Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion

Transkript

1 VARIANSANALYSE 2

2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt. interaktion mellem de to faktorer? f.eks. - Hvis både aldersgruppe og køn påvirker en repons - Hvis både sted og køn har betydning for niveauet i statistik - treatment and control vs mænd og kvinder SLIDE 2

3 Der er overordnet to typer: Ubalanceret design: Der er forskelligt antal observationer i (mindst to af) grupperne Balanceret design: Alle grupper har samme antal observationer med gentagelser: Der er flere observationer i en faktor. uden gentagelser: Der kun er en observation i en faktor. Samme procedure Kan ikke vurdere interaktionseffekt (kan være tilstede) to hypoteser Andre frihedsgrader SLIDE 3

4 Antagelser Fordelingen af responsen er normal Variansen for hver gruppe er ens Stikprøverne/samples er uafhængige SLIDE 4

5 - Balanceret design Eksperimentelt design: 2x2 (or 2 2 ) faktoranalyse med n = 5 gentagelser Total antal observationer: N = abn Lige mange gentagelser kaldes også for orthogonality cell N=abn=2 2 5=20 Faktor A: hormon Faktor B: køn SLIDE 5

6 Eksempel Eksempel: Forventet levetid for en hjertepatient 4 gentagelser Faktor A: Køn Mænd Kvinder Faktor B: Medicintype Medicin 1 135, 150, 176, 85 Medicin 2... Medicin 3.. Spørgsmål: 1. Har medicintype indflydelse på levetiden? 2. Har køn indflydelse på levetiden? 3. Er der en interaktion mellem medicintype og køn? SLIDE 6

7 Eksempel Løsning: Isoler de dele af den totale variation som stammer fra faktor A, faktor B og interaktionen og sammenlign dem med rest-variationen Lav individuel hypotese for alle tre faktorer H 0 : Medicintype har ikke indflydelse på levetiden (μ 1 =μ 2 =μ 3 ) H A : Medicintypen påvirker levetiden H 0 : Køn har ikke indflydelse på levetiden(μ mand =μ kvinde ) H A : Køn påvirker levetiden H 0 : Der er ingen interaktion mellem køn og medicintype H A : Der er interaktion mellem køn og medicintype SLIDE 7

8 Visualisering af 2-faktor ANOVA Grafisk fortolkning SLIDE 8

9 Interaktion H 0 : Der er ingen interaktion mellem køn og medicintype H A : Der er interaktion mellem køn og medicintype Hvad er interaktion? Hvis der er en interaktionseffekt påvirkes den ene faktor af niveuaet af den anden faktor. Faktor A har en effekt som afhænger af B og omvendt! f.eks. Treatment/control vs. Køn Kan også kaldes vekselvirkning I tilfælde af at der er interaktionseffekt er fortolkningen af faktoreffekten ofte misvisende SLIDE 9

10 Interaktion Grafisk fortolkning Visualisering af two-factor ANOVA uden interaktion Visualisering af two-factor ANOVA med interaktion Krydsede linier fortolk ikke main effect (beregn stadig) SLIDE 10

11 Beregninger SSSS TT = SSSS AA + SSSS BB +SSSS IIIIII +SSSS EE cccccccccc SSSS aa cccccccccc SSSS = nn XX iiii XX 2 bb ii=1 jj=1 SSSS IIIIII = cccccccccc SSSS SSSS AA SSSS BB SLIDE 11

12 Beregninger Total sum of squares: aa bb SSSS TT = XX iiiill XX 2 nn ii=1 jj=1 ll=1 Frihedsgrader: N-1 Faktor A sum of squares: aa SSSS AA = bbbb XX ii XX 2 ii=1 Frihedsgrader: a-1 Interaktion sum of sqaures: aa bb SSSS IIIIII = nn XX iijj XX ii XX jj + XX 2 ii=1 jj=1 Frihedsgrader: (a-1)(b-1) Alle observationer set som 1 sample. Har ingen hypotese Error sum tilknyttet of squares (within-cells): SLIDE 12 aa bb SSSS EE = XX iiiiii XX iiii 2 nn ii=1 jj=1 ll=1 Frihedsgrader: ab(n-1) Faktor B sum of sqaures: bb SSSS BB = aann XX jj XX 2 jj=1 Frihedsgrader: b-1 a=antal niveauer i faktor A b=antal niveauer i faktor B n=antal gentagelser N=total antal observationer, N=a b n X ijl =l 'te gentagelse for niveau i for faktor A og niveau j for faktor B XX ii =middelværdi for niveau i for faktor A XX jj =middelværdi for niveau j for faktor B XX iiii =middelværdi for celle (i,j) XX =fælles middelværdi for alle N observationer

13 Beregninger MS A : Populationsvarians estimeret ud fra middelværdierne af niveauerne i faktor A. MS B : Populationsvarians estimeret ud fra middelværdierne af niveauerne i faktor B. MS INT : Populationsvarians estimeret fra række-, søjle og gentagelsesmiddelværdier SLIDE 13

14 Beregninger MMMM = SSSS FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF = MMMM MMMM EE Der findes maskinformler! SLIDE 14

15 Beregninger Afvisningsregel: Frihedsgrader for det man tester for... Her faktor A Frihedsgrader for error Kritisk værdi: FF αα(1), aa 1,aaaa(nn 1) Afvis H 0 hvis F>F α(1) Evt. beregn/find p-værdien i tabel B4 SLIDE 15

16 Eksempel Eksempel: Forventet levetid for en hjertepatient 4 gentagelser Faktor A: Køn Mænd Kvinder Faktor B: Medicintype Medicin 1 135, 150, 176, 85 Medicin 2... Medicin 3.. Spørgsmål: 1. Har medicintype indflydelse på levetiden? 2. Har køn indflydelse på levetiden? 3. Er der en interaktion mellem medicintype og køn? SLIDE 16

17 Eksempel Løsning: Isoler de dele af den totale variation som stammer fra faktor A, faktor B og interaktionen og sammenlign dem med rest-variationen Lav individuel hypotese for alle tre faktorer H 0 : Medicintype har ikke indflydelse på levetiden (μ 1 =μ 2 =μ 3 ) H A : Medicintypen påvirker levetiden H 0 : Køn har ikke indflydelse på levetiden(μ mand =μ kvinde ) H A : Køn påvirker levetiden H 0 : Der er ingen interaktion mellem køn og medicintype H A : Der er interaktion mellem køn og medicintype SLIDE 17

18 Eksempel Faktor B: Medicintype Medicin 1 Medicin 2 Medicin 3 Faktor A: Køn Mænd Kvinder SLIDE 18

19 Eksempel Faktor A: Køn Mænd Kvinder Rækkesum Faktor B means Medicin XX 1 = = 94,125 Faktor B: Medicintype Medicin XX 2 = = 114,375 Medicin SLIDE XX 3 = = 93,5

20 Eksempel Faktor B: Medicintype Medicin 1 Medicin 2 Medicin 3 Faktor A: Køn Mænd XX 11 = = 136,5 XX 12 = = 150,75 XX 13 = = 123,75 Kvinder XX 21 = = 51,75 XX 22 = = 78 XX 23 = = 63,25 Rækkesum Faktor B means XX 1 = = 94,125 XX 2 = = 114,375 XX 3 = = 93,66 Søjlesum Total sum: 2416 XX XX = 2416 Faktor A means 24 = 1 = 1644 = XX 12 2 = 772 = , ,6667 SLIDE 20

21 Eksempel Faktor A SS: aa SSSS AA = bbbb XX ii XX 2 ii=1 = 3 4(( ,6667) 2 + ( ,6667) 2 )=31683 Frihedsgrader: a-1=1 Faktor B SS: bb SSSS BB = aaaa XX jj XX 2 jj=1 = 2 4((94, ,67) 2 + (114, ,67) ,5 100,67) 2 = 2257 Frihedsgrader: b-1=2 Interaktion sum of sqaures: aa bb SSSS IIIIII = nn XX iiii XX ii XX jj + XX 2 ii=1 jj=1 + = 588,1 Frihedsgrader: (a-1)(b-1)=2 = , ,67 2 SLIDE 21

22 Eksempel - anovatabel Source of variation Sum of squares Frihedsgrader Mean square F P Faktor A 31682, ,7 69,63 <0,0005 Faktor B 2256, ,3 2,48 0,1<P<0,25 Interaktion 588, ,65 >0,25 Error Total 42717,4 23 Kritisk værdi: F α(1),(tæller frihedsgrader,nævner frihedsgrader = 18) For faktor A: F α(1),(1,18) =4,41 Afvisningsregel: Afvis hvis F>F α Konklusion: Interaktion: Afvis ikke H 0 (F α(1),(2,18) =3,5546) Faktor A: Afvis H 0 Køn har en betydning på levetiden (p<0,0005) Faktor B: Afvis ikke H 0 SLIDE 22

23 Afsluttende bemærkninger Konfidensinterval: Jeps Ikke balanceret forsøg: Section 12.2 (lille modifikation af hvad vi har lært i dag) Uden gentagelser: Section 12.3 (ingen interaktionseffekt) Post hoc test: Tukey med modifikationer (se section 12.5) SLIDE 23