Løsningsforslag MatB Jan 2011

Transkript

1 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige logaritmefuktion er defineret for ]0; [ skal vi blot sikre os at det der står inde i parentesen i første led af funktionen skal være større end nul. Dvs. x 2 > 0 x > 2 Det betyder at definitionsmængden af f bliver Dm f =]2; [ 1

2 b) Differentielkvotienten af f beregnes Regnereglen der gælder her er følgende: d(u + v) dx = du dx + dv dx eller ( f + g) (x) = f (x) + g (x) Vi skal nu også huske på at ln(x) hvor x > 0 har f (x) = 1 x hvor x > 0 u = ln(x 2) og v = x 2 du dx = 1 dv og x 2 dx = 2x f (x) = d(u + v) dx = 1 x 2 + 2x Opgave 2 (5 %) Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne: f (x) = 3x 2 2x + 1 og g(x) = x 4 a) Bestem en forskrift for ( f g)(x) = f (g(x)). b) Differentier ( f g)(x) = f (g(x)). Løsning: a) Vi skal bestemme en forskrift for en sammensat funktion nemlig, ( f g)(x) = f (g(x)) ( f g)(x) = f (g(x)) ( f g)(x) = 3(x 4) 2 2(x 4) + 1 b) Differentieres ( f g)(x) og der bruges reglen f (x) = x n f (x) = n x n 1 ( f g) (x) = 2 3(x 4) = 6x 26 2

3 Opgave 3 (5 %) Løs ligningen ln(2x 1) ln(x) = 0 Løsning: Der er tale om en logaritmisk ligning som løses vha. metoder der er beskrevet i bog nr 2 side 66. Men først grundmængden findes da der er tale om en ligning og logaritmen er defineret kun for positive værdier. 2x 1 > 0 x > 0 2x > 1 x > 0 x > 1 2 x > 0 Fællesmængden bliver x > 1 2 Dvs. Grundmængden bliver G =] 1 2 ; [ b) Løsningsmængden findes ln(2x 1) ln(x) = 0 ln(2x 1) = ln(x) Vi bruger sætning som siger; For eksponentialfunktionen med grundtal a gælder y = a x = e lnax = 10 logax 3

4 e ln(2x 1) = e ln(x) To inverse funktioner ophæver hinanden, dvs (2x 1) = x x = 1 Løsningsmængden er altså L = {1} Opgave 4 (5 %) Følgende punkter er givet A( 1, 1) og B(1,3). a) Bestem en ligning for den rette linje, som går gennem punkterne A og B. b) Beregn koordinaterne til linjens skæringspunkt med x-aksen. Løsning: a) Ligningen for den rette linje y = αx + q som går gennem to punkter har hældningskoefficienten α = y 2 y 1 x 2 x 1 ifølge sætning i bog 1 α = y 2 y 1 x 2 x 1 = 3 ( 1) 1 ( 1) = = 4 2 = 2 Kendes et punkt og en hældning bruges følgende udtryk y = αx + q 1 = 2 ( 1) + q q = 1 4

5 Dvs. linjes ligning bliver y = 2x + 1 b) Linjes skæring med x-aksen betyder at vi sætter y =0 og løser for x 0 = 2x + 1 2x = 1 x = 1 2 y-koordinaten findes ved at indsætte x = 1 2 i linjes ligning y = 2x + 1 y = 2( 1 2 ) + 1 = 0 Dvs. koordinaterne til linjens skæringspunkt med x-aksen bliver; (x,y) = ( 1 2,0) Opgave 5 ( 5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = x 2 + x 2. Bestem koordinaterne til funktionens skæringspunkter med koordinatakserne. Løsning: Skæring med koordinatakserne findes ved at sætte y = 0 og x = 0 i funktionens forskrift. 0 = x 2 + x 2 5

6 D = B 2 4 A C = ( 2) = 9 x = B ± D = 1 ± 3 2 A 2 2 x = 1 Ved at sætte disse x-værdier i funktionen fås y-værdier. y = x 2 + x 2 y = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 0 y = = 0 Skæringskoordinater med x-aksen bliver (x,y) = (1,0) og (x,y) = ( 2,0) Skæring med y-aksen vises ved at indsætte x = 0 i funktionens forskrift y = 2 Skæringskoordinater med y-aksen bliver (x,y) = (0, 2) 6

7 Opgave 6 (25 %) Om en trekant ABC oplyses, at A = 62 0,b = 3,2 og c = 5,1 a) Bestem siden a samt vinklerne B og C. b) Bestem arealet af trekant ABC. Om en anden trekant DEF oplyses, at D = 39 0, E = 82 0 og f = 4,2 c) Bestem siderne d og e. Løsning: a) Vi starter med at skitsere trekanten med de givne oplysninger vha. GeoGebra på følgende måde: Der er tale om en vilkårlig trekant derfor er det oplagt at anvende cosinusrelationer. Kan man bruge sinusrelationer? 7

8 a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) a 2 = (3.2) (5.1) cos(62 0 ) = a = = 4.57 Vinklerne B og C findes også vha cosinusrelationerne. cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c = (4.57)2 + (5.1) 2 (3.2) 2 2 (4.57) (5.1) B = cos 1 (0.79) = = 0.79 Vinklen C findes ved at trække fra summen af trekantens vinkler som er C = ( ) = b) Trekantens areal beregnes af en af følgende T = 1 2 a b sin(c) = 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b) T = 1 2 (4.57) (3.2) sin(800.19) = 7.2 c) Trekanten DEF skitseres vha. GeoGebra. 8

9 Vinklen F findes F = ( ) = 59 0 Når vi kender alle vinklerne og en af siderne i en vilkårlig trekant er det oplagt at bruge sinusrelationerne. Kan du bruge cosinusrelationerne? sin(d) d sin(39 0 ) d = sin(e) e = sin(820 ) e = sin(f) f = sin(590 ) 4.2 d = f sin(d) sin(f) e = f sin(e) sin(f) = (4.2) sin(390 ) sin(59 0 ) = (4.2) sin(820 ) sin(59 0 ) = 3.08 = 4.85 Opgave 7 (25 %) Lad funktionen f være givet ved f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. a) Bestem definitionsmængden for f og bestem f (x). b) Bestem monotoniforholdene for f. c) Bestem koordinaterne til f s lokale ekstremumspunter. d) Bestem koordinaterne til eventuelle skæringspunkter mellem grafen for f og den rette linje givet ved forskriften: 6x + 2y 12 = 0. e) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (0, f (0)). 9

10 Løsning: a) Dm f og f (x) bestemmes Definitionsmængden er alle reelle tal, dvs n Dm f = R f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6 Vi bruger reglen x n som har den differentierede som n x n 1 f (x) = 2 3 x x f. (x) = 6x 2 + 6x 12 b) Den første afledede er et mål for funktionens monotoniforhold - se evt side 112 i bog nr 2. Vi skal sørge for at betingelsen f (x) = 0 opfyldes. f. (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0 6x 2 + 6x 12 = 0 GeoGebra s solve kommando giver følgende : Solve[6 x x 12 = 0] {x = 1,x = 1} x = 1 og x = 1 deler fortegnslinjen i tre dele som vist i figuren nedenunder. 10

11 f ( 3) = 24 pos. f ( 2) = 0 f (0 = 12 neg. f (1) = 0 f (3) = 60 pos. Ud fra ovenstående kan vi konkludere følgende: f (x) er voksende i intervallerne ] ; 2[ ]1; [ f (x) er aftagende i intervallet ] 2;1[ 11

12 c) Lokale ekstremumspunkter bestemmes vha. x = 2 og x = 1 ved at indsætte disse i funktionen for at finde y-værdierne. f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6 f ( 2) = 2( 2) 3 + 3( 2) 2 12( 2) + 6 = 26 f (1) = = 1 Koordinaterne ti de lokale ekstremumspunkter er: lok. max = ( 2, 26) og lok. min. (1, 1) d) Koordinaterne til skæringspunter mellem funktione og linjen 6x+2y 12 = 0 bestemmes ved at omskrive linjes ligning i formen y = αx+q på følgende måde: 6x + 2y 12 = 0 2y = 6x + 12 y = 6 2 x y = 3x + 6 Denne sidste ligning og funktionen kan nu sættes lig med hinanden for at finde x-koordinaterne.dvs. vi skal løse f (x) = 3x + 6 2x 3 + 3x 2 12x + 6 = 3x + 6 2x 3 + 3x 2 12x x 6 = 0 2x 3 + 3x 2 9x = 0 12

13 Vi kan nu bruge solve udtrykket vha. GeoGebra. Solve[2 x x 2 9 x = 0] giver x = 3,x = 0,x = 3 2 Disse værdier indsættes i y = 3x+6 (eller indsættes i funktionen) for at finde y-værdierne. y = 3x + 6 y = 3( 3) + 6 = 15 Dvs. første skæringskoordinat er: ( 3, 15) y = 3(0) + 6 = 6 Næste skæringskoordinat er er: (0,6) y = 3( 3 2 ) + 6 = 3 2 Sidste skæringskoordinat er: (3 2, 3 2 ) e) Ligningen for tangenten til grafen for f i punktet (0, f (0)). Først beregnes f (0). f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6 f (0) = 6 dvs. punktets koordinatsæt er: (0, f (0)) = (0, 6) Tangentligningen beregnes af følgende: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Vi finder hældningen af tangenten i punktet x = 0 ved at indsætte x = 0 i f (x) f (0) = 6(0) = 12 Tangentligningen bliver: y 6 = 12(x 0) = 12x

14 Opgave 8 (10 %) Tabellen viser antallet af fisk i en lille jysk å i sommerperioden i hvert af åren 1991 til År x f(x) Der oplyses, at sammenhængen mellem antallet af fisk og antallet af år der er gået siden første måling, kan beskrives ved en funktion af typen f (x) = ax + b. a) Bestem tallene a og b. b) Bestem hvor mange fisk der kan antages at være i den lille jyske å i år Løsning: a) Bestemmelse af a og b vha. GeoGebra s regneark og der vælges en lineær model på følgende måde: 14

15 Forskriften for den lineøre sammenhæng er således: f (x) = y = 58.9x hvor a = 58.9 og b = 19.4 b) Året 2014 svarer til x=19 som så indsættes i forskriften for at finde antal fist i år 2014 f (19) = = Opgave 9a (15 %) To funktioner f og g er givet ved f (x) = x og g(x) = x + 3. a) Skitser graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem og skraver det område M, som afgrænses af de to grafer. b) Bestem arealet af området M. Løsning: a) Funktionerne skitseres i samme koordinatsystem vha. GeoGebra på følgende måde. 15

16 b) Det skraverede areal beregnes vha. integralregning M = b a (g(x) f (x)) dx M = 2 1 ((x + 3) (x2 + 1)) dx = 2 1 ( x2 + x + 2) dx M = [ 1 3 x x2 + 2x] 2 1 M = [ 1 3 (2) (2)2 + 2 (2)] [ 1 3 ( 1)3 + 2 ( 1) ( 1)] M = 4.5 Vi kan kontrollere resultatet vha. GeoGebra kommando på følgende måde: IntegralBetween[g(x), f (x), 1,2] som returnerer 4.5 altså ok. 16

17 Opgave 9b ( 15 %) Funktionen f er givet ved f (x) = x og Dm( f ) = [0; [. a) Angiv en forskrift for den inverse/omvendte funktion f. b) Undersøg om linjen y = 2x + 3 er en tangent til grafen for f. Løsning: a) Den inverse funktion findes ved at ombytte x og y i funktionen f og løse for y f (x) = y = x x = y y 2 = x 4 y = ± x 4 Men vi skal undersøge om kravet for injektivitet for at afgøre hvilke af disse løsninger vi skal vælge. Vi ved at funktionen skal være injektiv for at vi kan finde dens inverse funktion. Funktionen f (x) = x er som bekendt har alle reelle tal som definitionsmængde som betyder at vi ikke umiddelbart kan finde den inverse funktion da den ikke er injektiv! Men hvis vi nu reducerer definitionsmængden til at være Dm f = [0; [ kan vi vælge den positive løsninng som følger: f 1 (x) = x 4 b) Undersøgelse om at af linjen y = 2x + 3 er en tangent til f. Hvis der eksisterer et skæringspunkt mellem linjen og funktionen kan vi sige at linjen er en tangent til grafen for f. Vi sætter linjen og funktionen lig med hinanden. 17

18 f (x) = x og y = 2x + 3 x = 2x + 3 x 2 2x + 1 = 0 Kommandoen Solve giver følgende Solve[x 2 2 x + 1 = 0] {x = 1} y-værdien findes ved at indsætte denne i funktionens forskrift. f (1) = (1) = 5 Dvs tangentens koordinatsæt er: (x,y) = (1,5) 18