Løsningsforslag til Geometri klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse"

Transkript

1 1 Løsningsforslag til Geometri klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem giver vi som oftest ikke løsningsforslag til, ligesom svar til kategorien overvej-diskuter ikke giver megen mening. Kapitel 1 Eksperimentel geometri Øvelse 1 3) Der er uendeligt mange løsninger. Den viste er fundet ved at afsætte et linjestykke AB på 20 cm, tegne en cirkel med centrum i B og radius 17 cm, tegne en cirkel med centrum i A og radius 5 cm. Dernæst bestemmes to punkter C og D på de to cirkelperiferier, hvor afstanden er 10 cm, idet man vælger D på den lille cirkel og bruger D som centrum for en cirkel med radius 10 cm, som skærer den store cirkel i C. C D A B

2 2 Øvelse 2 5) Linjestykket AB lig 100 mm afsættes, og vinkel A lig 60 afsættes. Vinklens venstre ben forlænges til skæring med en cirkel, der har centrum i B og radius 94 mm, hvorved skæringspunkterne C og D fremkommer. Altså er der to løsninger. Undersøgelse 3 1) Gårdejerne søger et punkt P med samme afstand til alle gårdene A, B og C. Da punktet P skal have lige stor afstand til A og B, må det ligge på midtnormalen for AB og tilsvarende for de øvrige siders midtnormaler. P er derfor skæringspunktet mellem midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC. Der er altså kun ét punkt med den søgte egenskab, når man ser strengt geometrisk på det. Spørgsmålet er imidlertid, om denne løsning er den smarteste. Det kunne være billigere at minimere den samlede rørlængde hen til brønden, altså AP + BP + CP, og dette ville give en anden placering, som man kan eksperimentere sig frem til ved at tegne og måle (eller ved at bruge målefunktionen i et geometrisk tegneprogram) og så flytte P rundt, indtil man får den mindste værdi for AP + BP + CP. Det viser sig, at positionen udmærker sig ved, at vinklerne mellem de fra P udløbende rør er lige store og altså ) Grænserne for den enkeltes arbejdsmark udgøres af midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC.

3 3 Øvelse 3 Vi afsætter først vinkel A med sine to ben, AB på 6 og AD på 2½. Med hhv. D og B som centrum tegnes to cirkler med radier hhv. 6½ og 5. Hvor de skærer hinanden findes punktet C: Øvelse 4

4 4 Øvelse 5 1) Linjen c tegnes. Punktet C afsættes i en afstand på 10 cm fra c. Højden h c afsættes. Med centrum i C og radius 12 cm tegnes en cirkel. Skæringspunkterne med c betegnes A og A. Tilsvarende tegnes en cirkel med centrum i C og radius 14 cm. Skæringspunkterne med c betegnes B og B. Der er således fire løsninger: ABC, AB ' C, A' B ' C og A' BC, de er dog to og to kongruente. C h B A c A' B' 5) Inspireret af at h a er lig 10 cm tegnes to parallelle linjer med afstand 10 cm, den nederste kaldes a. På den øverste vælges et punkt som A. Med A som centrum og radius 12 cm tegnes en cirkel, denne skærer a i to punkter, M og M, det giver to løsninger, her viser vi kun den ene. Skæringspunktet M udgør midtpunkt på BC. Om B og C ved vi kun, at de skal ligge på a. Men vi ved, at den omskrevne cirkel har midtnormalernes skæringspunkt som centrum, derfor tegnes midtnormalen n til BC. For at finde centrum for den omskrevne cirkel tegnes en cirkel med centrum i A og radius 8 cm. Cirklen skærer n i to punkter D og E, et af disse udgør centrum. E kan ikke bruges, da en cirkel med radius 8 cm og centrum i E ikke kan nå a, hvor B og C skal ligge, altså er D centrum.

5 5 Med centrum i D og radius 8 cm tegnes en cirkel, hvor denne skærer a, har vi B og C. Havde vi benyttet M havde vi fået en hermed kongruent trekant. E A R n D m M ' B a M C

6 6 Kapitel 2 Lokalisering, afstand og bevægelse Øvelse 4 1) 2) c a b = + = + = = a c b = + = + = = ) og 4) AB = 10. Tegn situationen og find en passende retvinklet trekant med kateter 6 og 8. Øvelse 5 AC = AB = 3 (-7) = 10. Højden h i den ligesidede trekant findes ved hjælp af Pythagoras sætning: h + 5 = 10 h= 5 3 = 8, Så C får de på figuren angivne koordinater.

