TAL I MÆNGDER ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE OM KAPITLET FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL ELEVFORUDSÆTNINGER

Transkript

1 TAL I MÆNGDER I den efterfølgende del skal eleverne arbejde med de rationale tal Q, hvor de bla præsenteres for de endelige OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de rationale tal, hvorfor de irrationale tal og talmængden de reelle tal R bliver introduceret Formålet med kapitlet er, at eleverne gennem arbejdet med opgaver, undersøgelser og aktiviteter skal få større viden om, hvordan vores talsystem er opbygget og et overblik over tallene og deres forskellige egenskaber Eleverne skal have en forståelse for, at de forskellige typer af tal, de har arbejdet med og gennemgået i kapitlet, kan ordnes i en række mængder, hvor hver mængde er en delmængde af den næste mængde og uendelige decimaltal, og de skal undersøge delelighedsregler og rester ved division Eleverne skal desuden arbejde med omskrivning af meget store og meget små tal til eksponentiel notation og tegne en model af vores solsystem I den sidste del af kapitlet introduceres de irrationale tal og dermed mængden R af reelle tal Eleverne arbejder med irrationale tal, herunder tallet I kapitlets tema Arkitekt i Centicube City skal eleverne konstruere ungdomsboliger ud fra nogle givne regler Modellen af de forskellige ungdomsboliger bygges i centicubes, som eleverne efterfølgende skal inddele i forskellige grupper ud fra fælles matematiske karakteristika, fx ud fra totabellen (to-talssystemet), primtal mm ELEVMÅL FOR KAPITLET Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige sammenhænge kan undersøge og udforske primtallene og deres egenskaber kan skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation kan beskrive og forklare sammenhænge ved hjælp af matematik HUSKELISTE PRINTARK U Tal- og symbolkort U Primtal E Begreber og fagord Tal i mængder MATERIALER A papir Centicubes DIGITALE VÆRKTØJER Regneark FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL 7 R Q Z N , ,769 7 ELEVFORUDSÆTNINGER Eleverne har i MULTI, MULTI 5 og MULTI 6 arbejdet med tallene og deres egenskaber indenfor talmængderne N, Z og Q I MULTI mødte eleverne begrebet talmængder, og det blev forklaret, at alle tal tilhører en talmængde Der arbejdes ikke formaliseret med talmængder i MULTI 5 og MULTI 6 Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med tallet i forbindelse med beregning af omkreds og areal i en cirkel, men de har ikke tidligere mødt eller arbejdet med andre irrationale tal, og de kender ikke begreberne irrationale tal eller reelle tal I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: mængden af naturlige tal N mængden af hele tal Z mængden af rationale tal Q mængden af reelle tal R differensrækker sammensatte tal primfaktoropløsning endelige og periodiske decimaltal eksponentiel notation eksponent og rod På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er udgangspunkt for arbejdet med kapitlet I den første del af kapitlet arbejder eleverne med de naturlige tal N De naturlige tal kaldes også tælletallene Eleverne arbejder med forskellige egenskaber ved de naturlige tal, fx lige tal og ulige tal samt primtal og sammensatte tal I den forbindelse møder eleverne to historiske matematikere Gauss og Eratosthenes Herefter arbejder eleverne med de hele tal Z, hvor de bla skal undersøge de negative tal og regningsarterne Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at kunne inddele tallene i talmængderne N, Z og Q at regne med negative tal at opløse tal i primfaktorer at omskrive og regne med kvadratrod (dog ikke irrationale tal) at finde en cirkels omkreds og areal ved brug af tallet 5

2 TAL I MÆNGDER SIDE -5 Tal i mængder MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige sammenhænge kan undersøge og udforske primtallene og deres egenskaber kan skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation kan beskrive og forklare sammenhænge ved hjælp af matematik FORHÅNDSVIDEN Hvilken talmængde tilhører resultatet af nedenstående opgaver? A kg vindruer koster 7,95 kr Hvad koster kg? B Et kvadrat har et areal på 5 Hvor lange er siderne? C Find x i ligningen: x + = I dette kapitel skal du arbejde med at få over blik over de uendelig mange tal, som du møder i hverdagen og i matematik i skolen Du kan finde tal mange steder, fx i reklamer, aviser, på vejskilte, skoleskemaet, internettet og i matematikbogen Tal bruges både til at beskrive tid, længder, hastigheder, vægt, pris, størrelser og meget andet Tallene kan inddeles i mængder efter deres forskellige egenskaber I løbet af kapitlet vil du komme til at arbejde med nogle af de regneregler, som du tidligere har arbejdet, men der er også nye regler, du skal lære Du skal også undersøge egenskaber ved primtallene og lære at skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation Du skal arbejde med: mængden af naturlige tal N mængden af hele tal Z mængden af rationale tal Q mængden af reelle tal R differensrækker sammensatte tal primfaktoropløsning endelige og periodiske decimaltal eksponentiel notation eksponent og rod OPGAVE Alle naturlige tal kan opløses i faktorer Nogle tal kan kun opløses i netop to forskellige faktorer Andre tal kan opløses i flere faktorer For eksempel kan 8 opløses i faktorerne: 8 = og 8 = A Opløs tallene i størst muligt antal faktorer B Forklar, hvordan du kan finde ud af, om er faktor i tallet,,, OG 5 Undersøgelse for to personer Materialer: Tal- og symbolkort (U) I skal undersøge, på hvilke måder I kan lave additionsstykker med tallene,,, og 5 samt symbolerne + og = Start med at klippe tal- og symbolkortene ud Du skal arbejde sammen med din makker A Sorter tallene efter kriterier, som I selv vælger B Beskriv de kriterier, som I har valgt at sortere tallene ud fra C Sæt jer sammen med et andet makkerpar, og forklar for hinanden, de forskellige kriterier I har inddelt tallene efter 8, TAL I MÆNGDER 5 I denne del skal I bruge talkortene,, og I skal sætte tallene sammen, så de giver forskellige summer, fx + = 5 A Forklar, hvordan I også kan få summen 5 ved at placere kortene på andre måder B Undersøg, på hvor mange forskellige måder I kan lave additionsstykker med tocifrede tal, som giver samme resultat Skriv jeres additionsstykker og resultater ned C Hvordan skal talkortene lægges, hvis I skal have den størst mulige sum? D Hvordan skal talkortene lægges, hvis I skal have den mindst mulige sum? E I skal undersøge, hvor mange forskellige summer I kan få, hvis I skal bruge alle ciffrene Hvert ciffer kun må bruges én gang Skriv jeres forslag ned DEL I skal nu skifte kortet med tallet ud med kortet med tallet 5 A Forklar, hvilken betydning det får for jeres undersøgelse og besvarelse af opgaverne B-E, hvis talkortet med skiftes ud med 5 B Forklar, hvilken betydning det får, hvis I i stedet for at skrive 5 på talkortet skriver x ,78 0, 6 0, 6 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører A Talmængden Q B Talmængden R (sidelængden er 5, som er irrational) C Talmængden Q Hvis det indledningsvist er repeteret, hvad en talmængde er, så kan eleverne bruge deres viden herfra,,, OG 5 A + = 5 (ingen andre måder) B Formålet med opgaver af denne art er, at eleverne opdager nødvendigheden af at udvikle en systematik, som de er nødt til at benytte for at sikre sig, at alle resultater er med Herunder er ikke medtaget de summer, der kommer af andre additionsstykker ved brug af den kommuta- DEL A Alle summer bliver større Nogle bliver større (hvis firtallet står på enernes plads), nogle bliver 0 større (firtallet på tiernes plads), og nogle bliver 00 større (firtallet på hundredernes plads) B Eleverne overvejer, hvordan resultaterne påvirkes, hvis der skrives et andet ciffer end 5 på de pladser, hvor der står 5 i punkt A På de første to sider bliver eleverne introduceret til kapitlets fem elevmål samt fagord og begreber I de efterfølgende opgaver og i undersøgelsen er formålet at aktivere elevernes forhåndsviden om emnet I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet Tal i mængder handler om Eleverne har i MULTI mødt begrebet talmængder, men det vil for de fleste elever være nødvendigt at repetere, hvad en talmængde eller en mængde er En mængde er en afgrænset samling af elementer i dette tilfælde er det en samling tal med samme egenskaber Tegn fx de fire forskellige talmængder på tavlen, og forklar, hvordan hver mængde er en delmængde af den næste mængde Fx er de naturlige tal N en ægte delmængde af de hele tal Z, da alle tal i talmængden N er en del af talmængden Z En ægte delmængde vil i dette tilfælde sige, at de to talmængder N og Z ikke er samme mængde OPGAVE A 9 = 9 = 6 = 9 = 7 59 = 67 = 67 = 7 B er faktor i et tal, hvis tallet er lige, dvs hvis tallets sidste ciffer er 0,,, 6 eller 8 Tal evt med eleverne om, hvad begrebet faktor betyder Faktor er et tal, som indgår i en multiplikation tive lov for addition Dvs, at når fx + er nævnt, så vil + ikke blive nævnt De forskellige summer er da: + = + = 7 + = + = 6 + = + = + = + = 55 + = + = 6 + = + = 7 C Den størst mulige sum er + = + = D Den mindst mulige sum er = 0 E Foruden de nævnte summer i punkt A-D mangler der de tal, der er summer af et trecifret og et etcifret tal Der er i alt forskellige summer af denne slags, der dog to og to giver samme resultat: + = + = 7 + = + = 6 + = + = 7 + = + = 5 + = + = 6 + = + = 5 + = + = 5 + = + = + = + = 5 A Eleverne kan sortere tallene på mange forskellige måder ud fra forskellige kriterier, fx lige og ulige tal talmængderne N, Z, Q og R brøker og decimaltal B-C Elevernes egne svar Eleverne kan fx lave kort med de forskellige tal, som de kan placere i bunker ud fra de kriterier, som de sorterer tallene i Det kan være mere overskueligt, da det hjælper til at fokusere på et enkelt tal ad gangen Eleverne kan ligeledes opfordres til at have en bunke med tal, som de kan have svært ved at placere ud fra deres valgte kriterier I arbejdet med punkt C kan de tale med et andet makkerpar om, hvorfor de har svært ved at placere nogle af tallene Måske de ved fælles hjælp kan placere tallene i de rigtige bunker, eller måske kan de slet ikke placeres inden for de givne kriterier Hvis eleverne er i tvivl, kan de tale med læreren PRINTARK U Tal- og symbolkort + = + = + = + = + = + = 6 7

3 TAL I MÆNGDER SIDE TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 7 DE NATURLIGE TAL N De naturlige tal N er de tal, du får, når du tæller:,,,, 5, Hvis du fortsætter med at tælle, vil du på et tidspunkt komme til, men du kan også fortsætte til 5 7 eller endnu længere N N = {,,, } Et vilkårligt tal i talmængden N kan skrives som n Det første naturlige tal er, og alle de efterfølgende naturlige tal er præcis én større end det forrige naturlige tal Med de naturlige tal kan du tælle i en uendelighed A Vurder, hvor lang tid det vil tage at tælle til B Hvordan du kom frem til resultatet i A? A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de naturlige tal kan bruges i hverdagen Mængden af naturlige tal N kan opdeles på forskellige måder Du kan blandt andet opdele de naturlige tal i lige og ulige tal LIGE TAL Lige tal kan deles med Du kan derfor skrive et lige tal som n, hvor n er et hvilket som helst naturligt tal, der skal multipliceres med For eksempel er 6 et lige tal, fordi 6 = (i dette tilfælde er n = ) ULIGE TAL Ulige tal kan skrives som ( n ) For eksempel er 5 ulige, fordi 5 = 8 (i dette tilfælde er n = 8) Du skal undersøge, om resultaterne bliver lige eller ulige Eksempelvis: 5 og er ulige tal Summen af de to tal er 8, og dermed et lige tal Produktet af de to tal er 5, og dermed et ulige tal I opgaverne skal du undersøge, om resultaterne bliver lige eller ulige Hvad bliver resultaterne, når du A adderer to lige tal? B multiplicerer to lige tal? C adderer et lige og et ulige tal? D multiplicerer et lige og et ulige tal? E Formuler regler for addition og multiplikation Du kan fx begynde med at skrive: Når man adderer to tal, så Når man multiplicerer to ulige tal, så F Forklar, hvorfor summen af tre ulige tal bliver et ulige tal G Forklar, hvorfor produktet af tre ulige tal bliver ulige H Forklar, hvorfor produktet af 5 7 bliver et lige tal DIFFERENSRÆKKER OG SUMMER Undersøgelse for to personer Carl Friedrich Gauss ( ) var en tysk matematiker Han arbejdede blandt andet med differensrækker og fandt en hurtig måde at beregne summer af talfølger En differensrække er en talrække, hvor differensen mellem to på hinanden følgende tal er den samme Rækken af naturlige tal er en differensrække, der begynder med tallet, og hvor differensen mellem to tal i rækken er,,,, Du kan beregne summen af de ti første naturlige tal ved hovedregning, men du kan også bruge den metode, som Gauss benyttede til at regne summen af lange differensrækker ud GAUSS METODE Du kan beregne summen (s) af en differensrække på følgende måde: = s = s = s 0 = s Du får den dobbelte sum, og skal derfor dele med Det kan skrives som: 0 = s 55 = s Ved at følge Gauss metode kan du hurtigt finde summen af en differensrække Talrække:, 7,, 5, 9,, 7, A Gør rede for, hvorfor talrækken er en differensrække B Beregn summen af differensrækken i opgave A C Beregn summen af de første 5 naturlige tal D Beregn summen af de første 00 naturlige tal Uanset, hvilket tal der er det sidste i differensrækken, kan Gauss metode bruges Det sidste tal kan kaldes n Rækken af de første n naturlige tal er:,,,, 5,, (n ), n E Forklar, hvorfor summen af de første n naturlige tal kan beregnes med formlen: n S = (n + ) F Benyt formlen til at beregne summen af de første 5 naturlige tal G Benyt formlen til at beregne summen af de første 50 naturlige tal DEL Rækken af lige tal er en differensrække,, 6, 8, 0,, A Beregn summen af de første 0 lige tal Et vilkårligt tal i rækken af lige tal er n, hvor n er tallets nummer i rækken Det sjette tal i rækken er 6 = B Opstil en formel til beregning af summen af de første n lige tal C Benyt formlen til at beregne summen af de første 50 lige tal DEL Tallene i tabellerne danner også differensrækker Tallene i tre-tabellen er:, 6, 9,, 5, I kan derfor også finde summen af fx de første ti tal i tre-tabellen eller de første otte tal i ni-tabellen Et vilkårligt tal i tre-tabellen kan skrives som n, hvor n er tallets nummer i rækken A Opstil en formel til beregning af de første n tal i tre-tabellen B Hvad er summen af de første ti tal i tre-tabellen? Eleverne skal arbejde med mængden af naturlige tal N De bliver præsenteret for en formel, der beskriver et lige tal og en formel, der beskriver et ulige tal Eleverne skal efterfølgende undersøge differensrækker og summer ved hjælp af Gauss metode DE NATURLIGE TAL N De naturlige tal kaldes også tælletallene, da det er de tal, vi får, når vi tæller,,, Som det er beskrevet i teoriboksen, så kan de naturlige tal opdeles på forskellige måder, og her er vist lige tal og ulige tal Tal med eleverne om, på hvilke andre måder tallene kan opdeles, fx i primtal og tabeller Det er nyt for eleverne at beskrive et vilkårligt tal i talmængden N med den variable n Lad eleverne parvis tale om den måde de lige tal og ulige tal er beskrevet på De kan efterfølgende selv beskrive andre naturlige tal med den variable n, fx tre-tabellen (n ) eller kvadrattallene (n ) A Summen af to lige tal er lige B Produktet af to lige tal er lige C Summen af et lige og et ulige tal er ulige D Produktet af et lige og et ulige tal er lige E De regler, der ikke er behandlet under punkt A-D er: Summen af to ulige tal er lige Produktet af to ulige tal er ulige F Sum af tre ulige tal: ulige + ulige + ulige = (ulige + ulige) + ulige = lige + ulige (iflg E) = ulige (iflg C) G Produkt af tre ulige tal: ulige ulige ulige = (ulige ulige) ulige = ulige ulige (iflg E) = ulige (igen iflg E) H Når et tal (lige eller ulige) multipliceres med, bliver produktet lige, og er en faktor i dette tal Derfor bliver produktet lige DIFFERENSRÆKKER OG SUMMER A Differensen mellem hvert led og det foregående er den samme () rækken igennem Derfor er rækken en differensrække B S = 6 C S 5 = 5 D S 00 = 5050 E Ved at bruges Gauss metode får man: S = (n + ) + (n + ) + + (n + ) med i alt n addender, dvs: S = n (n + ) og ved division med fås: S = n (n +) 5 6 F S 5 = = 5 8 = G S 50 = = 5 5 = 75 DEL A S 0 = 0 A-B Elevernes egne svar Eleverne kan fx tage tid på, hvor lang tid det tager at tælle til 00 og derefter gange tiden med Det tager dog længere tid at tælle, jo større tallene bliver Derfor kan en mulighed også være at tælle fra til og gange tiden med 0 000, da det kan give et bedre billede af den tid, det tager at tælle til A Elevernes egne svar Eleverne kan fx tale om, at de naturlige tal kan bruges mange steder i hverdagen, fx om alder, antal jordbær i en bakke, skostørrelse eller antal elever i en klasse B Ved at bruge Gauss metode får man for summen S n af de første n lige tal: S n = n (n + ) C S 50 = DEL A Gauss metode giver: S n = n ( + n) B Summen af de første 0 tal i tre-tabellen er: S 0 = 65 Undersøgelsen vil for nogle elever forekomme meget teoretisk, hvorfor de kan have behov for en del støtte I de punkter, hvor eleverne selv skal opstille en formel, kan der fx differentieres ved at give eleverne formlen og lade dem prøve at forklare, hvorfor formlen ser ud, som den gør En udvidelse af undersøgelsen kan være at lade eleverne selv lave andre formler, der beskriver summen af forskellige differensrækker 8 9

4 TAL I MÆNGDER SIDE PRIMTAL OG SAMMENSATTE TAL FORDELING AF PRIMTAL TAL I MÆNGDER 9 OPGAVE 8 A 00 = 5 Du kan opdele mængden af naturlige tal større PRIMFAKTOROPLØSNING end i primtal og sammensatte tal Alle sammensatte tal har en primfaktoropløsning PRIMTAL Sammensatte tal kan omskrives til et produkt Et primtal er et naturligt tal større end, der kun har af primtal Et produkt er resultatet af en to divisorer Et tals divisorer er alle de tal, som går multiplikation et gangestykke op i tallet Et primtal kan deles med og med tallet selv Primfaktoropløsningen af er De første fem primtal er,, 5, 7 og Det kan skrives i en kortere form = SAMMENSATTE TAL er en potens og betyder, at skal multipliceres Et sammensat tal er et tal, der har mere end to med sig selv tre gange = divisorer Det gælder fx for 0, fordi både,,, 5, Når et tal opløftes i nulte potens, bliver resultatet 6, 0 og 0 er divisorer i 0 altid 0 a a a a a a5 a a a a a a a a a a a a a a a Eratosthenes var en græsk matematiker og astronom Han levede 76 fkr-9 fkr Han fandt frem til en metode til at fastlægge primtallene Metoden kaldes i dag Eratosthenes si Eratosthenes si Sæt en ring om det første primtal og overstreg alle tallene, som primtallet går op i Sæt derefter ring om det første tal i rækken, som endnu ikke er streget over Overstreg nu alle tallene som dette tal går op i, og som ikke allerede er streget ud Fortsæt på denne måde, til du ikke kan overstrege nye tal 5 Sæt derefter ring om alle tal, der ikke er streget ud Tallene med ring omkring er primtal A Benyt Eratosthenes si til at finde primtallene mellem og 50 B Hvilket tal er det sidste, der bliver streget over i undersøgelsen? C Hvilket tal er du i gang med at undersøge, når det sidste tal overstreges? D Beskriv sammenhængen mellem de to tal fra opgave B og C Oskar påstår, at det kun er nødvendigt at undersøge tre primtal, hvis man vil finde alle primtallene mellem og 0, og man skal undersøge fire primtal, hvis man skal finde alle primtallene både mellem og 60 og mellem og 70 E Undersøg om Oskars påstand er sand F Beskriv sammenhængen mellem det sidste tal, som skal undersøges og det sidste tal, der overstreges G Hvor mange primtal skal undersøges, når man skal finde primtallene mellem og 5? OPGAVE 8 Skriv primfaktoropløsning af A tallene 00, 7 og B Kan du skrive primfaktoropløsning af alle tre tal? OPGAVE 9 Et tal kan skrives som: 6 A Hvilket tal er der tale om? B Hvorfor er opskrivningen ikke en primfaktoropløsning, og hvad er primfaktoropløsningen af tallet? C Hvilke divisorer har tallet? 0 A Hvilket tal er størst: 7 5 eller 8? B Hvilket af følgende tal har flest divisorer:,, 6 eller 9? A Skriv forskellige regnestykker, som alle giver 6, når du multiplicerer to naturlige tal B Opløs produkterne fra opgave A i primfaktorer, så 6 bliver produkt af primtal C Skriv primfaktoropløsningen af 6 i den kortest mulige form D Skriv alle divisorerne i 6 A Hvilken divisor har følgende tal til fælles: 8, 8, 75, 5? OPGAVE A Hvilket af følgende tal har flest divisorer:, 9, 8, 9? Undersøgelse for to personer Materialer: Primtal (U) I undersøgelsen skal I finde ud af, om der er et mønster i fordelingen af primtallene A Sæt ring om primtallene i skemaet på arket Primtal (U) B Beskriv mønsteret for, hvordan primtallene fordeler sig C Forklar, hvorfor kolonne,, 6 og 0 ikke indeholder nogle primtal (bortset fra ) DEL A Undersøg om nedenstående to påstande er sande eller falske I skal bruge arket Primtal (U) Påstand : Alle primtal større end kan skrives på formen 6 n, hvor n er et naturligt tal Påstand : Alle primtal større end kan skrives på formen n eller n +, hvor n er et naturligt tal Eleverne skal undersøge forskellige forhold vedrørende PRIMTAL OG SAMMENSATTE TAL Da indholdet i teoriboksen ikke er nyt for eleverne, kan de fx læse og gennemgå indholdet parvis eller i mindre grupper Inden eleverne arbejder videre med opgaverne og undersøgelsen på opslaget, kan der tages en klassesamtale om teoriboksens indhold, og eksemplet der er beskrevet under Mål og fagligt indhold 7 = 5 B Ikke af 7, da det er et primtal OPGAVE 9 A 6 = 08 B 6 er ikke et primtal Primfaktoropløsningen af 08 er C Divisorerne i 08 er:,,,, 6, 9,, 8, 7, 6, 5 og 08 0 A Det største af tallene er 8 B Antallet af divisorer i tallene,, 6 og 9 er hhv 6, 8, og 7, så tallet har flest divisorer FORDELING AF PRIMTAL A Eleverne sætter ring om primtallene på printarket Primtal (U) B Elevernes egen beskrivelse af mønsteret for primtallenes fordeling C Alle tal i de pågældende kolonner er lige tal og derfor (når tallene er større end ) sammensatte tal DEL A Eleverne kan på baggrund af arket printarket Primtal (U) kun udtale sig om de primtal, der er mindre end 00 PÅSTAND primtal og sammensatte tal I arbejdet med primtallene bliver eleverne præsenteret for en metode til at fastlægge primtallene metoden kaldes Eratosthenes si Eleverne har i MULTI 5 arbejdet med primtal, sammensatte tal og med at opløse tal i primfaktorer, så det er ikke nyt for eleverne, men i MULTI 7 arbejdes mere undersøgende med primtallene, hvilket er nyt for eleverne Målet er, at eleverne forstår, at ethvert naturligt tal større end enten er et primtal eller, at det på en entydig måde kan skrives som et produkt af primtal Faktorernes rækkefølge er dog ikke entydig, da både den kommutative og den associative lov for multiplikation af reelle tal gælder Fx = = 5 Gennem arbejdet med de efterfølgende opgaver og undersøgelsen får eleverne et større kendskab til primtallene A Primtallene mellem og 50 (begge inkl) er:,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,, og 7 B Tallet 9 C Tallet 7 D Sammenhængen er, at 7 = 9 (eller, at 9 = 7) E Oscars påstand er sand Primtal nr er 7, og 7 er det største primtal, der er mindre end 70 F Hvis det sidste tal, der skal undersøges kaldes n, så vil det sidste tal, der skal overstreges, være større end eller lig med n og mindre end (n + ) G Der skal undersøges 5 primtal (,, 5, 7 og ) Eleverne kan arbejde parvis med opgaven, så de kan diskutere metoden med Eratosthenes si og deres resultater Som en hjælp til arbejdet med opgaven kan eleverne få udleveret printarket Primtal (U), som de skal bruge til undersøgelsen Fordeling af primtal A De mulige svar er: 6, 8,, 9 og 6 6 B 6 = C 6 = D Divisorerne i 6 er:,,,, 6, 9,, 8 og 6 A Den fælles divisor for de fire tal er 7 Påstanden er ikke sand For eksempel er 7 et primtal, der ikke er på formen 6n Det er imidlertid generelt sandt, at ethvert primtal større end enten er på formen 6n eller på formen 6n + PÅSTAND I første oplag af MULTI 7 er der en trykfejl Tallet n skal være n Så er påstanden sand og den gælder også generelt PRINTARK U Primtal 0

5 TAL I MÆNGDER SIDE 0-0 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER DE HELE TAL Z Det er ikke altid nok at arbejde med de positive hele tal Ved at udvide de naturlige tal, N, med negative hele tal og tallet nul, får vi en ny talmængde de hele tal Z De naturlige tal N er en del af de hele tal Z Z N A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de hele tal kan bruges i hverdagen 6 Anders følger med i vejrudsigten En vinterdag er temperaturen på 8 grader i København og 5 grader i Nuuk A Skriv et regnestykke som du kan bruge, når du skal finde forskellen på temperaturen i de to byer B Gør rede for de tegn, du anvender i regnestykket NEGATIVE TAL OG REGNINGSARTERNE Undersøgelse for to personer DEL DIVISION Materialer: Evt regneark eller lommeregner A Udarbejd en divisionstabel, som vist i illustrationen I skal undersøge, hvordan fortegnene ændrer sig, når hele tal subtraheres, multipliceres og divideres Undersøgelsen lægger op til brug af regneark, men I kan godt lave tabellerne på papir Herunder er der vist en additionstabel udarbejdet i et regneark NEGATIVE TAL OG REGNINGSARTERNE DEL DIVISION A Tabel for division: : 0 0,75 0,5 0,5 0,5 Z = {,, 0,,, } Ved regning med negative tal, skal du være opmærksom på, at minustegnet både kan være regnetegn og fortegn Fortegn 7 Regnetegn Resultatet af en subtraktion (et minusstykke ) kalder man differensen Hvilket tal skal stå på den tomme plads? A 6 + = B 75 = 5 C + ( ) = D 7 = 7 Søren, Line og Mathias spiller kortspillet 500, hvor det gælder om at være den første til at nå 500 point Søren skriver op, hvor meget hver person vinder eller taber Herunder ser du regnskabet A Hvem fører? B Hvad er pointforskellen mellem Mathias og Søren? C Hvor mange point mangler Søren for at nå samme pointtal som Line? SUBTRAKTION A Udarbejd på samme måde en tabel for subtraktion B Beskriv, hvad der sker, når I subtraherer to negative tal C Forklar i hvilke situationer I får negative differencer DEL MULTIPLIKATION A Udarbejd en tabel for multiplikation B Beskriv, hvad der sker, når to negative tal multipliceres C Formuler regler for multiplikation af et positivt tal med et negativt tal og af to negative tal Eleverne skal arbejde med mængden af hele tal Z De skal undersøge og formulere regler for, hvordan fortegnene ændrer sig, når hele tal subtraheres, multipliceres og divideres Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med negative tal og regning med negative tal, hvor de på lommeregneren har undersøgt de forskellige regler for regning med negative tal I MULTI 7 bliver denne del mere formaliseret, og eleverne skal undersøge og selv formulere regler for, hvordan fortegnene ændrer sig ved regning med negative tal MATERIALER Evt et digitalt værktøj, fx et regneark B Beskriv, hvad der sker, når negative tal divideres C Forklar, hvorfor I ikke får noget resultat i divisionstabellen, når 0 er divisor, og hvorfor I får et resultat, når 0 er dividend D Formuler regler for division med negative tal DEL RESULTATER I Z A Undersøg, ved at læse jeres tabeller, hvilke regningsarter der altid giver resultater, der er i talmængden Z, når der regnes med hele tal DE HELE TAL Z De naturlige tal N udvides til de hele tal Z, så talmængden nu også indeholder 0 og de negative hele tal Lad eleverne læse teoriboksen igennem, og tal om, at minustegnet både kan være et regnetegn og et fortegn I den sammenhæng kan det være relevant at nævne, at når fortegnet står ved siden af et regnetegn, sætter man en parentes om det negative tal, fx 6 + ( ) eller 6 ( ) Man skriver således aldrig et regnetegn og et fortegn lige efter hinanden Lad eleverne undersøge, hvordan de bruger deres lommeregner til at regne med negative tal Det er nødvendigt at huske fortegnet, når man skal skrive negative tal på lommeregneren Knappen kan fx være angivet med ( ) eller +/ De ønskede tal er skrevet med rødt A 6 + ( ) = B 75 ( 80) = 5 C 5 + ( ) = D 5 7 = SUBTRAKTION A Tabel for subtraktion: B Elevens egen beskrivelse C En subtraktion a b er negativ, hvis og kun hvis a er mindre end b DEL MULTIPLIKATION A Tabel for multiplikation: , 0,67 0, -0,,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B Elevens egen beskrivelse Når to negative tal divideres, bliver resultatet positivt C Elevens egen forklaring Nul som divisor: Division er den modsatte regningsart til multiplikation Hvis man undersøger 6 : 0 og betegner resultatet ved x, så betyder det, at: 6 : 0 = x, hvis og kun hvis 0 x = 6 Da nul multipliceret med et hvilket som helst tal er nul, så vil 0 x aldrig give 6 Altså kan det ikke lade sig gøre at dividere med 0 Nul som dividend: På samme måde som ovenfor kan vi undersøge 0 : 6 = x I dette tilfælde gælder det, at 0 : 6 = x, hvis og kun hvis 6 x = 0 Da nul multipliceret med 6 (og et hvilket som helst andet tal) er nul, så vil resultatet af en division med dividenden nul altid være nul 5 A Elevernes egne svar, fx gæld og temperatur D Elevens formulering af regler Fortegnsregler for division er som for multiplikation 6 A 5 ( 8) eller 8 ( 5) B Det første minus er fortegn, det næste er regnetegn, og det sidste er fortegn 7 B Elevens egen beskrivelse Når to negative tal multipliceres, bliver produktet positivt C Elevens formulering af regel for multiplikation af et positivt tal med et negativt tal DEL RESULTATER I Z A Når de tal, der regnes på, tilhører Z, vil addition, subtraktion og multiplikation give hele tal som resultat Dvs, at division er den eneste regningsart, hvor resultatet ikke altid ligger i talmængden Z A Mathias fører Samlet kan man sige om fortegn for produkter: To ens B Pointforskellen mellem Mathias og Søren er 65 fortegn giver plus, to forskellige fortegn giver minus C Søren mangler 80 point for at nå Line I opgave 5-7 er der fokus på, hvordan negative tal bruges i hverdagen, og eleverne arbejder med addition og subtraktion af negative tal

6 5 7 TAL I MÆNGDER SIDE - TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER DE RATIONALE TAL Q Mængden af hele tal udvides, så de også omfatter brøker og nogle decimaltal Den udvidede mængde er de rationale tal Q Brøkerne er rationale tal og tilhører derfor mængden Q En brøk kan skrives som a b, hvor både a og b er hele tal Nævneren b kan ikke være 0 Alle tal i talmængderne N og Z kan skrives som brøker, og de er derfor rationale tal Brøken 0 er et rationalt tal, men det er også et naturligt tal, fordi 0 5 = Brøken 9 er et rationalt tal, men det er også et helt tal, fordi 9 = I talmængden Q er også alle de brøker, der ikke kan reduceres til hele tal Det er fx og 8 9 ENDELIGE OG PERIODISKE DECIMALTAL De endelige og periodiske decimaltal er også rationale tal Et endeligt decimaltal er et decimaltal med et endeligt antal betydende decimaler 0,5 er et endeligt decimaltal Det kan skrives som brøken Et periodisk decimaltal er et decimaltal, hvor en gruppe af cifre fra et vist trin gentages i det uendelige 0, er et periodisk decimaltal Det kan skrives som brøken Q Z N ,96 0,769 Q = Alle hele tal og alle brøker 8 A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de rationale tal kan bruges i hverdagen 9 A Forklar, hvorfor der er uendeligt mange måder at skrive det naturlige tal 8 som en brøk? B Vælg et naturligt tal og omskriv det til en brøk Byt brøk med din makker og find ud af, hvilket naturligt tal din makker har lavet om C Vælg et helt tal og omskriv det til en brøk Byt brøk med din makker og find ud af, hvilket helt tal din makker har lavet om D Forklar, hvorfor du kan bruge det samme tal i opgave B og C OPGAVE 0 Der findes rationale tal, der kun skrives med netop ét total og ét ottetal A Skriv tallene op B Afgør, hvilke tal fra opgave A, der tilhører Q, og hvilke tal der også tilhører Z C Nævn otte ikke-hele tal fra opgave A, der er større end 5 D Lav en lignende opgave og byt med din makker A Undersøg, om det altid gælder for multiplikationsstykker, at når man dividerer den ene faktor med et tal og multiplicerer den anden faktor med samme tal, så forandres produktet ikke DELELIGHEDSREGLER Undersøgelse for to personer Der findes forskellige regler for deling af tal Hvis man kender reglerne, kan man hurtigt finde ud af, om et tal går op i et andet tal Delelighedsreglen for er, at går op i et tal, når går op i tallets sidste ciffer Delelighedsreglen for 5 er, at 5 går op i et tal, når tallets sidste ciffer enten er 0 eller 5 A Hvad skal gælde, hvis både 5 og går op i et tal? DEL Delelighedsreglen for er, at går op i et tal, når går op i tallets tværsum eller i den redu cerede tværsum Tværsummen af et tal findes ved at addere cifrene i tallet Tværsummen af er + + = 6 Tværsummen af 9 er, fordi = Når tværsummen har flere cifre, kan man reducere tværsummen ved at tage tværsummen af tværsummen Man kan blive ved, til der kun er ét ciffer tilbage Den reducerede tværsum af 9 er går fx op i både 9, 9 og 9 A Skriv et etcifret, et tocifret, et trecifret, et firecifret tal B Beregn tværsummen af tallene og den reducerede tværsum af de tal, hvor der er flere cifre i tværsummen C Undersøg, hvor mange tocifrede tal der er, hvor tværsummen ikke kan reduceres D Forklar, hvorfor det ikke er muligt at finde et tocifret tal, hvor tværsummen skal reduceres to gange for at komme frem til et enkelt ciffer E Skriv flere eksempler på trecifrede tal, hvor tværsummen ikke kan reduceres F Hvor mange gange kan man maksimalt reducere tværsummen af et firecifret tal? DEL Delelighedsreglen for 7 er lidt mere kompliceret I kan undersøge, om 7 går op i 6 ved at tage det sidste ciffer væk Der står så 6 Cifret ganges med Produktet trækkes fra 6 6 = 7 går op i, og derfor går 7 også op i 6 Når I skal undersøge, om 7 går op i et større tal, skal fremgangsmåden gentages Går 7 op i 8 6? 86 ( ) = 808 Vi fortsætter: 80 (8 ) = 6 6 ( ) = 08 0 (8 ) = 7 går op i, derfor går 7 også op i 8 6 A Hvilke af disse tal går 7 op i?, 69, 67,, 699 B Skriv tre tal, som både,, 5, og 7 går op i C Benyt delelighedsreglerne til at vise, at,, 5, og 7 går op i jeres tre tal D Undersøg, om det kan passe, at 6 går op i et tal, hvis og kun hvis både og går op i tallet E Undersøg, om det kan passe, at går op i et tal, hvis går op i halvdelen af tallet F Undersøg, om I kan finde delelighedsregler for et eller flere af følgende tal: 8, 9, 0 DEL I en tal-gætteleg gælder det om at gætte et tal ud fra så få oplysninger som muligt Her er nogle oplysninger om et tal: a Tallet er lige b Tallet er et kvadrattal c Tallet er større end 5 d Tallet har tværsummen 7 e Tallet har ens tal i primtalsopløsningen f Tallet er mindre end 77 A Hvilket tal er der tale om? B Lav selv flere talgåder, og giv dem til et andet makkerpar Eleverne skal arbejde med mængden af rationale tal Q De skal bla arbejde med opgaver, der handler om at skrive tal ved hjælp af brøker Der er fokus på at forstå brøker som et tal og som en division, der endnu ikke er udført Derefter undersøger eleverne forskellige delelighedsregler Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med brøker og sammenhængen mellem brøker og decimaltal, men de er ikke siden MULTI blevet præsenteret for mængden af rationale tal, og de har ikke siden arbejdet formaliseret med talmængden Q I dette kapitel fokuseres der alene på at forstå definitionen af talmængden Q, og først i kapitlet Brøk, decimaltal og procent præsenteres eleverne for regneregler mm DE RATIONALE TAL Q I teoriboksen præsenteres og beskrives mængden af rationale tal Q, der kan beskrives som alle de hele tal og de tal, der kan skrives som brøker De rationale tal kan også beskrives som de decimaltal, der enten er endelige eller periodiske, hvilket er nye begreber for eleverne Det kan derfor være en god idé at tage en klassesamtale om sammenhængen mellem brøker og decimaltal, og at et brøktal og et decimaltal med samme værdi blot er to forskellige måder at angive samme tal på Figuren nederst i teoriboksen kan være udgangspunkt for en klassesamtale om de forskellige talmængder, og hvordan de hænger sammen Tallet hører fx både til talmængden N, Z og Q, mens tallene og,96 kun 7 hører til mængden med rationale tal Q Gennemgangen af teoriboksen kan afsluttes med, at eleverne skal komme med eksempler på tal og placere dem i den rigtige talmængde Der kan også være krav til, om tallet skal være et endeligt eller periodisk decimaltal 8 A Elevernes egne svar, men fx bageopskrifter, priser, rumfang af juicekartoner og forskellige længder 9 A Elevernes egne svar Det naturlige tal 8 kan skrives som en uægte brøk, hvor resultatet er 8 Fx 8, 6,, Der vil altså være uendeligt mange måder, hvorpå det naturlige tal 8 kan beskrives som en brøk B Elevens egen besvarelse C Elevens egen besvarelse D Fordi ethvert naturligt tal også er et helt tal OPGAVE 0 A De rationale tal, der kan skrives med netop ét total og netop ét ottetal er: ±8 ±8 ± 8 ± 8 ±,8 ±8, ±8 ± 8 Tillader man regnetegn, vil også tallene: ± 8, ±( + 8) og ±( 8) kunne bruges B Alle tal fra punkt A tilhører Q Kun tallene ± 8 ; ±,8 og ±8, tilhører ikke Z C Tallene 8 ;,8 og 8, er alle ikke-hele tal, der er større end 5 I første oplag af MULTI 7 står der Nævn otte ikkehele tal Det er en fejl Der skulle blot stå Nævn de ikke-hele tal fra punkt A, der er større end 5 D Elevens egen opgave og opgavebytning A Ja, det gælder altid: a a b k k (b k) = k = a b (forkortning med k) DELELIGHEDSREGLER A Hvis både 5 og skal gå op i et tal, skal tallet ende på 0 DEL A Elevernes egne udregninger B Elevernes egne udregninger C Der er 5 tocifrede tal, hvor tværsummen ikke kan reduceres yderligere D Det tocifrede tal, der har den højeste tværsum er 99 (tværsum 8) Denne tværsum skal kun reduceres én gang for at blive étcifret (9) E Fx,, 5, 50 F Højst én gang Det firecifrede tal, der har den højeste tværsum er 9999 (tværsum 6) Denne tværsum skal kun reduceres én gang for at blive étcifret (9) DEL A 7 går op i, 69, 67 og B Flere løsninger, fx: 5 7 = 0, 5 7 = 0 og 5 7 = 80 C Elevaktivitet D Ja, det passer Hvis og går op i et tal, kan tallet skrives n (n N), dvs 6 n altså går 6 også op i tallet E Ja, det passer F 8 går op i et tal, hvis det går op i tallets sidste cifre, fx: 8 går op i 7 8, da 8 går op i 8) Man kan også sige, at 8 går op i et tal, hvis går op i halvdelen af tallet, eller hvis går op i en fjerdedel af tallet, eller hvis går op i tallet gange, eller 9 går op i et tal, hvis 9 går op i tallets tværsum 0 går op i et tal, hvis tallet ender på 0 (nul) DEL A Tallet er 6 ( ) B Elevernes egne talgåder 5

7 TAL I MÆNGDER SIDE -5 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 5 STORE TAL OG SMÅ TAL MED EKSPONENTIEL NOTATION En million milliard er et meget stort tal En gang 000 kan skrives som eller 0 imellem kan du få brug for at skrive meget store tal 0 er en tier-potens, hvor kaldes eksponenten, Det kan fx være, du skal angive afstande i verdensrummet, eller du i fysik skal arbejde med lysets 500 kan omskrives til,5 000 eller,5 0 og 0 er roden hastighed Du kan også få brug for at skrive meget Et tal skrives med eksponentiel notation på små tal denne måde: Tallene kan hurtigt blive så store eller små, at de t 0 n, hvor t < 0 og n er et helt tal kan være vanskelige at læse Et meget stort tal som kan I en vitaminpille er der 0 μg (mikrogram) omskrives til,6 0 9 eller 0,00000 g D-vitamin Lysets hastighed er Et meget lille tal som 0, kan km på ét sekund omskrives til,5 0 9 Store og små tal kan omskrives ved hjælp af Herunder er vist en tabel med potenser af 0 potenser af 0 Omskrivningen af tallene kaldes Bemærk at 0 0 = også at omskrive dem til eksponentiel notation ,0 0, OPGAVE A Skriv tallene med eksponentiel notation: ,00 7 0,00005 A Omskriv lysets hastighed i km pr sekund til eksponentiel notation B Beregn lysets hastighed i km pr minut og angiv svaret med eksponentiel notation C Hvor stor afstand tilbagelægger lyset på en time? Planeten Uranus er,7 0 9 km fra Jorden, når den er nærmest A Skriv afstanden mellem Uranus og Jorden uden brug af eksponentiel notation A Omskriv mængden af D-vitamin i en vitaminpille med eksponentiel notation I vitaminpiller er der også mineraler Krom er et mineral, og i en vitaminpille er der, 0 5 g krom B Angiv mængden af krom i en vitaminpille uden at bruge eksponentiel notation Afstandene i verdensrummet er meget store, så derfor er det hensigtsmæssigt at benytte eksponentiel notation til at skrive store tal med Afstanden fra Jorden til Solen er ca, km Afstanden fra planeten Mars til Solen er, km A Skriv, hvor mange km der er mellem Solen og Mars, uden at anvende eksponentiel notation B Skriv, hvor mange km der er mellem Solen og Jorden, uden at anvende eksponentiel notation C Hvor stor er forskellen på afstanden mellem Solen og Mars og afstanden mellem Solen og Jorden? Eleverne skal på disse sider arbejde med at skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation I den sammenhæng præsenteres de for begreberne eksponent og rod Eleverne har ikke tidligere arbejdet med eksponentiel notation, hvorfor der i de efterfølgende opgaver og aktiviteten er fokus på, at eleverne omskriver meget store og meget små tal til eksponentiel notation, så de oplever, at tallene bliver mere overskuelige MATERIALER A papir Et digitalt værktøj, regneark AKTIVITET MODEL AF SOLSYSTEMET Aktivitet for to personer Materialer: A papir og regneark I aktiviteten skal I med udgangspunkt i solsystemet arbejde med meget store tal I tabellen herunder kan I aflæse afstandene fra Solen til planeterne i solsystemet og planeternes diameter Himmellegeme Solen Merkur Venus Jorden Mars Middelafstand til Solen i km 0,00 5,79 0 7, , , Diameter ved ækvator i km Himmellegeme Jupiter Saturn Uranus Neptun Middelafstand til Solen i km 7, ,70 0 9, , Diameter ved ækvator i km x på Solby skole har sat sig det mål at lave en model af solsystemet A Find et længdeforhold, som både passer til afstande til Solen og planeternes størrelse B Udarbejd et regneark til beregningerne C Tegn en model af solsystemet på et A papir, så afstanden mellem planeterne er i samme længdeforhold D Skriv, hvilke overvejelser 7 x på Solby skole skal gøre sig, hvis de vil lave en model i skolegården, hvor både afstande og planeternes størrelse er i samme længdeforhold STORE TAL OG SMÅ TAL MED EKSPONENTIEL NOTATION I teoriboksen er beskrevet, hvordan man kan omskrive meget store og meget små tal til eksponentiel notation Dvs at tallene bliver omskrevet vha potenser af 0 Vær fx opmærksom på, at der både er tale om positive og negative eksponenter Da det er ny viden for eleverne, kan det være en god idé at lade dem parvis gennemgå indholdet i teoriboksen først og derefter samle op fælles i klassen Opgave kan fx indgå som en del af den fælles gennemgang Det kan nævnes for eleverne, at denne skrivemåde med eksponentiel notation nogle gange optræder under betegnelsen videnskabelig skrivemåde (efter engelsk: Scientific notation) Lad eleverne undersøge, hvordan de skriver med potenser på lommeregneren Det er forskelligt, hvordan potens-tasten ser ud, men på de fleste lommeregnere vil der på tasten enten være tegnet y x eller ^ OPGAVE A Tallene skrevet med eksponentiel notation er: 9,8 0,95 0, , ,5 0 5 A,0 05 km/s B,8 07 km/min C,08 09 km A km A,0 0 5 g B 0,0000 g A km B km C km = 7,8 0 7 km AKTIVITET MODEL AF SOLSYSTEMET A Hvis modellen skal tegnes på et A papir, kan den største længde ikke være mere end cm (længden på et stykke A papir) Modellen kan fx tegnes i længdeforholdet :000 milliarder Dvs cm på modellen svarer til cm = km i universet I det længdeforhold vil Merkur ligge cirka 0, cm fra Solen, og Neptun vil være placeret ca 0 cm fra Solen B Eleverne udarbejder regneark C Elevernes egen tegning af model af solsystemet D 7 x skal først finde ud af et længdeforhold, som de kan lave modellen i Den kan fx laves i længdeforholdet : 0 0 Det betyder, at cm i modellen svarer til km i universet I det længdeforhold vil Merkur, der er tættest på Solen, være placeret cirka,9 m fra Solen, og Neptun, der er længst væk, være placeret ca 5 m fra Solen Dvs, at eleverne i dette længdeforhold skal bruge et område, der er minimum 5 m langt Hvis det ikke er muligt, så må længdeforholdet ændres til fx : 0 0 I dette længdeforhold vil Solens diameter være ca 7 cm, Merkurs 0,0 cm og Neptuns ca 0, cm Læreren kan evt finde et område nær ved eller på skolen, hvor det vil være muligt at lave en stor model af sol systemet Eleverne kan herefter finde et hensigtsmæssigt længdeforhold, hvori solsystemet kan laves Afstanden mellem de enkelte planeter kan evt markeres på området med en kegle, ærtepose eller lign 6 7

8 7 7 TAL I MÆNGDER SIDE TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 7 DIVISION MED REST RESTER OG REGNEARK DE REELLE TAL R En division går ikke altid op Når man fx dividerer Undersøgelse for en person I beregninger af areal og omkreds af en cirkel 9 med, får man med resten, fordi 9 = + Hvis en division går op, er resten 0 Hvis en division med ikke går op, får man, eller til rest Hele tal, som divideres med den samme divisor d og har samme rest r, har noget til fælles Vi siger, at de tilhører samme restklasse ved division med d Denne restklasse kalder vi (r) d Når vi dividerer med, kan de hele tal deles i restklasser: (0) hvis divisionen går op () hvis divisionen giver resten () hvis divisionen giver resten () hvis divisionen giver resten For eksempel tilhører 7 og 7 samme restklasse ved division med De giver begge resten, når vi dividerer med A Hvilke rester kan man få ved division med 6, hvis divisionen ikke går op? B Forklar, hvorfor alle ulige tal tilhører samme restklasse ved division med OPGAVE 8 A Forklar, hvad de tre divisionsstykker har til fælles ud over, at de alle har som divisor 79 : 65 : 67 : OPGAVE 9 A Hvilken restklasse tilhører alle lige tal ved division med? B Hvilken restklasse tilhører tallene 789, 70 og 8 ved division med 7? C Find to andre tal, der tilhører samme restklasse D Find tre tal, der tilhører (5) 9 dvs restklassen 5 ved division med 9 Materialer: Regneark I undersøgelsen skal du arbejde med rester ved division i et regneark Du kan benytte regnearksudtrykket REST For eksempel giver regneudtrykket =REST( ; 5) værdien Det betyder, at divisionsstykket :5 giver rest Man kan også indsætte cellehenvisninger i stedet for tallene og 5 A Udarbejd et regneark, hvor du kan undersøge forskellige rester ved division Divisoren skrives i celle B I celle B5 henviser du til cellen med divisoren ved at skrive =$B$ Du kan derefter beregne resterne i kolonne C ved at bruge funktionen REST B Forklar, hvorfor du kun får resterne 0 og ved division med I celle B kan du nu udskifte divisoren med andre divisorer C Undersøg, hvilke rester du får, når divisorerne ændres til tal mellem og 8 D Forklar, hvorfor du kun kan få resterne 7, når du dividerer med 8 E Formuler en regel for, hvilke rester du kan få, når divisoren er n F Kontroller din regel ved at skrive forskellige divisorer større end 8 i regnearket Eleverne fortsætter på den første side med at undersøge tallene og deres egenskaber indenfor mængden af hele tal Z, og de skal her undersøge division med rest Derefter bliver de irrationale tal og mængden af reelle tal R præsenteret, og eleverne arbejder i de efterfølgende opgaver med bla tallet π Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med division med rest, hvorfor begrebet rest ikke er nyt for dem, men de har ikke tidligere arbejdet systematisk og undersøgende med rester Det er første gang, eleverne møder begreberne irrationale tal og reelle tal De kender π fra mellemtrinnet, hvor de har arbejdet med π i forbindelse med beregning af areal og omkreds i cirklen Set i relation til talmængderne skal eleverne erfare, at der igen er brug for flere tal end de rationale tal, og det er nødvendigt at udvide talmængderne til de reelle tal MATERIALER Et digitalt værktøj, regneark benytter du I nogle beregningerne har du benyttet, som tilnærmelse til Førhen brugte man brøken i stedet for Hvis du taster ind på din lommeregner, vil du få tallet,5965 Tallet på lommeregneren er ikke en præcis værdi for har nemlig uendeligt mange cifre I 999 havde to japanske matematikere, Takahashi og Kanada, fundet decimaler til ved hjælp af en computer Alle værdierne af, som benyttes i udregninger er tilnærmede værdier er et irrationalt tal, og det kan derfor ikke omskrives til en brøk Der er andre tal, der heller ikke er rationale tal, fx og De rationale og de irrationale tal udgør tilsammen de reelle tal R 0 Nogle kvadratrødder er irrationale tal og nogle er rationale tal A Forklar, hvorfor og 5 ikke er irrationale tal B Undersøg på lommeregneren forskellige kvadratrødder med naturlige tal under rodtegnet De gamle babyloniere (000 fvt) benyttede + 8 som værdien for A Undersøg og noter, hvor stor forskellen bliver, hvis du skal beregne arealet af en cirkel med radius,75, og først sættes til,, derefter til 7 og til sidst til + 8 B Hvilken betydning får det for beregningen, hvis du benyttet -tasten på lommeregneren? C Overvej, hvilke af dine resultater, der er det mest præcise udtryk for arealet af cirklen R Q Z N ,96 0,769 R = Alle rationale tal og alle irrationale tal Jordens diameter ved Ækvator er 756 km, og omkredsen ved Ækvator kan beregnes til 0 07 km A Hvilken -værdi er brugt til at beregne omkredsen ved Ækvator? B Hvor stor vil Jordens omkreds være, hvis den beregnes efter babyloniernes fastsættelse af? C Hvor mange kilometers forskel er der på omkredsen af Jorden, hvis du sammenligner babyloniernes beregning og beregninger med -tasten på lommeregneren? 5 DIVISION MED REST Som nævnt kender eleverne til begrebet rest, hvorfor det nye for eleverne er den notationsform, hvormed en division med rest kan beskrives Lad eleverne arbejde parvis med indholdet i teoriboksen De kan fx lave små opgaver til et andet makkerpar, hvor de i opgaverne bruger begreberne rest og restklasse og tilhørende notationsform A Ved division med 6 kan man (hvis divisionen ikke går op) få de principale rester,,, og 5 B Alle ulige tal giver resten ved division med OPGAVE 8 A De giver alle resten ved division med OPGAVE 9 A Restklassen (0) B Alle tallene tilhører restklassen (5) 7 C og 9 tilhører restklasen (5) 7 D Tallene 5,, og tilhører (5) 9 Når vi kun regner med principale rester (rester, som er mindre end divisor), vil resten 5 ved division med bevirke, at går op en ekstra gang i dividenden, og derved giver den principale rest I denne sammenhæng giver (5) derfor ingen mening I videregående matematik er (5) derimod veldefineret det er den samme restklasse som () Med andre ord: De tal, der kan give resten 5 ved division med, er nøjagtigt de samme tal som de tal, der giver den principale rest ved division med RESTER OG REGNEARK A Elevens eget regneark B Hvis der havde været rest eller højere, så ville det betyde, at ville gå mindst én gang mere op i tallet, og dermed ville det være rest 0 eller C Elevundersøgelse Mulige principale rester ved division med: : 0 og : 0, og : 0,, og 5: 0,,, og 6: 0,,,, og 5 7: 0,,,,, 5 og 6 D Det er kun muligt at får resterne -7 ved division med 8, da rester lig med eller større end 8 betyder, at 8 vil gå mindst en gang mere op i tallet, og resten vil være 0-7 E Mulige principale rester ved division med n: 0,,,,, n F Elevkontrol af regel Eleverne kan diskutere deres resultater parvis eller i mindre grupper, og de kan ligeledes tale om, hvordan (eller om) de har brugt regneark i arbejdet med undersøgelsen Der vil sikkert være nogle elever, der ikke har brug for et regneark til at løse de enkelte opgaver, men det kan alligevel være relevant at udarbejde, da det udvider deres kendskab til forskellige funktioner i regnearket og dermed styrker deres hjælpemiddelkompetence DE REELLE TAL R I teoriboksen præsenteres og beskrives mængden af reelle tal R, der kan beskrives som alle rationale tal og alle irrationale tal Et irrationalt tal er et tal, der ikke er rationalt Dvs et tal, der ikke kan skrives som en brøk eller et helt tal Et irrationalt tal kan altså ikke omskrives til hverken et endeligt decimaltal eller et periodisk decimaltal Eleverne kender allerede det irrationale tal π, og i teoriboksen er, 5, og 7 andre eksempler på irrationale tal 0 A Tallene og 5 er rationale, fordi og 5 er kvadrattal B Elevens egen lommeregnerundersøgelse Der kan være elever, der oplever, at deres lommeregner bibeholder kvadratroden som resultat, fx 6 = 6, og ikke skriver resultatet med et decimaltal Det kan ændres På nogle lommeregnere gøres det ved at trykke mode og vælge classic i stedet for mathprint Men lad eleverne undersøge, hvordan de ændrer det på deres lommeregner, så de er bekendt med funktionen A π-tilnærmelsen, giver A = 9,665 π-tilnærmelsen 7 giver A = 9,6500 π-tilnærmelsen ( + ) giver A = 9,570 8 B π-tasten på lommeregneren giver A = 9,675 C π-tasten giver det mest præcise tal 0 07 A Den anvendte π-værdi er 756,580 B Jordens omkreds er selvfølgelig den samme, uanset hvilken π-tilnærmelse, man anvender, men beregningsresultaterne varierer Ved brug af babyloniernes tilnærmelsesværdi fås omkredsen til 9 86,5 km C Lommeregnerens π-tast giver O = 0 07,5589 km, dvs forskellen er,65589 km 8 9

9 TAL I MÆNGDER SIDE 8-9 () 8 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 9 TEMA TEMA: ARKITEKT I CENTICUBE CITY Tema for to personer Materialer: Centicubes Centicube City er et område, hvor kommunen har besluttet at opføre nogle ungdomsboliger På grund af beliggenheden er det blevet besluttet at konstruere boligerne med en kube som grundform En kube udgør en lejlighed for en person, to kuber for to personer osv Husnumrene på boligerne følger antallet af kuber Huset med nr er boligen med én kube, nr er huset med to kuber osv Arkitekterne laver en model af Centicube City med centicubes, så én centicube er huset med nr A Hvor mange centicubes skal der bruges for at lave en model af de 5 første huse i Centicube City? B Husene i Centicube City konstrueres efter tre faste regler: Husnummeret skal være det samme som antallet af centicubes Husene i Centicube City må kun have gulv, loft og fire ydervægge, som alle skal være rektangulære Den største af husenes højde, bredde og længde, skal være så kort som mulig DEL A Lav en model i centicubes over de 5 første huse i Centicube City I skal bruge de faste regler for konstruktion af huse i Centicube City DEL A Undersøg de første 5 huse i Centicube City og inddel husene i undergrupper efter forskellige karakteristika Gør rede for de forskellige grupperinger af huse, og beskriv de træk, der er karakteristisk for hver gruppering B Hvordan kan I forudsige, hvilke huse større end nr 5 der vil dele disse fælles træk? C Arkitekten har arrangeret nogle af de 5 huse efter to-tabellen Alle huse er lige høje Vis, hvordan husene er arrangeret D Undersøg, hvilke andre tabeller nogle af de femten huse kan arrangeres efter E Undersøg, om de fundne tabeller har noget til fælles DEL Nogle af husnumrene i Centicubes City består af sammensatte tal og andre af primtal A Hvad karakteriserer bygningerne, som har et sammensat tal som husnummer? DEL 5 I stedet for at give bygningerne numre, har man fundet på følgende symboler, der repræsentere numrene: A Hvordan kan symbolerne fordeles til husene, så der er et system i numrene? B Hvis Centicubes City skal udvides med en bygning nr 6, så vil husnummeret være som symbolet til højre Lav symbolerne til husene 7 og 8, så det er det samme system som for husene -6 EVALUERING På denne side skal I enten bruge arket Begreber og fagord Tal i mængder (E) eller jeres egen begrebs bog I kan bruge relevante digitale værktøjer A Lav elleve kort Skriv ét af følgende fagord eller begreber på hvert kort: Mængden af natulige tal N, mængden af hele tal Z, mængden af rationale tal Q, mængden af reelle tal R, differencerækker, sammensatte tal, primfaktoropløs ning, eksponentiel notation, endelige og periodiske decimaltal, eksponent og rod ROD PRIMFAKTOROPLØSNING ENDELIGT DECIMALTAL SAMMENSATTE TAL EKSPONENTIEL NOTATION B Læg kortene på bordet, så I kan se dem C Vælg på skift et kort, som I kan forklare Forklar begrebet for de andre i gruppen Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået Det kan være en god ide, at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen Det kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begrebet OPGAVE For hvert af de ti ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel eller en tegning B skrive din egen forståelse af begrebet Undersøg og forklar for hinanden, om nedenstående påstande om primtal er sande eller falske Undersøg påstandene ved hjælp af fem forskellige taleksempler A Alle lige tal større end kan skrives som summen af to primtal Fx: Tallet er summen af og B Alle ulige tal større end kan skrives som summen af to primtal C Alle ulige tal større end 5 kan skrives som summen af tre primtal A Vis og forklar for hinanden, hvilke regler der gælder ved regning med negative tal I kan fx bruge disse stykker: 5 + ( ) + ( 6) 5 ( 8) 8 ( 6) ( ) ( 7) 5 : ( 0) ( ) : ( 9) A Regn opgaverne i opgave Hvilken talmængde hører resultaterne til i? Fire elever har skrevet tallet med eksponentiel notation Axel 95 0 Mie 9,5 0 5 Jens Anna 9,5 0 A Hvem har skrevet tallet korrekt? B Beskriv, hvilke fejl de andre kan have gjort Beskriv med ord, hvordan talfølgen udvikler sig A 7 7 B C 7,5 5,5 D 9 6 På dette opslag skal eleverne på den første side arbejde med temaet Arkitekt i Centicube City, og på den anden side skal de arbejde med evaluering af kapitlet MATERIALER Centicubes PRINTARK E Begreber og fagord Tal i mængder TEMA ARKITEKT I CENTICUBE CITY A Der skal bruges 0 centicubes DEL A Elevernes modeller over de første 5 huse Dimensionerne er angivet herunder ud fra dette system: l x b x h Fx hus nummer 6 med dimensionerne x x : Husnummer 6 Husnummer Dimensioner x x x x x x x x 5 x x 5 6 x x 7 x x 7 8 x x 9 x x 0 x x 5 x x x x x x x x 7 5 x x 5 DEL A Elevernes inddeling af husene i undergrupper Mange inddelinger er formentlig mulige, men den, der i en vis forstand ligger lige for, er inddelingen i huse hvis dimension er x x n, hvor n er husets nummer (dvs primtallene samt hus nr ) i den ene gruppe og resten (de sammensatte tal) i den anden gruppe De første er så karakteriseret ved at have (mindst) to ettaller i dimensionen, de andre ved at have højst ét ettal i dimensionen Resten af opgaven er her besvaret ud fra denne inddeling B Huse med primtalsnummer p har dimensionen x x p Huse med sammensatte tal som nummer har mindst to dimensioner større end C Der er tale om husene med lige numre Da alle husene er lige høje, og da den eneste sikre fælles divisor i husnummeret er, så må husene være høje Husene er arrangeret som hus nummer,, 6, 8, 0, og i punkt A med som højden af huset D Andre tabeller kan også bruges Huse arrangeret efter tre-tabellen vil have som husets højde E Elevundersøgelse DEL A Bygninger med et sammensat tal som husnummer har højst én dimension (længde, bredde, højde) der har målet DEL 5 A Nu er eleverne sporet ind på primtal og sammensatte tal, så man kan undersøge, om ikke symbolerne kan repræsentere tallenes primfaktoropløsning Det ville passe godt med symbolet for nr 6 med fire cirkelskiver, hvis cirkelskiven står for, idet 6 = = Tallene fra til 5 indeholder seks primtal samt ettallet Der skal derfor være syv symboler, der optræder alene Det er der også: Hjerte, kvadrat, cirkelskive, dråbe, cirkelperiferi, stjerne og trekant Da hjertet, dråben og cirkelperiferien kun optræder én gang, må disse symbolisere eller primtal, der kun optræder ét sted i primtalsopløsningen af tallene fra til 5 (nemlig og ) Der er i denne sammenhæng frit valg, så her er valgt cirkelperiferien som, hjertet som og dråben som Ved at se på primfaktoropløsningen af tallene, 6, 8, 9, 0 og og sammenligne med symbolerne får man følgende fordeling af symboler på husene: Husnummer = 5 6 = 7 8 = Symbol Husnummer 9 = 0 = 5 = = 7 5 = 5 Symbol B Da 7 er et primtal, skal der opfindes et nyt symbol for 7 Her er frit valg på alle hylder, blot man holder sig fra de allerede brugte symboler Da primfaktoropløsningen af 8 er, skal skiltet på hus nr 8 bestå af en cirkelskive og to trekanter Der er mange delundersøgelser og opgaver i temaet, og det kan være en god idé at samle fælles op i klassen undervejs, fx efter del og I flere af opgaverne er det nødvendigt, at eleverne har forstået og besvaret de tidligere opgaver korrekt Alternativt kan der dannes mindre grupper med - makkerpar, som løbende taler sammen om deres besvarelser 0

10 TAL I MÆNGDER SIDE 8-9 () EVALUERING Eleverne skal på denne side evaluere de mål, fagord og begreber, de har arbejdet med gennem kapitlet A-E Elevaktivitet Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om DEL A-B Elevaktivitet Eleverne viser eksempler på og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om DEL Eleverne skal (ved hjælp af fem taleksempler) undersøge om nogle påstande er sande eller falske Dette skal forstås således: Hvis en påstand er sand, er fem tilfælde, hvor den passer, selvfølgelig ikke et bevis Man kan altså ikke vide, om påstanden er sand, selv om den passer på fem eksempler men man har på den anden side heller ikke vist, at den ikke er sand Hvis en påstand er falsk, er et enkelt modeksempel nok Finder man et sådant, er det unødvendigt at prøve med flere taleksempler også selv om man endnu ikke har prøvet fem A De fem taleksempler kunne være: = +, 6 = +, 8 = + 5, 0 = og = Det garanterer dog ikke påstandens sandhed Påstanden kaldes Goldbachs formodning (efter Christian Goldbach; preussisk matematiker; ) De fleste (formentlig alle) tror, den er sand, men den er stadig ikke bevist (men gælder for alle lige tal mindre end 0 efterprøvet pr computer) Der venter den, der beviser (eller modbeviser) påstanden evig berømmelse i matematikerkredse B Eksempler (vi prøver fra en ende af): 5 = + 7 = = + 7? UPS! Der knækker filmen! kan ikke skrives som sum af to primtal, så påstanden er falsk C Eksempler (igen fra en ende af): 7 = + + = = = = + + Men heller ikke her garanterer de fem eksempler, at påstanden er sand Påstanden kaldes Goldbachs svage formodning, og er heller ikke bevist Det forlyder, at man er tæt på et bevis Bemærk i øvrigt, at da ethvert ulige tal større end kan skrives som + et lige tal, vil Goldbachs svage formodning (C) være sand, hvis Goldbachs formodning (A) er det DEL A-D Elevernes egne forklaringer DEL 5 A Hvad er den mindste talmængde, som resultaterne tilhører (de er jo alle reelle tal) 9 (Z) 9 (Z) 56 (Z) 7 (Z) 8 (Z) 77 (N) (Q) (Q) DEL 6 A Mie har som den eneste skrevet tallet korrekt i eksponentiel notation B Axel: Tallet før tier-potensen skal ligge mellem og 0 Jens: Tallet før tier-potensen ligger ikke mellem og 0, og tier-eksponenten er forkert Anna: Tier-eksponenten er forkert DEL 7 A Næste led fås ved at addere 5 B Næste led fås ved at addere C Næste led fås ved at addere,5 D Dette er rækken af kvadrattal Tal nr n er altså n Man kan også sige, at tal nr n kommer af tal nr n ved at addere n NOTER

11 TAL I MÆNGDER SIDE 0-0 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER TRÆN FÆRDIGHEDER TRÆN FÆRDIGHEDER OPGAVE 9 OPGAVE 8 A Hvilke tal er ikke hele tal? Løs ligningerne: Mellem og 59, er der 5 naturlige tal , A x + 7 = A Hvilke af tallene er primtal? A Hvad er det næste tal i talfølgen? B x = B Hvilket af tallene er kvadrattal? B Hvad er det tiende tal i talfølgen? OPGAVE C x = 8 C Hvilke af tallene har enten eller 5 i primfaktoropløsningen? OPGAVE 9 D,5 x + = E Hvilke af talmængderne N, Z, Q og R tilhører A Skriv, i hvilke af talmængderne N, Z, Q og R hver af dine løsninger i A-D? OPGAVE tallene hører hjemme A Hvad er det næste tal i talfølgen? A Afgør om er et primtal B Hvilke tre tal tilhører alle fire talmængder? B Hvad er det tiende tal i talfølgen? 0 B Hvad er primfaktoropløsningen af? C Hvilke to tal tilhører kun en af ovenstående Hvilke talmængder hører løsningen af ligningerne talmængder? 0 til i? I en vitaminpille er der 00 μg (mikrogram) A-vitamin, A,5 x = På en seddel står der et femcifret tal Tredje ciffer 0 mg(milligram) E-vitamin og 0,00000 g selen B,5 x = kan imidlertid ikke læses På sedlen står: 6 A Hvilke af tallene fra -5 er primtal? A Hvor mange gram A- og E-vitamin er der i alt C x = B Hvilke af tallene fra -5 er kvadrattal? A Hvordan kan du afgøre om eller 5 går op i tallet? i pillen? D,5 x = C Hvilke af tallene fra -5 har i deres primfaktoropløsning? når går op i tallet B Skriv tre forskellige tal, som kan stå på sedlen, B Angiv vægten af selen med eksponentiel E x = notation C Lav en beregning, der viser, at går op i dine C Omskriv vægten af selen i pillen til mikrogram forskellige tal A Hvilke af følgende tal tilhører samme restklasse A Sæt tallene i rækkefølge (mindste tal først) ved division med 7? 9,5 5 8 Et atom er opbygget af protoner, neutroner og Udregn: elektroner, i skemaet kan du se deres vægt A ( 55) B ( ) ( ) Hvilke divisorer er der i Partikel Masse m [kg] 5 C ( A tallet 8? 5 ) D ( B tallet? ) ( 5) Proton, E ( C tallet? ) ( 5) Neutron, F ( 5 ) ( 7) Elektron 9,09 0 Angiv svarene på følgende opgaver, med Udregn: 56 A Sæt tallene i rækkefølge efter størrelse A 6 ( ) 9 eksponentiel notation (mindste tal først) B ( 6) ( ) 0 A Hvor mange elektroner skal der cirka til, før de C ( 6) ( ) 0 7 0, 5 0,0 0, har samme masse som en proton? D ( ) ( 6) B Hvad er vægtforskellen på en proton og en neutron? A Hvilke divisorer har tallene 8 og 8 til fælles? C Hvor mange elektroner svarer vægtforskellen A Omskriv til eksponentiel notation: A Hvilke divisorer har tallene 9 og 8 til fælles? B Hvilke primfaktorer har tallene 6 og 7 til mellem en neutron og en proton cirka til? B Hvilke primfaktorer har tallene 90 og 8 til fælles? ,00007 fælles? ,00 OPGAVE 8 A Hvilke af nedenstående tal har den reducerede Løs følgende ligninger: tværsum 8? A x + 7 = A Hvad er det næste tal i talfølgen? B x = B Hvad er det tiende tal i talfølgen? C x = 9 D,5 x + 0, = VITAMINER På dette opslag skal eleverne arbejde med færdighedsopgaver på to niveauer Opgaverne handler om kapitlets emne TRÆN FÆRDIGHEDER A Tallene,,5 og 8 er ikke hele tal 8 OPGAVE I første oplag af MULTI 7 er punkt B: Hvilke tre tal tilhører alle fire talmængder? Der er imidlertid kun to tal, der tilhører alle fire talmængder A N:, og 8 Z:, 6 og 0 Q: R: 5 og 5 B og 8 C 5 og 5 A Primtal fra til 5:,, 5, 7, og B Kvadrattal fra til 5:, og 9 C Tallene,, 6, 8, 0, og har i deres primfaktoropløsning A Rækkefølgen er:,5 (,75), (8), 9, 5 8 () A Divisorerne i 8 er:,,, 6, 9 og 8 B Divisorerne i er:,,,, 6, 8, og C Divisorerne i er:,,,, 6, 8, 9,, 6, 8,, 6, 8, 7 og D x = 0,8 E Den mindste talmængde, resultaterne tilhører er: N: C Z: A Q: B og D Alle resultaterne tilhører Q og R 0 De mindste talmængder, løsningerne tilhører, er: A N (x = ) B Q (x = ) C N (x = ) D Z (x = ) E R (x = ± ) A Tallene, 7 og 0 tilhører restklassen () 7 Tallene 5, 8 og 9 tilhører restklassen () 7 Tallene, 5 og 56 tilhører restklassen (6) 7 A,7 0, , 0 5, 0 0, 0, 0 A Næste tal er 6 Tal nr 0 er 8 Systemet er, at der skiftevis lægges 7 til og trækkes fra A 660 B 99 C 6 D E 6 (6,5) F 5 (,8) A 0, ; 0 ; 0,0 ; 7 ; 0, ; 5 A De fælles divisorer for 8 og 8 er, og B De fælles primfaktorer for 6 og 7 er og 9 A x = 8 (,85 ) B x = 8 C x = (,75) D x = 8 5 ( 0,) OPGAVE 8 A Næste tal er 6 B Tal nr 0 er 65 Rækken er en slags Fibonacci-tal, der starter med to tretaller, og hvor hvert tal derefter er summen af de to foregående OPGAVE 9 A Næste tal er 5 B Tal nr 0 er 000 A B C D A Tallene 9 og 8 har divisorerne og 7 til fælles B Tallene 90 og 8 har primfaktorerne og til fælles OPGAVE 8 A Disse tal har den reducerede tværsum 8: 60, 989, og 60 OPGAVE 9 A x = 0 B x = 0,5 C x = TRÆN FÆRDIGHEDER A Primtallene mellem og 59 er 7 og 5 B Kvadrattallet mellem og 59 er 9 (7 ) C Tallene 5, 8, 50, 5, 5, 55 og 57 har enten eller 5 (eller begge) i deres primfaktoropløsning OPGAVE A Nej, er ikke et primtal B = 7 A Hverken eller 5 går op, da hverken eller 5 går op i sidste ciffer B Der kan stå et af cifrene 0,, 6 eller 9 C Find tallets tværsum, og se, om går op i tværsummen Rækken består af kubiktallene,,, 0 A 0,00 g B,0 0 5 g C 0 µg A Ca,8 0 elektroner B,5 0 0 g C Ca 0 0 elektroner 5

12 r TAL I MÆNGDER SIDE - TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER TRÆN PROBLEMLØSNING TRÆN PROBLEMLØSNING Tallet er lige Om et tal gælder det, at Anton foreslår følgende lommepengeordning til sin Tallet har to ens cifre Tallet er større end 5 Tallet indeholder et sekstal Tallet er mindre end 77 A Hvilket tal er det? B Hvilke oplysninger er tilstrækkelige for at finde frem til tallet? OPGAVE, 89, 87, 7 A Hvilke af ovenstående tal er primtal? B Forklar, hvorfor er et sammensat tal Temperaturen på Solens overflade er 5,5 0 C, og temperaturen i Solens kerne er, C A Hvor stor er temperaturforskellen mellem Solens kerne og Solens overflade? Solens radius er 6, km A Beregn Solens diameter og angiv den både med og uden eksponentiel notation I december måned vil Oscar overtale sine forældre til at give ham en julekalender med slikkepinde december skal han have en slikkepind, december to slikkepinde, december tre slikkepinde osv A Lav en illustration, der viser en måde at beregne antallet af slikkepinde Oscar får inden jul B Forklar, hvorfor du kan benytte formlen: S = n (n +) C Hvor mange slikkepinde vil han få, hvis det var hver dag i hele december måned, at han fik slikkepinde? Benyt et regneark til at beregne potenser af tal med forskelligt antal cifre A Tast nogle at tallene på lommeregneren Sammenlign lommeregnerens med regnearkets måde at angive tallene på Ved hvilken eksponent bliver resultaterne angivet med eksponentiel notation? B På regnearket noteres beregningen af 6 med eksponentiel notation Hvilken potens skal det trecifrede tal 987 løftes op i, før regnearket angiver resultatet med eksponentiel notation? C Benyt et regneark til at beregne, hvilken potens et vilkårligt fircifret tal, femcifret tal osv skal løftes op i, før det bliver en E-notation tallet har den reducerede tværsum 7 tallet har tre cifre tallet er et kvadrattal A Hvilke tal kan det være? B Tilføj en oplysning, således at det kun kan være ét tal OPGAVE Om et tal gælder det, at tallet har tværsummen tallet kun har to faktorer i primfaktoropløsningen tallet er et kvadrattal tallet er mindre en 00 A Hvilke tal kan det være? B Hvis man fjernede egenskaben At tallet kun har to tal i primtalsfaktoropløsningen, hvilket tal kunne det så også være? C Lav selv to opgaver, der starter med sætningen: Om et tal gælder det, at, skriv tre til fem oplysninger om tallet Byt opgaver med din makker er eksempler på summer af tre naturlige tal, der kommer i rækkefølge De kan alle skrives på formen a + (a + ) + (a + ), som kan reduceres til a + A Forklar, hvorfor summen af tre naturlige tal der kommer i rækkefølge kan skrives med formlen: S = a + (a + ) + (a + ) B Hvad skal gælde for a i din formel, hvis første primtal skal være divisor i tallet S? C Hvad skal gælde for a i din formel, hvis andet primtal skal være divisor i tallet? D Hvad skal gælde for a i din formel, hvis tredje primtal skal være divisor i tallet? E Kan man finde et a i din formel, således at både første- andet- og tredje primtal er divisor i tallet? far: Første dag han hjælper til, får han kr, anden B Når 987 opløftes til fjerde potens angives resultatet med eksponentiel notation Bemærk, at i teksten A Elevernes egne forklaringer dag får han kr, tredje dag får kr osv Jo flere gange han hjælper til, jo større betaling pr gang A Hvor meget kan Anton maksimalt tjene de første syv dage, han hjælper til? B Hvor meget kan Anton maksimalt tjene i januar måned? C Hvad kan Anton tjene på et år, når der er 6 dage, hvor han ikke hjælper? Brug Gauss metode til beregningen D Hvilket fast pengebeløb skulle Anton have om dagen, hvis det skulle matche hans indtjening som i C? Fakta om Solen: Afstand til Jorden:,9 0 8 km Radius: 6, km Gennemsnitlig massefylde: 0 kg/m Lysets hastighed angives til km/sek A Hvor lang tid tager det lyset at komme fra Solen til Jorden? B Beregn Solens omkreds og angiv omkredsen både i almindelig skrivemåde og med eksponentiel notation Rumfanget af en kugle kan beregnes: C Beregn rumfanget af Solen D Beregn vægten af Solen og angiv resultatet med eksponentiel notation TRÆN PROBLEMLØSNING A Tallet er 66 B Det vil være tilstrækkeligt at vide, at tallet har to ens cifre tallet indeholder et sekstal tallet er større end 5 tallet er mindre end 77 hævdes det implicit, at 5 ikke skrives med eksponentiel notation I det afbildede regneark skrives 5 dog med eksponentiel notation Det skyldes imidlertid, at kolonne B ikke er bred nok til at indeholde 5 med alle cifre i sædvanlig notation ( 5 = ) C Svarene følger af dette regneark, hvor det mindste og det største fircifrede tal er opløftet til potenser osv I punkt B-E forventes eleven ikke at gøre overvejelser som beskrevet herunder En rimelig arbejdsmetode vil være at efterprøve udsagnene med en masse a-værdier og efterhånden komme til en overbevisning om kravet til a B Tallet a skal være ulige Derved bliver S en sum af to ulige og et lige tal altså lige, dvs (første primtal) går op Hvis a er lige, får vi en sum af to lige og et ulige tal, dvs summen bliver ulige, og går derfor ikke op Oplysningen tallet er større end 5 vil også være C Andet primtal går altid op i S overflødig, hvis vi implicit går ud fra, at der er tale om et Andet primtal er Vi kan omskrive tallet S således: positivt tal S = a + (a + ) + (a + ) = a + a + + a + = a + = (a + ) På dette opslag skal eleverne arbejde med problemløsningsopgaver på to niveauer Opgaverne handler om kapitlets emne OPGAVE A Tallene, 89 og 7 er alle primtal B = Så har andre divisorer end og, og er derfor et sammensat tal A C A Solens diameter d skrevet med eksponentiel notation: d =,9 0 6 km Solens diameter d skrevet uden eksponentiel notation: d = km TRÆN PROBLEMLØSNING A De trecifrede kvadrattal, der har den reducerede tværsum 7, er 69, 96,, 8, 59 og 96 B For eksempel: Tallet er mindre end 80 (eller større end 600, eller ligger mellem 00 og 00, eller ) OPGAVE A Da tallet har tværsummen (bemærk: Ikke den re- Heraf ses, at går op i S uanset værdien af a D Sidste ciffer i tallet a skal være eller 9 Tredje primtal er 5 Det går op i et tal, hvis tallet ender på 0 eller 5 Hvis a + skal ende på 0 eller 5, skal a ende på 7 eller Der er uendelig mange muligheder: a ender på 7, hvis: a = 9, 9, 9, 9, a ender på, hvis: a =,,,, E Ja, hvis sidste ciffer i a er 9, ender a + på 0, og både og 5 går op Tallet går altid op uanset a-værdien A Elevens egen illustration B Fordi formlen giver summen af de første n naturlige tal Hvis n sættes lig med, giver det antallet af slikkepinde, som Oscar får inden jul C I alt 96 slikkepinde ducerede tværsum ) og er mindre end 00, kan der kun være tale om tallene,,,, 0,, 0 og 0 De eneste kvadrattal blandt disse tal er ( ) og ( ) B At fjerne oplysningen om antallet af faktorer i A 8 kr B 96 kr Der er dage i januar I punkt C og D går vi ud fra, at det år, der er tale om, har 65 dage, og altså ikke er et skudår primfaktoropløsningen giver ikke ekstra kandidater C 5 75 kr Oplysningen er overflødig, da de eneste kandidater D Hvis om dagen betyder pr dag i året får man A Den eksponent, der giver anledning til eksponentiel er kvadrater på primtal, og sådanne kvadrater vil selvfølgelig et andet resultat, end hvis om dagen notation, afhænger af rodens størrelse Sædvanligvis altid have netop to primfaktorer betyder pr arbejdsdag Her er resultatet for begge vil det dog være lommeregneren, der først går over C Elevernes egne opgaver tolkninger: til eksponentiel notation Pr dag i året: 5 kr og 5 øre Pr arbejdsdag: 5 kr og 50 øre A 8, minutter (8 minutter og 9 sekunder) B Solens omkreds er O =, km C Solens rumfang er V =, 0 8 km D Solens masse er m =, kg 6 7