Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)"

Transkript

1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Per Bruun Brockhoff Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

2 Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup) 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

3 Intro og generelle begreber Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

4 Intro og generelle begreber Motiverende eksempel En bilproducent er interesseret i at fastlægge benzinforbruget ved kørsel på motorvej for et nyt bilmærke. Fra et pilotstudie vides, at variansen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der udføres nu 25 forsøgsture (samme fører), hvor hver bil kører 100 km, og fra disse målinger estimeres middelværdien. Hvad bliver V ar[ X]? Beregn maksimal fejl med 95% sandsynlighed, dvs. E 0.95 Beregn maksimal fejl med 99% sandsynlighed, dvs. E 0.99 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

5 Intro og generelle begreber Kapitel 7: Inferens for gennemsnit Estimation ( ) Maksimal fejl på estimat af middelværdi Intervalestimation Kapitel 6: Stikprøvefordelinger Definition af population og tilfældig stikprøve Stikprøvefordeling for gennemsnit fra en normalfordeling t-fordelingen R Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

6 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Populationer og stikprøver Ved hjælp af en stikprøve forsøger man at generalisere om en population Det er derfor vigtigt, at stikprøven er repræsentativ for populationen Per Bruun Brockhoff Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

7 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Definition af population og tilfældig stikprøve (Kap. 6.1) Tilfældig stikprøve fra en endelig population: Observationerne X 1, X 2,..., X n er en tilfældig stikprøve af størrelse n fra en endelig population af størrelse N, såfremt værdierne er valgt således, at enhver delmængde af størrelse n af de N elementer fra populationen har den samme sandsynlighed for at blive valgt. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

8 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Definition af tilfældig stikprøve (Kap. 6.1) Tilfældig stikprøve fra en uendelig population: Et sæt observationer X 1, X 2,..., X n er en tilfældig stikprøve af størrelse n fra en uendelig population f(x) såfremt: 1 Hvert X i er en stokastisk variabel med tæthedsfunktion f(x) 2 De n stokastiske variable er uafhængige Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

9 Intro og generelle begreber Inferens og stikrøvefordeling Inferens for middelværdier Parameter: middelværdi af population µ Data: en tilfældig stikprøve med udfald x 1, x 2,..., x n fra stokastiske variable: X 1, X 2,..., X n Estimator - gennemsnittet: X Varians på gennemsnit:(fra Kap. 6.2) V ar[ X] = σ2 n Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

10 Intro og generelle begreber Inferens og stikrøvefordeling Stikprøvefordeling for gennemsnittet når variansen er kendt (Theorem 6.1, side 180) Uendelig population: Lad X være gennemsnittet af en stikprøve af størrelse n fra en fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 Da er X en stokastisk variabel og følger en fordeling med middelværdi µ og varians σ2 n Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

11 Intro og generelle begreber Inferens og stikrøvefordeling Stikprøvefordeling for gennemsnittet når variansen er kendt (Theorem 6.1, side 180) Endelig population: Lad X være gennemsnittet af en stikprøve af størrelse n fra en fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 Da er X en stokastisk variabel og følger en fordeling med middelværdi µ og varians σ2 n N n N 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

12 Intro og generelle begreber Inferens og stikrøvefordeling Begreber Central Estimator: En estimator ˆθ er central (eller ikke-biased), hvis og kun hvis, middelværdien af stikprøvefordelingen for estimatoren er lig θ Efficient Estimator En estimator ˆθ 1 er en mere efficient estimator af θ end estimatoren ˆθ 2 hvis: 1 ˆθ1 og ˆθ 2 begge er centrale estimatorer af θ 2 Variansen af stikprøvefordelingen for ˆθ 1 er mindre end for ˆθ 2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

13 Intro og generelle begreber Central Grænseværdisætning Den centrale grænseværdisætning (Theorem 6.3, side 184) Lad X være gennemsnittet af en stikprøve fra en fordeling med middelværdi µ og varians σ 2. Da vil Z = X µ σ/ n følge en N(0, 1 2 ) fordeling for n HVIS data i sig selv følger en normalfordeling, så er stikprøvefordelingen også normal: X i N(µ, σ 2 ) Z N(0, 1). Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

14 Maksimal fejl på et estimat Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

15 Maksimal fejl på et estimat Maksimal fejl på et estimat For store n gælder (den centrale grænseværdi sætning): X µ σ/ n N(0, 12 ) Den maksimale fejl, E, på et estimat med sandsynlighed (1 α) bliver: E = z α/2 σ n hvor z α/2 findes i standard normalfordelingen (tabel 3) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

16 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 Eksempel 1 En bilproducent er interesseret i at fastlægge benzinforbruget ved kørsel på motorvej for et nyt bilmærke. Fra et pilotstudie vides, at variansen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der udføres nu 25 forsøgsture (samme fører), hvor hver bil kører 100 km, og fra disse målinger estimeres middelværdien. Hvad bliver V ar[ X]? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

17 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 Eksempel 1 Beregn maksimal fejl med 95% sandsynlighed, dvs. E 0.95 Beregn maksimal fejl med 99% sandsynlighed, dvs. E 0.99 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

18 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

19 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Bestemmelse af stikprøvestørrelse Den maksimale fejl med sandsynlighed (eller konfidens) 1 α er: E = z α/2 σ n Når σ er kendt og vi ønsker at bestemme stikprøvestørrelse n for en maksimal fejl med sandsynlighed 1 α fås: n = ( z α/2 σ E )2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

20 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 Eksempel 2 Bilproducenten beslutter sig for at afprøve nogle justeringer, der antages at have indflydelse på benzinforbruget. Baseret på pilotstudiet antages indledningsvist, at variansen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der køres igen ture á 100 km. Bestem den nødvendige stikprøvestørrelse (antal ture), såfremt man ønsker, at den maksimale fejl med 95% sandsynlighed højst er E 95 = 0.10 (l/100 km)? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

