Grundlæggende Matematik

Transkript

1 Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler. Matematiske symboler er grundlaget for matematik og vi bliver nødt til at kende nogle af dem som er vist i tabellen nedenunder. 1

2 Symbol Betydning {} Mængden af Mindre end eller lig med Forskellig fra Cirka lig med Implikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand Biimplikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand og omvendt. Der findes eller der eksisterer For alle Og Eller Tilhører Foreningsmængde. A B betyder mængden af alle elementer, som er i mængden A eller som er i mængden B. Fællesmængden. A B betyder alle de elemnter, som er i begge mængder \ Differensmængde En ægte delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elemnter i mængden B, men at de to mængder ikke en ens En delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elementer i mængden B. Uendelig Vinkel Tom mængde / Tilhører ikke = Lig med 2

3 2. Tal Tal begrebet har en lang historie som du kan finde en hel masse ud på nettet. De naturlige tal som vi i dag kalder er tælletallene, dvs alle de positive heltal som betegnes med bogstavet N som en mængde. En mængde er en velafgrænset samling af ting, genstand eller objekt som har fælles egenskaber. Vi kan f. eks. lave en mængde af alle biler i danmark, eller en bestem mærke af biler eller en bestem årgang af biler. På samme måde kan vi også gruppere tallene som har fælles egenskaber som vi kalder en talmængde som består af tal. 1.1 De naturlige tal Mængden af de naturlige tal (N=Natural numbers) N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... } Ved hjælp af disse tal kan man udføre regneoperationerne addition og multiplikation. Lad os addere 6 og 3, det giver jo 9 som er i mængden. Eller kan vi multiplicere to tal 12 med 6 giver 72 som også med i mængden. Vi forsøger at udføre regneoperationen subtraktion. Lad os f. eks udføre 3-6 som giver -3. Men -3 er IKKE i mængden. Derfor udvides denne mængde med en anden som hedder de hele tal som betegnes Z og som også indeholder de negative tal. 1.2 De hele tal Mængden af de hele tal (Z=Zahlen) 3

4 Her kan man lægge to tal sammen, trække fra hinanden og gange to tal og havner i den samme mængde. Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,...} Alle de naturlige tal er altså også med i mængden af hele tal, dvs. de naturlige tal N er en delmængde af de hele tal Z. Det kan matematisk skrives som N Z. Kan man udføre regneoperationen division i denne mængde og forvente at resultat også bliver i denne mængde? Lad os prøve at dividere 10 med 2 som giver 5. Hvad med 5 divideres med 10? Tallet 0,5 er i hver fald ikke i denne mængde! Derfor udvides mængden igen med mængden af rationale tal. 1.3 De rationale tal Mængden af de rationale tal (Q=Quotient) Q = { p p Z q Z q 0} q p kaldes tælleren og q er nævneren og vi må kræve q 0. (hvorfor?) De rationale tal er alle tal, der kan skrives som en brøk. Her kan man addere, subtrahere, gange og dividere, dvs. alle de fire regneoperationer kan udføres. Kan man skrive alle tal som en brøk? 1 6, 6 1, 2 7, 11 7, er alle brøker og tallet 4 kan også skrives som en brøk, 4 1 Eller tallet 23 kan skrives som en brøk 23 1 Tallet 0 kan skrives som en brøk 0 1, og tallet 1 kan skrives som en brøk 1 1. Lad os se på nogle eksempler på de rationale tal eller brøker = 0,2 4

5 2 3 = 0, = 0, Hvis vi kun kendte tallet 0, som fortsætter ud i det uendelige, så kunne vi beregne brøken på følgende måde b = 0, b = , Trækkes disse to fra hinanden b = b = = = 6 7 Kan du nu bruge denne metode til at finde brøken af tallet π eller tallet 2? Man kan desværre ikke finde en brøk af tallet π eller 2 da disse IKKE er rational - brøk, tal. Vi bliver nødt til at udvide vores talmængde igen med de reelle tals mængde som også indeholder de ikke ratinonale tal som hedder de irrationale tal. Med de rationale tal i hånden kan man udføre alle fire regneoperationer. dvs. addition, subtraktion,multiplikation og division. 1.4 De reelle tal Mængden af de reelle tal (R = Real numbers) R = Q Mængden af irrationale tal Bemærk nu at 5

6 N Z Q R Mængden af reelle tal R vil her på adgangskursus være den overordnede mængde dvs. mængden bestående af alle tal. Der er faktisk endnu enu en udvidelse af talmængden; de komplekse tal. Vi forsøger e.eks. at løse ligningen som er en andengradsligning x = 0 Vi prøver GeoGebra s solve og csolve kommandoerne. Da vi endu ikke har lært noget om andengradsligninger prøver vi os frem på følgende måde: Solve[x 2 + 1] som giver {} Csolve[x 2 + 1] som giver {x = i,x = i} Som I kan gætte vil kommandoen Csolve ( complex solve) returnere nogle mystiske tegn i som I vil lære noget om først på første semester. Altså ifølge kommandoen Solve findes der ingen reelle løsninger til ligningen. Der må være endu en talmængde som indeholder alle de ovennævnte talmænger. 1.5 De komplekse tal Mængden af alle tal (C = Complex number) C = {a + i b a,b R i = 1} Altså har vi nu følgende N Z Q R C 6

7 Eksempler på mængder Mængden af positive hele tal kan skrives som Z + = {x Z x > 0} Tallet nul er hverken positivt eller negativt og ligger derfor ikke i nogen af mængderne R +,R,Q +,Q,Z +, og Z. Mængden af positive rationale tal Q + = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle hele tal større end 3 A = {x Z x > 3} Mængden af alle positive brøker A = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle tal mindre end 4 A = {x R x < 4} Mængden af alle tal mellem -2 og 4 (-2 er med og 4 er ikke med i mængden) A = {x R 2 x < 4} Mængden af alle tal mellem -8 og -3 (begge er med) A = {x R 8 x 3} 7

8 3. Intervaller Ved et interval forstås en sammenhængende talmængde indenfor de reelle tal. Et eksempel er f.eks. mængden af alle reelle tal mellem 3 og 4 hvor begge tal er inkluderet. {x R 3 x 4} = [3;4] her er der flere eksempler på intervaller. ] 7;8] = {x R 7 < x 8} [0; [= {x R x 0} ] ;12[= {x R x < 12} Som ses af ovenstående, bruges kantede paranteser til at beskrive intervaller. Bemærk at notationen (3, 4) indikerer et punkt i koordinatsystemet. Intervaller kan også vises vha. talakser. Mængden A = {x R 3 < x 6} =] 3;6] kan f.eks. vises på en talakse på følgende måde; 8

9 Den fyldte cirkel indikerer, at tallet 6 A er med i mængden, mens den tomme cirkel indikerer, at tallet 3 ikke er med i mængden, 3 / A. Mængden B = {x R x < 4} =] ;4[ kan skitseres på følgende måde; Når der ikke er nogen cirkel-markering (tom eller udfyldt) til venstre eller højre, betyder det at mængden fortsætter mod uendelig. Øvelse 3.1 Vis følgende mængder som et interval på en talakse ligesom i ovenstående eksempler. 1. A = {x R x 11} 2. B = {x R x > 5} 3. C = {x R 3 x 6} 4. D = {x R 3 < x < 6} 9

10 Øvelse 3.2 Brug definitionen af begrebet grundmængde på side 17 i Bog 1 for at finde grundmængden og løsningsmøngden af følgende ligninger Eksempel: Ligningen 2x + 1 = 11 har grundmængden alle reelle tal dvs. G = R Løsningsmængden bliver 5 fordi ligningen bliver sand når man indsætter tallet 5i x-ens plads. Dvs. L = {5} a) 21 3 y = 15 b) 4 r 2 = 18 c) y = 18 d) 7 s 4 = 25 e) y = 34 f) 5 t + 7 = 42 g) 8 2y = 0 4. Regneregler Man har axiomer (axiomes) som er evig gyldige sætninger i matematik. Et udsagn er en sætning med en veldefineret sandhedsværdi. Aksiomerne er logikkens grundregler som matematikken bygger på. Aksiomerne kan eller skal ikke bevises. De er altid sande. Der er nogle definitioner (definitions) som heller ikke skal bevises. Men sætninger med sandhedsværdi (statements) skal altid bevises inden de bruges. Korollar (corollary) eller Lemma er et tidligere bevis som bruges til at bevise an anden sætning. Forskellen er illustreret nedenunder. I reelle-tals aritmetik bruges følgende regneregler som kaldes axiomer 10

11 a + b = b + a a b = b a a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a (b + c) = a b c a b c = a (b c) = (a b) c a(b + c) = ab + ac 0 + a = a a + 0 = a 1 a = a a 1 = a Og følgende kaldes definitioner. a + ( a) = 0 a + a = 0 a 1 a = 1 1 a a = 1 Hvis a = b b = c a = c Hvis a < b b < c a < c Hvis a > b b > c a < c Lad os se hvordan man beviser en sætning vha. axiomer og definitioner Sætning 1: Hvis a + c = b + c a = b 11

12 Bevis: a + c = b + c c er et reelt tal som kan lægges til på begge sider af lighedstegnet (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) Vi bruger en af ovenstående axiomer a + [c + ( c)] = b + [c + ( c)] a + 0 = b + 0 a = b Korollar: En sætning som følger direkte fra en anden sætning kaldes korollar eller corollary på engelsk. Hvis c + a = c + b a = b Sætning 2: Hvis a c = b c c 0 a = b Bevis: a c = b c [a c] ( 1 c ) = [b c] (1 c ) 12

13 a [c ( 1 c )] = b [c (1 c )] a 1 = b 1 a = b Korollar: Hvis c a = c b c 0 a = b Lemma: Hvis d + d = d d = 0 Bevis: d + d = d d = 0 + d d + d = 0 + d d = 0 Sætning 3: a 0 =0 0 a = 0 Bevis: = 0 a (0 + 0) = a 0 13

14 a 0 + a 0 = a 0 a 0 = = 0 Nok om beviser! Nu skal vi bruge alle de sætninger og definitioner til at regne opgaver. Øvelse 4.1 Beregn/reducér følgende og kontrollerer vha. CAS (GeoGebra) 1. ( 6) ( 7) ( 2) ( 5) facit: ( 3) ( 2) ( 6) facit: (2xy) ( 6z) ( 2) facit: 72xyz 4. (0,7x) (1,3y) ( 3z) facit:-2,73xyz ( 3) (+6) (+2) ( 5) + ( 7) ( 4) facit: (7p + 3q 9s) ( 5z) facit: z(-35p-15q+45s) 7. (a + 3) (b 3) facit: a(b-3)+3b-9 8. (2c + 4d) (3c + 7d) facit: 6c cd + 28d 2 9. (3a b) (3g 2h) facit: a(9g 6h) + b( 3g + 2h) 10.(a+3c+4x) (x+y) 11.(a b) (a + 3b) (a 3) (a 3b) facit: 4x 2 +x(4y+a+3c)+y(a+3c) facit: a(5b + 3) 3b 2 9b 12. a (a 2 (a 2 (2 a)(3 a) + 3)) facit: a 2 + 6a 3 14

15 4.1 Brøkregneregler a b m = m a b = a m b = m a b a a a b : m = b m = bm1 = a b m m : a m b = 1ab = m b a a b c d = a c b d a b = a c b c m + a b = mb b + a b = mb + a b a c + b c = a + b c a b + c d = ad bd + cb bd ab ac = b c = ad + cb bd Tal multipliceret med en brøk Brøk divideret med et tal Tal divideret med brøk Brøk multipliceret med brøk Tæller og nævner i en brøk ganges med samme tal Tal adderet med brøk Brøk adderet med brøk (nævnerne er ens) Brøk adderet med brøk (nævnerene er forskellige) Forkorte og forlænge brøk PS: 1. Hvis nævneren er nul, så er brøken udefineret. Man må ikke dividere med nul! Hvis d 0 0 d = 0 15

16 Eksempel 1: = = = Eksempel 2: = = 5 12 Eksempel 3: Eksempel 4: = = 25 5 = 125 Eksempel 5: Eksempel 6: 3x + 2 x (3x + 12)(x 1) 1 (x + 1) = x 1 (x + 1)(x 1) (x 1)(x + 1) = (3x + 2)(x 1) (x + 1) (x + 1)(x 1) = 3x2 2x 3 (x + 1)(x 1) 1 x (x + 2) + 3(x + 3) = x + 2 (x + 3)(x + 2 x x + 9 (x + 3)(x + 2) = 4x + 11 (x + 3)(x + 2) x x + a + a x(x a) + a(x + a) = a x (x + a)(a x) = xa x2 + xa + a 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 a 2 x 2 16

17 Eksempel 7: ax + 3 2a + 1 a2 x 2 + 3ax (ax + 3) 4a 2 = a (2a + 1) (4a 2 1) (a 2 x 2 + 3ax) = (ax + 3)(2a 1)(2a + 1) (2a + 1)ax(ax + 3) = 2a 1 ax Eksempel 8: x a (a x) = a x (a x) = 1 1 = 1 Eksempel 9: = Eksempel 10: = Eksempel 11: = Eksempel 12: = Eksempel 13: x + 3 x 2 2 x + 2 = Eksempel 14: 1 a + 1 b = 17

18 Eksempel 15: 2x + 3 x (x 3) = Eksempel 16: 1 + 1/2 2 1/2 = Eksempel 17: 1 1/x 1 + 1/x = Eksempel 18: /3 = Eksempel 19: y 2 = Eksempel 20: Eksempel 21: a 2 b 2 ab 2 a + a2 b = 5x + 3 x x x x = Eksempel 22: x + 2 x 2 = 18

19 Eksempel 23: 25yx + 5 3x 1 5xy + 1 9x 2 1 = Eksempel 24: 3x 2 + y 2 3x + y x 2 + y 2 = Vi bruger nu ovenstående regneregler til at regne følgende øvelse. Øvelse 4.2 Beregn/reducér følgende udtryk og kontrollere vha CAS 5a + 5b 1. 10a + 10b 3a + 3b 6. (a + b)(a b) 2. 32a 48b 2a2 7. 2a 6x xc 8. 5x2 y 2 25z 2 y 2 4. c2 bd 2 cbd 9. 3a2 b a x2 + 5x 2x 2 + x 10. a2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 Løsning: Vi regner dem i hånden og kontrollerer vha. CAS (5a + 5b) 5(a + b) = (10a + 10b) 10(a + b) = 5 10 = a 48b = 16a 8a 24b 12b = 4a 6b = 2a 3b 19

20 6x 2 30xc = x 5c 4. c 2 bd 2 cbd = cd 5. 10x 2 + 5x 2x 2 + x = 5x(2x + 1) x(2x + 1) = a + 3b 3(a + b) = (a + b)(a b) (a + b)(a b) = 3 (a b) 7. 2a 2 2a = a 8. 5x 2 y 2 25z 2 y 2 = x2 5z a 2 b a 3 = 3b a 10. a 2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 20

21 4.2 Potensbegrebet og potensregneregler Ved potensen x n, hvor x R ogn N forstås tallet x gangent med sig selv n gange. Dvs. x n = x x x... x } {{ } Tallet x er grundtallet mens tallet n er eksponenten. Potensregnereglerne m, n N 0 0 = 0 a 1 = a a 0 = 1 for a 0 a m a n = a m+n a m a n = am n a n = 1 a n ( a b )n = an b n (a m ) n = a m n Øvelser i potenser Reducér følgende udtryk ved hjælp af ovenstående regler mest muligt i hånden og kontroller ved hjælp af CAS bagefter 1. x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 2. x3 x 2 x 5 = 1 3 x 3. = 1 x 3 4. x 1 4 y 2 = 1 x 2 y 1 2 2xy 3 21

22 x 3 y 2 x 2 5. xy 2 (x y) 3 x y 7. (7 2 ) = 7 = (x y) 1 x = y 3 y 2 8. (x 9 y 3 ) 2 1 (x 2 ) 3 = y3 x x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 10. x3 x 2 x 5 = 1 7 x 5 x 11. = 14 x x x 4 1 y 2 (x 2 y 1 2 ) 2 = x 15 y x3 y 2 (x y) 2 x 2 xy 2 = x y (x y) x x x 14. 9y 11 y 4 = 3 y 9 (7 2 ) = y xy 3 (x 2 ) 3 3 = x Rod og regneregler for n te rod Regneregler for den n te rod Hvis den n te rod er defineret, så gælder følgende regneregler: n x y = n x n y n x n x y = n y n x = n x 22

23 n x n lige n ulige x > 0 x = = = = = 2 x < 0 1 ikke defineret 3 27 = Det udvidede potensbegreb (vigtigt!) m Z og n N, x > 0 x m n = n x m x 1 n = n x x 1 2 = x Kvadratrod og regneregler for kvadratrod Ved tallet x, hvor x 0 forstås det ikke-negative tal, som ganget med sig selv giver x. Dvs. x x = ( x) 2 = x Dette kan også betyde følgende: y = x y = x 1 2 y 2 = x 23

24 Regneregler for kvadratrod x y = x y x x y = y x 2 = x x n = x x x x x } {{ } x 1 = 1 x x 2 = 1 x 2 x 0 = 1 Eksempel 1: 3 5 = Eksempel 2: 4 1 = 1 4 Eksempel 3: (x + 5) 2 = (x + 5)(x + 5) Eksempel 4: (x + 2) 1 = 1 (x + 2) Eksempel 5: 24

25 x 3 = x x x Eksempel 6: (a + b) 2 = 1 (a + b) 2 = 1 (a + b)(a + b) Eksempel 7: x 2 x 3 = x x x x x = x 2+3 = x 5 Eksempel 8: (x 2 y 3 ) 4 = (x 2 ) 4 (y 3 ) 4 = x 8 y 12 Eksempel 9: x 6 x 6 = x 6+( 5) = x 6 5 = x 1 = x Eksempel 10: x 3 y 2 x 2 y 4 = x3 2 y 2 4 = x y 2 = x y 2 Eksempel 11: 3 x 3 x = 3 x+x = 3 2x Eksempel 12: x 2 + x x = x(x + 1) x = x + 1 Eksempel 13: 26 75x 4 3x2 52y y2 = x2 y 2 x 4 y = 1 2 x2 4 y 2 1 = y 2x 2 25

26 Eksempel 14: (x + y) 3 (x y) x 2 y 2 = (x + y)3 (x y) (x y)(x + y) = (x + y)3 1 (x y) 1 1 = (x + y) 2 Eksempel 15: (x + 1) 2 (x + 1) 10 = (x + 1) 12 Eksempel 16: (a 2 ) 3 (a 3 ) 2 = a 6 a 6 = 0 Eksempel 17: (x + 2)(x + 2) 2 (x + 2) 3 = (x + 2) = (x + 2) 6 Eksempel 18: [(x + a)(x + a) 3 ] 2 = [(x + a) 4 ] 2 = (x + a) 8 Eksemple 19: Eksempel 20: Eksempel 21: Eksempel 22: x 5 x 7 = x5 7 = x 2 = 1 x 2 x 7 x 5 = x7 5 = x 2 (x 2 + 1) 3 (x 2 + 1) 5 = (x2 + 1) 3 5 = (x 2 + 1) 2 1 = (x 2 + 1) 2 26

27 ((2 2 ) 2 ) 2 = (2 4 ) 2 = 2 8 Eksempel 23: (5x 4 ) 2 = 5 2 x 8 = 25x 8 Eksempel 24: ( x3 y 9 x 5 y 15 )2 = x6 y 18 x 10 y 30 = x3 5 y = x 2 y 12 = 1 x 2 1 y 12 Eksempel 25: Eksempel 26: ( x3 y 2 z 1 x 4 y ) 2 = x 6 y 4 z 2 x 8 y 2 = x 6+8 y 4+2 z 2 = x2 y 6 z 2 (( 1 5 ) 1 + ( 1 5 ) 3 ) 1 = 1 1 ( 1 + ( 5 ) ( 1 ) 1 = = = )3 Eksempel 27: Eksempel 28: Eksempel 29: x 5 x 2 x2 y 3 = x5 ( 1 a + 1 b ) 1 = x 2 y 3 x 2 = x5 4 y 3 = x y 3 (( x2 + 2x 4xy )o ) 5 = 1 5 = 1 x 2 y 2x + y2 x 2y = xy 2 + xy 2 = xy 1 ( 1 a + 1 b ) = 1 a + b ab = ab a + b 27

28 4.3.4 Tre vigtige udtryk (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (a + b)(a b) = a 2 b 2 Øvelse Beregn ved hjælp af ovenstående udtryk følgende og kontroller resultaterne med CAS 1. (a + 2) 2 6. (a 4) 2 2. (3 + b) 2 7. (3 b) 2 3. (2a + 1) 2 8. (3 2x) 2 4. (3x + y) 2 9. (x 2y) 2 5. (4x + 3y) (5x 6y) x 2 12x x x + 9 Eksempler på n te rødder Beregn følgende = 16 3 = 16 3 = = = = = = = 9 7 = 9 7 = = 25 2 = 25 2 = = = =

29 = = = = = = = = = = = ( 3 + 5) = ( 2 5) = ( 2 + 5)( 3 + 7) = ( 5 2 3)( 5 3) = = = = = = = = ( ) 2 = = = = = = = = = = 3 3 = = 3 (3) 3 = = 2 4 = IKKE defineret for reelle tal. Se evt reglerne fra forrige sider! = 2 5 = = 3 (4) 3 = = 4 (2) 4 IKKE defineret for reelle tal = 5 (2) 5 = ( 10) 3 = 10 4 ( 8) 4 = 8 29

30 = = = = = = = = 4 = = 3 8 = ( 64) = ( 64) 1 3 = = = = ( 36) = 1 3 (6 2 ) = 1 3 (6 3 ) = = (x 2 + 1) 3 2 (x 2 + 1) 3 4 = (x 2 + 1) = (x 2 + 1) (x + 1) 5 4 (x + 1) 1 3 x 5 y 3 4 z 8 = (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = ( x 1 2 y 1 5 z 8 4 ) 1 3 = x y z 41. ( 2) 3 = 1 ( 2) 3 = 1 8 = ( 2 7 ) 3 = 1 ( 2 7 )3 = = = (7 2 )3 = x 1 6 y 1 15 z (64 a 12 ) 5 6 = a = a 10 = 6 (2 6 ) 5 a 10 = 6 (2 5 ) 6 a 10 = 2 5 a (3m) 2 ( 2m) 3 = 3 2 m 2 ( 2) 3 m 3 = 72 m (2y 1 4 z)(3y 4 3 z 4 1 ) =6 y z = 6y z 2 3 = 6y 3 z 2 (3x n ) (x 2 ) n 1 = 33 x 3n 27 x3n x 2n = x 2 x 2n x 2 = 27 xn x = 27 x n (n + 1) 1 2 (1 + n) 4 3 = (n + 1) = (n + 1) 4 5 = 4 (n + 1) 5 x 3 + y x 2 y 2 x + y x 2 xy + y 2 = (x + y)(x2 xy + y 2 ) (x y)(x + y) = x + y x y (x + y) (x 2 xy + y 2 ) 30

31 4.4 Numerisk værdi - absolut værdi Vi forestiller os at vi har følgende fortegnslinje. Afstanden mellem tallet nul og tallet 2 er enheder til højre for nullet og igen 2 enheder lang til venstre for tallet nul. Dvs. om man går mod højre eller venstre for tallet nul vil afstanden altid være positiv. Positive og negative reelle tal, placeres i fortegnslinjen og relationerne < og > bruges til at afgøre deres placering på fortegnslinjen i forhold til hinanden. x er et positivt reelt tal hvis x > 0 xer et negativt reelt tal hvis x < 0 Tallet nul er hverken positivt eller negativt! F.eks. 2 = 2, 5 = 5 og 1 5 = 1. Den numeriske værdi af talllet nul er nul. 5 Vi har altså følgende tre tilfælde: 1. x = 2 er ensbetydende med: x = 2 x = 2 31

32 2. x < 2 er ensbetydende med: 2 < x < 2 3. x > 2 er ensbetydende med: 32

33 Eksempel 1: 7 = 7 Eksempel 2: 3 = 3 Eksempel 3: = 11 Eksempel 4: = = 11 Eksempel 5: 2 1 = 2 1 = 2 Eksempel 6: 6 = 6 Eksempel 7: 0 = 0 Eksempel 8: 7 5 = 2 Eksempel 9: 33

34 7 3 = 7 3 = 4 Eksempel 10: 3 4 = 3 4 = 12 Eksempel 11: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 12: x = 5 x = 5 x = 5 Eksempel 13: x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 2 Eksempel 14: x 1 = 5 x 1 = 5 x 1 = 5 x = 6 x = 4 Eksempel 15: a < 4 4 < a < 4 Eksempel 16: a 4 4 a 4 Eksempel 17: a 4 a 4 a 4 34

35 Eksempel 18: y > 3 2 y < 3 2 y > 3 2 Eksempel 19: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 20: x = 5 6 x = 5 6 x = 5 6 Eksempel 21: 2 t 2 t 2 Eksempel 22: z = 7 z = 7 z = 7 Eksempel 23: x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 24: x = 9 x = 9 x = 9 Eksempel 25: k = 3 k = 3 /o Eksempel 26: 35

36 x = 4 x = 4 x = 4 x = 4 Eksempel 27: x + 3 = 4 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 28: x 2 = 5 x = 7 x = 7 x = 7 Eksempel 29: x + 3 = 3 x + 3 = 3 x + 3 = 3 x = 6 x = 0 Eksempel 30: k + 2 = 6 k + 2 = 6 k + 2 = 6 k = 8 k = 4 Eksempel 31: x + 8 = 6 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 Eksempel 32: 4 p = 0 p = 4 p = 4 p = 4 Helt generelt kan man beskrive den numeriske værdi på følgende måde: x hvis x 0 x = x hvis x < 0 36

37 5. Lineære ligninger 37