Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf Karsten Juul
|
|
- Sofia Brodersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
2 Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab til stoet som de ikke opnçr ved at eterligne udregninger i besvarelser a eksamensopgaver TEORI Hvad er en stamunktion Hver unktion har mange stamunktioner Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til k Ñ (), () + g () og () g () 5 Symbol or stamunktion 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner 5 8 Hvad er en arealunktion? 6 9 Vigtig regel om arealunktioner 6 0 Bestemt integral 7 SÇdan udregner vi bestemte integraler 8 Opgave hvor vi skal ortolke et integral 8 Bestemme integral ud ra arealer 9 Bestemme areal mellem gra og -akse 0 5 Areal mellem to graer 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi ÉVELSER Hvad er en stamunktion Hver unktion har mange stamunktioner Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til k Ñ (), () + g () og () g () 5 Symbol or stamunktion 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner 5 8 Hvad er en arealunktion? 9 9 Vigtig regel om arealunktioner 0 0 Bestemt integral 0 SÇdan udregner vi bestemte integraler 0 Opgave hvor vi skal ortolke et integral Bestemme integral ud ra arealer Bestemme areal mellem gra og -akse 5 Areal mellem to graer 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi 6 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h Ü 0 Karsten Juul Dette håte kan downloades ra wwwmatdk HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til kj@matdk som oplyser at dette håte benyttes (skriv ilnavn), og oplyser om hold, niveau, lårer og skole
3 Hvad er en stamunktion? Deinition g() er en stamunktion til () hvis g() dierentieret giver () dvs hvis g( ) ( ) Eksempel ordi er stamunktion til Hver unktion har mange stamunktioner Eksempel 5 8 c er stamunktion til uanset hvilket tal vi skriver i stedet or k I koordinatsystemet har vi tegnet graerne or nogle a stamunktionerne til (,5),75,75 ( 0,5) SÄtning I et -interval hvor unktionerne h() og () er deineret, gålder Hvis h() er en a stamunktionerne til (), sç er unktionerne h( ) k samtlige stamunktioner til () Dette kan vi ogsç ormulere sçdan: Hvis vi kender graen or en stamunktion h() til (), sç kender vi ogsç graerne or de andre stamunktioner til () Det er nemlig de graer vi kan Ç ved at rykke h()-graen op eller ned Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
4 Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til konstant Regel: k har stamunktionen Eksempler: 6 har stamunktionerne 6 c har stamunktionerne c har stamunktionerne c k da k k k Stamunktion til potensunktion Regel: a har stamunktionen da a a ( a) a a a a a Eksempler: har stamunktionerne c,5 0,5 har stamunktionerne c dvs c 0,5 har stamunktionerne c da 0, 5 Advarsel: Regel kan IKKE bruges pç eksponentialunktioner: a har IKKE stamunktionen har IKKE stamunktionen a Stamunktion til Regel: Advarsel: har stamunktionerne ln( ) c i intervallet 0 har stamunktionerne ln( ) c i intervallet 0 har IKKE stamunktionen ln( ) da ln( ) c da Stamunktion til e Regel: e har stamunktionerne e c Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
5 Stamunktion til kñ(), () + g() og () g() Stamunktion til konstant gange udtryk Hvis: () har stamunktionen F() sç: k () har stamunktionen k F() Eksempler: har stamunktionerne c dvs c e har stamunktionerne e c har stamunktionerne c dvs 6 c Vi beholder konstant gange og erstatter - udtrykket med dets stamunktion Stamunktion til udtryk plus udtryk og til udtryk minus udtryk Hvis: () har stamunktionen F() g() har stamunktionen G() sç: ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) Eksempler: 6 har stamunktionerne 6 e c har stamunktionerne ln( ) c e og i intervallet 0 PÇ begge sider a + og erstatter vi udtrykket med dets stamunktion Advarsel Man kan IKKE integrere et udtryk ved at integrere hver del a udtrykket (bortset ra visse specielle tilålde som eks regel ) Eksempler: har IKKE stamunktionen e e e har IKKE stamunktionen 5 e har IKKE stamunktionen e 5 e Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