21 Udvidelse til "ukendt varians-setup Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

22 Udvidelse til "ukendt varians-setup Stikprøvefordeling for middelværdien når variansen ikke er kendt Lad X være middelværdien af en stikprøve af størrelse n fra en fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 og hvor stikprøvens varians er estimeret: S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

23 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Stikprøvefordeling for middelværdien når variansen ikke er kendt Da er S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 t = X µ S/ n en stokastisk variabel og følger en t-fordeling med parameter v = n 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

24 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling t-fordelingen t fordeling med 10 frihedsgrader tæthed x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

25 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling t-fordelingen sammenligning af en normal og t fordeling (n 1=10) tæthed x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

26 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Tabelopslag i t-fordelingen Tabelopslag i t-fordelingen gøres vha tabel 4 Ved t α (n 1) forstås den værdi, således at P (t t α ) = α Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

27 Udvidelse til "ukendt varians-setup Maximal fejl Maksimal fejl på et estimat (σ ukendt) Når σ er ukendt, anvendes estimatet s for σ. I stedet for z α/2 anvendes t α/2 og den maksimale fejl, E med (1 α) konfidens, bliver E = t α/2 s n hvor t α/2 = t(n 1) α/2 findes i t-fordelingen (tabel 4) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

28 Udvidelse til "ukendt varians-setup Eksempel 3 Eksempel 3 Med de nye justering udføres 16 forsøg. Fra disse estimeres variansen s 2 = Bestem den maksimale fejl, E 0.95, dvs. med 95% sandsynlighed. Forklar hvorfor estimatet af E 0.95 i dette tilfæde er større end 0.10 (l/100 km). Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

29 Konfidensinterval Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

30 Konfidensinterval Intervalestimation Det er ofte mere informativt at angive intervalestimater end blot en enkelt værdi, f.eks. kan man være interesseret i et interval, der dækker (1 α)%. Idet vi kan skrive for kendt σ: z α/2 < X µ σ/ n < z α/2 Ved omskrivning fås (1 α) konfidensintervallet: x z α/2 σ n < µ < x + z α/2 σ n Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

31 Konfidensinterval Konfidensinterval Såfremt man ikke kender σ, men har en stor stikprøve (n 30) anvendes den samme formel, blot erstattes σ med estimatet s: x z α/2 s n < µ < x + z α/2 s n Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

32 Konfidensinterval Konfidensinterval Såfremt man ikke kender σ og har en lille stikprøve (n < 30), erstattes σ med estimatet s, og z α/2 erstattes med t α/2 : x t α/2 s n < µ < x + t α/2 s n (Under antagelse af, at data er normalfordelt!) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

33 Konfidensinterval Eksempel 4 Eksempel 4 I et amerikansk studie ønskede man at sammenligne indhold af arsenik i drikkevandet ved 8 forskellige lokaliteter: lokalitet vandprøve (ppm) x = 2.2 og s 2 x = 1.64 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

34 Konfidensinterval Eksempel 4 Eksempel 4 Det antages nu, at vandprøvemålingerne følger en normalfordeling. Angiv et 95% konfidensinterval for middelindholdet µ x af arsenik i drikkevandet. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

35 Konfidensinterval Eksempel 4 Eksempel 4 Fra et tidligere studie oplyses, at et konfidensinterval for middelværdien af arsenik i drikkevandet er [1.63; 2.37]. Det oplyses, at ovenstående konfidensinterval var baseret på en stikprøve med n = 50 observation med estimeret middelindhold x = 2 og varians s 2 = Hvor stort konfidensinterval 1 α (i %) er der tale om? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

36 Kendt eller ukendt varians Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

37 Kendt eller ukendt varians Generelt I de anførte formler anvendes: 1 Når variansen er kendt, anvendes σ og z α/2 2 Når variansen ikke er kendt, men stikprøven er stor, anvendes s og z α/2 3 Når variansen ikke er kendt og stikprøven er lille, anvendes s og t α/2 NB: "Ukendt betyder at man bruger foreliggende data til at bestemme variansen (Og erkender begrænsningen/usikkerheden i dette) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

38 R (R note 6) Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

39 R (R note 6) R (R note 6) R t chisq f Betegnelse t-fordelingen χ 2 -fordelingen F-fordelingen d Tæthedsfunktion f(x) (probability distribution). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative probability function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Simulering (random sampling from distribution). Eksempel: P (t 2) pt(2) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

40 R (R note 6) Oversigt 1 Intro og generelle begreber Populationer og stikprøver Inferens og stikrøvefordeling Central Grænseværdisætning 2 Maksimal fejl på et estimat Eksempel 1 3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse Eksempel 2 4 Udvidelse til "ukendt varians-setup t-fordeling Maximal fejl Eksempel 3 5 Konfidensinterval Eksempel 4 6 Kendt eller ukendt varians 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 5 Foråret / 40

Kursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Kursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kuru 02402 Introduktion til Statitik Forelæning 5: Kapitel 7: Inferen for gennemnit (One-ample etup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statitik og Dataanalye Bygning 324, Rum 220 Danmark Teknike Univeritet

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger

Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering

Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)

Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik

Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt

Læs mere

Opgaver til kapitel 3

Opgaver til kapitel 3 Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

4 Oversigt over kapitel 4

4 Oversigt over kapitel 4 IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher

Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009

Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...

1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed... Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Hvorfor er normalfordelingen så normal?

Hvorfor er normalfordelingen så normal? Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram

Læs mere

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala 3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA

Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges

Læs mere

StatDataN: Test af hypotese

StatDataN: Test af hypotese StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere