen er der et tværsnitsareal mellem keglen og cylinderen på π R π x = π ( R x ). Den halve kugles rumfang og rumfanget af cylinderen fratrukket keglen er derfor ens. Cylinder kegle = π R R R π R = π R Kuglens rumfang er derfor 2 π R = π R Opsamling på kapitel 8 2a) Lastbilen har et lovligt rumfang på 12,375 kubikmeter, mens rumfanget af siloen er 2 15 π 3 = 424,115kubikmeter. Måler vi, hvor mange gange lastbilens rumfang går op i siloens rumfang, finder vi, at der er behov for 34,27 ture med lastbilen, hvor man så må runde op eller ned, alt efter hvor lovlig og sikkerhedsbevidst man er. 2b) Det samlede rumfang der transporteres bort med de 55 vogne, er 1 55 ( 2 (0,7 + 1,4) 1 3) = 173,25kubikmeter eller 40,8% af siloens rumfang, hvorfor denne også må falde ca. 40,8 % i kornhøjde, altså 6 meter og 12 centimeter. 2c) Oplysningen om kegler er utilstrækkelig, men det er diameteren af grundfladen, der er 12 meter. 1 2 Hvis vi kalder den ukendte højde for h, fås rumfanget af kornkeglen til 3 h π 6 = 37, 7h. Hvis det skal være lig med den fulde silos rumfang på 424,115, finder vi h = 11,25 meter.

18 18 Kapitel 9 Tegning af model Ingen løsningsforslag

19 19 Kapitel 10 Flytninger, eksperiment og argument Øvelse 1 C' O B' C B Omdrejningspunktet findes som skæringen mellem midtnormalerne til BB og CC. Vinklen kan måles som vinkel BOB. Undersøgelse 3 Ved at spejle en figur to gange efter hinanden i parallelle linjer parallelforskyder man figuren vinkelret på linjerne og med den dobbelte længde af afstanden mellem linjerne. Undersøgelse 4 Ved spejle en figur to gange efter hinanden i linjer, der skærer hinanden får man en drejning af figuren omkring linjernes skæringspunkt. Drejningsvinklen er den dobbelte af vinklen mellem linjerne.

20 Øvelse 2 20

21 21 s s er en drejning på 180 grader om de to linjers skæringspunkt. n k s m s er en parallelforskydning. k s k smer en parallelforskydning med samme længde men modsat retning af sm sk. Øvelse 3 s s drejning på 180 grader om linjernes skæringspunkt. n k sm s drejning på 120 grader med uret om linjernes skæringspunkt. k s k s drejning på 120 grader mod uret om linjernes skæringspunkt. m Undersøgelse 5 Hvis de tre linjer er parallelle eller skærer hinanden i et punkt, er resultatet en enkeltspejling. Hvis linjerne ligger helt tilfældigt er resultatet en såkaldt glidespejling (se mere i øvelse 5) Øvelse 5 Der er ikke tale om en spejling her og heller ikke en parallelforskydning. Men der kan heller ikke være tale om en drejning, da omløbsretningen i trekanten er anderledes i billedtrekanten end i den oprindelige. Der er altså tale om en ny slags flytning. Flytningen er en såkaldt glidespejling. A parallelforskydes først mod højre, hvorefter den spejles over i B.

22 22 Øvelse 6 Ja, ordet glidespejling synes rimeligt at anvende, da resultatet fremkommer ved først at glide langs j og derefter spejle i j. Man kan også få samme resultat med operationerne i omvendt rækkefølge, men har altså forkastet ordet spejleglidning. Øvelse 7 f 1 er en parallelforskydning med to gange AD mod venstre. f2 er en parallelforskydning med to gange AB nedad. f3 er en drejning på 180 grader om O. f4 er en drejning på 90 grader mod uret om A. f5 en drejning på 180 grader om A. f6 er en glidespejling. f9 er en ikke en glidespejling, men en ren spejling i n uden glidning.

23 23 Kapitel 11 Symmetrier og mønstre Øvelse 2 1. Præciseringerne vil sikkert omfatte følgende: Ved at spejle en figur to gange efter hinanden i parallelle linjer parallelforskyder man figuren vinkelret på linjerne og med den dobbelte længde af afstanden mellem linjerne. Ved spejle en figur to gange efter hinanden i linjer, der skærer hinanden, får man en drejning af figuren omkring linjernes skæringspunkt. Drejningsvinklen er den dobbelte af vinklen mellem linjerne. Ved spejle en figur tre gange efter hinanden i linjer får man, hvis de tre linjer er parallelle eller skærer hinanden i et punkt, en enkeltspejling. hvis linjerne ligger helt tilfældigt, en såkaldt glidespejling. 2. I opdagelsen af, at vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, kunne vi tegne en trekant og bede programmet udregne vinkelsummen, hvorefter vi kunne lave tusindvis af andre trekanter ved at flytte rundt på hjørnerne i den første og samtidig observere, at vinkelsummen hele tiden var 180 grader. På begge de centrale punkter står vi uden hjælp, når det drejer sig om Leonardos sætning. Vi kan ikke bare trække i en vilkårlig figur for at få dannet et repræsentativt udsnit af tusindvis af figurer 1, og vi har ikke en applikation i programmet, der kan udregne symmetrigruppen for en given figur. 1 og i det omfang vi kan, som fx ved at rive i hjørnet i et kvadrat, bliver de nye figurer vi får lavet som oftest usymmetriske og derfor uinteressante i vor nye sammenhæng.

24 24 Øvelse 3 1) D 1 D 6 D 1 C 1 D 1 D 1 Idet vi observerer, at stjernen i sig selv har større symmetri, nemlig D 5. Det taoistiske symbol har en drejning på 180 grader, så selv om farverne ikke kommer på plads, kan man med god ret sige, at symmetrigruppen er C 2. 2) Læseren skal selv eksperimentere her, så vi har lavet to fejl i de følgende figurer. C 4 C 2 D 2 D 3 Se eventuelt

25 25 Her kan du bare trykke på den ønskede symmetrigruppe og få god teknisk støtte til at lave egne rosetter. D 12

26 26 Kapitel 12 Problemløsnings- og ræsonnementskompetence Øvelse 4 Da gitterpunkterne på trekantpapir fire og fire sidder sammen i romber, og hele papiret faktisk kan ses som en projektion af kvadratisk papir og altså også et sømbræt, må der gælde akkurat samme formel som i Picks teorem, bortset eventuelt fra en faktor der skyldes forskelligt areal af den grundlæggende enhed. Men hvis vi siger, at den grundlæggende rombe i trekantpapiret får areal lig 1, så gælder Picks teorem uændret også for trekantpapir. I det hele taget er Picks teorem invariant over for parallelprojektion, så der vil bortset fra en konstant faktor, der har at gøre med arealenheden gælde et Picks teorem på alt papir, der bygges op af kongruente parallelogrammer. Øvelse 5 Det er nok problemløsningsstrategi 3, der er den mest oplagte at gå i gang med. For den enkleste lignende situation er en enkelt linje, der klart deler papiret i to områder. Tegner vi nu en ny linje, der skærer den første, får vi fire områder. En tredje linje, der skærer begge de to første i forskellige punkter, må bidrage med yderligere tre områder, så vi nu når op på 7. Således kan vi fortsætte, og hvis vi har fundet svaret for 9 linjer, så kan vi overveje, hvor meget den tiende linje vil tilføre af yderligere områder: Forestil dig at du kommer langt udefra ad linje 10, indtil du første gang møder en af de 9 linjer. I samme øjeblik vil du have afsnøret et vinkelformet område ud mod uendelig. Og når du møder den næste linje vil du igen have afsnøret et område begrænset af første linje, linjestykket fra første til anden linje og endelig turen ud af anden linje. Snart indser du at den tiende linje således bidrager med 10 nye områder, idet du også får et sidste og tiende med, når du forlader den sidste linjeskæring. Tænkes det hele igennem ser du, at den første linje gav to områder, men derefter giver den n te linje n nye områder, og så har du løst ikke blot det oprindelige problem med 10 linjer, der giver , men også ethvert lignende problem. Selvfølgelig kunne det være rart her at have en simpel formel for n, men det bliver så en ny problemstilling at løse.

