Kap 5 - beviser - matematikb2011

Transkript

1 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr Dierentiation a e Bevis nr Dierentiation a e Bevis nr Dierentiation a! Bevis nr Dierentiation a! Bevis nr.... Dierentiation a! Bevis nr Logaritmeregneregler... 4 loga*b loga + logb... 4 a log loga- logb... 4 b loga *loga... 4 Dierentiation a produktunktion... 5 Dierentiation a brøk - ej kernesto... 7 Dierentialkvotient or brøk... 7 Systime mat B Side

2 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a ln Bevis nr. At bevise: ln så er er Introduktion ørst! Vi ser på de graiske billeder a den eksponentielle unktion og den naturlige logaritme unktion, da disse er spejlinger a hinanden i linjen y. Det betyder som bekendt også, at de er hinandens omvendte unktioner, Beviset bygger netop også på, at e og ln er hinandens omvendte unktioner. Vi ved at betyder tangentens hældning i punktet, En tangent er jo en almindelig ret linje, der deror også har den rette linjes orskrit, hvor ' a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte unktion til den vilkårlige rette line! Givet y a+b - b a - a - a b - a - a b Vi bestemmer orskriten or den omvendte unktion, på helt traditionel vis: Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal vi trække ra. Før skulle vi gange med a. Nu skal vi dividere med a Hvis en lerleddet størrelse har ællesnævner, må vi godt dele op i to led Det er hældningen or den omvendte unktion, vi er interesseret i at å noget at vide om. Deror vil vi gerne have den omvendte unktion til at står som orskriten or en ret linje, så vi kan alæse hældningen. Her kan vi altså se, at hældningen er a Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen, så vil den omvendte unktion have hældningen ½. Vi ved at e dierentieret giver e. Vi har altså ved e en unktion, der giver sig selv, når den dierentieres. Systime mat B Side

3 Kap 5 - beviser - matematikb0 Hvis ln er den omvendte unktion til e kan vi jo se på et konkret eksempel. På e er der givet.eks. lg. punkt.,e, da,, e,e Dierentialkvotienten i,e er e, da e e og dermed også hvis er Vi ved, at på den omvendte unktion, bytter koordinaterne plads! Det betyder, e, ln Fra ør ved vi så, at hældningen her må være e Så selve beviset! På ln-unktionen, vælger vi et punkt,y, det vil altså også sige, ln Vi ser på punktet på den omvendte unktion, som y, y,e y vi kalder y, e y. Her ved vi, at tangenthældningen i punktet y,e y er e y Hermed ved vi j. y a+b at tangenthældningen i,ln Vi ved da: y e ln e y e da y ln Altså har vi bevist: ln så er Q.E.D. Systime mat B Side 3

4 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a ln Bevis nr.. Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: lne e ln. Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or ln er enkelt at vise: ln Vi ved: ln ln e ln e ln Vi sætter ln sammen med den omvendte unktion nemlig e Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstre siden e ln Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver e ln *ln *ln ln Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved, e e. Den ydre unktion er e og den indre unktion g ln. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Dereter ganger vi dierentialkvotienten på den indre sammen hermed. Den indre dierentieret er ln da vi ved, e ln, står der nu på venstresiden: *ln Vi ganger nu med på venstresiden. Det modsatte a gange er at dividere. Dermed når vi rem til, at dierentialkvotienten or ln netop er Systime mat B Side 4

5 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a e Bevis nr. Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: lne e ln Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or e er enkelt. At vise: e e Vi ved: e e Vi sætter unktionen e sammen med den omvendte unktion nemlig ln lne lne lne Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstre siden Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver e * e ' Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved, ln Den ydre unktion er ln og den indre unktion g e. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Hereter ganger vi med dierentialkvotienten or den indre altså med e e *e e Vi dividerer med e på venstresiden. Det modsatte er at gange hermed. Dermed når vi rem til, dierentialkvotienten or e netop er e Systime mat B Side 5

