Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
|
|
- Anton Rune Bendtsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41
2 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Kursusholder Institut for Matematiske Fag rw@math.aau.dk Litteratur Kasper Klitgaard Berthelsen, Poul Winding & Jens Møller Pedersen, Noter i Fejlteori. Kursusform Seks kursusgange, hver med vekslen mellem forelæsninger og opgaver. Eksamen Mundtlig og fælles med Det matematiske grundlag for kortprojektioner. Tager udgangspunkt i seks opgaver - tre fra hvert af de to kurser. 2/41
3 Formål introduktion til basal sandsynlighedsberegning introduktion til basal statistik/fejlteori hvordan kvantificeres usikkerhed på en måling eller et gennemsnit af målinger? hvorledes kvantificeres usikkerhed på en størrelse beregnet ud fra målinger som er behæftet med fejl? NB: jeg afviger af og til lidt fra noternes fremstilling, når det er hensigtsmæssigt. 3/41
4 Formål γ s b s a α s c β Arealet af ovenstående trekant kan bestemmes vha: areal = 1 2 s b s c sinα. Hvordan kvantificerer vi usikkerheden på målinger/skøn af α, s b og s c? Hvordan kvantificerer vi den resulterende usikkerhed på det beregnede areal? 4/41
5 Formål s b γ α β Antag vi har følgende 25 målinger af α: , , ,..., , , Histogram over målingerne: s c s a Hvad er et godt skøn/estimat for α? Gennemsnittet? Hvad kan vi sige om usikkerheden på vores estimat? 5/41
6 Kender vi usikkerheden på skønnene/estimaterne af α, s b og s c giver Fejlforplantningsloven (clou et i dette kursus) et skøn over usikkerheden på det beregnede areal. 6/41
7 Sandsynlighed Udgangspunkt: Vi udfører et eksperiment/måling og observerer om en given hændelse H indtræffer. Antag vi gentager eksperimentet n gange under identiske forhold og lader m angive antal gange, hvor H indtraf. Hvis n går mod uendelig vil andelen m/n gå mod en fast størrelse - sandsynligheden for at H indtræffer. Sandsynligheden noteres P(H) ( P for probability ) 7/41
8 Eksempel: Kast med en fair mønt Eksperiment: Kast en fair mønt Mulige udfald: Plat og Krone H: kast giver krone. Mønten er fair, dvs. i det lange løb forventer vi lige store andele plat og krone. Med andre ord gælder P(H) = 0,5. 8/41
9 Eksempel - fortsat Vi har to gange kastet en fair mønt 25 gange. Resultat: to følger af plat (P) og krone (K) 1. følge: P K K K K K P P K K K K P K P K P P P P P P P P P ( ) 2. følge: K K K K P P P P K P K P P K K K K P K P K K P P K ( ) Andel krone Antal kast Bemærk hvordan den observerede andel nærmer sig 0,5 i begge følger. 9/41
10 Eksempel - måling af længde Antag vi måler en længde. Eksempel på hændelse: den målte længde er mellem 173,21 og 173,24 meter. Mål længden igen og igen (under samme forhold og uafhængigt af hinanden). Sandsynligheden P(den målte længde er mellem 173,21 og 173,24) er således andelen af målinger, der (i det lange løb) falder mellem 173,21 og 173,24. 10/41
11 For en generel hændelse H gælder følgende regler Definition: Hændelser og sandsynligehder For en hændelse H gælder 1. 0 P(H) 1 2. P(ej H) = 1 P(H). Sandsynligheden P(H) er stadig andelen af eksperimenter, hvor hændelsen H indtræffer (i det lange løb). Hændelsen ej H kaldes den komplementære hændelse til H. Vi ved med sikkerhed at enten H eller ej H indtræffer. Dvs. P(H eller ej H) = P(H)+P( ej H) = 1. 11/41