6 5 Symbol or stamunktion Symbolet ( ) d betyder: stamunktionerne til () og låses: det ubestemte integral a () NÇr vi inder ud a hvad ( ) d er lig sç siger vi at vi integrerer () () kaldes integranden Eksempel: ( ) d c Her har vi integreret er integranden Vi har sat parentes om integranden ordi den bestçr a mere end àt led 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire For at inde stamunktion pç Nspire vålger vi pç skabelon-paletten Älgende integralskabelon: Nspire skriver kun àn a stamunktionerne: Vi mç selv tiläje c Hvis vi taster skriver Nspire resultatet For at inde stamunktion til skal vi eter integraltegnet angive at 0 : ( ), 0 Husk at trykke pç häjrepilen inden du taster den lodrette streg! Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
7 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner Opgave (Vi kender et punkt pç stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( ) Det er oplyst at graen or F gçr gennem punktet (, 6) I nogle opgaver er denne oplysning ormuleret sçdan: F ( ) 6 Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant c sç F( ) c Da graen or F gçr gennem punktet (, 6), mç ( ) sç c F( ) ( ) c, dvs, 6 R NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat Opgave (Vi kender en linje der er tangent til stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( ) Det er oplyst at Linjen med ligningen y 5 er tangent til graen or F Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant c sç F( ) c FÄrst udregner vi et punkt der ligger pç graen or F, nemlig det punkt ( 0, y 0 ) hvori tangenten rärer graen A tangentens ligningen y 5 ser vi at tangenthåldningen er : F ( 0 ) 0 0 Da og, ) Çr vi 0 y 5 y0 ( ) 5 y0 6 ( 0 y 0 ligger pç linjen med ligningen NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten or dierentialkvotienten og regner ud, sç Çr vi grapunktets tangenthåldning At en linjes ligning er y a b betyder at or et punkt pç linjen kan vi udregne y-koordinaten ved at gange -koordinaten med a og lågge b til resultatet Nu kender vi et punkt pç graen or F SÇ kan vi bruge metoden ra opgave Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul
8 8 Hvad er en arealunktion? () A( 0 ) 0 8 Hvad er en arealunktion? Den viste gra er pç en skårm NÇr vi tråkker 0 - prikken mod häjre, bliver det grç omrçde stärre A( 0 ) er arealet a det grç omrçde A() kaldes arealunktionen or 8 Eksempel PÇ billedet ser vi at A( 9) 6 og A ( ) 5 9 Vigtig regel om arealunktioner 9 SÄtning NÇr A() er arealunktionen or en ikke-negativ unktion (), a b sç gålder at A() er en stamunktion til () dvs A( ) ( ) Betyder at graen ligger på eller over -aksen Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul
9 0 Bestemt integral 0 Deinition a bestemt integral Hvis () har stamunktionen F() i intervallet a b sç deinerer man at b a ( ) d F( b) F( a) Symbolet til venstre or lighedstegnet låser man sçdan: Integralet ra a til b a () () kaldes integranden 0 BemÄrk: I deinitionen a bestemt integral er det IKKE kråvet at ( ) 0 Det bestemte integral er et tal Det ubestemte integral er unktioner 0 SÄtning om bestemt integral og areal Hvis ( ) 0 or a b og M er omrçdet mellem -graen og -aksen i intervallet a b sç gålder M Bevis b a ( ) d arealet a M A() er arealunktionen or () F() er en stamunktion til () Da A() og F() (* ) A( ) F( ) c Nu Çs areal a M A(b) er stamunktion til samme unktion, indes en konstant c sç A( b) A( a) Da A ( a) 0 F b) k F( a k ( ) IÄlge (*) F( b) F( a) Hermed er såtning 0 bevist b a IÄlge deinitionen pç arealunktion ( ) d IÄlge deinitionen pç bestemt integral Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul
10 SÇdan udregner vi bestemte integraler Udregne bestemt integral uden hjälpemidler NÇr vi udregner bestemte integraler uden hjålpemidler, er det praktisk at bruge symbolet F ) b a ( som betyder F( b) F( a) Fordelen er at vi kan skrive stamunktionen inden vi indsåtter grånserne a og b or Eksempel pç brug a denne skrivemçde: ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 05 Udregne bestemt integral på TI-Nspire For at udregne et bestemt integral pç Nspire vålger vi pç skabelon-paletten Älgende integralskabelon: Eksempel: Hvis vi taster skriver Nspire Opgave hvor vi skal ortolke et integral I en opgave er Vi har udregnet at ( ) 0 ( ) d Vi skal give en geometrisk ortolkning a dette tal Svar pç dette spärgsmçl: ( ) d er areal mellem -gra og -akse i intervallet 0 dvs 7 er arealet a det grç omrçde 6 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 8 0 Karsten Juul
11 Bestemme integral ud ra arealer Opgave PÇ iguren ses graen or en unktion der har nulpunkterne 6, og Sammen med -aksen agrånser graen en punktmångde M der har arealet 7 Sammen med -aksen og y-aksen agrånser graen i kvadrant en punktmångde M som har arealet 6 Bestem 0 6 ( ) d M 6 M Besvarelse 06 ( ) d er areal mellem -gra og -akse i intervallet 6 0 Dette areal Çr vi ved at lågge arealerne a M og M 7 6 Dvs 9 sammen: 0 6 ( ) d 9 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 9 0 Karsten Juul
12 Bestemme areal mellem gra og -akse Opgave En unktion har orskriten ( ) Graen or, -aksen og linjen med ligningen punktmångde M der har et areal agrånser i anden kvadrant en Bestem arealet a M Besvarelse FÄrst tegner vi en skitse der viser M M er det grç omrçde pç skitsen Ud ra skitsen ser vi at vi har brug or at kende -koordinaten til det venstre a graens skåringspunkter med -aksen Da ligningen 0 har läsningerne og 0, er Ärstekoordinat til det venstre a graens skåringspunkter med Ärsteaksen Arealet a M er lig ( ) d Vi taster dette integral og Çr det udregnet Vi Çr 0 sç Vi skal skrive hvordan vi har undet läsningerne En anden mulighed er at vi udregner integralet pç den mçde som er vist i arealet a M er 0 I opgaver hvor vi skal bestemme arealer, stçr der ote ordet kvadrant Koordinatakserne deler planen op i ire kvadranter Figuren viser hvad de ire kvadranter hedder kvadrant kvadrant kvadrant kvadrant Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 0 Karsten Juul
13 5 Areal mellem to graer I nogle opgaver skal et areal udregnes ved at udregne to arealer og tråkke det ene ra det andet I koordinatsystemerne har vi tegnet graerne or unktionerne ( ) og g( ) Vi vil udregne arealet a det grç omrçde V pç venstre igur g g g V M H Vi läser ligningen og Çr, sç graernes skåringspunkt har -koordinat Det grç omrçde M pç midterste igur har arealet Det grç omrçde H pç häjre igur har arealet ( ) d 0 0 d 0 Hvis vi jerner H ra M, Çr vi V, sç arealet a V er BemÅrkning: Vi kunne have udregnet arealet a M uden at bruge integralregning da M er begrånset a rette linjer Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
14 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi Figuren viser graen or ( ) og linjen med ligningen k Vi vil bestemme et positivt tal k sç det grç areal er Vi läser ligningen k 0 ( ) d mht k or k 0 k,0800 og Çr Figuren viser graen or ( ) k hvor 0 k Vi vil bestemme k sç det grç areal er 7 Vi läser ligningen ( k ) d mht k or 0 k k 7 og Çr Figuren viser graerne or ( ) 5 og g( ) k hvor k Vi vil bestemme k sç det grç areal er PÇ iguren ser vi at vi har brug or at kende de to viste skåringspunkter mellem -aksen og graerne: Vi läser 0 og Çr Vi läser k 0 og Çr k PÇ iguren ser vi at vi Çr det grç areal nçr vi tråkker arealet mellem -gra og -akse i intervallet 0 ra arealet mellem g-gra og -akse i intervallet 0 k Deror läser vi ligningen 0 k mht k or k ( k) d 5 k 0 og Çr ( ) d For at inde grånser or integralerne läste vi ligningerne ( ) 0 og g ( ) 0 I mange opgaver skal du ikke läse disse ligninger I stedet skal du mçske läse ( ) g( ) Eller mçske remgçr integralets grånser a tekst og igur g Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
15 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel (b) g () og () g (0) og (0) (c) Da l 's håldningskoeicient er, er g ( ) (d) Da P 's y-koordinat er ( ), er (e) NÇr gålder altsç g ( ) ( ) For hvilke a tallene mellem og, 5 ser det ud til at denne ligning gålder? Svar: Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Skriv to unktioner hvis dierentialkvotient er Svar: og (b) Skriv to unktioner hvis dierentialkvotient er Svar: og Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel (b) At F() er stamunktion til () betyder at () er stamunktion til ordi (c) 5 er stamunktion til ordi Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel GÅt en stamunktion til hver a Älgende unktioner, og kontrollàr dit gåt ved at dierentiere: ( ), g( ) og n h( ) Du skal IKKE dierentiere LÅs spärgsmçlet grundigt Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel PÇ iguren har vi tegnet to a stamunktionerne til en unktion Bestem Älgende ire tal: () m () = () m( ) n() = () m( ) n() = () m( 5) n(5) = (b) Tegn graerne or to andre stamunktioner til m n Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
16 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til er c (b) Stamunktionerne til er (c) Stamunktionerne til er (d) Stamunktionerne til 5 er (e) Stamunktionerne til, 5 er ( ) Stamunktionerne til er (g) Stamunktionerne til e er (h) I intervallet 0 har stamunktionerne Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel I intervallet 0 har stamunktionerne 5 ln( ) c (b) Stamunktionerne til e er (c) Stamunktionerne til 9 er 9 (d) Stamunktionerne til er (e) Stamunktionerne til 65 er Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til e (b) Stamunktionerne til er er (c) Stamunktionerne til 5 er Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til 6 5e er (b) Stamunktionerne til er Çvelse 5 Uden regneteknisk hjålpemiddel d c (b) ( ) d Çvelse 6 Brug dit regnetekniske hjålpemiddel: ( 5) d (b) : 5 d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
17 Çvelse 7 Figuren viser lommeregnerens skårm SkÅrmen viser graen or unktionen ( ) ln( ) c hvor c har Çet tildelt en bestemt talvårdi ln(5) c (b) (AlÅs svar pç igur) c Çvelse 7 Figuren viser lommeregnerens skårm ( ) (b) Graen or g( ) 6 6 gçr gennem punktet P Çvelse 7 PÇ lommeregneren (eller computeren) skal du rembringe et koordinatsysten hvor -aksen gçr ra til, og y-aksen gçr ra til 6 (b) FÇ tegnet graen or unktionen h( ) 6 c nçr c (c) AsÅt punktet (, ) i koordinatsystemet (d) PrÄv dig rem med orskellige vårdier a c indtil du kan se pç skårmen at graen gçr gennem punktet (, ) c (e) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet Tallet c ra spärgsmçl (d) kan vi regne os rem til ved at läse ligningen mht LÄsning: c ( ) Graen or unktionen q( ) 6 k skårer -aksen i punktet (, 0) Brug metoden ra (e), til at bestemme k Du skal selvälgelig ikke bruge pråcis samme ligning som i (e) Çvelse 7 Uden regneteknisk hjålpemiddel En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 0 Çvelse 75 Uden regneteknisk hjålpemiddel En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra gçr gennem punktet (, 9) Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul
18 Çvelse 76 Opgave F er en stamunktion til ( ) Graen or F gçr gennem punktet (, 0) Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til F( ) () c, indes en konstant c sç Da graen or F gçr gennem punktet (, 0), mç c Vi läser denne ligning mht c og Çr c, sç NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat F( ), R Çvelse 77 Opgave F er en stamunktion til ( ) Graen or F gçr gennem punktet (, ) Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til F( ) () c, indes en konstant c sç Da graen or F gçr gennem punktet (, ), mç c Vi läser denne ligning mht c og Çr c, sç NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat F( ), R Çvelse 78 En unktion er bestemt ved ( ), 0 Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 0 Çvelse 79 En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion til hvis gra gçr gennem punktet P (, 0) Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul
19 Çvelse 70 Figuren viser lommeregnerens skårm SkÅrmen viser linjen m : y og graen or unktionen ( ),5 FÇ tegnet det viste udsnit a koordinatsystemet og de to graer pç din graskårm (b) Hvis det sidste -tal i orskriten or erstattes a et stärre tal, vil graen sç rykkes til venstre, rykkes til häjre, rykkes op eller rykkes ned? Svar: (c) PrÄv at lytte graen or ved at erstatte med orskellige tal indtil du opnçr at linjen m er tangent til -graen Du kan selvälgelig ikke våre sikker pç at dit svar er helt näjagtigt (d) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet De Älgende spärgsmçl gçr ud pç at du skal regne dig rem til hvad c er or et tal hvis m er tangent til graen or unktionen ( ), 5 c (d) () (d) NÇr c, 5 er antallet a Ållespunkter or m og -gra lig (d) NÇr m er tangent til -gra, er antal Ållespunkter mellem m og -gra lig (d) Vis pç iguren hvordan -graen ligger nçr m er tangent, og markàr räringspunktet (d5) HÅldningskoeicienten or m er (d6) PÇ orhçnd ved vi at hvis vi indsåtter räringspunktets -koordinat or i, 5 udregner udtrykket, sç Çr vi og (d7) For at inde räringspunktets -koordinat läser vi ligningen mht og Çr (d8) Da räringspunktet ligger pç linjen med ligningen, er dets y-koordinat (d9) Vi bruger räringspunktets koordinater og -orskriten til at skrive ligningen c (d0) Vi läser denne ligning og Çr Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) Stamunktionerne til er unktionerne c F( ) c Bestem den stamunktion til hvis gra har Ärsteaksen som tangent Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) 8 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul
20 Çvelse 7 PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet linjen m: y og graen or unktionen g ) 6 c ( nçr c 6 og nçr c 9 Skitsàr resultatet til häjre (b) PrÄv dig rem med orskellige vårdier a c indtil du opnçr at linjen m er tangent til g-graen m er tangent nçr c (c) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet De Älgende spärgsmçl gçr ud pç at du skal regne dig rem til hvad c er or et tal hvis m er tangent til graen or unktionen g( ) 6 c (c) g () (c) NÇr c 6 er antallet a Ållespunkter or m og g-gra lig (c) NÇr m er tangent til g-gra, er antal Ållespunkter mellem m og g-gra lig (c) Vis pç iguren hvordan g-graen ligger nçr m er tangent, og markàr räringspunktet (c5) HÅldningskoeicienten or m er (c6) PÇ orhçnd ved vi at hvis vi indsåtter räringspunktets -koordinat or i 6 udregner udtrykket, sç Çr vi og (c7) For at inde räringspunktets -koordinat läser vi ligningen mht og Çr (d8) Da vi nu kender räringspunktets -koordinat og ved at det ligger pç linjen med ligningen, kan vi udregne at dets y-koordinat er (d9) Vi bruger räringspunktets koordinater og g-orskriten til at skrive ligningen c (c0) Vi läser denne ligning og Çr c Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent Çvelse 75 En unktion er bestemt ved ( ) 6 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y (b) Bestem den stamunktion G til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent som tangent Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 8 0 Karsten Juul
21 Çvelse 8 A er arealunktionen or unktionen g A() A() A(7) g Çvelse 8 A er arealunktionen or unktionen h 0 5 A() A() A () 0 5 A' () GÅt -udtryk ud ra tabel h() AlÅs pç igur h() som er lig orskriten or AlÅs pç igur h Çvelse 8 Figuren nedenor viser graen or unktionen Linjen l bevåger sig mod häjre t sekunder eter start vil l våre t enheder ra y-aksen PÇ tidspunktet 5, t skårer l -graen i punktet (b) Se pç arealet mellem -gra og -akse A(t) er den del a dette areal som ligger mellem y-akse og l A(5) (c) I tidsrummet ra t 7 til t 7, bliver arealet enheder stärre (d) I dette tidsrum er våksthastighed or arealet A(t) altsç enheder pr sekund A (7) (e) I tidsrummet ra t til t, 0 bliver arealet enheder stärre I dette tidsrum er våksthastighed or arealet A(t) altsç enheder pr sekund A () ( ) A () (g) (7) Er A ( 7) (7)? Svar: (h) Er A ( ) ()? Svar: (i) Er A ( ) ()? Svar: (j) For hvilke tal t mellem 0 og 0 er A ( t) ( t)? Svar: l Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 9 0 Karsten Juul
22 Çvelse 9 ( ), 5 A() er arealunktionen or A () Çvelse 9 g( ) 8, ân a Älgende unktioner er arealunktionen or Hvilken? p( ) 8 ln( ) 8 q( ) r( ) ln( ) Çvelse 9 Hvis A er arealunktion or ( ) ( ), 0, vil A () Çvelse 0 0 F() F er en stamunktion til ( ) d F( ) F( ) 0 (b) ( ) d Çvelse,0,5,0,5,0 F() 6, 7,8 9,0 9,9 0,,5,0 F F( ) F( ) ( ),5,5 (b) F() (c) (d) Çvelse Her skal stç en stamunktion til ( d ) (b) ( ) d (c) 0 ( e ) d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 0 Karsten Juul
23 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel ( ) d (b) 0 6e d (c) 0 ( ) d Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel 0 ( e ) d (b) d (c) 0 ( 6 ) d Çvelse 5 Uden regneteknisk hjålpemiddel 0 e d (b) 0 ( ) d Çvelse 6 Brug dit regnetekniske hjålpemiddel til at udregne Älgende to tal: 0, 9 0 () 8,5, d () d Çvelse 7 e () ln( ) d Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet 0 d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet 0 ( ) d og giv en geometrisk tolkning a resultatet Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
24 Çvelse Figuren viser graen or en unktion der har nulpunkterne og 7 Sammen med akserne agrånser graen to omrçder hvis arealer er hhv og () ( ) d ( ) d 7 () Çvelse Graregnervinduet til häjre viser graen or en unktion og en linje l der skårer graen i punkterne (, ) og (, ) Graen or agrånser sammen med linjen l den skraverede punktmångde der har arealet 6 ( ) d Çvelse Figur til häjre viser graen or en unktion hvis nulpunkter er 6 og Graen agrånser sammen med Ärsteaksen en punktmångde der har arealet 6 () Andenaksen deler denne punktmångde i to punktmångder M og M Der gålder at 0 0 ( ) d M M () 06 ( ) d Çvelse Figuren til häjre viser graen or en unktion der har nulpunktet Desuden ses to punktmångder M og M, hvor M har arealet 0 og agrånses a graen, Ärsteaksen og linjen med ligningen, og M har arealet og agrånses a graen, Ärsteaksen og linjen med ligningen 6 6 ( ) d () M 6 M () 6 ( ) d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
25 Çvelse Figuren til häjre viser graen or unktionen () ( ) Graen skårer Ärsteaksen i punkterne P (, 0), Q(, 0) og R (, 0) I Ärste og anden kvadrant agrånser graen or unktionen sammen med Ärsteaksen en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a M () Çvelse En unktion er givet ved () 7 ( ) En punktmångde M begrånses a graen, Ärsteaksen, andenaksen og linjen med ligningen (se iguren til häjre) Bestem arealet a M M () Çvelse Funktionen () er bestemt ved ( ) PÇ iguren til häjre ser vi graen or () Graen skårer Ärsteaksen i punkterne P (, 0), Q(, 0) og R (, 0) Sammen med Ärsteaksen agrånser graen i Ärste og anden kvadrant en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a denne punktmångde Çvelse Figuren til häjre viser graen or unktionen 5 ( ) Graen og Ärsteaksen agrånser en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a M () () Çvelse 5 Graen or unktionen ( ) agrånser sammen med Ärsteaksen i Ärste kvadrant en punktmångde M som har et areal PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet graen or Skitsàr graen til häjre og skravàr M (b) Bestem arealet a M Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
26 Çvelse 6 Graen or ( ) agrånser sammen med Ärsteaksen og andenaksen i anden kvadrant en punktmångde M der har et areal Skitsàr graen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 7 Graen or unktionen ( ) 9 agrånser sammen med Ärsteaksen en punktmångde M der har et areal Bestem arealet a M Çvelse 5 Graen or unktion ( ) 7 agrånser sammen med linjerne med ligningerne, og y en punktmångde M som har et areal (se igur til häjre) Bestem arealet a M () M y () Çvelse 5 () Figuren til häjre viser graen or unktionen ( ) og linjen l med ligningen y Graen og linjen skårer hinanden i punktet (, 8) Graen og linjen agrånser sammen med andenaksen en punktmångde der har et areal Bestem arealet a denne punktmångde l () Çvelse 5 Graen or ( ) agrånser sammen med linjen m med ligningen y en punktmångde M som har et areal PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet graen or og linjen m Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul
27 Çvelse 5 Graen or ( ) agrånser sammen med linjen med ligningen y en punktmångde M som har et areal Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 55 En unktion () er bestemt ved ( ) En ret linje l skårer graen or () i punkterne S (, 9) og S (, ) Graen or () agrånser sammen med linjen l en punktmångde M som har et areal Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 56 Graen or unktionen ( ) agrånser sammen med linjen med ligningen y et omrçde der har et areal Bestem arealet Çvelse 57 Graen or unktionen med orskriten ( ) e agrånser sammen med linjerne med ligninger y, 0 og et omrçde der har et areal Bestem dette areal Çvelse 58 Graen or unktionen med orskriten ( ) agrånser sammen med linjerne med ligninger y og et omrçde der har et areal Bestem arealet Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul
28 Çvelse 6 De to igurer viser begge graen or unktionen 5 ( ) I Ärste kvadrant ligger en punktmångde M som har et areal M agrånses a graen or, koordinatsystemets akser og linjen med ligningen k, hvor k 0 I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du tegne linjen med ligningen k nçr k (b) I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångde M nçr k (c) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångde M nçr k, 5 (d) Bestem arealet a M nçr k, 56 (e) Bestem k sç arealet a M er,07 ( ) Vi kan bestemme k sç arealet a M er ved at läse Älgende ligning: ( ) Bestem k sç arealet a M er Çvelse 6 En unktion er givet ved ( ) hvor k 0 k Vi ser pç omrçdet mellem -graen og -aksen M er den del a dette omrçde som ligger mellem linjerne med ligningerne og I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere omrçdet M nçr k 5 (Tegn Ärst gra og linjer) (b) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångden M nçr k 0, (c) Bestem arealet a M nçr k 0, (d) Vi kan bestemme k sç arealet a M er, ved at läse Älgende ligning (e) Bestem k sç arealet a M er, Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul
29 Çvelse 6 En unktion er givet ved ( ) k hvor k 0 I Ärste og anden kvadrant agrånser graen or og -aksen en punktmångde M der har et areal Ligningen k 0 har läsningerne og (b) Graen or skårer -aksen i to punkter Disses -koordinater er og (c) I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere M nçr k (d) Bestem arealet a M nçr k (e) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere M nçr k ( ) Vi kan bestemme k sç arealet a M er 5 ved at läse ligningen (g) Bestem k sç arealet a M er 5 Çvelse 6 To unktioner og g er givet ved ( ) og g ( ) k, hvor k 0 5 Linjen l har ligningen Graerne or og g agrånser sammen l en punktmångde M der har et areal I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du tegne graerne or og g nçr k 0, 5 Desuden skal du tegne linjen l og skravere M (b) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du tegne og skravere M nçr k 0, 5 (c) Bestem arealet a M nçr k 0, 5 (d) Bestem k sç arealet a M er, 5 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul
30 Stikordsregister A areal mellem gra og -akse 0 areal mellem to graer arealunktion 6, 7 B bestemt integral7 bestemt integral pç Nspire8 bestemt integral uden hjålpemidler 8 I integral, 7 integral og areal7 integral pç Nspire, 8 integral, arealer givet9 integral, ortolke8 integrand, 7 integrere K kvadrant0 S stamunktion, 7 stamunktion pç Nspire stamunktion til ()+g() stamunktion til () g() stamunktion til k () stamunktion til àn delt med stamunktion til e stamunktion til konstant stamunktion til potensunktion stamunktion, grapunkt givet5 stamunktion, symbol or stamunktion, tangent givet5 U ubestemt integral, 7 ubestemt integral pç Nspire
Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereProjekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion
ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereIntegralregning ( 23-27)
Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereKap 5 - beviser - matematikb2011
Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereDifferentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul
Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs meresammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereVektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul
Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er
Læs mereDifferentialregning. for stx og hf Karsten Juul
Dierentialregning r st g h t s 09 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g røringspunkt Funktinsværdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' når er tiden 5 Frtlkning a ' når ikke er
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereDifferential- regning for gymnasiet og hf
Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereNogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul
Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematik B. Anders Jørgensen
Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereTrekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul
Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i hf Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i h t s 0 Karsten Juul . Tangent g räringspunkt.... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient.... AlÅs tallet r pç igur... 4. AlÅs tallet ' r pç igur.... 5. AlÅs läsninger til =t pç
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereMatematik & Statistik
Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle
Læs mereLommeregnerkursus 2008
Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereFacitliste opgaver 9. f er aftagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] (0,0) Kernestof 2 ISBN Opg a. b. c.
Website: Facitlister til opgaver i Facitliste opgaver 9 Opg. 901 c. = 3 ( x) 4x x x = 0,7 og x = 0,7 er atagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] er voksende i intervallerne [-0,7 ; 0] og [0,7 ;
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereDernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift.
IT Inden du starter med at tegne funktionerne ind i Graph er det en god ide, at indstille akserne til behovet. Det gør man ved at gå op i værktøjslinjen hvor man finder det ikon som her er markeret med
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014
Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereGUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB
GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: OKTOBER 07 Michel Mandi (07) Side a 5 Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... ASYMPTOTER... 3 VANDRETTE ASYMPTOTER:...
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2012
Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion
Læs mere