1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
|
|
- Harald Bjerre
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder Institut for Matematiske Fag rw@math.aau.dk Litteratur Kasper Klitgaard Berthelsen, Poul Winding & Jens Møller Pedersen, Noter i Fejlteori. Kursusform Seks kursusgange, hver med vekslen mellem forelæsninger og opgaver. Eksamen Mundtlig og fælles med Det matematiske grundlag for kortprojektioner. Tager udgangspunkt i seks opgaver - tre fra hvert af de to kurser. 1/41 2/41 Formål Formål γ introduktion til basal sandsynlighedsberegning introduktion til basal statistik/fejlteori hvordan kvantificeres usikkerhed på en måling eller et gennemsnit af målinger? hvorledes kvantificeres usikkerhed på en størrelse beregnet ud fra målinger som er behæftet med fejl? α s b s c s a β NB: jeg afviger af og til lidt fra noternes fremstilling, når det er hensigtsmæssigt. 1 Arealet af ovenstående trekant kan bestemmes vha: areal = 1 2 s b s c sin α. Hvordan kvantificerer vi usikkerheden på målinger/skøn af α, s b og s c? Hvordan kvantificerer vi den resulterende usikkerhed på det beregnede areal? 3/41 4/41
2 Formål s b γ sa α β Antag vi har følgende 25 målinger af α: , , ,..., , , Histogram over målingerne: s c Kender vi usikkerheden på skønnene/estimaterne af α, s b og s c giver Fejlforplantningsloven (clou et i dette kursus) et skøn over usikkerheden på det beregnede areal Hvad er et godt skøn/estimat for α? Gennemsnittet? Hvad kan vi sige om usikkerheden på vores estimat? 5/41 6/41 Sandsynlighed Eksempel: Kast med en fair mønt Udgangspunkt: Vi udfører et eksperiment/måling og observerer om en given hændelse H indtræffer. Antag vi gentager eksperimentet n gange under identiske forhold og lader m angive antal gange, hvor H indtraf. Hvis n går mod uendelig vil andelen m/n gå mod en fast størrelse - sandsynligheden for at H indtræffer. Sandsynligheden noteres P (H) ( P for probability ) 2 Eksperiment: Kast en fair mønt Mulige udfald: Plat og Krone H: kast giver krone. Mønten er fair, dvs. i det lange løb forventer vi lige store andele plat og krone. Med andre ord gælder P (H) = 0,5. 7/41 8/41
3 Eksempel - fortsat Eksempel - måling af længde Vi har to gange kastet en fair mønt 25 gange. Resultat: to følger af plat (P) og krone (K) 1. følge: P K K K K K P P K K K K P K P K P P P P P P P P P ( ) 2. følge: K K K K P P P P K P K P P K K K K P K P K K P P K ( ) Antag vi måler en længde. Eksempel på hændelse: den målte længde er mellem 173,21 og 173,24 meter. Andel krone Mål længden igen og igen (under samme forhold og uafhængigt af hinanden). Sandsynligheden P (den målte længde er mellem 173,21 og 173,24) er således andelen af målinger, der (i det lange løb) falder mellem 173,21 og 173,24. Antal kast Bemærk hvordan den observerede andel nærmer sig 0,5 i begge følger. 9/41 10/41 Stokastisk variabel For en generel hændelse H gælder følgende regler Definition: Hændelser og sandsynligehder For en hændelse H gælder 1. 0 P (H) 1 2. P (ej H) = 1 P (H). Sandsynligheden P (H) er stadig andelen af eksperimenter, hvor hændelsen H indtræffer (i det lange løb). Hændelsen ej H kaldes den komplementære hændelse til H. Vi ved med sikkerhed at enten H eller ej H indtræffer. Dvs. P (H eller ej H) = P (H) + P ( ej H) = 1. 3 Stokastisk (tilfældig) variabel er den matematiske terminologi for en størrelse (f.eks. en fremtidig måling), der er behæftet med usikkerhed. En stokastisk variabel (SV) er blot en reel variabel, hvis forskellige udfald tillægges sandsynligheder. 11/41 12/41
4 Kontinuert og diskret stokastisk variabel Stokastiske variable noteres ofte med store bogstaver, mens konkrete udfald noteres med tilsvarende små bogstaver. F.eks. kan X angive en fremtidig (endnu ikke foretaget måling) mens angiver det konkrete resultat, når målingen er foretaget - f.eks. = 2. Vi kan da tale om sandsynligheden for hændelser X =, X, X > 4, dvs. P (X = ), P (X ), P (X > 4)... Vi har nu brug for en bekvem måde at specificere sandsynlighederne for X! Undtagelse: for en trekant følger vi traditionen og lader A,B,C og a,b,c betegne henholdsvis vinkler og sidelængder. Diskrete stokastiske variable er variable hvor P (X = ) > 0 for en mængde af diskrete udfald - f.eks. = 0,1,2,3,... (terningkast, tælledata,...). Sandsynligheder for diskrete stokastiske variable specificeres vha. sandsynlighedsfunktion p() = P (X = ) for de diskrete udfald. Kontinuerte stokastiske variable kan som udgangspunkt antage alle reelle værdier. Målinger af vinkler og længder betragtes mest relevant som kontinuerte variable. 13/41 14/41 Sandsynligheder for kontinuerte stokastiske variable For en kontinuert variabel tillægger vi kun positive sandsynligheder til intervaller, f.eks. P (1 < X 2). For et enkelt har vi altid P (X = ) = 0 for alle. Sandsynligheder for en kontinuert stokastisk variabel specificeres vha. tæthedsfunktion eller fordelingsfunktion. Hvorfor nok at give sandsynligheder til intervaller? Tæthedsfunktion Definition: Tæthedsfunktion En tæthedsfunktion f() er en reel funktion, der opfylder 1. f() 0 for alle R. 2. f()d = 1. Eksempel på en tæthedsfunktion: f() Målinger er i praksis altid afrundede størrelser. 4 Måling 201,43 med to decimaler repræsenterer i realiteten et interval [201,425,201,435[ - vi kender ikke den nøjagtige værdi. Dvs. i realiteten opererer vi altid med (små) intervaller omkring de målte størrelser Hvordan skal tæthedsfunktionen fortolkes? 15/41 16/41
5 Tæthedsfunktion: Fortolkning Fordelingsfunktionen Hvis X er en SV med tæthedsfunktion f(), så er sandynligheden for at X ligger mellem a og b (a b) givet ved P (a X b) = b Sandsynligheden for at X ligger mellem a og b er således arealet under f() fra a til b. P (1 X 2) = 2 f()d = Areal( ) 1 a f()d P (4 X 5) = 5 4 f()d = Areal( ) Dvs. P (1 X 2) > P (4 X 5) Definition: Fordelingsfunktion Lad X være en stokastisk variabel med tæthedfunktion f(). Da er fordelingsfunktionen F () givet ved F () = P (X ) = f(t)dt. Eksempel på tæthedsfunktion og tilhørende fordelingsfunktion: f() F () 1 F () 17/41 18/41 Fordelingsfunktionen: Egenskaber Fordelingsfunktionen: Egenskaber f() F () 1 F () For en SV med fordelingsfunktion F () har vi P (a X b) = F (b) F (a). f() f() f() Fordelingsfunktionen F () har følgende egenskaber: F () er en ikke-aftagende funktion lim F () = 0 lim F () = 1 F () = f() Bemærk: entydig sammenhæng mellem f og F! 5 = - a b a b a b Sandsynligheden for at X tager værdien a er nul: P (X = a) = P (a X a) = F (a) F (a) = 0 Mindre end og Mindre end eller lig er derfor det samme: P (a < X < b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a X b) 19/41 20/41
