Matematik & Statistik

Transkript

1 Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6

2 FORORD KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER ELEMENTÆRE REGNEREGLER Parentesregning Brøkregneregler Generelle regler or brøkregning Reduktion LIGNINGER Simple regneregler or ligningsløsningen Ligninger med én ubekendt ULIGHEDER Regneregler i orbindelse med uligheder Løsning a uligheder SUMMERING/SIGMA Regneregler i orbindelse med sigmategnet KAPITEL : PROCENTREGNING FORSKELLIGE MÅDER AT ANVENDE PROCENTREGNING PÅ Rentesregning INDEKSTAL PROCENT CONTRA PROCENTPOINT KAPITEL 3: FUNKTIONER DEN LINEÆRE FUNKTION Estimering a hældningskoeiienten a Beregning a konstanten b Skæring mellem to linier: løsning a to ligninger med to ubekendte Substitutionsmetoden Eksempler ra den økonomiske verden ANDENGRADSPOLYNOMIER Toppunkt Nulpunkter Eksempler POTENSFUNKTIONER Potensregneregler EKSPONENTIALFUNKTIONER LOGARITMEFUNKTIONER Den naturlige eller den med grundtallet 1? talslogaritmen log Den naturlige logaritme ln Eksempel på estimering a den uahængige variabel OMVENDTE FUNKTIONER KAPITEL 4: SANDSYNLIGHEDSREGNING DET STOKASTISKE EKSPERIMENT UDFALD, SANDSYNLIGHEDSFELT OG HÆNDELSER

3 .1 Sandsynlighedselt BETINGET SANDSYNLIGHED Uahængige hændelser BAYES FORMEL BINOMIALFORDELINGEN KAPITEL 5: DIFFERENTIALREGNING DIFFERENTIALKVOTIENT Oversigt over dierentiable unktioner: Eksempel på bestemmelse a regneorskriten or dierentiering REGNEREGLER FOR DIFFERENTIALKVOTIENTER Sammenatning TANGENT OG BESTEMMELSE AF EKSTREMA Bestemmelse a ekstrema og monotoniorholdet KILDER

4 Forord Formålet med dette undervisningshæte er at genopriske de matematikkundskaber den enkelte studerende har. Kapitel 1-3 omhandler emner man lærer på matematik -niveau i gymnasiet/hhx, mens resten a kapitlerne omhandler emner, der gennemgås på matematik b-niveau i gymnasiet/hhx. Emnerne er udvalgt ud ra deres relevans i orhold til samundsvidenskabelige uddannelser i øvrigt, og krydret med eksempler ra samundsvidenskab, netop or at vise hvordan matematikken kan anvendes til at løse sådanne problemstillinger. Foratteren ønsker desuden at takke undervisere ra både institut or økonomi og statskundskab ved Aarhus Universitet or konstruktiv kritik og gennemlæsning, herunder takkes Christian Harslø or kommentarer og bidrag til dette hæte. Undervisningshætet indgår ikke som pensum i noget ag, men skal ses som et supplement til især undervisningen. Den kan desuden anvendes som opslagsværk/ormelsamling i løbet a studiet, hvis man skulle støde ind i matematiske problemstillinger. Washington d. 6/8 6 Simon Kaiser - 4 -

5 Kapitel 1: Simple regneregler og ligninger Vi skal i dette kapitel se på elementære regneregler, ligninger samt summering. Disse redskaber er særdeles relevante or at kunne orstå matematiske udtryk og udledningen a disse. I det ølgende vil der blive gennemgået de dele a disiplinerne, som er relevante or den samundsvidenskabelige metode. 1. Elementære regneregler Formålet med hele dette kapitel er at genopriske ligningsløsningssystemet. Men or at kunne løse ligninger skal man kunne de mest basale regneregler. Vi skal her se på tre orskellige typer: ørst parentes- og brøkregneregler, som gælder helt generelt, og til sidst speiikke regneregler or ligninger. 1.1 Parentesregning Parentesregnereglerne anvendes, når man skal reduere udtryk og å dem til at remstå på den mest hensigtsmæssige måde i orhold til en given situation. Der er en lang række parentesregneregler. De mest grundlæggende og vigtige er: ab+ab+a ab-ab-a a+b+da+ad+b+bda+d+b+d a+b²a+ba+ba²+b²+ab a-b²a-ba-ba²+b²-ab a+ba-b a²-b² Vi skal senere se eksempler hvor disse regneregler anvendes. 1. Brøkregneregler 1..1 Generelle regler or brøkregning For at oretage korrekt brøkregning, skal de ølgende simple regler anvendes. Vi skal se på, hvordan man lægger sammen, trækker ra, ganger, dividerer, orlænger og orkorter. To brøker kan kun lægges sammen, hvis de har ælles nævner. Er der ælles nævner, lægges brøken sammen ved, at man summerer tællerne. Dvs.: a b a b + + Bemærk at når nævneren er den samme kan vi ligeledes sætte på ælles brøkstreg

6 Samme regel gælder når man skal trække brøker ra hinanden. Vi år således: a b a b Når man ganger to brøker, ganges tæller med tæller og nævner med nævner. Dvs.: a b d ab d ganger man et helt tal med en brøk, ganges det på i tælleren, dvs.: b a Når man dividerer to brøker med hinanden, ganger man på kryds, dvs. man ganger tælleren ra den ene brøk med nævneren ra den anden, og omvendt. Dvs.: a b d a d b ab ad b divideres en brøk med et helt tal ganges den på i nævneren, dvs.: a : b En brøk kan orlænges eller orkortes, hvis man ganger eller dividerer med det samme led i både tæller og nævner. Eksempelvis: a b a + b d a + b da + db d d 1.. Reduktion Reduktion a brøker oretages ved at anvende de beskrevne regneregler, og kan være et meget nyttigt redskab. Betragt ølgende: ab e + a + ad e - 6 -

7 Vi ønsker at danne et sammenhængende udtryk på baggrund a disse tre brøker. For det ørste ønsker vi at sætte de tre brøker på ælles brøkstreg. For at kunne gøre dette, skal de have ælles nævner. Vi orlænger brøkerne så alle har nævneren y, or dereter at sætte dem på ælles brøkstreg. Den ørste brøk orlænges ved at gange y på i tæller og nævner, den anden ved at gange på i tæller og nævner, mens den sidste eterlades urørt. ab ea ad ab + ea ad e e e e Dereter redueres tælleren vha. parentesregnereglerne idet alle led har a tilælles. Dermed er det ønskede opnået.. Ligninger ab + ea + ad a b + e + d e e Ligninger er matematiske udtryk, der indeholder én eller lere ubekendte størrelser. Følgende tre udtryk er alle eksempler på ligninger X + 4 3X 14 X + 3Y 15 4X 3X 17 At løse en ligning vil sige at inde talværdien or den eller de ubekendte størrelser, der sikrer, at de to sider a lighedstegnet er ens..1 Simple regneregler or ligningsløsningen Følgende em regler gælder, når man løser ligninger. Det er altid tilladt: 1. at lægge det samme led til på begge sider a lighedstegnet. at trække det samme led ra på begge sider a lighedstegnet 3. at gange med det samme led på begge sider a lighedstegnet dog ikke nul! 4. at dividere med det samme led på begge sider a lighedstegnet dog ikke nul! 5. at reduere udtrykket, eksempelvis ved at hæve parenteser, sætte parenteser j. asnit.1, sætte på ælles brøkstreg, orlænge og orkorte brøker j. asnit.. Ligninger med én ubekendt Den mest simple ligning man kender, er en ligning der kun har én ubekendt. En sådan ligning er umiddelbart løselig. Metoden er, at isolere den ubekendte størrelse i udtrykket, ved hjælp a de ovenor beskrevne regneregler. Vi vil nu vise eksempler på, hvordan de orskellige regneregler ra asnit og 3.1 kan bruges til at løse en ligning - 7 -

8 Betragt ølgende udtryk: 6X+6X+5 Det ørste vi gør, er at gange totallet ind i parentesen. Dette giver os: 6X+6X+1 Dereter trækkes X ra på begge sider a lighedstegnet. Dette giver os: 4X+61 Vi vil nu trække 6 ra på begge sider a lighedstegnet. Dette giver os: 4X4 Vi dividerer nu med 4 på begge sider a lighedstegnet or at isolere X. Dermed har vi løsningen: X1 Alt dette kan opskrives alene som et matematisk udtryk. Man anvender dobbeltpile når man har omskrevet en ligning med én eller lere a de i asnit 3.1 nævnte regneregler, : 4X4 X1 Ønsker man at kontrollere sit resultat gøres dette ved, at man indsætter den undne værdi or i den oprindelige ligning Vi ser, at lighedstegnet nu er opyldt Eksempel: Løsning a ligning hvor parentes- og brøkregneregler også anvendes. I ølgende ligning ønsker vi at bestemme, idet vi anvender de regneregler, vi har set på tidligere. Prøv at ølge hver enkelt linie nøje og ind ud a hvilke regler der anvendes. Prøv evt. at starte med linie ét og lav resten a udregningerne selv. Se da om i kan nå samme resultat