6 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a e Bevis nr. Det, der skal redegøres or, er: e så er e. Eksponentialunktionen e, giver altså sig selv, når den skal dierentieres. Beviset tager udgangspunkt i den almindelige deinition på og så ellers en masse regnetektik! Vi ved, at deinitionen or dierentialkvotienten or alle unktioner er: + Δ lim Δ Δ -> 0 Dierenskvotienten hældningskvotienten or en linje ser næsten ligesådan ud; men der er da ikke tale om en tangenthældning i punktet,; men i stedet tale om hældningen or en lineær unktion gennem to vilkårlige punkter på graen. Det er lettest at regne på dierenskvotienten, da man så ikke skal huske kravene om Δ -> 0 og lim. Man kan uden videre regne på hældningen gennem to vilkårlige punkter, og når udtrykket så ser "pænt" ud, kan man vurdere, hvad det betyder, når vi i stedet ser på dierentialkvotienten. a + Δ Δ Dierenskvotienten hældningen a er da givet ved: Vi vælger nu et vilkårligt punkt på unktionen e, der kaldes,e. Ved siden a dette vælges et andet punkt, der som sædvanlig har ørstekoordinaten + Δ. Dette punkt hedder deror + Δ, + Δ + Δ, e + Δ Hældningen a dierenskvotienten kan vi således inde på ganske normal vis, som når vi bestemmer a or en ret linje y a+b gennem to punkter. a Δy Δ a e + Δ - e Det er den ormel vi kender ra ørste år! Her kan y og erstattes med punkterne på unktionen, j. ovenor Δ Hvis vi nu ser på ørste led, har vi en potens med eksponenten + Δ. Dette kan vi ændre på, da vi ved, at dette så kan skrives om. Der gælder nemlig ølgende: a +4 a *a 4. Man ganger nemlig to potenser med samme rod med hinanden, ved at beholde roden og lægge eksponenterne sammen. Systime mat B Side 6

7 Kap 5 - beviser - matematikb0 a e * e Δ - e Δ a e e Δ - Δ a e Δ e Δ Over brøkstregen står der nu to led med minus imellem. I begge led står der e. Vi ved, at ab - ac også kan skrives som ab-c, idet vi kan sætte a uden or en parentes. Her er det altså e, der kan sættes uden or parentesen. Vi ved nemlig, at e * e Δ - e e e Δ - Hvis der står et led uden or en parentes på en brøkstreg, kan dette led lyttes helt væk ra brøkstregen. Vi ved nemlig at man kan skrive 3* 3* 5 5 Her kan vi altså rykke e væk ra brøkstegen. Som bekendt, er det dierenskvotienten der står ovenor. Det der interesserer os er, hvad der sker, når dierenskvotienten bliver til dierentialkvotienten. Altså hvad tangentens hældning bliver i punktet,e. Altså, hvad sker der, når Δ -> 0 Vi ser på sidste del i udtrykket or dierenskvotienten. Altså størrelsen Δ e Δ Vi kan regne lidt på udtrykket or orskellige værdier a Δ : Δ ½ 0, 0,0 0,00 Δ e ** e-,7 e ½ -,3 e 0, -,05 e 0,0 -,005 e 0,00 -,0005 ½ 0, 0,0 0,00 Δ Vi ser altså, at hvis Δ -> 0, så går Δ e mod. Δ Vi kan deror konkludere: e lim e Δ e * Δ e * lim Δ e Δ e * e Δ -> 0 Δ -> 0 Systime mat B Side 7

8 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. Det, der skal bevises, er: så er er Vi ser på de graiske billeder a kvadratrodsunktionen og andengradsunktionen, da disse er spejlinger a hinanden i linjen y. Det betyder som bekendt også, at omvendte unktioner og er hinandens y,y,y,y, Vi ved at betyder tangentens hældning i punktet,. En tangent er jo en almindelig ret linje, der deror også har den rette linjes orskrit, hvor ' a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte unktion til den vilkårlige rette line! Givet y a+b - - a - a b b a Vi bestemmer orskriten or den omvendte unktion, på helt traditionel vis: Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal trækkes ra. Før skulle vi gange med a. Nu skal vi dividere med a Hvis en lerleddet størrelse har ællesnævner, må vi godt dele op i to led Systime mat B Side 8

9 Kap 5 - beviser - matematikb0 - a - a b Det er hældningen or den omvendte unktion, vi er interesseret i at å noget at vide om. Deror vil vi gerne have den omvendte unktion til at står som orskriten or en ret linje, så vi kan alæse hældningen. Her kan vi altså se, at hældningen er a Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen, så vil den omvendte unktion have hældningen ½. Vi ved også, at dierentieret giver Så selve beviset! På -unktionen, vælger vi et punkt,y, det vil altså også sige, På unktionen, ligger det omvendte punkt, y, y,y Vi ved, at tangentens hældning i dette punkt, kan bestemmes som dierentialkoeicienten i punktet. y y På kvadratrodsunktionen andt vi punktet,y,. Tangentens hældning i dette punkt må være j. det vi udledte om hældningen or den omvendte unktion til en ret linje omvendte _ hældning y da y Systime mat B Side 9

