- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK"

Transkript

1 - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt - hvorfor ikke? Tomas Højgaard Jensen Ph.D.-afhandling Marts 2007 nr

2 Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK Roskilde Tel: Fax: Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt hvorfor ikke? Af: Tomas Højgaard Jensen, marts 2007 IMFUFA-tekst nr. 458/ sider ISSN: Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings- og udviklingsprojekt indenfor matematikkens didaktik. Projektet har bestået i at gennemføre en systematisk undersøgelse struktureret omkring spørgsmålet: Hvorfor er matematisk modellering ikke matematikundervisningens omdrejningspunkt? Undersøgelsen er startet med en analyse af, hvad man potentielt kan opnå ved at lægge stor vægt på matematisk modellering i matematikundervisningen. Det har jeg fulgt op med at analysere nogle forhold som det er centralt at være opmærksom på ved tilrettelæggelsen af en sådan undervisning. Derefter har jeg brugt disse pejlemærker til at forsøge at lade en klasse i det almene gymnasium gennemføre et toårigt matematikundervisningsforløb med matematisk modellering som omdrejningspunkt. Dette forløb har jeg så analyseret med henblik på at identificere hvad der har været muligt og hvad der har udgjort centrale hindringer på alle niveauer. Hvis man ser projektet i lyset af den gennemførte forsøgsundervisning, kan man nemt få det indtryk, at afhandlingen er en analyse af specielt det almene gymnasiums matematikundervisning. Det er dog kun del IV der specifikt er underlagt denne afgrænsning. Hovedparten af de resterende dele af analysen er gennemført med tanke på de matematikholdige almendannende uddannelser generelt, og jeg forestiller mig derfor at den også kan have interesse for personer, der ikke specifikt er orienteret mod det almene gymnasium men det er selvfølgelig op til andre end mig at bedømme.

3 Forord Det projekt som der her berettes om, startede helt tilbage i foråret Dengang indledte jeg sammen med min makker Per Gregersen (tak for dejligt samarbejde, Per) specialestudierne i matematikkens didaktik ved IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Mine studier her fortsatte efter afslutningen af kandidatuddannelsen, da jeg i direkte forlængelse heraf i 1998 blev ansat som ph.d.-stipendiat samme sted og med samme faglige fokus. Denne ansættelse strakte sig helt frem til slutningen af 2003, hvilket bl.a. skyldtes at jeg i en længere periode undervejs blev frikøbt af Undervisningsministeriet til at være akademisk sekretær på det såkaldte KOMprojekt. I begyndelsen af 2004 skiftede jeg så de fysiske rammer ud, men blev indenfor feltet, da jeg blev ansat i min nuværende stilling som adjunkt i matematikkens didaktik ved Danmarks Pædagogiske Universitet, Institut for Curriculumforskning. Nu afsluttes projektet formelt med indleveringen af denne afhandling IMFUFA-tekst nr. 458 (ISSN: ) til forsvar for ph.d.-graden. Der er mange mennesker jeg gerne vil takke for inspirerende med- og modspil og dejligt samvær undervejs i forløbet. Det gælder bl.a. alle tidligere og nuværende kolleger på IMFUFA og på DPU (ingen nævnt, ingen glemt), som har været og er afgørende for at jeg trives med og glædes ved mit arbejde. Mere specifikt vil jeg også sige tak til eleverne i forsøgsklassen på Allerød Gymnasium, deres matematiklærer Karsten Wegener, min og Karstens samarbejdspartner Erik von Essen, fagkonsulent Bjørn Grøn, min vejleder Mogens Niss og min kæreste Karen Jørgensen: Til jer, allerødder, fordi I havde modet og nysgerrigheden til at indskrive jer som elever i forsøgsklassen, for mange inspirerende timer sammen på Allerød Gymnasium og fordi I har givet mig lov til at bruge mine erfaringer og data herfra i forsknings- og uddannelsessammenhænge. Til dig, Karsten, fordi du havde modet og nysgerrigheden til at springe ud i så omfattende et forsøg, fordi du gav mig så uhindret adgang til din undervisning og dine overvejelser herom og gav mig lov til åbent at berette om det i denne afhandling, og fordi du så engageret gik ind i det gode og tætte samarbejde vi havde hele vejen igennem. i

4 ii Forord Til dig, Erik, for det inspirerende og tætte samarbejde ved etableringen af og forarbejdet til forsøgsundervisningen og for mange gode input og generel støtte og opbakning mens det stod på. Til dig, Bjørn, fordi du på trods af stort tidspres som ny fagkonsulent med tydelig interesse kastede dig ind i samarbejdet omkring den summative evaluering af forsøgsundervisningen, og fordi du derved var med til at sørge for at forsøget også på dette punkt gav værdifuldt stof til eftertanke. Til dig, Mogens, fordi du hele vejen har formået både at være ven, vejleder og fagkollega og derigennem har forvaltet dilemmaet ved at støtte udviklingen af orienteret autonomi på en måde der har passet mig utroligt godt, og for din grundige og kompetente læsning og kommentering af teksten efterhånden som den blev til. Til dig, Karen, fordi du har bakket mig op og har tålt min manglende stress over at det kombinerede speciale- og ph.d.-projekt som var normeret til at vare tre et halvt år, endte med at vare 10, og fordi vi sideløbende hermed sammen har gennemført så mange andre og langt vigtigere projekter. Roskilde d. 30. marts 2007 Tomas Højgaard Jensen

5 Resumé Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings- og udviklingsprojekt indenfor matematikkens didaktik. Projektet har bestået i at gennemføre en systematisk undersøgelse struktureret omkring spørgsmålet: Hvorfor er matematisk modellering ikke matematikundervisningens omdrejningspunkt? Undersøgelsen er startet med en analyse af, hvad man potentielt kan opnå ved at lægge stor vægt på matematisk modellering i matematikundervisningen. Det har jeg fulgt op med at analysere nogle forhold som det er centralt at være opmærksom på ved tilrettelæggelsen af en sådan undervisning. Derefter har jeg brugt disse pejlemærker til at forsøge at lade en klasse i det almene gymnasium gennemføre et toårigt matematikundervisningsforløb med matematisk modellering som omdrejningspunkt. Dette forløb har jeg så analyseret med henblik på at identificere hvad der har været muligt og hvad der har udgjort centrale hindringer på alle niveauer. Denne strukturering af undersøgelsen motiveres og uddybes i del I, som afsluttes med en kombination af de forskningsspørgsmål jeg har formuleret, og en synopsis. Som en mere formel sammenfatning af undersøgelsens og afhandlingens struktur gengiver jeg denne del af teksten her: a) Hvilke potentialer kan jeg på baggrund af henholdsvis matematikfaglige og kognitions-psykologiske analyser argumentere for der er, ved at arbejde med analyse og konstruktion af matematiske modeller i matematikholdige almendannende uddannelser? b) Hvilken betydning kan jeg tillægge begreberne matematisk modellering, matematisk problemløsning, kompetence, matematisk modelleringskompetence, matematisk problembehandlingskompetence, teknologisk kompetence og demokratisk kompetence, så de i forhold til de fundne potentialer kan bruges konstruktivt i forbindelse med tænkning omkring samt tilrettelæggelse, gennemførelse og evaluering af matematikholdig undervisning på almendannende uddannelser? I del II argumenterer jeg for, at de afsøgte potentialer eksisterer på to fronter: I et begrundelsesmæssigt perspektiv handler det om at kunne levere væsentlige bidrag til udvikling af elevernes teknologiske og demokratiske kompetence. I begge tilfælde er potentialet gradbøjet efter hvor aktivt eleverne tager del i de afgrænsende og kritisk vurderende sider af arbejdet med iii

6 iv Resumé matematiske modeller, hvilket motiverer en begrebsforståelse som betoner disse sider af en matematisk modelleringsproces. I et kognitions-psykologisk perspektiv ligger potentialet i at udvikle elevernes relationelle forståelse ved at skabe anvendelsesmæssig erfaringstilknytning til de matematiske begrebsstrukturer der er i spil. Muligheden for at indfri dette potentiale gradbøjes efter i hvilket omfang eleverne som en del af arbejdet med matematisk modellering engageres i anvendelsesorienteret matematisk problemløsning, hvilket motiverer en bestemt forståelse af hvad matematisk problemløsning vil sige. c) Hvilke tilrettelæggelsesmæssige karakteristika i forhold til måden matematisk modellering potentielt kan integreres i undervisningen på kan jeg med afsæt i teoretiske analyser argumentere for som værende centrale, hvis målet er i så vid udstrækning som muligt at udvikle elevernes matematiske modelleringskompetence? I del III opstiller jeg fire tilrettelæggelsesmæssige ankerpositioner: 1) Matematisk modellering praktiseret som elevstyret problemorienteret projektarbejde skal indgå som tilbagevendende aktivitet i undervisningen. 2) De overordnede indholdsmæssige retningslinjer for undervisningens afvikling skal bestå i en krydsning af en karakteristik af en række faglige kompetencer og overordnede faglige stofområder. 3) Den didaktiske kontrakt i de ikke-projektorganiserede dele af undervisningen skal kort fortalt have udvikling af elevernes matematiske problembehandlingskompetence som omdrejningspunkt, og en betydelig del af de problemer der arbejdes med, skal involvere matematisering. 4) Det skal sikres at der er overensstemmelse mellem hvad der tillægges vægt i henholdsvis undervisningen og den summative evaluering. I afhandlingen her har jeg afgrænset mig til kun at forsvare de tre førstnævnte positioner gennem en egentlig analyse. d) Hvad er karakteren af de hindringer som i et konkret tilfælde stiller sig i vejen for utopien om en fuldstændig realisering af den gode praksis i overensstemmelse med de centrale tilrettelæggelsesmæssige karakteristika? Med alle de foregående teoretiske studier som reference beskriver jeg i del IV forløbet af et konkret forsøgsprojekt, hvor en klasse på 25 elever og en lærer i det almene gymnasium gennemførte det toårige forløb til B-niveau i matematik efter en til lejligheden formuleret forsøgsbekendtgørelse (appendiks A). Undervejs i beskrivelsen udpeges en række succesfulde elementer i forhold til de opstillede idealer, og efterfølgende fremdrages fire hindrende forhold: Forvaltningen af tiden, begrænsninger i lærerens ressourcer, vanskeligheder med muliggørelsen af elevstyring og forhold vedrørende den afsluttende skriftlige eksamen. I del V runder jeg afhandlingen af med en række fremadrettede refleksioner og forslag rettet mod såvel matematikdidaktisk forskning som matematikundervisningens praksis.

7 Summary This dissertation entitled Developing mathematical modelling competency as the hub of mathematics education why not? is one of the results from a combined research and developmental project within the area of mathematics education. The project has consisted of making a systematic enquiry structured around the question: Why is mathematical modelling not the hub of mathematics education? The enquiry started with an analysis of what is potentially achievable by putting great emphasis on mathematical modelling in the teaching of mathematics. This was followed by an analysis of some aspects central to the planning of such a teaching. I then used these points of orientation to attempt having a class in the general gymnasium upper secondary school carry out a two year mathematics teaching programme with mathematical modelling as the hub. I have then analysed this programme with the aim of identifying what has been possible and what have been the important hindrances at all levels. This structure will be motivated and elaborated in part I, which ends with a combination of the formulated research questions and a synopsis. I here reproduce this part of the text as a more formal short presentation of the structure of the enquiry and of the dissertation: a) What potentials of working with analysis and construction of mathematical models in general education with a mathematical content can I argue for the existence of, based on analyses from the perspective of mathematics as a teaching subject and cognitive psychology? b) What meaning can I ascribe to the concepts mathematical modelling, mathematical problem solving, competence, mathematical modelling competency, mathematical problem tackling competency, technological competency and democratic competency to make them a constructive tool with respect to the identified potentials in relation to thinking about and plan, carry out and evaluate general education with a mathematical content? In part II I argue for the existence of two kind of potentials: From a justificational perspective it has to do with an ability to make significant contributions to the development of the pupils technological and democratic competence. In both cases the potential is graded according to how v

8 vi Summary active the pupils are taking part in the aspects of mathematical modelling having to do with delimitation and critical evaluation, which motivates a conceptual understanding emphasising these aspects of the mathematical modelling process. From a cognitive-psychological perspective the potential lies in developing the pupils relational understanding by creating connections between applicational experiences and the mathematical concept structures in play. The possibility of fulfilling this potential is graded according to how much the pupils are involved in application oriented mathematical problem solving as part of their work with mathematical modelling, which motivates a certain understanding of what mathematical problem solving means. c) What organizational characteristics of the way mathematical modelling can potentially be integrated into the teaching can I defend as being central based on theoretical analyses, if the goal is to develop the pupils mathematical modelling competence as much as possible? In part III I draw up four organizational anchor positions: 1) Mathematical modelling practised as participant directed problem oriented project work must be a recurrent activity in the teaching. 2) The general guidelines for the carrying out of the teaching as regards the content must consist of a crossing of a characterization of a number of subject specific competencies and overall subject areas. 3) The didactical contract in the non-project organized parts of the teaching must to put i short have development of the pupils mathematical problem tackling competence as the hub, and a considerable part of the problems to work with must involve mathematization. 4) A harmony between what is valued in the teaching and in the summative assessment must be ensured. Here in the dissertation I have delimited myself only to defend the first three positions by means of an analysis proper. d) What are the nature of the hindrances that in a specific case stand in the way of the Utopia of a complete realization of the good practice in accordance with the central organizational characteristics? Referring to alle the preceding theoretical studies part IV contains a description of the course of a specific experimental project, where a class of 25 pupils and a teacher in the general gymnasium carried through the two-year course to B-level in mathematics based on an experimental curriculum made for the occassion (appendix A). Parallel to the description a list of successfull elements with respect to the established ideals are pointed out, and subsequently four hindering matters are brought to light: Time management, limitations in the resources of the teacher, difficulties of making participant directed teaching possible and matters relating to the final written exam. In part V I close the dissertation by putting forward a number of prospective reflections and suggestions aimed at research as well as practice within mathematics education.

9 Indhold Forord Resumé Summary Indhold i iii v vii I Motivering 1 1 Udgangspunktet Frustrationen Nysgerrigheden Afgrænsning Mit perspektiv på problemfeltet Analysens struktur i grove træk Forskningsspørgsmål og synopsis II Systematisering 25 3 Introduktion til del II Et matematikfagligt perspektiv? Et kognitions-psykologisk perspektiv? Potentialer et matematikfagligt perspektiv er-matematikken: Påvirkninger udefra Den interne fagopfattelse bag 60 er-matematikken Afrunding Matematikundervisningen frem til Nutidige perspektiver på matematikundervisning En ny intern matematikforståelse? Afrunding vii

10 viii Indhold 5 Potentialer et kognitions-psykologisk perspektiv Begrebsdannelse: En hierarkisk model Begrebsrelationer: Schema-teorien Neurovidenskabens bidrag Forståelse, læring, hukommelse og genkaldelse Potentialet ved anvendelser af matematik Diskussion af en række centrale begrebers betydning Opgave Matematisk modellering Matematisk problemløsning Kompetence Matematisk modellerings- og problembehandlingskomp Teknologisk og demokratisk kompetence Systematiseringen nogle konklusioner 129 III Didaktificering Introduktion til del III Didaktificering? Fire ankerpositioner Projektarbejde og matematiske kompetencer Matematisk modellering og projektarbejde Elevstyret undervisning et dilemma En kompetenceorienteret læreplan Den didaktiske kontrakt i kursusarbejdet Hvorfor også kursusarbejde? Nogle fordringer til kursusarbejdet En problembaseret emneorienteret kontrakt IV Hindringer og muligheder i praksis Introduktion til del IV Den omvendte determinismefælde Et snævrere fokus Projektets dobbeltrettethed Afprøvning i praksis: Karakteristik af et forsøg Etableringen Forarbejdet