7 7 Øvelse 6 D = (4,7). Sidelængden = 2 2 (0 4) + (3 0) = 5. Diagonallængden = 2 2 (4 3) + (0 7) = 50 = 5 2. Øvelse 7 Formlen bliver ( x x ) + ( y y ) Øvelse 10 For at finde koordinatudtrykket for vektoren AB skal vi ifølge teorien øverst på side 677 parallelforskyde AB, så startpunktet for AB falder i (0,0). Dette kan man gøre ved at trække x 1 fra førstekoordinaten og y 1 fra andenkoordinaten i de to punkter Ax ( 1, y1) og Bx ( 2, y 2). Herved får det nye endepunkt B ' koordinaterne ( x2 x1, y2 y1). Det betyder, at AB har koordinaterne ( x x, y y ) Øvelse 13 1) Tur A og tur C bringer os hjem igen. 2) Hvis man adderer alle x-koordinaterne og får 0 som resultat samt alle y-koordinaterne og ligeledes får 0 som resultatet, så fører turen tilbage til udgangspunktet. Det er, fordi vektorer adderes ved at addere x-koordinaterne for sig og y-koordinaterne for sig. Fx (3,6) + ( 7,4) = (3 + ( 7),6 + 4) = ( 4,10)

8 8 Øvelse 14 Efter 20 minutter er han nået 1 3 ud af vektoren (3,4), dvs. nået ud til begyndelsespunktet plus 1 3 af vektoren (3,4): , 4 = 1, 3 3 3, altså til ( ) 4 2 5, 2 + 1, = 4, 3 3. Efter en halv time er han kommet til begyndelsespunktet plus det halve af vektoren (3,4): , 4 =, , altså til 3 7 ( 5, 2 ) +, 2 =, Efter to timer er han kommet dobbelt så langt, altså begyndelsespunktet plus 2 gange vektoren 2 3, 2 4 6,8 5, 2 + 6,8 = 1,6 (3,4): ( ) = ( ), altså til ( ) ( ) ( ) Generelt kan vi se, at til tiden t er han nået til begyndelsespunktet plus vektoren (3t, 4t), således at svar nr. 2 er det korrekte. Øvelse 15 En behagelighed ved denne tur er at Ali kommer hjem igen, idet P(0) = ( 5 + 0, 2 0) = (4 9,10 12) = P(3). Skal man afgøre, om han på noget tidspunkt går hurtigere end 5 km i timen, skal man se på koefficienterne til t på de to koordinater. I intervallet [1,2[ ser vi, at der står hhv. t og 5t, hvilket betyder, at han på en time bevæger sig 1 km (tilbage) i x-aksens retning og 5 km opad i y-aksens retning, hvilket klart sammenlagt giver mere end 5 km dog ikke 6, idet han jo bevæger sig direkte 2 2 og ruten beregnes ved Pythagoras sætning til = 26 > 5km/t

9 9 Kapitel 3 Undersøgelser af rumlige figurer Her er ingen forslag til besvarelser, da øvelserne i den grad er en opfordring til selv at undersøge.

10 10 Kapitel 4 Bevisførelse i geometri Øvelse 1 En mulig udlægning er, at den direkte vej, linjestykket, mellem to punkter aldrig er længere end summen af de to afstande man får ved at gå via et tredje punkt. Øvelse 2 1) Vi antager, at l er parallel med m, og m er parallel med n. Vi skal vise, at l er parallel med n. Det gør vi med et indirekte bevis. Vi antager, at l skærer n i et punkt P. Gennem punktet P har vi nu ifølge det forudsatte to linjer, der er parallelle med m, men ifølge aksiom 3 kan der igennem punktet P kun trækkes en linje parallel med m. Altså er l lig med n. Vi har hermed vist, at enten er l parallel med n eller også er l lig med n, og så er de også parallelle (definition 3). 2) Det er ikke noget bevis inden for den Euklidiske ramme, fordi det ikke bygger på definitioner, aksiomer og sætninger, vi allerede har vist, men derimod bygger på noget, vi af anden vej ved om parallelle linjer. Øvelse 3 Formlen kan findes ved at dele n-kanten op i ( n 2) trekanter. Man får vinkelsummen ( n 2) 180 Øvelse 4 1) C og nabovinklen z udgør tilsammen to rette Vi ved også, at A+ B+ Cogså er to rette. Vi har altså i kort notation: z + C = A + B + C. Ifølge den 3. almene lov må vi gerne trække det samme fra på hver side, og vi ender med z = A + B, hvilket skulle bevises. 2) Det er ikke nok oplysninger til at bestemme alle tre vinkler. 3) Oplysningerne giver tre ligninger: B + C = 100; A + C = 150 og A + B = 90. Løses disse ligninger fås A = 70, B = 20 og C = 80. Men det kan ikke lade sig gøre. Den samlede vinkelsum bliver kun 170. Trekanten eksisterer altså ikke.

