Kapitel 12 Variansanalyse
|
|
- Kaare Bech
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011
2 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning
3 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning
4 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan foretages med t-test i en passende variant Hvis der er tre eller flere grupper kan man lave en række parvise t-tests, men ved mange tests skal man justere p-værdien (signifikanssandsynligheden) for disse multiple sammenligninger Bedre er det at lave variansanalyse (ANOVA), hvor vi sammenligner variansen indenfor grupper med variansen mellem grupper for at vurdere, om grupperne er forskellige Grupperne er karakteriset ved en eller flere faktorer på et bestemt niveau faktorerne er typisk målt på nominal eller ordinal skala
5 Eksempel Et eksempel kan være score i en læsetest, hvor der for hver elev på et bestemt klassetrin er noteret resultat, køn og familiebaggrund Køn er en faktor med to niveauer: Pige Dreng Familiebaggrund er en faktor med her tre niveauer: Bor hos begge forældre Bor hos én af sine forældre Bor ikke hos forældre
6 Eksempel (fortsat) I alt haves 2 3 = 6 grupper, og variansanalysen giver os et mål for faktorernes indflydelse på responset (scoren) Betragter vi kun køn kan vi klare os med et t-test Betragter vi kun familiebaggrund skal vi lave ensidet variansanalyse Betragter vi både køn og familiebaggrund (og eventuelt vekselvirkninger mellem disse) skal vi lave tosidet variansanalyse
7 Balancerede data Er der tale om et forsøg, så kan man planlægge at have lige mange observationer i hver gruppe man siger da, at forsøget er balanceret Er der tale om en ikke-eksperimentel undersøgelse er data oftest ubalancerede dette behøver ikke at være et problem I balancerede forsøg kan variansanalysen beregnes i hånden, da kvadratsummerne kan beregnes på en let måde Der er lidt mere arbejde i ubalancerede forsøg
8 Ikke-parametrisk alternativ Ved sammenligning mellem to stikprøver kan t-testet erstattes af Mann-Whitney testet, hvis forudsætninger for t-testet ikke er opfyldt (fx hvis data ikke kan antages at stamme fra normalfordelte populationer) Det ikke-parametriske alternativ til ensidet ANOVO hedder Kruskal-Wallis testet, der er en udvidelse af Mann-Whitney testet til at håndtere tre eller flere grupper Vi gennemgår ikke dette test, men nu ved I at det findes
9 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning
10 Notation og model Antag at vi har a uafhængige stikprøver på normalfordelte populationer med samme varians, og at hver stikprøve består af n observationer Lad nu X ij betegne den j te observation i den i te stikprøve Vi har nu an uafhængige stokastiske variable X ij, i = 1,, a og j = 1,, n, hvor X ij N(µ i, σ 2 )
11 Notation og model (fortsat) Vores model er nu X ij = µ i + ε ij hvor {ε ij } er uafhængige og N(0, σ 2 ) Modellen kan også skrives hvor µ = 1 a X ij = µ + α i + ε ij a µ i og α i = µ i µ i=1 så α i er effekten af α-faktorens ite niveau
12 Alternativ formulering En alternativ formulering af modellen er x ij = x ij + x i x i + x x = x + ( x i x ) }{{} gruppesnit ift fællessnit + (x ij x i ) }{{} individ ift gruppesnit En observation kan altså dekomponeres i et generelt niveau, gruppens afvigelse fra det generelle niveau og endelig en individuel afvigelse fra gruppens niveau
13 Hypotese og test Hypotesen om, at alle stikprøverne har ens gennemsnit (faktoren α har ingen betydning) kan formuleres som H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a eller ækvivalent hermed H 0 : α i = 0, i = 1,, a Alternativhypotesen er at α i 0 for i hvert fald ét i H 1 : i {1,, a}, α i 0
14 Hypotese og test Variation Kvadratsum Frihedsgrader Middelsum F -værdi SAK DF MS F obs Mellem grupper SAK a a 1 MS a = SAKa a 1 Indenfor SAK e a(n 1) MS e = SAKe a(n 1) grupper Total SAK tot an 1 F obs = MSa MS e
