Kapitel 5 Renter og potenser

Transkript

1 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95 kg en måned og næste måned vejer 97 kg, har man tager 2 kg på. Dette kaldes for den absolutte ændring. I forhold til personens oprindelige vægt på 95 kg, vil en tilvækst på 2 kg nok ikke virke så voldsom. Men hvis man har en hund, der vejer 2 kg, og den tager 2 kg på og en måned senere vejer 4 kg, vil det virkelig se mærkeligt ud. Den er simpelt hen blevet dobbelt så stor. Derfor vil den absolutte tilvækst ikke altid være et godt mål for ændringen. Man udregner derfor ofte, hvor stor brøkdel tilvæksten udgør af den oprindelige værdi: Definition: Hvis en variabel ændrer værdi fra x 0 til x 1, siges den absolutte ændring at være: Δx = x 1 x 0 Den relative ændring udregnes som: r = = Side 59

2 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) 6.1 Procent Ordet procent er sammensat af pro- og -cent, og det betyder pr. hundrede eller hundrede-dele. Altså er: 1 % = = 0,01 og 37 % = = 0,37 Skal vi udregne 37% af 500,- kr., så skriver vi: 37% af 500,- kr. = 0,37 500,- kr. = 185,- kr. En procent kan altid omskrives til decimalbrøk ved at dividere procenttallet, p, med 100, altså ved at flytte kommaet to pladser til venstre. På samme måde kan et decimaltal omsættes til procenttal ved at gange med 100%, altså at flytte kommaet to pladser til højre. 0,75 = 0,75 100% = 75% Ofte angives relative ændringer i procent. Hvis vægten stiger fra 95 kg til 97 kg, er den absolutte ændring 2 kg. Den relative ændring er så: r = = 0,021 = 0, % = 2,1 % Hvis en hunds vægt stiger fra 2 kg til 4 kg, er den absolutte ændring 2 kg og den relative ændring er: r = = 1,00 = 1,00 100% = 100% Procent: Hvis man skal udregne p % af et tal K, så ganges tallet K med r = : K = K r Hvis man har en decimalbrøk, r, og skal omsætte den til procent, udregnes: p% = r 100 % Side 60

3 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Hvis et beløb på 600,- kr. vokser med 15%, er stigningen: Det nye beløb er derfor: 15% af 600 kr. = 0, kr. = 90 kr. 600 kr kr. = 690 kr. For at finde en nem metode til at lægge procent til et tal, analyseres udregningen lidt: 600 kr. + 15% af 600 kr. = 600 kr. + 0, kr. = 600 kr. (1 + 0,15) = 600 kr. 1,15 Altså lægges 15 % til et tal ved at gange tallet med 1,15. Et-tallet foran kommaet skyldes, at vi stadig har det oprindelige beløb, og decimalerne 0,15 svarer til den procentstigning, der sker. Tallet 1,15 kaldes for fremskrivningsfaktoren svarende til en procentvækst på 15%. Det er den faktor, man skal gange med, når en størrelse skal øges med 15%. Vi sammenfatter dette i følgende regel. Lægge procent til: Man lægger p % til et tal K ved at gange tallet K med fremskrivningsfaktoren 1 + r = 1 + K ( 1 + r) Hvis værdien af en variabel bliver mindre, så er den absolutte ændring negativ. Hvis et par sko før udsalget koster p 1 = 1200,- kr. og under udsalget sættes ned til p 2 = 900,- kr., så er den absolutte ændring prisnedsættelsen: Δp = p 2 p 1 = 900,- kr. 1200,- kr. = 300,- kr. Den relative ændring af prisen bliver derfor: r = Side 61

4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Tilsvarende sker hvis vi trækker en procentdel fra et tal. Hvis vi fx skal trække 15% fra 800,- kr., gør vi således: 800,-kr. 15% af 800,- kr. = 800 0, = 800 (1 0,15) = 800 0,85 = 680,- kr. Så vi ser, at samme regel gælder. når man trækker procent fra, blot man her husker at procentændringen er et negativt tal. Procentændring: Hvis en variabel, K 0, ændrer sig med procenten p% = = r, så findes den nye værdi ved at gange den oprindelige med fremskrivningsfaktoren (1+r): K = K 0 (1 + r) Når der er tale om at lægge procent til, regnes r som positiv, og hvis der er tale om at nedskrive med en procentdel, regnes r som negativ. Eksempel I et byggemarked angives alle priser uden moms. Når man handler der, skal man lægge 25% moms oven i vareprisen. At lægge 25% = 0,25 til en pris, svarer til at gange prisen med fremskrivningsfaktoren 1 + r = 1,25 Hvis prisen uden moms er 500,- kr. bliver prisen med moms: pris med moms = 500 1,25 = 625,- kr. Man kommer altså fra pris uden moms til pris med moms ved at gange med 1,25. Dette kan man bruge, hvsi man skal regne den anden vej. Hvis prisen med moms er 1000,- kr., så kan vi finde prisen uden moms ved at dividere med fremskrivningsfaktoren 1,25: pris uden moms = = 800,- kr. Side 62

5 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Eksempel I en butik giver de 15% rabat på alle varer. Det betyder, at alle priser nedsættes med 15%. Derfor skal priserne ganges med fremskrivningsfaktoren: 1 + r = 1 15% = 1 0,15 = 0,85 Hvis den oprindelige pris var 300,- kr. bliver den nye pris: ny pris = 300 0,85 = 255,- kr. Tilsvarende kan man finde den oprindelige pris, hvis man kender den nedsatte pris, ved at dividere med fremskrivningsfaktoren 0,85. Hvis en vare efter nedsættelsen koster 595,- kr., var den oprindelige pris: oprindelig pris = = 700,- kr. Side 63

6 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Eksempel En aktie har på et tidspunkt en værdi på 1800,- kr. Første år stiger værdien med 17%, andet år med 5%, hvorimod aktieværdien falder med 13% det tredje år. Vi ønsker at udregne værdien af aktien efter de tre år. I skemaet herunder ses fremskrivningsfaktorerne svarende til procentændringerne: År: Ændring: Fremskrivningsfaktor: 1 17% 1 + 0,17 = 1,17 2 5% 1 + 0,05 = 1, % 1 0,13 = 0,87 Vi kan følge udviklen af aktiens værdi år for år ved at gange med de tilhørende fremskrivningsfaktorer: År: Værdi: ,17 = 2106,- kr ,17 1,05 = 2211,30 kr ,17 1,05 0,87 = 1923,83 kr. Værdien af aktien efter de tre år er altså 1923,83 kr. Vi har ganget den oprindelige værdi af aktien med tallene 1,17 1,05 0,87 = 1, Dette tal svarer til en relativ ændring på r = 0, = 1,9655 % = ca. 2% Aktiens værdi er altså i alt steget med 2% i de tre år. Side 64

7 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) 6.2 Rentes rente Hvis man sætter et beløb ind på en bankkonto og lader beløber blive stående i flere år, så tilskrives der renter. Første år tilskrives renter af selve beløbet, men allerede andet år vil renterne blive udregnet på baggrund af beløbet, der blev indsat og de renter, der er tilskrevet første år. Efterhånden som årene går, bliver beløbet i banken større og større, og renterne beregnes af beløbet samt alle de renter, der er tilskrevet de foregående år. Vi siger, at beløbet i banken vokser med renter og renters rente. Hvis startbeløbet, der indsættes i banken er K 0, og renten er p% = fremskrivningsfaktoren 1 + r. Vi stiller det skematisk op: = r, er År: Beløb på konto: 0 (start) K 0 1 K 0 (1 + r) 2 K 0 (1 + r) (1 + r) = K 0 (1 + r) 2 3 K 0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) = K 0 (1 + r) 3 4 K 0 (1 + r) 4 Således kan vi fortsætte. Hver gang der går et år mere, så ganges der endnu en gang med samme fremskrivningsfaktor 1 + r. Hvis der er gået n år, er startbeløbet blevet ganget med fremskrivningsfaktoren n gange. Derfor kan beløbet efter n rentetilskrivninger udregnes som: K n = K 0 (1 + r) n Vi sammenfatter dette i sætningen: Sætning om procentfremskrivning: Hvis en variabel ændres med samme procent et vist antal gange, kan den nye værdi udregnes som: K n = K 0 (1 + r) n Hvor: Startværdi er: K 0 Slutværdi er: K n Antal procenttilskrivninger er: n Procentændring pr. gang er: r = p% = Side 65

8 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Eksempel Et beløb på 8000,- kr. indsættes på en bankkonto til 3,25% i rente. Vi vil udregne, hvor meget der står på kontoen efter 7 år. Fremskrivningsfaktoren svarende til 3,25% er 1 + r = 1,0325 Derfor kan vi udregne slutbeløbet således: K 7 = , = 10007,38 kr. PÅ ti-nspire udregnes potensen ved hjælp af knappen ^, og man taster: 8000 * 1,0325 ^ 7 efterfulgt af ENTER. Hvorefter ti-nspire viser svaret. Eksempel Værdien af en cykel vurderes af forsikringsselskaber til at falde med 10% om året efter den er købt. Dette svarer til en fremskrivningsfaktor på 1 + r = 0,90. Hvis nyprisen for cyklen er 4000,- kr., vil værdien efter 6 år være: K 6 = ,90 6 = 2125,76 kr. Og efter 10 år: K 10 = ,90 10 = 1394,71 kr. Eksempel Et beløb på ,- kr. vokser med 3,1% om året i 5 år og dernæst med 7,2% om året i 8 år. Da en vækst på 3,1% svarer til en fremskrivningsfaktor på 1,031 og en vækst på 7,2% svarer til en fremskrivningsfaktor på 1,072 vil beløbet efter de 13 år være: K 13 = , ,072 8 = ,57 kr. Eksempel På afbetalingshandler betaler man ofte rente af det beløb, som man skylder, hver måned. Hvis den månedlige rente er r = 2% = 0,02 er den månedlige fremskrivningsfaktor 1 + r = 1,02 Dette svarer til, at den årlige fremskrivningsfaktor er: Side 66

9 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) 1,02 12 = 1,268 Men denne fremskrivningsfaktor svarer til en procentfremskrivning med 26,8%. Dette fortæller os, at 2% om måneden svarer til en årlig rente på 26,8%. Hvis den månedlige rente var 3%, ville den årlige fremskrivningsfaktor være: 1,03 12 = 1,426 svarende til en årlig rente på 42,6%. 6.3 Potensregneregler I dette afsnit vil vi undersøge potensbegrebet lidt nøjere og udvide potensbegrebet. Potens benyttes som kort skrivemåde for et tal ganget med sig selv et vist antal gange: Definition af potens: Tallet a n betyder a ganget med sig selv n gange: a n = a a a a (n faktorer) Vi kalder a for grundtallet og n for potensen. For potenser gælder en række enkle regler: Hvis vi ganger to potenser med samme grundtal, får vi: a n a m = (a a a) (a a a) = a n + m n faktorer m faktorer n + m faktorer Vi ganger altså to potensudtryk med samme grundtal ved at lægge potenserne sammen. Hvis vi tilsvarende dividerer en potens a n med en anden potens a m, hvor m er mindre end n, får vi: Side 67

10 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) I denne brøk er der flere a er i tælleren, end der er i nævneren, fordi potensen i tælleren er størst. Vi kan derfor forkorte alle nævnerens faktorer ud med et tilsvarende antal i tælleren. Tilbage er n m faktorer i tælleren. Derfor får vi = a n m Endelig kan vi tage en potens a n og sætte i m te potens. Dette giver: (a n ) m = (a n ) (a n ) (a n ) (a n ) = ( m parenteser) (a a) (a a) (a a) (a a) = n faktorer i hver af de m parenteser. a n m Der er m parenteser med n faktorer i hver, og det giver n m faktorer i alt. Derfor bliver den samlede potens n m. Vi samler potensreglerne i denne oversigt: Potensregler: a n a m = a n+m = a n m (a n ) m = a n m Lige som plus og minus er modsatte regningsarter, har potensopløftning også et modstykke. Det er roduddragning. Definition af rod: Den n te rod af et positivt tal, a, er det tal, b, som i n te potens giver a:, hvis: a = b n Side 68

11 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Eksempel Vi ser at: = 3 fordi: 3 4 = 81 = 5 fordi: 5 3 = 125 = 2 fordi: 2 10 = 1024 Nu vil vi udvide potensbegrebet til potenser, der ikke nødvendigvis er hele positive tal. Vi ser på følgende tabel, der viser potenser af tallet a: Potens n: Potens af a a 2 = a 3 = a 4 = a: a a a a a a a a a Hver gang vi går en plads til højre i tabellen, bliver potensen af a én større. Vi ganger med a, når vi bevæger os et trin til højre. Går vi et trin til venstre, vil vi dividere med a. Dette system vil vi fortsætte på de tomme pladser til venstre for potensen 1: Potens n: Potens af a: a 0 = a : a = 1 a a 2 = a a a 3 = a a a a 4 = a a a a Dette betyder, at vi må definere a 0 til at være tallet 1. Fortsætter vi yderligere til negative potenser, skal vi dividere med a endnu nogle gange: Potens n: Potens af a: a 2 = a 1 = a 0 = 1 a a 2 = a a a 3 = a a a a 4 = a a a a Negative potenser svarer altså til, at vi skal dividerer med tallet a i steder for at gange, som vi skal ved positive potenser. Systemet i tabellen fortæller os, at potensbegrebet kan udvides til: Udvidelse af potensbegrebet 1: Hvis a er et tal forskellig fra 0 defineres: a 0 = 1 a n = Side 69

12 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Vi vil yderligere udvide potensbegrebet til også at gælde for potenser, der ikke er hele tal. Igen skal systematikken i vores skema være udgangspunkt for definitionen. Vi ser igen på skemaet: n: a n : 1 a a a a a a a a a a a a a a a Hvis vi går to skridt frem i skemaet, fx fra n = 1 til n = 3, bliver potensen ganget med a a, altså a 2 gange større. Dette gælder også fra n = 0 til n = 2. Ja det vil faktisk gælde overalt, hvor vi gør potensen 2 større. Tilsvarende ses, at hvis potensen bliver 3 større svarende til tre skridt mod højre i tabellen, så bliver potensen a 3 gange større. Hvert skridt betyder at potensen bliver en bestemt faktor større. Dette system vil vi udnytte, når vi betragter brøker som potens. Vi ser igen på skemaet, hvor vi har indskudt tallene og mellem 0 og 1: n: 0 1 a n : 1 a Det tal, der skal svare til potensen kaldes for b. Derfor kan vi nu udfylde tabellen, idet vi ser, at hver gang vi rykker en plads mod højre i tabellen, skal tallet ganges med b: n: 0 1 a n : 1 b b b a = b b b Denne analyse af situationen viser os, at: b 3 = a og dermed at: b = Heraf ser vi, at følgende må gælde: = og: = ( ) 2 Side 70

13 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Dette kan generaliseres til følgende definition: Udvidelse af potensbegrebet 2: Hvis a er et positivt tal defineres: 6.4 Eksponentiel notation Meget store tal og meget små tal kan ofte være uoverskuelige. Ved at anvende titalspotenser kan man skrive sådanne tal på en mere overskuelig måde. Når man ganger et tal med 10, så flytter man blot decimalkommaet en plads til højre. 234, = 2345,67 Ganger man med 10 3, så skal kommaet flyttes tre pladser til højre: 234, = Hvis vi så ganger med 10 endnu en gang, forsynes tallet med et nul bagerst: = Dette kan udnyttes ved angivelse af meget store tal. Jorden vejer: og Solen vejer: kg kg Disse tal kan omskrives til titalspotenser således. Jordens masse: 5, kg Solens masse: 1, kg Tilsvarende kan meget små tal omskrives til titalspotenser ved at udnytte negative potenser. En elektron vejer: 0, kg Side 71

14 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Dette kan omskrives til tallet: 9, kg Når tal på denne måde angives med titalspotenser, siger vi, at tallet er angivet med eksponentiel notation. Når tal i eksponentiel notation skal indtastes på ti-nspire, benyttes bogstavet E (for exponential expression). Først indtastes tallet uden titalspotensen, dernæst indtastes E og til sidste indtastes titalspotensen. Læg mærke til, at selve titallet ikke indtastes. Eksempel Jorden bevæger sig om Solen i en næsten cirkelformet bane. Radius i denne bane er 1, m. Dette tal kan omskrives til: 1, m = m = km Omkredsen i denne cirkelbane er: O = 2 π r = 2π 1, m = 9, m Et år er 365,25 døgn, hvert døgn er 24 timer, hver time er 60 minutter og hvert minut er 60 sekunder. Derfor er: 1 år = 365, = 3, sekunder Da Jorden bevæger sig en gang rund om Solen på et år, kan vi udregne, hvor langt Jorden bevæger sig på 1 sekund: = m/s. Dette betyder, at Jorden bevæger sig gennem solsystemet med en hastighed på meter eller 26,7 km hvert sekund. Side 72

15 Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Eksempel Det fortælles, at da skakspillet blev opfundet og præsenteret for en indisk fyrste, så ville fyrsten belønne opfinderen. Opfinderen ønskede blot et hvedekorn lagt på første felt på skakbrættet, to lagt på andet felt, fire på det tredje felt og således skulle man fortsætte med at fordoble antallet af hvedekorn. Fyrsten mente, at det var et beskedent ønske og ville straks opfylde det. Men det viste sig nu langt vanskeligere end han havde regnet med. Lad os analysere problemet: 1. felt 1 korn 2. felt 2 korn 3. felt 4 korn 4. felt 8 korn 8 = felt 16 korn 16 = felt 32 korn 32 = 2 5 og således fortsættes. På det sidste felt, felt nr. 64 skal der ligge 2 63 hvedekorn. Dette tal udregnes til: 2 63 = 9, Side 73

16 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Et hvedekorn vejer ca. 0,04 gram, så vægten af det korn, der bare skal ligge på det sidste felt, er: 9, ,04 gram = 3, gram = 3, ton Altså en enorm mængde hvede langt mere end det er muligt at skaffe. (fra Statistisk Årbog Side 74