Løsninger til kapitel 9

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsninger til kapitel 9"

Transkript

1 Opgave 9.1 a) test for spredning, ensidet b) test for middelværdi, ensidet c) test for andel, ensidet d) test for to andele, ensidet e) test for spredning, tosidet f) test for middelværdi, ensidet g) test for to middelværdier, ensidet h) test for andel, ensidet i) test for to andele, ensidet j) test for middelværdi, ensidet k) test for spredning, ensidet l) test for middelværdi, ensidet m) test for spredning, ensidet n) test for middelværdi, ensidet o) test for andel, ensidet p) test for to andele, ensidet q) test for to spredninger, tosidet r) test for to middelværdier, ensidet s) test for to andele, ensidet t) test for andel, ensidet u) test for middelværdi, ensidet v) test for to spredninger, tosidet Opgave 9. a) og b) og c) og d) og e) og Opgave 9.3 a) Der tegnes et normalfraktildiagram for stikprøven: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 1

2 b) Idet stikprøvens gennemsnit er på under 5 ml, vælges alternativhpotesen og den tilsvarende nulhpotese bliver derfor. Da vi har en lille, men normalfordelt stikprøve med ukendt populationsspredning, så tester vi disse hpoteser med en t-test. HpoStat giver: α =,5 H : µ 5, H 1 : µ < 5, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 499,7 s 181,63 n =,,1 P-værdi,461 Forkast H, hvis T < - t n-1, α = 1,79 Idet p-værdien for testen er på 46,1%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke udelukkes, at det gennemsnitlige indhold i en ølflaske er på over 5 ml.

3 c) Her skal vi teste tosidet med nulhpotesen kontra alternativet. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ = 4 H 1 : σ 4 ( n 1) σ s n = s 181,63 8,65 P-værdi,4915 Forkast H, hvis T > χ n-1, α/ = 3,8533 eller hvis T < χ n-1, (1-α/) = 8,96517 p-værdien er på 4,1%, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at spredningen ikke er lig med. d) Vi undersøger først, om den ne stikprøve er normalfordelt. Normalfraktildiagrammet bliver: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 3

4 Vi tester nu for varianshomogenitet: Løsninger til kapitel 9 α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s 1,43161 n = n = s 181,63 s = 19,395 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,46795 Det ses, at p-værdien er på 46,7%, og da dette er langt højere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan ikke afvises, at de to spredninger er ens. 4

5 e) Idet den anden stikprøve har et større gennemsnit end den første, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. Hpostat giver α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ < Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 t fordelingen bruges.σ =σ antages. X og Y er normalfordelte og uafhængige D n + n Se n n n = = 499,7 s 181,63 n = 1,853 = 53,75 s = 19,395 P-værdi,15511 s e = 155,513 Forkast H, hvis T < - t n+n-, α = 1,68595 Det ses, at testens p-værdi bliver 15,5%, og da dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises. Det kan således ikke konkluderes, at det gennemsnitlige indhold i en Redberr Beer er større end i en Blueberr Brew. 5

6 Opgave 9.4 a) I stikprøven er der ud af i alt personer, som gerne vil købe den ne øltpe. Dette giver et estimat for denne andel på. Da dette estimat er større end 5%, så testes der højresidet med alternativhpotesen imod nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P,5 H 1 : P >,5 p pˆ p (1 p )/ n n = P^ =,3 1,63993 P-værdi,5135 Forkast H, hvis T > Z α = 1, Idet p-værdien er på 5,1%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at andelen er på under 5: 6

7 b) Blandt de -4-årige er der ud af, svarende til en andel på, der vil købe den ne øl, mens der blandt de ældre over 4 år er ud af, svarende til en andel på. Da den estimerede andel i den første stikprøve er større end i den anden, så tester vi højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P > n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 56 n = 75 P^ =,4464 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =,189 n + n 3,18561,99148 P-værdi,735 Forkast H, hvis T > Z α = 1, Idet p-værdien er på,73%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at andelen af personer over 4 år, som gerne vil købe den ne øl, er signifikant mindre end den tilsvarende andel blandt de -4 årige. 7