15 Hypotese og test Beregning af kvadratsummer: SAK tot = a SAK a = n SAK e = i=1 j=1 n (X ij X ) 2 = a ( X i X ) 2 = 1 n i=1 a i=1 j=1 a n i=1 j=1 a i=1 Xij 2 1 an X 2 Xi 2 1 an X 2 n (X ij X i ) 2 = SAK tot SAK e
16 Hypotese og test Signifikanssandsynligheden p er sandsynligheden for at få en lige så stor eller større teststørrelse F obs givet at nulhypotesen er sand Teststørrelsen beregnes ud fra en F -fordeling med a 1 frihedsgrader i tæller og a(n 1) frihedsgrader i nævner: p = P(F a 1,a(n 1) F obs ) Hvis p er meget lille følger det, at nulhypotesen (alle gruppper er ens) ikke er ret sandsynlig, så vi antager i stedet alternativhypotesen (mindst to grupper er parvist forskellige)
17 Eksempel: Bægerblade på Iris sp
18 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Data indsamlet på Gaspe halvøen i østlige Canada Længde og bredde af bæger- og kronblade for 50 individer af tre forskellige arter (i alt 150 observationer af 5 variable) Analysen beskrevet i 1936 af RA Fisher, der er en af grundlæggerne af den moderne statistik setosa versicolor virginica 3,5 3,2 3,3 3,0 3,2 2,7 3,2 3,1 3,0 3,1 2,3 2,9 3,6 2,8 3,0 3,9 2,8 3,0 3,4 3,3 2,5 3,4 2,4 2,9 2,9 2,9 2,5 3,1 2,7 3,6
19 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Bredde af bægerblad [mm] setosa versicolor virginica Observation
20 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i S i 1 setosa 10 3,31 0,307 2 versicolor 10 2,87 0,340 3 virginica 10 2,94 0,337 Arten setosa skiller sig ud fra de to andre med et højere gennemsnit og en lidt lavere spredning Vi tester ikke eksplicit for, om spredningerne kan antages at være ens (det burde vi faktisk gøre, fx med Bartletts test eller Levenes test)
21 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Tætheds af normalfordeling setosa versicolor virginica Bredde af bægerblade [mm]
22 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i 1 setosa 10 33,1 2 versicolor 10 28,7 3 virginica 10 29, ,2
23 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i 1 setosa 10 33,1 2 versicolor 10 28,7 3 virginica 10 29, , i=1 j=1 X 2 ij = 281, 28
24 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i 1 setosa 10 33,1 2 versicolor 10 28,7 3 virginica 10 29, , i=1 j=1 X 2 ij = 281, 28 SAK tot = 281, , 22 = 4, 0320
25 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i 1 setosa 10 33,1 2 versicolor 10 28,7 3 virginica 10 29, , i=1 j=1 X 2 ij = 281, 28 SAK tot = 281, , 22 = 4, 0320 SAK a = 1 10 (33, , , 4 2 ) , 22 = 1, 1180
26 Eksempel: Bægerblade på Iris sp i art n i X i 1 setosa 10 33,1 2 versicolor 10 28,7 3 virginica 10 29, , i=1 j=1 X 2 ij = 281, 28 SAK tot = 281, , 22 = 4, 0320 SAK a = 1 10 (33, , , 4 2 ) , 22 = 1, 1180 SAK res = 4, , 1180 = 2, 9140
27 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Total Within Between i x ij x i x x ij x x ij x i x i x (x ij x ) 2 (x ij x i ) 2 ( x i x ) 2 1 3,5 3,31 3,04 0,46 0,19 0,27 0,2116 0,0361 0, ,0 3,31 3,04-0,04-0,31 0,27 0,0016 0,0961 0, ,2 3,31 3,04 0,16-0,11 0,27 0,0256 0,0121 0, ,1 3,31 3,04 0,06-0,21 0,27 0,0036 0,0441 0, ,2 2,87 3,04 0,16 0,33-0,17 0,0256 0,1089 0, ,2 2,87 3,04 0,16 0,33-0,17 0,0256 0,1089 0, ,1 2,87 3,04 0,06 0,23-0,17 0,0036 0,0529 0, ,7 2,87 3,04-0,34-0,17-0,17 0,1156 0,0289 0, ,3 2,94 3,04 0,26 0,36-0,10 0,0676 0,1296 0, ,7 2,94 3,04-0,34-0,24-0,10 0,1156 0,0576 0, ,0 2,94 3,04-0,04 0,06-0,10 0,0016 0,0036 0, ,6 2,94 3,04 0,56 0,66-0,10 0,3136 0,4356 0,0100 0,00 0,00 0,00 4,0320 2,9140 1,1180
28 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Variation Kvadratsum Frihedsgrader Middelsum F -værdi SAK DF MS F obs Mellem 1, ,5590 5,1795 grupper Indenfor 2, ,1079 grupper Total 4,
29 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Et interval for signifikanssandsynligheden p bestemmes ved at sammenligne med kritiske værdier: α 0,05 0,01 0,001 F 1 α,2,27 3,35 5,49 9,02 Vi kan se at 0, 01 < p < 0, 05 Nøjagtig beregning giver at p = 0,013 så vi kan forkaste nulhypotesen (alle arter ens) med ret stor sikkerhed
30 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Da F -testet er signifikant kan vi være interesserede i at vide hvordan de tre stikprøver er forskellige: Er alle tre forskellige eller er to indbyrdes ens
31 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Da F -testet er signifikant kan vi være interesserede i at vide hvordan de tre stikprøver er forskellige: Er alle tre forskellige eller er to indbyrdes ens Sammenligning af to grupper kan ske med et t-test, hvor signifikanssandsynligheden korrigeres for det antal sammenligninger, man planlægger at lave (Bonferroni)
32 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Da F -testet er signifikant kan vi være interesserede i at vide hvordan de tre stikprøver er forskellige: Er alle tre forskellige eller er to indbyrdes ens Sammenligning af to grupper kan ske med et t-test, hvor signifikanssandsynligheden korrigeres for det antal sammenligninger, man planlægger at lave (Bonferroni) En mere præcis metode er at benytte Scheffes metode, der omfatter et F -test, der i opbygning minder om t-testet
33 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Da F -testet er signifikant kan vi være interesserede i at vide hvordan de tre stikprøver er forskellige: Er alle tre forskellige eller er to indbyrdes ens Sammenligning af to grupper kan ske med et t-test, hvor signifikanssandsynligheden korrigeres for det antal sammenligninger, man planlægger at lave (Bonferroni) En mere præcis metode er at benytte Scheffes metode, der omfatter et F -test, der i opbygning minder om t-testet Med mange grupper er den letteste metode dog Fishers LSD
34 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Hvis F -testet for ANOVA-tabellen er signifikant kan man starte med at lave parvise sammenligninger Med Sheffes metode sammenlignes to grupper (i og j) med følgende test: F = ( X i X j ) 2 S 2 e ( 1 n i + 1 n j ) Teststørrelses evalueres mod en F -test, der har frihedsgrader fra de to første rækker i ANOVA-tabellen Desuden ganges de kritiske værdier med k 1, hvor k er antallet af grupper I vores tilfælde benyttes fraktiler fra en F fordeling med (2, 27) frihedsgrader, der ganges med 3 1: F 2, F
35 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Vi starter med at teste versicolor mod virginica ( )2 F = 01079( ) = hvilket ses ikke at være signifikant Vi kan altså (i statistisk forstand) ikke se forskel på de to arter
36 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Vi starter med at teste versicolor mod virginica ( )2 F = 01079( ) = hvilket ses ikke at være signifikant Vi kan altså (i statistisk forstand) ikke se forskel på de to arter Vi sammenligner derfor setosa mod de to andre arter under et F = ( ) ( ) = og denne sammenligning ses at være signifikant med 001 < p < 005
37 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Er antallet af grupper højt kan vi benytte Fishers LSD (Least SignificantDifference) til hurtigt at få et overblik over hvilke grupper der kan siges at være forskellige Størrelsen beregnes på niveauet α som LSD α = t 1 α 2,DFw MS w ( 1 n i + 1 n j )
38 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Er antallet af grupper højt kan vi benytte Fishers LSD (Least SignificantDifference) til hurtigt at få et overblik over hvilke grupper der kan siges at være forskellige Størrelsen beregnes på niveauet α som LSD α = t 1 α 2,DFw MS w ( 1 n i + 1 n j ) Da alle stikprøver har samme størrelse behøver vi kun at beregne en enkelt LSD-værdi LSD 005 = ( ) = 03014
39 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Er antallet af grupper højt kan vi benytte Fishers LSD (Least SignificantDifference) til hurtigt at få et overblik over hvilke grupper der kan siges at være forskellige Størrelsen beregnes på niveauet α som LSD α = t 1 α 2,DFw MS w ( 1 n i + 1 n j ) Da alle stikprøver har samme størrelse behøver vi kun at beregne en enkelt LSD-værdi LSD 005 = ( ) = Grupper der har en absolut forskel større end kan siges at være forskellige (på 5 pct niveau)
40 Eksempel: Bægerblade på Iris sp X i X j setosa versicolor virginica setosa versicolor virginica
41 Eksempel: Bægerblade på Iris sp X i X j setosa versicolor virginica setosa versicolor virginica
42 Eksempel: Bægerblade på Iris sp For det fulde Iris-datasæt med 50 observationer af hver art er der bestemt følgende summer og kvadratsummer i Art n i X i Xi 2 1 setosa ,4 594,60 2 versicolor ,5 388,47 3 virginica ,7 447,33 Variation Kvadratsum Frihedsgrader Middelsum F -værdi SAK DF MS F obs Mellem 11,34 2 5,67 49,13 grupper Indenfor 16, ,1154 grupper Total 28,31 149
43 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Ny beregning af LSD giver LSD 005 = ( ) = 01345
44 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Ny beregning af LSD giver LSD 005 = ( ) = Med 10 observationer i hver gruppe var tallet mere end dobbelt så stort, 03014
45 Eksempel: Bægerblade på Iris sp Ny beregning af LSD giver LSD 005 = ( ) = Med 10 observationer i hver gruppe var tallet mere end dobbelt så stort, Forskellen er er nu signifikant! x versicolor x virginica = 2, , 9740 = 0, 2040
46 Eksempel: Beregning med Excel
47 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning
48 Tosidet variansanalyse uden vekselvirkning: Blokforsøg Ensidet ANOVA blev brugt til at analysere forsøg med én faktor, α, men nu udvider nu med endnu en faktor, β
49 Tosidet variansanalyse uden vekselvirkning: Blokforsøg Ensidet ANOVA blev brugt til at analysere forsøg med én faktor, α, men nu udvider nu med endnu en faktor, β Hvis vi har én observation for hver kombination af α og β kan vi undersøge hovedvirkningerne af de to faktorer med en model for blokforsøg
50 Tosidet variansanalyse uden vekselvirkning: Blokforsøg Ensidet ANOVA blev brugt til at analysere forsøg med én faktor, α, men nu udvider nu med endnu en faktor, β Hvis vi har én observation for hver kombination af α og β kan vi undersøge hovedvirkningerne af de to faktorer med en model for blokforsøg (Hvis vi har gentagelser indenfor kombinationer af α og β kan vi også undersøge for vekselvirkninger dette kommer senere ) Man kan tænke på blokforsøg som en udvidelse af den ensidede variansanalyse, hvor gentagelserne er organiseret på tværs efter et eller andet fællestræk
51 Eksempel: Design af forsøg På 4 skoler, hvor der på hver skole er 3 klasser på 6 klassetrin, har man lavet en samarbejdsprøve Den enkelte klasse skal løse den samme opgave på tid, men der er udarbejdet tre forskellige instruktioner til opgaven På hver skole fordeles de tre instrukser ved lodtrækning tilfældigt på klasserne Man registrerer hvor mange sekunder klassen er om at løse opgaven
52 Eksempel: Design af forsøg På 4 skoler, hvor der på hver skole er 3 klasser på 6 klassetrin, har man lavet en samarbejdsprøve Den enkelte klasse skal løse den samme opgave på tid, men der er udarbejdet tre forskellige instruktioner til opgaven På hver skole fordeles de tre instrukser ved lodtrækning tilfældigt på klasserne Man registrerer hvor mange sekunder klassen er om at løse opgaven Instruksen er behandlingen og skolen er blokken
53 Eksempel: Data Tid [sek] Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4 Snit Instruks A ,0 Instruks B ,0 Instruks C ,0 Snit 161,7 176,0 180,7 203,0 180,0
54 Eksempel: Data Tid [sek] Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4 Snit Instruks A ,0 Instruks B ,0 Instruks C ,0 Snit 161,7 176,0 180,7 203,0 180,0 Er der en signifikant behandlingseffekt, dvs giver instruksen en sikker påvirkning af løsningstiden?
55 Eksempel: Data Tid [sek] Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4 Snit Instruks A ,0 Instruks B ,0 Instruks C ,0 Snit 161,7 176,0 180,7 203,0 180,0 Er der en signifikant behandlingseffekt, dvs giver instruksen en sikker påvirkning af løsningstiden? Er der en signifikant blokeffekt, dvs er der forskellige niveauer for skolerne?
56 Eksempel: Data Tid [sek] Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4 Snit Instruks A ,0 Instruks B ,0 Instruks C ,0 Snit 161,7 176,0 180,7 203,0 180,0 Er der en signifikant behandlingseffekt, dvs giver instruksen en sikker påvirkning af løsningstiden? Er der en signifikant blokeffekt, dvs er der forskellige niveauer for skolerne? Kunne blokeffekten være den interessante?
57 Eksempel: Illustration af data Løsningstid [s] Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4 Instruks A Instruks B Instruks C
58 Eksempel: Illustration af data Løsningstid [s] Instruks A Instruks B Instruks C Skole 1 Skole 2 Skole 3 Skole 4
59 Teori: Statistisk model Modellen for den ensidede variansanalyse, X ij = µ + α i + ε ij udvider vi med en blokeffekt β j, j = 1,, b så modellen nu kan skrives som X ij = µ + α i + β j + ε ij De tilfældige fejl {ε ij } antages uafhængige og fra en normalfordeling med middelværdi 0 og varians σ 2 Der gælder at i α i = j β j = 0
60 Teori: ANOVA-tabel Variation Frihedsgrader Middelsum F -værdi DF MS F obs Rækker (behandling) a 1 MS a = SAKa a 1 Søjler (blokke) b 1 MS b = SAK b b 1 SAK e Residual (a 1)(b 1) MS e = (a 1)(b 1) Total ab 1 F a = MSa MS e F b = MS b MS e Der gælder at SAK tot = SAK a + SAK b + SAK e Detaljer i separat note
61 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j
62 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j i=1 j=1 X 2 ij =
63 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j i=1 j=1 X 2 ij = SAK tot = = 3696, 67
64 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j i=1 j=1 X 2 ij = SAK tot = = 3696, 67 SAK a = 1 4 ( ) = 690, 67
65 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j i=1 j=1 X 2 ij = SAK tot = = 3696, 67 SAK a = 1 4 ( ) = 690, 67 SAK b = 1 3 ( ) = 2643, 33
66 Eksempel: Beregning af SAKer i \ j i=1 j=1 X 2 ij = SAK tot = = 3696, 67 SAK a = 1 4 ( ) = 690, 67 SAK b = 1 3 ( ) = 2643, 33 SAK res = 3696, , , 33 = 362, 67
67 Eksempel: ANOVA-tabel Variation Behandling (instruks) Blok (skole) Residual Total
68 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Behandling (instruks) 690,67 Blok (skole) 2643,33 Residual 362,67 Total 3696,67
69 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Frihedsgrader Behandling (instruks) 690,67 2 Blok (skole) 2643,33 3 Residual 362,67 6 Total 3696,67 11
70 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Frihedsgrader Middelsum Behandling (instruks) 690, ,33 Blok (skole) 2643, ,11 Residual 362, ,44 Total 3696,67 11
71 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Frihedsgrader Middelsum F -værdi Behandling (instruks) 690, ,33 5,71 Blok (skole) 2643, ,11 14,58 Residual 362, ,44 Total 3696,67 11
72 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Frihedsgrader Middelsum F -værdi Behandling (instruks) 690, ,33 5,71 Blok (skole) 2643, ,11 14,58 Residual 362, ,44 Total 3696,67 11 Kritiske værdier: α 0,05 0,01 0,001 F 2,6 5,14 10,92 27,00 F 3,6 4,76 9,78 23,70
73 Eksempel: ANOVA-tabel Variation SAK Frihedsgrader Middelsum F -værdi Behandling (instruks) 690, ,33 5,71 Blok (skole) 2643, ,11 14,58 Residual 362, ,44 Total 3696,67 11 Kritiske værdier: α 0,05 0,01 0,001 F 2,6 5,14 10,92 27,00 F 3,6 4,76 9,78 23,70
74 Blokforsøg: Beregning med Excel
75 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning
76 Tosidet variansanalyse med vekselvirkning Har vi gentagelser indenfor hver kombination af de to faktorer, så kan vi estimere en vekselvirkning Vekselvirkning betyder, at effekten af en faktor også afhænger af den anden faktor modellen er ikke længere rent additiv
77 Tosidet variansanalyse med vekselvirkning Har vi gentagelser indenfor hver kombination af de to faktorer, så kan vi estimere en vekselvirkning Vekselvirkning betyder, at effekten af en faktor også afhænger af den anden faktor modellen er ikke længere rent additiv Den statistiske model er nu udvidet til X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk hvor henholdsvis X ijk er den kte gentagelse og γ er vekselvirkningen for kombination ij af de to faktorer
78 Tosidet variansanalyse med vekselvirkning Har vi gentagelser indenfor hver kombination af de to faktorer, så kan vi estimere en vekselvirkning Vekselvirkning betyder, at effekten af en faktor også afhænger af den anden faktor modellen er ikke længere rent additiv Den statistiske model er nu udvidet til X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk hvor henholdsvis X ijk er den kte gentagelse og γ er vekselvirkningen for kombination ij af de to faktorer De tilfældige fejl {ε ijk } antages uafhængige og fra en normalfordeling med middelværdi 0 og varians σ 2 Der gælder at α i = β j = γ ij = 0
79 Vekselvirkning: ANOVA-tabel Variation Frihedsgrader Middelsum F -værdi DF MS F obs Rækker (faktor A) a 1 MS A = SAK A a 1 F A = MS A MS e Søjler (faktor B) b 1 MS B = SAK B b 1 F B = MS B MS e Vekselvirkning (A B) (a 1)(b 1) MS AB = SAK AB (a 1)(b 1) Residual ab(n 1) MS e = SAKe ab(n 1) Total abn 1 F AB = MS AB MS e Detaljer i separat note
80 Vekselvirkning: Eksempel Svartider på sætninger der varierer mht reversibilitet og aktiv passiv Aktiv Passiv Irreversibel Reversibel
81 Vekselvirkning: Eksempel Svartider på sætninger der varierer mht reversibilitet og aktiv passiv Aktiv Passiv Irreversibel Reversibel svartid [ms] Aktiv Passiv irreversibel reversibel
82 Vekselvirkning: Eksempel Svartider på sætninger der varierer mht reversibilitet og aktiv passiv Aktiv Passiv Irreversibel Reversibel svartid [ms] Aktiv Passiv irreversibel reversibel Det ses at kombinationen aktiv irreversibel giver meget korte svartider, mens kombinationen passiv reversibel giver meget lange svartider
83 Vekselvirkning: Beregning
84 Vekselvirkning: Beregning med Excel
Kapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereKapitel 13 Reliabilitet og enighed
Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereIkke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereProgram. Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning. Repetition: ensidet variansanalyse. Eksempel: data fra Collinge et al
Program Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Ensidet ANOVA: repetition og Collinge eksempel. Additiv tosidet ANOVA (blokforsøg) Tosidet ANOVA
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på
Læs mereHypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j
Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!
Læs mereIndhold. 2 Tosidet variansanalyse Additive virkninger Vekselvirkning... 9
Indhold 1 Ensidet variansanalyse 2 1.1 Estimation af middelværdier............................... 3 1.2 Estimation af standardafvigelse............................. 3 1.3 F-test for ens middelværdier...............................
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mereSidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion
VARIANSANALYSE 2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt.
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereProgram. Residualanalyse Flersidet variansanalyse. Opgave BK.15. Modelkontrol: residualplot
Program Residualanalyse Flersidet variansanalyse Helle Sørensen Modelkontrol (residualanalyse) i tosidet ANOVA med vekselvirkning. Test og konklusion i tosidet ANOVA (repetition) Tresidet ANOVA: the works
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereProgram. Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse. Eksempel: fuldstændigt randomiseret forsøg. Forsøgstyper
Program Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Forsøgstyper og forsøgsplanlægning Analyse af data fra fuldstændigt randomiseret blokforsøg: tosidet
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mere1 Multipel lineær regression
1 Multipel lineær regression Regression med 2 eksponeringsvariable Fortolkning og estimation AnovaTabel og multipel R 2 Ensidet variansanalyse: Dummy kodning Kovariansanalyse og effektmodifikation Tosidet
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereKapitel 1 Statistiske grundbegreber
Kapitel 1 Statistiske grundbegreber Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Population versus stikprøve 3 Variabeltyper og måleskalaer 4 Parametrisk versus ikke-parametrisk
Læs mere1 Multipel lineær regression
Indhold 1 Multipel lineær regression 2 1.1 Regression med 2 eksponeringsvariable......................... 2 1.2 Fortolkning og estimation................................ 3 1.3 AnovaTabel og multipel R
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereProgram. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren
Faculty of Life Sciences Program Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Sammenligning af to grupper: tre eksempler Sammenligning af mere end to grupper: ensidet
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mereEksempel , opg. 2
Faktorer En faktor er en gruppering/inddeling af målinger/observationer pga. Tilsigtede variationer i en eller flere forsøgsparametre Nødvendige (potentielle) blok-effekter såsom gentagne målinger på samme
Læs mereProgram. Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering. Test for ens spredninger
Program Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Analyse af ikke-parrede stikprøver: repetition of rettelse af fejl! Lidt
Læs mereLøsninger til kapitel 9
Opgave 9.1 a) test for spredning, ensidet b) test for middelværdi, ensidet c) test for andel, ensidet d) test for to andele, ensidet e) test for spredning, tosidet f) test for middelværdi, ensidet g) test
Læs mereProgram. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12
Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereLøsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06)
Afdeling for Biostatistik Bo Martin Bibby 23. november 2006 Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Vi betragter 4699 personer fra Framingham-studiet. Der er oplysninger om follow-up
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs merePlot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): σ 2 : within blocks variance. σb 2 : between blocks variance
Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): Program: res 4 2 0 2 B1 B2 B3 B4 B5 1. vi starter med at gennemgå opgave 3 side 513. 2. nyt: to-sidet variansanalyse 1 2 3 4 5 block σ 2 : within blocks variance σb 2
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 8. november 2011 Videnskabelig hypotese Planlægning af et studie Endpoints Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 51 Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereModel. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.
Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereSchweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.
Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereProgram. Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller. Eksempel: iltoptag for krabber. Eksempel: iltoptag for krabber.
Program Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 1 / 19 StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 2 / 19 Eksempel:
Læs mereSide 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereMPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik
MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik Kvantitative udfaldsvariable 23. maj 2011 www.biostat.ku.dk/~sr/mphspec11 Susanne Rosthøj (Per Kragh Andersen) 1 Kapitelhenvisninger Andersen & Skovgaard:
Læs mereOpgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)
Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereTovejs-ANOVA (Faktoriel) Regler og problemer kan generaliseres til mere end to hovedfaktorer med tilhørende interaktioner
Tovejs-ANOVA (Faktoriel) Regler og problemer kan generaliseres til mere end to hovedfaktorer med tilhørende interaktioner I modsætning til envejs-anova kan flervejs-anova udføres selv om der er kun én
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereModul 11: Simpel lineær regression
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mere