Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Transkript

1 Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006

2 2

3 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra Sprog Tal Tal Regning Potenser Parentes regning Bogstavregning Logik Argumenter Hvad er et bevis? Kvadratsætningerne Brøkregning Potensregneregler Kapiteloversigt Ligninger Ligningsløsning Andengradsligninger To ligninger med to ubekendte Kapiteloversigt Funktioner del I Funktionsbegrebet Regneforskrift Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen log(x) Logaritmefunktionen på lommeregnerne

4 4 INDHOLD Løsning af ligninger med logaritmer Logaritmefunktionen ln(x) Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Eksponentielle ligninger Fordoblings- og halveringskonstant Potensfunktioner Proportionalitet Proportional Omvendt proportional Regression Lineær regression Eksponentiel regression Potes regression Kapiteloversigt Geometri Trigonometri Kapiteloversigt Deskriptiv statistik Observation og hyppighed Frekvens Middeltal Summerede frekvenser Pindediagram Trappediagram Kvartiler Grupperede observationer Interval Middeltal Histogram Beregning af kvartiler Box-plot Statistiske undersøgelser Indsamling af data Datatyper Population og stikprøve Bias Konfundering

5 INDHOLD 5 8 Økonomi Penge og pengestrømme Banken Indlån Udlån Budget Budgetkonto Regnskab Opsparing Forsikringer Skat Forskudsopgørelsen Selvangivelsen Årsopgørelsen Kapiteloversigt II Matematik B Analytisk geometri Kapiteloversigt Funktioner del II De trigonometriske funktioner Svingninger Polynomier Parabel Differentialregning Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten Differentialet af f(x) = k, f(x) = x og f(x) = x Differentialet af sum -, differens - og produktfunktioner Induktionsprincippet Differentialet af f(x) = x n Differentialet af kvotientfunktioner Integralregning Differentialligninger 209

6 6 INDHOLD 14 Sandsynlighedsregning 211 A Eksamensopgaver 213

7 INDHOLD 7 Indledning Kapitelet om deskriptiv statistik er skrevet så det lægger op til gruppearbejde. Kapitelet om økonomi er tematisk. Dennis Pipenbring, Frederiksberg

8 8 INDHOLD

9 Del I Matematik C 9

10

11 Kapitel 1 Grundlæggende algebra Hvis man skal beskrive hvad algebra er så er det nok bedst at beskrive det som matematikkens sprog. Det er algebra som gør os i stand til at regne med symboler. Det du nok har prøvet mest er at regne med tal, men der er så mange andre symboler man kan regne med. I det følgende vil du lære at regne med bogstaver. Grundet til at man regner med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan man spare sig selv for en masse udregninger. Når man regner med symboler er det det samme som at sige en sætning, den skal meget gerne give mening og den skal meget gerne give den samme mening for dig når du siger den og for den som hører sætningen. Derfor har man besluttet at bruge nogle fælles regler, ligesom man har besluttet at bruge nogle fælles regler for vores sprog og den måde vi skriver det på. 1.1 Sprog Matematik er et sprog hvor i gennem man kan regne med symboler og tal, og som alle andre sprog har matematik også en grammatik. Matematikkens grammatik er beskrevet i følgende love: 11

12 12 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan man komme frem til en hel masse generelle regler som gælder for alle tal. Men inden vi går igang med det så er der lige et par andre ting vi skal se på. 1.2 Tal Hvad er et tal? Du kender sikkert allerede rigtigt mange tal f.eks. 4, 5, 9378, men kender du også disse tal I, III, IV, DC eller disse tal 10110, Fældes for alle disse tal er at de repræsenterer en værdi. Man kan side at symbolet 4 repræsentere værdien 4, men det gør symbolet IV og 100 også. Dvs. Et tal er et symbol som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik vil vi dog ofte undlade denne betegnelse Tal Man inddeler tal i flere forskellige typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kalder vi for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Når man har de naturlige tal kan man også konstruere tal som f.eks. 11 og 5 ved at sætte (minus) foran tallet på denne måde får man konstrueret tallene..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Disse tal kalder vi for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Når man har de hele tal kan man konstruere tal som f.eks. 3 og 7 tal af denne type 6 11 hedder brøker og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Der er en til type af tal du skal kende og det er de reelle tal det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. R kan konstrueres ud fra Q, men det vil vi ikke komme ind på her. Og når man har R kan man lave den komplekse tal som har symbolet C, som vi heller ikke vil komme ind på her.

13 1.3. REGNING 13 Tal type Navn Symbol 0, 1, 2, 3,... De naturlige tal N..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... De hele tal Z f.eks. 3, 7 De rationelle tal Q f.eks. 2 og π De reelle tal R 1.3 Regning Når man nu har tallene, har man også fundet på, at det er muligt at foretage forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kalder vi for addition. For at beskrive at vi foretager en addition skriver vi + (plus) mellem tallene. F.eks Når vi foretager en addition kalder vi de to tal som adderes for led, det symbol som vi skriver mellem ledende kalder vi for en operator. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 led led Når vi foretager en operation får vi et resultat, for at vise det skriver vi =. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 = }{{} 6 led led sum Led adskilles af + eller. Hvis man ganger to tal eller bogstaver så kaldes de faktorer f.eks. så er der i dette udtryk 3 faktorer og 2 led 3 e y + 6 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Man vil ofte undlade at skrive hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. vil man istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey mens hvis der stod 3 4 så ville man ikke skrive 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire Potenser Meget ofte vil man gerne skrive udregningerne på den mest simple måde og derfor indfører vi her en skrive måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks

14 14 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA dette vil vi skrive som 3 4 og man udtaler det tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. Hvis man skriver 5 3 så betyder det altså 5 ganget med sig selv 3 gange. 1.4 Parentes regning Meget ofte i matematik kommer man ud for at skulle regne med parenteser, der er to ting man kan gøre, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Vi starter med at gange ind i parentes. Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, så skal man gange tallet eller bogstavet med hvert led i parentesen f.eks. dette vil man naturligt reducere til 5 (3 + c a) = c 5 a c 5a Hvis man har to parenteser der skal ganges ind i hinanden (vi ganger parenteserne ud) så skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Man kan se at der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y) Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x + 4) (3y + z) = (2x + 4) 3y + (2x + 4) z = 2x 3y + 4 3y + 2x z + 4 z Eksempel Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x+y) 2 til (2x+y) (2x+y), nu ser vi at der er tre parenteser (2x + y) (2x + y) (5 + z)

15 1.4. PARENTES REGNING 15 det kan vi ikke gange ud på en gang så derfor starter vi med de to første parenteser og derefter gange vi den tredje ind ((2x + y) (2x + y)) (5 + z) = ((2x + y) 2x + (2x + y) y) (5 + z) = (2x 2x + y 2x + 2x y + y y) (5 + z) = ( 4x 2 + 2xy + 2xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) 5 + ( 4x 2 + 4xy + y 2) z) = 4x xy 5 + y x 2 z + 4xy z + y 2 z = 20x xy + 5y 2 + 4x 2 z + 4xyz + y 2 z

16 16 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Gang følgende parenteser ud. Opgave 1.1 (x + y) (x + y) Opgave 1.2 (x + y) (2x + y) x 2 + 2xy + y 2 Opgave 1.3 (x + 2) (2 + y) 2x 2 + 3xy + y 2 Opgave 1.4 (5x + 4y) (2x + 3y) 2x + 2y + xy + 4 Opgave 1.5 (x y) (x + y) 10x xy + 12y 2 Opgave 1.6 (x 3y) (x + y) x 2 y 2 Opgave 1.7 (x y) (x + y) (z + 5) x 2 2xy 3y 2 Opgave 1.8 (3x + 5y + 3) (2x + 4) x 2 z y 2 z + 5x 2 5y 2 6x xy + 18x + 20y + 12

17 1.4. PARENTES REGNING 17 Hvis man skal sætte udenfor parentes, så skal man finde det som to eller flere led har tilfældes. Eksempel Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes bemærk at x er fjernet fra begge led. 2x + 5xy = x (2 + 5y)

18 18 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu skal vi træne den distributive lov dvs. regel nr. 5 og 6. Sæt udenfor parantes. Opgave 1.9 3x + 4xy Opgave x + 6xy x(3 + 4y) Opgave x 2 + 6xy 2x(1 + 3y) Opgave a + 6b + 8c 3x(x + 2y) Opgave a + 6ba 2 2(2a + 3b + 4c) Opgave x + 6xy 3a(1 + 2ba) Opgave xy 2 9xy 2x(1 + 3y) Opgave x 4 y 3 21x 3 y 4 3xy(y 3) 7x 3 y 3 (2x 3y)

19 1.5. BOGSTAVREGNING Bogstavregning Man kan også regne med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b Nu skal vi prøve at kombinerer plus og gange a + (b c) = a + bc a (b + c) = ab + ac b (a + b + c) = ab + b 2 + bc Og nu skal vi prøve at kombinerer alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b

20 20 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende udtryk ud. Opgave 1.17 a + a + a Opgave 1.18 ab a b + a 3a Opgave 1.19 a2 a a Opgave 1.20 a (b + c) ab a ac Opgave 1.21 a a 2 Opgave 1.22 ab ac+ad a + c 1 a Opgave 1.23 a (a + a) b + d Opgave 1.24 (a + b) c (c + b) a 2a 2 bc ab

21 1.6. LOGIK Logik Logik er en måde at tænke på som gør os istand til at kommuniker meningsfyldt med hinanden. Derfor er logik grundlaget for vores måde at tænke på og derfor er det vigtigt. Logik er en metode til at bestemme om det vi høre eller læser er rigtigt / sandt / logisk. Det vi høre eller læser deler vi op i små bidder, og hver af disse bidder kan vi så afgøre om er rigtige / sande / logiske. Disse små bidder kalder man for argumenter Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være alle mennesker er fejlbarlige eller du er et menneske eller månen er gul eller Alle æg er kvadratiske. Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører 1. eftersom 2. fordi 3. for 4. idet 5. følger af 6. hvis 7. som vist ved 8. som antydet 9. grunden er 10. med den begrundelse 11. som kan sluttes fra 12. afledes fra 13. deduceres fra

22 22 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 14. i lyset af den kendsgerning [2] s De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter som tilsammen giver anledning til den konklusion som man gerne ville frem til - det man ville bevise. F.eks. hvis man vil bevise at (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw så bruger man følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Det er meget vigtigt at man forstår hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man når man læser sådanne beviser være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker å at man forstå det. Dette kan formuleres i en sætning - sætning er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 1.7 Kvadratsætningerne Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw

23 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 23 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw + vw + w 2 = v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Denne sætning har en variant som også viser sig at være nyttig. Sætning Hvis v og w R så vil (v w) (v w) = v 2 + w 2 2vw Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v w) (v w) = (v w) v + (v w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v w) v + (v w) w = v 2 vw vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 vw vw + w 2 = v 2 2vw w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v w) (v w) = v 2 2vw + w 2

24 24 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Og her kommer den sidste variant. Sætning Hvis v og w R så vil (v + w) (v w) = v 2 w 2 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw vw w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw vw w 2 = v 2 w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v w) = v 2 w 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadrat sætninger. Nu skal vi prøve at anvende disse sætninger på nogle opgaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = = = 64 Meget ofte vil vi ikke regne med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

25 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 25 Endnu et eksempel. Eksempel Opgaven er udregn følgende: (2x+y) (2x+y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y (2x) y = 4x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.

26 26 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.25 Udregn (3 5) (3 5) Opgave 1.26 Udregn (3 5) (3 + 5) 4 Opgave 1.27 Udregn (t + r) (t + r) 16 Opgave 1.28 Udregn (t r) (t + r) t 2 + r 2 + 2tr Opgave 1.29 Udregn (x r) (x r) t 2 r 2 Opgave 1.30 Udregn (2x r) (2x r) x 2 + r 2 2xr Opgave 1.31 Udregn (3x + 4y) (3x + 4y) 4x 2 + r 2 4xr Opgave 1.32 Udregn (2x 3y) (2x + 3y) 9x y xy 4x 2 9y 2

27 1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 27 Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.33 Udregn (3x 5y) (3x 5y) Opgave 1.34 Udregn (3x 5y) (3x + 5y) 9x y 2 30xy Opgave 1.35 Udregn (3t + r) (3t + r) 9x 2 25y 2 Opgave 1.36 Udregn (t 4r) (t + 4r) 9t 2 + r 2 + 6tr Opgave 1.37 Udregn (3x 3r) (3x 3r) t 2 16r 2 Opgave 1.38 Udregn (2x r 2 ) (2x r 2 ) 9x 2 + 9r 2 18xr Opgave 1.39 Udregn (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4x 2 + (r 2 ) 2 4xr 2 Opgave 1.40 Udregn (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) 9(x 2 ) y x 2 y 4(x 3 ) 2 9(y 2 ) 2

28 28 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 1.8 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, det således meget ofte skriver man tæller nævner Man skriver altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. Når man taler om brøker så bruger man ofte ordet forkorter, hvilket betyder at man dividere tæller og nævner med det samme tal eller bogstav. F.eks. kan man forkorte med a i følgende brøk 12a 3ab = 12 3b Man kan også forlænge en brøk med et tal eller et bogstav, dette betyder at man ganger både tæller og nævner med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Der gælder følgende regler for regning med brøker

29 1.8. BRØKREGNING 29 a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)

30 30 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af de regler som du lige har set gælder for brøker: Opgave 1.41 Udregn Opgave 1.42 Udregn 2 x 2 y x y Opgave 1.43 Udregn a 3 a Opgave 1.44 Udregn Opgave 1.45 Udregn x 2 3 y 3x 2y

31 1.8. BRØKREGNING 31 Opgave 1.46 Udregn b c + x c b+x c Opgave 1.47 Udregn b c + x a b a+c x a c Opgave 1.48 Udregn b c 5 5b c Opgave 1.49 Udregn b c 5 b 5c Opgave 1.50 Udregn b c /x a b a x c

32 32 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det lidt sværere, nu skal vi prøve at bruge kvadratsætningerne baglæns, dvs. x 2 + y 2 + 2xy = (x + y)(x + y) lad os set et par eksempler Eksempel Opgaven at skrive følgende udtryk om til 2 parenteser 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus, så der er altså 1. kvadratsætning vi skal bruge. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Efter som der står 9 foran x 2 så må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y så må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan vi skrive udtrykket om til 2 paranteser 9x 2 + y 2 + 6xy 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y)

33 1.8. BRØKREGNING 33 Omskriv følgende udtryk til 2 parenteser ved hjælp af kvadratsætningerne. Opgave 1.51 Udregn x 2 + 8xy + 16y 2 Opgave 1.52 Udregn 4x 2 + 4xy + y 2 (x + 4y)(x + 4y) Opgave 1.53 Udregn 4x 2 12xy + 9y 2 (2x + y)(2x + y) Opgave 1.54 Udregn 9x xy + 16y 2 (2x 3y)(2x 3y) Opgave 1.55 Udregn 9x 2 12xy + 4y 2 (3x + 4y)(3x + 4y) Opgave 1.56 Udregn x 4 4x 2 y + 4y 2 (3x 2y)(3x 2y) Opgave 1.57 Udregn 4x 2 9y 2 (x 2 2y)(x 2 2y) (2x + 3y)(2x 3y)

34 34 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det endnu lidt sværere igen, vi skal kombinerer brøk regningen og omvendt -regning med kvadratsætningerne. Forkort følgende brøker. Opgave 1.58 x 2 + 8xy + 16y 2 x + 4y x + 4y Opgave x 2 12xy + 9y 2 2x 3y 2x 3y Opgave x x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 2x 2 + 3y Opgave x 2 9y 2 4x 3y 4x + 3y Opgave 1.62 x 2 5y x 4 25y 2 1 x 2 +5y

35 1.8. BRØKREGNING 35 Grundlæggende algebra I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.63 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 4x 2 + 9y xy Opgave 1.64 Sæt så meget som muligt udenfor parantes, og brug derefter kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 2x 2 + 8y 2 + 8xy Opgave 1.65 Reducer følgende. Opgave 1.66 Reducer følgende. 3x 3 2ax 2 9x 6a 3x 4 y xy 3 12x 3 4y 2 Opgave 1.67 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 3x xy 2 15x Opgave 1.68 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 15a 3 c + 3abc Opgave 1.69 Reducer følgende ved brug af kvadratsætningerne. 9x 2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 1.70 Reducer følgende udtryk. x 2 x y y2 x y Opgave 1.71 Reducer følgende udtryk. ( x y y ) 1 x (x + y)(x y)

36 36 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.9 Potensregneregler Nu har vi set flere eksempler på at vi har skulle udregne f.eks. (x 2 ) 2 og x2 x, nu vil vi komme med nogle generelle regneregler for at udregne sådanne udtryk. x s x t = x s+t (1.10) x s x t = x s t (1.11) (x s ) t = x s t (1.12) (x y) s = x s y s (1.13) ( ) s x = xs (1.14) y y s x 0 = 1 (1.15) x s = 1 x (1.16) Lad os nu se et par eksempler. s x = x 1 s (1.17) s x t = x t s (1.18) Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 3 x 6, så skal vi bruge reglen x s x t = x s+t, og så får vi at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket (x 3 ) 6, så skal vi bruge reglen (x s ) t = x s t, og så får vi at (x 3 ) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x3, så skal vi bruge reglen x 6 x s = x s t, og så får vi at x3 = x 3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 er lig t x 6 x x 3 = 1. x 3 Ofte som forventes det at man kan overskue mere komplicerede udtryk. Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 6 y 4 x 3 y så skal vi bruge reglen xs = x s t to gange først på x og derefter på y. Når vi x t bruger den på x får vi at x6 = x 6 3 = x 3 og når vi bruger den på y får vi at x 3

37 1.9. POTENSREGNEREGLER 37 y 4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan vi så sætte sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. x 3 y 3 = (x y) 3 Eksempel Hvis vi skal reducere udtrykket x 5 8 x 2 x 3 vi skal bruge reglen s x t = x t s på 8 x 2, så får vi at 8 x 2 = x 2 8 vi har nu at x 5 8 x 2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 vi skal nu bruge reglen x s x t = x s+t på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x ( 3) Og da ( 3) = = = 18 8 = 9, så har vi at 4 x ( 3) = x 9 4

38 38 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Brug potensregneregelerne. Opgave 1.72 x4 x 2 Opgave 1.73 x2 x 4 x 2 Opgave 1.74 x2 y 4 x 2 y 2 x 2 Opgave 1.75 x2 x y 2 x 3 y 3 y 2 Opgave 1.76 x 3 5 x 3 1 y Opgave 1.77 a 2 3 x 6 a 5 x 18 5 Opgave x3 3 x 2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 5 a 3 x 2 Opgave x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 x a 2x 3y

39 1.9. POTENSREGNEREGLER 39 Grundlæggende Algebra II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.80 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 16x 2 + 4y xy Opgave 1.81 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. 3 c6 ab a 2 bc Opgave 1.82 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. Opgave 1.83 Reducer følgende. Opgave 1.84 Reducer følgende. a 2 b 6 c a 3 b 3 c (a + b) 2 2ab + b 2 2a 2 a 2 + b 2 2ab a 2 b 2 Opgave 1.85 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. Opgave 1.86 Reducer følgende. 2abc ab + a 2 b (a 2)(b + 5) ab Opgave 1.87 Reducer følgende udtryk. Opgave 1.88 Reducer følgende. (a 2 + b 2 + 2ab)(a 2 b 2 ) (a + b) 3 a 2 b + a 2 + abd + ad a + d

40 40 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.10 Kapiteloversigt Algebraens grundlov 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Kvadratsætningerne (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 Brøkregnereglerne a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b Potensregnereglerne x s x t = x s+t x s x t = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s ( ) s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x 1 s x = x s s x t = x t s

41 Kapitel 2 Ligninger I dette kapitel skal vi beskæftige os med ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. F.eks. er en ligning, mens y = x x + y + 1 x y = 2x x 2 y 2 ikke er en ligning. Forskellen er at det første lighedstegn definerer en lighed mens det anden lighedstegn konkludere en lighed. Der er desværre ikke forskel på måden man skriver de to typer af lighedstegn! En anden måde at tænke på er, at forholdet mellem x og y altid er sådan i tilfældet med udtrykket 1 x + y + 1 x y = mens at forholdet mellem x og y i tilfældet y = x + 5 2x x 2 y 2 er, at hvis x = 3 så er y = 8 dvs. hvis x ligger fast (er konstant) så gør y det også. 2.1 Ligningsløsning Når vi siger ligningsløsning så mener vi at man ved hjælp af en eller flere ligninger skal finde den ubekendte. F.eks. find x i ligningen 5x = 15 41

42 42 KAPITEL 2. LIGNINGER Så skal man finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divider vi begge sider med 5. 5x 5 = 15 5 og ved udregning ses at x = 3

43 2.1. LIGNINGSLØSNING 43 Løs ligningerne Opgave 2.1 6x = 3 Opgave 2.2 3x + 4 = 5 x = 1 2 Opgave x + 4 = 5 x = 1 3 Opgave x + 4 = 5x x = 2 3 Opgave 2.5 9x + 4 = 5x x = 8 9 Opgave 2.6 x 2 = 2x + 5 x = 1 Opgave 2.7 5x 4 = 2x + 5 x = 7 Opgave 2.8 7x + 3 = x 5 x = 3 x = 4 3

44 44 KAPITEL 2. LIGNINGER Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan man ikke løse ligningen. Istedet kan man isolerer en af de ubekendte, f.eks. hvis man skal isolerer x i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. Dette kan man gøre ved først at trække 7 fra på begge sider: 3y 7 = 5x så kommer ligningen til at se sådan ud: nu kan man dividerer med 5 3y 7 = 5x 3y 7 5 så kommer ligningen til at se sådan ud = 5x 5 nu har man isoleret x. 3y 7 5 = x

45 2.1. LIGNINGSLØSNING 45 Isoler x i ligningerne. Opgave 2.9 3x = 6y Opgave 2.10 b = 2 x x = 2y Opgave 2.11 a = 2c x d x = 2 b Opgave q = 3x + 7 x = 2c+ad a x = 2q 7 3 Opgave 2.13 z = 3 x x = 3 z 2 Opgave x = 4x 7 x = 7 4 Opgave 2.15 ax = 4x c x = c a 4 Opgave x = x a+2c x = 1 4(a+2c)

46 46 KAPITEL 2. LIGNINGER Senere skal vi bruge at ligninger på formen y = ax + b, derfor skal vi øve os i at omskrive ligninger så de kommer til at stå på denne form. Eksempel Omskriv ligningen x + 1 y = 3 til formen y = ax + b. Først 2 trækker vi x fra på begge sider x y x = 3 x så kommer ligningen til at se sådan ud nu ganger vi på begge sider med y = 3 x 2 1 y = 2 (3 x) 2 så kommer ligningen til at se sådan ud y = 6 2x nu bytter vi om på 6 og 2x så kommer ligningen til at se sådan ud og så er vi færdige. y = 2x + 6

47 2.1. LIGNINGSLØSNING 47 Omskriv ligningerne til formen y = ax + b. Opgave x + y = 10 Opgave y = 2x 1 y = 3x + 10 Opgave 2.19 x y = 3 y = 1 6 x 1 12 y = 2x + 6 Opgave x 3y = 2 y = 2 3 x Opgave x 1 2 y = 1 y = 2 3 x 2 Opgave x + 3y = 7 2 y = 1 6 x 7 3 Opgave x + 2y + 5 = 0 y = 3 2 x 5 2 Opgave 2.24 x + 27y = 5 3 y = 1 27 x

48 48 KAPITEL 2. LIGNINGER Ligninger I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Løs ligningerne. Opgave x = 7 Opgave x = 11 Opgave x = 4 Opgave x = 15 Opgave x 21 = 0 Opgave 2.30 x 13 = 1 2 Opgave x 3 = x + 5 Opgave x + 3 = 4(x + 2) 2 Opgave (14 + x) = 9 Opgave x = 15 2 Opgave x = 15 2 Opgave x = 1 4 Opgave (1 + x) = 7 2 Opgave 2.38 (x 1)(x + 2) = 0

49 2.2. ANDENGRADSLIGNINGER Andengradsligninger Sætning Hvis a, b, c, x R så vil andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 med diskriminanten d = b 2 4ac have løsningerne x = b ± d 2a hvis d 0 og ligningen vil ikke have nogen løsninger hvis d < 0.