12 Stokastisk variabel Stokastisk (tilfældig) variabel er den matematiske terminologi for en størrelse (f.eks. en fremtidig måling), der er behæftet med usikkerhed. En stokastisk variabel (SV) er blot en reel variabel, hvis forskellige udfald tillægges sandsynligheder. 12/41
13 Stokastiske variable noteres ofte med store bogstaver, mens konkrete udfald noteres med tilsvarende små bogstaver. F.eks. kan X angive en fremtidig (endnu ikke foretaget måling) mens x angiver det konkrete resultat, når målingen er foretaget - f.eks. x = 2. Vi kan da tale om sandsynligheden for hændelser X = x, X x, X > 4, dvs. P(X = x), P(X x), P(X > 4)... Vi har nu brug for en bekvem måde at specificere sandsynlighederne for X! Undtagelse: for en trekant følger vi traditionen og lader A,B,C og a,b,c betegne henholdsvis vinkler og sidelængder. 13/41
14 Kontinuert og diskret stokastisk variabel Diskrete stokastiske variable er variable hvor P(X = x) > 0 for en mængde af diskrete udfald - f.eks. x = 0,1,2,3,... (terningkast, tælledata,...). Sandsynligheder for diskrete stokastiske variable specificeres vha. sandsynlighedsfunktion p(x) = P(X = x) for de diskrete udfald x. Kontinuerte stokastiske variable kan som udgangspunkt antage alle reelle værdier. Målinger af vinkler og længder betragtes mest relevant som kontinuerte variable. 14/41
15 Sandsynligheder for kontinuerte stokastiske variable For en kontinuert variabel tillægger vi kun positive sandsynligheder til intervaller, f.eks. P(1 < X 2). For et enkelt x har vi altid P(X = x) = 0 for alle x. Sandsynligheder for en kontinuert stokastisk variabel specificeres vha. tæthedsfunktion eller fordelingsfunktion. Hvorfor nok at give sandsynligheder til intervaller? Målinger er i praksis altid afrundede størrelser. Måling 201,43 med to decimaler repræsenterer i realiteten et interval [201,425,201,435[ - vi kender ikke den nøjagtige værdi. Dvs. i realiteten opererer vi altid med (små) intervaller omkring de målte størrelser. 15/41
16 Tæthedsfunktion Definition: Tæthedsfunktion En tæthedsfunktion f(x) er en reel funktion, der opfylder 1. f(x) 0 for alle x R. 2. f(x)dx = 1. Eksempel på en tæthedsfunktion: f(x) Hvordan skal tæthedsfunktionen fortolkes? x 16/41
17 Tæthedsfunktion: Fortolkning Hvis X er en SV med tæthedsfunktion f(x), så er sandynligheden for at X ligger mellem a og b (a b) givet ved P(a X b) = b a f(x)dx Sandsynligheden for at X ligger mellem a og b er således arealet under f(x) fra a til b. P(1 X 2) = 2 f(x)dx = Areal( ) 1 P(4 X 5) = 5 4 f(x)dx = Areal( ) Dvs. P(1 X 2) > P(4 X 5) x 17/41
18 Fordelingsfunktionen Definition: Fordelingsfunktion Lad X være en stokastisk variabel med tæthedfunktion f(x). Da er fordelingsfunktionen F(x) givet ved F(x) = P(X x) = x f(t)dt. Eksempel på tæthedsfunktion og tilhørende fordelingsfunktion: f(x) 1 F(x) F(x) x x 18/41
19 Fordelingsfunktionen: Egenskaber f(x) 1 F(x) F(x) x Fordelingsfunktionen F(x) har følgende egenskaber: F(x) er en ikke-aftagende funktion lim x F(x) = 0 lim x F(x) = 1 F (x) = f(x) Bemærk: entydig sammenhæng mellem f og F! x 19/41
20 Fordelingsfunktionen: Egenskaber For en SV med fordelingsfunktion F(x) har vi P(a X b) = F(b) F(a). f(x) f(x) f(x) a b = a b - a b Sandsynligheden for at X tager værdien a er nul: P(X = a) = P(a X a) = F(a) F(a) = 0 Mindre end og Mindre end eller lig er derfor det samme: P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a X b) 20/41
21 Middelværdi - frekventiel definition Fortolkning: Lad X 1,X 2,... repræsentere gentagne målinger af samme størrelse under ens betingelser. Så svarer den fælles middelværdi µ = EX 1 = EX 2 =... til grænseværdien af det empiriske gennemsnit: 1 n (x 1 +x 2 + +x n ) µ når n hvor x 1,x 2,... er udfald af X 1,X 2,... 21/41
22 Middelværdi - definition ud fra tæthed Definition: Middelværdi Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f. Middelværdien af X defineres som µ = E(X) = xf(x)dx < - også kaldet forventet værdi (UK: Expectation). Bemærk: f(x)dx P(x X x+dx). Integralet kan opfattes som et vægtet gennemsnit af X s udfald x med vægte f(x) givet ved X s tæthedsfunktion. k xf(x)dx x i f(x i ) k x i P(X ]x i,x i + ]) i=1 i=1 22/41
23 Middelværdi og transformation af SV Sætning: Middelværdi af generel transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f(x). Lad Y = h(x). Da er Y er SV med middelværdi E[Y] = E[h(X)] = h(x)f(x)dx Typisk er integralet svært at udregne pånær når h(x) er en lineær funktion af x. 23/41
24 Middelværdi af lineær transformation Sætning: Middelværdi af lineær transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f(x) og middelværdi µ. Lad Y = ax +b. Da er Y en SV med middelværdi E[Y] = E[aX +b] = ae[x]+b = aµ+b Bevis: E[aX +b] = = a (ax+b)f(x)dx xf(x)dx+b f(x)dx = ae[x]+b = aµ+b. 24/41
25 Eksempel: Telefonabonnement Den månedlige samtaletid for en tilfældig abonnent hos TeleFlunk er i middel 83,2 minutter. Prisen pr. måned er 99kr/md + 0,10 kr/min. Hvad er den månedlige udgift i middel? Lad Lad X være den (tilfældige) månedlige samtaletid målt i minutter. Lad Y være den månedlige udgift, dvs. Y = 99+0,1X. Middel-udgiften er Middel-udgiften er altså 107,32 kr. E(Y) = E(99+0,1X) = 99+0,1E(X) = 99+0,1 83,2 = 107,32. 25/41
26 Varians og spredning Definition: Varians Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f. Variansen af X defineres som σ 2 = Var(X) = E [ (X µ) 2] = (x µ) 2 f(x)dx <, hvor σ kaldes spredningen (eller standardafvigelsen) - mål for forventet variabilitet i X. Variansen er den forventede værdi af kvadratet på afvigelsen fra middelværdi - dvs. hvis X ofte langt fra µ så er σ 2 stor! Spredning/standardafvigelse: σ = Var(X) Nyttig omskrivning af defintion for varians: σ 2 = E(X 2 ) µ 2 26/41
27 Varians af en lineær transformation Sætning: Varians af lineær transformation Antag X er en SV med tæthedsfunktion f(x), middelværdi µ og varians σ 2. Lad Y = ax +b. Da er Y en SV med varians Bevis: Bemærk at b ikke indgår. Var[Y] = Var[aX +b] = a 2 Var[X] = a 2 σ 2. Var[Y] = E[(Y E[Y]) 2 ] = E[(aX +b (aµ+b)) 2 ] = E[(a(X µ) 2 )] = a 2 E[(X µ) 2 ] = a 2 Var[X] = a 2 σ 2 27/41
28 Eksempel: Telefonabonnement Standardafvigelsen for den månedlige samtaletid for en tilfældig abonnent hos TeleFlunk er 17,2 minutter. Hvad er variansen for den månedlige udgift? Var(Y) = Var(99+0,1X) = 0,1 2 Var(X) = 0,1 2 17,2 2 = 2,96. Variansen er altså 2,96 kr 2. Standardafvigelsen for udgiften er 2,96 kr 2 = 1,72 kr. 28/41
29 Varians vs. standardafvigelse Fordel ved standardafvigelse: samme enhed for den stokastiske variabel og dens standardafvigelse (jf. foregående eksempel). Standardafvigelse bekvemt mål for usikkerhed - f.eks. kan ±2σ fortolkes som et 95% interval for en stokastisk variabel (vender tilbage til dette senere). 29/41
30 Normalfordelingen Definition: Normalfordelingen En stokastisk variabel X med tæthedsfunktion f(x) = 1 ) exp ( (x µ)2, x R, 2πσ 2σ 2 siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Notation: X N(µ,σ 2 ). Klokkeformet symmetrisk tæthedsfunktion. σ µ 30/41
31 Normalfordelingen: Tre eksempler µ = 5 σ = 2 µ = 0 σ = 1 µ = 3 σ = /41
32 Fordelingsfunktion for normalfordelingen Der findes ikke et simpelt lukket udtryk for fordelingsfunktionen. Sandsynligheder udregnes vha. standardisering og tabelopslag eller vha. matlab (senere). 32/41
33 Transformationer Sætning: Lineær transformation Antag X N(µ,σ 2 ), og a,b R og a 0. Lad Y være en lineær transformation af X: Y = ax +b. Da gælder Y N(aµ+b,a 2 σ 2 ). Dvs. en lineær transformation af en normalfordelt SV er stadig normalfordelt. Middelværdi og varians for Y følger af de generelle regler: Y har middelværdi: E(Y) = E(aX +b) = ae(x)+b = aµ+b og varians: Var(Y) = Var(aX +b) = a 2 Var(X) = a 2 σ 2. 33/41
34 Tilfældig fejl Definition: Tilfældig fejl Antag vi vil måle en længde. Den sande længde betegnes µ. Lad X være en SV, der repræsenterer målingen af længden µ. Vi har hvor ǫ er en tilfældig fejl. X = µ+ǫ, Dvs. målingen er den sande længde plus en tilfældig fejl. Vi antager ofte ǫ N(0,σ 2 ). Dvs. den tilfældige fejl er normalfordelt og i middel er fejlen nul. Det følger, at X N(µ,σ 2 ). 34/41
35 Standard-normalfordelingen Definition: Standard-normalfordelingen Fordelingen N(0,1) kaldes standard-normalfordelingen. Typisk noteres standard-normalfordelte variable Z. Tæthedsfunktionen for N(0,1) er givet ved: f(z) = 1 2π exp( 1 2 z2 ) Den tilhørende fordelingsfunktion betegnes Φ(z): Dvs F(z) = Φ(z) når µ = 0 og σ = 1. Der findes ikke et lukket udtryk for fordelingsfunktionen Φ(z). 35/41
36 Standardisering Vi kan standardisere en hvilken som helst normalfordelt SV X til at være standard-normalfordelt: Sætning: Standardisering Hvis X N(µ,σ 2 ), så gælder Z = X µ σ N(0,1). Middelværdi og varians beregnes vha. foregående sætninger: ( ) ( X µ X E = E σ σ µ ) = E(X) µ σ σ σ = µ µ = 0 σ ( ) ( X µ X Var = Var σ σ µ ) = Var(X) σ σ 2 = σ2 σ 2 = 1 36/41
37 Hvis X N(µ,σ 2 ) gælder ( X µ P(X x) = P x µ ) ( = P Z x µ ) = Φ σ σ σ Dvs. for X med vilkårlig middelværdi og varians kan vi finde sandsynligheder vha. tabel for standardnormalfordelingen. ( x µ Nu om dage benyttes dog typisk i praksis et computer program - f.eks. matlab. σ ). 37/41
38 Eksempel Lad X N(3,4), så er Z = X 3 4 N(0,1). Udregning af P(X 5) i Matlab: >> normcdf(5,3,sqrt(4)) ans = /41
39 Inverse fordelingsfunktion Den inverse fordelingsfunktion Φ 1 går den modsatte vej af Φ. Dvs. hvis Φ(1.4) = , så er Φ 1 ( ) = er fraktilen for standardnormalfordelingen. Inverse fordelingsfunktion Φ 1 (p) i matlab: >> norminv( ) ans = 1.4 Eksempel: Antag Z N(0,1). Find konstant z, så P(Z z) = 0,8. Løsning: P(Z z) = Φ(z) = 0,8 z = Φ 1 (0,8) = >> norminv(0.8) ans = /41
40 Opsummering: sandsynligheder og fraktiler for normalfordeling Antag X N(µ,σ 2 ). p = P(X x) = F(x) kan udregnes enten vha. omformning til standardnormalfordeling og tabel eller direkte vha. f.eks. matlab (eller Excel eller...). For et givet 0 p 1 kaldes x p = F 1 (p) for p-fraktilen. Dvs. x p opfylder P(X x p ) = p. Kan også udregnes vha. standardnormalfordeling (og baglæns opslag i tabel) eller matlab. 40/41
41 Eksempel X N( 2,3). Beregn P(X ) samt x 0.3 : >> normcdf( ,-2,sqrt(3)) ans = 0.3 >> norminv(0.3,-2,sqrt(3)) ans = /41
1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.2
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.2 April 2014 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mere