6 Middelværdi - frekventiel definition Fortolkning: Lad X 1,X 2,... repræsentere gentagne målinger af samme størrelse under ens betingelser. Så svarer den fælles middelværdi µ = EX 1 = EX 2 =... til grænseværdien af det empiriske gennemsnit: 1 n ( n ) µ hvor 1, 2,... er udfald af X 1,X 2,.... når n Middelværdi - definition ud fra tæthed Definition: Middelværdi Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f. Middelværdien af X defineres som µ = E(X) = f()d < - også kaldet forventet værdi (UK: Epectation). Bemærk: f()d P ( X + d). Integralet kan opfattes som et vægtet gennemsnit af X s udfald med vægte f() givet ved X s tæthedsfunktion. 21/41 k f()d i f( i ) k i P (X ] i, i + ]) i=1 i=1 22/41 Middelværdi og transformation af SV Middelværdi af lineær transformation Sætning: Middelværdi af generel transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f(). Lad Y = h(x). Da er Y er SV med middelværdi E[Y ] = E[h(X)] = h()f()d Typisk er integralet svært at udregne pånær når h() er en lineær funktion af. 6 Sætning: Middelværdi af lineær transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f() og middelværdi µ. Lad Y = ax + b. Da er Y en SV med middelværdi Bevis: E[Y ] = E[aX + b] = ae[x] + b = aµ + b E[aX + b] = = a (a + b)f()d f()d + b f()d = ae[x] + b = aµ + b. 23/41 24/41
7 Eksempel: Telefonabonnement Den månedlige samtaletid for en tilfældig abonnent hos TeleFlunk er i middel 83,2 minutter. Prisen pr. måned er 99kr/md + 0,10 kr/min. Hvad er den månedlige udgift i middel? Lad Lad X være den (tilfældige) månedlige samtaletid målt i minutter. Lad Y være den månedlige udgift, dvs. Y = ,1X. Middel-udgiften er Middel-udgiften er altså 107,32 kr. E(Y ) = E(99 + 0,1X) = ,1E(X) = ,1 83,2 = 107,32. 25/41 Varians og spredning Definition: Varians Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f. Variansen af X defineres som 2 = Var(X) = E [ (X µ) 2] = ( µ) 2 f()d <, hvor kaldes spredningen (eller standardafvigelsen) - mål for forventet variabilitet i X. Variansen er den forventede værdi af kvadratet på afvigelsen fra middelværdi - dvs. hvis X ofte langt fra µ så er 2 stor! Spredning/standardafvigelse: = Var(X) Nyttig omskrivning af defintion for varians: 2 = E(X 2 ) µ 2 26/41 Varians af en lineær transformation Eksempel: Telefonabonnement Sætning: Varians af lineær transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f(), middelværdi µ og varians 2. Lad Y = ax + b. Da er Y en SV med varians Bevis: Bemærk at b ikke indgår. Var[Y ] = Var[aX + b] = a 2 Var[X] = a 2 2. Var[Y ] = E[(Y E[Y ]) 2 ] = E[(aX + b (aµ + b)) 2 ] = E[(a(X µ) 2 )] = a 2 E[(X µ) 2 ] = a 2 Var[X] = a Standardafvigelsen for den månedlige samtaletid for en tilfældig abonnent hos TeleFlunk er 17,2 minutter. Hvad er variansen for den månedlige udgift? Variansen er altså 2,96 kr 2. Var(Y ) = Var(99 + 0,1X) = 0,1 2 Var(X) = 0,1 2 17,2 2 = 2,96. Standardafvigelsen for udgiften er 2,96 kr 2 = 1,72 kr. 27/41 28/41
8 Varians vs. standardafvigelse Fordel ved standardafvigelse: samme enhed for den stokastiske variabel og dens standardafvigelse (jf. foregående eksempel). Standardafvigelse bekvemt mål for usikkerhed - f.eks. kan ±2 fortolkes som et 95% interval for en stokastisk variabel (vender tilbage til dette senere). Normalfordelingen Definition: Normalfordelingen En stokastisk variabel X med tæthedsfunktion f() = 1 ( ) ( µ)2 ep, R, 2π 2 2 siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians 2, hvor µ og er reelle tal og > 0. Notation: X N (µ, 2 ). Klokkeformet symmetrisk tæthedsfunktion. µ 29/41 30/41 Normalfordelingen: Tre eksempler Fordelingsfunktion for normalfordelingen µ = 5 = 2 µ = 0 = 1 µ = 3 = 4 Der findes ikke et simpelt lukket udtryk for fordelingsfunktionen. Sandsynligheder udregnes vha. standardisering og tabelopslag eller vha. matlab (senere) /41 32/41
9 Transformationer Tilfældig fejl Sætning: Lineær transformation Antag X N (µ, 2 ), og a,b R og a 0. Lad Y være en lineær transformation af X: Y = ax + b. Da gælder Y N (aµ + b, a 2 2 ). Dvs. en lineær transformation af en normalfordelt SV er stadig normalfordelt. Middelværdi og varians for Y følger af de generelle regler: Y har middelværdi: E(Y ) = E(aX + b) = ae(x) + b = aµ + b og varians: Var(Y ) = Var(aX + b) = a 2 Var(X) = a 2 2. Definition: Tilfældig fejl Antag vi vil måle en længde. Den sande længde betegnes µ. Lad X være en SV, der repræsenterer målingen af længden µ. Vi har hvor ǫ er en tilfældig fejl. X = µ + ǫ, Dvs. målingen er den sande længde plus en tilfældig fejl. Vi antager ofte ǫ N (0, 2 ). Dvs. den tilfældige fejl er normalfordelt og i middel er fejlen nul. Det følger, at X N (µ, 2 ). 33/41 34/41 Standard-normalfordelingen Standardisering Definition: Standard-normalfordelingen Fordelingen N (0,1) kaldes standard-normalfordelingen. Typisk noteres standard-normalfordelte variable Z. Tæthedsfunktionen for N (0,1) er givet ved: f(z) = 1 2π ep( 1 2 z2 ) Den tilhørende fordelingsfunktion betegnes Φ(z): Dvs F (z) = Φ(z) når µ = 0 og = 1. Der findes ikke et lukket udtryk for fordelingsfunktionen Φ(z). 9 Vi kan standardisere en hvilken som helst normalfordelt SV X til at være standard-normalfordelt: Sætning: Standardisering Hvis X N (µ, 2 ), så gælder Z = X µ N (0, 1). Middelværdi og varians beregnes vha. foregående sætninger: ( ) ( X µ X E = E µ ) = E(X) µ = µ µ = 0 ( ) ( X µ X Var = Var µ ) = Var(X) 2 = 2 2 = 1 35/41 36/41
10 Eksempel Hvis X N (µ, 2 ) gælder ( X µ P (X ) = P µ ) ( = P Z µ ) = Φ Dvs. for X med vilkårlig middelværdi og varians kan vi finde sandsynligheder vha. tabel for standardnormalfordelingen. ( µ Nu om dage benyttes dog typisk i praksis et computer program - f.eks. matlab. ). Lad X N (3,4), så er Udregning af P (X 5) i Matlab: >> normcdf(5,3,sqrt(4)) ans = Z = X 3 4 N (0, 1). 37/41 38/41 Inverse fordelingsfunktion Den inverse fordelingsfunktion Φ 1 går den modsatte vej af Φ. Dvs. hvis Φ(1.4) = , så er Φ 1 ( ) = er fraktilen for standardnormalfordelingen. Opsummering: sandsynligheder og fraktiler for normalfordeling Antag X N (µ, 2 ). Inverse fordelingsfunktion Φ 1 (p) i matlab: >> norminv( ) ans = 1.4 Eksempel: Antag Z N (0,1). Find konstant z, så P (Z z) = 0,8. Løsning: P (Z z) = Φ(z) = 0,8 z = Φ 1 (0,8) = p = P (X ) = F () kan udregnes enten vha. omformning til standardnormalfordeling og tabel eller direkte vha. f.eks. matlab (eller Ecel eller...). For et givet 0 p 1 kaldes p = F 1 (p) for p-fraktilen. Dvs. p opfylder P (X p ) = p. >> norminv(0.8) ans = /41 Kan også udregnes vha. standardnormalfordeling (og baglæns opslag i tabel) eller matlab. 40/41
11 Eksempel X N( 2,3). Beregn P (X ) samt 0.3 : >> normcdf( ,-2,sqrt(3)) ans = 0.3 >> norminv(0.3,-2,sqrt(3)) ans = /41 11
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.2
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.2 April 2014 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mere