11 11 Øvelse 6 Trekant ADE er ligebenet, så vinklerne kan bestemmes ud fra v. Trekant ADC er også ligebenet, så vinklerne kan også udtrykkes ved v. I alt bliver 5v = 180, v = 36, og det tre vinkler i trekanten er 72, 36 og 72. Øvelse 7 Den omvendte sætning må hedde: Hvis en trekant altså AC = CB. ABC har A = B, så er trekanten ligebenet, Bevis (tegn selv): Vi tegner vinkelhalveringslinjen CM i trekanten, de to trekanter CAM og CMB er kongruente, fordi de har to vinkler og dermed også den tredje vinkel parvis lige store, og de har CM fælles. Altså er AC = CB, hvilket skulle vises. Alternativ: Hvis man ikke er helt fortrolig med at bruge kongruenssætninger, kan man klare sig med et spejlingsargument, hvor man spejler trekanten i midtnormalen til AB. Men her har man i første omfang det problem, at man ikke kan vide, om midtnormalen går gennem C. Det kan man dog ret hurtigt argumentere for. Øvelse 10 Der ligger en dobbeltpåstand i sætningen, som ofte overses: 1) Hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB, og 2) Hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. For at kunne komme i gang med beviserne for disse to påstande, må vi lige repetere, at midtnormalen for AB pr definition er den vinkelrette på midtpunktet for linjestykket AB. For at understrege at beviser bygger på ræsonnementer, præsenterer vi beviset uden tegninger, men opfordrer læseren til selv at få støtte fra tegninger, hvis det bliver nødvendigt for at følge tankegangen.

12 12 Bevis for 1) Vi viser at hvis et punkt P ligger på midtnormalen, så er PA = PB. Vi tegner først stykket AB, midtpunktet M og lader linjen m være vinkelret på AB i punktet M, og dermed er m altså midtnormal til AB. Vi lader P være et punkt på m og tegner PA og PB, så der opstår to trekanter PMA og PMB. Disse to trekanter er kongruente ifølge K3, idet MA = MB, PM = PM, og den mellemliggende vinkel ved M i begge trekanter er ret. Derfor er også PA = PB. Bevis for 2) Vi vil altså vise, at hvis et punkt P har egenskaben PA = PB, så ligger P på midtnormalen. Lad os tegne AB og punktet P samt linjestykkerne PA og PB. I udgangspunktet ved vi blot, at PA = PB, men ved anvendelse af sætning 3 ved vi også, at vinklerne ved grundlinjen i denne ligebenede trekant er lige store. Vi nedfælder nu den vinkelrette fra P på linjestykket AB lad os sige den ender i punktet N. Så er trekant PNA kongruent med trekant PNB. For hver af trekanterne har en ret vinkel, og vi har netop set, at de har vinklerne ved grundlinjen lige store. Det lægger op til, at vi kan bruge K2, hvis vi bare kan finde en side, som er lige stor i de to trekanter. Men her vil PM være et indlysende valg, da denne side er fælles for de to trekanter. Så de er kongruente, og dermed gælder også, at NA = NB, så N er midtpunkt, hvilket sammenholdt med de rette vinkler betyder, at linjen gennem N og P er midtnormal. P ligger altså på midtnormalen. Øvelse 11 Vi fortsætter øvelsen i at lave beviser uden tegninger. Men vi forestiller os trekant ABC tegnet og ligeledes to af midtnormalerne n og m for hhv. AB og BC. Lad P være skæringspunktet for n og m. Da P ligger på n, gælder ifølge sætning 4, at PA = PB. Men P ligger også på m, hvilket på samme måde betyder, at PB = PC. Kombineres de to ligheder fås PA = PC, hvilket betyder, at P ligger på midtnormalen til AC. P er altså det fælles skæringspunkt for alle tre midtnormaler. Ved at kombinere lighederne ses, at PA = PB = PC. Kaldes denne størrelse for r, ses at en cirkel med centrum i P og radius r vil gå lige akkurat gennem alle trekantens hjørner. Øvelse 12 I udgangspunktet har vi et parallelogram, altså en firkant ABCD med modstående sider parallelle, og vi vil bevise, at de modstående sider også er lige store. Fordi trekanter er det eneste, vi faktisk ved noget om i den teori, vi har opbygget, tegnes diagonalen AC, der giver os to trekanter ABC og ADC at ræsonnere ud fra. Da vi har en del parallelle linjer giver aksiom 4 (om at ensliggende vinkler ved sådanne er lige store) os nogle lige store vinkler: BCA = CAD og CAB = ACD. Da endvidere siden AC er fælles for de to trekanter, kan vi ved hjælp af K2 konkludere, at de to trekanter er kongruente. Det betyder specielt, at de øvrige sider også er parvis lige store. AB = CD og BC = AD, hvilket skulle vises.

13 13 Kapitel 5 Elementer af geometriens didaktik Ingen løsningsforslag

14 14 Kapitel 6 Måling i indskolingen om at bestemme længder Vi giver principielt nødig svarforslag til undersøgelser, men hvis ikke du kan få hul på undersøgelse1 kunne du starte med regnestykket ( ):2

15 15 Kapitel 7 Måling og Areal Øvelse 6 1) Vi har et kvadrat med areal 257 m 2. Fra sætning 5 (der siger, at forstørres alle sidelængder i en 2 polygon med en faktor f, så bliver arealet f gang så stort) har vi, at hvis omkredsen fordobles, så bliver arealet 2 2 gang så stort, altså m 2 = 1028 m 2. 2) Hvis sportspladsen er blevet forstørret med samme faktor på længde og bredde, kan vi tillade os at anvende sætning 5. Da arealet er blevet firdoblet og da 4 = 2 2, må der være tale om en lineær forstørrelse med en faktor 2. Omkredsen er således blevet 1800 meter. Men her er virkelig tale om et skøn, fordi vi ikke ved noget om, hvordan sportspladsen er blevet større. Hvis man nysgerrigt følger dette spor, så skifter opgaven karakter af en øvelse til en undersøgelse. Undersøgelsen vil vise, at hvis sportspladsen af en eller anden mærkelig grund fra starten var meget lang og smal, så ville omkredsens vækst afhænge meget af om den nye sportsplads blev lavet ved at lægge fire af de gamle i forlængelse af hinanden eller ved siden af hinanden langs de lange sider. Teoretisk set kan man herved, på den ene side få at omkredsen kun vokser ganske lidt, og på den anden at den vokser med en faktor tæt på fire ligesom arealet. 3) Hvis sidelængderne i rektanglet vælges til hhv. 99,9 m og 0,1 m bliver arealet = (99,9 0,1) m 2 = 9,99 m 2, altså kan arealet blive mindre end 10 m 2. Det største areal, som et rektangel med en omkreds på 200 m kan få, er, når rektanglet har form som et kvadrat med sidelængden 50 m, hvor arealet = (50 50) m 2 = 2500 m 2, altså kan arealet ikke bliver større end 5000 m 2. 4) Dette er et spørgsmål, der har optaget matematikerne siden den græske oldtid, og problemet har navn efter et gammelt sagn: Didos problem, men kaldes også det isoperimetriske problem. Det drejer sig om, hvor meget areal man kan omslutte med en lukket snor med given længde. Det er nemt nok at se, at arealet kan blive meget lille, hvis man trækker snoren ud til en dobbelt linje. Så det udfordrende problem i denne forbindelse er, at få arealet så stort som muligt. Vi har ovenfor nævnt, at hvis formen skal være rektangulær, så har kvadratet den optimale form. Men hvad nu hvis det skal være en trekant, en femkant, eller hvis der slet ikke er krav til formen. En ledetråd i problemets udvikling har været, at det ser ud til, at arealet bliver større jo mere symmetri, der er i figuren. Vi vil ikke ødelægge den fornøjelse, der er i at prøve kræfter med noget, det har taget menneskeheden omkring 2000 år at få rede på, men vil give et kort svar på spørgsmålet i opgaven:

16 16 Svar: Ja, der er den sammenhæng, at en figur med omkreds L har et areal A, der tilfredsstiller uligheden: 0 A. Men arealet kan antage alle værdier derimellem. 2 L 4π Øvelse 8 Hvis man tegner en skitse af situationen bliver det klart, at du, som løber i et spor, kommer til at løbe ad en længere bane end din makker i sporet lige ved siden af dig, altså et spor længere inde. På langsiderne løber I lige langt, men du kommer alt i alt til at løbe i en cirkel med 1,2 meter større radius, hvilket giver en tur, der er 2πr = 2π 1, 2 = 7,54 meter, hvorfor din startstreg bør være 7,54 meter længere fremme end hos din makker i sidesporet.

17 17 Kapitel 8 Rumfang Øvelse r = R x arealet af tværsnitscirklen i højden x er derfor π r = π ( R x ). I cylinderen er der et tværsnitsareal mellem keglen og cylinderen på π R π x = π ( R x ). Den halve kugles rumfang og rumfanget af cylinderen fratrukket keglen er derfor ens. Cylinder kegle = π R R R π R = π R Kuglens rumfang er derfor 2 π R = π R Opsamling på kapitel 8 2a) Lastbilen har et lovligt rumfang på 12,375 kubikmeter, mens rumfanget af siloen er 2 15 π 3 = 424,115kubikmeter. Måler vi, hvor mange gange lastbilens rumfang går op i siloens rumfang, finder vi, at der er behov for 34,27 ture med lastbilen, hvor man så må runde op eller ned, alt efter hvor lovlig og sikkerhedsbevidst man er. 2b) Det samlede rumfang der transporteres bort med de 55 vogne, er 1 55 ( 2 (0,7 + 1,4) 1 3) = 173,25kubikmeter eller 40,8% af siloens rumfang, hvorfor denne også må falde ca. 40,8 % i kornhøjde, altså 6 meter og 12 centimeter. 2c) Oplysningen om kegler er utilstrækkelig, men det er diameteren af grundfladen, der er 12 meter. 1 2 Hvis vi kalder den ukendte højde for h, fås rumfanget af kornkeglen til 3 h π 6 = 37, 7h. Hvis det skal være lig med den fulde silos rumfang på 424,115, finder vi h = 11,25 meter.

18 18 Kapitel 9 Tegning af model Ingen løsningsforslag

19 19 Kapitel 10 Flytninger, eksperiment og argument Øvelse 1 C' O B' C B Omdrejningspunktet findes som skæringen mellem midtnormalerne til BB og CC. Vinklen kan måles som vinkel BOB. Undersøgelse 3 Ved at spejle en figur to gange efter hinanden i parallelle linjer parallelforskyder man figuren vinkelret på linjerne og med den dobbelte længde af afstanden mellem linjerne. Undersøgelse 4 Ved spejle en figur to gange efter hinanden i linjer, der skærer hinanden får man en drejning af figuren omkring linjernes skæringspunkt. Drejningsvinklen er den dobbelte af vinklen mellem linjerne.

20 Øvelse 2 20

21 21 s s er en drejning på 180 grader om de to linjers skæringspunkt. n k s m s er en parallelforskydning. k s k smer en parallelforskydning med samme længde men modsat retning af sm sk. Øvelse 3 s s drejning på 180 grader om linjernes skæringspunkt. n k sm s drejning på 120 grader med uret om linjernes skæringspunkt. k s k s drejning på 120 grader mod uret om linjernes skæringspunkt. m Undersøgelse 5 Hvis de tre linjer er parallelle eller skærer hinanden i et punkt, er resultatet en enkeltspejling. Hvis linjerne ligger helt tilfældigt er resultatet en såkaldt glidespejling (se mere i øvelse 5) Øvelse 5 Der er ikke tale om en spejling her og heller ikke en parallelforskydning. Men der kan heller ikke være tale om en drejning, da omløbsretningen i trekanten er anderledes i billedtrekanten end i den oprindelige. Der er altså tale om en ny slags flytning. Flytningen er en såkaldt glidespejling. A parallelforskydes først mod højre, hvorefter den spejles over i B.

22 22 Øvelse 6 Ja, ordet glidespejling synes rimeligt at anvende, da resultatet fremkommer ved først at glide langs j og derefter spejle i j. Man kan også få samme resultat med operationerne i omvendt rækkefølge, men har altså forkastet ordet spejleglidning. Øvelse 7 f 1 er en parallelforskydning med to gange AD mod venstre. f2 er en parallelforskydning med to gange AB nedad. f3 er en drejning på 180 grader om O. f4 er en drejning på 90 grader mod uret om A. f5 en drejning på 180 grader om A. f6 er en glidespejling. f9 er en ikke en glidespejling, men en ren spejling i n uden glidning.

23 23 Kapitel 11 Symmetrier og mønstre Øvelse 2 1. Præciseringerne vil sikkert omfatte følgende: Ved at spejle en figur to gange efter hinanden i parallelle linjer parallelforskyder man figuren vinkelret på linjerne og med den dobbelte længde af afstanden mellem linjerne. Ved spejle en figur to gange efter hinanden i linjer, der skærer hinanden, får man en drejning af figuren omkring linjernes skæringspunkt. Drejningsvinklen er den dobbelte af vinklen mellem linjerne. Ved spejle en figur tre gange efter hinanden i linjer får man, hvis de tre linjer er parallelle eller skærer hinanden i et punkt, en enkeltspejling. hvis linjerne ligger helt tilfældigt, en såkaldt glidespejling. 2. I opdagelsen af, at vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, kunne vi tegne en trekant og bede programmet udregne vinkelsummen, hvorefter vi kunne lave tusindvis af andre trekanter ved at flytte rundt på hjørnerne i den første og samtidig observere, at vinkelsummen hele tiden var 180 grader. På begge de centrale punkter står vi uden hjælp, når det drejer sig om Leonardos sætning. Vi kan ikke bare trække i en vilkårlig figur for at få dannet et repræsentativt udsnit af tusindvis af figurer 1, og vi har ikke en applikation i programmet, der kan udregne symmetrigruppen for en given figur. 1 og i det omfang vi kan, som fx ved at rive i hjørnet i et kvadrat, bliver de nye figurer vi får lavet som oftest usymmetriske og derfor uinteressante i vor nye sammenhæng.

24 24 Øvelse 3 1) D 1 D 6 D 1 C 1 D 1 D 1 Idet vi observerer, at stjernen i sig selv har større symmetri, nemlig D 5. Det taoistiske symbol har en drejning på 180 grader, så selv om farverne ikke kommer på plads, kan man med god ret sige, at symmetrigruppen er C 2. 2) Læseren skal selv eksperimentere her, så vi har lavet to fejl i de følgende figurer. C 4 C 2 D 2 D 3 Se eventuelt

25 25 Her kan du bare trykke på den ønskede symmetrigruppe og få god teknisk støtte til at lave egne rosetter. D 12

26 26 Kapitel 12 Problemløsnings- og ræsonnementskompetence Øvelse 4 Da gitterpunkterne på trekantpapir fire og fire sidder sammen i romber, og hele papiret faktisk kan ses som en projektion af kvadratisk papir og altså også et sømbræt, må der gælde akkurat samme formel som i Picks teorem, bortset eventuelt fra en faktor der skyldes forskelligt areal af den grundlæggende enhed. Men hvis vi siger, at den grundlæggende rombe i trekantpapiret får areal lig 1, så gælder Picks teorem uændret også for trekantpapir. I det hele taget er Picks teorem invariant over for parallelprojektion, så der vil bortset fra en konstant faktor, der har at gøre med arealenheden gælde et Picks teorem på alt papir, der bygges op af kongruente parallelogrammer. Øvelse 5 Det er nok problemløsningsstrategi 3, der er den mest oplagte at gå i gang med. For den enkleste lignende situation er en enkelt linje, der klart deler papiret i to områder. Tegner vi nu en ny linje, der skærer den første, får vi fire områder. En tredje linje, der skærer begge de to første i forskellige punkter, må bidrage med yderligere tre områder, så vi nu når op på 7. Således kan vi fortsætte, og hvis vi har fundet svaret for 9 linjer, så kan vi overveje, hvor meget den tiende linje vil tilføre af yderligere områder: Forestil dig at du kommer langt udefra ad linje 10, indtil du første gang møder en af de 9 linjer. I samme øjeblik vil du have afsnøret et vinkelformet område ud mod uendelig. Og når du møder den næste linje vil du igen have afsnøret et område begrænset af første linje, linjestykket fra første til anden linje og endelig turen ud af anden linje. Snart indser du at den tiende linje således bidrager med 10 nye områder, idet du også får et sidste og tiende med, når du forlader den sidste linjeskæring. Tænkes det hele igennem ser du, at den første linje gav to områder, men derefter giver den n te linje n nye områder, og så har du løst ikke blot det oprindelige problem med 10 linjer, der giver , men også ethvert lignende problem. Selvfølgelig kunne det være rart her at have en simpel formel for n, men det bliver så en ny problemstilling at løse.