50 50 KAPITEL 2. LIGNINGER Løs ligningerne. Opgave 2.39 x 2 + x 6 = 0 Opgave 2.40 x 2 4 = 0 L = { 3; 2} Opgave 2.41 x 2 5x + 6 = 0 L = { 2; 2} Opgave 2.42 x 2 6x + 8 = 0 L = {2; 3} Opgave 2.43 x 2 + 6x + 8 = 0 L = {2; 4} Opgave 2.44 x 2 2x 15 = 0 L = { 4; 2} Opgave 2.45 x 2 + 4x + 4 = 0 L = { 3; 5} Opgave 2.46 x 2 + x + 7 = 0 L = { 2} L =

51 2.2. ANDENGRADSLIGNINGER 51 Ligninger II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Løs ligningerne. Opgave x + 5 = 11 Opgave x = 12 Opgave x+4 6 = 3 Opgave x 11 = 5 Opgave 2.51 x 2 + 6x 16 = 0 Opgave 2.52 x 2 + 3x 10 = 0 Opgave 2.53 x 2 5x + 6 = 0 Opgave 2.54 x 2 10x + 21 = 0 Opgave 2.55 x 2 + 5x + 14 = 0 Opgave x 2 18x 28 = 0 Opgave 2.57 x 2 + 8x + 15 = 0 Opgave 2.58 x 2 = 7x 12 Opgave 2.59 x 2 + 6x + 9 = 0 Opgave 2.60 x 2 + 5x + 15 = 0

52 52 KAPITEL 2. LIGNINGER 2.3 To ligninger med to ubekendte En anden type ligningsløsning er når man har to ligninger og to ubekendte, som f.eks. hvis man skal finde både x og y i disse to ligninger: x + 1 y = 3 2x 3y = 2 2 Sådanne to (eller flere) ligninger kaldes for et ligningssystem. Der er flere måde at løse sådanne et problem, her bruges den metode hvor man udnytter de samme metoder som man brugte ved ligningsløsning. Metoden til at løse sådanne problemer er på 6 trin 1. y isoleres i begge ligninger 2. x delen af de to ligninger sættes nu lig hinanden 3. ligningen løses - x-værdien findes 4. den fundene x-værdi indsættes i en af de to ligninger hvor y er isoleret 5. y-værdien udregnes 6. resultatet opskrives på formen (x, y) =(x-værdien,y-værdien) Eksempel Løs følgende ligningssystem Trin 1 y isoleres i begge ligninger. x + 1 y = 3 2x 3y = 2 2 x y = 3 x y x = 3 x 1 2 y = 3 x 2 1 y = 2 (3 x) 2 y = 6 2x

53 2.3. TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE 53 2x + 3y = 2 2x + 3y 2x = 2 2x 3y = 2 2x 3y 2 2x = 3 3 y = 2 3 x 2 3 Trin 2 x delen af de to ligninger sættes lig hinanden Trin 3 ligningen løses - x-værdien findes 2 3 x 2 3 = 6 2x 2 3 x 2 3 = 6 2x ( x 2 ) = 3 (6 2x) 3 2x 2 = 18 6x 2x x = 18 6x x 2 18 = 6x + 2x 20 = 4x 4x = 20 4x = x = 5 Trin 4 Den fundene x-værdi indsættes i en af de to ligninger hvor y er isoleret. Trin 5 y-værdien udregnes y = 6 2x y = y = y = 6 10 y = 4 Trin 6 Resultatet opskrives på formen (x-værdien,y-værdien) (5, 4)

54 54 KAPITEL 2. LIGNINGER Hvis ligninger er på formen y = ax + b og y = cx + d og a c så er x = d b a c og y findes ved at indsætte den fundene x-værdi ind i en af de to ligninger. Eksempel Løs ligningssystemet y = 3x + 4 y = 2x 3 Ved hjælp af ovenstående formel findes x. x = = 7 1 = 7 y-værdien findes nu ved at sætte x-værdien ind i ligningen y = 3x + 4 y = = = 17 Løsningen til ligningssystemet bliver så (x, y) = ( 7, 17).

55 2.3. TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE 55 Løs ligningssystemerne. Opgave 2.61 y = 3x 3 y = 2x 1 Opgave 2.62 y = x + 1 y = 2x 2 (2, 3) Opgave 2.63 y = 4x 6 y = 4x + 2 (3, 4) Opgave 2.64 y = 2x + 13 y = x + 4 (1, 2) Opgave 2.65 y 13 = 2x y + x = 4 ( 3, 7) Opgave 2.66 y + 2x + 5 = 0 y = 3x ( 3, 7) Opgave 2.67 y 2x = 8 y = 2x 3 ( 1, 3) Opgave 2.68 y = 4x y = 5x Ingen løsning (0, 0)

56 56 KAPITEL 2. LIGNINGER Ligninger III Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Løs ligningerne / ligningssystemerne. Opgave x + 9 = 2x 11 Opgave x+14 2 = 5x Opgave 2.71 x 2 + 6x + 8 = 0 Opgave 2.72 x 2 10x + 25 = 0 Opgave x 2 + 5x + 4 = 0 Opgave 2.74 y = 1 2 x x 3 4 Opgave 2.75 y x 1 = 0 y = 4x 5 Opgave 2.76 y 2x = 1 y 4x = 0 Opgave y = x + 2 y 4x = 13 Opgave 2.78 y 3x = 0 2y = 6x Opgave 2.79 y 3x = 6 y 4 = 3x

57 2.3. TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE 57 Reducer følgende udtryk. Opgave 2.80 (a + b) 2 2ab b 2 Opgave 2.81 a2 +b 2 2ab a b a 2 Løs følgende ligninger a b Opgave x + 8 = 3x 8 x = 16 Opgave x + 5 = 3x 10 2 x = 6 Opgave x 2 + 4x 15 = 0 Opgave 2.85 x 2 + 2x 15 = 0 ( ) 3, 5 3 ( 5, 3) Opgave 2.86 y = 3x + 4 y = 2x 2 (x, y) = ( 6, 14) Opgave y = 3x + 4 y = 2x + 3 (x, y) = ( 1, 2)

58 58 KAPITEL 2. LIGNINGER Reducer følgende udtryk. Opgave 2.88 (2a b) 2 a 2 b 2 + 4ab Opgave 2.89 (4a 3b)2 (5a+b)(5a b)+24ab a 2 (a b)(a+b) 3a 2 Løs følgende ligninger 10 Opgave x + 8 = 12x 4 x = 1 2 Opgave 2.91 x 8 = 12x 2 Opgave x 2 5x 2 = 0 x = 6 13 Opgave x 2 8x 4 = 0 { 1 3, 2} L = { 2 5, 2} Opgave y 5x = y = x 7 (x, y) = ( 24, 62) Opgave y + 4x = y = 2x 7 (x, y) = ( 5 2, 4)

59 2.4. KAPITELOVERSIGT Kapiteloversigt Ligningsløsning 1. Man må lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Man må dog ikke gange med 0 på begge sider af lighedstegnet. 4. Man må dividerer med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Man må dog ikke dividerer med 0 på begge sider af lighedstegnet. Nulreglen To faktorer ganget med hinanden giver 0 hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er 0. x y = 0 x = 0 y = 0 To ligninger med to ubekendte Metoden til at løse sådanne problemer er på 6 trin 1. y isoleres i begge ligninger 2. x delen af de to ligninger sættes nu lig hinanden 3. ligningen løses - x-værdien findes 4. den fundene x-værdi indsættes i en af de to ligninger hvor y er isoleret 5. y-værdien udregnes 6. resultatet opskrives på formen (x, y) =(x-værdien,y-værdien) Hvis ligninger er på formen y = ax + b og y = cx + d og a c så er x = d b a c og y findes ved at indsætte den fundene x-værdi ind i en af de to ligninger. Andengradsligningen Andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 med diskriminanten D = b 2 4 a c har løsningen x = b ± D 2a hvis D 0 og hvis D < 0 så har andengradsligningen ingen løsning.

60 60 KAPITEL 2. LIGNINGER

61 Kapitel 3 Funktioner del I 3.1 Funktionsbegrebet Vi starter med definitionen på en funktion. Definition En variabel y kaldes en funktion af en variabel x, hvis der til hver værdi af x svarer præcis én værdi af y. Denne værdi kaldes funktionsværdien og man skriver y = f(x). Der er nogle udregninger som man ikke kan foretage i matematik, man siger at det ikke er defineret dvs. man kan ikke med de grundlæggende regler i matematik udregne det. De vigtigste to er følgende: Man må ikke dividere med 0 Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Disse udregninger kan man heller ikke lave når der er tale om funktioner, derfor siger man at funktionen kun er defineret for nogle værdier af x. De værdier af x som funktionen er defineret for kaldes for funktionens definitionsmængde og den skrives Dm(f). Til alle de x værdier som ligger i definitionsmængden svare - ifølge definitionen af en funktion - én værdi af y, disse værdier af y kaldes for funktionens værdimængde og den skrives V m(f). Ligesom med tal så kan funktioner adderes, subtraheres, multipliceres og divideres for at få nye funktioner. 61

62 62 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Definition Hvis f og g er funktioner, så vil der for alle x som er i definitionsmængde for både f og g findes funktioner f + g, f g, f g, f g og f g, og disse funktioner er defineret som (f + g)(x) = f(x) + g(x) (3.1) (f g)(x) = f(x) g(x) (3.2) (f g)(x) = f(x) g(x) (3.3) ( ) f (x) = f(x), hvor g(x) 0 (3.4) g g(x) (f g)(x) = f(g(x)) (3.5) Regneforskrift Nu ser vi regneforskrifterne for de funktioner som i skal kende, a, b, c, d, e R: Lineære funktioner f(x) = ax + b Eksponentialfunktion f(x) = b a x Potensfunktion f(x) = b x a Numerisk funktion f(x) = x Kvadratrod f(x) = x Reciprokfunktion f(x) = 1 x Polynomier f(x) = ax n + bx n 1 + cx n dx + e Trigonometriske funktioner f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f(x) = tan(x) Logaritmefunktion f(x) = log(x)

63 3.2. LINEÆRE FUNKTIONER 63 Der er tre grundlæggende opgaver som man skal kunne når man behandler funktioner. Det er følgende: Bestemmelse af f(x) Hvis du får oplyst regneforskriften for en funktion og x så skal du kunne bestemme værdien af f(x). Bestemmelse af forskrift Hvis du får oplyst typen af funktion og to punkter, så skal du kunne bestemme forskriften for funktionen. Bestemmelse af x Hvis du får oplyst regneforskriften og en værdi for funktionen, så skal du kunne bestemme x. Neden for vil blive gennemgået hvordan man gør det for lineære-, eksponentielle-, potens-, og logaritmefunktioner. 3.2 Lineære funktioner Hvis du får oplyst regneforskriften for en funktion og x så skal du kunne bestemme værdien af f(x). Eksempel Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 3x + 4 Bestem f(3) f(3) = = = 13 Eksempel Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 2x 5 Bestem f(3) f(3) = = 6 5 = 1 Eksempel Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 2x + 5 Bestem f(3) f(3) = = = 1

64 64 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Opgave 3.1 Hvis f(x) = 3x + 9 hvad er f(3) Opgave 3.2 Hvis f(x) = 3x + 9 hvad er f(2) f(3) = 18 Opgave 3.3 Hvis f(x) = 4x 8 hvad er f(3) f(2) = 3 Opgave 3.4 Hvis f(x) = x 4 hvad er f( 3) f(3) = 4 Opgave 3.5 Hvis f(x) = x + 5 hvad er f( 4) f( 3) = 7 Opgave 3.6 Hvis f(x) = x hvad er f(3) f( 4) = 9 Opgave 3.7 Hvis f(x) = 9 hvad er f(7) f(3) = 3 Opgave 3.8 Hvis f(x) = 2x 4 hvad er f(5) f(7) = 9 f(5) = 14

65 3.2. LINEÆRE FUNKTIONER 65 Hvis du får oplyst at der er tale om en lineær funktion og to punkter så skal du kunne finde regneforskriften. Til hjælp herfor findes følgende sætning. Sætning Hvis funktionen er lineær dvs. med regneforskrift f(x) = ax + b og der gælder at f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2 så er a = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 a x 1 Bevis. f(x 1 ) = y 1 medfører at y 1 = ax 1 + b og f(x 2 ) = y 2 medfører at y 2 = ax 2 + b og y 2 y 1 = ax 2 + b (ax 1 + b) y 2 y 1 = ax 2 + b ax 1 b y 2 y 1 = ax 2 ax 1 y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) a = y 2 y 1 x 2 x 1 Nu er a kendt og derfor kan b findes ved at indsætte a i ligningen y 1 = ax 1 + b og isolerer b y 1 = ax 1 + b b = y 1 a x 1 Eksempel Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (2, 3) og (3, 6), Bestem regneforskriften for f(x) a = = 3 1 = 3 b = = 3 6 = 3 Regneforskriften bliver f(x) = 3x 3 Eksempel Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (5, 3) og (2, 9), Bestem regneforskriften for f(x) a = = 6 3 Regneforskriften bliver f(x) = 2x + 13 = 2 b = = = 13

66 66 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Eksempel Funktionen f(x) er lineær og f(3) = 5 og f(6) = 4, bestem regneforskriften for f(x). a = = 1 3 = 1 3 b = = = = 6 Regneforskriften for f(x) bliver f(x) = 1 3 x + 6

67 3.2. LINEÆRE FUNKTIONER 67 Opgave 3.9 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (5, 3) og (6, 9), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = 6x 27 Opgave 3.10 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (2, 3) og (5, 9), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = 2x 1 Opgave 3.11 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (5, 3) og (6, 6), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = 3x 12 Opgave 3.12 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (7, 5) og (6, 6), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = x Opgave 3.13 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (3, 2) og (9, 16), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = 11x 50 Opgave 3.14 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (6, 2) og (12, 16), Bestem regneforskriften for f(x) f(x) = 7 3 x 12 Opgave 3.15 Funktionen f(x) er lineær og f(3) = 2 og f(1) = 1, bestem regneforskriften for f(x). f(x) = 1 2 x + 1 2

68 68 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Hvis du får oplyst regneforskriften og en værdi for funktionen, så skal du kunne bestemme x. Eksempel Lad f(x) = 2x + 5 og f(x) = 3, bestem x. Først opstiller man ligningen 3 = 2x + 5 Så løses denne 3 = 2x = 2x = x x = 1 Eksempel Lad f(x) = 2x + 3 og f(x) = 5, bestem x. Først opstiller man ligningen 5 = 2x + 3 Så løses denne 5 = 2x = 2x = x x = 4 Eksempel Lad f(x) = 2x+3 og f(x) = 3, bestem x. Først opstiller man ligningen 3 = 2x + 3 Så løses denne 3 = 2x = 2x = x x = 0 Eksempel Lad f(x) = x 3 og f(x) = 3, bestem x. Først opstiller man ligningen 3 = x 3 Så løses denne 3 = x = x x = 6 Eksempel Lad f(x) = 3 og f(x) = 8, bestem x. Først opstiller man ligningen 3 = 8 Denne ligning har ingen løsning.

69 3.2. LINEÆRE FUNKTIONER 69 Opgave 3.16 f(x) = 2x 8 og f(x) = 4. Beregn x. Opgave 3.17 f(x) = x + 1 og f(x) = 5. Beregn x. x = 6 Opgave 3.18 f(x) = 2x + 8 og f(x) = 12. Beregn x. x = 4 Opgave 3.19 f(x) = 2x 12 og f(x) = 2. Beregn x. x = 2 Opgave 3.20 f(x) = 4x + 1 og f(x) = 1. Beregn x. x = 5 Opgave 3.21 f(x) = 5x + 8 og f(x) = 7. Beregn x. x = 1 2 Opgave 3.22 f(x) = 4x + 35 og f(x) = 3. Beregn x. x = 3 Opgave 3.23 f(x) = 3x og f(x) = 0. Beregn x. x = 8 x = 0

70 70 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I 3.3 Eksponentialfunktioner Hvis du får oplyst regneforskriften for en funktion og x så skal du kunne bestemme værdien af f(x). Eksempel Lad f(x) være bestemt ved forskriften Bestem f(3), dvs. x = 3. f(x) = 3 2 x f(3) = = 3 8 = 24 Eksempel Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = x 3 Bestem f(2) f(2) = 2 3 = 8 Hvis du får oplyst at der er tale om en lineær funktion og to punkter så skal du kunne finde regneforskriften. Til hjælp herfor findes følgende sætning. Sætning Hvis funktionen er eksponentiel dvs. med regneforskrift f(x) = b a x og der gælder at f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2 så er a = ( y1 y 2 hvor x 1 skal være større end x 2. ) 1 x 1 x 2 b = y 1 a x Bevis. Når f(x 1 ) = y 1 så må det betyde, at b a x 1 = y 1 og tilsvarende vil b a x 2 = y 2. Ved at dividere disse to ligninger fås at b a x 1 = y 1 b a x 2 = y2 b ax1 b a x 2 = y 1 y 2 Nu kan der forkortes med b på venstre side b a x 1 b a x 2 = y 1 y 2 ax1 a x 2 = y 1 y 2

71 3.3. EKSPONENTIALFUNKTIONER 71 Nu bruger vi potensregneregel 1.11 a x 1 a x 2 = y 1 y 2 a x 1 x 2 = y 1 y 2 Nu tager vi den x 1 x 2 ende rod på begge sider, bemærk at dette kræver at x 1 x 2 er større end 0 dvs. x 1 skal være større end x 2. a x 1 x 2 = y 1 y 2 x1 x2 a x 1 x 2 = x 1 x 2 Dette kan omskrives til a = x 1 x 2 y1 y 2 a = y1 ( y1 y 2 y 2 a = x 1 x 2 ) 1 x 1 x 2 y1 ifølge potensregneregel Nu kender vi a så dette kan vi udnytte til at finde b, fordi vi ved at y 2 b a x 1 = y 1 Og dette medfører at Vi har nu vist det ønskede. b = y 1 a x 1

72 72 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Funktioner I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 3.24 Bestem værdien af f(x) = 3x + 9 for x = 4 Opgave 3.25 Bestem værdien af f(x) = 4 3 x for x = 4 Bestem forskriften for f(x) = ax + b hvis følgende koordinatsæt passer i f(x) Opgave 3.26 (2, 11) og (6, 27) Opgave 3.27 (3, 7) og (4, 10) Opgave 3.28 (4, 43) og (5, 53) Opgave 3.29 (5, 33) og (3, 17) Opgave 3.30 (6, 50) og (2, 22) Bestem forskriften for f(x) = b a x hvis følgende koordinatsæt passer i f(x) Opgave 3.31 (2, 12) og ( 2; 0, 75) Opgave 3.32 (2, 32) og ( 2, 1 8 ) Opgave 3.33 (2; 0, 75) og ( 2, 12) Opgave 3.34 (2; 0, 1728) og ( 2; 52, 0833) Opgave 3.35 (2; 0, 2738) og ( 2; 14, 6092) Opgave 3.36 Bestem forskriften for funktionen f(x) hvor f(2) = 5 og hvor f(6) = 5 Antag at det er en lineær funktion.

73 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen log(x) Definition Logaritmefunktionen log(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Eksponentialfunktionen med grundtallet 10 har forskriften f(x) = 10 x og fra kapitelet om inverse funktionen ved vi at y = f(x) x = f 1 (y) så i dette tilfælde hvor f(x) = 10 x og f 1 (y) = log(y) vil der gælde at Grunden til at y = 10 x x = log(y) f 1 (y) = log(y) er, at log(y) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Ved at bruge denne ligning kan vi finde nogle vigtige værdier for logaritmefunktionen. F.eks. hvis x = 1 y = = log(y) så er y = 10 så log(10) = 1 og hvis x = 0 så er y = 1 så log(1) = 0 Se nu på ligningerne y = = log(y) y = 10 x x = log(y) ved at sætte ligningen x = log(y) ind i ligningen y = 10 x fås følgende ligning y = 10 log(y) Denne ligning er meget vigtig derfor vil vi kalde det for en sætning.

74 74 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Sætning Lad x > 0 så vil x = 10 log(x) Denne sætning vil vi nu bruge til at bevise følgende sætning. Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil log(y x ) = x log(y) Bevis. Vi skal vise at hvilket er ensbetydende med log(y x ) = x log(y) 10 log(yx) = 10 x log(y) ved at bruge sætning fås at det er ensbetydende med y x = 10 log(y) x og ved at bruge sætning igen fås at der er ensbetydende med y x = y x Da den sidste ligning er rigtig, er de andre ligninger også rigtige, og derfor er ligningen log(y x ) = x log(y) også rigtig. Nu kan vi vise følgende sætning. Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil log(x y) = log(x) + log(y)

75 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 75 Bevis. log(x y) = log(10 log(x) 10 log(y) ) p.g.a. sætning = log(10 log(x)+log(y) ) p.g.a. Potensregneregelen a p a q = a p+q = (log(x) + log(y)) log(10) p.g.a. sætning = log(x) + log(y) da log(10) = 1 Vi har nu bevist at som ønsket. Nu kan vi vise følgende sætning. log(x y) = log(x) + log(y) Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x log = log(x) log(y) y Bevis. ( log(x) ) = log(x) log x y y ( ) = log(x) Her ganger vi med 1 = y y log y x y ( ) = log(x) Her bytter vi om på to faktorer x log(y) + log y ( ) = log(x) Her bruger vi sætning log = log(x) log(y) Her lægger vi log(y) til på begge sider x y Vi har nu bevist at log(x) = log(x) log ( ) x = log(x) log(y) y og vi ved at er sandt så derfor vil log log(x) = log(x) ( ) x = log(x) log(y) y også være sandt.

76 76 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Vi har nu bevist følgende regneregler for logaritmer: 1. log(10) = 1 2. log(1) = 0 3. x = 10 log(x) 4. log(y x ) = x log(y) 5. log(x y) = log(x) + log(y) ( ) 6. log = log(x) log(y) x y Lad os nu se på nogle eksempler: Eksempel Hvis vi skal reducere log(2) + log(5) så får vi at log(2) + log(5) = log(2 5) Ved at bruge sætning = log(10) Ved at gange 5 og 2 = 1 p.g.a. den 1. regneregel Eksempel Hvis vi skal reducere log(2) log(5) så får vi at log(2) log(5) = log( 2 ) Ved at bruge sætning Eksempel Hvis vi skal reducere 3 log(2) + log(5) så får vi at 3 log(2) + log(5) = log(2 3 ) + log(5) Ved at bruge sætning = log(8) + log(5) = log(8 5) Ved at bruge sætning = log(40)

77 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 77 Opgave 3.37 Reducer log(4) + log(9) Opgave 3.38 Reducer log(4) log(2) log(36) Opgave 3.39 Reducer log(2) log(4) log(2) Opgave 3.40 Reducer 2 log(2) log(4) log ( ) 1 2 Opgave 3.41 Reducer 4 log(2) log(4) 0 Opgave 3.42 Reducer 2 log(2) + 2 log(5) log(4) Opgave 3.43 Reducer 4 log(2) + 2 log(5) 2 log(10) 2 Opgave 3.44 Reducer 3 log(2) 2 log(5) + 4 log(3) log(4) log ( )

78 78 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Logaritmefunktionen på lommeregnerne Hvis du skal finde en konkret værdi af f.eks. log(5) på din lommeregner, så skal du trykke på log-knappen og derefter på 5 og der efter på enter. Lommeregnerne vi så give dig resultatet Løsning af ligninger med logaritmer Den mest enkle type af ligninger med logaritmer er ligninger af typen log(x) = a hvor a er et tal. Denne type løses ved at bruge sætning 3.4.2, så løsningen bliver 10 log(x) = 10 a x = 10 a Eksempel Ligningen log(x) = 0, 53 løses ved at bruge sætning 3.4.2, så for at løse denne ligning skal man tage begge sider i ligningen i 10 ende. Eksempel Eksempel log(x) = 10 0,53 x = 10 0,53 x = 3, 3884 log(x + 1) = 1 brug sætning log(x+1) = 10 1 udregn x + 1 = 10 løses som en normal ligning x = 9 log(x + 1) + log(x 1) = 1 brug sætning log((x + 1) (x 1)) = 1 udregn log(x 2 1) = 1 brug sætning log(x2 1) = 10 1 udregn x 2 1 = 10 udregn x 2 = 11 udregn x = 11

79 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 79 Opgave 3.45 Udregn følgende på din lommeregner log(9). Opgave 3.46 Udregn følgende på din lommeregner log( ). 0, Opgave 3.47 Løs ligningen log(x) = 1 9, 7600 Opgave 3.48 Løs ligningen log(x) = 15 x = 10 Opgave 3.49 Løs ligningen log(x) = 0, 2462 x = Opgave 3.50 Løs ligningen log(x) + log(x + 2) = 3 log(2) x = 1, 7628 Opgave 3.51 Løs ligningen log ( x) + log(x + 4) = 0 x = 2 Opgave 3.52 Løs ligningen log(x + 1) + log(x + 2) = 3 x = 2 x = 3, 0095

80 80 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Grundmængden til logaritmiske funktioner Definition Grundmængden er den talmængde som den variable skal findes indenfor. Dette betyder at løsningsmængden er en delmængde af grundmængden. Grundmængden betegner man normalt med G og løsningsmængden med L. Når man skal finde grundmængder er der specielt tre ting man skal være opmærksom på 1. Man må ikke dividere med Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. 3. Man må ikke tage logaritmen af et negativt tal. Eksempel Ligningen 5 x = 8 har grundmængden R \ {0} mens ligningen har G = R. Eksempel Ligningen 5 = 8x x 4 = 4 har G = {x R 4 < x} Eksempel Ligningen log(x 4) = 4 har G = {x R 4 < x} Eksempel Ligningen log(4 x 2 ) = 3 har G = {x R 2 < x < 2}

81 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 81 Opgave 3.53 Løs ligningen log(x) = 1 Opgave 3.54 Løs ligningen log(x + 5) log(3) = 1 x = 10 Opgave 3.55 Løs ligningen log(x + 7) + log(4) = 2 x = 25 Opgave 3.56 Løs ligningen log(2) + log(x + 2) = 1 x = 18 Opgave 3.57 Løs ligningen 2 log(x) = 4 x = 3 Opgave 3.58 Løs ligningen 2 log(x) + 2 log(5) = 0 x = 100 Opgave 3.59 Løs ligningen log(1 + 2x) log(2) = 1 x = 1 5 Opgave 3.60 Løs ligningen log(x) 2 log(2) = 1 x = 9, 5 x = 40

82 82 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Funktioner II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 3.61 f(x) = 2x 8. Beregn f(4). Opgave 3.62 f(x) = 2 3 x. Beregn f(4). Opgave 3.63 f(x) = 2 x 3. Beregn f(4). Opgave 3.64 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (2, 3) og (4, 6), Bestem regneforskriften for f(x). Opgave 3.65 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = b a x. (2, 3) og (4, 6), Bestem regneforskriften for f(x). Opgave 3.66 f(x) = 2x 8 og f(x) = 4. Beregn x. Opgave 3.67 f(x) = 2 3 x og f(x) = 4. Beregn x. Opgave 3.68 f(x) = 3 4 x og f(x) = 7. Beregn x. Opgave 3.69 Løs ligningen 3x 4 = x + 4 Opgave 3.70 Løs ligningssystemet y = 3x + 5 y = 2x 4 Opgave 3.71 Reducer udtrykket log(5) + log(3) log(3) 2 log(4) Opgave 3.72 Løs ligningen log(x + 5) = 3

83 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 83 Funktioner III Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 3.73 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (3, 2) og (9, 16), Bestem regneforskriften for f(x) Opgave 3.74 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (6, 2) og (12, 16), Bestem regneforskriften for f(x) Opgave 3.75 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = b a x. (3, 2) og (2, 4), Bestem regneforskriften for f(x) Opgave 3.76 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = b x a. (6, 2) og (12, 16), Bestem regneforskriften for f(x) Opgave 3.77 f(x) = 5x + 8 og f(x) = 7. Beregn x. Opgave 3.78 f(x) = 4x + 35 og f(x) = 3. Beregn x. Opgave 3.79 Løs ligningen log(x + 3) + 4 = 5 Opgave 3.80 Løs ligningen log(x) + 4 log(3) = log(x + 2) Opgave 3.81 Hvis 2 æbler koster 4 kr. Hvad koster 7 æbler så? f(x) er prisen på æblerne og x er antallet af æbler, opstil en forskrift for f(x). Opgave 3.82 Hvis prisen på mobil abonnement f er 125 kr. pr. måned og det koster 0,25 kr. pr. min. Hvad koster det så at tale (inkl. abonnement) i 2 timer og 25 min? f(x) er den samlede pris pr. måned og x samtale prisen pr. min. Opstil en forskrift for den samlede pris pr. måned. Hvad koster det at tale i 3 timer og 17 min. på en måned? Mobil abonnement g koster 100 kr. pr. måned og det koster 0,35 kr. pr. min. Opstil en forskrift g(x) for dette abonnement. Afgør på baggrund af det to opstillede forskrifter hvor meget man skal tale pr. måned for at mobil abonnement f er mest fordelagtigt.

84 84 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Logaritmefunktionen ln(x) Definition Logaritmefunktionen ln(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet e. så Tallet e er et tal lige som π og det har den tilnærmede værdi Eksponentialfunktionen med grundtallet e har forskriften f(x) = e x y = f(x) x = f 1 (y) så i dette tilfælde hvor f(x) = e x og f 1 (y) = ln(y) vil der gælde at Grunden til at y = e x x = ln(y) f 1 (y) = ln(y) er, at ln(y) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet e. Ved at bruge denne ligning kan vi finde nogle vigtige værdier for logaritmefunktionen. F.eks. hvis x = 1 så er y = e så ln(e) = 1 og hvis x = 0 så er y = 1 så log(1) = 0 Se nu på ligningerne y = e 1 1 = ln(y) y = e 0 0 = ln(y) y = e x x = ln(y) ved at sætte ligningen x = ln(y) ind i ligningen y = e x fås følgende ligning y = e ln(y) Denne ligning er meget vigtig derfor vil vi kalde det for en sætning. Sætning Lad x > 0 så vil x = e ln(x)

85 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 85 Denne sætning vil vi nu bruge til at bevise følgende sætning. Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(y x ) = x ln(y) Bevis. Vi skal vise at hvilket er ensbetydende med ln(y x ) = x ln(y) e ln(yx) = e x ln(y) ved at bruge sætning fås at det er ensbetydende med y x = e ln(y) x og ved at bruge sætning igen fås at der er ensbetydende med y x = y x Da den sidste ligning er rigtig, er de andre ligninger også rigtige, og derfor er ligningen ln(y x ) = x ln(y) også rigtig. Nu kan vi vise følgende sætning. Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(x y) = ln(x) + ln(y) Bevis. ln(x y) = ln(e ln(x) e ln(y) ) p.g.a. sætning = ln(e ln(x)+ln(y) ) p.g.a. Potensregneregelen a p a q = a p+q = (ln(x) + ln(y)) ln(e) p.g.a. sætning = ln(x) + ln(y) da ln(e) = 1

86 86 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Vi har nu bevist at som ønsket. ln(x y) = ln(x) + ln(y) Nu kan vi vise følgende sætning. Sætning Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x ln = ln(x) ln(y) y Bevis. ( ln(x) ) = ln(x) ln x y y ( ) = ln(x) Her ganger vi med 1 = y y ln y x y ( ) = ln(x) Her bytter vi om på to faktorer x ln(y) + ln y ( ) = ln(x) Her bruger vi sætning ln = ln(x) ln(y) Her lægger vi ln(y) til på begge sider x y Vi har nu bevist at ln(x) = ln(x) ln ( ) x = ln(x) ln(y) y og vil ved at er sandt så derfor vil også være sandt. ln ln(x) = ln(x) ( ) x = ln(x) ln(y) y Vi har nu bevist følgende regneregler for logaritmer: 1. ln(e) = 1 2. ln(1) = 0

87 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER x = e ln(x) 4. ln(y x ) = x ln(y) 5. ln(x y) = ln(x) + ln(y) ( ) 6. ln = ln(x) ln(y) x y Lad os nu se på nogle eksempler: Eksempel Hvis vi skal reducere ln(2) + ln(5) så får vi at ln(2) + ln(5) = ln(2 5) Ved at bruge sætning = ln(10) Ved at gange 5 og 2 Eksempel Hvis vi skal reducere ln(2) ln(5) så får vi at ln(2) ln(5) = ln( 2 ) Ved at bruge sætning Eksempel Hvis vi skal reducere 3 ln(2) + ln(5) så får vi at 3 ln(2) + ln(5) = ln(2 3 ) + ln(5) Ved at bruge sætning = ln(8) + ln(5) = ln(8 5) Ved at bruge sætning = ln(40)

88 88 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Opgave 3.83 Reducer ln(2) + ln(5) Opgave 3.84 Reducer ln(5) + ln(2) ln(10) Opgave 3.85 Reducer ln(2) ln(6) ln(10) Opgave 3.86 Reducer 2 ln(2) ln(4) ln ( ) 1 3 Opgave 3.87 Reducer 3 ln(4) ln(4) 0 Opgave 3.88 Reducer 2 ln(2) + 2 ln(5) 4 ln(2) Opgave 3.89 Reducer 2 ln(3) + 3 ln(2) 3 ln(4) ln(100) Opgave 3.90 Reducer 3 ln(2) 2 ln(5) + 3 ln(2) ln ( ) 9 8 ln ( ) 64 25

89 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Når man skal løse ligninger son indeholder ln(x) skal man bruge sætning Her kommer et par eksempler. Eksempel Løs ligningen ln(x) = 4 Først omskriver man ligningen ved at opløfte e i ln(x) potens og opløfte e i 4 potens. e ln(x) = e 4 Derefter bruger man sætning Og opgaven er løst. Eksempel Løs ligningen x = e 4 ln(x + 1) = 4 Først omskriver man ligningen ved at opløfte e i ln(x + 1) potens og opløfte e i 4 potens. e ln(x+1) = e 4 Derefter bruger man sætning Så trækker man 1 fra på begge sider Og opgaven er løst. Eksempel Løs ligningen Først bruger man sætning x + 1 = e 4 x = e 4 1 ln(x + 1) + ln(4) = 4 ln(x + 1) + ln(4) = ln((x + 1) 4) Nu har vi at ln((x + 1) 4) = 4

90 90 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Så omskriver man ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 4) potens og opløfte e i 4 potens. e ln((x+1) 4) = e 4 Derefter bruger man sætning Så ganger man 4 ind i parentesen Så trækker man 4 fra på begge sider (x + 1) 4 = e 4 4x + 4 = e 4 4x = e 4 4 Tilsidst dividerer man med 4 på begge sider Og opgaven er løst. Eksempel Løs ligningen Først bruger man sætning Nu har vi at x = e4 4 4 ln(x + 1) + ln(2) = ln(3) ln(x + 1) + ln(2) = ln((x + 1) 2) ln((x + 1) 2) = ln(3) Så omskriver man ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 2) potens og opløfte e i ln(3) potens. e ln((x+1) 2) = e ln(3) Derefter bruger man sætning Så ganger man 2 ind i parentesen Så trækker man 2 fra på begge sider (x + 1) 2 = 3 2x + 2 = 3 2x = 3 2 Tilsidst dividerer man med 2 på begge sider Og opgaven er løst. x = 1 2

91 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 91 Opgave 3.91 Løs ligningen ln(x) = 1 Opgave 3.92 Løs ligningen ln(x + 5) ln(3) = 1 x = e Opgave 3.93 Løs ligningen ln(x + 7) + ln(4) = 2 x = 3e 5 Opgave 3.94 Løs ligningen ln(2) + ln(x + 2) = 1 x = e Opgave 3.95 Løs ligningen 2 ln(x) = 4 x = e2 4 2 Opgave 3.96 Løs ligningen 2 ln(x) + 2 ln(5) = 0 x = e 2 Opgave 3.97 Løs ligningen ln(1 + 2x) ln(2) = 1 x = 1 5 Opgave 3.98 Løs ligningen ln(x) 2 ln(2) = 1 x = e 1 2 x = 4e

92 92 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Eksponentielle ligninger Hvis vi skal løse ligninger af typen så kan vi bruge at e x = 3 ln(e x ) = x ln(e) ifølge sætning og at ln(e) = 1, så kan vi lave følgende omskrivninger e x = 3 ln(e x ) = ln(3) x ln(e) = ln(3) x = ln(3) Eksempel Vi vil løse ligningen e 2x = 4, vi laver da følgende omskrivninger e 2x = 4 tag ln på begge sider ln(e 2x ) = ln(4) brug sætning x ln(e) = ln(4) brug at ln(e) = 1 2x = ln(4) divider med 2 på begge sider x = ln(4) 2 Eksempel Vi kan også løse ligninger af typen idet vi gør følgende 5 x = 11 5 x = 11 tag ln på begge sider ln(5 x ) = ln(11) brug sætning x ln(5) = ln(11) divider med ln(5) på begge sider x = ln(11) ln(5) man kunne også have brugt log så havde det set sådan ud: 5 x = 11 tag log på begge sider log(5 x ) = log(11) brug sætning x log(5) = log(11) divider med log(5) på begge sider x = log(11) log(5) og ln(11) ln(5) = log(11) log(5) Prøv selv på din lommeregner!

93 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 93 Opgave 3.99 Løs ligningen e x = 4 Opgave Løs ligningen e 3x = 2 x = ln(4) Opgave Løs ligningen 4 5x = 11 x = ln(2) 3 Opgave Løs ligningen 7 3x = 6 x x = ln(11) 5 ln(4) Opgave Løs ligningen e 2x 10 = 0 x = 0 Opgave Løs ligningen 3 x 1 = 4 x = ln(10) 2 Opgave Løs ligningen 10 x 10 2x = 8 x = ln(12) ln(3) Opgave Løs ligningen 4 2x = 8 x = ln(8) 3 ln(10) x = 3 4

94 94 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Fordoblings- og halveringskonstant En eksponentielt voksende udvikling (a > 0), f.eks. dine penge i banken hvis du ikke hæver nogle og hvis du får renter, vokser med samme procent for hver enhed f.eks. år. Eksempel Hvis du sætter 100 kr i banken til 6% pr. år så vil du få 6% flere penge hvert år. Fordoblingskonstanten er det antal år som dine penge skal stå i banken for at der nu er dobbelt så mange eller sagt på en anden måde, hvor lang tid går der før du har 100% flere penge i banken. Eksempel Hvis du fik 6% i rente pr. år hvor mange år vil der så gå før vækstraten var 100%? Det er denne ligning vi skal løse: 1, 06 n 1 = 1 1, 06 n = 2 n log(1, 06) = log(2) n = log(2) log(1, 06) hvilket er 11, 9 år. Dette eksempel kan vi generalisere til en sætning. Fordoblingskonstanten har symbolet T 2. Sætning Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a) Bevis. Fordoblingskonstanten er det antal enheder (år) som x-værdien vokser med for at y-værdien fordobles (det antal år som der går får man har dobbelt så mange penge i banken) dvs vi har ligningen f(x + T 2 ) = 2 f(x) i denne ligning skal vi isolere T 2. Først bruger vi funktions udtrykket for f(x) = b a x b a x+t 2 = 2 b a x så isoleres T 2 a x a T 2 = 2 a x a T 2 = 2 log(a T 2 ) = log(2) T 2 = log(2) log(a)

95 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 95 Følgende sætninger er det også muligt at bevise Sætning Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = ln(2) ln(a) Sætning Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T 1 2 = log( 1 2 ) log(a) Sætning Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T 1 2 = ln( 1 2 ) ln(a)

96 96 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Opgave Find fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 34 1, 0025 x Opgave Find fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 4 1, 3 x T 2 = 277, 6 Opgave Find fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 2 11 x T 2 = 2, 64 Opgave Find fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = x T 2 = 0, 29 Opgave Find fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 2 1, x T 2 = 0, 2 Opgave Find halveringskonstanten for funktionen f(x) = 34 0, 93 x T 2 = Opgave Find halveringskonstanten for funktionen f(x) = 34 0, 03 x T 1 2 = 9, 55

97 3.4. LOGARITMEFUNKTIONER 97 T 1 2 = 0, 198 Opgave Bevis at den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = ln(2) ln(a) Opgave Bevis at den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T 1 2 = log( 1 2 ) log(a)

98 98 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I 3.5 Potensfunktioner Regneforskrift f(x) = b x a b: Begyndelsesværdi, f(0) = b, skæring med y-aksen. Retliniet graf i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Forskriften for potensfunktionen gennem (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) fås af: a = log(y 2) log(y 1 ) log(x 2 ) log(x 1 ) b = y 1 x a 1

99 3.5. POTENSFUNKTIONER 99 Opgave Find værdien af f(3) når f(x) = 2 x 4 Opgave Find værdien af f(2) når f(x) = 3 x 5 f(3) = 162 f(2) = 96 Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (2, 4) og (4, 16) f(x) = 1 x 2 Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (3, 5) og (6, 20) f(x) = 0, 5556 x 2 Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (6, 2) og (24, 16) f(x) = 0, x 1,5 Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (2, 4) og (8, 20) f(x) = 1, x 1, Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (3, 4) og (4, 2) f(x) = 56, x 2,

100 100 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I Opgave Find værdien af x når f(x) = 108 og f(x) = 4 x 3 Opgave Find værdien af x når f(x) = og f(x) = 7 x 6 x = 3 Opgave Find værdien af x når f(x) = 384 og f(x) = 1, 5 x 4 x = 5 x = 4 Opgave Find værdien af x når f(x) = 1, og f(x) = 0, 34 x 1,77 x = 2 Opgave Find værdien af x når f(x) = 0, og f(x) = 0, 125 x 0,213 x = 0, 314 Opgave Vis, ved indtegning på dobbeltlogaritmisk papir, at følgende punkter ligger på grafen for en potensfunktion. Bestem herefter forskriften for potensfunktionen udfra grafen. x f(x) f(x) = 0, 4057 x 1,585

101 3.5. POTENSFUNKTIONER 101 Funktioner IV Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave Find forskriften for grafen for den lineære funktion som går gennem punkterne (3, 6) og (4, 12). Opgave Find forskriften for grafen for den eksponentialfunktion som går gennem punkterne (3, 6) og (4, 12). Opgave Find forskriften for grafen for den potensfunktion som går gennem punkterne (3, 6) og (4, 12). Opgave Find værdien af x, hvis f(x) = 30 og f(x) = 3x + 6 Opgave Find værdien af x, hvis f(x) = 375 og f(x) = 3 5 x Opgave Find værdien af x, hvis f(x) = 1372 og f(x) = 4 x 3 Opgave Reducer udtrykket log(3) log(5) + 4 log(2). Opgave Løs ligningen log(2x) 4 = 3 Opgave Løs ligningen e 3x+5 = 12 Opgave Find skæringspunktet mellem linierne y = 3x + 4ogy = 2x 6 Opgave Afgør ved indtegning på hhv. millimeterpapir, enkelt- og dobbeltlogaritmiskpapir om følgende punkter tilnærmelsesvis ligger på en lineær-, eksponential-, eller potensfunktion. x f(x)