8 Opgave 9.5 a) Der tegnes et normalfraktildiagram for observationerne i den første stikprøve: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 8

9 b) Idet stikprøvens gennemsnit er større end km, så testes der højresidet med nulhpotesen og alternativhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ, H 1 : µ >, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / =,477 s 1,371 n =, 1,8 P-værdi,4 Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 og da p-værdien er på 4,%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det kan konstateres, at den gennemsnitlige skolevejlængde er signifikant større end km. 9

10 c) Vi tester nulhpotesen imod alternativet : X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ = 1 H 1 : σ 1 ( n 1) σ s n = s 1,3755 6,445 P-værdi,58131 Forkast H, hvis T > χ n-1, α/ = 3,8533 eller hvis T < χ n-1, (1-α/) = 8,96517 Idet p-værdien er på 5,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at spredningen på skolevejlængden er forskellig fra 1 km. d) Først og fremmest undersøges, om observationerne i den anden stikprøve kan stamme fra en normalfordeling. Dette gøres ved at tegne normalfraktildiagrammet: 1 Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og.

11 Vi tester for varianshomogenitet i HpoStat: α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s 1,55196 n = n = s 1,3755 s = 1,9191 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,658 Idet p-værdien er på 6,5%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det konkluderes, at de to spredninger godt kan være ens 11

12 e) Vi tester tosidet: α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ < Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 t fordelingen bruges.σ =σ antages. X og Y er normalfordelte og uafhængige D n + n Se n n n = =,4765 s 1,3755 n = 1,714 =,85 s = 1,9191 P-værdi, s e = 1,316 Forkast H, hvis T < - t n+n-, α = 1,68595 (1-α) Nedre Øvre,95 1,8584, ( ) ± t n n, α / S + e n n + n n Idet p-værdien er på 14,6%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det konkluderes, at der ingen signifikant forskel er på de gennemsnitlige vejlængde for de to skoler. 1

13 Opgave 9.6 a) Idet der er hppige læsere blandt de personer, svarende til en andel på 3,5%, og dette er mere end 3%, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P,3 H 1 : P >,3 p pˆ p (1 p )/ n n = P^ =,35,15433 P-værdi, Forkast H, hvis T > Z α = 1, Idet p-værdien er på 43,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan derfor ikke konkluderes, at andelen af hppige læsere er på mindst 3%. 13

14 b) Idet der blandt de 1 kvinder er 38 hppige læsere, svarende til en andel på 37,5%, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P,4 H 1 : P <,4 n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 p pˆ p (1 p )/ n n = 1 P^ =,375,56693 P-værdi,8538 Forkast H, hvis T < - Z α = 1,64485 Idet p-værdien er på 8,5%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan derfor ikke afvises, at andelen af kvindelige læsere er på mindst 4%. 14

15 c) Vi har nu 41 ud af 1 kvinder, som aldrig læser K!, svarende til 4,%, og 55 ud af 98 mænd, som aldrig læser K!, svarende til 56,1%. Idet andelen blandt mændene er større end hos kvinderne, så testes alternativhpotesen imod nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P < n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 1 n = 98 P^ =,4 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =,561 n + n,4997,47991 P-værdi,16 Forkast H, hvis T < - Z α = 1,64485 Idet p-værdien er på 1,%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det kan konkluderes, at andelen af kvinder, der aldrig læser K!; er signifikant mindre end den tilsvarende andel hos mændene. 15

16 Opgave 9.7 a) Der konstrueres et normalfraktildiagram for observationerne: Idet datapunkterne ligger jævnt fordelt omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes gennemsnittet og variansen af stikprøven til at være henholdsvis og. b) Idet stikprøvens gennemsnit er mindre end, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ, H 1 : µ <, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 195,88 s 64,777 n = 5,,56 P-værdi,9 Forkast H, hvis T < - t n-1, α = 1,711 p-værdien er på,9%, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at den gennemsnitlige udsalgspris er signifikant mindre end kr. 16