27 27 Øvelse 9 Det er A T = ½R T + I T 1, som vi søger at bevise. Kaldes antallet af søm som elastikken mellem P og Q rører ved for c, så kan vi bestemme antallet af randsøm på vores trekant som a + b + c + 1. Vi har altså R T = a + b + c + 1. Da vi i rektanglet havde R = 2a + 2b, og vi nu har 2R T = 2a + 2b + 2c + 2, får vi R= 2R T 2c 2. Antallet af de indre søm I i rektanglet er (det dobbelte af de indre søm i trekanten T) + c, altså I = 2I T + c. Endelig har vi, at arealet af trekanten er det halve af rektanglets areal A T = ½A eller A=2 A T. Vi sætter nu de tre formler, vi har fundet R = 2R T 2c 2, I= 2I T +c og A=2A T, ind i Picks formel for rektanglet, som vi jo har bevist i sætning 1: A = ½R + I 1. Nu håber vi blot, at Picks formel for trekanten kommer ud i den anden ende. Vi prøver: A = ½R + I 1 bliver ved de tre indsættelser ensbetydende med 2A T =½(2R T 2c 2) +(2I T + c) 1 som er ensbetydende med 2A T = (R T c 1) + (2I T + c) 1som er ensbetydende med 2A T = R T + 2I T 2eller A T = ½R T + I T 1, hvilket skulle bevises. Øvelse 10 Tegn selv en vilkårlig skæv trekant T på et sømbræt og omskriv den tæt med et akseparallelt rektangel R, hvilket i den generelle situation betyder, at R kommer til at bestå af T samt tre akseparallelle retvinklede trekanter 1, 2 og 3. Picks teorem for rektanglet har vi bevist, og det lyder A= ½R+ I 1. Men vi har også vist Picks teorem for de tre akseparallelle trekanter 1,2 og 3, og de hedder med indlysende notation: A 1 = ½R 1 + I 1 1 A 2 = ½R 2 + I 2 1 A 3 = ½R 3 + I 3 1 Vi ønsker så på snedig vis herfra at argumentere for den formel, vi er ved at bevise:

28 28 A T = ½R T + I T 1 Ved betragtning af vores figur ser vi, at hele arealet A består af de fire trekanters areal, altså at A = A 1 + A 2 + A 3 + A T eller A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ). Erstatter vi nu med højresiderne i alle vores formler, får vi: A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ) = (½R + I 1) (½R 1 + I ½R 2 + I ½R 3 + I 3 1) = ½(R R 1 R 2 R 3 ) +(I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi har altså ved ren talmanipulation uden megen geometrisk omtanke nu opnået at vise (1) A T = ½(R R 1 R 2 R 3 ) +(I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi må så håbe, at vi med nogle geometriske overvejelser kan nå frem til, at højresiden bliver ½R T + I T 1. Her bliver der ligesom i øvelse 3 nogle mellemregninger, der skal holde øje med de indre søm i rektanglet, som kommer til at blive randsøm på trekant T s sider. Lad os sige, at der er hhv.c 1, c 2 og c 3 sådanne indre rektangelsøm, som ligger på de indre sider af hhv. trekant 1, 2 og 3 (hvilke tre sider tilsammen også bliver T s sider). Så bliver det samlede antal indre søm I i rektanglet lig summen af de indre søm i de fire trekanter, der udgør rektanglet plus c 1 + c 2 + c 3, formelt opskrevet I = I T + I 1 + I 2 + I 3 + c 1 + c 2 + c 3, eller mere interessant for os: I I 1 I 2 I 3 = I T + c 1 + c 2 + c 3, der også kan skrives I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3, idet R T = c 1 + c 2 + c Vi har altså: (2) I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3 Det ligger lige for at skulle indsætte (2) i (1), men først vil vi lige gøre det samme med randsømmene. Hvis vi lægger alle randsømmene i de tre trekanter 1,2 og 3 sammen, får vi langt flere randsøm end i rektanglet, idet vi får sømmene c 1 + c 2 + c 3 med. Hvis vi fintæller, hvor tit vi får hjørnesømmene i trekant T med, får vi faktisk R 1 + R 2 +R 3 =R + c 1 + c 2 + c 3 +3= R + R T, idet R T = c 1 + c 2 + c Dette betyder, at (3) (R R 1 R 2 R 3 )= R T. Nu er alt klart til, at vi kan indsætte (2) og (3) i (1), hvilket giver: A T = ½R T + I T + R T 3+2, hvilket er ensbetydende med