102 102 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I 3.6 Proportionalitet Proportional De to variable x og y siges at være proportionale, hvis y = k(konstant) x eller y x = k, dvs. at forholdet mellem x og y er konstant Omvendt proportional De to variable x og y siges at være omvendt proportionale, hvis y = k(konstant) 1 x eller y x = k, dvs. at produktet af x og y er konstant. 3.7 Regression Lineær regression Den rette linie, der bedst tilnærmer et antal punkter i et koordinatsystem Eksponentiel regression Den rette linie, der bedst tilnærmer et antal punkter i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem Potes regression Den rette linie, der bedst tilnærmer et antal punkter i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

103 3.8. KAPITELOVERSIGT Kapiteloversigt Lineær funktion Regneforskrift f(x) = ax + b a: Hældningskoefficient b: Skæring med y-aksen, f(0) = b Forskrift for lineær funktion gennem (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) fås af: a = y 2 y 1 b = y 1 a x 1 x 2 x 1 Eksponentialfunktion Regneforskrift f(x) = b a x = b e kx, a er større end 0 og e k = a a: Grundtal, fremskrivningsfaktor a 1: Vækstrate, relativ vækst, (rentefod) b: Begyndelsesværdi, f(0) = b, skæring med y-aksen. Retliniet graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Forskrift for eksponentialfunktion gennem (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ), hvor x 1 større end x 2 fås af: a = ( y1 y 2 ) 1 x 1 x 2 b = y 1 a x 1 er Fordoblingkonstant: T 2 = log(2) log(a) Halveringskonstant: T 1 2 = log( 1 2 ) log(a) Potensfunktionen Regneforskrift f(x) = b x a b: Begyndelsesværdi, f(0) = b, skæring med y-aksen. Retliniet graf i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Forskriften for potensfunktionen gennem (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) fås af: a = log(y 2) log(y 1 ) b = y 1 log(x 2 ) log(x 1 ) x a 1 Logaritmeregnereglerne for log Logaritmeregnereglerne for ln log(a b) = log(a) + log(b) ( a ) log = log(a) log(b) b log (a x ) = x log(a) log(10 x ) = x 10 log(x) = x ln(a b) = ln(a) + ln(b) ( a ) ln = ln(a) ln(b) b ln (a x ) = x ln(a) ln(e x ) = x e ln(x) = x

104 104 KAPITEL 3. FUNKTIONER DEL I

105 Kapitel 4 Geometri 105

106 106 KAPITEL 4. GEOMETRI

107 Kapitel 5 Trigonometri 107

108 108 KAPITEL 5. TRIGONOMETRI Opgave 5.1 I ABC er C = 90, b = 6 og c = 7. Beregn a, A og B. a = 13, A = 31, B = 59 Opgave 5.2 I ABC er C = 90, A = 43 og c = 7. Beregn de resterende sider og vinkler. a = 4, 77, b = 5, 11, B = 47 Opgave 5.3 I ABC er C = 90, B = 25 og a = 19. Beregn de resterende sider og vinkler. b = 17, 7, c = 21, 0, A = 65 Opgave 5.4 I ABC er C = 90, b = 4, 719 og a = 12, 643. Beregn de resterende sider og vinkler. A = 69, 5, B = 20, 5, c = 13, 495

109 109 Opgave 5.5 I ABC er C = 90, b = 4, 719 og c = 12, 643. Beregn de resterende sider og vinkler. a = 11, 7293, A = 68, 1, B = 21, 9 Opgave 5.6 I ABC er C = 90, a = 2, 4 og b = 9, 7. Beregn de resterende sider og vinkler. c = 10, 0, A = 13, 9, B = 76, 1 Opgave 5.7 Beregn de ubekente sider og vinkler i ABC når b = 10, a = 12 og C = 70. c = 12, 7, B = 47, 6, A = 62, 4 Opgave 5.8 Beregn de ubekente sider og vinkler i ABC når b = 17, a = 12 og c = 22. C = 97, 18, B = 50, 06, A = 32, 76

110 110 KAPITEL 5. TRIGONOMETRI Trigonometri I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 5.9 I ABC er C = 90, b = 4, 719 og a = 12, 643. Beregn de resterende sider og vinkler. Opgave 5.10 I ABC er C = 90, a = 2, 4 og b = 9, 7. Beregn de resterende sider og vinkler. Opgave 5.11 Beregn vinklerne i ABC, når siderne opgives til a = 12, b = 17 og c = 22 Opgave 5.12 Beregn vinklerne i ABC, når siderne opgives til a = 2, 3, b = 4, 6 og c = 5, 9 Opgave 5.13 Beregn vinklerne i ABC, når siderne opgives til a = 46, 234, b = 31, 601 og c = 57, 612 Opgave 5.14 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at A = 124, 83, b = 4, 291 og c = 8, 612 Opgave 5.15 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at B = 43, 7, C = 74, 3 og a = 65, 35 Opgave 5.16 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at A = 41, b = 3, 41 og c = 5, 83 Opgave 5.17 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at c = 72, B = 48 og a = 68

111 111 Trigonometri II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 5.18 I ABC er C = 90, b = 19 og a = 27. Beregn de resterende sider og vinkler. Opgave 5.19 I ABC er C = 90, c = 5 og b = 4. Beregn de resterende sider og vinkler. Opgave 5.20 Beregn vinklerne i ABC, når siderne opgives til a = 11, b = 15 og c = 9 Opgave 5.21 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at A = 50, b = 11 og c = 15 Opgave 5.22 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at B = 60, C = 25 og a = 25 Opgave 5.23 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at A = 41, C = 25 og c = 12 Opgave 5.24 Beregn de resterende sider og vinkler i ABC, når det gælder, at A = 22, C = 47 og a = 9

112 112 KAPITEL 5. TRIGONOMETRI 5.1 Kapiteloversigt Den retvinklede trekant sin(v) = cos(v) = tan(v) = Modstående katete Hypotenusen Hosliggende katete Hypotenusen Modstående katete Hosliggende katete For en vilkårlig trekant ABC så gælder følgende: Sinusrelationerne a sin(a) = b sin(b) = c sin(c) Cosinusrelationerne Trekantens areal c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) cos(c) = a2 + b 2 c 2 2 a b b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c a 2 = c 2 + b 2 2 c b cos(a) cos(a) = b2 + c 2 a 2 2 b c T = 1 2 a b sin(c) = 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b)

113 Kapitel 6 Deskriptiv statistik Statistik er et redskab til at beskrive et datamateriale. Ofte vil et datamateriale være for omfattende til, at det er muligt at overskue og konkludere blot ved at se på selve datamaterialet. Derfor er der udviklet forskellige metoder, modeller og tabeller, som gør det muligt at overskue store mængder af data, og på baggrund af disse modeller og tabeller er det muligt at foretage konklusioner om datamaterialet. Først vil vi se på nogle simple begreber indenfor statistikken. 6.1 Observation og hyppighed Den mindste enhed i et datasæt er en observation. Det kan være observationer af næsten alt hvad man kan tænke sig, f.eks. kan det være antallet af bilister der køre over for rød lys i krydset mellem Nørrebrogade og Jagtvej mellem klokken 15 og 19 i uge 13 og 14. I dette tilfælde vil der være tale om 14 observationer, en observation pr. dag. 113

114 114 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Dag nr. Antal bilister der kørte over for rødt Efter at have lavet disse observationer, vil man se på hyppigheden af de forskellige observationsværdier. Dette betyder at man spørge: "Hvor ofte (eller hvor hyppigt) er der 11 bilister der kører over for rødt mellem klokken 15 og 19?" Svar: Der er 2 dage hvor der er 11 bilister som kørte over for rødt, på 3. og 6. dag. I dette tilfælde er 11 observationsværdien og hyppigheden er 2. Ud fra disse oplysninger konstruerer man en hyppighedstabel. Senere vil vi udvide hvad en hyppighedstabel består af. Antal bilister der kørte over for rødt. Observationsværdier Hyppighed I alt 14

115 6.1. OBSERVATION OG HYPPIGHED 115 Opgave 6.1 Lav en hyppighedstabel over følgende observationer. Observationsnr. Observationsværdi Opgave 6.2 Lav en hyppighedstabel over følgende observationer. Observationsnr. Observationsværdi Opgave 6.3 Lav en hyppighedstabel over følgende observationer. Observationsnr. Observationsværdi Opgave 6.4 Lav en hyppighedstabel over følgende observationer. Observationsnr. Observationsværdi

116 116 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK 6.2 Frekvens Det næste begreb er Frekvens. Frekvensen er defineret som hyppigheden divideret med det totale antal observationer. Frekvensen = Hyppigheden Det totale antal observationer Hvis vi vender tilbage til vores eksempel fra før er frekvensen af observationsværdien 11 Frekvensen af 11 = 2 14 Fordi hyppigheden for observationsværdien 11 var 2 dvs. h = 2, og der var i alt 14 observationer dvs. n = 14. På samme måde udregnes de øvrige frekvenser. Da man ikke vil skrive hyppigheden i en formel skriver man blot h, og istedet for at skrive det total antal observationer skriver man n, og istedet for at skrive frekvensen skriver man f, så f = h n Vi kan nu udregne frekvensen for alle hyppighederne i eksemplet. Antal bilister der kørte over for rødt. Observationsværdier Hyppighed Frekvens ? ? 17 1? I alt 14 1

117 6.2. FREKVENS 117 Opgave 6.5 Udfyld de steder i tabellen ovenfor hvor der står? Opgave 6.6 Lav en hyppighedstabel over nedenstående data, som indeholder hyppigheden og frekvensen. Årstal Antal søndage indenfor de første fire dage af månederne

118 118 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK 6.3 Middeltal Det næste begreb er Middeltal. Med middeltallet menes det gennemsnitlige antal bilister som kørte over for rødt mellem klokken 15 og 19 i uge 13 og 14. Middeltallet udregnes ved at summere produktet af observationsværdien og hyppigheden, for hver observationsværdi og så dividerer resultatet med det totale antal observationer. Hvis vi ser på eksemplet fra før med antal af bilister som kørte over for rødt mellem klokken 15 og 19 i uge 13 og 14, så bliver middeltallet, altså det gennemsnitligt antal bilister som kørte over for rødt mellem klokken 15 og 19, følgende: = 12, 8 Man kan også summere produktet af observationsværdien og frekvensen som her = 12, 8

119 6.3. MIDDELTAL 119 Opgave 6.7 Udregne middeltallet for følgende tal. 2, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 7 Opgave 6.8 Udregn middeltallet for antallet af søndage indenfor de første fire dage af måneden. Årstal Antal søndage indenfor de Årstal Antal søndage indenfor de første fire dage af månederne. første fire dage af månederne Opgave 6.9 Lav en tabel over observationsværdier, hyppighed og frekvens for nedenstående observationer. Og udregn middeltallet. Observationsnr Observation

120 120 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK 6.4 Summerede frekvenser Det næste begreb er summerede frekvenser. Summerede frekvenser kaldes også for kumulerede frekvens og er summen af alle tidligere frekvenser, dette lader sig bedst illustrere ved et eksempel. Antal bilister der kørte over for rødt. Observationsværdier Hyppighed Frekvens Summeret frekvens I alt = = = = = = = Ofte vil man i stedet for at skrive hyppighed og frekvens som brøker, skrive dem som decimaltal. Hvis man gør det så vil tabellen ovenfor se sådan ud. Antal bilister der kørte over for rødt. Observationsværdier Hyppighed Frekvens Summeret frekvens ,1429 0, ,1429 0, ,2143 0, ,1429 0, ,2143 0, ,0000 0, ,0714 0, ,0714 1,0000 I alt 14 1,0000

121 6.4. SUMMEREDE FREKVENSER 121 Opgave 6.10 Lav en tabel over observationsværdier, hyppighed, frekvens og summeret frekvens for nedenstående observationer. Og udregn middeltallet. Observationsnr Observation

122 122 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK 6.5 Pindediagram Det næste begreb er diagrammer. Et diagram er en grafisk måde at illustrerer frekvenser / summeret frekvenser og observationsværdier. Der er to forskellige typer af diagrammer: Pindediagrammer og trappediagrammer. Pindediagrammet bruges til at illustrerer sammenhængen mellem frekvens eller hyppighed og observationsværdi, mens trappediagrammet bruges at illustrerer sammenhængen mellem summeret frekvens og observationsværdi. Figur 6.1: Pindediagram Figur 6.5 er et pindediagram som er lavet ud fra følgende hyppighedstabel.

123 6.6. TRAPPEDIAGRAM 123 Antal bilister der kørte over for rødt. Observationsværdier Hyppighed Frekvens Summeret frekvens ,1429 0, ,1429 0, ,2143 0, ,1429 0, ,2143 0, ,0000 0, ,0714 0, ,0714 1,0000 I alt 14 1,0000 Figur 6.2: Pindediagram Hvis man istedet havde valgt at bruge frekvensen vil pindediagrammet se ud som på figur 6.5.

124 124 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Figur 6.3: Trappediagram 6.6 Trappediagram Trappediagrammet for samme tabel ses i figur Kvartiler Når man har lavet et trappediagram kan man aflæse kvartilerne. En kvartil lader sig bedst forklarer ved et eksempel. Der er tre kvartiler, 1., 2. og 3.kvartil, den 1.kvartil aflæses på trappediagrammet ved at gå ud fra 2.aksen ved 25 % til man rammer trappen og så gå ned til man rammer 1.aksen hvor 1.kvartil aflæses. Hvis vi ser på trappediagrammet figur så aflæses 1.kvartil til kvartil ofte kaldet medianen aflæses på trappediagrammet ved at gå ud fra 2.aksen ved 50 % til man rammer trappen og så gå ned til man rammer 1.aksen hvor 2.kvartil aflæses. Hvis vi ser på trappediagrammet se figur så aflæses 2.kvartil til 12.

125 6.6. TRAPPEDIAGRAM 125 Figur 6.4: Trappediagram 3.kvartil aflæses på trappediagrammet ved at gå ud fra 2.aksen ved 75 % til man rammer trappen og så gå ned til man rammer 1.aksen hvor 3.kvartil aflæses. Hvis vi ser på trappediagrammet se figur så aflæses 3.kvartil til 14. Man kan også aflæse ved f.eks. at gå ud fra 2.aksen ved 40 % til man rammer trappen og så gå ned til man rammer 1.aksen hvor 40 % -fraktilen aflæses. Hvis vi ser på trappediagrammet (figur 6.6.1) så aflæses 40 % -fraktilen til 12. Skema viser hvilke nave de forskellige kvartiler også har.

126 126 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Alias Alias 1.kvartil 0,25-fraktil Nedre kvartil 2.kvartil 0,50-fraktil Median 3.kvartil 0,75-fraktil Øvre kvartil Figur 6.5: Kvartilnavne Opgave 6.11 Ud fra nedenstående tabel over observationsværdier, hyppighed, frekvens og summeret frekvens skal du lave et pindediagram og et trappediagram og på trappediagrammet skal du aflæse 1., 2. og 3.kvartil. Og udregn middelværdien. Observationsværdier Hyppighed Frekvens Summeret frekvens ,052 0, ,138 0, ,185 0, ,099 0, ,194 0, ,091 0, ,241 1,000 I alt 232 1,000 Opgave 6.12 Ud fra nedenstående tabel over observationsværdier, hyppighed, frekvens og kumuleret frekvens skal du lave et pindediagram og et trappediagram og på trappediagrammet skal du aflæse 1., 2. og 3.kvartil. Og udregn middelværdien. Observationsværdier Hyppighed Frekvens Summeret frekvens ,150 0, ,088 0, ,338 0, ,075 0, ,006 0, ,281 0, ,063 1,000 I alt 232 1,000

127 6.7. GRUPPEREDE OBSERVATIONER Grupperede observationer Det næste begreb er grupperede frekvenser. Ofte er det sådan at man ikke ønsker at bruge alle observationsværdierne i sin analyse og derfor grupperer man observationsværdier på en måde som er mere hensigtsmæssig i forhold til den analyse man vil lave. Et eksempel kunne være den hastighed som man observerer at biler køre med en bestemt sted på motorvejen. Bil nr. Hastighed i km/t Bil nr. Hastighed i km/t Her ser man at der ikke er to biler som køre med den præcis samme hastighed, så derfor bliver hyppighedstabellen ikke simpel og overskuelig. Derfor gruppere man frekvenserne så i stedet for at registrere den præcise hastighed registrerer man i hvilken gruppe som hastigheden ligger i. I ovenstående eksempel kunne man lave følgende grupper: Gruppe 1 er de biler som køre mellem 90 og 100 km/t Gruppe 2 er de biler som køre mellem 100 og 110 km/t Gruppe 3 er de biler som køre mellem 110 og 120 km/t Gruppe 4 er de biler som køre mellem 120 og 130 km/t Hyppighedstabellen kommer så til at se sådan ud. Gruppe Hyppighed Frekvens Summeret frekvens 1 1 0,083 0, ,250 0, ,333 0, ,333 1,000 I alt 12 1 Man kan nu stille spørgsmålet: Hvor mange af bilisterne køre under 110 km/t? Svar: Det er de bilister som er i gruppe 1 og gruppe 2, og i kolonnen med den kumulerede frekvens ses at de udgør 0,333. Hvilket er 1 3.

128 128 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Interval Da vil skulle lave vores grupper så skrev vi f.eks. for gruppe 2 at det er de biler som køre mellem 100 og 110 km/t. Men en af bilerne kørte præcis 110 km/t, så derfor hørte denne bil til i begge grupper. Dette problem vil vi løse ved at lave intervaller. For i et interval så skal man se om yderpunkterne ligger i eller udenfor intervallet. F.eks. i intervallet ]5; 8] så er 5 ikke med mens 8 er med, det kan man se på den måde som de kantede paranteser er skrevet. Der er fire forskellige typer af intervaller. Interval Eksempel Forklaring Navn [a; b] [3; 7] Alle tal mellem 3 og 7, både 3 og 7 er med i intervallet. Lukket interval [a; b[ [3; 7[ Alle tal mellem 3 og 7, 3 er med og 7 er ude. Halvåbent interval ]a; b] ]3; 7] Alle tal mellem 3 og 7, 3 er ude og 7 er med. Halvåbent interval ]a; b[ ]3; 7[ Alle tal mellem 3 og 7, hverken 3 eller 7 er med. Åbent interval Hvis vi skulle skrive de fire grupper med interval notation, så ville de komme til at så sådan ud: Gruppe 1: ]90km/t; 100km/t] Gruppe 2: ]100km/t; 110km/t] Gruppe 3: ]110km/t; 120km/t] Gruppe 4: ]120km/t; 130km/t] Nu er det præcis til at se hvilken hastighed der høre til hvilket interval, og den samme bil kan ikke være i to intervaller på en gang. Af praktiske hensyn vil vi indfører begrebet intervalmidtpunkt.

129 6.7. GRUPPEREDE OBSERVATIONER 129 Definition Et intervalmidtpunkt, m, for intervallet [a; b], [a; b[, ]a; b] eller ]a; b[ er defineret som m = a + b 2 Eksempel Intervalmidtpunktet for intervallet [4; 9] er = 6, 5 Intervalmidtpunkterne for vores 4 grupper fra før bliver. Bemærk at istedet for bare at skrive frekvens har vi skrevet intervalfrekvens for at gøre opmærksom på, at det er frekvensen af et interval og ikke en enkelt værdi. Gruppe Interval Interval- Hyppighed Interval- Summeret midtpunkt frekvens frekvens 1 ]90km/t; 100km/t] 95 km/t 1 0,083 0,083 2 ]100km/t; 110km/t] 105 km/t 3 0,250 0,333 3 ]110km/t; 120km/t] 115 km/t 4 0,333 0,667 4 ]120km/t; 130km/t] 125 km/t 4 0,333 1,000 I alt Middeltal Når vi før skulle udregne middeltallet brugte vi observationsværdien, men hvis man kun har et interval så må man bruge intervalmidtpunktet i stedet for. Middeltallet for bilernes hastighed bliver derfor: 95km/t km/t km/t km/t 4 12 = 1370km/t 12 = 114, 2km/t

130 130 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Opgave 6.13 Ud fra nedenstående tabel over observationer af hvor meget brød vejer, skal du lave en hyppighedstabel med observationsværdier, intervalmidtpunkter, hyppighed, frekvens og summeret frekvens. Du skal bruge følgende gruppering. Gruppe 1 Kilogram i intervallet ]1 kg; 1,2 kg] Gruppe 2 Kilogram i intervallet ]1,2 kg; 1,4 kg] Gruppe 3 Kilogram i intervallet ]1,4 kg; 1,6 kg] Gruppe 4 Kilogram i intervallet ]1,6 kg; 1,8 kg] Gruppe 5 Kilogram i intervallet ]1,8 kg; 2,0 kg] Brød nr. Masse af brød Brød nr. Masse af brød 1 1, ,04 2 1, ,54 3 1, ,41 4 1, ,87 5 1, ,47 6 1, ,12 7 1, ,74 8 1, ,63 9 1, , , ,34 Opgave 6.14 Udfra den tabel du har lavet i opgave 6.13 skal du udregne middeltallet.

131 6.8. HISTOGRAM Histogram Det næste begreb er diagrammer over grupperede frekvenser. Den type af frekvenser som ikke er grupperede kalder man for diskrete frekvenser. For de diskrete frekvenser havde vi pindediagrammet, for grupperede frekvenser finders der et tilsvarende diagram: Histogrammet. Lad os tage udgangspunkt i hyppighedstabellen fra før. Gruppe Interval Interval- Hyp- Interval- Summeret midtpunkt pighed frekvens frekvens 1 ]90km/t; 100km/t] 95 km/t 1 0,083 0,083 2 ]100km/t; 110km/t] 105 km/t 3 0,250 0,333 3 ]110km/t; 120km/t] 115 km/t 4 0,333 0,667 4 ]120km/t; 130km/t] 125 km/t 4 0,333 1,000 I alt 12 1 For denne tabel bliver histogrammet: Beregning af kvartiler Når man skal bestemme kvartilerne så skal man aflæse dem på en sumkurve. Sumkurven konstrueres ved at afmærke den summerede frekvens i alle endepunkterne i en graf, som på figur Herefter sættes streger mellem staten af intervallet og de afmærkede endepunkter, som på figur Nu kan man aflæse f.eks. medianen ved at gå ud fra 50 % og derefter ned på x-aksen og aflæse medianen, se figur

132 132 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Figur 6.6: Histogram Opgave 6.15 Ud fra nedenstående observationer af hvor mange minutter S- toget, som skulle ankomme til Høje-Tåstrup klokken 7.50, kommer forsendt. Skal du lave en hyppighedstabel med observationsværdier, intervalmidtpunkter, hyppighed, frekvens og summeret frekvens, og et histogram. Du skal bruge følgende gruppering. Det antages at hvis toget er mere end 10 min forsinket så er det aflyst, da den næste tog skulle ankomme på dette tidspunkt. Gruppe 1 Minutter i intervallet [0 min 0 sek.; 0 min 30 sek.[ Gruppe 2 Minutter i intervallet [0 min 30 sek.; 1 min 0 sek.[ Gruppe 3 Minutter i intervallet [1 min; 2 min[ Gruppe 4 Minutter i intervallet [2 min; 5 min[

133 6.9. BOX-PLOT 133 Figur 6.7: Afmærkning af endepunkter for intervaller Gruppe 5 Minutter i intervallet [5 min; 10 min[ Forsinkelse i min,sek. 1,45; 0,20; 0,25; 1,54; 2,54; 3,54; 4,59; 9,00; 9,01; 9,47; 4,12; 4,07; 0,00; 4,47; 0,54; 0,12; 0,41; 2,12; 5,48; 1,34 Opgave 6.16 Beregn nedre kvartil, median og den øvre kvartil. 6.9 Box-plot Et box-plot er et plot af følgende 5 statistiske deskriptorer, mindste observation, nedre kvartil, median, øvre kvartil, største værdi. F.eks. hvis mindste observation, nedre kvartil, median, øvre kvartil, største værdi antager følgende værdier: Mindste observation 2 Nedre kvartil 5 Median 10 Øvre kvartil 17 Største værdi 25

134 134 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK Figur 6.8: Sumkurve Så kommer box-plottet til at se sådan ud: Opgave 6.17 Tegn box-plottet for de observationerne i opgave 6.15

135 6.9. BOX-PLOT 135 Figur 6.9: Sumkurve med aflæsning af median Figur 6.10: Box-plot

136 136 KAPITEL 6. DESKRIPTIV STATISTIK

137 Kapitel 7 Statistiske undersøgelser 7.1 Indsamling af data Datatyper Der er grundlæggende to typer af data, den ene er den naturvidenskabelige type, hvor data er indsamlet på baggrund af observationer. Den anden type er sociologiske data, som er indsamlet på baggrund af selvvurderinger. 7.2 Population og stikprøve 7.3 Bias Systematiske fejl. 7.4 Konfundering Skjulte variable. 137

138 138 KAPITEL 7. STATISTISKE UNDERSØGELSER

139 Kapitel 8 Økonomi 8.1 Penge og pengestrømme Butikker Forsikring Nationalbank Dig Leverandør Bank Produktionssted Skat Figur 8.1: Pengestrømmene i vores samfund De stiplede linier viser virksomheder eller personer som har forretninger med bankerne, dette kommer vi ind på i næste afsnit. De prikkede liner 139

140 140 KAPITEL 8. ØKONOMI er virksomheder eller personer som betaler skat, dette kommer vi ind på i afsnittet om skat og virksomhedsøkonomi. Nationalbankens rolle vil kort blive berørt i afsnittet om indekstal. Pile mellem virksomheder vil blive berørt i afsnittet om virksomhedsøkonomi. Pilen mellem dig og butikkerne kommer vi ind på i afsnittet budget og pilen mellem dig og forsikring kommer vi ind på i afsnittet forsikring. 8.2 Banken Banken eller bankerne spiller en central rolle i vores samfund, fordi det er deres virksomhed at administrere og tildels at styre pengestrømme i vores samfund. Og som vi i forrige kapitel så vedrøre penge næsten alle områder af vores liv. I dag er det sådan at banker udvider deres virksomhed til også at omfatte andre ting en ind- og udlån af penge, nogle af de ting som banker i dag har med i deres virksomhed er følgende: Indlån Man har mulighed for at låne sine penge til banken mod at få renter. I dag er det også sådan at banken tager penge for at administrere dine penge, dette kan i gøre ved at opkræve f.eks. et gebyr for at du har konto hos dem. Udlån Man har mulighed for at låne penge af banken mod at betale renter til banken, og ofte også en række gebyrer for at oprette lånet. Betalinger Hvis du skylder andre penge f.eks. telefonselskabet eller husleje, så vil banken - selvfølgelig mod betaling - gerne administrere pengeoverførslen mellem dig og din kreditor. Bankerne kalder denne service for pengeinstitutternesbetalingsservice (PBS). Værdipapirshandel Man har mulighed for at få banken - selvfølgelig mod betaling - at handle på børsen dvs. købe eller sælge aktier eller obligationer. Opbevaring af værdipapirer Bankerne vil gerne - selvfølgelig mod betaling - opbevare dine aktier eller obligationer. I gamle dage var aktier og obligationer et papir ligesom pengesedler, men i dag bruger vi kun elektroniske aktier og obligationer og disse data bliver opbevaret i værdipapircentralen. Bolighandel I forbindelse med fast ejendom - som er en værdi man kan stille til sikkerhed, dvs. som har en værdi i lang tid, for et lån - så vil bankerne gerne - selvfølgelig mod betaling - formidle dette lån. Denne del af bankernes virksomhed kaldes for realkredit.

141 8.2. BANKEN 141 Forsikring Dette vil vi komme ind på senere. Meget kort så betyder det at banken - mod betaling - gerne vil yde dig kompensation hvis nogle bestemte ting sker f.eks. hvis du har haft indbrud men det kan i praksis være alle hændelser Indlån Når du låner penge til banken kaldes det af banken for en indlån, men fra dit synspunkt er det et udlån. Man kan ikke undgå at låne banken penge, fordi hvis man tjener penge så skal de gå ind på éns konto i banken. Man kan bruge pengene man tjener til mange ting, men af praktiske hensyn vil jeg har dele dem op i to hovedgrupper. Den først vil jeg kalde forbrug, det kunne f.eks. være at købe et par nye bukser eller en ny taske, men det kan også være til husleje eller afdrag på et lån, alle disse ting vil vi komme ind på når vi skal tale om budget. Den anden hovedgruppe er opsparing som vi skal se på nu. Hvis man vil sparre penge op til f.eks. en rejse, et hus eller noget andet som man ikke har penge nok til lige nu så er det praktisk at lave en konto i banken hvor man sætte pengene til side. Til gengæld vil banken gerne give nogle renter, fordi du har valgt at bruge deres bank. Du skal være opmærksom på at der er tale om en forhandling, om hvilken rente du får, så hvis du ikke er tilfreds så skal du skifte til den bank som vil give dig den rente du vil have, eller du kan bare skifte til den bank som vil give dig den bedste/højeste rente. Når man indsætter nogle penge på en bankkonto så kalder man denne mængde af penge for en kapital og man bruger symbolet K. F.eks. så siger man har en kapital på 124 kr. Hvis man sætter denne kapital ind på en konto så siger man at saldoen på kontoen er 124 kr. Til en konto vil der være knyttet en rente og symbolet for renter er r. Man angiver altid hvad renten er pr. en tidsenhed (kaldet terminer) ofte bruger man år. Man sider at banken tilskriver en rente på 4% pr. år. Dette betyder at hvis saldoen på kontoen i år 2005 er 124 kr. så vil den være 124 kr. + 4% af 124 kr. i år Kontoudtog Saldo i ,00 kr Rente 4% af 124 kr (0, ) 4,96 kr Saldo i ,96 kr Dette kan man skrive op matematisk K 1 = K r + K hvor K er kapitalen nu og K 1 er kapitalen om et år og r er renten. Denne formel kan gøres mere enkel hvis vi sætter K udenfor en parentes K 1 = K (1 + r)

142 142 KAPITEL 8. ØKONOMI Hvis vi lader pengene stå i 5 år kommer regnestykket til at se sådan ud. Kontoudtog Saldo i ,00 kr Rente 4% af 124 kr (0, ) 4,96 kr Saldo i ,96 kr Rente 4% af 128,96 kr (0, , 96) 5,16 kr Saldo i ,12 kr Rente 4% af 134,12 kr (0, , 12) 5,36 kr Saldo i ,48 kr Rente 4% af 139,48 kr (0, , 48) 5,58 kr Saldo i ,06 kr Rente 4% af 145,06 kr (0, , 06) 5,80 kr Saldo i ,86 kr Dette kan skrives op matematisk K 1 = K (1 + r) K 2 = K 1 (1 + r) K 3 = K 2 (1 + r) K 4 = K 3 (1 + r) K 5 = K 4 (1 + r) Hvor K 1 er kapitalen efter 1 år og K 2 er kapitalen efter 2 år osv. Man kan samle disse formler i en formel K 5 = K (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) = K (1 + r) 5 Dette kan man generalisere til følgende renteformel Sætning Hvis K er startkapitalen og r er renten, så er kapitalen efter n terminer K n = K (1 + r) n Virkeligheden er desværre ikke så simpel, fordi ovenstående formel gælder kun hvis man sætter sine penge ind på kontoen den 1.1 og aldrig hæver eller sætter penge ind på kontoen før man hæver alle pengene igen 1.1 nogle år senere. Dette skyldes at bankerne kun tilskriver renter dvs. sætter dem ind på din konto en gang om året og det er den og det er lige meget hvilken konto du har. Derfor har bankerne udviklet nogle regnemetoder til at beregne renter hvis du ikke har pengene stående i en hel termin. F.eks. hvis du kun

143 8.2. BANKEN 143 har 124 kr. stående i 134 dage til 4% pr. år så siger banken at du har fået en rente på 124 kr. 0, = 1, 85 kr. 360 Dette er selvfølgelig mere kompliceret, men til gengæld kan man bruge banken på andre dage end den 1. januar og det er jo meget praktisk. Renten kaldes også for vækstraten. Hvis man kender både startkapitalen K og slutkapitalen K n kan man finde den gennemsnitlige rente i perioden n ved at isolere r i renteformlen. n Kn ( ) 1 Kn K K n = K (1 + r) n K n K n Kn = (1 + r)n K = 1 + r K 1 = r n 1 = r Hvis man derimod kender renten for alle de mellemliggende år kan man bruge at (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r n ) = Kn og derfor bliver den gennemsnitlige K rente r = n (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r n ) 1 hvor r 1 er renten første år og r 2 er renten andet år osv. Hvis man kender renten og slutkapitalen K n så kan man finde startkapitalen K ved formlen: K = K n (1 + r) n

144 144 KAPITEL 8. ØKONOMI Opgave 8.1 Hvad er kapitalen K 4 hvis startkapitalen K er kr og renten er 5%? , 20 kr Opgave 8.2 Hvad er kapitalen K 23 renten er 7%? hvis startkapitalen K er kr og 4.740, 53 kr Opgave 8.3 Hvad er kapitalen K 3 renten er 10%? hvis startkapitalen K er kr og 2.262, 70 kr Opgave 8.4 Hvad er kapitalen K 10 renten er 5%? hvis startkapitalen K er 27,50 kr og 44, 79 kr Opgave 8.5 Hvad var startkapitalen vis K 7 er kr og renten var 2,3%? , 10 kr Opgave 8.6 Hvad var startkapitalen vis K 2 er kr og renten var 5%? 2.721, 09 kr Opgave 8.7 Hvad var startkapitalen vis K 5 er 300 kr og renten var 0,25%? 296, 28 kr

145 8.2. BANKEN 145 Opgave 8.8 Hvad er kapitalen K 7 hvis startkapitalen K er kr og renten er 3%? 41815, 70 kr Opgave 8.9 Hvad var startkapitalen vis K 9 er kr og renten var 7,5%? 16690, 70 kr Opgave 8.10 Hvad var den gennemsnitlige rente hvis K 3 = 4000 og K = 3000? 10, 06% Opgave 8.11 Hvad var den gennemsnitlige rente hvis K 9 = 7500 og K = 5400? 3, 72% Opgave 8.12 Hvad var den gennemsnitlige rente hvis K 30 = 4700 og K = 3000? 1, 51% Opgave 8.13 Hvad var den gennemsnitlige rente hvis renten første år var 12%, andet år var 7% og tredje år 3% 7, 27% Opgave 8.14 Hvad var den gennemsnitlige rente hvis renten første år var 12%, andet år var 7%, tredje år 3% og fjerde år 8% 7, 45%

146 146 KAPITEL 8. ØKONOMI Udlån Når du låner penge af banken, kaldes det for udlån. Der er tre typer af lån som jeg vil gennemgå: Kassekredit, annuitetslån og afdragsfrie lån. Kassekredit En kassekredit er en aftale mellem dig og din bank om at saldoen på den konto gerne må være negativ med en vist beløb f.eks kr. Denne aftale koster selvfølgelig penge og den viser også hvilken rente (negativ som positiv) der skal tilskrives kontoen. Aftalen kunne f.eks. være at en positiv saldo fik tilskrevet en årlig rente på 0,25% og en negativ saldo fik tilskrevet en årlig rente på 7,25%. At udregne renteudgiften/rentetilvæksten på en sådan konto kræver at man bruger bankernes dag for dag system men hensyn til saldo og renter og det er meget besværligt uden en computer. I et excel regneark vil man kunne simulere en tilskrivning af renter ved følgende koder: A B C D 1 Dato Saldo Hævet/ Indsat (-/+) Ikke tilskrevende renter =B2+C3 +25 =HVIS(B2>0;B2*0,25/100*(A3-A2)/360; B2*7,25/100*(A3-A2)/360) =B3+C4-50 =HVIS(B3>0;B3*0,25/100*(A4-A3)/360; B3*7,25/100*(A4-A3)/360).. Se figur 8.2 for resultat.... Dato Saldo Hævet/Indsat (-/+) Ikke tilskrevende renter 01-jan kr 125,00 25-jan kr 150,00 kr 25,00 kr 0,02 02-feb kr 100,00 kr (50,00) kr 0,01 Figur 8.2: Kassekredit Man kan også bruge disse koder selvom der ikke er tale om en konto med kassekredit idet en bank altid må overveje hvad der skal se med en konto med en negativ saldo.

147 8.2. BANKEN 147 Annuitetslån Mange lån er annuitetslån. Et annuitetslån er et lån hvor man betaler tilbage i faste rater over en på forhånd aftalt periode. Det kan f.eks. være når man gerne vil have en ny håndtaske men man har ikke de kr. som den koster, så tilbyder butikken ofte - selvfølgelig mod betaling - at du kan købe tasken for 200 kr pr. måned i 60 måneder. På denne måde kan du få tasken med lige nu, hvor du gerne vil have den. Man hvad kommer du så til at betale for tasken? Tjaa kr pr. måned i 60 måneder det er 200 kr 60 = kr, nu koster tasken altså kr og ikke kr. Hvis du istedet valgte at spare op til tasken så skulle du spare 200 kr op i 35 måneder før du havde råd til tasken, men på det tidspunkt findes tasken ikke længere i butikken og den er i øvrig også blevet umoderne. Du er altså fanget i et uløseligt dilemma, vil du betale kr for tasken over 60 måneder eller vil du vendte 35 måneder med at købe tasken, desværre er der alt for mange som vælger at betale kr for tasken selvom der er flere andre gode alternativer. Kassekredit Det vil ofte være billiger at oprette en kassekredit i banken end at tage butikkens dyre lån. Annuitetslån Det vil være billiger at låne pengene direkte i banken via et annuitetslån. Fast opsparing Langt det billigste er at erkende at du bare har dyre vaner og så starte en opsparing så du altid har små du kan bruge af når du falder over noget du bare må have her og nu. Denne mulighed kommer vi ind på når vi skal snakke budget. Lad være Man kunne overveje - jeg ved det er næste blasfemisk - ikke at købe tasken! Hvis du vælger et annuitetslån så skal du vide hvordan sådan et er skruet sammen. Det beløb man låner kaldes for hovedstolen, og som symbol bruges ofte G, de månedlige afdrag kaldes ydelser og som symbol bruges Y, n er antallet af måneder man afdrager (terminer) og r er renter pr. måned. Ordet måned kunne erstattes af termin eller år eller uge, eller et hvilket som helst anden fast tidsrum. Men husk at renten og ydelsen skal falde med samme interval ellers passer formlen ikke. F.eks. må man ikke indsætte renten pr. år og den månedlige ydelse. Hvis ydelsen er månedlig så skal renten også være det!.

148 148 KAPITEL 8. ØKONOMI Sammenhængen mellem G, Y, r og n er. Sætning Hvis Y er ydelsen og r er renten og n er antallet af terminer, så er hovedstolen G = Y 1 (1 + r) n r I denne formel kan man også isolerer ydelsen og antallet af terminer, men ikke renten. og Y = G r 1 (1 + r) n n = ln ( ) 1 r G Y ln(1 + r) Det bedste overblik over et annuitetslån for man ved at se grafer for afdrag og renter (figur refannuitet) (Afdrag er ydelsen - renten) og man kan se at i starten af perioden så betaler man næsten kun renter og ikke noget afdrag mens de sidste ydelser går næsten udelukkende til afdrag. Dette kan man også se af grafen over restgælden (figur refannuitetrest), i starten falder restgælden næsten men det gør den til sidst.

149 8.2. BANKEN 149 Kroner Kroner , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Termin 2.000, , ,00 Rente Afdrag Figur 8.3: Afdrag og rentebetalinger for en 30 terminers annuitet med hovedstol og rente Rente Afdrag 5% Termin , ,00 Kroner , , , ,00 Kroner , , , Termin Termin Figur 8.4: Restgæld for en 30 terminers annuitet med hovedstol og rente 5%

150 150 KAPITEL 8. ØKONOMI Afdragsfrie lån I et afdragsfrit lån betaler man kun renter og ingen afdrag, undtagen den sidste termin, her betaler man hele hovedstolen og renten for den sidste termin. Grafen for ydelsen kommer til at se således ud Kroner Termin Figur 8.5: Ydelsen for et 30 terminers afdragsfrit lån med hovedstol og rente 5% Renten pr. termin og hermed også ydelsen beregnes ved følgende formel Y = r G og den sidste ydelse er så Y = r G + G

151 8.2. BANKEN 151 Opgave 8.15 Bestem ydelsen for et annuitetslån på 50 terminer og med en rente på 3% og en hovedstol på kr , 70 kr. Opgave 8.16 Bestem ydelsen for et annuitetslån på 360 terminer og med en rente på 0,5% og en hovedstol på kr , 50 kr. Opgave 8.17 Bestem hovedstolen for et annuitetslån på 60 terminer og med en rente på 3% og en ydelse på 200 kr. 5535, 11 kr. Opgave 8.18 Bestem hovedstolen for et annuitetslån på 12 terminer og med en rente på 22% og en ydelse på 500 kr. 2063, 69 kr. Opgave 8.19 Bestem antallet af terminer for et annuitetslån med en hovedstol på kr og en rente på 4% en ydelse på kr. 78 terminer Opgave 8.20 Bestem antallet af terminer for et annuitetslån med en hovedstol på kr og en rente på 22% en ydelse på kr. 13 terminer

152 152 KAPITEL 8. ØKONOMI 8.3 Budget For at få et overblik over din økonomi så er det en god ide at opstille et budget. Nogle gange skal man opstille et budget f.eks. hvis man vil låne penge i banken, så kræver banken at se et budget for at være sikker på at du er i stand til at betale pengene med renter tilbage. Det er ikke altid lige let at opstille et budget fordi det handler om fremtiden, og den kan man aldrig være helt sikker på, man bliver derfor nød til at se på fortiden og så tro på at fremtiden kommer til at ligne den. F.eks. hvis din husleje har været kr i november, december og januar så må du regne med at den også vil forsætte med at være kr, med mindre du har fået at vide at der kommer en huslejestigning. Man vil ofte opstille et budget for et år af gangen, så man laver et skema (typisk i excel) som dette: Udgifter Januar Februar Marts April Husleje El/Gas Telefon Udgift i alt Man skal være opmærksom på at nogle udgifter skal man kun betale hver 3. måned og andre skal betales 2 gange om året og andre skal kun betales 1 gang om året. Figur 8.6 viser en oversigt over nogle typiske udgifter man kan tænkes at have, det er opdelt i kategorier. Det var udgifterne det er typist dem som det er sværest at holde styr på, ny kommer vi til indtægterne. Du vil typisk kun have en indtægt og det er din SU, løn, dagpenge, bistand eller pension. Men igen vil der være en usikkerhed, man kan ikke viden om indtægten holder, man kunne blive fyret eller stoppe på sin uddannelse. I Danmark er det sådan at vi har en rimelig høj offentlig forsørgelse, men til gængæld kan man med forholdsvis kort varsel blive sagt op. Dette er et system som vi har i Danmark for, at have en høj fleksibilitet på arbejdsmarkedet. Indtægterne skriver man også i budgettet, og så lægger men indtægterne sammen og derefter trækker man udgifterne fra og så for man sit overskud/underskud pr. måned dette kaldes månedens resultat. Se figur 8.7. Når man skal opstille dette budget i excel skal man skrive alt teksten og alle tallene ind selv undtagen Udgifter i alt i denne række skal man bruge den specielle funktion SUM som excel har. Hvis man har skrevet kolonnen

153 8.3. BUDGET 153 Bolig Husleje Ejendomsskat Renovation Varme El, gas Boliglån 1 Boliglån 2 Antenneforening Ejendomsforsikring Vej og kloak Transport Buskort Afdrag på bil Afdrag på cykel Bilforsikring Falck abonnement Vægtafgift Ydelser på lån Banklån kort lån Andre lån Familie Opsparing Diverse Forsikringer Fagforening Internet Telefon Mobiltelefon Tv og Radio licens Biograf, Teater, Café, Restaurant og bytur Kapitalpension Opsparing til nyanskaffelser Boligopsparing Ferieopsparing Læge, tandlæge Husholdning Nyanskaffelser Gaver Figur 8.6: Oversigt over typiske udgifter med udgifter i kolonne A og januar i kolonne B og februar i kolonne C osv., så skal man i rækken udgifter i alt skrive =SUM(B2:B6) hvis man vil lægge tallene i cellerne B2, B3, B4, B5 og B6 sammen. Hvis man har flere eller færre celler for januar måned så skal man bare tage flere celler med eller undlade nogle. Når man har fået summeret de celler sammen som man ville, kan man blot kopiere cellen med sum-formlen til de andre kolonner, så finder excel selv ud af at man har skiftet måned. Når man syntes man er færdig, er det en god ide, at placere sig i en af sum-cellerne og trykke på F2, så kan man se hvilke celler excel lægger sammen.

154 154 KAPITEL 8. ØKONOMI Udgifter Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Husleje El, gas Antenneforening Buskort Afdrag på cykel Falck abonnement Forsikring Internet Telefon Mobiltelefon Tv og radio licens kort lån Husholdning Gaver Udgifter i alt SU Studiejob Indtægter i alt Resultat Figur 8.7: Budget med resultat Dette er så budgettet. Det næste trin er at oprette en budgetkonto hvorfra ens faste udgifter bliver trukket. Grunden til at man opretter en budgetkonto er at ens udgifter ikke er de samme hver måned, men det er ens indtægter. Derfor vil der være nogle måneder hvor man kr til tant og fjas, mens man andre måneder har et underskud på 753 kr. Ved at oprette en budgetkonto så slipper man for dette problem. Men inden vi kommer til du skal du prøve at opstille et budget. Der kan godt være ting som man ikke kan indregne i budgettet, eller som man bevist undlader. Hvis man bevist undlader ting så er den en god idé at skrive dem på budgettet med uden beløb så man er opmærksom på disse ting. Det er også en god idé at forklarer hvad man mener med f.eks. husholdning, man kan udspecificere i f.eks. en parantes f.eks. husholdning (mad, rengøringsmidler, personlig pleje, o.l.).

155 8.3. BUDGET 155 Opgave 8.21 Opstil et budget for alle årets måneder. Udgifterne er: Bolig Husleje kr pr. måned El, gas kr hver 3. måned (1. gang januar) Antenneforening kr hver 3. måned (1. gang februar) Transport Buskort kr hver måned Afdrag på cykel kr hver måned (start marts) Falck abonnement kr to gange om året (juni og december) Familie Forsikringer kr en gang om året i november Internet kr hver måned Telefon kr hver måned Mobiltelefon kr hver måned Tv og Radio licens kr to gange om året (februar og august) Ydelser på lån kort lån kr hver måned Opsparing Opsparing til nyanskaffelser pr. måned Diverse Læge, tandlæge kr 2 gange pr. år (april og november) Husholdning kr pr. måned Gaver kr pr. måned Dine indtægter er kr om måneden i SU og i løn for et studiejob. Opgave 8.22 For det budget du lige har opstillet skal du udregne årets resultat ved at lægge resultatet sammen for alle månederne. Opgave 8.23 Som du nu har fundet ud af så er der ikke penge nok, prøv og se om du kan undvære nogle af tingene, så du har penge nok. Kan du finde på andre løsninger? Opgave 8.24 Opstil dit eget budget.

156 156 KAPITEL 8. ØKONOMI Budgetkonto Ideen med en budgetkonto er at man til denne konto overfører et fast beløb hver måned. For at dette skal kunne lade sig gøre, er det nødvendigt at, man har et præcist overblik over hvilke udgifter der skal trækkes fra budgetkontoen. Lad os f.eks. sige at man ønsker at huslejen, el/gas, forsikring, buskort og internet bliver trukket over budgetkontoen. Opgaven er så at udregne hvor mange penge der skal overføres til budgetkontoen hver måned. Først opstilles et budget over disse udgifter Udgifter Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Husleje El, gas Buskort Forsikring Internet Opsparing Udgifter i alt Figur 8.8: Budget Nu skal vi så udregne hvad der skal indsættes på budgetkontoen. Først finder vi den gennemsnitlige udgift pr. måned. Sum af alle udgifterne 12 = 3.314, 00 Det er altså dette beløb som vi skal indsætte hver måned. Lad os se hvad der sker hvis vi gør det. I januar indsætter du kr og der bliver hævet kr, så bliver saldoen = 16. I februar indsætter du kr og der bliver hævet kr, så bliver saldoen = 18 Hvor de 16 er fra januar måned. I marts indsætter du kr og der bliver hævet kr, så bliver saldoen osv = 552

157 8.3. BUDGET 157 Opgaven er nu at finde ud af hvad det mindste saldoen bliver på budgetkontoen? Hvis budgetkontoen bliver negativ f.eks. hvis den mindste saldo bliver -433,00 kr, så skal dette beløb indsættes på budgetkontoen ved dennes oprettelse. På denne måde forhindre man at saldoen bliver negativ. De fleste banker har lavet et excel regneark som foretager alle udregningerne, man skal bare indtaste sine udgifter så udregner den automatisk hvad man skal indsætte på sin budgetkonto. I excel kommer budgettet til at se således ud. (figur 8.9) Udgifter Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Husleje El, gas Buskort Forsikring Internet Opsparing Udgifter i alt Indsæt på konto Saldo på konto Figur 8.9: Budget med saldo på budgetkonto For at gøre dette i excel, skal man selv skrive ind, hvad man har regnet ud at man skal indsætte på kontoen. Og når man skal udregne hvad saldoen på kontoen bliver så gør man følgende: 1. Placer dig i cellen der skal udregne saldoen på kontoen for januar måned 2. Skriv = 3. Klik nu på den celle hvor der står hvad du har indsat på kontoen i januar. 4. Skriv - 5. Klik nu på den celle hvor der står de samlede udgifter for januar. 6. Tryk på Enter. Nu har excel udregnet hvad saldoen i slutningen af januar måned er. 7. Placer dig i cellen der skal udregne saldoen på kontoen for februar måned 8. Skriv =

158 158 KAPITEL 8. ØKONOMI 9. Klik nu på den celle hvor der står hvad du har indsat på kontoen i februar. 10. Skriv Klik nu på den celle som udregnede saldoen på kontoen i januar måned. 12. Skriv Klik nu på den celle hvor der står de samlede udgifter for februar. 14. Tryk på Enter. Nu har excel udregnet hvad saldoen i slutningen af februar måned er. 15. Kopier cellen du lige har udregnet til resten af månederne. 16. Du kan kontrollere at du har løst opgaven rigtigt ved at saldoen på kontoen i december er 0. Som man kan se på budgettet så bliver saldoen på budgetkontoen negativ, og for at forhindre dette kan man starte med at indsætte 34 kr på kontoen. Man skal være opmærksom på hvis nogle ting stiger eller hvis man vil lade nogle nye ting gå over budgetkontoen, så skal man lave en ny beregning. Hvis man har lavet budgettet i excel så er det let at lave ændringer.

159 8.3. BUDGET 159 Opgave 8.25 Ud fra budgettet på figur 8.9 skal du tilføje opsparing til s- tudiebøger og bærbar computer på 600 kr om måneden, som du planlægger at starte i marts. Brug evt. skemaet herunder. Udgifter Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Husleje El, gas Buskort Forsikring Internet Opsparing Udgifter i alt Ny udgift i alt Indsæt på konto Ny indsæt Saldo på konto Ny saldo

160 160 KAPITEL 8. ØKONOMI 8.4 Regnskab Når man har opstillet sit budget og oprettet sin budgetkonto og eventuelt også oprettet en eller flere opsparingskonti, så er det man skal lave et regnskab. Hvor budgettet er hvordan man planlægger at bruge sine penge så er regnskabet hvad man faktisk har brugt sine penge på. Regnskabet bruger man primært til to ting, det ene er at holde styr på hvor mange penge man har brugt og hvad man har brugt dem til, det andet er at kontrollere om man nu også har husket hvad man har brugt pengene til. Det sidste er vigtigt fordi ellers er regnskabet ikke brugbart. Når man har lavet sit regnskab kan man bedre opstille et budget og efter et par år, vil man være rigtigt godt til at forudsige hvor mange penge man vil bruge og til hvad, på denne måde for man en større økonomisk frihed. Man bliver i stand til at gøre ting som man ellers ikke kunne have gjort fordi man kan overskue de økonomisk aspekter af det. Det kunne f.eks. være man vil lave et karriere skift, starte egen virksomhed, rejse jorden rundt, tage en pause fra arbejdet o.l. Når man opstiller sit regnskab skal man være opmærksom på hvilke ting det er man gerne vil have et overblik over, typist vil det være om man overholder sit budget, derfor vil der i regnskabet være de samme poster (husleje, el og gas, forsikring, husholdning, osv.) som der var i budgettet. Den nemmeste måde at have dette overblik er ved at opstille regnskabet på følgende måde: Dato Kasse Bank Indkomst Husleje Husholdning Telefon Transport Primo 542, ,00 01-jan 4.200, ,00 03-jan , ,00 05-jan -241,75 241,75 07-jan -125,00 125,00 11-jan -154,50 154,50 18-jan 500,00-500,00 22-jan -400,00 400,00 28-jan -115,00 115,00 31-jan -123,25 123,25 Ultimo 7, , , ,00 919,50 125,00 115,00 Figur 8.10: Regnskab med husleje, husholdning, telefon og transport Primo betyder i starten af, og bruges for at fortælle hvad saldoen på kontoen i banken var ved månedens eller årets begyndelse. Ultimo betyder sidst, og bruges for at fortælle hvad saldoen på kontoen i banken var ved månedens

161 8.4. REGNSKAB 161 eller årets slutning. Regnskabet i figur 8.10 er forenklet fordi der mangler en masse poster, det er nemlig meget vigtigt at alt hvad man bruger penge på bliver skrevet ind i regnskabet ellers vil man ikke kunne kontrollere om regnskabet er rigtigt. Fordi man skal have alt med så er det meget praktisk at have en post der hedder andet, hvor man kan skrive alt det man ikke havde tænk på da man lavede budgettet. Man kan så en gang i mellem gennemgå andet posten og find ud af om man mangler en post i regnskabet og budgettet. Når man skal opstille sit regnskab i excel så skal man selv skrive alt ind det eneste man kan få excel til at udregne er ultimo, og dette gør man ved at summere alle cellerne over hver ultimo sammen, for at gøre dette bruger man =SUM() -funktionen. Når man har lavet sit regnskab, så skal man lave en oversigt som kan sammenlignes med budgettet. Denne oversigt kunne se således ud: Indtægter SU 4.200,00 Udgifter Husleje 2.500,00 Husholdning 919,50 Telefon 125,00 Transport 115,00 Udgifter i alt 3.659,50 Resultat 540,50 Figur 8.11: Regnskabsoversigt I denne regnskabsoversigt kan man så se hvor meget man samlet har brugt på f.eks. husholdning i januar. Tallene er taget fra regnskabet i figur Det nye i oversigten er at man har udregnes månedens resultat, dette resultat er indtægterne minus udgifterne. Dette var det ene mål med regnskabet, at skabe overblik over hvordan man bruger sine penge. Det andet var at man skulle kontrollere om regnskabet var rigtigt. Det gør man ved at tilføje primo og ultimo for kassen og banken. Denne oversigt laver man i excel ved at gøre følgende: 1. Først skriver man alt teksten. 2. Når man f.eks. vil have husleje ind i oversigten så skriver man =

162 162 KAPITEL 8. ØKONOMI 3. Derefter klikker man på ultimo udregningen for husholdning, og tilsvarende for de andre poster (husholdning, telefon og transport osv.) 4. Derefter trykker man på enter. Nu har man så hentet det ønskede tal fra regnskabet til regnskabsoversigten. Dette skal gentages for hver post man vil henter over i oversigten. Indtægter Kasse SU 4.200,00 Primo 542,00 Ultimo 7,50 Udgifter Resultat -534,50 Husleje 2.500,00 Husholdning 919,50 Bank Telefon 125,00 Primo 1.424,00 Transport 115,00 Ultimo 2.499,00 Udgifter i alt 3.659,50 Resultat 1.075,00 Resultat 540,50 Resultat 540,50 Figur 8.12: Regnskabsoversigt med bank og kasse Nå man på denne måde afstemmer. Man kan se på oversigten at resultatet stemmer, fordi det resultat som man har fået ved at udregne forskellen mellem indtægter og udgifter, er den sammen som man får ved at udregne hvor mange flere penge der er kommet i kassen og banken. Ideen men en oversigt er at sikre sig at man har huske at skrive alle sige udgifter ind i regnskabet. Og det skulle derfor gerne være sådan at hvis man har brugt 100 kr, så her man enten 100 kr mindre i banken eller i sin pung, hvis ikke så er der noget galt.

163 8.4. REGNSKAB 163 Opgave 8.26 Opstil et regnskab og en regnskabsoversigt med bank og kasse med følgende bilag: Netto 25,50 kr SU 4.200,00 kr Husleje 2.200,00 kr El og gas 450,00 kr Aldi 23,25 kr Gave til mor 250,00 kr Løn 1.523,00 kr Fakta 231,50 kr Buskort 280,00 kr Café tur 225,00 kr Bluse 159,00 kr Opsparing til bøger 350,00 kr Netto 158,75 kr Telefon 250,00 kr Internet 250,00 kr Primo kasse 25,50 kr og primo bank 142,50 kr.

164 164 KAPITEL 8. ØKONOMI 8.5 Opsparing Nu har vi flere gange set på opsparing, men vi har ikke regnet med renterne. Hvis man er så heldig at have en opsparing hvor man får renter så kan man regne ud hvor meget der vil være på opsparingen ved følgende formel. Sætning Hvis Y er ydelsen og r er renten og n er antallet af terminer, så er værdien A n = Y (1 + r)n 1 r Og i denne formel kan man isolere ydelsen, og antal terminer. r Y = A n (1 + r) n 1 n = ln ( A n r+y ) Y ln(r + 1) Ydelses er det man sætter ind på kontoen ved hver termin, antal terminer er det antal gange man sætter ind på kontoen. Eksempel Hvis du sætter 400 kr ind på en konto hver måned som giver 0,04% pr. måned, i 5 år (60 måneder) så vil du efter 5 år have A 60 = 400 (1 + 0, 0004)60 1 0, 0004 = , 40 Hvis du ikke havde fået renter ville du have = Du har altså fået 285,40 kr i rente på de 5 år. Det er en anden vigtig ting som du skal kunne, og det er at omregne en årlig rente til en månedlig rente og omvendt. Fra månedlig rente til årlig Fra årlig til månedlig (r månedlig + 1) 12 1 = rårlig r månedlig = (rårlig + 1)

165 8.5. OPSPARING 165 Eksempel Hvis du sætter 400 kr ind på en konto hver måned som giver 2% pr. år, i 3 år (36 måneder), hvor meget vil du have efter 3 år? Først udregner vi den månedlige rente fordi det er så ofte du indsætter på kontoen. r månedlig = (0, ) = 0, Denne rente kan vi nu bruge i opsparingsformelen A 36 = 400 (1 + 0, )36 1 0, = , 20 Hvis du ikke havde fået renter ville du have = Du har altså fået 424,20 kr i rente på de 3 år. Hvilket svare til en ekstra indbetaling.

166 166 KAPITEL 8. ØKONOMI Opgave 8.27 Hvor meget vil du have på din opsparing, hvis du opsparer 600 kr hver måned i 3 år til 2% i rente p.a.? ,10 kr Opgave 8.28 Hvor meget vil du have på din opsparing, hvis du opsparer 600 kr hver måned i 4 år til 3% i rente p.a.? ,10 kr Opgave 8.29 Hvor meget vil du have på din opsparing, hvis du opsparer 600 kr hver måned i 1 år til 5% i rente p.a.? 7.363,55 kr Opgave 8.30 Hvor meget vil du have på din opsparing, hvis du opsparer 400 kr hver måned i 2 år til 3% i rente p.a.? 9.877,26 kr Opgave 8.31 Du skal bruge kr om tre år, du har en opsparingskonto hvor du får 4% i rente p.a., hvor meget skal du lægge til side pr. måned? 655,46 kr Opgave 8.32 Du vil gerne have kr om 10 år, du har en opsparingskonto hvor du får 4% i rente p.a., hvor meget skal du lægge til side pr. måned? 852,10 kr

167 8.5. OPSPARING 167 Opgave 8.33 Du har en drøm om at være millionær inden du bliver 30, i dag er du 15 år, hvis du kan få en konto med 2% i rente p.a., hvor meget skal du så lægge til side pr. år? ,50 kr Opgave 8.34 Du kan kun lægge 350 kr til side om måneden og du kan få en rente på 2% p.a., hvor mange måneder skal du så bruge på at sparre kr sammen? 28 måneder Opgave 8.35 Du kan kun lægge 50 kr til side om måneden og du kan få en rente på 5% p.a., hvor mange måneder skal du så bruge på at sparre kr sammen? 147 måneder Opgave 8.36 Du kan kun lægge 600 kr til side om måneden og du kan få en rente på 3% p.a., hvor mange måneder skal du så bruge på at sparre kr sammen? 140 måneder Opgave 8.37 Du kan kun lægge 300 kr til side om måneden og du kan få en rente på 2% p.a., hvor mange måneder skal du så bruge på at sparre kr sammen? 20 måneder Opgave 8.38 Du kan kun lægge 350 kr til side om måneden og du kan få en rente på 2% p.a., hvor mange måneder skal du så bruge på at sparre kr sammen? 28 måneder

168 168 KAPITEL 8. ØKONOMI 8.6 Forsikringer Der er mange økonomiske forhold som man kan karakteriseret som en forsikring. Det mest oplagte er naturligvis en forsikring men der er også ting som A-kasse og fagforening der også må karakteriseres som en forsikring. En forsikring er, når man betaler penge for at får godtgørelse hvis en bestemt hændelse indtræffer. Det er faktisk lidt det samme som at spille, den ene forskel er at ved et spil ønsker man at en bestemt hændelse indtræffer det gør man ikke ved en forsikring. Den anden forskel er at man selv er involveret personligt i hændelsen når man taler om forsikring, det er man ikke i et spil. Både indenfor forsikring og spil arbejder man med disse begreber. Hændelse En klart beskrevet begivenhed f.eks. et dødsfald. Risiko Sandsynligheden for at en bestemt hændelse indtræffer. Risiko er negativt fordi man indenfor forsikring ikke ønsker at hændelsen. Når man snakker om spil så kaldes det for sandsynlighed. Præmisser Forskellige forudsætninger, f.eks. din alder, dit køn, det sted du bor o.l. Præmisserne må dog ikke diskriminere imod lovgivningen, dette medfører at man har officielle og uofficielle præmisser. Præmie Det man betaler for forsikringen. Erstatning Det beløb man for hvis en given hændelse indtræffer. Når man køber en forsikring er det vigtigt for virksomheden der sælger forsikringen at de får flere penge ind for salg af forsikringer end de skal udbetale i erstatning. Derfor har de matematikere ansat til at regne ud hvad forskellige forsikringer skal koste. Hvorfor skal man forsikre sig? Hvis det er en fordel for forsikringsselskabet så må det være en ulempe for køberne. Når du køber en forsikring, så håber du aldrig at du for brug for den, fordi de hændelser som udløser erstatning er hændelser som du ikke ønsker sker f.eks. indbrud, arbejdsløshed, tyveri, mistet feriebaggage o.l. Grunden til at du forsikre dig er fordi, hvis det skete så ville du have brug for en større sum penge for at dit liv ikke skulle blive drastisk ændret. Meget ofte så har forsikringer en selvrisiko, det betyder at hvis der sker mindre skader så skal du selv betale.

169 8.7. SKAT 169 Når man skal vurdere hvad en forsikring skal koste, så skal man vurdere risikoen for at hændelsen indtræffer og værdien af tabet, dertil skal man lægge sine omkostninger. Den generelle ligning bliver derfor Risikoen værdien + omkostninger = Prisen for forsikringen Eksempel Vis man gerne vil forsikre et smykke som har en værdi på kr og risikoen for at det bliver stjålet indenfor den periode hvor det er forsikret er 10% og omkostningerne er kr, så bliver prisen for forsikringen 0, = Det er svært at foretage disse vurderinger, og det er der forskellige løsninger på. Vurderingen af værdien af tabet, bliver fastsat i selve betingelserne for forsikringen, så den variabel ligger fast. Det vil sige det er dig der bestemmer hvad du skal have i erstatning, hvis du f.eks. får stjålet din cykel, men du kommer også til at betale herefter. Vurderingen af omkostningerne bliver vurderet løbende gennem forsikringsselskabets budget og regnskab. Tilbage er vurderingen af risikoen for at en given hændelse indtræffer, og det er her matematikeren kommer på bane. Et eksempel er sandsynligheden for at være levende efter en årrække, til disse udregninger bruger man følgende funktion L(x) = e Disse til gælder kun for danske kvinder. 0,0005 x 0, (1,09144 x 1) log(1,09144) Eksempel Hvad er sandsynligheden for at blive 105 år, hvis man er en dansk kvinde. L(105) = e 0, (1, ) 0, log(1,09144) = 0, Dette betyder at ud af , så vil der ca. være en som bliver 105 år. Man skal være opmærksom på at disse sandsynligheder ændre sig hele tiden, derfor er det så svært at udregne risikoen. 8.7 Skat Dette afsnit bygger på Danmark bliver betegnet som et velfærdssamfund, der i bund og grund bliver styret demokratisk og finansieret gennem skatter og afgifter. Skatterne ryger alle sammen ned i den store pengekasse, hvorefter de bliver delt ud igen, det kan være som pension til de ældre, uddannelsesstøtte til de unge, eller børnepenge til børnefamilier. Det kan også være til vuggestuer, en ny motorvej, et bibliotek, politi, skoler osv. Fordelingen af pengene kan ses på figur 8.13

170 Administation 8,5 Politi og forsvar 5 Uddannelse 15 Veje og transport 3 Sundhed 10 Kultur og miljø 3 Overførsels-indkomster 46 Andet 9,5 170 KAPITEL 8. ØKONOMI Andet 10% Administation 9% Politi og forsvar 5% Uddannelse 15% Overførselsindkomster 46,0% Sundhed 10% Veje og transport 3% Kultur og miljø 3% Figur 8.13: Fordelingen af skatten Forskudsopgørelsen Hvert år i november får du en forskudsopgørelse og et skattekort/frikort. Forskudsopgørelsen viser de tal, som skattevæsenet tror, vil gælde for dig i det kommende år. Hvis tallene i forskudsopgørelsen ikke er rigtige, eller der mangler nogle, skal du få dem rettet/tilføjet. Med de rigtige tal undgår du restskat. På et skattekort vises dit fradrag og din trækprocent. Fradraget er den del af lønnen, du ikke skal betale skat af (svarer til dit personfradrag og diverse andre fradrag fordelt ud på hele året). Trækprocenten er den procent, du skal betale i skat, når fradraget er trukket fra lønnen.

171 8.7. SKAT 171 Figur 8.14: Eksempel på hovedkort På et almindeligt skattekort er dit fradrag delt op på dag, uge, 14 dage og måned. Så hvis du får løn hver måned, trækker din arbejdsgiver først dit månedsfradrag fra lønnen. Derefter regner din arbejdsgiver ud, hvor meget du skal betale i skat af resten af lønnen. Når du har et skattekort, er der automatisk trukket skat af lønnen, hver gang du får den udbetalt. Din arbejdsgiver sender skatten videre til skattevæsenet. På din lønseddel kan du se, hvor meget du har tjent, og hvor meget der er trukket i skat og AM-bidrag. Husk at gemme dine lønsedler, de er bevis på, at skatten er betalt. Hvis dine indtægter eller fradrag ændrer sig væsentligt i løbet af året, skal du kontakte et skattecenter. De kan fortælle, om du skal have et nyt skattekort, og hvis du har et frikort, om det skal skiftes ud til et almindeligt skattekort. Det nye skattekort bliver printet ud, mens du venter. Det er vigtigt at få ændret skattekortet, så du løbende betaler den rigtige skat. Hvis du fx får nyt job med højere løn, skal du betale mere i skat. Eller hvis du får et lån i banken, giver renterne fra lånet dig et fradrag, så du skal

172 172 KAPITEL 8. ØKONOMI betale mindre i skat. Hvis du ikke får ændret dit skattekort, kan du risikere at få en restskat. Hvis der i løbet af året ikke er blevet trukket nok i skat, skal du betale det, man kalder restskat. Restskatten skal betales inden en bestemt frist. Hvis du af en eller anden grund ikke har mulighed for at betale restskatten til tiden, så tal med din skatteforvaltning. Så er der nemlig mulighed for at få en aftale om, hvornår og hvordan skatten skal betales. Hvis du bare lader som ingenting og lader være med at betale, så har SKAT en række muligheder for at få pengene fra dig alligevel. Fx kan de bede din arbejdsgiver om at holde noget af din løn tilbage, eller de kan sende pantefogeden ud og tage nogle af dine ting, som de sælger og bruger pengene på at dække din gæld. Desuden løber der hele tiden dyre renter og gebyrer på, så gælden bare vokser og vokser og renten kan ikke trækkes fra nogen steder Selvangivelsen Her kommet et uddrag af vejledning til selvangivelsen For uddybninger henvises til pdf. Hvert forår får du en selvangivelse se figur 8.15 og en årsopgørelse. De kommer i marts-april og er et regnskab over dine indtægter og fradrag i året, der er gået. På selvangivelsen står de tal, SKAT kender. Din opgave er at tjekke, om tallene svarer til de opgørelser, du har fået af din arbejdsgiver, bank mv. Hvis tallene er rigtige, skal du ikke gøre noget, så er denne selvangivelse og årsopgørelse dit endelige regnskab. Hvis der er tal, der er forkerte, eller der mangler nogle tal, så skal du ændre din selvangivelse. Det er let at rette selvangivelsen. Du kan bruge TastSelv via telefon eller internet. Du kan også rette tallene ved at skrive de rigtige tal på selvangivelsen og sende den retur til SKAT. Bare husk at rette selvangivelsen inden den 1. maj.

173 8.7. SKAT 173 Hvis du har rettelser til selvangivelsen, får du automatisk også en ny årsopgørelse. Denne årsopgørelse er så dit endelige regnskab. Her kan du se, om du har betalt for meget eller for lidt i skat. Hvis du skal have skat tilbage, er beløbet vedlagt i check eller overført til din konto. Har du betalt for lidt i skat, skal du betale restskat, og der vil oftest være vedlagt 3 girokort, som skal betales. Selvangivelsen er delt op i 6 afsnit: Personlig indkomst Fradrag i personlig indkomst Kapitalindkomst Fradrag i kapitalindkomst Ligningsmæssige fradrag Aktieindkomst Personlig indkomst Personlig indkomst er løn, honorarer, pension, dagpenge og indtægt ved selvstændig erhvervsvirksomhed er personlig indkomst. Desuden er personlig indkomst alle de indtægter, der ikke er kapitalindkomst eller aktieindkomst. Særlig pensionsopsparing (SP-opsparing) er nedsat til 0 pct. i I denne vejledning er SP-opsparing stadig nævnt i forbindelse med de indkomster, hvoraf der normalt skal betales SP-opsparing. Indtægter, der er personlig indkomst, og hvoraf der skal betales AMbidrag og SP-opsparing, skal med på selvangivelsen i rubrik 11 til 15. Indtægter, der er personlig indkomst, men hvoraf der ikke skal betales AMbidrag eller SP-opsparing, skal med på selvangivelsen i rubrik 16 til 20. I det følgende kan du se, hvilke former for indkomst der skal betales AMbidrag og SP-opsparing af, og hvilke der ikke skal. Ved opgørelsen af den personlige indkomst kan du fratrække præmier og bidrag til visse pensionsordninger, tilbagebetalt kontanthjælp og introduktionsydelse samt udgift til erhvervsmæssig befordring. Se nærmere i afsnittet Fradrag i personlig indkomst. Øvrige udgifter i forbindelse med indtjening af løn kan ikke trækkes

174 174 KAPITEL 8. ØKONOMI fra i den personlige indkomst. Disse udgifter kan kun trækkes fra i den skattepligtige indkomst. Se nærmere i afsnittet Ligningsmæssige fradrag. Du kan læse om AM-bidrag i afsnittet Specielle forhold. Personlig indkomst, hvoraf der skal betales AM-bidrag (8 pct.) og SP-opsparing (0 pct.) Rubrik 15 Anden personlig indkomst som fx fri telefon, privat dagpleje og hushjælp mv. før fradrag af AMbidrag og SP-opsparing I rubrik 15 skal du selv skrive de indkomster, hvoraf der skal betales AMbidrag og SP-opsparing, som ikke allerede står på selvangivelsen. SP-opsparing er dog 0 pct. i Du skal skrive det fulde beløb før fradrag af AM-bidrag og SP-opsparing. Fri telefon Hvis arbejdsgiveren har dækket alle udgifter til telefon i hjemmet (abonnement og samtaler), eller hvis arbejdsgiveren har dækket udgifterne op til et bestemt beløb, skal du beskattes af værdien af fri telefon. Du skal også beskattes af fri telefon, hvis arbejdsgiveren betaler en bestemt procentdel af telefonregningen. Værdien af fri telefon skal selvangives i rubrik 15 på selvangivelsen. For 2005 er værdien fastsat til kr. (250 kr. pr. måned), dog højst arbejdsgiverens udgift. Beløbet gælder, uanset om der er stillet en eller flere telefoner til rådighed. Hvis du har betalt et beløb til din arbejdsgiver for at have fri telefon, skal værdien af fri telefon nedsættes med det, du har betalt. Du vil også blive beskattet af værdien af fri telefon, hvis du tager arbejdsgiverens mobiltelefon med hjem og bruger den privat. Hvis du kun anvender mobiltelefonen til erhvervsmæssigt brug, og det er nødvendigt at bruge telefonen for at kunne udføre dit arbejde (fx ved tilkaldevagt), vil du dog ikke blive beskattet af fri telefon. Værdien af fri telefon er ikke fortrykt på selvangivelsen, men du skal selvangive værdien af fri telefon, dog kun nettobeløbet, dvs. beløbet efter eventuelt fradrag af din betaling til arbejdsgiveren. Hvis du selv har udgifter til en privat telefon i hjemmet, kan værdien af fri telefon nedsættes med de udgifter, som du selv har betalt. Telefongodtgørelse fra arbejdsgiveren beskattes som løn. ISDN/ADSL-forbindelser Har din arbejdsgiver etableret en ISDN/ADSL-forbindelse i dit hjem, og er det sket af hensyn til dit arbejde, skal du ikke betale skat af etableringen, hvis du har anden telefonforbindelse. Betaler din arbejdsgiver for datatrans-

175 8.7. SKAT 175 missionsudgifter via ISDN/ADSL-forbindelsen, skal du ikke beskattes heraf, hvis der fra computeren i dit hjem er adgang til din arbejdsgivers netværk. Hvis der også kan telefoneres fra forbindelsen, skal du heller ikke beskattes af privat brug af fri telefon af den grund. Er der ikke adgang til din arbejdsgivers netværk, sidestilles en sådan forbindelse med en almindelig telefonforbindelse og udløser dermed beskatning efter reglerne om fri telefon og med samme takst, se ovenfor. Privat dagpleje Løn for privat dagpleje skal skrives i rubrik 15. Private dagplejere kan i 2005 vælge mellem enten at fratrække et standardfradrag (se under rubrik 54) eller at få fradrag for dokumenterede udgifter (se under rubrik 53). Privat hushjælp Har du modtaget løn som privat hushjælp eller anden medhjælp i privat husholdning, fx som babysitter eller havemand, skal du skrive beløbet i rubrik 15. Vederlag fra foreninger Har du modtaget vederlag på under kr. fra en forening for udført arbejde, skal du skrive beløbet i rubrik 15. Rubrik 16 Pensioner, dagpenge mv. og stipendier fra SUstyrelsen SKAT har modtaget oplysninger om: Pensioner (folkepension, efterlevelsespension, førtidspension, livrente, efterløn) og pensionsinstitutters udbetaling fra ratepensioner samt ordninger med løbende udbetaling Kontanthjælp og introduktionsydelser Orlovsydelser Fleksydelse Udbetalinger fra A-kasser (dagpenge mv.) Sygedagpenge samt 1. og 2. ledighedsdag udbetalt af arbejdsgiver

176 176 KAPITEL 8. ØKONOMI Strejke- og lockoutgodtgørelse Uddannelsesydelser og stipendier fra SUstyrelsen Hævning af kapitalpension i forbindelse med orlov Tilbagebetalte skattepligtige efterløns- og fleksydelsesbidrag Skattepligtig del af tilskudsbevillinger til forskning, der administreres af Forskningsstyrelsen Udbetaling af dagpengelignende beløb fra privattegnet arbejdsløshedsforsikring i forsikringsselskab Løbende ydelser fra arbejdsskadeforsikring. Oplysningerne står i rubrik 16 på selvangivelsen. Disse indkomster er skattepligtige. Der skal dog ikke betales AM-bidrag eller SP-opsparing af indkomsterne. Modtagere af dagpenge og kontanthjælp skal dog normalt betale SP-opsparing, dog ikke i 2005, hvor SP-opsparing er 0 pct. Undtagelser for sociale pensioner Visse ydelser under sociale pensioner er ikke skattepligtige og medregnes derfor ikke i rubrik 16. Det gælder: Hjælp til dækning af nærmere bestemte ydelser for modtageren, fx varmehjælp og boligsikring Særskilt kontanthjælp efter 34 i lov om aktiv socialpolitik Hjælp efter lov om repatriering. Rubrik 19 Underholdsbidrag Har du modtaget underholdsbidrag eller aftægtsydelse (fx i form af fri bolig), skal du selv skrive værdien heraf i rubrik 19. Der skal ikke betales AM-bidrag eller SP-opsparing af underholdsbidrag. Underholdsbidrag Underholdsbidrag, som du har modtaget i anledning af skilsmisse, separation eller faktisk samlivsophævelse, skal skrives i rubrik 19.

177 8.7. SKAT 177 Underholdsbidrag til børn Underholdsbidrag til børn født uden for ægteskab eller til børn i forbindelse med forældrenes separation, skilsmisse eller faktiske samlivsophævelse skal skrives på barnets selvangivelse i rubrik 19. Det er kun den del af bidraget, der overstiger normalbidraget, som skal med på selvangivelsen. Normalbidraget er skattefri indkomst for børn under 18 år. Normalbidraget i 2005 består af et grundbeløb og et tillæg. Grundbeløbet er kr. for hele året, dvs. 902 kr. pr. måned. Tillægget er kr. for hele året, dvs. 116 kr. pr. måned. Det årlige skattefri normalbidrag er altså kr. ( kr kr.), og det månedlige skattefri normalbidrag er kr. Særlige bidrag til barnets dåb medregnes ikke til barnets indkomst, når bidraget ikke overstiger det månedlige normalbidrags grundbeløb, dvs. 902 kr. Særlige bidrag i anledning af at barnet når konfirmationsalderen, er skattefri, når de ikke overstiger 3 gange det månedlige normalbidrags grundbeløb, dvs kr. Rubrik 20 Anden personlig indkomst I rubrik 20 skal du selv skrive indkomster som ikke allerede er skrevet på selvangivelsen, fx: Værdi af visse personalegoder, fx fri sommerbolig i udlandet Legater Lejeindtægt ved fremleje Visse gaver mv. Gevinster Skattepligtige offentlige tilskud Indtægt ved vindmølledrift Fortjeneste ved salg af ædle metaller mv. Fortjeneste ved salg af boliger med hjemfaldspligt mv. og bygninger på lejet grund Lønmodtageres fortjeneste ved salg af aktiver, hvorpå der har været foretaget skattemæssige afskrivninger.

178 178 KAPITEL 8. ØKONOMI Fradrag i personlig indkomst Ved opgørelsen af den personlige indkomst kan du fratrække præmier og bidrag til visse pensionsordninger (rubrik 21 og 22) samt tilbagebetalt kontanthjælp og introduktionsydelse (rubrik 23) og udgifter til erhvervsmæssig befordring (rubrik 29). Kapitalindkomst Den samlede kapitalindkomst består af en række indtægter og udgifter. I det følgende kan du læse om de indtægter, der skal med på selvangivelsen i rubrik 31 til 39. Udgifterne skal med i rubrik 41 til 44. Vi har modtaget oplysninger om dine renteindtægter af indestående i danske pengeinstitutter, herunder renter af selvpensioneringskonti oprettet den 2. juni 1998 eller senere, renteindtægter af obligationer og renteindtægter af pantebreve i depot. Vi har også modtaget oplysninger om udlodning fra rene obligationsbaserede investeringsforeninger og oplysninger om renteindtægter i forbindelse med køb og salg af obligationer. Det samlede beløb står i rubrik 31 på selvangivelsen. Fradrag i kapitalindkomst Du kan fratrække renteudgifter, udgifter til løbende provisioner og visse stiftelsesprovisioner i kapitalindkomsten. Udgifterne skal vedrøre gæld, som du hæfter for. SKAT har modtaget oplysninger om dine renteudgifter og administrationsbidrag til realkreditinstitutter og reallånefonde samt fradragsberettigede kurstab ved omlægning af kontantlån. Det samlede beløb står i rubrik 41 på selvangivelsen. Ligningsmæssige fradrag Som lønmodtager kan du få fradrag for en række udgifter i forbindelse med dit arbejde. Fradragene kaldes ligningsmæssige fradrag og er fradrag i den skattepligtige indkomst. Hovedreglen er, at disse udgifter kun kan fradrages med et beløb, der sammenlagt overstiger kr. Fradrag som fx befordringsfradrag, fradrag for kontingent til A-kasse og fagforening og bidrag til fleksydelses- og efterlønsordning kan dog fratrækkes fuldt ud. Hvis du betaler

179 8.7. SKAT 179 din arbejdsgiver for at få en hjemme-pc stillet til rådighed, har du også under visse betingelser et fradrag, som ikke er begrænset af de kr. Se under rubrik 52. Du skal selv oplyse din befordring og hvis du har givet gaver til kulturelle foreninger, disse oplysninger modtager SKAT ikke. Aktieindkomst Det vil vi ikke komme ind på her Årsopgørelsen Nu skal vi se på hvordan man udfra oplysningerne på selvangivelsen udregner hvad en person skal betale i skat. Da vi her ikke kommer ind på aktieindkomst, så er de tre ting vi skal have beregnet, udfra oplysningerne på selvangivelsen, er: Personlig indkomst, Netto kapitalindkomst (Kapitalindkomst - fradrag i kapitalindkomst) og ligningsmæssige fradrag. Lad os se på et eksempel. Eksempel Denne person har følgende oplysninger på selvangivelsen: Rubrik Beløb Løn kr Indskud til privattegnet kapitalpension kr Renteindtægter af indestående i bank kr Renteudgifter vedr. realkredit kr Fagligt kontingent, bidrag til A-kasse mv kr Nøglen til at forstå selvangivelsen er at være opmærksom på, at der u- dregningsmæssigt ikke er nogen forskel på de ligningsmæssige fradrag, dvs. man regner med befordring på samme måde som man regner med A-kasse eller gaver til kulturelle foreninger. Og på samme måde er det med netto kapitalindkomst og personlig indkomst. Lad os starte med at lave ind Indkomstopgørelse:

180 180 KAPITEL 8. ØKONOMI Personlig indkomst Rubrik Løn kr AM-bidrag/SP-opsparing af løn (8%) (0, kr) kr Indskud til privattegnet kapitalpension kr I alt kr Netto kapitalindkomst Rubrik Positiv kapitalindkomst kr Negativ kapitalindkomst kr I alt kr Ligningsmæssige fradrag Rubrik Beskæftigelsesfradrag (alle) kr Fagligt kontingent, bidrag til A-kasse mv kr I alt kr Skattepligtig indkomst Personlig indkomst kr Netto kapitalindkomst kr Ligningsmæssige fradrag kr I alt kr Når man har beregnet disse ting kan man udregne hvad der er man skal betale skat af: Beregning af skattegrundlag Grundlag for beregning af bundskat: Grundlag for beregning af mellemskat: Grundlag for beregning af topskat: Grundlag for beregning af amts-, kommune- og kirkeskat: Nu kommer vi så til det sidste: Beregning af skatten: kr kr kr kr Beregning af skatten Bundskat (5,5%) (0, ) kr Mellemskat (6%) (0, ) kr Topskat (15%) ingen 0 kr Amts-, kommune- og kirkeskat (34%) (0, ) kr Nedslag for beskatning over 59% (0, 605 0) 0 kr 5,5% af personfradrag (0, ) ,00 kr 34% af personfradrag (0, ) ,80 kr Beregnet skat i alt ,20 kr Bemærk at Amts-, kommune- og kirkeskat er forskelligt alt efter hvor man bor. Personen har skal ikke betale topskat fordi der er et negativt grundlag

181 8.7. SKAT 181 for beregning af topskat, men hvis det havde været positivt skulle topskatten indgå i beregningen. Opgave 8.39 Beregn skatten udfra følgende oplysninger til selvangivelsen: Rubrik Beløb Løn kr Anden personlig indkomst kr Indskud til privattegnet kapitalpension kr Renteindtægter af indestående i bank kr Renteudgifter vedr. realkredit kr Befordring kr Fagligt kontingent, bidrag til A-kasse mv kr Gaver til kulturelle foreninger kr Bemærk rubrik 11 og 15 skal lægges sammen og giver så den samlede personlige indkomst.

182 182 KAPITEL 8. ØKONOMI 8.8 Kapiteloversigt Hvis K er startkapitalen og r er renten, så er kapitalen efter n terminer Den gennemsnitlige rente K n = K (1 + r) n r = n (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r n ) 1 = ((1+r 1 )(1+r 2 ) (1+r n )) 1 n 1 eller Fra månedlig rente til årlig r = n Kn K 1 = ( Kn K ) 1 n 1 Fra årlig til månedlig For annuitetslån gælder (r månedlig + 1) 12 1 = rårlig r månedlig = (rårlig + 1) og og For opsparing gælder G = Y Y = G 1 (1 + r) n r r 1 (1 + r) n n = ln ( ) 1 r G Y ln(1 + r) A n = Y (1 + r)n 1 r

183 8.8. KAPITELOVERSIGT 183 Figur 8.15: Selvangivelse

184 184 KAPITEL 8. ØKONOMI

185 Del II Matematik B 185

186

187 Kapitel 9 Analytisk geometri 187

188 188 KAPITEL 9. ANALYTISK GEOMETRI Opgave 9.1 En cirkel har centrum i C( 2, 3) og går gennem punktet P (2, 5), bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.2 En cirkel har centrum i C(4, 3) og går gennem punktet P (1, 9), bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.3 En cirkel har centrum i C(2, 3) og linien y = 3x + 9 er tangent til cirklen, bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.4 En cirkel har centrum i C( 3, 3) og linien y = 1x + 3 er tangent til cirklen, bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.5 En cirkel og en linie er bestemt ved ligningerne x 2 + y 2 2x + 4y = 5 y = 2x 3 Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linien. Opgave 9.6 En cirkel og en linie er bestemt ved ligningerne x 2 + 6x + y 2 + 8y + 12 = 0 y = 5x 2 Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linien. Opgave 9.7 En cirkel har ligningen (x 3) 2 +(y+2) 2 = 25, bestem ligningen for tangenten som skærer cirklen i punktet P (6, 2). Opgave 9.8 En cirkel har ligningen (x+5) 2 +(y 4) 2 = 25, bestem ligningen for tangenten som skærer cirklen i punktet P ( 2, 0). Opgave 9.9 En cirkel har ligningen (x 3) 2 +(y+2) 2 = 25, bestem ligningen for de to tangenter som har hældningen 2. Opgave 9.10 En cirkel har ligningen (x+5) 2 +(y 4) 2 = 25, bestem skæringen mellem cirklen og den linie der går gennem centrum og har hældningen 1 2.

189 189 Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 9.11 En cirkel har centrum i C( 2, 1) og går gennem punktet P (4, 5), bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.12 En cirkel har centrum i C( 3, 3) og linien y = 5x + 9 er tangent til cirklen, bestem en ligning for cirklen. Opgave 9.13 En cirkel og en linie er bestemt ved ligningerne x x y 2 8y = 36 y = 2x 5 Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linien. Opgave 9.14 En cirkel har ligningen (x + 3) 2 + (y 2) 2 = 25, bestem ligningen for tangenten som skærer cirklen i punktet P ( 5, 1).

190 190 KAPITEL 9. ANALYTISK GEOMETRI 9.1 Kapiteloversigt Afstandsformlen Afstand fra punktet A : (x 1, y 1 ) til punktet B : (x 2, y 2 ) er givet ved formlen. AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Midtpunkt af liniestykke Midtpunktet M fra A : (x 1, y 1 ) til B : (x 2, y 2 ) har koordinaterne ( x1 + x 2, y ) 2 + y Crklens ligning Cirklen med radius r og centrum i (a, b) har ligningen r 2 = (x a) 2 + (y b) 2 Linies skærning med cirkel: Isoler y i liniens ligning og sæt dette ind i cirklens ligning. Løs den fremkommende 2. gradsligning. Hvis diskriminanten er negativ, så skære linien ikke cirklen. Hvis diskriminanten er nul, så er linien tangent til cirklen. Hvis diskriminanten er positiv så skære linien ciklen i netop 2 punkter. Afstand fra punkt til linie Afstand fra punktet P : (x 1, y 1 ) til linien l : y = ax + b er givet ved formlen. ax 1 + b y 1 a2 + 1

191 Kapitel 10 Funktioner del II 10.1 De trigonometriske funktioner Svingninger Der er mange fænomener som varierer efter en bestem rytme der kan beskrives ved hjælp af funktioner på formen hvor t er tiden og hvor A, ω, ϕ, k R. Amplituden Amplituden er tallet A. Perioden f(t) = A sin (ωt + ϕ) + k En periode er når ωt + ϕ varierer mellem 0 og 2π dvs. fra f(t) = k og til f(t) = k igen. Sætning En periode er 2π ω En periode betegnes også som svingningstiden, T eller bølgelængden, λ. Bevis. Ved periodens start er ωt start + ϕ = 0 191

192 192 KAPITEL 10. FUNKTIONER DEL II Ved at isolere t start fås at t start = ϕ ω Ved periodens slutning er Ved at isolere t slut fås at ωt slut + ϕ = 2π t slut = 2π ϕ ω = 2π ω ϕ ω Og ved nu at udregne t slut t start fås en periode. t slut t start = 2π ω ϕ ( ω ϕ ) ω = 2π ω ϕ ω + ϕ ω Her af ses det ønskede. = 2π ω Maks- og minimumsværdien for f(t) Sætning Maksimumsværdien for f(t) er A + k og minimumsværdien er A + k. t-værdien for maks- og minimumsværdien for f(t) Sætning t-værdien for maksimumsværdien for f(t), er når t = π 2ω ϕ ω Bevis. t-værdien for maksimumsværdien for f(t) efter 1 4 periode på 2π dvs. når ωt max + ϕ = 1 4 2π

193 10.1. DE TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER 193 Ved at isolere t max fås det ønskede t max = = 1 2π ϕ 4 ω 1 π ϕ 2 ω = π 2ϕ 2ω = π 2ω 2ϕ 2ω = π 2ω ϕ ω Sætning t-værdien for minimumsværdien for f(t), er når t = 3π 2ω ϕ ω Bevis. t-værdien for minimumsværdien for f(t) efter 3 4 periode på 2π dvs. når ωt min + ϕ = 3 4 2π Ved at isolere t min fås det ønskede t min = = = 3 2π ϕ 4 ω 3 π ϕ 2 ω 3π 2ϕ 2ω = 3π 2ω 2ϕ 2ω = 3π 2ω ϕ ω

194 194 KAPITEL 10. FUNKTIONER DEL II 10.2 Polynomier Parabel I nogle opgaver skal man udfra toppunktet og rødderne finde forskriften/ligningen for parablen. Til brug for denne kommer disse formler. Sætning Hvis ligningen for parablen er y = ax 2 + bx + c og rødderne er r 1, r 2 og toppunktet er (t x, t y ) så er konstanterne bestemt ved følgende formler: a = 4 t y (r 2 r 1 ) 2 og og b = 4 t y (r 2 + r 1 ) (r 2 r 1 ) 2 c = 4 t y r 1 r 2 (r 2 r 1 ) 2 Eksempel Find konstanterne a, b og c i ligningen for parablen med rødderne 1, 3 og med toppunktet ( 1, 2). og og a = 4 t y 4 2 = (r 2 r 1 ) 2 ( 3 1) = 8 2 ( 4) = = 1 2 b = 4 t y (r 2 + r 1 ) (r 2 r 1 ) 2 = 4 2 ( 3 + 1) ( 3 1) 2 = = 1 c = t y r 1 r = = 24 (r 2 r 1 ) 2 ( 3 1) 2 16 = 3 2 Så ligningen bliver y = 1 2 x2 + x 3 2

195 Kapitel 11 Differentialregning 11.1 Grænseværdi Definition Definition af grænseværdi. En funktion f har grænseværdien a i punktet x 0, hvis man kan opnå funktionsværdier vilkårligt tæt ved a ved at vælge x -værdier tilstrækkeligt tæt ved x 0. Hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim x x 0 f(x) = a Den formelle definition på grænseværdi er ε > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ f(x) a < ε Sætning Hvis funktionerne f og g har grænseværdierne hhv. a og b i punktet x 0, og k R er en konstant, så gælder det at lim (f + g)(x) x x 0 = lim f(x) + lim g(x) = a + b x x0 x x0 (11.1) lim (f g)(x) x x 0 = lim f(x) lim g(x) = a b x x0 x x0 (11.2) lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) = a b (11.3) x x 0 x x0 x x0 ( ) f lim (x) = lim x x 0 f(x) x x 0 g lim x x0 g(x) = a (11.4) b lim k f(x) x x 0 = k lim f(x) = k a x x0 (11.5) hvor b 0 i ligning (11.4). 195

196 196 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING Bevis. Vi vil ikke her komme med et bevis, men beviset følger af den formelle definition på grænseværdi. Og ligningerne (3.1), (3.2), (3.3) og (3.4) Kontinuitet Definition Definition af kontinuitet. En funktion f kaldes kontinuert i punktet x 0, hvis dens grænseværdi i punktet x 0 er lig med dens funktionsværdi i x 0, dvs. lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 En funktion, der er kontinuert i alle punkter af sin definitionsmængde kaldes kontinuert. Hvis grænseværdien ikke eksisterer eller hvis grænseværdien er forskellig fra f(x 0 ), så siger man at f(x) er diskontinuert i x 0. Sætning Hvis funktionerne f og g er kontinuerte funktioner og k R er en konstant, så er funktionerne f + g, f g, k f, f g, f g, f g også kontinuerte - med passende indskrænkning i definitionsmængderne. Bevis. Vi vil kun bevise sætningen i tilfældet f g. Ligning (11.3) giver at lim x x 0 (f g)(x) = lim x x0 (f)(x) lim x x0 (g)(x) Da det er antaget at f og g er kontinuerte funktioner giver definition at lim x x 0 (f)(x) = f(x 0 ) og lim x x 0 (g)(x) = g(x 0 ) ved at indsætte dette i ovenstående ligning fås at lim x x 0 (f)(x) lim x x0 (g)(x) = f(x 0 ) g(x 0 )

197 11.3. DIFFERENTIALKVOTIENTEN 197 Vi har nu vist at lim (f g)(x) = f(x 0 ) g(x 0 ) = (f g)(x 0 ) x x 0 Og heraf ses at f g er kontinuert Differentialkvotienten Definition Definition på differentiabel. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet x 0, hvis differenskvotienten har en grænseværdi for h 0. y h = f(x 0 + h) f(x 0 ) h Definition Definition på differentialkvotienten. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten i x 0 og skrives f (x 0 ), dvs. f y (x 0 ) = lim h 0 h = lim f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h f (x 0 ) angiver tangentens hældningskoefficient i punktet (x 0, f(x 0 )). Hvis f er differentiabel i ethvert punkt af sin definitionsmængde, kaldes f differentiabel. Hvis funktionen f er differentiabel kaldes f (x) for den afledte funktion. Vores mål er nu at kunne differentierer samtlige funktioner, vi starter med den mest simple af alle funktioner nemlig f(x) = k, den konstante funktion Differentialet af f(x) = k, f(x) = x og f(x) = x Sætning Funktionen f(x) = k, hvor k R er differentiabel og f (x) = 0.

198 198 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING Bevis. Vi bruger definition og får at Nu sætter vi så ind at f(x) = k f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f (x 0 ) = lim h 0 k k h 0 = lim h 0 h = lim 0 = 0 h 0 Og da f er differentiabel i ethvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f (x) = 0 som ønsket. Sætning Funktionen f(x) = x, er differentiabel og f (x) = 1. Bevis. Vi bruger definition og får at Nu sætter vi så ind at f(x) = x f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f (x 0 ) = lim h 0 x 0 + h x 0 h h = lim h 0 h = lim 1 = 1 h 0 Og da f er differentiabel i ethvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f (x) = 1 som ønsket. Nu har vi så fået mod på at prøve en lidt mere kompliceret funktion, f(x) = x. Sætning Funktionen f(x) = x, er differentiabel og f (x) = 1 2 x. Bevis. Vi bruger definition og får at f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h

199 11.4. DIFFERENTIALET AF F (X) = K, F (X) = X OG F (X) = X199 Nu sætter vi så ind at f(x) = x f (x 0 ) = lim h 0 Vi forlænger nu brøken med x 0 + h + x 0 f (x 0 ) = lim h 0 Så ganger vi tælleren ud. x0 + h x 0 h ( x0 + h x 0 ) ( x0 + h + x 0 ) f (x 0 ) = lim h 0 Kvadratroden opløftet i 2. potens x 0 x 0 udregnes Brøken forkortes med h h ( x 0 + h + x 0 ) ( x0 + h ) 2 ( x0 ) 2 h ( x 0 + h + x 0 ) f (x 0 ) = lim h 0 x 0 + h x 0 h ( x 0 + h + x 0 ) f h (x 0 ) = lim h 0 h ( x 0 + h + ) x 0 f (x 0 ) = lim h 0 1 x0 + h + x 0 Grænseværdien udregnes ved at sætte h = 0 f (x 0 ) = 1 x x 0 Nævneren udregnes f (x 0 ) = 1 2 x 0 Og da f er differentiabel i ethvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f (x) = 1 2 som ønsket. x

200 200 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING 11.5 Differentialet af sum -, differens - og produktfunktioner Inden vi går videre og finder flere afledede funktioner så vil vi først bestemme nogle regneregler for differentialkvotienter som vil gøre det lettere at bestemme afledede funktioner. Sætning Hvis funktionerne f og g er differentiable i x 0, så er deres sum - og differens funktioner også differentiable i x 0 og differentialkvotienten er hhv. summen og differensen af differentialkvotienterne for f og g. Dvs. (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) Bevis. Vi bruger definition på (f ± g) (x 0 ) og får at (f ± g) (x 0 ) = lim h 0 (f ± g) (x 0 + h) (f ± g) (x 0 ) h Nu bruger vi så definitionen af additions - og substitutionsfunktion (3.1) og (3.2), så får vi at (f ± g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) ± g(x 0 + h) (f(x 0 ) ± g(x 0 )) h Nu ophæves parentesen i tælleren (f ± g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) ± g(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 ) h Funktionerne f og g samles hver for sig (f ± g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) ± g(x 0 + h) g(x 0 ) h brøken opdeles i to (f ± g) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim ± g(x 0 + h) g(x 0 ) h 0 h h Nu bruger vi så ligning (11.1) og (11.2) (f ± g) f(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) (x 0 ) = lim ± lim h 0 h h 0 h

201 11.5. DIFFERENTIALET AF SUM -, DIFFERENS - OG PRODUKTFUNKTIONER201 Da f og g var differentiable funktioner kan vi bruge definition og få at som ønsket. (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) Sætning Hvis funktionerne f og g er differentiable i x 0, så er deres produktfunktion også differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er (f g) (x 0 ) = f(x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g(x 0 ) Bevis. Vi bruger definition på (f g) (x 0 ) og får at (f g) (x 0 ) = lim h 0 (f g) (x 0 + h) (f g) (x 0 ) h Nu bruger vi så definitionen af produktfunktion (3.3), så får vi at (f g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) g(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 ) h Nu lægges ledet f(x 0 + h) g(x o ) + f(x 0 + h) g(x 0 ) til i tælleren (f g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) g(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 + h) g(x 0 ) + f(x 0 + h) g(x 0 ) h Nu sættes f(x 0 + h) udenfor parantes. (f g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) (g(x 0 + h) g(x 0 )) f(x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 + h) g(x 0 ) h Nu sættes g(x 0 ) udenfor parantes. (f g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) (g(x 0 + h) g(x 0 )) + g(x 0 ) (f(x 0 ) f(x 0 + h)) h Brøken opdeles nu i to brøker (f g) f(x 0 + h) (g(x 0 + h) g(x 0 )) (x 0 ) = lim + g(x 0) (f(x 0 ) f(x 0 + h)) h 0 h h Nu bruger vi så ligning (11.1) (f g) f(x 0 + h) (g(x 0 + h) g(x 0 )) g(x 0 ) (f(x 0 ) f(x 0 + h)) (x 0 ) = lim +lim h 0 h h 0 h

202 202 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING Nu bruger vi så ligning (11.3) (f g) (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 +h) lim Nu udregner vi så grænseværdierne. Og heraf fås det ønskede. g(x 0 + h) g(x 0 ) h 0 h (f g) (x 0 ) = f(x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g(x 0 ) Sætning kan bruges til at bevise følgende sætning. +lim h 0 g(x 0 ) lim h 0 f(x 0 ) f(x 0 + h) h Sætning Hvis funktionen f er differentiabel i x 0 og k R, så er k f(x 0 ) differentiabel og differentialkvotienten er (k f(x 0 )) = k f (x 0 ) Bevis. Vi starter med at bruge sætning på (k f(x 0 )) så får vi at Og ifølge sætning så får vi at Som ønsket. (k f(x 0 )) = k f (x 0 ) + k f(x 0 ) (k f(x 0 )) = k f (x 0 ) + 0 f(x 0 ) = k f (x 0 ) 11.6 Induktionsprincippet Et induktionsbevis er en bevis som er bygget op på følgende måde: Trin 1 Vis at den påstand man ønsker at vise er sand for et n f.eks. for n = 1 Trin 2 Antag at påstanden er sand for n, og vis at dette medfører at påstanden er sand for n + 1. Trin 3 Ifølge induktionsprincippet er påstanden sand for alle n større end det n man valgte i Trin 1.

203 11.7. DIFFERENTIALET AF F (X) = X N 203 Eksempel Vi skal vise at følgende påstand er sand: For alle n større end 3 gælder der at 2n > 4 Påstanden oversat til matematiske symboler bliver: Trin 1 For n = 3 gælder der at n 3 : 2n > > 4 som er sandt, her er 3 sat ind som værdien for n i 2n > 4. Trin 2 Nu antager vi at påstanden er sand for n og skal vise at det medfører at påstanden er sand for n + 1. Vi antager derfor at 2n > 4 er sandt og skal så vise at 2(n + 1) > 4 er sandt. og 2(n + 1) > 4 2n + 2 > 4 2n + 2 > 4 2n > 2 og da vi han antaget at 2n > 4 så vil det også være sandt at 2n > 2. Trin 3 Ifølge induktionsprincippet er påstanden sand for alle n større end 3, som ønsket Differentialet af f(x) = x n Den næste type af funktioner vi kunne ønske at differentiere er f.eks. f(x) = 2x 5 + 3x 14 Men vi mangler en regel for differentiation af f(x) = x n hvor n Z. Da vi ikke ønsker at lave beviset for hver enkelt n Z vil vi lave et induktionsbevis. Sætning Funktionen f(x 0 ) = x n 0, hvor n N 0 er differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er (f(x 0 )) = n x n 1 0 Bevis.

204 204 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING Trin 1 For n = 0 gælder der at og der gælder også at n x n 1 0 = 0 x = 0 (f(x 0 )) = ( ) x 0 0 fordi n = 0, og ( x 0 0) = (1) = 0 fordi alt opløftet i nulte potens er 1. Vi har nu vist at (f(x 0 )) = 0 = n x n 1 0 og derfor er påstanden sand for n = 0. Trin 2 Nu antager vi at påstanden er sand for n og skal vise at det medfører at påstanden er sand for n + 1. Vi antager derfor at er sandt og skal så vise at ( x (n+1) 0 er sandt. ( (x n 0) = n x n 1 0 ) = (n + 1) x (n+1) 1 x (n+1) 0 0 ) ( = x n 0 x 1 0 Her er potensregneregelen x a+b = x a x b brugt. Nu følger der af sætning at ( x n 0 x 1 0) = x n 0 (x 0 ) + (x n 0) x 0 Vores antagelse giver så at x n 0 (x 0 ) + (x n 0) x 0 = x n 0 (x 0 ) + n x n 1 0 x 0 Og sætning giver at ved at reducere fås at x n 0 (x 0 ) + n x n 1 0 x 0 = x n n x n 1 0 x 0 x n n x0 n 1 x 0 = x n 0 + n x (n+1) 1 0 og ved at reducere yderligere fås at Vi har nu vist at som ønsket. x n 0 + n x (n+1) 1 0 = (n + 1) x (n+1) 1 0 ( x (n+1) 0 ) ) = (n + 1) x (n+1) 1 0

205 11.8. DIFFERENTIALET AF KVOTIENTFUNKTIONER 205 Trin 3 Ifølge induktionsprincippet er påstanden sand for alle n større end 0, som ønsket Differentialet af kvotientfunktioner Vi starter med at vise følgende sætning, som senere skal vise sig at være nyttig. Sætning Hvis funktionen f, er differentiabel i x 0 og f(x 0 ) 0, så er 1 differentiabel i x f 0 og differentialkvotienten er ( ) 1 = f (x 0 ) f(x 0 ) (f(x 0 )) 2 Bevis. Vi bruger definition og får at ( ) 1 = lim f(x 0 ) h 0 Nu sætter vi så på fælles brøkstreg lim h 0 1 f(x 0 +h) 1 f(x 0 ) h Hvilket kan omskrives til = lim h 0 f(x 0 ) f(x 0 +h)f(x 0 ) 1 1 f(x 0 +h) f(x 0 ) h h f(x 0+h) f(x 0 +h)f(x 0 ) = lim h 0 f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 +h)f(x 0 ) h lim h 0 f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 +h)f(x 0 ) h = lim h 0 f(x 0 ) f(x 0 + h) h f(x 0 + h)f(x 0 ) Dette kan nu omskrives på passende måde til f(x 0 ) f(x 0 + h) lim h 0 h f(x 0 + h)f(x 0 ) = lim f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h Ved at bruge ligning 11.3 fås at lim f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h 1 f(x 0 + h)f(x 0 ) = lim h 0 1 f(x 0 + h)f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) 1 lim h h 0 f(x 0 + h)f(x 0 )

206 206 KAPITEL 11. DIFFERENTIALREGNING Grænseværdierne kan nu udregnes f(x 0 + h) f(x 0 ) 1 lim lim h 0 h h 0 f(x 0 + h)f(x 0 ) = f 1 (x 0 ) (f(x 0 )) 2 Heraf fås det ønskede resultat. Vi kan nu vise kvotientregelen. Sætning Hvis funktionen f og g, er differentiable i x 0 og g(x 0 ) 0, så er f g differentiabel i x 0 og differentialkvotienten er ( ) f(x0 ) = g(x 0)f (x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) (g(x 0 )) 2 Bevis. Først laver vi følgende omskrivning af kvotienten ( ) ( f(x0 ) 1 = f(x 0 ) g(x 0 ) g(x 0 ) Nu kan vi bruge Sætning ( ) ( ) 1 f(x 0 ) = f 1 1 (x 0 ) g(x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0) g(x 0 ) Ved nu at bruge Sætning fås at ( ) ( ) f 1 1 (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0) = f 1 g (x 0 ) g(x 0 ) g(x 0 ) + f(x (x 0 ) 0) (g(x 0 )) 2 Ved udregne fås at f (x 0 ) 1 g(x 0 ) + f(x 0) Nu sættes på fælles brøkstreg ( ) g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0)g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0)g (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0)g (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 (g(x 0 )) 2 (g(x 0 )) 2 (g(x 0 )) 2 Heraf ses det ønskede.

207 Kapitel 12 Integralregning 207

208 208 KAPITEL 12. INTEGRALREGNING

209 Kapitel 13 Differentialligninger 209

210 210 KAPITEL 13. DIFFERENTIALLIGNINGER

211 Kapitel 14 Sandsynlighedsregning 211

212 212 KAPITEL 14. SANDSYNLIGHEDSREGNING

213 Bilag A Eksamensopgaver 213

214 214 BILAG A. EKSAMENSOPGAVER Årsprøve Maj-Juni 2006 B-Niveau MATEMATIK Delprøve UDEN hjælpemidler Mandag den 1. maj 2006 kl.? BESVARELSEN AFLEVERES MANDAG 1.MAJ Alle spørgsmål tildeles samme pointtal Opgave 1 a) Reducér udtrykket 5(a + b) 2 6a(a b). b) Om en eksponentielt voksende funktion oplyses det at f(2) = 1 og f(4) = 16. Bestem en forskrift for f(x). c) I en retvinklet trekant er forholdet mellem siderne a:b:c 3:4:5. Siden a er 9, bestem længden af de andre sider. d) Reducér udtrykket 2 log(6) log(18) + log(5). e) Om en lineært voksende funktion f oplyses at den går gennem punkterne (1.5, 4) og (0.5, 8). Bestem en forskrift for f(x). Besvarelsen afleveres kl.?

215 215 Årsprøve Maj-Juni 2006 B-Niveau MATEMATIK Delprøve MED hjælpemidler Mandag den 1. maj 2006 kl.? BESVARELSEN AFLEVERES MANDAG 1.MAJ Opgave 2 Alle spørgsmål tildeles samme pointtal En eksponentielt aftagende funktion er givet ved f(x) = 5 e 0.5 x. Bestem halveringskonstanten. Opgave 3 I tabellen nedenfor ses fordelingen i antal huller i tænderne hos 6-årige børn fra hhv. Danmark og Storbritannien: Antal huller Danmark Storbritannien Bestem deskriptorerne middelværdi og median for både børnene fra Danmark og Storbritannien. Opgave 4 Bestem løsningerne til ligningen 2x 2 4x 30 = 0. Opgave 5 Bestem nulpunkterne for funktionen f(x) = x 3 9x.

216 216 BILAG A. EKSAMENSOPGAVER Opgave 6 I en trekant ABC er AC = 25 og BC = 11 og AB = 15. a) Bestem A b) Bestem B Opgave 7 I en trekant ABC er a = 23 og b = 11 og C = 34. a) Bestem c b) Bestem B c) Bestem trekantens areal. Opgave 8 I tabellen nedenfor vises sammenhængen mellem antal dage en bambus vokser og dens masse i gram. x 1,6 3,2 4,5 7, f(x) 8,5 25,7 44,4 107,0 111,4 159,2 213,2 a) Afgør, ved indtegning i passende koordinatsystem, om der er tale om en eksponentiel-, potens- eller lineær sammenhæng. b) Bestem a og b, og opskriv forskriften for funktionen f(x) c) Bestem ved hjælp af din funktion, massen af en bambus som har vokset i 90 dage. Opgave 9 En eksponentialfunktion har forskriften f(x) = 3 4 x. a) Bestem f(4) b) Bestem x for f(x) = 9 c) Afgør om grafen for f(x) går gennem punktet (15, )

217 Indeks afdragsfrit lån, 150 annuitetslån, 147 budget, 152 afstemning af regnskab, 162 budgetkonto, 156 indtægt, 152 negativ saldo, 157 primo, 160 regnskab, 160 regnskabsopstilling, 160 resultat, 152 udgifter, 152 ultimo, 160 faktor, 13 forkorte, 28 forlænge, 28 forsikring, 168 hændelse, 168 risiko, 168 fradrag, 170 rente, 141 renteformlen, 142 restskat, 172 saldo, 141 skattekort, 170 slutkapitalen, 143 startkapitalen, 142 tæller, 28 termin, 147 trækprocent, 170 udlån, 146 vækstrate, 143 ydelse, 147 hovedstolen, 147 indlån, 141 kapital, 141 kassekredit, 146 led, 13 logik, 21 nævner, 28 periode,

218 218 INDEKS

219 Litteratur [1] A.G.Hamilton: Logic for mathematicians, Cambridge University Press [2] Hans Fink, Carsten Bengt-Petersen, Niels Thomassen: Menneske, Samfund, Natur - indføring i filosofi, Gyldendalske Boghandel, Nordisk forlag, [3] Robert Messer: Linear Algebra: Gateway to Mathematics, HarperCollins College Publishers,