Elementær Matematik. Mængder og udsagn
|
|
- Hanne Ravn
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011
2 Indhold 1. Mængder Intervaller Matematisk Logik. Udsagnslogik Åbne udsagn...9
3 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er blot en praktisk betegnelse for en samling af forskellige elementer opfattet som en helhed. En mængde angives ved hjælp af mængdeparenteserne { og }. Når man navngiver mængder, gøres det ved hjælp af store bogstaver fra starten af alfabetet. Mængden af naturlige tal mellem 3 og 9 skrives: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Rækkefølgen, hvori elementer angives er underordnet. Man kan godt angive et element flere gange, men gør det naturligvis ikke. At elementet c tilhører mængden A skrives c A. At elementet d ikke tilhører mængden A, skrives d A Hvis A ={-2,-1,0,1,2,3} Kan vi f.eks. skrive: 2 A og 4 A Man kan godt angive uendelige mængder, hvis der er en indlysende systematik. Det gøres så ved at skrive 3 prikker for fortsættelsen. Eksempel: Stambrøker = {,,,...} Kvadrattal = {1, 4, 9, 16, } Det bemærkes, at elementerne i en mængde godt kan være noget andet end tal Når en mængde er bestemt ved at angive elementerne, siges mængden at være på listeform. Ligesom det ved tallene er nødvendigt at indføre tallet nul, som indfører man i mængdelæren den tomme mængde, som en mængde, der ikke indeholder noget element. Den tomme mængde skrives Ø eller {}. (Men ikke {Ø}, som jo netop er en mængde, der indeholder et element den tomme mængde) Vi har tidligere indført de matematiske standardbetegnelser. N (Mængden af naturlige tal), Z (Mængden af hele tal), Q (Mængden af rationale tal), R (Mængden af reelle tal). To mængder A og B siges at være lig med hinanden, hvis og kun hvis de indeholder de samme elementer. Dette skrives: A = B A sige at være en delmængde af B, hvis ethvert element i A også er element i B. Dette skrives A B Hvis A er en delmængde af B men Dette skrives: A B A B, siges A at være en ægte delmængde af B. Hvis A = {1, 2, 3} og B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} så gælder der såvel Hvis A ikke er en delmængde af B skrives dette: A B. A B som A B.
4 Mængder og Udsagn 2 Ud fra to mængder, kan man danne nogle nye mængder, som kaldes fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Disse begreber anskueliggøres lettest, ved at illustrere mængderne som afsluttede punktmængder, f.eks. cirkler i et univers, som er den mængde elementerne tages fra. I Ved fællesmængden af to mængder A og B, forstår man de elementer som både tilhører A og B. Fællesmængden af A og B skrives: A B Fællesmængden kan godt være tom. I dette tilfælde siges de to mængder at være disjunkte. Fællesmængden af A={-3, -1, 1, 3, 5} og B={1, 2, 3, 4, 5} er {1, 3, 5} eller A B {1,3,5 } Ved foreningsmængden af A og B, forstår man de elementer som enten ligger A eller i B. Foreningsmængden af A og B skrives: A B Foreningsmængden af de to mængder ovenfor er A B { 3, 1, 1, 2, 3, 4, 5} Ved komplementærmængden til en mængde A, forstår man de elementer, som ikke ligger i A. Komplementærmængden til A skrives: C A eller A. Der gælder C(C A) = A Ved overskudsmængden (eller mængdedifferensen eller blot A minus B) mellem A og B, forstår man de elementer som ligger i A men ikke i B.
5 Mængder og Udsagn 3 Mængdedifferensen A minus B skrives: Der gælder A\B A \ B A \ (A B) A B For mængder gælder den distributive lov, både for fællesmængde og foreningsmængde: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Når man skal tegne 3 mængder, hvor alle muligheder findes, gøres det som vist på tegningerne nedenfor. Der er 8 muligheder for beliggenheden af et element. Det ligger i A eller ikke i A. For hver af disse to muligheder er der to muligheder i B eller ikke i B. I alt 4 muligheder. For hver af disse 4 muligheder, kan elementet ligge i C eller ikke i C. I alt 8 muligheder. Dette kan også ses ved optælling. Nedenfor er af mængderne på hver side af lighedstegnet illustreret. Man ser at det er den samme mængde. A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Hvis man ikke kan angive en mængde på listeform, så anvender man vendingen: Mængden af de elementer i grundmængden U, for hvilket der gælder logisk betingelse. I matematik er det praktisk at have nogle symboler for en præcis formulering af en sådan vending. Nedenfor er vist nogle eksempler. P = {p N p er et primtal} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, }
6 Mængder og Udsagn 4 { læses som: mængden af. læses som: for hvilket det gælder. Det hele kan derfor læses som: Mængden af de naturlige tal p, for hvilket det gælder, at p er et primtal. Hvis Grundmængden er de reelle tal, hvilket det ofte er, undlader man at skrive R, da det er underforstået. {x x 2 = 2} = { 2, 2 } 1.1 Intervaller Intervaller er specielle delmængder af de reelle tal. Da sådanne delmængder anvendes ofte, har man indført specielle symboler for dem. Et interval har to endepunkter, og indeholder en sammenhængende mængde af reelle tal mellem endepunkterne. Et interval skrives ved hjælp af firkantede parenteser. Først et eksempel: ]-2, 3] = { x R 2 x 3} Alle reelle tal, der er større end -2 og mindre eller lig med 3. Hvis begge endepunkter tilhører intervallet, kaldes intervallet for lukket. Hvis ingen af endepunkterne tilhører intervallet kaldes det åbent. Hvis kun et af endepunkterne tilhører intervallet, kaldes det halvåbent. Man kan opskrive 4 intervaller med a og b som endepunkter. ]a, b[, ]a, b], [a, b[ og [a, b] Vi nøjes med at skrive den formelle definition for et af dem. [ a, b] { x a x b} Man tillader i almindelighed, at lade det venstre endepunkt være - og det højre, men intervallet i disse endepunkter skal da være åbent. ],4] { x x 4} ] 7, [ { x x 7} Man skal huske på et interval er en mængde, således at to intervaller kan kombineres med operationerne fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Ofte er det en fordel at illustrere mængdeoperationerne på en tallinie, som illustreret nedenfor. En udfyldt cirkel i endepunktet betyder at dette endepunkt tilhører intervallet og en ikke udfyldt betyder, at endepunktet ikke tilhører intervallet. Eksempler: ] 5,7] ]3,12[ ]3,7] ] 5,7] ]3,12[ ] 5,12[ ] 5,7] \ ]3,12[ ] 5,3] ] 3,5] ], 3] ]5, [ Nedenfor er de to første eksempler illustreret på en tallinie.
7 Mængder og Udsagn 5 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik Matematik består af udsagn i almindelighed formuleret ved hjælp af symboler. I matematikken er et udsagn en sætning som enten er sand eller falsk. Som eksempler på formuleringer, hvoraf de første er udsagn mens den sidste ikke er det, kan nævnes: 13 2 = 169 (udsagn: sandt), Vinkelsummen i en trekant er (udsagn: sandt) (Udsagn: falsk) Matematik er et herligt fag (ej udsagn) Som altid i matematikken anvender man symboler til mere generelle betragtninger. Til at betegne udsagn bruges traditionelt bogstaverne p, q, r, s. Vi vil begynde med at betragte nogle almindelige udtryk. p: Det regner. q: Gaden bliver våd. Ud fra disse to udsagn kan man ved hjælp af adverbierne/konjunktionerne og, eller, hvis så, og ikke (non), danne nogle nye udsagn. For eksempel: Hvis det regner så bliver gaden våd. Det regner ikke eller gaden bliver våd. Man indfører nu nogle nye symboler for disse adverbier/konjunktioner:
8 Mængder og Udsagn 6 " p q" læses som " p og q". ( Konjunktion) " p q" læses som " p eller q" ( Disjunktion) " p" læses som " non p" eller " ikke p, ( Negation) " p q" læses som " hvis p så q" eller " p medfører q" (Im plikation) " p q" læses som " kun p hvis q" ( Omvendt Im plikation) " p q" læses som " p hvis og kun hvis q" eller " p er ensbetydende med q" ( Dobbelt Im plikation) Med betydningen af p og q ovenfor, vil de sammensatte udsagn lyde: Det regner og gaden bliver våd. Det regner eller gaden bliver våd Det regner ikke. (Non det regner) Hvis det regner, så bliver gaden våd Gaden bliver våd, kun hvis det regner Gaden bliver våd, hvis og kun hvis det regner. Der gælder nogle logiske slutningsregler, hvorefter man kan afgøre sandhedsværdien for det sammensatte udtryk ud fra sandhedsværdierne for de enkelte udsagn. Sådanne slutningsregler er givet ved sandhedstabeller. I det følgende betegner vi med s (sand) og f (falsk). Internationalt er det t (true) og f (false). Konjunktion af p og q Disjunktion af p og q Implikation af p og q p q p ^ q s s s s f f f s f f f f p q p q s s s s f s f s s f f f p q p q s s s s f f f s s f f s Konjunktionen af p og q er kun sand, hvis både p og q er sande. Disjunktionen er sand, hvis mindst et af udsagnene p og q er sande. Implikationen er kun falsk, hvis p er sand og q er falsk. Det eneste, der måske kan vække undren er, at implikationen er sand, hvis p er falsk og q er sand. Men det er faktisk muligt at slutte noget sandt, selv om præmissen er falsk og slutningsreglen er korrekt. Ikke så sjældent tages dette som et bevis for en falsk præmis! Hvordan kan det være forkert, hvis jeg har fået det rigtige svar? (Men det kan det skam!) Eksempel -3 = 3 (-3) 2 =(3) 2 9 = 9-3 = 3 er falsk, men det er rigtigt, at hvis to tal er lig med hinanden, så er deres kvadrater også ens, og 9 = 9 er sandt.
9 Mængder og Udsagn 7 Negation af p Omvendt implikation af p og q Dobbeltimplikation af p og q p s f p f s p q p q s s s s f s f s f f f s p q p q s s s s f f f s f f f s Man bemærker at den omvendte implikation (naturligvis) har samme sandhedstabel som implikationen, blot er p og q byttet om. Dobbeltimplikationen er kun sand, når p og q har samme sandhedsværdi. Ud fra de grundlæggende sandhedstabeller kan man opstille sandhedstabeller for mere komplicerede udsagn. Et udsagn som har lutter s er i sandhedstabeller, kaldes en tautologi. Et oplagt eksempel er p p. (Enten regner det eller også regner det ikke.) Men det kan sagtens være meget mere spidsfindigt. F.eks. Alle ungkarle er ugifte. To udsagn p og q siges at være logisk ækvivalente, hvis de har samme sandhedstabel. Dette er det samme som at sige at p q er en tautologi. Eksempel Ved brug af sandhedstabeller vil vi vise, at: p q er logisk ækvivalent med p q q p p q er logisk ækvivalent med p q, p q p q q p p q q p p q s s S s s s s f F s f f f s S f f f f f S s s s Som det fremgår, er sandhedstabellen er udsagnene ækvivalente, hvilket ikke kan overraske. p q q p og p q logiske p q p p q p q s s f s s s f f f f f s s s s f f s s s Denne sidste ækvivalens er sprogligt lidt mere spidsfindigt. Hvis det regner bliver gaden våd er logisk ækvivalent med: Enten regner det ikke, eller gaden bliver våd.
10 Mængder og Udsagn 8 Øvelse Vis at følgende to udsagn er ækvivalente: a) ( p q) og p q. (Hvis udsagnet både p og q er falsk, så er enten p eller q falsk.) b) ( p q) og p q. (Hvis udsagnet p eller q er falsk, så er både p og q falske). p er logisk ækvivalent med q p c) q. (Hvis p sand medfører q sand, så er p falsk hvis q er falsk) Matematik er en aksiomatisk deduktiv videnskab. Det betyder, at man begynder med nogle grundlæggende simple antagelser, som antages at være sande. Disse antagelser kaldes aksiomer. Aksiomer kan ikke bevises. Ved hjælp af logiske følgeslutninger som redegjort ovenfor, fremkommer nye udsagn, som kaldes for sætninger eller teoremer. De logiske følgeslutninger kaldes enten for udledninger, hvis det blot er en række algebraiske omformninger eller beviser, hvis der i udledningen anvendes nogle logiske ræsonnementer. Når man laver udledninger og beviser anvender man oftest ensbetydende tegn. Man regner ensbetydende. Herved sikrer man sig at alle udsagnene er logisk ækvivalente (udtrykker det samme), blot på forskellig måde. I beviser anvendes næsten udelukkende modus ponens (deduktion): Hvis p er sand og p medfører q (er sandt) så kan vi slutte at q også er sand. p ( p q) q Mere generelt, hvis p er en række sætninger (sande udsagn) og man ud fra disse sande udsagn kan slutte q, så er q også sand. Det er især dette man tænker på, når man taler om matematikkens aksiomatisk deduktive natur. Modus ponens, anvendes ret ofte også i daglig sprog. F.eks. hvis eleven siger: Hvis det som står på tavlen er rigtigt, så forstår jeg overhovedet ingenting. Hvortil læreren svarer. Det er rigtigt, hvad der står på tavlen. Det sker, at man anvender et såkaldt indirekte bevis. Dette bygger på den logiske ækvivalens mellem p q og q p. Dette anvendte vi, da vi skulle bevise, at 2 ikke er et rationalt tal. Vi antog da det modsatte, at det kunne skrives som en uforkortelig brøk, men kunne da slutte, at dette var falsk. Altså må præmissen være falsk. Når man formulerer en matematisk sætning, skal det gøres, så der ikke er nogen tvivl om, hvad man påstår. I den henseende er sproget ofte mangelfuldt, og dette er grunden til at man har indført de logiske tegn, fordi deres betydning er helt entydigt bestemt ved sandhedstabeller. Af samme grund har man i matematikken indført nogle såkaldte kvantorer, som på præcis og kort måde udtrykker nogle ofte anvendte sproglige vendinger. For ethvert (for alle) x gælder udsagnet p(x) skrives med Alkvantoren x: p(x)
11 Mængder og Udsagn 9 Der eksisterer (findes mindst et) x For hvilket det gælder, at p(x) er sand: skrives med Eksistenskvantoren x : p(x) Eksempler 2 x R : x x x. (For alle reelle tal gælder at x i 2. er lig med x gange x.) x 0 : x (Der findes et negativt tal for hvilket det gælder, at dets kvadrat er 169). Der gælder følgende regler for negering (udtrykke det modsatte) af kvantorer, som er umiddelbart indlysende. ( x : p( x)) x : p( x). Hvis det er falsk, at der for ethvert x gælder udsagnet p(x), så findes der mindst et x, hvor p(x) er falsk. ( x : p( x)) x : p( x). Hvis der ikke findes noget x, for hvilket det gælder at p(x) er sand, så er p(x) falsk for alle x. 3. Åbne udsagn Et åbent udsagn er et udsagn, hvor sandhedsværdien afhænger af en variabel. Eksempler x 2 = 4 (Udsagnet er sandt for x = 2 eller x = -2 og ellers falsk) Hvis a, b og c er siderne i en trekant T, så er: a 2 + b 2 = c 2. (Sandt når T er retvinklet ellers ikke). Det man kalder ligninger, er i virkeligheden åbne udsagn. At løse ligningen betyder at bestemme samtlige værdier for variablen (de variable), hvor udsagnet er sandt. Skrevet med mængdesymboler: {x p(x)}. Vi viser dette med et simpelt eksempel. {x 3x -7 = 7x+5} = {x 3x -7x = 5+7} ={x -4x = 12} = {x x = -3} Sandhedsværdien for de 4 åbne udsagn i mængdeparentesen er den samme, så de 4 udsagn er ensbetydende. Det er dog ret sjældent, at man skriver åbne udsagn i mængdeparenteser. Det er kun gjort for at illustrere, hvad det er der sker, når man løser en ligning. For fremtiden vil vi derfor undlade mængdeparenteserne og i stedet anvende ensbetydende tegn, som vist nedenfor. 3x -7 = 7x+5 3x -7x = 5+7-4x = 12 x = -3 For lidt større regninger vælger man som regel, at anvende en hel linie til at skrive hvert åbent udsagn. Det er dog tilladt at skrive ensbetydende tegn på højkant, men det har kun betydning for typografien. Dette er illustreret nedenfor.
12 Mængder og Udsagn 10 3x -7 = 7x+5 3x -7x = 5+7-4x = 12 x = -3
t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave Jesper Lützen Juli 2019 ii Indhold Introduktion ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?..................
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereUdsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013
Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Introduktion til Fuzzy logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVariable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0
Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereAalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem
Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs meretal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereOm brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling
Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVariabelsammenhænge og grafer
Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...
Læs mere