11 ix 12.3 Undervisningen Evalueringen Hindringer med eksemplarisk karakter Forvaltningen af tiden Muliggørelsen af elevstyring Lærerens kompetencer og ressourcer Den afsluttende skriftlige eksamen V Afrunding Konklusioner, evaluering og konkrete forslag Svar på de stillede forskningsspørgsmål Succesfulde elementer i projektet Konkrete forskningsrettede forslag Konkrete praksisrettede forslag Giver generalisering af resultaterne mening? VI Appendices 261 A Forsøgsbekendtgørelse 263 A.1 Identitet og formål A.2 Undervisningsmål A.3 Undervisningen A.4 Eksamen B Uddrag fra logbogen 269 C Oplæg til elevernes arbejde 273 C.1 Oplæg til undersøgelser C.2 Oplæg til korterevarende opgaveløsning D Vejledende eksamensopgaver i problemløsning 287 E Årsprøve-, terminsprøve- og eksamensopgaver 295 F Skriftlige opgavebesvarelser fra udvalgte elever 313 G Den officielle afsluttende forsøgsrapport 355 H Afsluttende spørgeskema-besvarelse 363 Referencer 419

12 x

13 Del I Motivering

14 2

15 1 Udgangspunktet 1.1 Frustrationen Hvorfor er matematisk modellering ikke omdrejningspunktet for matematikundervisning med et almendannende sigte? Det virker af flere grunde som en oplagt god ide, og alligevel har jeg en klar oplevelse af at det ikke er tilfældet: Matematisk modellering spiller i almindelighed ikke nogen væsentlig rolle i den danske matematikundervisning og kan derfor på ingen måde siges at være omdrejningspunktet, heller ikke på de almendannende uddannelser som jeg interesserer mig for og kender mest til. Hvorfor ikke? Afhandlingen her er et af resultaterne af et projekt som har haft denne blanding af frustration og undren som igangsættende drivkraft. Hovedformålet med dette projekt som jeg i resten af afhandlingen blot vil referere til som projektet har været at bidrage til at ændre matematikundervisningen på uddannelser med et almendannende sigte, så den i højere grad end nu bidrager til at udvikle elevernes matematiske modelleringskompetence, og spørgsmålet hvorfor ikke? skal ses i denne sammenhæng. Et andet formål med projektet har været at etablere et systematisk samarbejde mellem matematikdidaktisk forskning og matematikundervisningens praksis, som tager den kompleksitet ethvert undervisningsforløb rummer, alvorligt. For at tilgodese begge disse formål har tilrettelæggelsen af projektet haft et længerevarende fuldt undervisningsforløb som omdrejningspunkt. Konkret har det drejet sig om et alternativt toårigt forløb til obligatorisk niveau på matematisk linje i det almene gymnasium i Danmark. Projektet har inkluderet tilrettelæggelse, gennemførelse og evaluering af forsøgsundervisningen, og afhandlingen her er bl.a. et forsøg på at dokumentere og analysere hele denne proces. I næste kapitel fremlægger og diskuterer jeg de afgrænsninger som har givet projektet den form det har, samt hvordan analysens struktur som en konsekvens heraf ser ud. Kapitlet afsluttes (på side 22f) med en synopsis over de resterende dele af afhandlingen, inklusive de forskningsspørgsmål som har udstukket kursen for analysen. I resten af dette kapitel uddyber jeg motivationen for at ville gennemføre projektet. Til en start vil jeg invitere dig som læser med på et lille tankeeksperiment. 3

16 4 Udgangspunktet Et scenario Forestil dig at du er en lærer der sidder og skal planlægge et undervisningsforløb i matematik, som du efterfølgende skal gennemføre sammen med en gruppe elever eller studerende. Som den pædagogisk interesserede og engagerede person du er, er du selvfølgelig optaget af at dine elever eller studerende lærer matematik så det kan bruges til noget. Siden du har fattet interesse for en afhandling som denne er du sikkert også enig i, at anvendelser af matematik som en konsekvens heraf skal være en del af undervisningen. Det er et dogme som med tiden har vundet bred tilslutning i matematiklærerkredse, specielt hvis vi holder universiteternes uddannelse af kandidater i matematik udenfor. 1 Som en person der selv er uddannet i matematik, er du sikkert også indstillet på, at arbejde med opgaver af forskellig slags bør udgøre en central del af undervisningen. Dels er det endnu et matematiklærer-dogme med endnu færre opponenter, dels har du sikkert talrige personlige erfaringer fra bl.a. matematikkens verden som bekræfter en formodning om, at opgaveløsning er med til at udvikle forståelsen af nye begreber og metoder. De to dogmer, som jeg har brugt som aksiomer i dette projekt, gør det naturligt at fokusere på opgaver orienteret mod anvendelsen af matematik. Hvis en så generel tilkendegivelse skal have konsekvenser for undervisningens praksis, er der mindst to spørgsmål som det er nødvendigt at forholde sig til: a) Hvilke anvendelsesorienterede opgaver, eller mere generelt hvilke slags anvendelsesorienterede opgaver, skal du give dine elever eller studerende 2 at arbejde med? b) Hvordan integreres arbejdet med forskellige slags opgaver mest hensigtsmæssigt i undervisningen? 1 Efter min mening bør anvendelser af matematik også være blandt de konstituerende elementer i uddannelsen af kandidater i matematik. Det har jeg personligt gode erfaringer med fra kandidatuddannelsen i matematik på Roskilde Universitetscenter (hvis struktur er beskrevet i Niss; 2001c), og jeg har på den naturvidenskabelige basisuddannelse samme sted deltaget i udviklingen af et kursus, hvis erklærede mål er at udvikle deltagernes evne til at anvende matematik ift. naturvidenskabelige problemstillinger (Blomhøj et al.; 2001). I afhandlingen her vil jeg imidlertid kun perifert beskæftige mig med matematikundervisning på universitetsniveau, dels fordi det ikke er væsentligt for størstedelen af analysen her at inddrage det tertiære uddannelsesniveau, dels fordi jeg har erfaret, at det at bringe universitetsmatematikundervisning på banen ofte fører diskussionen i en anden retning end den jeg her vil holde fast i. 2 I resten af afhandlingen vil jeg nøjes med at tale om elever som fællesbetegnelse for personer der modtager undervisning. Det skyldes udelukkende sproglige hensyn, og skal altså ikke tages som udtryk for en stillingtagen til forskellen på at være elev og studerende, tværtimod.

17 1.1 Frustrationen 5 Nogle konkrete opgaver Nogle konkrete, ikke helt tilfældigt udformede opgaver kan hjælpe med at gøre en stillingtagen til disse spørgsmål mere jordnær og forpligtende: 1a Modellér hvor langt fremme ad vejen der skal være fri bane for at man sikkert kan overhale. 1b Når man skal overhale på en landevej, er der flere forskellige ting som har indflydelse på, hvornår det er sikkert at gøre det, herunder længden L af den bil man overhaler, afstandene S 1 og S 2 til bilen før og efter man er trukket ud, ens egen hastighed V e, hastigheden V o af den bil man overhaler og hastigheden V m af eventuel modkørende trafik. Hvad er sammenhængen mellem disse størrelser og det stykke der skal være fri bane for at man sikkert kan overhale? 1c Overhaling på en landevej kræver frit udsyn et stykke frem ad vejen. Lad os kalde denne minimale udsynslængde U. Der er flere forskellige ting som har indflydelse på størrelsen af U. I første omgang vil vi holde os til at se på længden L af den bil man overhaler, den mindst forsvarlige afstand til bilen før man trækker ud, S 1, og før man trækker ind igen, S 2, ens egen hastighed V e og hastigheden V o af den bil man overhaler. a) Tegn en skitse af overhalings-situationen. Hvor lang tid vil du være om at overhale en stillestående bil, hvis L = 3 m, S 1 = 50 m, S 2 = 10 m og V e = 80 km/t? U svarer til længden af det stykke du når at køre, fra du begynder at trække ud til du efter overhalingen er tilbage i din egen vejbane. Sammenhængen mellem U og de øvrige variable vi har i spil, er givet ved følgende formel: U = V e V e V o (L + S 1 + S 2 ) b) Hvad bliver U hvis L = 3 m, S 1 = 50 m, S 2 = 40 m, V e = 80 km/t og V o = 70 km/t? Modellen kan gøres mere realistisk ved også at inddrage eventuel modkørende trafik. Herved vokser U, som nu svarer til afstanden til den nærmeste modkørende bil når overhalingen igangsættes, af to

18 6 Udgangspunktet grunde: For det første nærmer den modkørende bil sig med en hastighed V m i løbet af den tid man er om at foretage overhalingen. For det andet skal man kunne nå at trække ind igen efter overhalingen med en mindste forsvarlig afstand S 3 til den modkørende bil. Med disse nye variable i spil kommer formlen til at se således ud: U = V e + V m V e V o (L + S 1 + S 2 ) + S 3 c) Vurdér betydningen af den modkørende bils hastighed, fx ved at fastholde værdierne givet i spørgsmål b), vælge en værdi for S 3 og beregne U for forskellige værdier af V m. d) Giv en vurdering af hvor stor betydning variationer i de øvrige variables værdi har for størrelsen af U. I forbindelse med en færdselskampagne mod for høj hastighed på landevejene er man interesseret i at kunne beregne, hvor hurtigt det er forsvarligt for en bilist at køre, hvis man forestiller sig at man kender værdien af de øvrige variable i spil. e) Omform den sidst givne version af formlen så V e står isoleret, og benyt denne omformning til at vurdere betydningen af variationer i de øvrige variables værdi for størrelsen af V e. Hvilket potentiale rummer arbejde med afsæt i hver af disse opgaver i forhold til at lære matematik så det kan bruges til noget udenfor matematikken selv? Hvilke af de givne muligheder ville du i praksis vælge, under hvilke omstændigheder og til hvilket formål? Uhensigtsmæssigt valg af opgavetyper Spørgsmålet om hvilket potentiale arbejde med forskellige typer opgaver rummer, lægger op til en nærmere analyse som jeg vil give mig i kast med i del II. Denne analyse udfolder og giver mening til det korte og unuancerede svar som jeg på forhånd var nået frem til baseret på egne erfaringer som lærer og elev og almindelig eftertænksomhed i den forbindelse: For de fleste elever på grundskolens afsluttende trin og videre frem i uddannelsessystemet rummer den første opgave (1a) et stort potentiale i forhold til at lære selv at køre med matematikken. Dette potentiale bliver mindre og mindre i takt med at problemstillingen fra opgave 1a udfoldes mere og mere i opgave 1b og 1c. Spørgsmålet om hvilken af de viste opgaver man i praksis ville vælge, kender jeg selvsagt ikke svaret på og kommer heller ikke til det. Alligevel

19 1.2 Nysgerrigheden 7 er det et spørgsmål der har været med til at give mig blod på tanden i forhold til at igangsætte projektet her, fordi jeg har en klar men på ingen måde systematisk underbygget fornemmelse af hvad svaret vil være: Hvis du er som matematiklærere er flest 3, vil du i praksis vælge at stille overhalingsopgaven i den sidste af de givne versioner, og det vil være mere og mere urealistisk at de respektive opgaver vil indgå som et element i undervisningen jo længere op i rækken af opgaver man kommer. Hvis jeg forsøger at generalisere diskussionen er det med andre ord mit indtryk, at der er en aftagende funktionel sammenhæng mellem det anvendelsesmæssige potentiale ved at arbejde med en given type opgaver, og den vægt sådanne opgaver har i matematikundervisningens praksis. En logisk konsekvens heraf er, at et stort antal elever ikke bliver så gode til at bruge deres matematiske viden til noget uden for matematikken selv, som de potentielt kunne være blevet med en mere hensigtsmæssig vægtning af forskellige typer opgaver. Og det synes jeg som en person med stor interesse for og engagement i hvad der kan og bør komme ud af de mange ressourcer (personlige og materielle) der bruges på matematikundervisning er ærgerligt og frustrerende! 1.2 Nysgerrigheden Tre umiddelbare spørgsmål Med udgangspunkt i denne ærgrelse og frustration er der forskellige spørgsmål som byder sig til som afsæt for nærmere præcisering og undersøgelse. Er der virkelig grund til at være frustreret? Det har jeg ikke fundet værd at arbejde systematisk med! Den personlige oplevelse af at noget ikke er som det burde være er det der reelt er med til at motivere arbejdet, og den oplevelse vil statistiske undersøgelser på makroniveau ikke ændre radikalt ved, uanset om de giver baggrund for at forstærke eller nedtone frustrationen. Det er altså ikke store internationale komparative undersøgelser som PISA, SIALS og TIMSS 4 der har leveret mentalt brændstof til denne afhandling, deres relevans i øvrigt 3 Det er du sikkert ikke, alene fordi de færreste matematiklærere orker eller gider læse fagdidaktisk forskningslitteratur som fx denne afhandling. Alternativt kan du have en kollega i tankerne, som prioriterer i overensstemmelse med fremstillingen her. Du skal sandsynligvis ikke lede længe i hukommelsen! 4 PISA: Programme for International Student Assessment. Se SIALS: Second International Adult Literacy Survey. Se TIMSS: Third International Mathematics and Science Study. Se timss.bc.edu/.

20 8 Udgangspunktet ufortalt, og jeg har ikke kastet mig ud i tilsvarende mere lokalt afgrænsede undersøgelser. En anden grund hertil udover at min oplevelse af situationen ikke er statistisk betinget er at den type resultater, som statistiske undersøgelser med højt aggregeringsniveau naturligt fremkommer med, stemmer dårligt overens med en af mine personlige ambitioner med matematikdidaktisk forskningsarbejde: At et sådant arbejde virker konstruktivt inspirerende og på længere sigt praksisudviklende både for de lærere hvis undervisning forskningen kan siges at vedrøre, og for de kolleger indenfor forskningsverdenen som arbejder med samme problemfelt. Jeg har med andre ord hellere villet nå frem til et (nok så beskedent og lokalt forankret) bidrag af typen jeg har gennem mine undersøgelser fundet et vist belæg for at ofre mere opmærksomhed og flere ressourcer på... og iværksætte tiltag af typen..., hvis vi vil fremme en udvikling i retning af..., end et (nok så omfattende) bidrag af typen elever i populationen... svarer generelt at... når man spørger dem om..., og de er generelt gode/dårlige til at løse opgaver karakteriseret ved.... Det er min oplevelse at selv meget udviklingsorienterede matematiklærere har svært ved at blive inspireret af den sidstnævnte type bidrag, fordi forbindelsen til den undervisningspraksis som naturligt er deres udgangspunkt, er meget indirekte. Hvad skal der til? Spørgsmålet hvad skal der til? har jeg gerne villet arbejde videre med, og har i en vis udstrækning også gjort det. Projektet har imidlertid ikke haft dette spørgsmål som omdrejningspunkt (på trods af at det vel er det spørgsmål der mest umiddelbart byder sig til, når man er frustreret over noget der ikke er som det burde være), hvilket der er to grunde til. Den første grund er at vi allerede kender svaret! Eller rettere sagt: Vi kender en lang række ingredienser der betragtet som nødvendige betingelser bør indgå i en matematikundervisning med et anvendelsessigte, så det er efter min mening ikke der skoen trykker rent forskningsmæssigt. Vi er i denne forbindelse den del af det matematikdidaktiske forskningssamfund som arbejder med anvendelsers rolle i matematikundervisningen, samt de lærere uden for forskningsmiljøet som følger og eventuelt deltager i diskussionerne heraf på konferencer, seminarer etc. Desuden inkluderer vi sidst men ikke mindst også de lærere som pr. erfaring ved hvad der skal til, hvad enten de hver især praktiserer i overensstemmelse hermed eller ej. Hvad består disse ingredienser så i? Tja, der er adskillige, indbyrdes overlappende plusord at gribe fat i: Tid til fordybelse, projektarbejde,

Kompetencer, færdigheder og evaluering

Kompetencer, færdigheder og evaluering Kompetencer, færdigheder og evaluering Tomas Højgaard (tomas@dpu.dk) Danmarks Pædagogiske Universitetsskole Foredrag på MONA-konferencen 2010 Fredericia, 27. oktober 2010 Evaluering Tre delprocesser (jf.

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Følgegruppen for Reformen af de Gymnasiale Uddannelser

Følgegruppen for Reformen af de Gymnasiale Uddannelser Følgegruppen for Reformen af de Gymnasiale Uddannelser 24. marts 2009 Rapport nr. 9 til Undervisningsministeren fra Følgegruppen for Reformen af de Gymnasiale Uddannelser I rapport nr. 8 kommenterede Følgegruppen

Læs mere

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com. 052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

KOMPETENCEMÅL OG EVALUERING I MATEMATIK

KOMPETENCEMÅL OG EVALUERING I MATEMATIK (TOMAS@DPU.DK) INSTITUT FOR UDDANNELSE OG PÆDAGOGIK (DPU) OPLÆG PÅ KENS DAG UC SJÆLLAND, ANKERHUS, SORØ UNI VERSITET DISPOSITION Opvarmning: Hvad er et godt evalueringsoplæg? Oplæg: Om kompetencemål og

Læs mere

Evaluering af Avu-didaktik og pædagogisk. Projektbeskrivelse fra EVA, maj 2015

Evaluering af Avu-didaktik og pædagogisk. Projektbeskrivelse fra EVA, maj 2015 Evaluering af Avu-didaktik og pædagogisk ledelse' Projektbeskrivelse fra EVA, maj 2015 Projektbeskrivelse Dette er Danmarks Evalueringsinstituts (EVA s) projektbeskrivelse for evaluering af et kompetenceudviklingsforløb

Læs mere

Geovidenskab. university of copenhagen DEPARTMENT OF SCIENCE EDUCATION. En undersøgelse af de første studenter

Geovidenskab. university of copenhagen DEPARTMENT OF SCIENCE EDUCATION. En undersøgelse af de første studenter university of copenhagen DEPARTMENT OF SCIENCE EDUCATION Geovidenskab En undersøgelse af de første studenter Rie Hjørnegaard Malm & Lene Møller Madsen IND s skriftserie nr. 41, 2015 Udgivet af Institut

Læs mere

LÆRINGSMÅL, PLANLÆGNING OG FAGTEAMSAMARBEJDE

LÆRINGSMÅL, PLANLÆGNING OG FAGTEAMSAMARBEJDE (HTTP://PURE.AU.DK/PORTAL/DA/TOMAS@EDU.AU.DK) INSTITUT FOR UDDANNELSE OG PÆDAGOGIK (DPU) OPLÆG PÅ KONFERENCEN MATEMATIK I MARTS I SORØ UNI VERSITET LÆRINGSMÅL GIVER DET MENING? To nødvendige fordringer:

Læs mere

To the reader: Information regarding this document

To the reader: Information regarding this document To the reader: Information regarding this document All text to be shown to respondents in this study is going to be in Danish. The Danish version of the text (the one, respondents are going to see) appears

Læs mere

Forskningsbasering: Hvad sker der når et universitet vil sætte ord og handling bag?

Forskningsbasering: Hvad sker der når et universitet vil sætte ord og handling bag? Forskningsbasering: Hvad sker der når et universitet vil sætte ord og handling bag? Mogens Hørder Syddansk Universitet Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Forskningspolitisk årsmøde 22 marts 2011 På

Læs mere

Den uddannede har viden om: Den uddannede kan:

Den uddannede har viden om: Den uddannede kan: Den uddannede har viden om: Den uddannede kan: Den uddannede kan: Den studerende har udviklingsbaseret viden om og forståelse for Den studerende kan Den studerende kan Den studerende har udviklingsbaseret

Læs mere

Erfaringer fra et demonstrationsskoleforsøg med perspektiver til læreruddannelse. Matematikkens dag, 3. marts 2017, Charlotte Krog Skott

Erfaringer fra et demonstrationsskoleforsøg med perspektiver til læreruddannelse. Matematikkens dag, 3. marts 2017, Charlotte Krog Skott Erfaringer fra et demonstrationsskoleforsøg med perspektiver til læreruddannelse Matematikkens dag, 3. marts 2017, Charlotte Krog Skott Disposition Motivering af forløbet Unge og medier Design af Unge

Læs mere

Almen studieforberedelse stx, juni 2013

Almen studieforberedelse stx, juni 2013 Bilag 9 Almen studieforberedelse stx, juni 2013 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Almen studieforberedelse er et samarbejde mellem fag inden for og på tværs af det almene gymnasiums tre faglige hovedområder:

Læs mere

AT på Aalborg Katedralskole 2011-12

AT på Aalborg Katedralskole 2011-12 AT på Aalborg Katedralskole 2011-12 Alle AT forløb har deltagelse af to til tre fag, som for nogle forløbs vedkommende kan være fra samme hovedområde (AT 3, 5 og 7). I så tilfælde skal det sikres, at eleverne

Læs mere

Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt -hvorfor ikke?

Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt -hvorfor ikke? Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt -hvorfor ikke? Højgaard Jensen, Tomas Publication date: 2007 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Citation

Læs mere

Evaluering af Master in Leadership and Innovation in Complex Systems

Evaluering af Master in Leadership and Innovation in Complex Systems Evaluering af Master in Leadership and Innovation in Complex Systems På masteruddannelsen i Leadership and Innovation in Complex Systems blev der i efteråret 2009 udbudt undervisning i følgende to moduler:

Læs mere

Tanker omkring kompetenceudvikling for undervisere på vores institut

Tanker omkring kompetenceudvikling for undervisere på vores institut Tanker omkring kompetenceudvikling for undervisere på vores institut Hvad er vi forpligtet til: Universitetet skal give forskningsbaseret undervisning, samt sikre et ligeværdigt samspil mellem forskning

Læs mere

Pædagogikum Kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum

Pædagogikum Kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum Pædagogikum Kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum Syddansk Universitet Institut for Kulturvidenskaber 2013 Vejledning af kandidater, modul 1: Vejledningens elementer og værktøjer

Læs mere

Pædagogikum Kurser for vejledere og kursusledere og årsvikarer

Pædagogikum Kurser for vejledere og kursusledere og årsvikarer Pædagogikum Kurser for vejledere og kursusledere og årsvikarer Syddansk Universitet Institut for filosofi, Pædagogik og Religionsstudier 2011 Vejledning af kandidater, modul 1: Vejledningens elementer

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov.

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. På dansk/in Danish: Aarhus d. 10. januar 2013/ the 10 th of January 2013 Kære alle Chefer i MUS-regi! Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. Og

Læs mere

The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør)

The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør) 27. OCTOBER The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør) Electrical Engineering and ICT Who are we? Henrik Karstoft (hka@iha.dk) Ingeniørdocent @ASE, Leading the group in Signal Processing and Control@ASE/EICT

Læs mere

Valgmodul 2013/2014: Ikt, didaktisk design og matematik. Undervisere: Lektor Morten Misfeldt. Kursusperiode: 7. september 2013 21.

Valgmodul 2013/2014: Ikt, didaktisk design og matematik. Undervisere: Lektor Morten Misfeldt. Kursusperiode: 7. september 2013 21. Valgmodul 2013/2014: Ikt, didaktisk design og matematik Undervisere: Lektor Morten Misfeldt Kursusperiode: 7. september 2013 21. januar 2014 ECTS-points: 5 = 5 x 27,5 = 137,5 timers studenterbelastning

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-

Læs mere

2 Udfoldning af kompetencebegrebet

2 Udfoldning af kompetencebegrebet Elevplan 2 Udfoldning af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet anvendes i dag i mange forskellige sammenhænge og med forskellig betydning. I denne publikation som i bekendtgørelse og vejledning til matematik

Læs mere

117 idéer til skriftligt arbejde i naturfagene

117 idéer til skriftligt arbejde i naturfagene 117 idéer til skriftligt arbejde i naturfagene Program Hvem er vi? Hvem er I? Sprog og naturvidenskab Lærerens redskabskasse Elevens redskabskasse 3 workshops (1 time, prøv det hele eller nørd) Feedback

Læs mere

Appendiks: Den videnskabelige basismodel som ramme for det faglige samspil i studieområdet på HHX

Appendiks: Den videnskabelige basismodel som ramme for det faglige samspil i studieområdet på HHX Appendiks: Den videnskabelige basismodel som ramme for det faglige samspil i studieområdet på HHX Esben Nedenskov Petersen og Caroline Schaffalitzky de Muckadell Der er gode grunde til at introducere Den

Læs mere

Faglig identitet. Thomas Binderup

Faglig identitet. Thomas Binderup Faglig identitet Thomas Binderup Historielæreren er betroet en vigtig opgave, nemlig at sikre en god start på den mere formelle kvalificering af elevernes historiebevidsthed, demokratiske dannelse og livslange

Læs mere

Vidensdeling. om - og med - IKT. Bo Grønlund

Vidensdeling. om - og med - IKT. Bo Grønlund Vidensdeling om - og med - IKT Denne workshop vil give indblik i, hvordan lærere på gymnasiet kan fremme og systematisere vidensdeling omkring brug af IKT i undervisningen, samt hvordan gymnasiers ledelser

Læs mere

UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012

UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012 UDDANNELSESBESKRIVELSE KREATIV LÆRING 2012 Indhold Målgruppe for uddannelsen... 2 Dit udbytte på uddannelsen... 2 Den Kreative Platform... 3 Uddannelse på diplom niveau... 3 Uddannelses omfang... 4 Seminarer...

Læs mere

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Randi Boelskifte Skovhus Lektor ved VIA University College Ph.d. studerende ved Uddannelse og Pædagogik, Aarhus Universitet Denne artikel argumenterer

Læs mere

Sta Stem! ga! - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? O M

Sta Stem! ga! - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? O M o Sta Stem! ga! o - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? / o T D A O M K E R I Indhold En bevægelsesøvelse hvor eleverne får mulighed for aktivt og på gulvet at udtrykke holdninger, fremsætte forslag

Læs mere

AT på Aalborg Katedralskole 2013-14

AT på Aalborg Katedralskole 2013-14 AT på Aalborg Katedralskole 2013-14 Alle AT forløb har deltagelse af to til tre fag, som for nogle forløbs vedkommende kan være fra samme hovedområde (AT 3, 5 og 7). I så tilfælde skal det sikres, at eleverne

Læs mere

Hvad er erfaringen, nu da den første årgang gennem to år har prøvet reformen på egen krop?

Hvad er erfaringen, nu da den første årgang gennem to år har prøvet reformen på egen krop? Niels Hartling 1 Er gymnasiereformen en succes? Eleverne i gymnasiet vælger som bekendt ikke længere mellem de to linjer, den sproglige og den matematiske. De går derimod på en såkaldt studieretning, som

Læs mere

SPECIALESKRIVNING PÅ DDK

SPECIALESKRIVNING PÅ DDK SPECIALESKRIVNING PÅ DDK Specialet hvad er det Hjælp til processen Lidt om formalia Lidt om projektbasen Speciale til tiden! Skrive på engelsk? Lidt om studenter vejleder relation Eksempler Spørgsmål og

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Skriftlige eksamener: I teori og praksis. Kristian J. Sund Lektor i strategi og organisation Erhvervsøkonomi. Agenda

Skriftlige eksamener: I teori og praksis. Kristian J. Sund Lektor i strategi og organisation Erhvervsøkonomi. Agenda Skriftlige eksamener: I teori og praksis Kristian J. Sund Lektor i strategi og organisation Erhvervsøkonomi Agenda 1. Hvad fortæller kursusbeskrivelsen os? Øvelse i at læse kursusbeskrivelse 2. Hvordan

Læs mere

Matematik og målfastsættelse

Matematik og målfastsættelse Matematik og målfastsættelse Målfastsættelse, feedforward og evaluering i matematik, oplæg og drøftelse 1 Problemløsning s e k s + s e k s t o l v 2 Punkter Målfastsættelse af undervisning i matematik

Læs mere

Villa Venire Biblioteket. Af Marie Martinussen, Forsker ved Aalborg Universitet for Læring og Filosofi. Vidensamarbejde

Villa Venire Biblioteket. Af Marie Martinussen, Forsker ved Aalborg Universitet for Læring og Filosofi. Vidensamarbejde Af Marie Martinussen, Forsker ved Aalborg Universitet for Læring og Filosofi Vidensamarbejde - Når universitet og konsulenthus laver ting sammen 1 Mødet Det var ved et tilfælde da jeg vinteren 2014 åbnede

Læs mere

STUDIEBESKRIVELSE DESIGN TO IMPROVE LIFE EDUCATION FORÅR 2013

STUDIEBESKRIVELSE DESIGN TO IMPROVE LIFE EDUCATION FORÅR 2013 STUDIEBESKRIVELSE 1 Bredgade 66, stuen DK 1260 København K designtoimprovelifeeducation.dk The project is co-financed by: The European Regional Development Fund (ERDF) through the EU project Interreg IV

Læs mere

(INFORMATION TECHNOLOGY)/ (OPTICS AND ELECTRONICS)

(INFORMATION TECHNOLOGY)/ (OPTICS AND ELECTRONICS) MASTER OF SCIENCE IN ENGINEERING (INFORMATION TECHNOLOGY)/ (OPTICS AND ELECTRONICS) INGENIØRDOCENT HEAD OF PROGRAMS UNI VERSITy WHO AM I? Henrik Karstoft (hka@eng.au.dk) Ingeniørdocent @ ASE/ENG, Signal

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktisk teori samt matematiklærerens praksis i folkeskolen

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Matematiklæreres planlægningspraksis og læringsmålstyret undervisning

Matematiklæreres planlægningspraksis og læringsmålstyret undervisning Matematiklæreres planlægningspraksis og læringsmålstyret undervisning Webinar, Danmarks Matematikvejleder Netværk D. 21. april 2016 Charlotte Krog Skott Lektor, UCC cksk@ucc.dk Disposition for oplæg Motivation

Læs mere

Pædagogikumrelaterede kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum. Syddansk Universitet Institut for Kulturvidenskaber

Pædagogikumrelaterede kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum. Syddansk Universitet Institut for Kulturvidenskaber Pædagogikumrelaterede kurser for vejledere, kursusledere og ansatte uden pædagogikum 1 Vejledning af kandidater, modul 1: vejledningens elementer og værktøjer Målgruppen er vejledere for kandidater i praktisk

Læs mere

Diplomuddannelser i et livslangt læringsperspektiv - Hvad handler det om?

Diplomuddannelser i et livslangt læringsperspektiv - Hvad handler det om? UNIVERSITY COLLEGE LILLEBÆLT Diplomuddannelser i et livslangt læringsperspektiv - Hvad handler det om? Velkomstarrangement mandag d. 5. september 2016 UNIVERSITY COLLEGE Diplomuddannelser hvad er det?

Læs mere

Udvikling af faglærerteam

Udvikling af faglærerteam 80 KOMMENTARER Udvikling af faglærerteam Ole Goldbech, Professionshøjskolen UCC Kommentar til artiklen MaTeam-projektet om matematiklærerfagteam, matematiklærerkompetencer og didaktisk modellering i MONA,

Læs mere

Guide til elevnøgler

Guide til elevnøgler 21SKILLS.DK Guide til elevnøgler Forslag til konkret arbejde Arbejd sammen! Den bedste måde at få de 21. århundredes kompetencer ind under huden er gennem erfaring og diskussion. Lærerens arbejde med de

Læs mere

Kom godt i gang. Guide til at arbejde med det 21. århundredes kompetencer

Kom godt i gang. Guide til at arbejde med det 21. århundredes kompetencer 21SKILLS.DK CFU, DK Kom godt i gang Guide til at arbejde med det 21. århundredes kompetencer Arbejde med det 21. århundredes kompetencer Arbejd sammen! Den bedste måde at få det 21. århundredes kompetencer

Læs mere

MATEMATIKUNDERVISNING OG NEGATIV SOCIAL ARV

MATEMATIKUNDERVISNING OG NEGATIV SOCIAL ARV 1 MATEMATIKUNDERVISNING OG NEGATIV SOCIAL ARV Arbejdsgruppen for matematik stx om problemer for elever med gymnasiefremmed baggrund: Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF, Niels Hjølund Pedersen,

Læs mere

KiU og professionsdidaktik

KiU og professionsdidaktik KiU og professionsdidaktik Forskningsprojektet KiU og professionsdidaktik har primært fokus på at undersøge, på hvilke måder læreres kompetenceløft i undervisningsfag (KiU) sætter sig spor i praksis i

Læs mere

Engelsk på langs DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT

Engelsk på langs DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse blandt studerende på videregående. Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005 DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Kapitel 5 At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Robin Millar Praktisk arbejde er en væsentlig del af undervisningen i naturfag. I naturfag forsøger vi at udvikle elevernes kendskab til naturen

Læs mere

Konferencen finder sted mandag den 16. september kl. 10-16 på Syddansk Universitet, Campusvej 55, Odense

Konferencen finder sted mandag den 16. september kl. 10-16 på Syddansk Universitet, Campusvej 55, Odense Invitation til konferencen VUC deler viden 2013 VUC Videnscenters første konference VUC deler viden 2013 viser resultater og deler viden om vigtige udviklingstendenser og projekter i og omkring VUC. Konferencen

Læs mere

Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil

Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil Udgangspunkt: Kreativ digital matematik I skoleåret 2012 0g 2013 har en større gruppe indskolingslærere i

Læs mere

Undervisning. Verdens bedste investering

Undervisning. Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Lærerne har nøglen The principles show how important are design and the orchestration of learning rather than simply providing

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør)

The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør) 27. OCTOBER The Thesis M.Sc. In Technical IT (Civilingeniør) Electrical and Computer Engineering Who am I? Henrik Karstoft (hka@iha.dk) Ingeniørdocent @ ASE, Leading the group in Signal Processing and

Læs mere

Indhold. Dansk forord... 7

Indhold. Dansk forord... 7 Indhold Dansk forord........................................... 7 Kapitel 1: Hvad er positiv motivation?...................... 13 Kapitel 2: Forståelse af motivationens hvorfor og hvad : introduktion til

Læs mere

Forsøgslæreplan for studieområdet htx, marts 2014. Studieområdet er et fagligt samarbejde med udgangspunkt i de teknologiske og naturvidenskabelige

Forsøgslæreplan for studieområdet htx, marts 2014. Studieområdet er et fagligt samarbejde med udgangspunkt i de teknologiske og naturvidenskabelige [Bilag 2] Forsøgslæreplan for studieområdet htx, marts 2014 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Studieområdet er et fagligt samarbejde med udgangspunkt i de teknologiske og naturvidenskabelige fagområder

Læs mere

Om børn og unges karrierelæring

Om børn og unges karrierelæring Om børn og unges karrierelæring Rita Buhl Lektor og studie- og karrierevejleder VIA University College Hvordan kan vejledning i grundskolen understøtte, at de unge får det bedst mulige afsæt for deres

Læs mere

Breddeopgaver til Fysisk problemløsning I og Fysisk problemløsning II nr

Breddeopgaver til Fysisk problemløsning I og Fysisk problemløsning II nr - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Breddeopgaver til Fysisk problemløsning I og Fysisk problemløsning II Jens Højgaard Jensen august 2013 (2. udgave) nr. 492-2013 Roskilde Universitet, Institut for Natur,

Læs mere

Indhold af Delta Fagdidaktik i serien Matematik for lærerstuderende

Indhold af Delta Fagdidaktik i serien Matematik for lærerstuderende Indhold af Delta Fagdidaktik i serien Matematik for lærerstuderende Forord Indledning Matematikkens didaktik et nyt fag Vores valg af matematikdidaktisk stof i denne bog Læringsdelen Undervisningsdelen

Læs mere

FRA SEMINARIUM TIL SKOLE

FRA SEMINARIUM TIL SKOLE FRA SEMINARIUM TIL SKOLE - en grounded, fænomenografisk analyse af nyansatte, nyuddannede folkeskolelæreres oplevelser af lærerarbejde. phd forsvar rene b christiansen 17 01 14 Disposition Nye lærere Forskningsspørgsmål

Læs mere

Skal elever tilpasses skolen eller omvendt?

Skal elever tilpasses skolen eller omvendt? Skal elever tilpasses skolen eller omvendt? Kan man tale om at der findes stærke og svage elever? Eller handler det i højere grad om hvordan de undervisningsrammer vi tilbyder eleven er til fordel for

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning?

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? eller knudramian.pbwiki.com www.regionmidtjylland.dkc Indhold Professionsforskning til problemløsning eller som slagvåben? Hvad er forskning? Hvad

Læs mere

Studieplan for HHA 2013-2016, studieretningsforløbet

Studieplan for HHA 2013-2016, studieretningsforløbet Studieplan for HHA 2013-2016, studieretningsforløbet Linie: Global økonomi Studieretning: Virksomhedsøkonomi, niveau A Matematik, niveau A Innovation C På linjen arbejdes der især med virksomhedens økonomiske

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Modulbeskrivelse Pædagogisk viden og forskning

Modulbeskrivelse Pædagogisk viden og forskning Modulbeskrivelse Pædagogisk viden og forskning Den pædagogiske diplomuddannelse PD16-17 Ob1 Gennemgående underviser: Jens Skou Olsen (modulansvarlig) Studievejledning: Anders Holst Internater 9.-10. november

Læs mere

BibDok. Guide til BibDok. En metode til at dokumentere effekt af bibliotekets indsatser

BibDok. Guide til BibDok. En metode til at dokumentere effekt af bibliotekets indsatser BibDok En til at dokumentere effekt af bibliotekets er Guide til BibDok BibDok understøtter en systematisk refleksiv praksis. Det er derfor væsentligt, at I følger guiden trin for trin. 1. Sammenhæng mellem

Læs mere

Hvordan kan man måle og dokumentere de initiativer, som afprøves i de enkelte projekter?

Hvordan kan man måle og dokumentere de initiativer, som afprøves i de enkelte projekter? Hvordan kan man måle og dokumentere de initiativer, som afprøves i de enkelte projekter? Lars Ulriksen, Christine Holm, Aase B. Ebbensgaard Hvordan vi skal måle, dokumentere og evaluere de forskellige

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, klassetrin

Kompetencemål for Matematik, klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og

Læs mere

Forventer du at afslutte uddannelsen/har du afsluttet/ denne sommer?

Forventer du at afslutte uddannelsen/har du afsluttet/ denne sommer? Kandidatuddannelsen i Informationsvidenskab - Aalborg 2 respondenter 5 spørgeskemamodtagere Svarprocent: 40% Forventer du at afslutte uddannelsen/har du afsluttet/ denne sommer? I hvilken grad har uddannelsen

Læs mere

UDDANNELSESPARATHEDSVURDERING også kåldet en UPV

UDDANNELSESPARATHEDSVURDERING også kåldet en UPV UDDANNELSESPARATHEDSVURDERING også kåldet en UPV Ikke alle unge har lige gode forudsætninger for at gennemføre den ungdomsuddannelse, de vælger efter grundskolen. Undersøgelser har vist, at nogle unge

Læs mere

Anvendelsesorientering i naturvidenskabelige fag

Anvendelsesorientering i naturvidenskabelige fag Anvendelsesorientering i naturvidenskabelige fag 24. Maj 2012, Rødkilde Gymnasium Christine Holm, Institut for Naturfagenes Didaktik Lene Friis, Dansk Naturvidenskabsformidling Dias 1 Formål med dagen

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

HVEM ER VI? BAGGRUNDEN. 15.000 mennesker gennem leder-, team- og kommunikations-træning. Foredrag for 13.000 mennesker.

HVEM ER VI? BAGGRUNDEN. 15.000 mennesker gennem leder-, team- og kommunikations-træning. Foredrag for 13.000 mennesker. HVEM ER VI? BAGGRUNDEN 15.000 mennesker gennem leder-, team- og kommunikations-træning. Foredrag for 13.000 mennesker. 500 mennesker gennem avancerede uddannelsesforløb. copyright Colinco Institute Plancher

Læs mere

Matematik i marts. nu i april

Matematik i marts. nu i april Matematik i marts nu i april Dagens fødselar 2 127 1 1857 1876 Diofantiske ligninger En løsning for N>1: N = 24 og M = 70 François Édouard Anatole Lucas (4 April 1842 3 October 1891) 2, 1, 3, 4, 7, 11,

Læs mere

Samfundsfag - HTX. FIP Marts 2017

Samfundsfag - HTX. FIP Marts 2017 Samfundsfag - HTX FIP Marts 2017 Per Johansson pejo@aatg.dk Underviser på Aalborg Tekniske Gymnasium Fagligt forum Læreplans arbejde Underviser i: Samfundsfag Teknologihistorie Innovation Indhold PowerPoint

Læs mere

Studieforløbsbeskrivelse

Studieforløbsbeskrivelse 1 Projekt: Josef Fritzl manden bag forbrydelserne Projektet på bachelormodulet opfylder de givne krav til studieordningen på Psykologi, da det udarbejdede projekts problemstilling beskæftiger sig med seksualforbryderen

Læs mere

De nye fysikstuderende efter gymnasiereformen - DEN DOBBELTE UDFORDRING

De nye fysikstuderende efter gymnasiereformen - DEN DOBBELTE UDFORDRING De nye fysikstuderende efter gymnasiereformen - DEN DOBBELTE UDFORDRING Debatmøde i Dansk Fysisk Selskab Aarhus d.18.4.2007 Oplæg Lars Brian Krogh, Steno Instituttet Fysik i gymnasiereform 2005 Ny struktur:

Læs mere

Semesterevaluering efteråret 2013 SIV Spansk

Semesterevaluering efteråret 2013 SIV Spansk Semesterevaluering efteråret 2013 SIV Spansk KOMMENTARERNE ER IKKE SYNTETISERET HER DA DE ER SÅ ENKELTSTÅENDE AT DET IKKE SYNES MULIGT. DER VAR GENEREL TILFREDSHED MED VEJLEDNINGEN Generelle oplysninger

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Forskningsprojekt og akademisk formidling - 13. Formulering af forskningsspørgsmål

Forskningsprojekt og akademisk formidling - 13. Formulering af forskningsspørgsmål + Forskningsprojekt og akademisk formidling - 13 Formulering af forskningsspørgsmål + Læringsmål Formulere det gode forskningsspørgsmål Forstå hvordan det hænger sammen med problemformulering og formålserklæring/motivation

Læs mere

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave Fra: http://www.emu.dk/gym/fag/en/uvm/sideomsrp.html (18/11 2009) November 2007, opdateret oktober 2009, lettere bearbejdet af JBR i november 2009 samt tilpasset til SSG s hjemmeside af MMI 2010 Orientering

Læs mere

UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15.

UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. 1 UCSJ FFM + 21+Ude-demoer UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. 2 www.mikaelskaanstroem.dk Og det er jer.! UCSJ 10. klasse 25. August 2014 3 UCC - Matematiklærerens

Læs mere

RESEARCH TEACHING NEXUS

RESEARCH TEACHING NEXUS RESEARCH TEACHING NEXUS Kollegial supervision Modul 1 den 9.9.2015 Karen Wistoft, professor, Ph.d., cand.pæd. Institut for Læring Ilisimatusarfik 11-09-2015 Karen Wistoft Kollegial Supervison 2015 2 Forskning

Læs mere

Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student)

Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Hvad får jeg for det?

Hvad får jeg for det? Hvor mange mennesker mon der kommer i dag? Hvordan er de placeret? Er der stole nok eller alt for mange stole? Hvordan finder jeg derud? Hvad tid skal jeg være der? Hvor lang tid er jeg om at cykle derud?

Læs mere

Første del: indsatsen

Første del: indsatsen Første del: indsatsen Beskriv den indsats I vil sætte i gang Hvilke konkrete aktiviteter består jeres indsats af, og hvem skal gøre hvad? Elever i 5.a skal arbejde med emnet design Et tværfagligt forløb

Læs mere

IAIMTE 2015 Mønstre og perspektiver i den internationale forskning sammenholdt med danskdidaktisk forskning

IAIMTE 2015 Mønstre og perspektiver i den internationale forskning sammenholdt med danskdidaktisk forskning IAIMTE 2015 Mønstre og perspektiver i den internationale forskning sammenholdt med danskdidaktisk forskning Hver enkelt ytring er naturligvis individuel, men enhver sfære inden for sprogbrugen udvikler

Læs mere

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Fortæl om Ausumgaard s historie Der er hele tiden snak om værdier, men hvad er det for nogle værdier? uddyb forklar definer

Læs mere

19.7 ALMEN PÆDAGOGIK. Pædagogisk diplomuddannelse

19.7 ALMEN PÆDAGOGIK. Pædagogisk diplomuddannelse Pædagogisk diplomuddannelse 19.7 ALMEN PÆDAGOGIK Mål for læringsudbytte skal opnå kompetencer inden for pædagogisk virksomhed i offentlige og private institutioner, hvor uddannelse, undervisning og læring

Læs mere

Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg. 9. semester, 2003. Videnskabsteori. Jeppe Schmücker Skovmose

Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg. 9. semester, 2003. Videnskabsteori. Jeppe Schmücker Skovmose Videnskabsteori Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg 9. semester, 2003 Titel: Videnskabsteori Jeppe Schmücker Skovmose Videnskabsteori Udgangspunktet for opgaven

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Mod ny viden og nye løsninger 2015

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Mod ny viden og nye løsninger 2015 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Mod ny viden og nye løsninger 2015 Forord Strategien for Det Teknisk- Naturvidenskabeli- Denne strategi skal give vores medarbejdere Forskning ge Fakultet, som

Læs mere