9 Uligheder I stedet or at sætte to udtryk lig hinanden kan man løse udtrykket således, at den ene side altid er større end den anden. I et sådan tilælde er der tale om uligheder. Følgende udtryk anvendes: a > b betyder a er større end b. Dermed er b naturligvis mindre end a. spidsen peger altid på det mindste a b betyder a er større end, eller lig med b. Dermed er b mindre end eller lig med a. Tegnene > og er ulighedstegn og kan selvølgelig vendes om <;. 3.1 Regneregler i orbindelse med uligheder Man må oretage ølgende omskrivninger a en ulighed: 1. lægge samme tal til på begge sider a ulighedstegnet. trække samme tal ra på begge sider a ulighedstegnet 3. angående multiplikation: a. man må gange med samme positive tal på begge sider a ulighedstegnet b. man må gange med samme negative tal på begge sider a ulighedstegnet hvis man samtidig vender ulighedstegnet om 4. Angående division: a. man må dividere med samme positive tal på begge sider a ulighedstegnet b. man må dividere med samme negative tal på begge sider a ulighedstegnet hvis man samtidig vender ulighedstegnet om 5. man må anvende reglerne om brøkregning og parentesregning på hver side a ulighedstegnet - 9 -

10 3. Løsning a uligheder Vi skal nu anvende regnereglerne på et konkret eksempel. Først trækker vi ra på begge sider Så trækker vi 8 ra på begge sider -5+8<-9-7+8<-9-7<-17 Så dividerer vi med -7 på begge sider a ulighedstegnet, idet vi husker at vende ulighedstegnet. 17 > 7 Eksempel: Løsning a ulighed hvor parentes- og brøkregneregler også anvendes < < < < < < 48 9 < 6 6 > 9 4. Summering/Sigma Aslutningsvis skal vi se begrebet summering, hvor man indenor statistik og økonomi benytter sig a det græske bogstav sigma som orkortelsen or en sammenlægning a lere identiteter. n i i n - 1 -

11 Sigma eller sumtegnet er en orkortet måde at skrive den højre side a lighedstegnet på. Dvs. i stedet or at skrive en lang række tal, orkortes dette ved brug a sigmategnet. Bogstavet i er et udtryk or observationsnummeret, og n er antallet a observationer i summeringen. 4.1 Regneregler i orbindelse med sigmategnet Sigmategnet bliver ote benyttet i orbindelse med ligningsløsning, hvori der ønskes at skabe en identitet og sammenhæng som er mere overskuelig. Herved gælder ølgende regneregler or sigmategnet: Når sigma, uden nogle X-værdi, multiplieres med en konstant k vil resultatet være: n i k k n k Dvs. at variablen ikke varierer og hermed er ik, hvoror værdien k multiplieres med antallet a observationer n. Når konstanten k multiplieres med sigma a variablen bliver resultatet ølgende: n n k k 1 i i i 1 i Hvilket svarer til at konstanten ganges ind i en parentes: k n k1 + k + k3... k 1 n Følgende regneregel er en kombination a de to orrige: n n b + a nb + a 1 i i i 1 i Ved brug a sigma i orbindelse med ligningsløsninger gælder endvidere de allerede gennemgåede regneregler. Sigmategnet opattes blot som en konstant der multiplieres ind i parenteserne. n n n + i zi + 1 i i i 1 i 1 z i

12 Kapitel : Proentregning Proentregning anvendes mange steder i tekniske side a samundsvidenskaben. Man ønsker eksempelvis ote at beskrive en proentuel ændring i orbrug eller BNP, eller man ønsker måske at undersøge, hvor stor en proentdel a ens omkostninger der er aste, dvs. uahængige a produktionsstørrelsen. I dette kapitel beskrives de vigtigste regler omkring proentregning, krydret med eksempler ra økonomien. 1. Forskellige måder at anvende proentregning på Vi skal i dette asnit se på en række klassiske problemstillinger. Den ørste der er vigtigt at kunne knytter sig til situationen, hvor man ønsker tage et givet antal proent ud a et tal. Antag eksempelvis at vi ønsker at inde 14 % a 79. Proent betyder per hundrede, deror inddeler vi de 79 i hundrede dele, og inder derved værdien a én hundrededel. Dereter kan vi gange med 14 or at inde de 14 hundrededele eller 14 % Dvs. at 14 % a 79 beregnes på ølgende måde Dette svarer til at gange de 79 med, ,6 Den anden problemstilling vi skal se på, opstår, når man eksempelvis skal beregne, hvor stor en proentdel en given udgitspost udgør a de samlede udgiter. Antag en virksomhed, der har lønudgiter or 1.. om året, og totale udgiter or 3.. om året. Hvor stor en proentdel udgør lønudgiterne a de samlede udgiter? Metoden er, at sætte lønudgiterne i tælleren på en brøk og de totale udgiter i nævnere a samme brøk. Dereter ganges med 1 %. Pointen er, at man på den måde inder ud a, hvilken andel a udgiterne der går til løn. Denne ganges med 1 % 1.. 1% 43,48% 3.. Den næste problemstilling vi skal se på omhandler proentvis vækst. Dette kan tage sig ud på lere måder. Lad os illustrere problemet med et par eksempler. Eksempel 1.:BNP I 1995 var Danmarks BNP på kr. aste priser Året eter, i 1996 var BNP kr. aste priser Hvor meget var BNP vokset på det år, målt i proent? - 1 -

13 Det ørste, man gør, er at inde orskellen på de to størrelser. Dette tal divideres med det ørste tal, her altså tallet ra 1995 og dereter ganger man med 1, or at inde proenttallet %,5 % En anden måde at nå samme resultater ved at bruge ormlen S B F, som siger at slutværdien S er lig begyndelsesværdien B gange remskrivningsaktoren F. Fremskrivningsaktoren er givet ved ormlen F1+p, hvor p er den proentvise stigning målt i deimaltal. Her i dette eksempel er B og S givet, nemlig BNP or hhv og Det er F, vi mangler. Formlen anvendes: tallene indsættes idet slutværdien er tallene ra 1996 S B F S B F F F 1,5 j. ormlen F1+p kan vi så inde r, der er den proentvise stigning ved at trække 1 ra, hvilket netop giver,5,5 % Eksempel. Virksomhedsøkonom. En virksomhed har en omsætning på 7.8. i et givet år. Det oplyses, at omsætningen året eter er steget med 6 %. Hvad er omsætningen da? Først inder man 6 % a de 7.8. Dette lægges til omsætningen året ør, og man år, Dette svarer til at gange de 7.8. med remskrivningsaktoren F1+p, hvor p er proentsatsen mål i deimaltal. Dvs: 1 +, ,

14 1.1 Rentesregning Ovenstående eksempel kan anvendes helt analogt inden or et andet vigtigt område, nemlig rentesregningen. Lad os antage at man i ovenstående eksempel havde hat et bankindestående på 7.8., som blev tilskrevet 6 % i rente. Da ville man også å Havde man året eter igen ået 6 % i rente ville man å regnestykket: 1, Således kunne man blive ved med at tilskrive renter år eter år. Dette rejser spørgsmålet, om man kan lave en generel ormel der bringer os ra startsituationen de 7.8. til slutsituationen. Dette er muligt, hvis ølgende tilgang anvendes Antag en startværdi nutidsværdien som vi kalder K. I dette tilælde er det vi tilskriver 6 %,6 hvert år i rente. Vi kalder renten r. Fremskrivningsaktoren F er dermed givet ved F1+r. Eter ét år har man således K 1+ r K 1 + r + r 1+ r K 1 har man Formlen startværdien ganget med remskrivningsaktoren, og eter to år K 1+ r er således gældende or to år. Hvis man ikke opskriver ormlen som værende gældende or to år, men i stedet or at gælde or n år, år man den generelle ormel: n r n K K 1+ hvor K n er slutværdien. Dermed har vi stitet bekendtskab med renteormlen, som kan anvendes inden or en ubegrænset periode, så længe renten er ast 1.. Indekstal I dette asnit skal vi se på indekstal. Indekstal bruges ote i økonomiske statistikker til at sammenligne over tid. Eksempelvis kan oentlig gæld opgøres i indekstal. Vi skal her se på, hvordan man regner sig rem til indekstal, hvis man kender de aktiske tal. Det ørste man skal gøre er at vælge sig et basisår. Basisåret tildeles værdien 1. De øvrige indekstal beregnes på baggrund a oplysningerne ra basisåret. Herunder er et eksempel konstrueret vedrørende gæld. Basisåret er valgt til 1998, og tildelt værdien 1. De øvrige indekstal er beregnet ved at sætte gælden or 1998 i nævneren a en brøk og gælden or det år, man ønsker at beregne indekstal or er sat i tælleren. Brøken ganges med 1. Således kan man beregne indekstallet or aktuelt basisår 1 1 Det i sig selv er en betydelig begrænsning or ormlen

15 , De øvrige kan ses i tabellen herunder År Gæld Indekstal 1 1,6344 1, ,398 17, , ,347 Indekstallet beskriver således, hvor mange proent man ligger ra basisåret. Eksempelvis er gælden i 4 17,347 % større end gælden i 1998, hvilket svarer til dierensen på indekstallene de to år. 3. Proent ontra proentpoint Når man læser samundsvidenskabelig litteratur, ser man undertiden at en given økonomisk størrelse er steget eller aldet med %. Dette kunne eksempelvis være arbejdsløsheden. Andre gange ser man at en given økonomisk størrelse er ændret med et givet antal proentpoint. Der er stor orskel på disse to begreber. Lad ølgende eksempel illustrere det. Antag en situation hvor arbejdsløsheden er 4 %. Året eter kan man læse på Danmarks Statistiks hjemmeside at arbejdsløsheden er 8 %. En ændring ra 4 % til 8 % svarer til en stigning på ire proentpoint. Dette regnes simpelthen ud ved at trække de 4 ra de 8. Stigningen i proent derimod skal indes ved at anvende vores ormel ra eksempel 1: Dvs. 8% 4% 1% 1% 4% Der er altså tale om en 1 % stigning hvilket er det samme som en ordobling, men en stigning på 4 proentpoint. Dette illustrerer orhåbentligt vigtigheden a at sondre mellem proent og proentpoint

16 Kapitel 3: Funktioner Funktioner spiller en stor rolle inden or samundsvidenskaben. De indes i mange orskellige typer a mere eller mindre komplieret grad, men ælles or dem alle er ølgende deinition: En unktion knytter til ethvert i en talmængde præis ét tal. Når betegner en unktion, betegner det tal, der ved unktionen knyttes til, og kaldes unktionens værdi i. X kaldes den uahængige variabel og den ahængige variabel Bøtther og Grell 1995 Ote skriver vi blot den ahængige variabel som y, dvs. y. En mere intuitiv orklaring kunne være den ølgende: I venstre side har vi vores grundmænge dvs. den mængde vi kan tage vore uahængige værdier ra. Dette kunne være alle reelle tal. Funktionens speiikation bestemmer således hvordan disse værdier a omdannes til y værdier. X 1 Y 1 X Y X 3 Y 3 Læg mærke til, at hvis man til en -værdi, kan knytte lere y-værdier, er der ikke tale om en unktion. Vi skal nu se på orskellige unktionstyper, startende med den lineære unktion. 1. Den lineære unktion Den lineære unktion beskriver en lineær sammenhæng mellem variablene og y. Den lineære unktions graiske udtryk er en ret line. Den lineære unktion kan beskrives ud ra ormlen Y a + b Hvor er den uahængige variabel og y er den ahængige. Konstanten a er liniens hældningskoeiient. Denne beskriver, hvor meget y ændrer sig, når ændrer sig én enhed. Hvis a er positiv er unktionens linie voksende, hvis a er negativ er unktionens linie aldende, hvis a er, er Yb, dvs. y er konstant or enhver værdi a, og der er tale om en vandret linie. Konstanten b beskriver værdien or y når, eller graens skæringspunkt med y aksen. På iguren herunder ses orskellige lineære unktioner. Det gælder or dem alle, at b> hvilket indikerer at kurven skærer y-aksen på dennes positive del. Til gengæld har de alle orskellige værdier a a

17 Y Ya+b a >, b> a 1 b Ya+b a, b> a 1 Ya+b a <, b> X Den lineære unktion er entral både inden or økonomien, hvor mange unktioner estimeres lineært, men også inden or statistikken hvor man anvender lineær regression, som beskriver sammenhængen mellem to variabler. 1.1 Estimering a hældningskoeiienten a I dette asnit skal vi se på, hvordan man estimerer liniens ligning ud ra oplysninger om nogle koordinater. Antag at en virksomhed kan beskrive sine omkostninger som en unktion a antal produerede enheder, og at sammenhængen er lineær. Med andre ord: udtrykker antal produerede enheder og y repræsenterer omkostningerne. Du bliver givet ølgende oplysninger: når virksomheden produerer 1 enheder har den omkostninger på kr., og når virksomheden produerer enheder har den omkostninger på 3 kr. Vi vil på baggrund a disse oplysninger udregne hældningskoeiienten a. Ovenstående oplyser os om to værdier: Ligeledes oplyses vi om to y-værdier: X 1 1 X Y 1 Y

18 Forskellen på 1 og kaldes ændringen i og er givet ved - 1 X På samme måde kan vi beregne ændringen i y y y -y Det vi nu ved er, at når der er tale om en lineær sammenhæng mellem og y, så gælder det, at or hver gang ændres med 1 ændres y med 1. Idet a beskriver væksten i y hver gang ændres én enhed kan a beskrives: Y a X Y X Y1 X 1 I dette tilælde er det: 1 1,1 Graisk ser det ud på ølgende måde: De to punkter A og B viser de to kombinationer a og y som beskrevet i teksten. Gennem disse to punkter tegnes en linie, og denne linies hældning beregnes 1. Beregning a konstanten b Idet vi nu kender konstanten a, og samtidig kender kombinationer a og y der ligger på linien, kan vi nu også beregne konstanten b Idet y a + b gælder det også at y 1 a 1 +b og y a +b

19 Vi kan deror anvende blot én a ormlerne y 1 a 1 +b og dermed inde b. Ved at indsætte de kendte talværdier ås: y1 a1 + b,1 1 + b 1 + b 1 b Vi kan dermed opstille den endelige ligning or relationen mellem produktion og omkostninger i det tænkte eksempel y, Skæring mellem to linier: løsning a to ligninger med to ubekendte Mange steder i økonomien er det interessant at inde skæringspunkter mellem linier. Det skal vi se på i det ølgende. Metoden vi anvender her, svarer til den man anvender, hvis man skal løse to ligninger med to ubekendte. Bemærk: to linier vil altid skære hinanden med mindre linierne har samme værdi or a, dvs. samme hældningskoeiient. To linier med samme hældningskoeiient kaldes parallelle linier Substitutionsmetoden Metoden vi skal anvende her er den såkaldte substitutionsmetode. Herunder ses orskriterne or to rette linier Y5+ 1 Y-4 Tidligere har vi set hvordan det er muligt at løse en ligning med én ubekendt. Pointen bag substitutionsmetoden er at udtrykke den ene ubekendte med den anden, og dermed opnå en situation hvor der kun er én ubekendt. Anvendes ligningerne herover kan vi se, at der er orskellige udtryk or y. Hvis vi i ligning 1 indsætter den værdi or y, som er givet a ligning og dermed substituerer y væk med et udtryk hvor i indgår, har vi kun én ubekendt og kan dermed inde -værdien or skæringspunktet mellem de to linier. dvs.:

20 Idet vi har undet -værdien kan vi inde y ved at indsætte tallet or i en a de to oprindelige ligninger. Her vælges ligning 1, men kan også bruges: Dermed har vi skæringspunktet mellem linierne: y 5 + y 8 ;y -; Eksempler ra den økonomiske verden Eksempel: produktionsvalg or en produent der opererer på et marked med uuldkommen konkurrene Så længe omkostningerne ved at øge produktionen er mindre end den ekstra indtjening, der genereres ved produktionsorøgelsen, er det proitabelt at øge produktionen. Faktisk bør man, hvis man ønsker at proitmaksimere, øge produktionen indtil de ekstra udgiter, der er orbundet med produktionsorøgelsen præis svarer til det ekstra omsætning, der genereres ved produktionsorøgelsen. Mere ormelt siger man, at man skal produere til de marginale omkostninger MC er lig den marginale omsætning MR. Vi antager nu, at MC og MR kurverne kan udtrykkes som rette linier. I et marked, der er kendetegnet ved uuldkommen konkurrene, vil MR kurven være aldende, mens MC kurven antages at være stigende. Hvis MR er givet ved ormlen MR1-Q, hvor Q står or kvantitet eller mængde, enheder pr. uge, og er den uahængige variabel og MC er givet ved ormlen MC1+15Q, hvad vil da være den optimale mængde at produere? Man produerer som nævnt den optimale mængde hvor MRMC. Både MR og MC har vi udtrykt ved Q. Ved at sætte de to udtryk lig hinanden kan vi inde det Q, der opylder kravet om MRMC Dvs. - -

21 1 Q 1 + 1Q 9 3Q 3 Q Således proitmaksimerer virksomheden, hvis den produerer 3 enheder pr uge a den pågældende vare. Eksempel: IS-ligningssystemet - makroøkonomi Hidtil har vi set på nogle helt simple ligningseksempler. Vi skal nu se på nogle mere komplierede ligningseksempler. I makroøkonomien spiller IS-ligningssystemet en væsentlig rolle. IS-ligningssystemet anvendes når man ønsker at analysere ligevægten på varemarkedet i et givet land på kort sigt. Vores orståelse or denne ligevægt stiger med anvendelsen a substitutionsmetoden. For et lukket samund, dvs. et samund, der ikke handler med udlandet, kan den samlede eterspørgsel i samundet karakteriseres ud ra ligningen AD C + I + G Hvor AD er den aggregerede eterspørgsel, C er privatorbruget, I er investeringer og G er oentligt orbrug. G er eksogent givet dvs. givet udera og deror markeret med en streg. Denne ligning siger i sig selv ikke så meget, men med substitutionsmetoden kan man danne et mere inormativt udtryk Det orholder sig nemlig sådan, at to a de tre størrelser, nemlig C og I kan udtrykkes ved hver deres ligning. C C + Y I I bi Indholdet a de to ligninger er i denne sammenhæng mindre vigtigt. Det interessante er, at vi nu, udover at have et udtryk or den aggregerede eterspørgsel, også har en orbrugsunktion og en investeringsunktion. Disse kan indsættes i AD ligningen. Dvs: udgangspunkt : AD C + I + G udvidelse : AD C + Y + I bi + G AD C + I + G + Y bi - 1 -

22 Ved anvendelse a substitutionsmetoden kan vi altså kombinere de tre ligninger til et ælles udtryk vedrørende den aggregerede eterspørgsel. Her er pointen blot, at man med substitutionsmetoden kan kombinere inormation ra lere ligninger og dermed å ét udtryk der siger en hel del mere.. Andengradspolynomier Andengradspolynomiet er en unktion på ormlen Ya +b+ Her er a, b og alle konstanter mens og y stadig er hhv. uahængig og ahængig variabel Eksempler på andengradspolynomier kunne være Y Y Y -4-3 Det graiske udtryk or andengradspolynomiet er den såkaldte parabel, som ses herunder i to orskellige tilælde. Det ørste hvor a< og det næste hvor a>, hvor parablen vender, inder vi toppunktet. Det er i disse tilælde ved og d. Y Y X X a< a> Omkring andengradspolynominer er det væsentligt at kunne bestemme nulpunkter -værdier or hvilke det gælder at y og toppunktet. Vi skal her ikke bruge tid på at bevise de matematiske ormler, man bruger, men blot anvende dem. d.1 Toppunkt En parabels toppunktskoordinater er givet ved ølgende udtryk b d TP,, hvor d b 4a a 4a hvilket repræsenterer værdierne or hhv. og y koordinaterne. - -

23 Konstanterne a, b og er dem vi kender ra andengradspolynomiets orskrit, mens d kaldes diskriminanten. Kender man orskriten or et andengradspolynomium, kan man altså bestemme dets toppunkt.. Nulpunkter En parabel har op til to nulpunkter altså skæringspunkter med -aksen. I disse punkter gælder det at værdien a y er. Den ormel vi skal se på her er altså en ormel, der giver os -værdien. Formlen er givet ved: b ± d, hvor d b 4a a konstanterne a, b og er igen dem vi kender ra andengradspolynomiets ormel. Vi vil nu se på nogle eksempler, hvor de orskellige ormler anvendes..3 Eksempler Eksempel 1 For en unktion er det oplyst at Y +b+ Samt at toppunktskoordinaterne er 1; Vi ønsker nu at bestemme b og. ud ra vores viden om toppunktskoordinater kan vi opskrive ølgende: b a 1 og d 4 a Derudover ved vi at a b 1 b 4 dermed kan vi bestemme - 3 -

24 a a b a d b og er nu bestemt, og vi kan opskrive den endelige ligning: Y 4+4 Eksempel : Find nulpunkter Et andengradspolynomium har ølgende orskrit: Y Vi ønsker at inde de værdier a der medører at y. Man siger at vi ønsker at inde polynomiets rødder. Vi anvender ormlen ra asnit ± ± Når man har undet rødderne, kan man altid kontrollere, om de er rigtige ved at indsætte dem i den oprindelige ligning på s plads og tjekke, at man år løsningen y

25 3. Potensunktioner Vi har tidligere set på lineære unktioner, og konstateret, at hver gang ændrede sig med én enhed, ændrede y sig med en ast størrelse svarende til hældningskoeiienten a. For potensunktioner gælder noget andet, nemlig at hver gang ændres én proent, ændres y en givet proentdel. Den simple potensunktion er givet ved ormlen yb a, hvor b er en konstant, er den uahængige variabel, og a er eksponenten. Graisk kan potensunktionen tage tre orskellige udtryk. Disse ses herunder. Det agørende or graens udseende er størrelsen på a: Potensunktioner anvendes inden or mange områder a den økonomiske videnskab og inden or avanerede statistiske modeller. 3.1 Potensregneregler Skal man regne med udtryk, hvori potensudtryk indgår, gælder ølgende regneregler Potensregneregler Potensregneregler a b a+ b og a a a y y og a b ab y a a a b ab y a a a. 3. a 1 a - 5 -

26 4. Eksponentialunktioner En jerde unktionstype vi skal se på er eksponentialunktioner. En eksponentialunktion er kendetegnet ved at y vokser med et givet antal proent, når vokser én enhed. Eksponentielle unktioner bruges inden or lere orskellige videnskabelige disipliner inden or samundsvidenskaben. Et klassisk eksempel er beolkningsvækst. Eksemplet er godt, netop ordi vi teoretisk vil orvente en eksponentiel vækst, men også ordi empirien bekræter det. Grunden til at man vil orvente en eksponentiel rem or en lineær vækst, er at man må antage, at den aktiske vækst ahænger a, hvor mange mennesker der er i samundet i orvejen. Jo lere mennesker der kommer til, jo lere mennesker vil der være til at skabe vækst i beolkningen, jo større vil væksten blive målt i aktiske termer. Den aktiske vækst vil således ikke være konstant som orudsagt a den lineære unktion, men stige som orudsagt a den eksponentielle unktion. Følgende eksempel kan illustrere dette: Tabellen herunder viser beolkningsvæksten i Indien i perioden Vores uahængige variabel er tiden målt i år, mens den ahængige variabel er beolkningstallet dvs. de to øverste rækker År Mio. personer 47,1 48,5 493, 54, 515,4 57, 538,8 55,8 vækst, aktiske tal - 1,4 * 1,7 11, 11, 11,6 11,8 1, vækst, proent -, *,,3,,5,4,3 Kilde: Bødther og Grell 1995, statistisk tiårs oversigt 1974 * angiver væksten ra På samme måde er de øvrige elter udregnet Ser vi på væksten i aktiske tal, er det tydeligt at denne bliver større og større i takt med at beolkningstallet stiger. Derimod er den proentvise ændring som i øvrigt er udregnet på samme måde som eksempel 1 kapitel temmelig konstant, omkring, %. Dette er et int eksempel på en eksponentialunktion. Idet vi har konstateret en konstant proentvis vækst i perioden, kan vi opskrive beolkningsvæksten i Indien på ormel idet renteormlen ra kap. K n n K 1+ r anvendes. n 1, n K 47,1 Hvis vi anvender de mere gængse variabelbetegnelser så som og y rem or k og n år vi: 1, Y 47,1 Dermed har vi et eksempel på en eksponentialunktion på ormlen Y b a som er det klassiske eksempel på en eksponentialunktion. Bemærk således også at renteunktionen er en eksponentialunktion

27 Bemærk at ølgende gælder: 1. en unktion a typen Y b a er eksponentielt voksende når a>1. en unktion a typen Y b a er eksponentielt atagende når <a<1 vi kan skitsere de to tilælde graisk: Tilælde 1 Y Tilælde Y X X Følgende regneregler er vigtige, når man arbejder med eksponentielle udtryk 1. a 1. + y y a a a 3. y a a y a 4. y y a a 5. Logaritmeunktioner I ovenornævnte asnit 3 og 4 er der tale om ikke-lineære sammenhænge. For disse unktioner gælder, at de sædvanlige omormningsregler ikke længere er tilstrækkelige til løsning a en ligning med én ubekendt. En mulig måde at løse en eksponentialunktion på er ved, at benytte sig a et såkaldt enkeltlogaritmisk koordinatsystem or unktionen. Hermed bliver potensunktionen eller eksponentialunktionen lineær når der oretages logaritmisk transormation a både og/eller y-aksen: Nedenstående gra viser en potensunktion, hvor der er oretaget logaritmisk transormation på både den ahængige og uahængige variabel. Herved bliver potensunktionen lineær og dermed lettere at ortolke. Bemærk: Ved logaritmisk transormation a potensunktioner benyttes et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

28 5.1 Den naturlige eller den med grundtallet 1? Den logaritmiske transormation, som oretaget ovenor, kan laves på to orskellige måder. Enten ved at benytte sig a den naturlige logaritme eller 1-talslogaritmen talslogaritmen log Ved transormation a en eksponentialunktion til en lineærunktion ved hjælp a grundtal 1 benyttes logaritmeorkortelsen log. Det ølger herved at når den eksponentielle unktion er givet ved y 1 hvorved log1 1 Hermed log y log1 log1 y Dvs. ved at tage logaritmen a eksponentialunktionen ås en ret linje. Udgangspunktet er at vi tager 1talslogaritmen a den ahængige variabel Y, hvoror de eksponentielle unktioner bliver rette linjer når disse logisk transormeres. Graisk ser den logaritmiske transormation ud som ølgende: - 8 -

29 Herved gælder ølgende regneregler or logaritmeunktionen med grundtallet 1, log. 1. log y log + log y. log log log y y 3. log a log a 5.1. Den naturlige logaritme ln. Ved benyttelse a den naturlige logaritme benyttes orkortelsen ln. Det ølger at når den eksponentielle unktion er lig med ølgende y e hvorved ln e ln e ln e 1 Hermed y ln y Dvs. ved at tage den naturlige logaritme a eksponentialunktionen ås en ret linje. Som ør nævnt tages den naturlige logaritme a den ahængige variabel Y, hvoror de eksponentielle unktioner bliver rette linjer når disse logisk transormeres. Graisk ser den logaritmiske transormation ud som ølgende: - 9 -

30 Herved gælder ølgende regneregler or den naturlige logaritmeunktion, ln. 1. ln y ln + ln y. ln ln ln y y 3. ln a ln a Det ølger hermed at den naturlige logaritme regner med den matematiske identitet e, hvor 1- talslogaritmen bygger på grundtallet 1. Hvorvidt man benytter sig a log eller ln er a mindre betydning, idet det endelig resultat er det samme. Det er dog vigtigt at være konsistent når der oretages logaritmiske transormationer, og hermed benytte sig a enten ln eller log. Desuden er det nødvendigt at orholde sig til orskellen imellem de to logaritmer, idet en ortolkning a sammenhængen mellem de to variable er vidt orskellig, betinget a hvilken logaritme der benyttes. Sammenhængen mellem 1-talslogaritmen og den naturlige logaritme er ølgende Eksempel på estimering a den uahængige variabel ln log ln1 hvor log ln log e Lad os se på løsning a en eksponentialunktion med en ubekendt

31 3 1,17 Hvor ,17 5 1, ln ln1, ln 3 3,5 ln1,17,51 3,19,16 Hermed indes den uahængige variabel til 3,5 or en værdi den ahængige variabel på 5. Bemærk at der i orbindelse med løsningen dels benyttes de nye regneregler or logaritmeunktioner, samt de almene ligningsløsningsregneregler. 6. Omvendte unktioner Når sammenhængen mellem to variable skal beskrives, vil det ote, kunne være interessant at vende sammenhængen om or at se or en given unktionsværdi, hvilket værdi den uahængige variabel har. For unktionen indes den unktionsværdi, som angiver -værdien a y-værdien. Denne kaldes den omvendte unktion or og benævnes -1 dvs. i minus ørste Det er imidlertid ikke alle unktioner, der har en omvendt unktion tilknyttet. For en vilkårlig unktion gælder det, at der ikke må være lere y-værdier or deinitionsmængden a variablen. Funktionen skal således have den egenskab, at der er knyttet en præis unktionsværdi til hvert tal i deinitionsmængden. Herved må unktionen eksempelvis ikke være et andengradspolynomium med et toppunkt eller nulpunkt indenor deinitionsmængden, idet der hermed vil være lere -værdier or én y- værdi. For unktion i nedenstående igur remgår det, at denne har en omvendt unktion tilknyttet, idet den til en vilkårlig valgt t-værdi netop har én -værdi. Modsat gælder or unktionen g, idet denne har to værdier til et vilkårligt valgt t-værdi, hvoror der ikke kan være tale om en omvendt unktion or denne

32 Vi kan hermed sammenatte ølgende regel or den omvendte unktion: En unktion kaldes injektiv eller en-entydig, når der or ethvert t tilhører alle reelle tal, da gælder ølgende ligning: t, som højst har én løsning: hvor Dm -1 Vm og Vm -1 Dm Vi skal se på ølgende eksempel or bestemmelse a den omvendte unktion. Vi har ølgende unktion 8 4, Hvor vi ønsker at bestemme -1 1, dvs. t1 Herved bliver 1 Hvor X hermed gælder at -1 1 Vi ønsker endvidere at bestemme -1 t or et vilkårligt t værdi t 8 4 t 8 t + 4 t t

33 Vi har hermed vendt unktionen om, således at værdien er isoleret, og y værdien er substitueret med en t værdi. Vi kan hermed skrive den omvendt unktion som y + 1 Den omvendte unktion er således en simpel metode til, at vende unktionen om således -værdien bliver isoleret i modsætning til y-værdien. Dette vil ote være nødvendigt, idet det ikke altid er y-værdierne der er interessante at analysere. Endvidere vil man ote i orbindelse med nationaløkonomiske og statistiske modeller se omvendte matematiske udtryk

34 Kapitel 4: Sandsynlighedsregning I det ølgende skal vi se på sandsynlighedsregning. Mange a de teorier og meget a den empiri som samundsvidenskaben beskætiger sig med, er ikke baseret på lovmæssigheder, som man kender det ra naturvidenskaben. Den samundsvidenskabelige orskning er derimod baseret på empiriske observationer og teorier, hvormed der med en vis sandsynlighed kan påvise en lovmæssighed. Grundlaget or alle statistiske analyser er hermed sandsynlighedsregning og eksperimenter. Formålet med dette kapitel er, at indøre læseren i de gængse orhold omkring sandsynlighedsregning som samundsvidenskabelige statistiske metoder bygger på. 1. Det stokastiske eksperiment Når man oretager en statistisk analyse a en samundsvidenskabelige problemstilling, har en sådan analyse karakter a et eksperiment. Hele ormålet med at oretage eksperimenter er at inde rem til nogle orhold, som kan være determineret a andre orhold. dvs. at inde sandheden Eksempelvis har man gennem statistiske analyser undet, at uddannelsesvariablen er den variabel, som er mest orklarende or individers holdningsdannelse. Denne sammenhæng kan derimod ikke siges, at være deterministisk ligesom ats om tyngdekraten eksempelvis er det. En sådan sammenhæng er derimod statistisk og observeret via et stokastisk eksperiment, og dermed også tilnærmelsesvis deterministisk. Eksperimentet oretages som om udaldet er tilældigt stokastisk. Hereter kan vi opsætte en model, som beskriver orholdet mellem to størrelser.eks. variabel og variabel y. En sådan model er således en tilnærmelse a virkeligheden på baggrund a allerede udørte eksperimenter. Nedenstående model beskriver orskellen mellem en deterministisk sammenhæng og et stokastisk eksperiment. Den venstre model viser en deterministisk model, som kan beskrives ved en matematisk sammenhæng J. kap 3. Der indøres en variabel eller input, hvoreter den deterministiske model genererer et output eller resultat i orm a Y. Modellen til højre illustrerer et stokastisk eksperiment. Modellen skal ikke have nogen variable tilørt, men blot aktiveres hvoreter der genereres et resultat. Jo lere eksperimenter der oretages, jo mere

35 deterministisk bliver den endelige model. Dvs. en deterministisk model orsøges konstrueret ud ra de stokastiske eksperimenter. I det ølgende skal vi se nærmere på modellen or det stokastiske eksperiment.. Udald, sandsynlighedselt og hændelser Udgangspunktet or et stokastisk eksperiment er at å astlagt alle mulige udald a eksperimentet. For et bestemt eksperiment kan man interesserer sig or vidt orskellige ting, og dermed kan der blive tale vidt orskellige mulige udald a eksperimentet. Sandsynligheden or et udald eller en hændelse opstår, angives som en talværdi mellem og 1 eller ved proent mellem % og 1 %, og beskriver hermed noget om, hvor ote det pågældende udald igurerer. Den totale sum a udaldenes sandsynlighed er 1 eller 1 %. Som ørnævnt er sandsynlighedsbegrebet sammenaldende med en gentagende udørelse a eksperimentet. Hvormed at den aktiske sandsynlighed, eller sandheden, oplyses bedre desto lere gange vi udører et eksperiment. Lad os eksempliiere ovenstående med udgangspunkt i et sæt spillekort, med 5 kort hvor vi trækker kort og dereter lægger dem tilbage igen Sandsynligheden or at trække en spar i et spil kort er. Spørgsmålet er imidlertid, om vi ved 5 4 gentagende udørelse a eksperimentet vil trække en spar hver jerde gange. Højst sandsynlig ikke! Vi må derimod orvente at, hvis vi trækker og lægger tilbage 4 gange, vil vi tilnærmelsesvis have trukket en spar 1 gange. Det vil sige, at jo lere gange vi udører det stokastiske eksperiment, desto større er sandsynligheden or, at udaldet orekommer. Det siges hermed at rekvensen a udaldet u er lig med antal a gange udaldet orekommer, divideret med antallet a gange eksperimentet udøres. Frekvensen a udaldet u _Antal a gange udaldet observeres_h Antal a gange eksperimentet udøres n Som det remgår a nedenstående model bliver udaldet mere sandt desto lere gange eksperimentet udøres. Det antages hermed at rekvensen giver et godt skøn over sandsynligheden

36 Vi kan deror benytte os a rekvensen som et mål or sandsynligheden og hermed eliminere eventuelle ejlslutninger, som opstår som ølge a tilældigheder ved or å eksperimenter. Man må hermed slutte, at jo lere gange eksperimentet gentages desto større er udaldets sandsynlighed. Der tales hermed om rekventiel sandsynlighed..1 Sandsynlighedselt Sandsynlighedseltet er en model, som beskriver et stokastisk eksperiment og består a en mængde udaldsrum. Uu 1, u, u 3, u n Mængdens delelementer betegner de mulige udald. For unktionen P der deineres som mængden a udaldsrummet U. P beskrives som en sandsynlighedsunktion hvoror Pu er sandsynligheden or udaldet u. For unktionen P gælder, at udaldet er udtrykt i udaldsrummet, og hermed er Pu 1. Endvidere skal summen a udaldenes sandsynligheder være lig Betinget sandsynlighed For beskrivelse a begrebet betinget sandsynlighed tager vi udgangspunkt i nedenstående eksempel. I en by har vi adspurgt 6. indbyggere om deres køn, samt om de er religiøse eller ej. Følgende resultat kom ud a denne spørgerunde: Køn Kvinde K Mand M I alt Religiøst R Ikke-religiøst IR I alt Hvad er sandsynligheden or, at vi går ind i byen simpel tilældigt, og inder en kvinde? Sandsynligheden P a en kvinde K Kvinder Udal det u 3 P K,5 5% Alle respondenter n

37 Dette er den simple sandsynlighedsberegning, hvora vi inder, at der er 53 % kvinder i byen, eller at der er 53 % hane or at inde en kvinde. Vi indsætter nu en betingelse: Vi ønsker at inde sandsynligheden or, at det er en kvinde der indes, betinget a at denne er religiøs. RK P K R,53 53% R 38 Hvor PK R betyder at K orekommer betinget a, at R allerede er til stede. Da der 3.8 religiøse og. a disse er kvinder, er sandsynligheden 53 %. Ovenstående beregning kan ligeledes indes ved, at inde andelen a byens borger der er religiøse og kvinder: P K R,31 31% 64 Hereter indes andelen a religiøse i byen: Religiøse Udal det u 38 P R,59 59% Alle respondenter n 64 Hereter sættes de to andele i orhold til hinanden ved, P K R,31 P K R,53 53% P R,59 Vi kan hermed oretage en general deinition a den betingede sandsynlighed: Lad X og Y være to hændelser. Den betingede sandsynlighed or X givet Y, er deineret ved P X Y P X Y P Y Hvor PY> Formlen or den betingede sandsynlig kan endvidere omskrives ved brug a ligningsløsningsmetoderne. P X Y P X Y P Y P X Y P X Y P Y P Y P Y Herved P X Y P X Y P Y

38 Herved ås multiplikatorsætningen, hvor X og Y antages at være to hændelser, hvor sandsynligheden or både X og Y er til stede. Herved bliver sandsynligheden or Y multiplieret med sandsynligheden or X betinget a, at Y er til stede. 3.1 Uahængige hændelser I modsætning til begrebet betinget sandsynlighed hvor hændelserne og udaldene er ahængige a hinanden, indes der ligeledes uahængige hændelser. Lad os vende tilbage til vores kortspil-eksempel. Vi ønsker at inde sandsynligheden or at trække en spar to gange i træk. Ved det ørste træk er der 1/4 hane. Ved nr. trækning er hanen 1/51 Sandsynligheden or at trække en spar S to gange er hermed P S1 S P S S1 P S I denne situation er hændelserne ahængige a hinanden, idet det ørste træk påvirker sandsynligheden ved det næste træk. Lad os nu orestille os en situation, hvor der er mulighed or tilbagelægning a kortene. Dvs. at hændelserne bliver uahængige a hinanden. Resultatet bliver hermed: 1 1 P S1 S P S P S Når hændelserne er uahængige a hinanden, bliver sandsynligheder or at hændelsen indtræer større. 5. Bayes ormel Regnereglerne or betingede sandsynligheder blev i det 18. århundrede udvidet a Thomas Bayes. Bayes ormel opstiller muligheden or, at revidere oprindelige sandsynligheder or givne hændelser, under hensyntagen til yderligere inormation om de pågældende hændelser. Vi tager udgangspunkt i ølgende eksempel om rødhåret og blåøjet. I den danske beolkning er der 5 % rødhårede, og hera er 8 % blåøjet. A den resterende del a beolkningen er 1 % blåøjet

39 Vi opstiller ølgende sandsynligheder i nedenstående tabel: Hændelse Sandsynlig hed oprindelig PX Betinget sandsynlighed PY X Blåøjet Fælles sandsynlighed P X Y P X P Y X Reviderede sandsynligheder P X Y P X Y P Y Rødhåret,5,8,4,963 Ikkerødhåret,95,1,95,737 PY,135 > 1 Som det remgår a tabellen er X henholdsvis rødhåret eller ikke rødhåret, mens Y er hændelsen blåøjet. Endvidere remgår det at 13,5 %,135 a beolkningen er blåøjet. Derudover er der 4 %,4 a beolkningen, som både er rødhåret og har blå øjne. De reviderede sandsynligheder viser, at hvis vi tilældigt udvælger en person, og vedkommende er blåøjet, er sandsynligheden or, at denne er rødhåret 9,63 %, og sandsynligheden or at dette ikke er tilældet er 7,37 %. På baggrund hera kan vi opstille Bayes ormel. I ovenstående tabel beregnede vi den totale sandsynlighed or, at en tilældig valgt person var blåøjet til 13,5 %. Dette andt vi rem til ved at benytte os a den øromtalte multiplikatorsætning. P X Y P X Y P Y Den samlede sandsynlighed or, at en person er blåøjet, kan hermed beregnes som sandsynligheden or, at en person er rødhåret og blåøjet, plus sandsynligheden or at en person er blåøjet men ikke rødhåret. P Y P X P Y X,8,5 +,1,95,135 R R Y + P X P X R IR + P Y X Y IR P X IR De reviderede sandsynligheder blev undet ved at oretage division a henholdsvis sandsynligheden or, at en person er rødhåret og blåøjet, og sandsynligheden or, at en person er blåøjet uden denne er rødhåret, med den totale sandsynlighed på,135. P X R Y,4 P X R Y,963 P Y,135 P X IR Y,95 P X IR Y,737 P Y,

40 Bayes ormel gælder ikke kun or to mulige hændelser, som ovenstående eksempel viser. Reglen kan imidlertid udvides til det generelle tilælde, hvori de beregnede reviderede sandsynligheder or de parvise disjunkte uahængige hændelser n. De parvise disjunkte hændelser udgør tilsammen hele eksperimentets udaldsrum. Vi kan hermed deinere Bayes ormel som: Lad X 1, X, X i og lad Y være hændelser, hvor X-værdierne er parvise disjunkte hændelser, der summeret dækker udaldsrummet U. I en sådan situation gælder ølgende: P X i P Y X i P X i Y P Y Hvor P Y P X P Y X 1 + P X P Y X P X P Y X 1 n n Nævneren i Bayes ormel kan ligeledes benyttes til at beregne den samlede sandsynlighed or en given hændelse. Herved bliver den nederste ormel i ovenstående tabel også kaldt or loven om den totale sandsynlighed. 5. Binomialordelingen Binomial betyder bestående a to dele. I relation til sandsynlighedsregning indbeatter dette, at den stokastiske variabel X er binomial ordelt, når den er knyttet til et basiseksperiment, hvor der kun er to udald. Sandsynligheden or at eksperimentet lykkes basissandsynligheden ændre sig ikke ra orsøg til orsøg. Endvidere er sandsynligheden or at eksperimentet mislykkes dermed også konstant. Endeligt er de enkelte orsøg stokastisk uahængigt a hinanden, hvilket vil sige, at udaldet a det ørste orsøg/eksperiment ikke påvirker sandsynligheden ved det næste eksperiment. Set i relation til den allerede gennemgåede Bayes ormel handler binomialordelingen om gentagende udørelser a et eksperiment, or dermed at inde sandsynligheden or et givet udald. Bayes ormel okuserer derimod på bestemmelse a sandsynligheden under en given betingelsej. eksemplet med blåøjede og rødhårede. De to har derimod det tilældes, at de arbejder med dikotomi-variable, dvs. enten er man en mand eller også er man en kvinde. Eller enten er man rødhåret ellers er man det ikke! Sandsynligheden P or, at eksperimentet lykkes kaldes or basissandsynligheden, hvor udaldet u lykkes P og sandsynligheden or at udaldet mislykkes betegnes 1-P. Basiseksperimentet udøres nu et vist antal gange svarende til n gange. Antallet a gange eksperimentet udøres kaldes seriens længde. Begrebet seriens længde skal orstås bredt. F.eks. hvor mange gange man kaster med en terning. Eller hvor mange biler der holder i et parkeringshus. Eller hvor mange der stemte til kommunalvalget i København

41 Følgende gør sig generelt gældende or en binomialordeling ved et basiseksperiment med sandsynlighed p udørt n gange. Den stokastiske variabel X angiver, hvor mange gange basiseksperimentet lykkes. Sandsynlighedsordelingen or X er givet ved P X K n, p 1 P X 1 K n,1 p M P X K n, p r P X r K n, r p M 1 p 1 p n n1 1 p 1 p n nr n nn P X n K n, n p 1 p I den orbindelse er den stokastiske variabel X binomialordelt bn,p. n angiver seriens længde. p angiver den uahængige sandsynlighed or basissandsynligheden. 1-p angiver sandsynligheden or at eksperimentet mislykkes. r antallet a gange eksperimentet lykkes. Som eksempel på hvordan man inder sandsynligheden or, at et basiseksperiment lykkes et bestemt antal gange, når man udører det n antal gange, vil vi se på ølgende eksempel. Vi tager udgangspunkt i en serie på 1 personer simpel tilældig udvalgt, hvor vi ra sidste olketingsvalg så at 5 % 1-p a beolkningen stemte på højreløjen, mens den resterende 48 % del stemte på venstreløjen. p. Hvad er sandsynligheden or der i serien på 1 er 9 som har stemt på venstreløjen? Vi tager udgangspunkt i ovenstående r nr n! r nr P X r K n, r p 1 p p 1 p r! n r! n! Udtrykket er udtryk or mulige kombinationer. Dvs. antallet a grene på tælletræet som r! n r! udgør basiseksperimentets sandsynlighed. P X P X 95 K1,95,48 95,135,14, , !,48 9!3! 9 1,48 3 Dvs. at sandsynligheden or at 9 ud a de 1 i serien har stemt på et parti på venstreløjen er a. 4 %. Undertiden kan det være relevant at å oplyst middelværdien or en stokastisk variabel, hvilket vil sige, hvad vi i gennemsnit kan orvente ved vores eksperiment

42 Når sandsynligheden or at basiseksperimentet lykkes er p, da vil vi i gennemsnit orvente at eksperimentet lykkes n p gange. Middelværdien kan hermed med udregnes på den enkelte måde µ n p Under orudsætning at X er en binomialordelt stokastisk variabel bn,p. Desuden gælder det at standardavigelsen og variansen or en binomialordelt stokastisk variabel bn,p er Standardavigelsen: σ n p 1 p Variansen: σ Var X n p 1 p - 4 -

43 Kapitel 5: Dierentialregning I det ølgende kapitel skal vi se på en metode til bestemmelse a monotoniorholdet og ekstrema toppunkt og minimumspunkt på grundlag a kapitel 3s orskriter or unktioner. Vi år deror brug or at introduere en ny regneorskrit kaldet dierentialregning. Denne regneorskrit er tæt knyttet til tangent-begrebet, som er særdeles relevant or orståelsen a økonomiske optimeringer. Det skal dog understreges, at dette kapitel langt ra er udtømmende or læren om dierentiering, men derimod introduerer væsentlige begreber, som er nødvendige or at kunne orstå samundsvidenskabelige problemstillinger. Der vil deror i dette kapitel kun være okus på partiel dierentiation, hvilket vil sige hvordan y reagerer, når den uahængige variabel ændre sig. 1. Dierentialkvotient Som set i oregående asnit havde en lineær unktion den egenskab, at den gennemsnitlige unktionstilvækst er konstant i ethvert interval: a Y X Y X Y1 X 1 Idet vi også tidligere så Y som en unktion a X, og dermed kan skrives som y, kan vi omskrive udtrykket: a. Den rette linje har deror samme stigning over hele intervallet, og hældningskoeiienten a angiver stejlheden. En unktion, der ikke er lineær, har derimod ikke den samme stejlhed over hele intervallet. Det er som ølge hera ikke umiddelbart muligt at kunne beskrive unktionens stigningstal, men som denne gennemgang vil vise, er det muligt at kunne astsætte stigningstallet i et givent punkter or en ikkelineær unktion. Betragt ølgende eksempel: Vi ser på et andengradspolynomium ved nedenstående gra, hvor i et interval omkring 1. I dette punkt er graen næsten lineær og går igennem punktet 1,1 og har hældningskoeiienten

44 Vi kan deror sige, at unktionens stigningstal i 1 er lig med liniens hældningskoeiient. I stedet or betegnelsen stigningstallet i or værdien 1, benyttes ordet dierentialkvotienten i Denne metode er dog næsten altid unøjagtig, idet den er baseret på en alæsning. Det vil deror være mere interessant at oretage en matematisk beregning a dierentialkvotienten. Vi vil deror tage udgangspunkt i sekanterne, som er rette linier, der skærer andengradspolynomiet i to punkter. Sekantens hældningskoeiient angiver dermed den gennemsnitlige unktionstilvækst. I eksemplet ovenor ses to sekanter. Én der går gennem 1,1 og 6, 6, og én der går gennem punkterne 1, 1 og 4, 4. Det vi er interesserede i er hældningen i punktet 1,1. Sekanten, der går gennem punkterne1, 1 og 4, 4, har en hældning, der ligger tættere på tangenten end sekanten, der går gennem punkterne 1,1 og 6, 6. Dvs. hvis vi lader alde ned mod 1, kommer vi tættere og tættere på tangentens hældning Pointen er da at gøre astanden mellem de to punkter, sekanten skærer, uendelig lille. Til dette introdueres grænseværdibegrebet, dvs. sekantens hældning nærmer sig tangentens hældning når går mod her: 1. Grænseværdibegrebet kendes også som limes lim ra det græske ord, der betyder grænse

45 Dette leder os rem til en deinition a dierentialkvotienten: Funktionen, der er deineret i et interval gående omkring, kaldes dierentiabel i, hvis den gennemsnitlige unktionstilvækst er har en grænseværdi, når går mod. Denne grænseværdi betegnes som og betegnes deror som dierentialkvotient i Med udgangspunkt i ovenstående dierentialkvotient ormel er det muligt at inde stigningstallet or i punktet når 1 Dvs. stigningstallet udregnes til når punktet bevæger sig mod 1. Funktionen vise, ved hjælp a den gennemsnitlige unktionstilvækst, at unktionen er dierentiabel i et vilkårligt punkt. 3 er desuden dierentiabel i orskellige punkter. Det vil dermed være muligt at + Når + Det vil sige, at den gennemsnitlige unktionstilvækst gældende når går mod, hvoror., er dierentiabel i ethvert med dierentialkvotienten er bestemt a en grænseværdi på, hvilket er 3 Som vi skal se i asnit., er dette den hurtigste remgangsmåde, men ikke nødvendigvis den mest pædagogiske

46 Den aledede unktion 4 kan således betegnes som en hældningsunktion or en ikke-lineær unktion, dvs. unktionsværdien er et udtryk or stejlheden i punktet svarende til et punkt på den ikkelineære unktion. Hvis unktionen er lineær, vil den aledede unktion dierentialekvotienten være lig med hældningskoeiienten a: a + b a a a + b a a Hvis der om en unktion gælder, at denne er dierentiabel i ethvert tal i deinitionsmængden, er unktionen en dierentiabel unktion. Det vil sige, ved enhver - værdi er der tilknyttet en aledt unktion, eller blot en dierentialkvotient. Det kræves således, at unktionen er kontinuert i et interval. Når en unktion er dierentiabel i, så er den også kontinuert i. Eksempel på ikke-kontinuerlig unktion: Funktionen er ikke kontinuert, hvoror denne ikke er dierentiabel i 75. I punktet -5 knækker graen og er deror ikke dierentiabel, idet vi ikke kan inde en ret linje, der ølger graen omkring punktet. Denne er dog kontinuert ra punktet -5 til 75 4 Den unktion, som til enhver -værdi i Dm knytter dierentialkvotienten, kaldes den aledede unktion

47 1.1 Oversigt over dierentiable unktioner: Funktionen Aledede unktion Konstant k > > 1 a+b > a a n n1 + b + > n a + b, når > > 1 1 1, når > - 1. Eksempel på bestemmelse a regneorskriten or dierentiering Betragt unktionen ²+3-4. Vi ønsker at bestemme orskriten or den aledede unktion, dierentialkvotienten. A praktiske årsager omskrives den gennemsnitlige unktionstilvækst på ølgende måde. Vi sætter +, hvoror hvor den ovenstående har en grænseværdi, går mod. Først og remmest ønsker vi at bestemme dierentialkvotienten svarende til, at år en tilvækst på. Hera ølgende unktionsværdi + + ² ² + + ² Vi trækker nu den oprindelige unktion ra: + ² + + ² ² ²

48 + + 3 Dierentialkvotienten gives herved: Herved indes regneorskriten or, da > + lim lim > + 3. Regneregler or dierentialkvotienter I ovenstående asnit har vi deineret dierentialkvotienten ved at vise, at den gennemsnitlige unktionstilvækst har en grænseværdi, når går mod nul. Dette blev beskrevet ved denne vigtige ormel: + lim hvor y For unktionen betegnes dierentialkvotienten med, men otest benyttes udtrykket, idet dierentialkvotienten kan betragtes som en uendelig lille ændring i unktionsværdien y-værdien divideret med en uendelig lille ændring i -værdien. Sådanne uendelige små ændringer adskiller sig ra deltategnet, idet dette betegnes som en numerisk ændring og deror ote benyttes i orbindelse med lineære unktioner. I det ølgende skal vi se på nogle mere komplierede regneregler or dierentialkvotienter. Vi vil således undersøge, om en komplieret unktion er dierentiabel i punktet. Som udgangspunkt er det deror nødvendigt at opdele unktionen i lere simple unktioner. Hera ølgende komplierede unktion: hvor Denne unktion er opbygget ved 4, 1, 5-8 og endelig ²

49 Følgende regler gælder or bestemmelse a dierentialkvotienten or en sådan unktion: Antagelsen er at unktionerne og g er dierentiable i og desuden er kontinuert. Der kan således være tale om orhold mellem unktionerne g og som ølgende: g g g g + Dierentialekvotienterne er dermed bestemt ved ølgende: 5., k k g g g g g g g g g g g g Hvis vi tager udgangspunkt i , kan vi ved hjælp a regnereglerne bestemme dierentialkvotienten. Som udgangspunkt gælder at 1 1, da 1 4 4, år vi som ølge a regel Dernæst indes at 5-8 5, som ølge a simpel dierentiation. Endvidere indes at ² Ved hjælp a regel 3 inder vi at

50 Endelig sum reglen: regel 1 y Herved har vi undet dierentialkvotienten til unktionen Sammenatning Ovenstående gennemgang kan virke noget kompleks og til tider noget uoverskuelig. Det er deror vigtigt, når der oretages dierentiation a et givent udtryk, at huske de grundlæggende dierentieringsregler. Meningen med dette asnit er at give et oprids a, hvad dierentieringsreglerne egentlig indbeatter. For enhver given unktion a n, hvor n er helt tal som er dierentiabel, er dierentialkvotienten bestemt ved n1 n som ølge a denne simple regel, kan ølgende unktioner dierentieres: y k > y y, idet der ikke er nogen tilvækst i en konstant y a + b > y y a En lineær unktion y a + b + > y y a + b Et andengradspolynomium y a 3 + b + + d > y y 3a + b + Et tredjegradspolynomium Gældende or disse er at går mod nul, dvs. en uendelig lille ændring, når der oretages dierentiation. 3. Tangent og bestemmelse a ekstrema Selve tangent-begrebet er knyttet til ovenstående gennemgang a den aledede unktion eller dierentialkvotienten. For unktionen deinerede vi den aledede unktion, som hældningskoeiienten or tangenten i berøringspunktet, Tangent er en lineær unktion og har deror ligningen y a+b. Betragt nedenstående igur: - 5 -

51 Vi udtrykker hældningskoeiienten a ved to punkter. Henholdsvis,y og, som begge er beliggende på den lineære unktion. Vi så tidligere at: lim + hvor Hvilket svarer til at + y som ølge a - Vi er interesserede i at inde ligningen or tangenten. Vi skal deror isolere y eller + y y y + Ovenstående unktion er dierentiabel i punktet. Den lineære unktion, der tangerer, har hældningskoeiienten og har ormlen y +.

52 Den lineære unktion, hvis gra er lig med tangenten, kaldes den approksimerende ørstegradspolynomium eller den tilnærmende lineære unktion. Dvs. at denne bedst tilnærmer sig unktionen i nærheden a Eksempel: Vi tager udgangspunkt i unktionen + 6, der er dierentiabel i punktet 3. Da 4 er 3 1 hvoreter tangentens ligning er: y Tangenten y Bestemmelse a ekstrema og monotoniorholdet I dette asnit skal vi vise vigtigheden ved dierentialeregningen. Vi er interesserede i at bestemme monotoniorholdet og dermed også ekstrema, dvs. største- og mindste værdier or unktionerne. Dette er særdeles relevant i orbindelse med optimeringer. Som udgangspunkt skal vi ørst se på, hvorledes tempoet i tilvæksten a en dierentieret unktion er. Med andre ord, hældningen på hældningen. Det vil sige, et udtryk om tilvæksten y er mere eller mindre. Operationelt gøres dette ved at oretage en dierentiering a dierentialkvotienten, hvilket betegnes som den dobbelt aledede unktion. y Dette kan eksempliieres ved ølgende: y y Den aledede unktion y 1 Den dobbelt aledede unktion Når > vil hældningen blive ved med at vokse, hvilket indbeatter, at unktionen bliver stejlere og stejlere, eller mere og mere positiv. Denne nye viden kan vi benytte til at ortælle noget om unktionens løbende udvikling. Ved den aledte unktion >, kan vi kun udtale os om, at stigningen i -værdien medører stigning i y-værdien. Med den dobbelte aledte unktion, kan vi udtale os om, at hver gang -værdien vokser, så stiger eller alder y-værdien med mere eller mindre. Hvis < og > da vil stigningen i y-værdien blive mindre og mindre. Og modsat hvis >

53 Vi ønsker at benytte denne ovenstående viden til, at kunne se om en unktion har et toppunkt eller minimumspunkt. Først og remmest gælder, at i toppunktet eller minimumspunktet er den aledede unktionen altid. Følgende kan således opstilles omkring ekstrema: og < a Toppunktet og > a Minimumspu nktet Endvidere gælder orudsætningerne om at unktionen er kontinuert og dierentiabel i Følgende gra beskriver toppunktet og minimumspunktet, dvs. egentlige vendetangenter

54 Eksempel på metoden til at inde toppunktet: y y y Dvs. at minimumspunktet eller toppunktet beinder sig i punktet 1,7. Vi skal dernæst se, om der er tale om et toppunkt eller et minimumspunkt. Vi ser dereter på værdien i andet led, dvs. ved hjælp a den dobbelt aledede unktion y, hvilket vil sige, at vi har undet et toppunkt og en højere eller lavere - værdi, vil medøre aldende y-værdi. Tilsvarende metode gælder or at inde minimumspunktet, og her vil den dobbelt aledede unktion dog være positiv.

55 Dierentiation Formel Powerreglen 1 ' n n n Produktreglen [ ] ' ' ' g g g + Reiprokreglen [ ] [ ] ' 1 ' Divisionsreglen [ ] [ ] ' ' ' g g g g Sammensat unktion ' ' ' g g g o e ep ep ep ' ln 1 ln '

56 Kilder Antonius, Søren; Clausen, Robert og Hansen, Hans Henrik, Matematik B, Systime 199 Bundgaard, Ole, Erlandsen, Hans; Vestergaard, Frits, Matematik D lærebog, handelsskolernes grunduddannelse - EU, orlaget økonom 1994 Bøtther, Lis og Grell, Henrik, Matematik or handelsskolen A, GAD s orlag 1995 Bøtther, Lis og Grell, Henrik, Matematik or handelsskolen B, GAD s orlag 1995 Bøtther, Lis og Grell, Henrik, Matematik or handelsskolen C/B1, GAD s orlag 1995 Gujarati, Damodar N., Basi Eonometris, MGraw Hill 3 Kaiser & Harslø, Samundsvidenskabelig Matematik, Aarhus Universitet, Institut or Statskundskab, 5. Kaiser & Harslø, Matematik or Statskundskabsstuderende, Aarhus Universitet, Institut or Statskundskab,