27 27 Øvelse 9 Det er A T = ½R T + I T 1, som vi søger at bevise. Kaldes antallet af søm som elastikken mellem P og Q rører ved for c, så kan vi bestemme antallet af randsøm på vores trekant som a + b + c + 1. Vi har altså R T = a + b + c + 1. Da vi i rektanglet havde R = 2a + 2b, og vi nu har 2R T = 2a + 2b + 2c + 2, får vi R= 2R T 2c 2. Antallet af de indre søm I i rektanglet er (det dobbelte af de indre søm i trekanten T) + c, altså I = 2I T + c. Endelig har vi, at arealet af trekanten er det halve af rektanglets areal A T = ½A eller A=2 A T. Vi sætter nu de tre formler, vi har fundet R = 2R T 2c 2, I= 2I T +c og A=2A T, ind i Picks formel for rektanglet, som vi jo har bevist i sætning 1: A = ½R + I 1. Nu håber vi blot, at Picks formel for trekanten kommer ud i den anden ende. Vi prøver: A = ½R + I 1 bliver ved de tre indsættelser ensbetydende med 2A T =½(2R T 2c 2) +(2I T + c) 1 som er ensbetydende med 2A T = (R T c 1) + (2I T + c) 1som er ensbetydende med 2A T = R T + 2I T 2eller A T = ½R T + I T 1, hvilket skulle bevises. Øvelse 10 Tegn selv en vilkårlig skæv trekant T på et sømbræt og omskriv den tæt med et akseparallelt rektangel R, hvilket i den generelle situation betyder, at R kommer til at bestå af T samt tre akseparallelle retvinklede trekanter 1, 2 og 3. Picks teorem for rektanglet har vi bevist, og det lyder A= ½R+ I 1. Men vi har også vist Picks teorem for de tre akseparallelle trekanter 1,2 og 3, og de hedder med indlysende notation: A 1 = ½R 1 + I 1 1 A 2 = ½R 2 + I 2 1 A 3 = ½R 3 + I 3 1 Vi ønsker så på snedig vis herfra at argumentere for den formel, vi er ved at bevise:

28 28 A T = ½R T + I T 1 Ved betragtning af vores figur ser vi, at hele arealet A består af de fire trekanters areal, altså at A = A 1 + A 2 + A 3 + A T eller A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ). Erstatter vi nu med højresiderne i alle vores formler, får vi: A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ) = (½R + I 1) (½R 1 + I ½R 2 + I ½R 3 + I 3 1) = ½(R R 1 R 2 R 3 ) +(I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi har altså ved ren talmanipulation uden megen geometrisk omtanke nu opnået at vise (1) A T = ½(R R 1 R 2 R 3 ) +(I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi må så håbe, at vi med nogle geometriske overvejelser kan nå frem til, at højresiden bliver ½R T + I T 1. Her bliver der ligesom i øvelse 3 nogle mellemregninger, der skal holde øje med de indre søm i rektanglet, som kommer til at blive randsøm på trekant T s sider. Lad os sige, at der er hhv.c 1, c 2 og c 3 sådanne indre rektangelsøm, som ligger på de indre sider af hhv. trekant 1, 2 og 3 (hvilke tre sider tilsammen også bliver T s sider). Så bliver det samlede antal indre søm I i rektanglet lig summen af de indre søm i de fire trekanter, der udgør rektanglet plus c 1 + c 2 + c 3, formelt opskrevet I = I T + I 1 + I 2 + I 3 + c 1 + c 2 + c 3, eller mere interessant for os: I I 1 I 2 I 3 = I T + c 1 + c 2 + c 3, der også kan skrives I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3, idet R T = c 1 + c 2 + c Vi har altså: (2) I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3 Det ligger lige for at skulle indsætte (2) i (1), men først vil vi lige gøre det samme med randsømmene. Hvis vi lægger alle randsømmene i de tre trekanter 1,2 og 3 sammen, får vi langt flere randsøm end i rektanglet, idet vi får sømmene c 1 + c 2 + c 3 med. Hvis vi fintæller, hvor tit vi får hjørnesømmene i trekant T med, får vi faktisk R 1 + R 2 +R 3 =R + c 1 + c 2 + c 3 +3= R + R T, idet R T = c 1 + c 2 + c Dette betyder, at (3) (R R 1 R 2 R 3 )= R T. Nu er alt klart til, at vi kan indsætte (2) og (3) i (1), hvilket giver: A T = ½R T + I T + R T 3+2, hvilket er ensbetydende med