29 29 A T = ½ R T + I T 1, hvilket skulle vises. Læseren kan finde argumentet langt, men det er af den slags, det er muligt at pusle sig frem til med lidt hjælp, hvis man har tid nok og lyst. Øvelse 15 Hvis vi følger hintet i øvelse 15 ser vi altså på et par trekanter som på figur 11 på side 204 i lærebogen. Vi lader B være midtpunktet af siden AB og vi lader vinklen ved B være lige så stor som vinkel B. Da vinklen oppe ved A = A er den samme i de to trekanter ABC og A B C og vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, må også den sidste vinkel i de to trekanter C og C være lige store. De to trekanter er altså ensvinklede og har dermed et konstant forhold mellem deres sider. Men vi har netop lavet det så forholdet mellem A B og AB er 1:2. Derfor er forholdet mellem A C og AC også 1:2, og dermed er A C altså en midtpunktstransversal. Da vinkel B er lig med vinkel B, er midtpunkttransversalen parallel med grundlinjen BC og forholdet mellem dem er det samme som for de øvrige sider nemlig 1:2, så midtpunktstransversalen er altså halv så stor som grundlinjen. Øvelse 16 Tegner vi AC ser vi, at PQ er midtpunktstransversal i trekant ABC og derfor parallel med AC. Samme argument kan vi lave i den nedadhængende trekant ADC, hvor vi så får, at SR er parallel med AC. Men to linjer, der er parallelle med samme tredje, er indbyrdes parallelle: PQ er altså parallel med SR. Trækkes diagonalen BD, kan vi udføre akkurat samme argument på de to nye trekanter der hermed opstår og få at PS er parallel med QR. Vi har alt i alt bevist, at PSRQ er et parallelogram. Man kan hurtigt se, at PSRQ kun ved et tilfælde ligner et rektangel på vores figur. Tegner man hele konstruktionen i et dynamisk geometriprogram, ser man, at så snart man trækker fx D til venstre, så ophører vinklerne i PSRQ med at være rette.

30 30 Øvelse 17 B F E A D Lad AE og BD være medianer som skærer hinanden i F. Da DE er en midtpunktestransversal er den ifølge øvelse 15 parallel med og halvt så stor som AB. Hermed bliver EDB og ABD ensliggende vinkler ved parallelle linjer og er derfor lige store, ligesom EAB og AED er det. Da ydermere der ligger to ens topvinkler ved F, får vi, at trekant FED og FAB er ensvinklede og dermed har samme forhold 1:2 mellem alle sider som der er mellem siderne ED og AB. Hermed er vist, at skæringspunktet F deler medianerne i forholdet 1:2. Hvis vi erstattede medianen AE med medianen fra C ned på siden c, så må denne tredje median også gå gennem F, for vi har netop vist, at to medianer skærer hinanden i forholdet 1:2, og de kan kun ske ved at gå gennem F. Som et sideresultat får vi således, at de tre medianer skærer hinanden i et og samme punkt, der i øvrigt er tyngdepunktet for trekant ABC, hvis den laves i pap eller et andet homogent materiale. C

31 31 Kapitel 13 Konkrete og virtuelle manipulative materialer Ingen løsningsforslag

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

12. Bevisets stilling

12. Bevisets stilling 12. Bevisets stilling Opgave 4 Hvorfor dur (x,y) = (1,-3) ikke? Det er et spørgsmål, der kan give anledning til forskellige overvejelser. Her beskrives en af dem. Vi har den mindste sum: 13 + 27 = 40,

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra

Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra Dynamisk geometri i skolen med GeoGebra Der tages udgangspunkt i GeoGebra version 3,2 udgivet juni 2009 dog er nogle skærmdumps fra tidligere versioner af programmet. Projektleder: Markus Hohenwarter,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK Redaktion og tilrettelæggelse af indhold for Skolestyrelsen: Lektor Hans Jørgen Beck,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER l niveau: I hvilket du bearbejder givne ligninger og funktioner. 1 Kørselsstrækningen y km pr. liter benzin for en lastbil er givet ved y = x 750x, hvor x er hastigheden

Læs mere

fs10 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel Matematik 10.

fs10 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel Matematik 10. fs10 10.-klasseprøven Matematik Maj 2014 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel 1 På rejse til VM i fodbold Ane og Bjarne planlægger

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Årsplan 7. klasse matematik 2012/2013 til lærerbrug

Årsplan 7. klasse matematik 2012/2013 til lærerbrug Årsplanen for 7. klasse udarbejdes i samarbejde mellem 7. klasses matematiklærere (Helle og Ditte). Overordnet er året inddelt i uger, hvor der til hver ugeforløb er et Tema. Organisering af matematikundervisningen:

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere