OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER SANDSYNLIGHED

Transkript

1 SNDSYNLIGED I dette kapitel om sandsynlighed skal eleverne vurdere chancer eller risici i forhold, hvor tilfældighed spiller ind. Eleverne skal anvende forskellige tællemodeller og enkle beregninger til at finde sandsynligheder. Eleverne skal endvidere beregne sandsynligheder ud fra eksperimenter, blandt andet ved simulering i et digitalt værktøj. I kapitlet arbejders der både med teoretisk sandsynlighed - også kaldet kombinatorisk sandsynlighed, samt statistisk sandsynlighed. Det er ikke en forudsætning for arbejdet med kapitlet, at eleverne på forhånd kender de to typer sandsynlighed. De bliver præsenteret og beskrevet til sidst i kapitlet. En anden mulighed er, at man indledningsvis taler med eleverne om, forskellen på de to typer sandsynlighed. På den måde kan eleverne undervejs i arbejdet med kapitlet være mere bevidste om, hvornår de arbejder med den ene eller den anden type sandsynlighed. Det er herunder kort og med simple eksempler beskrevet, hvad der kendetegner de to forskellige typer sandsynlighed. I løbet af kapitlet bliver begreber, metoder m.m. uddybet. I teoretisk sandsynlighed er det muligt at beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse alene på baggrund af, hvad vi ville kalde sund fornuft. Det kan fx være sandsynligheden for at slå fem med en symmetrisk, sekssidet terning. Netop fordi terningen er symmetrisk, går vi ud fra, at der er lige stor chance for hvert udfald i udfaldsrummet, nemlig for at slå 1, 2 6 med terningen. Det er ligeledes muligt, at tælle alle de mulige udfald i udfaldsrummet, der består af øjentallet 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Når alle udfald som her har samme sandsynlighed, gælder det, at sandsynligheden for en hændelse er antal udfald i hændelsen antal udfald i udfaldsrummet OM KPITLET. I det eksempel, der er beskrevet her, er sandsynligheden for at slå fem med terningen derfor 1. 6 I statistisk sandsynlighed estimerer man sandsynligheder på baggrund af en opgørelse over, hvad der er sket i en række eksperimenter en statistik. Fx: vad er sandsynligheden for, at en tegnestift lander med spidsen opad, når den kastes? I dette tilfælde er man nødt til at kaste tegnestiften et antal gange og notere, hvordan den lander. På baggrund af resultaterne i eksperimentet kan man give et bud på sandsynligheden for, at tegnestiften lander med spidsen opad. Der kan fx kastes 50 gange, og i 35 tilfælde lander den med spidsen op ad. Den statistiske sandsynlighed for hændelsen på baggrund af netop denne eksperimentserie er dermed 35. Forudsigelsen om, hvordan tegnestiften = lander, bygger på statistik. Man skal være klar over, at resultatet formentlig ville blive et andet, hvis man baserede sit skøn på en anden eksperimentserie. Denne type sandsynlighed rejser derfor spørgsmålet om, hvornår der er foretaget eksperimenter nok, til at det er muligt med rimelig sikkerhed at fastsætte en sandsynlighed. I MULTI 7 er der i de fleste opgaver, undersøgelser og eksperimenter beskrevet, hvor mange gange eksperimentet skal udføres, så dette spørgsmål kommer vi ikke nærmere ind på. I den første del arbejder eleverne med forskellige tællemodeller, samt begreberne hændelse, udfald og udfaldsrum. Derefter introduceres chancetræer som et væsentligt redskab til beregning af sandsynligheder. Efterfølgende arbejder eleverne med stikprøver. I den sidste del af kapitlet introduceres eleverne for begrebet odds, og arbejder i den forbindelse med aktiviteterne `Sandsynlighed og spil, samt `Simulering i regneark og odds. I kapitlets tema `Den skæve terning er der fokus på statistisk sandsynlighed. Eleverne skal undersøge forskellige sandsynligheder ved kast med to skæve terninger. ELEVFORUDSÆTNINGER Eleverne har i MULTI 4, 5 og 6 arbejdet med sandsynlighed og kombinatorik, samt statistik og sandsynlighed. Der er derfor en række begreber og fagord, som eleverne allerede kender til. De er ligeledes bekendt med, at man kan bruge kombinatorik til at bestemme sandsynlighed med, og man kan bruge statistik til at bestemme sandsynlighed med. Eleverne har erfaringer med at simulere eksperimenter i regneark. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at beskrive sandsynligheder med brøk, decimaltal og procent at bestemme forskellige udfaldsrum at forklare stikprøver med og uden tilbagelægning

2 SNDSYNLIGED at finde antallet af udfald i et udfaldsrum at bruge kombinatorik til at bestemme sandsynlighed at bruge statistik til at bestemme sandsynlighed at bruge simulering i forbindelse med sandsynlighed. USKELISTE ELEVMÅL FOR KPITLET Målet er, at eleverne: kan forstå og anvende enkle beregninger af sandsynligheder kan anvende statistik til at bestemme sandsynligheder kan udføre eksperimenter som afsæt for beregning af sandsynligheder kan anvende tællemodeller til at finde sandsynligheder kan udføre enkle stikprøveundersøgelser kan simulere eksperimenter i regneark. FGLIGE EGREER PRINTRK 11 Kast med skæve terninger U7 Kast med terninger E9 egreber og fagord - Sandsynlighed MTERILER lmindelige terninger enticubes i forskellige farver Ikke-gennemsigtige poser Karton Limstifter Materialer, der kan indgå i spil, fx terninger, kortspil, kugler i forskellige farver eller centicubes. Sakse Tændstikæsker DIGITLE VÆRKTØJER Regneark I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: Udfald og udfaldsrum ændelse Tælletræ dditions- og multiplikationsprincippet hancetræ Ordnet og uordnet stikprøve Stikprøve med og uden tilbagelægning Odds Simulering Statistisk sandsynlighed Teoretisk sandsynlighed FÆLLES MÅL På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

3 SNDSYNLIGED MTERILER Evt. et digitalt værktøj Terninger PRINTRK U7 Kast med to terninger FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 1 MÅL OG FGLIGT INDOLD På kapitlets første opslag bliver eleverne introduceret til emnet sandsynlighed. Opslaget indledes med, at eleverne bliver præsenteret for kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og undersøgelse arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. erefter præsenteres eleverne for kapitlets seks elevmål samt for fagord og begreber. For mange elever kan arbejdet med sandsynlighed forekomme noget abstrakt. Det er derfor vigtigt, de gennem hele kapitlet får god tid til at arbejde med fagord, begreber og metoder. Ligeledes kan det være hensigtsmæssigt, at eleverne inden arbejdet med opgaverne i forhåndsviden får læst og talt om, hvad den indledende introtekst beskriver, samt hvad mål, fagord og begreber betyder. Som tidligere nævnt kender eleverne allerede en del begreber fra MULTI på mellemtrinnet, og de bør derfor kunne beskrive og genkende en række af begreberne. Eleverne kan fx parvis beskrive de mål, fagord og begreber, som de kender betydningen af. Efterfølgende kan de parvis præsentere deres beskrivelser for hinanden. vis der er begreber eller fagord, de ikke kan forklare, så kan de fx blive forklaret i en fælles samtale i klassen. Der vil dog helt sikkert være begreber, som eleverne ikke tidligere har arbejdet med. De nye begreber er chancetræ, ordnet og uordnet stikprøve, odds, statistisk og teoretisk sandsynlighed. Det kan dog godt tænkes, at eleverne kan give et bud på og evt. vha. eksempler forklare, hvad ordene betyder. Eleverne har i MULTI 6 arbejdet med at beskrive sandsynlighed på baggrund af statistik. De har i den sammenhæng anvendt deskriptoren frekvens til at beskrive sandsynligheden for at noget bestemt sker. I opgave 1 og 3 i forhåndsviden repeteres netop denne viden. erunder er vist en hyppigheds- og frekvenstabel over hvor meget eleverne er vokset: Data (x) yppighed, h(x) Frekvens, f(x) 2 1 0, , , , , , , , , ,042 erunder er vist et diagram over, hvor meget eleverne er vokset: 7 ntal elever, h(x) ntal cm vokset på 1 år (x) Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden, da det giver et godt billede af fordelingen. For eksempel fremtræder størsteværdi, mindsteværdi og typetal klart, ligesom variationsbredden 9 (11 2) er nem at beregne.

4 UNDERSØGELSE: TERNINGEKST Målet med denne undersøgelse er, at eleverne skal erfare, at der kan være forskel på den beregnede sandsynlighed i forbindelse med et eksperiment, og den sandsynlighed de kan beregne på baggrund af indsamlet data. DEL 1 Individuelle elevsvar, som afhænger af elevernes eksperimenter. Elevernes svar vil derfor variere. Der vil være forskel på, hvor mange gange eleverne skal kaste, da man ikke kan være sikker på, at de første seks kast vil vise henholdsvis øjentallet 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Der vil være forskel på, hvor mange kast der skal til, før de enkelte par har slået alle seks forskellige øjental. DEL 2 D Individuelle chanceeksperimenter. Individuelle elevsvar, som afhænger af eksperimentet i punkt. Individuelle elevsvar. Individuelle elevbegrundelser. Den teoretiske sandsynlighed er størst for at få summen 7, hvilket fremgår af nedenstående skema, hvor de mulige udfald ved kast med to terninger er indtegnet Som det fremgår af skemaet, er sandsynligheden for at få en sum på: 2 = 1 = 2,78 % 36 3 = 2 = 1 = 5,56 % = 3 36 = 1 12 = 8,33 % 5 = 4 36 = 1 9 = 11,11 % 6 = 5 36 = 13,89 % 7 = 6 36 = 1 6 = 16,67 % 8 = 5 36 = 13,89 % 9 = 4 36 = 1 9 = 11,11 % 10 = 3 = 1 = 8,33 % = 2 = 1 = 5,56 % = 1 = 2,78 % 36 Eleverne kan derudover argumentere for, at man kan forvente, at summen 7 vil forekomme hyppigst ud fra deres chanceeksperimenter i undersøgelsens DEL 2. OPGVE 2 SNDSYNLIGED Sandsynligheden for at trække en blå centicube er 5 = Sandsynligheden for at trække en gul eller hvid centicube er 5 = Sandsynligheden for at trække en sort centicube er 4 = OPGVE 3 D Når det, man lægger mærke til ved hvert kast, er antallet af plat, er der kun tre udfald: 0 (nul) plat, 1 plat og 2 plat. Elevernes individuelle forventninger til de tre udfald. Mange vil instinktivt mene, at alle udfald er lige sandsynlige og forvente frekvensen 33,33 % for hvert udfald. Det rigtige er imidlertid: Udfald 0 plat 25 % 1 plat 50 % 2 plat 25 % Forventet frekvens idet udfaldet 1 plat kan forekomme på to måder. Den ene mønt plat, den anden mønt krone eller den ene mønt krone, den anden mønt plat. Elever, der først gætter på en ligefordeling, vil blive udfordret af punkt og D. Individuelle eksperimenter. Sammenligning af eksperimentet med forventningen. Man kan eventuelt se på hele klassens resultater i punkt under ét. Det vil så være klart, at ligefordelingen ikke er den rigtige.

5 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING MÅL OG FGLIGT INDOLD På dette opslag bliver eleverne præsenteret for begreberne hændelse, udfald og udfaldsrum, samt tælletabel og tælletræ. Efterfølgende arbejder eleverne med opgaver og en undersøgelse, der relaterer sig til teoriboksens indhold. vis eleverne er blevet præsenteret for de to typer sandsynlighed - teoretisk og statistisk sandsynlighed - i forbindelse med introduktion til kapitlet, så kan det være oplagt at tale om, hvilken type sandsynlighed henholdsvis opgaverne og undersøgelsen er. I opgaverne 4-6 arbejder eleverne med teoretisk sandsynlighed, og i undersøgelsen `Kast med tændstikæsker arbejder de med statistisk sandsynlighed. MTERILER Evt. et digitalt værktøj Tændstikæsker TEORI: UDFLD, UDFLDSRUM OG TÆLLEMODELLER Teoriboksen indeholder ikke decideres nogle nye begreber eller metoder. Det er dog nyt for eleverne, at hændelse betegnes med og beskrives som `gunstige udfald. Det vil sige de udfald, der opfylder hændelsen, fx sandsynligheden for at slå et lige tal med en symmetriske sekssidet terning. Ligeledes er det ny viden for eleverne, at alle `mulige udfald i udfaldsrummet betegnes med U. Sandsynligheden for en bestemt hændelse er formaliseret ved formlen: P() = antal udfald i antal udfald i U = antal gunstige udfald antal mulige udfald Tal med eleverne om, at de kun kan bruge formlen, hvis hvert udfald i udfaldsrummet er lige sandsynlige. Dvs., at hvis terningen ikke er symmetrisk, og der er større sandsynlighed for at slå fx 6, så kan formlen ikke anvendes. Teoriboksen indeholder meget tekst og mange informationer. Det kan derfor anbefales, at eleverne læser og gennemgår teoriboksens indhold parvis eller i mindre grupper. Efterfølgende kan de enkelte grupper få tildelt et begreb eller en tællemodel, som de skal forklare og beskrive for resten af klassen. Derefter kan opgave 4-6 danne udgangspunkt for en fælles samtale i klassen, hvor eleverne får anvendt de forskellige fagbegreber og modeller i forbindelse med opgaverne. OPGVE 4 D Individuelle beskrivelser. Et eksempel kunne være: Kast med en almindelig sekssidet terning noter øjentallet. Individuelle beskrivelser. Et eksempel kunne være: Træk et spillekort noter, om det er et billedkort. Individuelle beskrivelser. Et eksempel kunne være: Kast med to sekssidede terninger noter summen af øjentallene. Individuelle beskrivelser. Et eksempel kunne være: Kast med en mønt efterfulgt af kast med en sekssidet terning efterfulgt af kast med en tisidet terning noter udfald af typen (plat, 3, 8).

6 UNDERSØGELSE: KST MED TÆNDSTIKÆSKE SNDSYNLIGED OPGVE 5 Individuelle svar. Eksempler på udfald kunne fx være (lma, Daniel), (lma, Eigil) eller (lma, Felix). Der er 9 kombinationsmuligheder (skal vises med en tællemodel): Daniel (D) Eigil (E) Felix (F) lma () (, D) (, E) (, F) eate () (, D) (, E) (, F) lara () (, D) (, E) (, F) D Sandsynligheden for, at netop lara kommer med i festudvalget, er 3 9 = 1 3. Sandsynligheden for, at netop Janus kommer med i festudvalget, er 1. Der er 15 forskellige udvalg heraf 3 indgår Janus i de 5. Formålet med undersøgelsen er, at eleverne selv skal formulere, hvordan de vil undersøge, hvor ofte en tændstikæske lander på de seks forskellige viste måder. Undersøgelsen beskæftiger sig med statistisk sandsynlighed, hvorfor eleverne kan anvende statistiske funktioner som fx hyppighed og frekvens til behandling af data. Eleverne skal overveje, hvordan de indsamler data og efterfølgende behandler dem. De enkelte sider på tændstikæsken kan fx nummereres eller alfabetiseres, så det er lettere for eleverne kategorisere data. DEL 1 Individuelle undersøgelser og beskrivelser. DEL 2 Individuelle elevsamtaler OPGVE 6 Udfaldsrummet U består af 8 udfald: U = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k), (k, k, p), (k, k, k)}. lle disse udfald er lige sandsynlige. Falsk. f tælletræet kan man se, at sandsynligheden for udfaldet (k, k, k) er 1. 8 Sandt (begge udfald forekommer netop én gang i tælletræet). Falsk. egge udfald forekommer netop én gang i tælletræet, og de har derfor begge sandsynligheden 1. 8

7 SNDSYNLIGED Multiplikationsprincippet anvendes, hvis det er en situation, hvor der både skal vælges mellem den ene mulighed og den anden mulighed. Det kan fx være, at der både skal drys og flødebolle til isvaflen. Det er et eksempel på en sammensat valgsituation. Det samlede valg i eksemplet kan foretages på 5 3 = 15 forskellige måder. MÅL OG FGLIGT INDOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med additions- og multiplikationsprincippet. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med opgaver relateret til teoriboksens indhold. Det er første gang eleverne bliver præsenteret for begreberne additionsprincippet og multiplikationsprincippet. De to forskellige principper er relevant i forhold til at kunne tælle, på hvor mange måder et bestemt eksperiment lader sig udføre, dvs. hvor mange udfald er der i udfaldsrummet for et sandsynlighedsfelt, der kan beskrive eksperimentet. FITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TEORI: DDITIONS- OG MULTIPLIKTIONSPRINIPPET Det kan være abstrakt og uigennemskueligt for mange elever, hvordan man kan tælle og/eller beregne antallet af de forskellige udfald i et udfaldsrum. Det kan derfor være en god ide, at lade eleverne læse teoriboksen igennem og derefter arbejde med opgaverne 7 og 8. De to opgaver kan efterfølgende gennemgås fælles i klassen. Tal med eleverne om, hvordan tælletræer kan være med til at give et overblik over de forskellige udfald i et udfaldsrum. dditions- og multiplikationsprincippet er forklaret ud fra et eksempel, hvor der i eksperimentet skal vælges mellem fem forskellige slags drys og tre forskellige slags flødeboller til isvaflen. dditionsprincippet kan anvendes, hvis det er en situation, hvor der enten skal vælges mellem den ene mulighed eller den anden mulighed. I dette tilfælde enten 5 forskellige slags drys eller tre forskellige slags flødeboller. Det samlede valg kan foretages på = 8 forskellige måder. OPGVE 7 xel har 4 6 = 24 valgmuligheder. Liva har = 10 valgmuligheder. OPGVE 8 Individuelle elevsvar. Eleverne kan eksempelvis skrive: Louise skal vælge konfirmationstøj. un kan enten vælge en af tre kjoler eller hun kan vælge en af to dragter. vor mange valgmuligheder har Louise? Mads skal vælge én pakke LEGO. I butikken er der fire pakker med LEGO Star Wars, to pakker med LEGO hima og fem pakker med LEGO ity. vor mange valgmuligheder har Mads? Individuelle elevsvar. Eleverne kan eksempelvis skrive: Johan skal ud og købe et nyt fodboldsæt bestående af 1 par shorts og 1 spillertrøje. Der er 4 forskellige par shorts og 3 forskellige spillertrøjer. vor mange valgmuligheder har Johan? Karla skal købe udstyr til sin cykel. un skal have ringeklokke, lås og lygter. Der er 4 forskellige ringeklokker, 5 forskellige låse og 2 forskellige slags lygter. vor mange valgmuligheder har Karla? Eleverne bytter opgaver, løser og diskuterer hinandens opgaver. Eleverne kan evt. opfordres til at tegne tælletræer til de enkelte besvarelser. OPGVE 9 Den angivne rækkefølge af farvede kvadrater kan opnås på 6 forskellige måder. OPGVE 10 Der er i alt 20 ruter, som danner ordet TREKNT. åde opgave 9 og opgave 10 drejer sig om at finde antallet af ruter fra øverste venstre kvadrat til nederste højre kvadrat i et kvadratnet, hvor man kun må bevæge sig mod

8 SNDSYNLIGED højre og ned ét skridt ad gangen. Et skridt er her en streg fra et kvadrat til et nabokvadrat til højre eller ned. For på denne måde at nå fra start til slut i et 3x3-kvadrat skal der bruges 4 skridt. To af disse skridt skal gå mod højre, og to af dem skal gå nedad. Det er derimod ligegyldigt, hvilke to af de fire skrift, der går ned og hvilke, der går til højre. Så problemet kan oversættes til: Når du har fire tomme pladser, på hvor mange måder kan du så udfylde to af dem med et ( for højre)? t udvælge to pladser ud af fire kan gøre på K(4, 2) = 6 måder. Men eleverne kender ikke noget til binomialkoefficienter, så de må eksperimentere sig frem: OPGVE 11 Pernille kan have 24 forskellige koder ( ). Signe kan have 12 forskellige koder. OPGVE 12 Der er 4 3 = 12 holdmuligheder. Nu er der 3 5 = 15 holdmuligheder. Individuelle elevsvar. Mulighederne (teoretisk) er: (2D, 10P), (4D, 5P), (5D, 4P) og (10D, 2P). OPGVE 13 Individuelle elevforklaringer (5 6 4). I alt = 72 sammensætninger. Eleverne giver to forskellige bud. ntallet af discipliner i de tre afdelinger skal være hele tal med produktet 60. De steder, hvor der ikke står et, skal der så stå et N (N for ned). Indholdet af tabellen herover (oppefra og ned) svarer da til disse ruter (fra venstre mod højre): OPGVE 14 For hver af terningens 6 flader skal der vælges mellem 2 farver. Terningen kan derfor måles på 2 6 = 64 forskellige måder (både-og-valg). For hver af terningens 4 flader skal der vælges mellem 3 farver. Det kan derfor gøres på 3 4 = 81 forskellige måder. Tilsvarende kræver der i et 4x4-kvadrat i alt 6 skridt, hvoraf de 3 skal gå mod højre. ntallet af ruter (og dermed antallet af måder hvorpå ordet TREKNT kan dannes) er derfor K(6, 3) = 20. Det kan være vanskeligt for eleverne at finde dem alle, og specielt vanskeligt at være sikker på, at de har fundet dem alle. Om ønsket kan man derfor give opgaven en lidt anden karakter ved at formulere den således: Der er i alt 20 forskellige måder, som ordet TREKNT kan dannes på. vor mange af dem kan du finde?

9 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: NETRÆER OG SNDSYNLIGED Et chancetræ minder om et tælletræ, men med den forskel, at det, man ser på, ikke er antal muligheder men sandsynligheder. MÅL OG FGLIGT INDOLD På dette opslag bliver eleverne præsenteret for chancetræer i forbindelse med sammensatte hændelser, hvilket er nyt for eleverne. Sammensatte hændelser er hændelser, som bygger på flere deleksperimenter, fx udtrækning af flere kugler fra en pose. Teoriboksen tager udgangspunkt i et eksperiment, hvor to chokoladekugler skal udtrækkes en ad gangen fra en pose. Når en chokoladekugle er trukket, så bliver den spist. Den kommer dermed ikke tilbage i posen igen. I MULTI 7 1. udgave er der fejl i chancetræet i 2. udtrækning. Sandsynlighederne burde være: Eleverne arbejder med chancetræer og sandsynlighed i de efterfølgende opgaver og aktivitet. I MULTI 7 skal eleverne ikke regne med addition i chancetræet. Ligeledes arbejdes der med relativ små talstørrelser i de beskrevne eksperimenter, så det er muligt at anvende et chancetræ. MTERILER enticubes Lad evt. først eleverne afprøve eksperimentet med fx centicubes. De kan fx lave statistik over antallet af gule eller røde eller blå centicubes ved de to trækninger. vad siger statistikken om sandsynligheden for at begge centicubes er røde? Det kan være en god ide, at eleverne parvis læser eksemplet i teoriboksen igennem, så de har mulighed for at tale om de ting, de evt. ikke forstår. Efterfølgende kan arbejdet med opgave 15 danne udgangspunkt for en fælles samtale i klassen om, hvordan eleverne kan bruge chancetræet i teoriboksen.

10 SNDSYNLIGED OPGVE 15 Fordi 4 3 giver det samme resultat som P(gul, gul) = 4 3 = Fordi der er flere røde kugler end blå. D E F Når man har taget 2 gule kugler, er der i alt 7 kugler tilbage, hvoraf de 2 er gule. Den søgte sandsynlighed er derfor 2 7. Der er 7 kugler tilbage, hvoraf 1 er rød. Sandsynligheden for at trække en rød er derfor 1 7. Fordi der ikke er flere blå kugler i posen. OPGVE 17 erunder er vist et chancetræ, hvorpå alle sandsynligheder er skrevet: Eleverne kan evt. udføre nogle af eksperimenterne med centicubes, og efterfølgende sammenligne resultaterne med den teoretiske sandsynlighed. OPGVE 16 erunder er vist et chancetræ, hvorpå alle sandsynligheder er skrevet: Individuelle elevforklaringer = 1 2. OPGVE 18 Sandsynligheden for, at kuglen er hvid, er 6 = Sandsynligheden for, at begge kugler er hvide, er: 3 1 = KTIVITET: ENTIUEKST I denne aktivitet skal eleverne indsamle og bearbejde data. Tal med eleverne om, hvorfor aktiviteten bygger på statistisk sandsynlighed og ikke teoretisk sandsynlighed. Sandsynligheden for, at der vælges tre piger er: ,13 % Sandsynligheden for, at der vælges tre drenge er: ,2 % ktiviteten kan evt. udvides med, at eleverne undersøger sandsynligheden for, at figuren lander på samme måde i fx 1. og 2. kast. Det vil være en fordel for eleverne, hvis de kan arbejde med data i regneark. DEL 1 F Individuelle eksperimenter.

11 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: STIKPRØVER I teoriboksen er beskrevet fire forskellige måder at udtage stikprøver på. Stikprøverne er inddelt i ordnede og uordnede stikprøver og i stikprøver med og uden tilbagelægning. MÅL OG FGLIGT INDOLD Eleverne bliver på dette opslag introduceret til begrebet `stikprøve. Det er et nyt begreb for eleverne, der er relevant i forhold til at kunne beregne eller finde sandsynligheden i situationer med teoretisk sandsynlighed og i forbindelse med sammensatte hændelser. Det vil sige hændelser, som bygger på flere deleksperimenter, fx kast med flere terninger. I den efterfølgende aktivitet og opgaver arbejder eleverne med de forskellige typer stikprøver. De skal bl.a. bestemme sandsynligheder teoretisk og med at bestemme sandsynligheder statistisk. MTERILER Ikke-gennemsigtige poser. Gule, blå og røde centicubes. Gennemgå evt. teoriboksen fælles i klassen, så der er mulighed for at tale om det eksperiment der er beskrevet, samt de forskellige typer stikprøver. Når klassen har læst teoriboksens indhold, så kan eleverne parvis eller i mindre grupper fx arbejde med følgende opgave, hvor de skal beskrive forskellige eksperimenter. I en pose ligger fem centicubes - 2 røde og 3 blå. Der skal foretages to eller tre trækninger med lukkede øjne - en ad gangen. eskriv fire forskellige eksperimenter, der hver viser de fire forskellige typer stikprøver. Tegn et chancetræ til hvert af de fire eksperimenter. Skriv to spørgsmål til hvert eksperiment, der starter med Find sandsynligheden for at trække og løs opgaverne. yt opgaver med et andet makkerpar. KTIVITET: STIKPRØVE DEL 1 Eleverne trækker én centicube ad gangen, lægger den tilbage i posen. Dette gentages 25 gange. Eleverne beregner frekvenserne ud fra deres noterede data. Eleverne tegner en chancetræ over sandsynlighederne. DEL 2 Eleverne beregner de teoretiske sandsynligheder. Er der eksempelvis 5 gule og 10 blå centicubes er sandsynlighederne: P(blå, blå) = = 3 7 0,429 P(blå, gul) = = ,238 P(gul, blå) = = ,238 P(gul, gul) = 5 4 = 2 0, Eleverne beskriver forskelle og ligheder mellem den beregnede statistiske sandsynlighed i DEL 1

12 og den beregnede teoretiske sandsynlighed i DEL 2. I DEL 2 beregnes en sammensat sandsynlighed, hvilket ikke er tilfældet i DEL 1. SNDSYNLIGED DEL 3 Eleverne beregner de teoretiske sandsynligheder. Er der eksempelvis 5 gule, 10 blå og 10 røde centicubes, er sandsynlighederne: P(gul) = 5 = 1 = 0, P(blå) = 10 = 2 = 0, P(rød) = 10 = 2 = 0, Individuelle redegørelser. Sandsynligheden er forskellig, da der i punkt, DEL 3 er flere centicubes i posen, hvorfor de gule centicubes vil udgøre en mindre andel. Eleverne kan med fordel opfordres til at tegne chancetræer til de opgaver, hvor de finder det relevant. Et chancetræ kan være et rigtig godt værktøj til at få et overblik over eksperimentet og de forskellige udfald. OPGVE 19 D f chancetræet kan man aflæse, at den søgte sandsynlighed er 5 17,9 %. 28 f chancetræet aflæses, at sandsynligheden for Nul Elvis-D er er = 1 1,8 % Det er en ordnet stikprøve med tilbagelægning. Individuelle elevsvar. Eksempler på koder kunne være: (9, 9, 9, 9), (9, 9, 0, 0), (1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8), (9, 7, 5, 3). OPGVE 21 Sandsynligheden for, at Promised Land ikke er med, er 3 2 = Sandsynligheden for, at begge Promised Land - D er er med, er 2 1 = OPGVE 20 Det er en uordnet stikprøve uden tilbagelægning. erunder er vist et chancetræ, hvor E betegner den hændelser, at den valgte D er en Elvis-D, mens E betegner den hændelser, at den valgte D ikke er en Elvis-D. OPGVE 22 Sandsynligheden for, at nøglen ikke passer, er 4 5. OPGVE 23 Det er lige meget, om en elev bliver trukket som nummer 1 eller nummer 2 altså er stikprøven uordnet. Det er uden tilbagelægning, da gruppen skal bestå af 2 elever, og derfor kan den samme elev ikke trækkes flere gange. Morgenmadsgruppen kan sammensættes på 15 forskellige måder. ftensmadsgruppen kan sammensættes på 6 forskellige måder.

13 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: ODDS MÅL OG FGLIGT INDOLD Eleverne arbejder på dette opslag med odds samt sandsynlighed og spil. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med forskellige spil i forbindelse med beregning af sandsynligheder. Det er dog første gang, de introduceres til begrebet `odds i MULTI. I den efterfølgende aktivitet arbejder eleverne med forskellige spil, hvor eleverne med udgangspunkt i de enkelte spil skal fastsætte odds, sådan at spillene i det lange løb vil give overskud. MTERILER enticubes Et digitalt værktøj Karton Materialer, der kan indgå i spil, fx forskellige terninger, kortspil, kugler i forskellige farver Spil med odds (1) (regneark) Mange elever kender sikkert begrebet odds fra fx fodbold eller andre sportsbegivenheder. I den situation fortæller odds, hvor mange gange man får sin indsats tilbage, hvis man har spillet på det rigtige resultat. Odds i denne sammenhæng bygger på statistik og en subjektiv vurdering af, hvem der fx vil vinde en fodboldkamp. Det mest sandsynlige resultat vil her give mindst udbytte for spilleren. Odds kan også bygge på teoretisk sandsynlighed, dvs. at det er muligt at beregne sandsynligheden for et bestemt udfald, fx sandsynligheden for at slå 1 med en sekssidet terning. Men ellers handler det på samme måde som beskrevet ovenfor om, at odds er et tal, der beskriver, hvor mange gange man får indsatsen igen, hvis man vinder. Eleverne skal dog vide, at det ikke er sikkert, at sandsynligheden for at vinde også er lig med den del af spillene, der vil blive vundet. egrebet odds kan være svært at forstå, og det kan derfor anbefales, at teoriboksens indhold bliver gennemgået fælles i klassen. Der kan fx tages udgangspunkt i eksemplet med den sekssidet terning, der er beskrevet i teoriboksen. Tal med eleverne om, hvad det vil sige, at et spil er retfærdigt. hvordan der kan fastsættes odds, så der over tid vil være overskud til spiludbyderen. Eleverne kan i mindre grupper arbejde med DEL 1 i aktiviteten `Sandsynlighed og spil, som efterfølgende kan danne udgangspunkt for en fælles samtale i klassen. KTIVITET: SNDSYNLIGED OG SPIL Eleverne skal i denne aktivitet på forskelligvis arbejde med sandsynlighed og spil. De skal forestille sig, at de skal tjene nogle penge til en hyttetur. De har derfor valgt at lave en spilleaften for forældre og søskende i klassen. Eleverne skal i de enkelte spil fastsætte odds, så der i det lange løb er overskud. ktiviteten kan evt. organiseres sådan, at de enkelte grupper vælger 2-3 spil, de arbejder med. Grupperne vælger et af spillene, som de afslutningsvis præsenterer for klassen.

14 En udvidelse af aktiviteten kan være, at de enkelte grupper selv udvikler et spil, som de fastsætter odds til, så der i det lange løb vil være overskud. Grupperne kan efterfølgende bytte spil, og spille hinandens spil. Der kan fx spilles med centicubes, tændstikker eller lignende. SNDSYNLIGED Eleverne skal i DEL 3, 4 og 5 anvende regnearket `Spil med odds (1), som de finder på MULTI s hjemmeside. Lad evt. eleverne undersøge regnearket og dets opbygning inden de begynder at arbejde med de forskellige spil i aktiviteten. DEL 1 Spilleren betaler i alt 200 kr. for at deltage i 100 spil. Spilleren vil vinde 25 spil. Spillerne får udbetalt 6 25 = 150 kr. D Spilleren har tabt 50 kr. E Spiludbyderen har vundet 50 kr. For hver krone, indsatsen sættes til, tjener klassen altså cirka 33 kr. på 100 spil. DEL 2 ændelsen består af udfaldene 2, 3 og 5. Sandsynligheden for, at spilleren vinder er 1 = 2 50 %. vis spillet skal være retfærdigt, skal odds være 2. D vis 7. x skal tjene penge på spillet i det lange løb, skal odds være mindre end 2. DEL 3 Eleverne spiller spil 1. Sandsynligheden for at vinde i 2. spil er 13 = Eleverne undersøger 2. spil. D Eleverne undersøger eget spil. DEL 4 Vindersandsynligheden er 1. 4 vis spillet skal være retfærdigt, skal odds være 4. vis klassen skal tjene 300 kr., skal odds være 2,5. DEL 5 Spillerens gevinstchance er i virkeligheden = ,4 %. Det beløb, klassen kan tjene på 100 spil, afhænger selvfølgelig af indsatsens størrelse. Ved en indsats på 1 kr. kan man forvente at tjene cirka 33 kr. erunder ses et skærmdump fra Spil med odds (1) :

15 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING KTIVITET: SIMULERING I REGNERK OG ODDS Eleverne skal i denne aktivitet undersøge, hvor højt de kan sætte odds og risikoen for underskud. De skal bruge regnearket `Spil med odds 2, hvor de kan simulere 100 spil. Når eleverne skal simulere et nyt spil, skal de trykke på F9. MÅL OG FGLIGT INDOLD På dette opslag skal eleverne først arbejde med simulering i regneark og odds, der er en forlængelse af aktiviteten fra forrige opslag. Derefter præsenteres eleverne for de to typer sandsynlighed - statistisk sandsynlighed og teoretisk sandsynlighed. MTERILER Spil med odds (2) (regneark) DEL 1 Individuelle elevvurderinger. Tal med eleverne om, hvilken værdi de har sat odds til, og hvorfor der kan være forskel på de svar, de er kommet frem til. vis grupperne skulle have 20 spil i træk uden underskud til klassen, hvordan ville deres oddsværdi så se ud? DEL 2 Eleverne kontrollerer deres odds-værdier i spillene på side Eleverne skal være opmærksom på, at de i regnearket skal huske at ændre både odds-værdien og sandsynligheden for at vinde, så den passer med det spil, de undersøger. Når eleverne har kontrolleret deres odds-værdier i de øvrige spil i aktiviteten `Sandsynlighed og spil, kan klassen tale om, hvorvidt simuleringerne gav anledning til, at de enkelte grupper ændrede deres odds-værdier. TEORI: FORSKELLIGE SLGS SNDYNLIGED I denne teoriboks bliver eleverne præsenteret for statistisk sandsynlighed og teoretisk sandsynlighed (også kaldet kombinatorisk sandsynlighed). Det kan være, at eleverne allerede ved kapitlets begyndelse har talt om de to forskellige typer sandsynlighed (se side xxx i denne vejledning). I givet fald er denne teoriboks blot en repetition. Eleverne kan fx læse og gennemgå teoriboksens indhold parvis, og efterfølgende arbejde med opgave 24. I en fælles klassesamtale, kan eleverne forklare, om den enkelte situation kan finde ved teoretisk sandsynlighed, og begrunde deres svar.

16 OPGVE 24 SNDSYNLIGED D E F G Sandsynligheden kan findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan ikke findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan ikke findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan ikke findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. Sandsynligheden kan ikke findes ved teoretisk sandsynlighedsregning. OPGVE 25 Den søgte sandsynlighed er 5 Påstanden er falsk. Påstanden er falsk. D Påstanden er falsk OPGVE 26 Tælletabel, der viser de forskellige sammensætninger af røde og sorte kort: knægt dame konge es knægt dame konge es D Der er i alt 16 forskellige udfald. I 7 af de 16 udfald indgår mindst én knægt. Sandsynligheden for at trække et udfald med spar dame er 4 = 1 = 25 % OPGVE 27 Oskar har størst sandsynlighed for at vinde, idet der er 10 grønne cykler, men kun 8, der er sorte eller blå. Oskar har ikke ret. Der er 10 røde cykler, men der er også 10, der er blå eller gule, så de to sandsynligheder er lige store.

17 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEM: DEN SKÆVE TERNING Eleverne kan med fordel anvende et regneark til at samle og bearbejde data i. Grupperne kan arbejde sammen to og to, så de undervejs kan diskutere deres resultater og argumenter. MÅL OG FGLIGT INDOLD På dette opslag skal eleverne på den første side arbejde med temaet Den skæve terning, og på den anden side skal de arbejde med evaluering af kapitlet. MTERILER Evt. et digitalt værktøj. Limstifter Sakse PRINTRK 11 Kast med skæve terninger E9 egreber og fagord - Sandsynlighed DEL 1 Individuelle valg. Eleverne kan argumentere for, at det er mest sandsynligt, at terningen vil lande på den største side. Individuelle valg. Eleverne kan argumentere for, at det er mindst sandsynligt, at terningen vil lande på den mindste side. Individuelle valg. D Eleverne kaster terningen og fremstiller en frekvenstabel for de forskellige øjental. E Individuelle elevvurderinger. F Individuelle svar, som afhænger af eksperimentet og hvilken side, eleverne har valgt som 6 er. G Individuelle svar, som afhænger af eksperimentet og hvilke side, eleverne har valgt som 1 er. DEL 2 Intet facit. Eleverne kaster terningen og noterer øjentallene. Individuelle svar. DEL 3 Eleverne fremstiller chancetræer på baggrund af de udførte chanceeksperimenter. Individuelle svar, som afhænger af chanceeksperimenterne. Eleverne udfylder skemaet. D Eleverne beregner frekvenserne for summen af øjentallene for kast med de to skæve terninger. E Individuelle redegørelser, som afhænger af chanceeksperimenterne.

18 EVLUERING SNDSYNLIGED DEL 1 E Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler på og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. DEL 3 D E Individuelle elevforklaringer og beregninger. Sandsynligheden for at trække en hvid centicube er 1 4, fordi der er lige stor chance for at trække hver af de 12 centicubes i posen (som er ikkegennemsigtig), og der er 3 hvide centicubes i posen. ermed er sandsynligheden 3 = 1 = 25 % Individuelle elevforklaringer. Sandsynligheden kan beregnes på den viste måde, fordi der er tale om en uordnet stikprøve med tilbagelægning. Derfor har rækkefølgen ingen betydning og der er 12 centicubes ved begge trækninger. Individuelle elevforklaringer. Sandsynligheden kan beregnes på den viste måde, fordi der er 5 blå og grønne centicubes tilsammen ud af de 12 centicubes i alt. Individuelle elevforklaringer. Sandsynligheden er den samme, da der er lige mange sorte og grønne som blå og hvide centicubes. Eleverne fremstiller et chancetræ. DEL 4 Individuelle elevforklaringer. Udtrækningen er uden tilbagelægning, hvilket eksempelvis kan ses ved at nævneren bliver 1 mindre for hver trækning.

19 SNDSYNLIGED FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 FÆRDIGEDER OPGVE 1 P(blå) = 1 = 10 %. 10 P(grøn eller hvid) = 3 = 30 %. 10 P(ikke-gul) = 8 = 80 %. 10 MÅL OG FGLIGT INDOLD OPGVE 2 På dette opslag skal eleverne arbejde med færdighedsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. vis stikprøven tages med tilbagelægning: P(to gule) = 1 1 = 1 11,1 % vis stikprøven tages uden tilbagelægning: P(to gule) = 1 8,3 %. 12 OPGVE 3 På = 24 måder. OPGVE 4 P(es) = 4 = 1 7,7 % P(rødt es) = 26 = 1 = 50 % P(ikke-es) = 48 = 12 92,3 % D P(billedkort) = 12 = 3 23,1 % OPGVE 5 Den statistiske sandsynlighed for rød efter disse 1000 kast er 20 %. Den statistiske sandsynlighed for blå efter disse 1000 kast er 40 %. OPGVE 6 Svarene afhænger af aflæsningen af stolpediagrammet, så en vis aflæsningsusikkerhed må forventes. Grundlaget for resultaterne herunder er følgende aflæsninger: a: 50 (12,5 %), b: 20 (5 %), c: 140 (35 %), d: 50 (12,5 %), e: 20 (5 %) og f: 120 (30 %). 5 %. 12,25 %.

20 OPGVE 7 SNDSYNLIGED P(to piger) = 45 = 15 16,3 % P(to drenge) = 91 33,0 %. 276 OPGVE 8 P(to ens) = 8 = 1 =12,5 % P(sum = 16) = 1 1,6 %. 64 P(produkt = 1) = 1 1,6 %. 64 OPGVE 9 D Individuelle elevforslag til stikprøver. TRÆN 2 FÆRDIGEDER OPGVE 1 P(blå) = 2 = 10 %. 20 P(grøn eller sort) = 8 = 40 %. 20 OPGVE 2 P(tre eller seks) = 2 = 1 = 25 %. 8 4 P(sum = 9) = 8 = 1 = 12,5 % P(produkt = 18) = 2 = 1 3,1 % OPGVE 3 De tre kan stille sig i kø på = 6 forskellige måder. OPGVE 4 P(to seksere) = 1 0,69 %. 144 P(tre seksere) = = 1 0,21 % OPGVE 5 Der findes = 5000 løbenumre til piger. OPGVE 6 Når man tæller antallet af krone ved kast med tre mønter, er udfaldsrummet U = {0, 1, 2, 3}. Vindersandsynligheden er 1. 8 OPGVE 7 P() = 1 = 33,3 %. 3 P() = 1 = 11,1 %. 9 P() = ,8 %.

21 SNDSYNLIGED Rød Grøn Lilla Der gælder altså P(blå) = 3 8. P(2 gange rød) = t bilen peger på grønt felt to gange i træk. OPGVE 6 MÅL OG FGLIGT INDOLD På dette opslag skal eleverne arbejder med problemløsningsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING I denne opgave går vi ud fra, at w tæller som et bogstav. Så er der 29 bogstaver i det danske alfabet, hvoraf 5 (I, Q, Æ, Ø og Å) ikke bruges. Tilbage er 24 bogstaver = mulige nummerplader med MD = mulige nummerplader med M som første bogstav = 576. D = TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE lyn-serier basis-serier. OPGVE 2 P(a eller b) = 2 66,7 %. 3 P(c) = 1 33,3 %. 3 Elevtegning af chancetræ. D P(rød a og blå b) = 1 11,1 %. 9 OPGVE 3 Der vil være 28 3 = forskellige ejerkoder = 1000 ejerkoder. OPGVE 4 Eleverne undersøger med et chancetræ, hvem der har ret (Lise). OPGVE 5 Sandsynlighederne er fordelt således: Gul lå

22 OPGVE 5 SNDSYNLIGED TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE = basis-serier = 1000 basis-serier. Der er basis-serier, som kun indeholder The Klap én gang, så sandsynligheden for, at en tilfældig valgt serie opfylder dette, er OPGVE 2 P(brøk = 1) = 1 = 10 %. 10 P(brøk < 1 ) = 2 66,7 % brøker bliver større end 1. 2 D P(brøk = 6 ) = 1 1,7 % E P(brøk > 1) = 15 = 1 = 25 % = 1 = 10 % f de 25 elever er der 10, der cykler i skole, så sandsynligheden er 10 = 2 = 40 % Tre elever fra klassen kan vælges på K(25, 3) = 2300 måder. Der er kun 3 elever som kører med bus, så sandsynligheden for, at netop disse tre bliver valgt er = 0,043 %. emærk: Eleverne kender ikke binomialkoefficienterne (her K(25, 3)) og skal derfor hjælpes til at finde antallet specielt til at indse, at ikke er antallet af mulige udfald. Der er i alt 10 elever af de 25 i klassen, som kører med bus eller bliver kørt i skole. Sandsynligheden for, at en af dem bliver valgt, er derfor 10 = 2 = 40 % OPGVE 3 Der er i alt 10 4 = kombinationer. Yrsa kan vælge mellem 100 kombinationer. Ole kan risikere at skulle bruge = 24 forsøg. OPGVE 4 vis Tobias ikke skal over 21, skal han trække et kort med værdi mindre end 5. Dem er der 15 af i bunken: fire esser, fire 2 ere, tre 3 ere og fire 4 ere. Men der er flere kort med en værdi på 5 eller derover (i alt 22 hvis vi tillægger esserne værdien 1), så det vil være fornuftigt af Tobias at stoppe. Der er i alt 37 kort tilbage at vælge mellem. vis vi tillægger esserne værdien 1, vil 15 af disse give en værdi mindre end eller lig med 21, så den søgte sandsynlighed er P(sum 21) = 15 40, 5 %. 37 P(sum > 21) = 1 15 = 22 59,5 % D f de tilbageværende 37 kort er der 7 kort (fire 9 ere og tre 10 ere), der bringer bdis sum over 21, men der er 30 kort, som vil resultere i en sum mindre end eller lig med 21 (es = 1). Så man vil nok råde bdi til at trække et kort mere. E P(sum 21) = 30 81,2 %. 37