29 29 A T = ½ R T + I T 1, hvilket skulle vises. Læseren kan finde argumentet langt, men det er af den slags, det er muligt at pusle sig frem til med lidt hjælp, hvis man har tid nok og lyst. Øvelse 15 Hvis vi følger hintet i øvelse 15 ser vi altså på et par trekanter som på figur 11 på side 204 i lærebogen. Vi lader B være midtpunktet af siden AB og vi lader vinklen ved B være lige så stor som vinkel B. Da vinklen oppe ved A = A er den samme i de to trekanter ABC og A B C og vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, må også den sidste vinkel i de to trekanter C og C være lige store. De to trekanter er altså ensvinklede og har dermed et konstant forhold mellem deres sider. Men vi har netop lavet det så forholdet mellem A B og AB er 1:2. Derfor er forholdet mellem A C og AC også 1:2, og dermed er A C altså en midtpunktstransversal. Da vinkel B er lig med vinkel B, er midtpunkttransversalen parallel med grundlinjen BC og forholdet mellem dem er det samme som for de øvrige sider nemlig 1:2, så midtpunktstransversalen er altså halv så stor som grundlinjen. Øvelse 16 Tegner vi AC ser vi, at PQ er midtpunktstransversal i trekant ABC og derfor parallel med AC. Samme argument kan vi lave i den nedadhængende trekant ADC, hvor vi så får, at SR er parallel med AC. Men to linjer, der er parallelle med samme tredje, er indbyrdes parallelle: PQ er altså parallel med SR. Trækkes diagonalen BD, kan vi udføre akkurat samme argument på de to nye trekanter der hermed opstår og få at PS er parallel med QR. Vi har alt i alt bevist, at PSRQ er et parallelogram. Man kan hurtigt se, at PSRQ kun ved et tilfælde ligner et rektangel på vores figur. Tegner man hele konstruktionen i et dynamisk geometriprogram, ser man, at så snart man trækker fx D til venstre, så ophører vinklerne i PSRQ med at være rette.

30 30 Øvelse 17 B F E A D Lad AE og BD være medianer som skærer hinanden i F. Da DE er en midtpunktestransversal er den ifølge øvelse 15 parallel med og halvt så stor som AB. Hermed bliver EDB og ABD ensliggende vinkler ved parallelle linjer og er derfor lige store, ligesom EAB og AED er det. Da ydermere der ligger to ens topvinkler ved F, får vi, at trekant FED og FAB er ensvinklede og dermed har samme forhold 1:2 mellem alle sider som der er mellem siderne ED og AB. Hermed er vist, at skæringspunktet F deler medianerne i forholdet 1:2. Hvis vi erstattede medianen AE med medianen fra C ned på siden c, så må denne tredje median også gå gennem F, for vi har netop vist, at to medianer skærer hinanden i forholdet 1:2, og de kan kun ske ved at gå gennem F. Som et sideresultat får vi således, at de tre medianer skærer hinanden i et og samme punkt, der i øvrigt er tyngdepunktet for trekant ABC, hvis den laves i pap eller et andet homogent materiale. C

31 31 Kapitel 13 Konkrete og virtuelle manipulative materialer Ingen løsningsforslag

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkaldte Firfarveproblem. For mere end 00 år siden fandt man ved sådanne undersøgelser frem til, at fire farver er nok

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE. Forlaget Biofolia 2007. 3 Geometri

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE. Forlaget Biofolia 2007. 3 Geometri Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE Forlaget Biofolia 007 3 Geometri 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34 Eksperiment,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE I den midtengelske by Liverpool ligger bydelen Sefton med Sefton Park - et parkanlæg, der bl.a. er kendt for det ottekantede palmehus, hvor man kan

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere