Modul 11: Simpel lineær regression
|
|
- Mathias Petersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser Oversigt Eksempel 17.1 fra Zar Regression med gentagelser Oversigt Eksempel 17.8 fra Zar Regression uden gentagelser Bemærk: i modulerne om regression og korrelation vil vi kalde signifikansiveauet for δ. f.eks. δ = 5% Oversigt Variable: X (uafhængig variabel) og Y (responsvariabel) X kontrolleret: betyder at værdien af X kan varieres frit i eksperimentet, f.eks. X = koncentration, strømstyrke, vægt, længde, tidsinterval etc. Der er tale om en årsagssammenhæng: når X øges vil Y have en tendens til at gå op eller at gå ned. Der ønskes en prediktion af Y ud fra X (her giver det ikke mening at prediktere X ud fra Y ). X ikke kontrolleret: betyder at X og Y begge er stokastiske X og Y er på lige fod. Der er ikke nogen klar årsagssammenhæng. Vælg Y som den variabel der ønskes predikteret ud fra X. Analysen er dog den samme uanset om X er kontrolleret eller ej.
2 11.1 Regression uden gentagelser 2 Model: Y i = α + βx i + ǫ i Y i : Den i-te værdi af den afhængige (respons) variabel. X i : Den i-te værdi af den uafhængige, forklarende variabel. α: Konstantled. Repræsenterer E(Y ) ved X = 0. β: Hældning. Repræsenterer ændringen i E(Y ) ved en forøgelse af X med 1 enhed. ǫ i : Den i-te statistisk fejl (residual). i: Observationsnummer; i = 1,2,...,n. Stikprøveregressionslinie (fittet linie): Ŷ = a + bx, hvor a angiver skæringen med Y -aksen, og b angiver hældningen på linien. Evalueres den fittede linie for hver observation fås de fittede værdier: Ŷ i = a + bx i Lad x i = X i X og y i = Y i Ȳ, så er estimaterne for β og α henholdsvis: b = n x iy i n x2 i og a = Ȳ b X den fittede linie går igennem punktet ( X, Ȳ ), hvilket let ses: Modelforudsætninger: a + b X = = Ȳ Ȳ b X + b X 1. ǫ i N(0,σ 2 ), hvor σ 2 kaldes residualvariansen. 2. ǫ i -erne er uafhængige stokastiske variable. 3. Lineær sammenhæng mellem Y og X. De statistiske fejl estimeres ved residualerne ˆǫ i = e i = Y i Ŷi, altså de lodrette afvigelser mellem de observerede og de fittede værdier. Mindste kvadraters princip: a og b er valgt så de minimerer kvadratsummen af residualerne: n n ( ) 2 e 2 i = Y i Ŷi = n (Y i a bx i ) 2
3 11.1 Regression uden gentagelser 3 Modelkontrol: Check normalitet f.eks. ved at indtegne de standardiserede residualer i et normalfordelingsplot. Man kan også bruge et histogram. Check for varianshomogenitet ved at plotte residualerne e i, mod X i eller mod Ŷ i Residualerne skal ligge som en sky omkring den vandrette linie gennem 0 (summen af residualerne er altid 0). Manglende linearitet viser sig i residualplottene i form af en u-fomet eller omvendt u-formet sammenhæng. Vær også på vagt over for outliers (ekstremer i Y -retningen) eller indflydelsesrige observationer (ekstremer i X-retningen), som nogen gange kan ændre analysens konklusioner drastisk. Checkes ved at udregne Cook s D i, som bør være mindre end 1. ANOVA-tabel: Source SS DF M S F p Regression SSR 1 MSR = SSR MSR 1 MSE Error SSE n 2 MSE = SSE n 2 Total SST n 1 s 2 Y X = MSE er estimatet for residualvariansen σ2. Residualer og kvadratsummer: For residualerne gælder der ) ) Y i (Y Ȳ = i Ŷi + (Ŷi Ȳ Tilsvarende gælder der hvor SST = SSE + SSR SST = SSE = SSR = n ( Yi Ȳ ) 2 n ( ) 2 Y i Ŷi n ) 2 (Ŷi Ȳ Denne opsplitning af kvadratsummen følger (matematisk set) fordi a og b er fundet ved mindste kvadraters princip. Vurdering af modellen:
4 11.1 Regression uden gentagelser 4 I. Determinationskoefficienten, r 2 r 2 udtrykker hvor stor en del af variationen i Y, der kan forklares af den uafhængige variabel, X. r 2 = 1 SSE SST = (udtrykkes ofte i %). Bemærk også r 2 altså en voksende funktion af F. II. Test af de enkelte parametre Nulhypotese H 0 : α 0 og β 0 er konstanter. Alternativ hypotese H A : SST SSE SST = SSR SST, 0 r2 1 = 1 SSE SST SSE = 1 SSE + SSR 1 = 1 = 1 SSE SSE + SSR SSE n 2 F Om: α β a) α = α 0 β = β 0 b) α α 0 β β 0 c) α α 0 β β 0 Om: α β a) α α 0 β β 0 b) α < α 0 β < β 0 c) α > α 0 β > β 0 Advarsel: Det giver kun mening at teste hypoteser om α hvis 0 ligger inden for eller nær range for X. Teststørrelser: T = a α0 s a T = b β0 s b
5 11.1 Regression uden gentagelser 5 Begge T er t-fordelt med n 2 frihedsgrader. Beslutningsregel: Forkast H 0, hvis p-værdi < signifikansniveauet δ. Konfidensinterval for β på niveau δ er givet ved hvor b ± t δ(2),n 2 s b s b = s Y X n x2 i Konfidensinterval for α på niveau δ er givet ved a ± t δ(2),n 2 s a hvor s a = s Y X 1 n + X2 n x2 i Anvendelse af modellen til prediktion: Lad X være en given værdi af den uafhængige variabel. X bør vælges inden for range for X, dvs. man skal være varsom med extrapolationer. I. Punktestimat Ŷ = a + bx estimerer værdien af E(Y ) = α + βx. Kaldes prediktionen af den nye værdi Y svarende til X. II. Prediktionsinterval hvor Ŷ ± t δ(2),n 2 (sŷ ) 1 ( ) sŷ 1 = s (1 Y X + 1n ( ) ) X X 2 + n x2 i Bruges til at forudse hvor den nye observation Y vil ligge. III. Konfidensinterval for α + βx: Ŷ ± t δ(2),n 2 sŷ hvor ( ( ) 2 ) sŷ = s 1 X X Y X n + n x2 i Bruges til at indkredse den teoretiske værdi af regressionslinien bedste muligt.
6 11.1 Regression uden gentagelser Eksempel 17.1 fra Zar Data og analysemetode: Data er vingelængde for 13 spurve i forskellig alder (Zar, eks. 17.1, p. 326): Alder (dage) Vingelængde (cm) X Y Vingelængden antages at afhænge positivt af alderen. Et plot af de to variable viser en tendens til lineær sammenhæng. Vi vil derfor lave en simpel lineær regressionsanalyse. Model: Y i = α + βx i + ǫ i Y : Den afhængige variabel, vingelængde. X: Den uafhængige, forklarende variabel, alder. Hvis vi har mulighed for frit at vælge spurve af en hvilken som helst alder kan vi tale om at X er kontrolleret. Hvis der er tale om en tilfældig stikprøve af en given population af spurve med forskellige aldre er X ikke kontrolleret. Om det ene eller det andet er tilfældet ændrer dog ikke på analysen. α: Angiver den forventede værdi af Y, når alderen er 0. Da 0 ligger uden for range for X, er α ikke interessant i sig selv. β: Repræsenterer ændringen i den forventede vingelængde ved en forøgelse af X på 1 dag. Vi forventer, at β > 0. ǫ i : Residual. i: Observationsnummer, i = 1,2,...,13. Stikprøveregressionslinie: Regressionsanalyse giver flg. estimerede linie (se SASkørsel): Ŷ = X Dvs. hver gang alderen øges med 1 dag, øges den forventede vingelængde med 0.27 cm. b er således positiv som forventet. Modelforudsætninger:
7 11.1 Regression uden gentagelser 7 1. ǫ i N(0,σ 2 ) 2. ǫ i -erne er uafhængige stokastiske variable. 3. Linearitet Disse forudsætninger undersøges senere. Vurdering af modellen: I. Determinationskoefficienten, r 2 r 2 = SSR SST = dvs. 97% af variationen i Y, vingelængden, kan forklares af alderen. Dette giver mening i vokseperioden, men gælder givetvis ikke for voksne fugle, hvor slutvingelængden kan tænkes at afhænge af forskellige genetiske og miljømæssige faktorer. II. Test af de enkelte parametre Nulhypotese H 0 : β 0 Alternativ hypotese H A : β > 0 Teststørrelse: T = b s b = T t-fordelt med n 2 = 11 frihedsgrader. p-værdi = (p-værdien i SAS er for et tosidet test, men det er irrelevant her med så lille en værdi). p-værdien er således mindre end ethvert rimeligt valg af signifikansniveuet δ. Vi må derfor afvise H 0, dvs. der er en positiv, signifikant sammenhæng, hvilket svarer til vores forventning. Modelkontrol: 1. Check normalitet ved at indtegne de standardiserede, estimerede residualer i et histogram. Histogrammet skal være klokkeformet, symmetrisk omkring 0. Denne forudsætning synes at være opfyldt. 2. Check for varianshomogenitet ved at plotte e i mod X i. Residualerne skal ligge som en sky omkring den vandrette linie gennem 0 Dette synes nogenlunde at være tilfældet. 3. Linearitet kan ikke testes, da vi ikke har gentagelser (se næste afsnit). Men scatterplottet viser en pæn lineær sammenhæng. 4. Alle værdier af Cook s D i, er mindre end 1, så outliers ser ikke ud til at være et problem. Vi kan konkludere, at forudsætningerne således synes opfyldte. Konklusion: Der er en signifikant positiv sammenhæng mellem vingelængden og alder.
8 11.1 Regression uden gentagelser 8 SAS-output: Plot of Y*X. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc. Y 6 A 5 A A A A 4 A A A A 3 A A 2 A A X
9 11.1 Regression uden gentagelser 9 Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model Error C Total Root MSE R-square Dep Mean Adj R-sq C.V Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > T INTERCEP X Dep Var Predict Std Err Lower95% Upper95% Lower95% Upper95% Obs Y Value Predict Mean Mean Predict Predict Std Err Student Cook s Obs Residual Residual Residual D * *** * 0.049
10 11.1 Regression uden gentagelser ** ** ** * ** ** * *** Sum of Residuals 0 Sum of Squared Residuals Predicted Resid SS (Press) Plot of RESID*X. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc. 0.3 A A 0.2 A A A A 0.1 R A e A s i d 0.0 u a l -0.1 A
11 11.1 Regression uden gentagelser A A -0.3 A A X Frequency 4 **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** 3 **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** 2 **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** ****
12 11.2 Regression med gentagelser 12 **** **** **** 1 **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** **** Studentized Residual 11.2 Regression med gentagelser Oversigt Antag nu at der er gentagelser, dvs. gentagne målinger af Y for hver værdi af X. Betyder at X er kontrolleret, da vi ellers ikke kan holde X-værdien fast i forbindelse med gentagelserne. Der er altså tale om en årsagssammenhæng: Y forklares ud fra X. Model: Y ij = α + βx i + ǫ ij i: Gruppenummer: i = 1,2,...,k j: Observationsnummer inden for gruppe; j = 1,2,...,n i. n i : Antal replikationer i den i-te gruppe. Bør være mindst 2, men enkelte grupper kan have n i = 1. n: Samlet stikprøvestørrelse n = n n k. Y ij : Den j-te værdi i den i-te gruppe af den afhængige (respons) variabel. X i : Den i-te værdi af den uafhængige, forklarende variabel, som er ens for alle n i data i gruppe i. α: Konstantled. Repræsenterer E(Y ) ved X = 0. β: Hældning. Repræsenterer ændringen i E(Y ) ved en forøgelse af X med 1 enhed. ǫ ij : Den j-te statistisk fejl i gruppe i. Bemærk: regressionsmodeller svarer i bund og grund til ubalancerede forsøg, og der er ikke noget krav om at n i erne skal være ens.
13 11.2 Regression med gentagelser 13 Stikprøveregressionslinie (fittet linie): Ŷ = a + bx, hvor a angiver skæringen med Y -aksen, og b angiver hældningen på linien. Fittede værdier (fælles for alle n i observationer i gruppe i): Lad x i = X i X og y ij = Y ij Ȳ, hvor Ŷ i = a + bx i Ȳ = 1 n k n i j=1 Y ij Bemærk at dobbeltsummen har n led, dvs. summationen er over alle n observationer. For X fås: X = 1 k n i X i n altså det vægtede gennemsnit af X i -erne. Så er mindste kvadraters estimaterne for β og α henholdsvis: b = k ni j=1 x iy ij k n ix 2 i og a = Ȳ b X Estimaterne er som før, bortset fra at den nye notation tvinger os til at erstatte summen med enten en dobbeltsum eller en vægtet sum. den fittede linie går igen igennem punktet ( X, Ȳ ). Modelforudsætninger: 1. ǫ ij N(0,σ 2 ), hvor σ 2 kaldes residualvariansen. 2. ǫ ij -erne er uafhængige stokastiske variable, både inden for grupper og mellem grupper. 3. Lineær sammenhæng mellem Y og X. De statistiske fejl estimeres ved residualerne ˆǫ ij = e ij = Y ij Ŷi, altså de lodrette afvigelser mellem de observerede og de fittede værdier. Modelkontrol: Check normalitet f.eks. ved at indtegne de standardiserede residualer i et normalfordelingsplot. Man kan også bruge et histogram.
14 11.2 Regression med gentagelser 14 Hvis n i -erne alle er passende store (mindst 20) bør man lave et separat normalfordelingsplot for hver af de k grupper. Man skal særlig være på vagt overfor systematiske afvigelser fra rette linier i de k plot. Check for varianshomogenitet ved at plotte residualerne e ij, mod X i eller mod Ŷi. Residualerne skal ligge som en sky omkring den vandrette linie gennem 0 (summen af residualerne er altid 0). Manglende linearitet viser sig i residualplottene i form af en u-fomet eller omvendt u-formet sammenhæng. Bartlett s test for varianshomogenitet kan udføres ligesom ved ensidig variansanalyse, baseret på de k variansestimater s 2 1,...,s2 k, forudsat alle n i > 1. Outliers og indflydelsesrige observationer kan checkes ved at udregne Cook s D ij (n ialt) som bør være mindre end 1. ANOVA-tabel: Source SS DF M S F p Regression SSR 1 MSR = SSR MSR 1 MSE Ikke-linearitet SSL k 2 MSL = SSL MSL k 2 MSE Error SSE n k MSE = SSE n k Total SST n 1 s 2 p = MSE er estimatet for residualvariansen σ2, ligesom i ensidig variansanalyse. Det svarer til at poole de k estimater s 2 1,...,s2 k. Residualer og kvadratsummer: For residualerne gælder der Y ij Ȳ = ( Y ij Ȳi) ) ) + (Ȳi Ŷi + (Ŷi Ȳ Tilsvarende kan man vise at hvor vi har Den totale kvadratsum: SST = SSE + SSL + SSR SST = k n i ( Yij Ȳ ) 2 j=1 Kvadratsum inden for grupper (pure error): SSE = k n i ( Yij Ȳi) 2 j=1
15 11.2 Regression med gentagelser 15 Kvadratsum for afvigelse fra linearitet (lack of fit): Kvadratsum for regression: SSL = SSR = k n i (Ȳi Ŷi k ) 2 ) 2 n i (Ŷi Ȳ Forudsætter igen at vi bruger mindste kvadraters princip ved estimation af α og β. Vurdering af modellen: I. Determinationskoefficienten, r 2 r 2 udtrykker hvor stor en del af variationen i Y, der kan forklares af den uafhængige variabel, X. r 2 = SSR SST, 0 r2 1 (udtrykkes ofte i %). Bemærk også r 2 SSE + SSL = 1 SSE + SSL + SSR 1 = SSR SSE+SSL hvilket viser at r 2 er en voksende funktion af F-testen for regression baseret på den poolede varians (se nedenfor), altså F = hvor DFE = n k og DFL = k 2. II. Test af de enkelte parametre Nulhypotese H 0 : α 0 og β 0 er konstanter. Alternativ hypotese H A : MSR SSE+SSL DFE+DFL Om: α β a) α = α 0 β = β 0 b) α α 0 β β 0 c) α α 0 β β 0 Om: α β a) α α 0 β β 0 b) α < α 0 β < β 0 c) α > α 0 β > β 0
16 11.2 Regression med gentagelser 16 Advarsel: Det giver kun mening at teste hypoteser om α hvis 0 ligger inden for eller nær range for X. Teststørrelser: T = a α0 s a T = b β0 s b Begge T er t-fordelt med n 2 frihedsgrader. Beslutningsregel: Forkast H 0, hvis p-værdi < signifikansniveauet δ. Konfidensinterval for β på niveau δ er givet ved hvor b ± t δ(2),n 2 s b s b = s Y X k n ix 2 i Konfidensinterval for α på niveau δ er givet ved a ± t δ(2),n 2 s a hvor s a = s 1 Y X n + X 2 k n ix 2 i Anvendelse af modellen til prediktion: Lad X være en given værdi af den uafhængige variabel. X bør vælges inden for range for X, dvs. man skal være varsom med extrapolationer. I. Punktestimat Ŷ = a + bx estimerer værdien af E(Y ) = α + βx. Kaldes prediktionen af den nye værdi Y svarende til X. II. Prediktionsinterval hvor Ŷ ± t δ(2),n 2 (sŷ ) 1 ( ) sŷ 1 = s (1 Y X + 1n ( ) ) X X 2 + k n ix 2 i Bruges til at forudse hvor den nye observation Y vil ligge.
17 11.2 Regression med gentagelser 17 III. Konfidensinterval for α + βx: Ŷ ± t δ(2),n 2 sŷ hvor ( ( ) 2 ) sŷ = s 1 X X Y X n + k n ix 2 i Bruges til at indkredse den teoretiske værdi af regressionslinien bedste muligt. Bemærk: Det poolede variansskøn under antagelse af lineær sammenhæng er: s 2 Y X som har DFE + DFL = n 2 frihedsgrader Eksempel 17.8 fra Zar = SSE + SSL DFE + DFL Data og analysemetode: Data er alder (år) og systolisk blodtryk (mm Hg), (Zar, eks. 17.2, p. 346): Alder (år) Blodtryk (mm Hg) n i X Y , 110, , 120, 118, , 137, , 151, 146, 147, , 156, 164, 158, Et plot af de to variable (Zar figur 17.9) viser en pæn lineær sammenhæng. Model: Y ij = α + βx i + ǫ ij i: Aldersgruppe: i = 1,2,...,5 j: Observationsnummer inden for aldersgruppe; j = 1,2,...,n i. n i : Antal personer (replikationer) i den i-te aldersgruppe. n: Samlet stikprøvestørrelse n = = 20. Y ij : Den j-te persons blodtryk i den i-te aldersgruppe. X i : Værdien af alderen i den i-te aldersgruppe (alle personer i gruppen antages at have samme alder). α: Konstantled. Repræsenterer gennemsnitligt blodtryk ved alder 0. Da 0 ligger uden for det betragtede aldersinterval er α ikke interessant i sig selv. β: Hældning. Repræsenterer den gennemsnitlige ændringen i blodtryk per år.
18 11.2 Regression med gentagelser 18 ǫ ij : Den j-te statistisk fejl i gruppe i, altså differensen mellem den j-te persons blodtryk i den i-te gruppe og denne gruppes middelblodtryk. Stikprøveregressionslinie: Regressionsanalyse giver flg. estimerede linie: Ŷ = X Dvs. for hvert år øges det forventede blodtryk med mm Hg. Som referenceblodtryk kan f.eks. bruges det forventede blodtryk ved 45 år, som er Ŷ 45 = = Modelforudsætninger: 1. ǫ ij N(0,σ 2 ) 2. ǫ ij -erne er uafhængige stokastiske variable. 3. Linearitet. Disse forudsætninger ser ud til at være opfyldt. ANOVA-tabel: Source SS DF M S F p Regression p < Ikke-linearitet p > 0.25 Error Total s 2 p = 7.82 er estimatet for residualvariansen σ2. Bemærk: Zar laver F-testet for linearitet baseret på det poolede variansskøn s 2 Y X = 6.61 med 18 frihedsgrader, hvilket giver samme resultat. Vurdering af modellen: I. Determinationskoefficienten, r 2 r 2 = SSR SST = 0.98 dvs. 98% af variationen i Y, blodtryk, kan forklares af alderen. II. Test af de enkelte parametre Nulhypotese H 0 : β 0
19 11.2 Regression med gentagelser 19 Alternativ hypotese H A : β > 0 Teststørrelse: T = b s b T t-fordelt med 18 frihedsgrader, hvis s 2 Y X bruges. Udeladt. Modelkontrol: Udeladt. Konklusion: Der er en signifikant positiv sammenhæng mellem vingelængden og alder.
Modul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereMultipel regression. Data fra opgave 3 side 453: Multipel regressionsmodel: Y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ǫ. hvor ǫ N(0, σ 2 ).
Program 1. multipel regression 2. polynomiel regression (og andre kurver) 3. kategoriske variable 4. Determinationkoefficient og justeret determinationskoefficient 5. ANOVA-tabel 1/13 Multipel regression
Læs mereModul 6: Regression og kalibrering
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................
Læs mereModule 3: Statistiske modeller
Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereTo samhørende variable
To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereVi ønsker at konstruere normalområder for stofskiftet, som funktion af kropsvægten.
Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al.,
Læs mere(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i
Da er r i = e i ˆσ ei t(n 3) (tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). Program 1. lineær regression: opgave 3 og 13 (sukker-temperatur). 2. studentiserede residualer, multipel regression. Tommelfinger-regel:
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mereLineær regression i SAS. Lineær regression i SAS p.1/20
Lineær regression i SAS Lineær regression i SAS p.1/20 Lineær regression i SAS Simpel lineær regression Grafisk modelkontrol Multipel lineær regression SAS-procedurer: PROC REG PROC GPLOT Lineær regression
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereMultipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model
Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereStatistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression
Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereRegressionsanalyse i SAS
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006 Regressionsanalyse uden gentagelser Regressionsanalyse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereReeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på
Læs mereØkonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion
Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mere1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk
Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereEksamen i Statistik for Biokemikere, Blok januar 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Statistik for Biokemikere, Blok 2 2008 09 19. januar 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereβ = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1
Lineær regression Lad x 1,..., x n være udfald af stokastiske variable X 1,..., X n og betragt modellen M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) hvor t i, i = 1,..., n, er kendte tal. Konkret analyseres (en del af)
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereOpgavebesvarelse, brain weight
Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) Spørgsmål 1 Data er indlagt på T:/Basalstatistik/brain.txt og kan indlæses direkte i Analyst med
Læs mereModel. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.
Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1
Læs mereOpgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)
Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i
Læs mereOpgavebesvarelse, brain weight
Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) For 20 nyfødte mus er der i tabellen nedenfor anført oplysning om kuldstørrelsen (fra 3 til 12
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereLagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet
Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker
Læs mereIndhold. 2 Tosidet variansanalyse Additive virkninger Vekselvirkning... 9
Indhold 1 Ensidet variansanalyse 2 1.1 Estimation af middelværdier............................... 3 1.2 Estimation af standardafvigelse............................. 3 1.3 F-test for ens middelværdier...............................
Læs mereBesvarelse af vitcap -opgaven
Besvarelse af -opgaven Spørgsmål 1 Indlæs data Dette gøres fra Analyst med File/Open, som sædvanlig. Spørgsmål 2 Beskriv fordelingen af vital capacity og i de 3 grupper ved hjælp af summary statistics.
Læs mereProgram. Residualanalyse Flersidet variansanalyse. Opgave BK.15. Modelkontrol: residualplot
Program Residualanalyse Flersidet variansanalyse Helle Sørensen Modelkontrol (residualanalyse) i tosidet ANOVA med vekselvirkning. Test og konklusion i tosidet ANOVA (repetition) Tresidet ANOVA: the works
Læs mereTo-sidet variansanalyse
Program 1. To-sidet variansanalyse 2. Hierarkisk princip 3. Tre (og flere) sidet variansanalyse 4. Variansanalyse med blocking 5. Flersidet variansanalyse med tilfældige faktorer 6. En oversigtsslide til
Læs mereReeksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007-2008. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet er
Læs mereHypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j
Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x
Læs mereBasal statistik. 30. oktober 2007
Basal statistik 30. oktober 2007 Den generelle lineære model Repetition af variansanalyse og multipel regression Interaktion Kovariansanalyse Parametriseringer Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling
Læs mereVariansanalyse i SAS. Institut for Matematiske Fag December 2007
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 2 Tosidet variansanalyse Residualplot Tosidet variansanalyse
Læs mereAfdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar Regressionsanalyse i SAS 2. Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar 2007 2 Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Læs mereBasal statistik. 30. oktober Den generelle lineære model
Basal statistik 30. oktober 2007 Den generelle lineære model Repetition af variansanalyse og multipel regression Interaktion Kovariansanalyse Parametriseringer Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik
Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag
Læs mereStatistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol
Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereGenerelle lineære modeller
Generelle lineære modeller Regressionsmodeller med én uafhængig intervalskala variabel: Y en eller flere uafhængige variable: X 1,..,X k Den betingede fordeling af Y givet X 1,..,X k antages at være normal
Læs mereBesvarelse af juul2 -opgaven
Besvarelse af juul2 -opgaven Spørgsmål 1 Indlæs data Dette gøres fra Analyst med File/Open, som sædvanlig. Spørgsmål 2 Lav regressionsanalyser for hvert køn af igf1 vs. alder for præpubertale (Tanner stadium
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mereEksempel , opg. 2
Faktorer En faktor er en gruppering/inddeling af målinger/observationer pga. Tilsigtede variationer i en eller flere forsøgsparametre Nødvendige (potentielle) blok-effekter såsom gentagne målinger på samme
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs merek normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse)
k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) Lad x ij, i = 1,...,k, j = 1,..., n i, være udfald af stokastiske variable X ij og betragt modellen M 1 : X ij N(µ i, σ 2 ). Estimaterne er
Læs mereMPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik
MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik Kvantitative udfaldsvariable 23. maj 2011 www.biostat.ku.dk/~sr/mphspec11 Susanne Rosthøj (Per Kragh Andersen) 1 Kapitelhenvisninger Andersen & Skovgaard:
Læs mereStatistik Formelsamling. HA Almen, 1. semester
Statistik Formelsamling HA Almen, 1. semester Statistik - Formelsamling Indholdsfortegnelse Hvordan kan formelsamlingen bruges?... 5 Værd at vide... 5 Oversigt Mest brugte symboler... 5 Disclaimer... 5
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
Læs mereOpgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereBasal Statistik. Simpel lineær regression. Simpel lineær regression. Data. Faculty of Health Sciences
Faculty of Health Sciences Simpel lineær regression Basal Statistik Regressionsanalyse. Lene Theil Skovgaard 21. februar 2017 Regression og korrelation Simpel lineær regression Todimensionale normalfordelinger
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mere