17 c) Idet variansen for stikprøven er på, og dette er mindre end, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ 1 H 1 : σ < 1 ( n 1) σ s n = 5 s 64, ,5464 P-værdi,9651 Forkast H, hvis T < χ n-1, (1-α) = 13,84843 Idet p-værdien er 9,6%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at variansen er signifikant mindre end 1. d) Først og fremmest skal det undersøges, om data fra det ne observationssæt kan stamme fra en normalfordeling. Normalfraktildiagrammet tegnes derfor: Igen ses det, at vi ikke kan afvise, at data kommer fra en normalfordeling. Stikprøvens gennemsnit og spredning er og. 17 Vi tester nu for varianshomogenitet:

18 α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige 3,59188 s s n = 5 n = 5 s 3,6667 s = 64,77667 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,6977 P-værdi,666 Idet p-værdien er på,7%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og der er således ikke tale om varianshomogenitet. e) Idet stikprøvegennemsnittet for den første stikprøve er større end for den anden, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ µ - µ H1: > Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = 5 = 195,88 s 64,77667 n = 5,86359 = 186, s = 3,6667 P-værdi,417 df = 36 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,

19 Idet p-værdien er,4%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at gennemsnitsprisen for selve spillet er signifikant større end for add-on pakken. f) Ved simpel optælling ses det, at der 7 ud af de 5 butikker, som tager mere end kr for selve spillet. Dette svarer til en estimeret andel på: For add-on pakken ses der tilsvarende, at der er 5 ud af 5, eller %, som tager mere end kr for denne. g) Idet estimatet for andelen, der tager mere end kr for selve spillet, er på 8%, og dette er mere end %, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P, H 1 : P >, p pˆ p (1 p )/ n n = 5 P^ =,8 1 P-værdi, Forkast H, hvis T > Z α = 1, Idet p-værdien er på 15,87%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises. Vi kan således ikke udelukke, at mindre end % af alle forhandlere tager mere end kr for spillet. 19

20 h) Idet andelen af forhandlere, der tager mere end for selve spillet, er større end den tilsvarende andel for add-on pakken, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P > n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 5 n = 5 P^ =,8 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =, n + n,6666,4 P-værdi,539 Forkast H, hvis T > Z α = 1, Idet p-værdien er på 5,4%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at andelen af forhandlere, der tager mere end kr for selve spillet, er signifikant større end den tilsvarende andel for add-on pakken. Opgave 9.8 Først og fremmest undersøges, om observationerne stammer fra en normalfordeling Idet punkterne i normalfraktildiagrammet ligger jævnt fordelt omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Stikprøvens gennemsnit og spredning beregnes til henholdsvis 88,9 og 5,5.

21 Idet stikprøvens gennemsnit er større end 85, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ 85, H 1 : µ > 85, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges = μ s n / 3,471 88,9 s 5,53 n =, P-værdi,1 Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 Idet p-værdien på,1% er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at middelværdien er signifikant større end 85. Da stikprøvens spredning er på 5,5, og dette er mindre end 1, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ 1 H 1 : σ < 1 ( n 1) s σ n = s 5,563 4,798 P-værdi,4 Forkast H, hvis T < χ n-1, (1-α) = 1,1171 Idet p-værdien er på,4%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at spredningen er mindre end 1. Alt i alt ses, at begge krav er opfldte, og Mums bør derfor markedsføre saucen. 1

22 Opgave 9.9 a) Vi konstruerer normalfraktildiagrammer for de to stikprøver: før vejarbejdet under vejarbejdet Det ses, at for begge stikprøver ligger datapunkterne jævnt fordelte omkring den rette linje, og det kan derfor ikke afvises, at begge observationssæt stammer fra normalfordelinger. b) HpoStat giver umiddelbart: α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s, n = n = s 365,5 s = 17,816 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,69 Idet p-værdien er på,6%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at de to spredninger er signifikant forskellige.