10 Kap 5 - beviser - matematikb0 y,y,y Hældning ay Hældning a y,y, Altså har vi bevist: så er er Systime mat B Side 0

11 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. Vi ønsker at bevise, at dierentialkvotienten or er : Der indes en række potensregneregler, som kan være relevante i denne sammenhæng. Multiplikation med potenser: a a a + Ganger man samme tal, med en orskellig potens, så vil det være svarende til samme tal opløtet i potens + potens. F.eks.: Division med potenser: a a a Dividerer man samme tal, med en orskellig potens, så vil det være svarende til samme tal opløtet i potens - potens. F.eks.: Det kan til dette bevis være relevant at vide, at hvis man har et divisions stykke med en større tæller end nævner, så gælder: 5 7 Vi kan nu opstille beviset or dierentialkvotienten or Funktionen lyder: Dierentialkvotienten hedder: ʹ Hvoror? Vi ved, at vi også kan skrive således: Da vi nu ved dette, kan vi dierentiere unktionen, som vi dierentierer alle andre unktioner: ʹ Vi sætter potensen ned oran, og subtraherer minusser potensen med! Systime mat B Side

12 Kap 5 - beviser - matematikb0 Systime mat B Side Dette kan vi også skrive således: ʹ ʹ Vi omskriver : Vi kan nu regne videre på udtrykket: Da vi ra tidligere ved, at kan skrives som, kan vi nu regne videre: ʹ ʹ Vi har nu omdannet udtrykket, og kan igen regne videre på det: ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

13 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. 3 Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or e, ln og er enkelt. At vise: Vi ved: Vi sætter kvadratrodsunktionen sammen med den omvendte unktion nemlig Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstresiden Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver * Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved,. Den ydre unktion er og den indre unktion g. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Hereter ganger vi med den indre dierentieret altså med Vi ganger med på venstresiden. Det modsatte er at dividere hermed. Dermed når vi rem til, at dierentialkvotienten or netop er Systime mat B Side 3

14 Kap 5 - beviser - matematikb0 Logaritmeregneregler For alle logaritmeunktionerne gælder der ølgende: Logaritmen 0 Logaritmen til grundtallet g Samtidig ved vi også, at de omvendte unktioner til logaritmeunktionerne er eksponentielle Funktioner, hvor grundtallet g opløtes i te. Vi arbejder normalt med to logaritmeunktioner den naturlige og 0-talslogaritmen For disse gælder altså: log ln Grundtallet 0 e Logaritmen 0 log 0 ln 0 Logaritmen til grundtallet log0 lne Omvendt unktion log0 0 log lne e ln For unktionerne gælder ølgende regneregler log ln. Produkt loga*b loga + logb lna*b lna + lnb. Brøk a log loga-logb b a ln b lna-lnb 3. Potens loga *loga lna *lna Regnereglerne kan udledes ud ra de tre sætninger, der gælder or logaritmeunktionerne. Beviserne kan udledes på lere orskellige måder, men her er et! loga*b loga + logb loga*b log0 loga *0 logb log0 loga+logb log a + log b Vi benytter at a 0 loga og b 0 logb Vi benytter potensreglen: a p *a n a n+p Vi anvender at log0, hvor vi sætter loga+logb a log loga- logb b Dette kan bevises på præcis samme måde som ovenor, hvor det blot er reglen or divison a potenser, der anvendes! loga:b Vi benytter at a 0 loga og b 0 logb log0 loga :0 logb Vi benytter potensreglen: a p :a n a n-p log0 loga- logb Vi anvender at log0, hvor vi sætter loga-logb log a - log b loga *loga loga log0 loga log0 loga loga Vi benytter a 0 loga Vi benytter potensreglen: 0 n p 0 np Vi benytter; log0 p p Systime mat B Side 4

15 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a produktunktion At bevise: h g h' g'+ ' g Vi ved, at dierenskvotienten hældningen igennem vilkårlige punkter på graen A, og Δ y + Δ B+,+ er bestemt som a Δ Δ Dierenskvotienten bliver til tangenthældningen dvs. dierentialkvotienten når Δ -> 0. Tangenthældning i punktet, lim ' +Δ- Δ 0 Δ Dette skal benyttes, når vi udleder ormlen or, hvordan man dierentierer produktunktioner! Vi ser på h: g a h+δ - h Δ g+δ - *g Δ +Δ g+δ- g Δ Man bestemmer dierenskvotienten ud ra den kendte ormel: Det er dette udtryk, vi tager at på og regner videre på. h er givet som g g Det betyder, vi kan erstatte h med g Vi kan nu gange ind i parenteserne Nu kommer tricket, det man skal huske, det ulogiske osv. PAS PÅ!! Tricket er at sætte noget ind det med rødt og bageter jerne det igen det med grønt, or så giver det jo 0. Vi trækker +Δ g ra og lægger det samme til! +Δ g+δ-+δ g++δ g - g Δ Vi opdeler brøken i. Hvis vi beholder samme nævner, er det ok Δ g+δ-+δ g + +Δ g- g Δ Δ Systime mat B Side 5

16 Kap 5 - beviser - matematikb0 +Δ g+δ-+δ g + +Δ g- g Δ Δ Så sætter vi det, der er ælles i de to led, uden or en parentes remhævet Rød I ørste led er det +Δ. I andet led er det g +Δ g+δ-g + +Δ- g Δ Δ Nu har vi lyttet disse led uden or brøkstregen Alt i alt er vi nu nået rem til: Hældningen a, altså dierenskvotienten a +Δ g+δ-g + +Δ- g Når de to punkter alder næsten sammen, bliver dierenskvotienten til tangentens hældning og dermed dierentialkvotienten Hvis vi lader dette ske i ovennævnte udtryk når vi rem til: h'lim +Δ lim g+δ-g+ lim +Δ- g Δ 0 Δ 0 Δ Δ 0 Δ h g + g Når Δ 0 har vi jo: + Δ->, da + Δ, dermed går mod + 0 dvs.. Det betyder, vi kan erstatte ørste led +Δ med. Vi har deror: Systime mat B Side 6

17 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a brøk - ej kernesto Dierentialkvotient or brøk Beviset or dierentialkvotienten or en brøkunktion kræver, man husker udenad, hvordan man kommer ra et udtryk til andet. Til eksamen, kan man evt. skrive stikord op, så man hurtigt kan komme i tanke om, hvad man skal. F.eks.:. Fællesnævner.. Fælles brøkstreg. 3. Dividere brøk med tal lyt op 4. Kanin trækkes ind: -gh + gh 0 etc. Vi skal bevise ølgende:!! h!! så er h!!"!!!!!!!"!!!! Vi ved:!!!!!!!!!!!!!!!!!!! lim! samt g! lim! og h! lim! Vi skal altså bevise:!!! Hvis h!! så er h!"#!!!!!!!!!!!!!"#!!!!!!!!!! Vi ser ørst på dierenskvotienten hældningen gennem vilkårlige punkter A, h og B +,h+ på unktionen h.!! Hældningen a kan som bekendt bestemmes som a!!. a.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi erstatter h med brøkudtrykket Vi skaer nu ællesnævner FN g g+δ. led ganges med g i tæller og nævner. led ganges med g+δ i tæller og nævner Når vi har ællesnævner kan vi sætte det. på ælles brøkstreg En brøk divideres med et tal således:!!!!!!!!!!!!! :c!!!!!! deror kan Δ lyttes op til g+δ g!!!!! I orhold til det, vi skal nå rem til, så mangler der - i. led Vi lægger også ganget med g til or at kunne lytte g udenor en parentes Systime mat B Side 7

18 Kap 5 - beviser - matematikb0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Når vi lægger noget til, skal vi trække det samme ra på den anden side. leddet Vi trækker altså g ra og lægger det også til Vi har deror nu:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi lytter dereter g udenor en parentes i.led og vi lytter udenor i.led. Der ændres ortegn i sidste led -g, da vi har en minusparentes!!!!! Δ lyttes op i begge led, idet der divideres i begge led. Vi splitter brøken op i to.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi ser nu ikke længere på dierenskvotienten men dierentialkvotienten tangentens hældning, idet vi lader Δ 0 punkterne alder sammen!"!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!! Δ alder væk, da det jo gå mod nul. g g g!"!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!!! h!! så er h!!"!!!!!!!"! Så alt i alt har vi nu:!!! Systime mat B Side 8