23 c) Idet stikprøvegennemsnittene for de to stikprøver er henholdsvis 199,85 og 171,75, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ > Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = = 199,85 s 17,816 n = 5, = 171,75 s = 365,5 P-værdi 1,79E 6 df = 3 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,69761 p-værdien er meget mindre end signifikansniveauet på 5%, så nulhpotesen kan afvises, og det kan konkluderes, at vejarbejdet har mindste det gennemsnitlige daglige antal signifikant. 3

24 d) Idet stikprøvegennemsnittene for de to stikprøver er henholdsvis 199,85 og 171,75, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ 5 H1: µ - µ > 5 Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = = 199,85 s 17,816 n =,6481 = 171,75 s = 365,5 P-værdi,6841 df = 3 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,69761 Idet p-værdien er på 6,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at faldet i det gennemsnitlige daglige antal kunder er på over 5. Kioskejeren kan således ikke få erstatning. 4

25 Opgave 9.1 Der er her tale om parvise observationer, idet vi ser på de samme butikker før og efter kampagnen. Vi skal således beregne forskellene på salgstallene før vi tester: Salg før Salg efter Forskel Butik nr. kampagnen kampagnen Vi skal dernæst undersøge, om disse differencer er normalfordelte: Idet datapunkterne er jævnt fordelte omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Gennemsnittet af stikprøven beregnes til at være 4,35, og da dette er positivt, så testes alternativhpotesen imod nulhpotesen. 5 HpoStat giver:

26 α =,5 H : µ, H 1 : µ >, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 4,35 s 78,345 n =,,198 P-værdi, Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 p-værdien er på %, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at differencerne i middelværdien er øget efter kampagnen. Altså, at kampagnen har forøget salget. 6

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Løsninger til kapitel 6

Løsninger til kapitel 6 Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Løsninger til kapitel 14

Løsninger til kapitel 14 Opgave 14.1 a) Linjetilpasningsplottet bliver: Løsninger til kapitel 14 Idet datapunkterne ligger tæt på og jævnt fordelt omkring den rette linje, så ser det ud til, at der med rimelighed er tale om en

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi

Læs mere

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

Test nr. 4 af centrale elementer 02402

Test nr. 4 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse

Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Cheat Sheet

Matematisk Modellering 1 Cheat Sheet By a team of brave computer scientists: Mads P. Buch, Tobias Brixen, Troels Thorsen, Peder Detlefsen, Mark Gottenborg, Peter Krogshede - 1 Contents 1 Basalt 3 1.1 Varianser...............................

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,

Læs mere

Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06)

Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Afdeling for Biostatistik Bo Martin Bibby 23. november 2006 Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Vi betragter 4699 personer fra Framingham-studiet. Der er oplysninger om follow-up

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007 regressionsmodel 1 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis M = I X X X X 1 ( ' ) ' er M idempoten dvs der

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Statistiske principper

Statistiske principper Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 26. maj 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test

Læs mere

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 ! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer

Læs mere

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve

Læs mere

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl? Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5

Læs mere

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjylland Student år 005 fra Dronninglund Gymnasium Efter gymnasiet: Militæret Australien Startede på

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen.

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen. Løsninge til kapitel Opgave. a) I Excel-udskiften ses bl.a. p-vædien fo testen med nulhypotesen. Det ses, at denne p-vædi e på, og da dette e minde end signifikansniveauet på %, så konkludes det, at gennemsnittene

Læs mere

Opgavens formålet er at undersøge variationen mellem to laboratoriers bestemmelse af po 2 i blod.

Opgavens formålet er at undersøge variationen mellem to laboratoriers bestemmelse af po 2 i blod. 1-stikprøve t-test (Eksamen 2005 opgave 1) Opgavens formålet er at undersøge variationen mellem to laboratoriers bestemmelse af po 2 i blod. I nedenstående tabel betragtes blodprøver fra 9 patienter. Hver

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere