Integralregning. 1. del Karsten Juul. M l

Transkript

1 Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul

2 Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral Kontrol a ubestemt integral Bestemme stamunktion5 Oversigt over stamunktioner 5 6 Regneregler or stamunktioner7 Bestemme stamunktion på TI-89's hovedskärm8 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion 9 6 Kontrol på TI-89 a resultat ra ramme Stamunktion og areal Arealunktion Deinition og sätning Bestemme areal med stamunktion Bestemt integral 5 Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning5 Beregne bestemt integral 6 5 Udregne bestemt integral på TI-89's hovedskärm 7 7 Besvare opgave med ortolkning a integral7 Bestemme integral ud ra arealer8 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst 5 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst 6 Nyere häter mm: Klik pä sidste del a linket! /- /9- /5- 7/-7 Integralregning del, udgave 6, Ç 6 Karsten Juul Dette häte kan downloades ra wwwmatdk HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk som oplyser at dette häte benyttes (skriv ilnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

3 Stamunktion Åvelse Bestem ved aläsning på igur a: () g() og () () g() og () OplÇg om stamunktion Figur a viser graerne or unktionerne () og g () Da l 's häldningskoeicient er, er g ( ) Da P 's andenkoordinat er, er NÅr ( ) gälder altså (* ) g ( ) ( ) Hvis man oretager tilsvarende aläsninger or en anden värdi a, vil man inde at (*) også gälder or denne värdi a Figur a Åvelse (a) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er (b) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er Integralregning Side 6 Karsten Juul

4 Deinition a stamunktion (b) Deinition At F() er en stamunktion til () betyder et F ( ) ( ) Eksempel Dierentialkvotienten a er dierentialkvotienten a 5 både og 5 er, og er stamunktioner til, så 5 Åvelse Figur c viser graerne or ire unktioner Det oplyses at enhver a unktionerne, g og h er stamunktion til en a unktionerne, g, h og p AgÉr or hver a unktionerne, g og h hvilken unktion den er stamunktion til () () () () g h p () () () Figur c () 6 Kontrol a stamunktion 6 Vi vil undersége om g( ) ( ) er en stamunktion til IÉlge deinition (b) skal vi bestemme dierentialkvotienten a g() resultatet er lig () : ( ) og se om g ( ) ( ) ( 6 6 ) 6 Ved at gange 6 ind i parentesen ses at dette er lig (), så g() er en stamunktion til () 6 Integralregning Side 6 Karsten Juul

5 7 Åvelse Brug metoden ra ramme 6 til at besvare Élgende tre spérgsmål: (a) UndersÉg om g( ) e er en stamunktion til ( ) e (b) UndersÉg om g ( ) er en stamunktion til ( ) (c) GÉr rede or at g( ) ln er en stamunktion til ( ) 8 Åvelse GÄt en stamunktion til hver a Élgende unktioner, og brug metoden ra ramme 6 til at kontrollere om du har gättet rigtigt: ( ), g( ) og n h( ) 9 SÇtning om stamunktionerne til en unktion (c) SÇtning Lad F() og () väre unktioner hvis deinitionsmängde er et interval I Hvis F() er en stamunktion til () gälder or enhver konstant k at F( ) k er en stamunktion til () og () har ikke andre stamunktioner end disse q p n m SÇtning (c) kan ogsä ormuleres sädan: Graerne or stamunktionerne til en unktion er de graer der kan Ås ved lodret orskydning a Ñn a stamunktionernes graer PÅ igur d er vist graerne or nogle a stamunktionerne til unktionen ( ) Figur d Åvelse Lad m, n, p og q väre unktionerne ra ramme 9 Bestem uden at regne tallene 7 n m (), n( ) m(), n( 8) m(8) og p( ) ( ) 7 Integralregning Side 6 Karsten Juul

6 Deinition a ubestemt integral (e) Deinition a ubestemt integral Stamunktionerne til en unktion () ( ) d betegnes og kaldes det ubestemte integral a () Funktionen der står mellem det lange s og d kaldes integranden Eksempler d d k ln k, Åvelse (uden hjälpemidler) Brug metoden ra ramme 6 og sätning (c) til at gére rede or at ( ) d k Kontrol a ubestemt integral Vi vil undersége om (* ) ( ) d k IÉlge metoden ra ramme 6 og sätning (c) gälder (*) hvis dierentialkvotienten a héjresiden er lig integranden A reglerne or at bestemme dierentialkvotient Ås at héjresidens dierentialkvotient er SÄttes heri uden or en parentes Ås integranden, så (*) gälder Åvelse Brug metoden ra ramme til at kontrollere om ( ) d ln k, Integralregning Side 6 Karsten Juul

7 Bestemme stamunktion Åvelse (a) (b) Bestem dierentialkvotienten a e og a, e, I (a) har du vist at de to givne unktioner er stamunktioner til to andre unktioner (se deinition b) Ud ra dette skal du gätte og ormulere en regel til at bestemme stamunktioner til en bestemt type unktioner Oversigt over stamunktioner I skemaet er k og c konstanter Funktion Stamunktionerne c k k c c, ln c, ln( ) c c c a a a c a a lna c e e c k e k e k c ln ln c cos sin sin c cos c Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

8 Åvelse Omskriv til ormen at bestemme stamunktionerne til angivet i ramme a Brug så reglen or stamunktion til a (se ramme ) til, og vis at de kan skrives på den orm som er Åvelse GÉr rede or hvordan reglerne i ramme kan bruges til at bestemme stamunktionerne til Élgende tre unktioner: ( ), g( ) e og h( ) e 5 Åvelse (a) Som bekendt gälder at og at er en stamunktion til er en stamunktion til (b) ReducÑr, og brug metoden ra 6 til at gére rede or at der gälder (c) (d) er IKKE en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or? om er en stamunktion til? (e) Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til? Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

9 6 Regneregler or stamunktioner SÇtning Hvis () og g() har stamunktionerne F() og G (), så gälder: (a) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (b) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (c) k () har stamunktionen k F() Advarsel: Hvis man i (a) erstatter plus med gange eller med dividere, så Ås en regel der i de leste tilälde vil give et orkert resultat Eksempel så a (a) Ås at A (b) og (c) Ås: og e e har stamunktionerne har stamunktionen 6 e har stamunktionen og e e, e e 6 7 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () (5) e () e 9 e (6) () (7) 8 () (8) (b) Brug reglerne i og 6 til at inde alle stamunktionerne til unktionen ( ), 8 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () e () e () e Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

10 9 Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 ) d (b) Bestem (e ) d (c) Bestem d, Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 e (b) Bestem e ) ) d ( d, (c) Bestem ( ) d Bestemme stamunktion pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten F kan en stamunktion til e bestemmes ved at taste som vist pä igur d BemÅrk at man eter orskriten skal taste et komma eterulgt a den uahångige variabel PÅ igur d er bestemt Ñn a stamunktionerne til e Det ses at stamunktionerne til Dette kan også skrives sådan: e d ( ) e k e er ) e k ( Figur d Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 9 (b) Bestem stamunktionerne til ln Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

11 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion Opgave (Punkt på stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra går gennem punktet (, 6) Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Da graen or F går gennem punktet (, 6), må ( ) så k ( ) k, dvs 6 F( ) med alle reelle tal som deinitionsmängde Opgave (Tangent til stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Tangenten med ligningen y 5 har häldningskoeicienten a FÉrstekoordinaten til réringspunktet or tangenten bestemmes: F ( ) a Da réringspunktet ligger på linjen med ligningen y 5, er dets andenkoordinat y 5 ( ) 5 6 Da réringspunktet ligger på graen or F, kender vi nu et punkt på graen or F, så vi kan bestemme F ved hjälp a metoden ra opgave Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

12 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 5 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) 8 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y tangent som 6 Kontrol pä TI-89 a resultat ra ramme I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra går gennem (, 6) Vi År tegnet graen or F på lommeregneren og anbringer markéren i grapunktet med Érstekoordinat som vist på igur e Det ses at punktets andenkoordinat er 6, som det skulle väre Man Är anbragt markçren i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Value og taste - ENTER I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent PÅ lommeregneren tegner vi Érst graen or F Da Érstekoordinaten til tangentens réringspunkt viste sig at väre, År vi tegnet tangenten i grapunktet med Érstekoordinat Som vist på igur ses at tangentens ligning er y 5, som den skulle väre Man Är tangenten i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Tangent og taste - ENTER Figur e Figur Integralregning Side 6 Karsten Juul

13 7 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 6 (b) KontrollÑr dine resultater i Évelserne og 5 på den måde som er beskrevet i ramme 6 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra går gennem punktet (, 9) 9 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen tangent y som Integralregning Side 6 Karsten Juul

14 Stamunktion og areal Åvelse () A() 9 Figur a () PÅ igur a vokser det skraverede areal A() når värdien a Éges ved at träkke - punktet mod héjre (a) Hvad er A() når er 8, og når er? (b) Hvor meget Éges A() når Éges ra 8 til, og hvilken väksthastighed (arealenheder A() Éges med pr enhed Éges) svarer dette til? (c) Bestem väksthastigheden i hvert a intervallerne [ 8,5 ; 9,5 ] og [ 8,9 ; 9, ] (d) GÄt väksthastigheden A() i 9 (e) Hvad er (9)? () GÄt väksthastigheden A (8) (g) Hvad er (8)? (h) Er A() voksende, og er A() voksende? (i) Tegn graen or en unktion g() i intervallet [ ; 8] hvor den tilhérende arealunktion A() opylder Élgende: () A ( ) () A() er voksende Integralregning Side 6 Karsten Juul

15 Arealunktion Deinition og sätning () 9 () Lad A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ ; ] på Érsteaksen A() kaldes arealunktionen (Hvis graen var tegnet i et interval der startede i 5, så ville A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ 5; ]) Den skraverede strimmel ved 9 har ca samme areal som et rektangel med grundlinje og héjde (9), så omkring 9 vokser arealet A() med en hastighed på ca (9) enheder pr -enhed: Med symboler kan dette skrives Vi vil senere bevise Élgende sätning: (väksthastigheden or A() i 9) (9) A ( 9) (9) (b) SÇtning om arealunktion Om arealunktionen A() or en unktion () A ( ) ( ) gälder: Integralregning Side 6 Karsten Juul

16 Bestemme areal med stamunktion (c) SÇtning om areal og stamunktion Hvis ( ) or alle i [ a; b] og F() er en stamunktion til (), () så kan arealet S mellem aksen og graen i intervallet [ a ; b] (se igur d) beregnes sådan: S F( b) F( a) a S Figur d b () Bevis or (c) Lad A() väre arealunktionen or () Da A() og F() (* ) A( ) F( ) k Nu Ås S A(b) er stamunktion til samme unktion, indes en konstant k så A( b) A( a) Da A ( a) F b) k F( a k ( ) IÉlge (*) F( b) F( a) Hermed er sätning (c) bevist IÉlge deinitionen på arealunktion Åvelse Figur e viser graen or unktionen ( ), (a) Bestem en stamunktion til () (b) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or () og Érsteaksen (c) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or g( ) og Érsteaksen () Figur e () Integralregning Side 6 Karsten Juul

17 Bestemt integral Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning (a) Deinition a bestemt integral Antag at () er deineret i [ a; b] og har stamunktionen F () Tallet kaldes F( b) F( a) integralet ra a til b a () og betegnes med symbolet b a ( ) d () kaldes integranden BEMÖRK: Det er ikke krävet at ( ) (b) SÇtning om areal og bestemt integral Hvis () så gälder har en stamunktion og ( ) or alle i [ a; b] b a (* ) ( ) d arealet a M hvor M er området mellem Érsteaksen og -graen i intervallet [ a ; b] (se igur c) a () M Figur c b () Bevis or sätning (b) Da og areal a M F( b) F( a) b a ( ) d F( b) F( a) iélge sätning (c) iélge deinition (a) må (*) gälde da de to tal der påstås at väre ens, begge er lig F( b) F( a) Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

18 Beregne bestemt integral Bestemme integral ved hjçlp a deinitionen ( ) d F( b) F( a) Vi vil beregne tallet (* ) ( 6 5) d Da integranden har stamunktionen 5 Ås a deinitionen på bestemt integral at (*) er 5 ( ) 5 ( ) 5 b a b Skrive ovenstäende ved hjçlp a symbolet [ F( )] a F( b) F( a) OvenstÅende kan skrives mere overskueligt ved at bruge symbolet F ( ) som betegner dierensen F( b) F( a) SÅ kan udregningen skrives sådan: (6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 Man kan evt indéje to linjeskit i ovenstående ormellinje så den kommer til at se sådan ud: ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 b a Åvelse Brug metoden ra ramme til at bestemme Élgende tal: () ( ) d () 6e d () ( ) d Åvelse (uden hjälpemidler) Bestem Élgende tre tal: () ( e ) d () ( 6 ) d () d Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

19 5 Udregne bestemt integral pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten PÅ igur d er vist hvordan man kan taste or at Å bestemt tallet e d Det ses at dette tal er e Figur d 6 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 5 (b) Bestem tallet e ln( ) d 7 Besvare opgave med ortolkning a integral Opgave Bestem integralet Besvarelse ) ( d ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ( ) ( ) 7 6 PÅ iguren er skitseret graen or unktionen ( ) Da ( ) or alle tal i [, ], gälder: Resultatet 6 7 er lig arealet a det skraverede område () () Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

20 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet 9 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet Bestemme integral ud ra arealer Opgave PÅ igur e ses graen or en unktion der har nulpunkter 6, og () Sammen med aksen agränser graen en punktmängde M der har arealet 7 Sammen med aksen og aksen agränser graen i kvadrant en punktmängde M som har arealet 6 Bestem 6 ( ) d M 6 M Figur e () Besvarelse Da ( ) or alle tal i [ 6; ], gälder 6 ( ) d er lig arealet mellem aksen og graen i [ 6; ] Dette areal er summen a arealerne a M og M, dvs så ( ) d Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

21 Åvelse PÅ igur ses graen or en unktion der har nulpunkterne og 7 Sammen med akserne agränser graen to områder hvis arealer er hhv og () Bestem 7 ( ) d og 7 ( ) d 7 Figur () Åvelse Graregnervinduet på igur g viser graen or en unktion og en linje l der skärer graen i punkterne (, ) og (, ) Graen or agränser sammen med linjen l den skraverede punktmängde der har arealet 6 Bestem ( ) d Figur g Åvelse Figur h viser graen or en unktion hvis nulpunkter er 6 og Graen agränser sammen med Érsteaksen en punktmängde der har arealet 6 () Andenaksen deler denne punktmängde i to punktmängder M og M Det oplyses at Bestem 6 ( ) d ( ) d M Figur h M () Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

22 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst Opgave PÅ igur 5a ses graen or unktionen () ( ) Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) I Érste og anden kvadrant agränser graen or unktionen sammen med Érsteaksen en punktmängde M som har et areal () Bestem arealet a M Figur 5a Besvarelse Man skal inde arealet a området M mellem Érsteaksen og graen or i intervallet [ ;] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet lig d 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er givet ved 7 ( ) En punktmängde M begränses a graen, Érsteaksen, andenaksen og linjen med ligningen (se igur 5b) Bestem arealet a M () M () Figur 5b Integralregning Side 6 Karsten Juul

23 5 Åvelse (Uden hjälpemidler) Funktionen () er bestemt ved ( ) PÅ igur 5c ses graen or () Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) Sammen med Érsteaksen agränser graen i Érste og anden kvadrant en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5c 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst Opgave PÅ igur 5d er vist graen or unktionen ( ) En punktmängde M er på iguren angivet som et prikket område der begränses a graen, Érsteaksen og linjen med ligningen Bestem arealet a M () () Besvarelse Da ligningen ( ) har lésningerne og, er Érstekoordinat til det venstre a graens skäringspunkter med Érsteaksen Figur 5d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Da ( ) or alle i [ ; ], er arealet a M lig ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Integralregning Side 6 Karsten Juul

24 55 Åvelse Figur 5e viser graen or unktionen 5 ( ) Graen og Érsteaksen agränser en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Figur 5e () () 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or unktionen ( ) en punktmängde som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde agränser sammen med aksen i Érste kvadrant Besvarelse Skitse a lommeregnerens gravindue: () () Figur 5 Da orskriten er et gradspolynomium kan graen ikke have lere sving end de viste, så det er det prikkede område vi skal inde arealet a For at bestemme néjagtigt hvor graen skärer Érsteaksen, léser vi ligningen ( ) LÉsningerne er, og Vi skal altså inde arealet a området mellem Érsteaksen og graen i [ ; ] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet ( ) d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt PunktmÄngden der agränses a aksen og graen i Érste kvadrant har arealet Integralregning Side 6 Karsten Juul

25 57 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med Érsteaksen og andenaksen i anden kvadrant en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde 58 Åvelse Graen or unktionen ( ) 9 punktmängde M der har et areal agränser sammen med Érsteaksen en Bestem arealet a M Integralregning Side 6 Karsten Juul

26 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A : Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at vi kan Å A ved at träkke A ra A : A A A Hvert a arealerne A og A er arealet mellem Érsteaksen og en gra over Érsteaksen, så de kan bestemmes ved hjälp a sätning (b) : b g( d og A ) a b ( d a A ) () () () A a g b () a A g b () a A g b () PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at A A A, så A k ( ) d g( ) d k () g () g () g A A () () k k A () Integralregning Side 6 Karsten Juul

27 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst Opgave Graen or unktion ( ) 7 agränser sammen med linjerne med ligningerne, og y en punktmängde M som har et areal (se igur 5g) () Bestem arealet a M M Besvarelse Arealet mellem aksen og graen i [ ; ] er Figur 5g ( 7) d y () Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y 6 d er Arealet a M er 6 6 BemÇrkning Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a rektangel: Areal lig héjde gange grundlinje 5 Åvelse PÅ igur 5h ses graen or unktionen ( ) og linjen l med ligningen y Graen og linjen skärer hinanden i punktet (, 8) Graen og linjen agränser sammen med y-aksen en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5h () l () Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

28 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Besvarelse Ud ra lommeregnerens vindue skitserer vi graen or () og linjen l med ligningen y, og vi skraverer punktmängden M (Se igur 5i) FÉrstekoordinaterne til skäringspunkterne mellem graen og linjen er lésningerne til ligningen Vi inder lésningerne og Disse tiléjer vi på skitsen (Se igur 5j) Arealet mellem aksen og graen or () i [; ] er ( ) d Arealet mellem aksen og linjen ( ) d 5 y i [; ] er (Dette areal kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a trapez) Nu Ås at areal( M ) 5 9 Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Der skal indéjes redegérelser or hvordan integralerne er bestemt () () M l M l () () Figur 5i Figur 5j Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

29 5 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M en 5 Åvelse En unktion () er bestemt ved ( ) En ret linje l skärer graen or () i punkterne S (, 9) og S (, ) Graen or () agränser sammen med linjen l en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M 55 Åvelse Graen or unktionen ( ) y et område der har et areal Bestem arealet agränser sammen med linjen med ligningen 56 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) e agränser sammen med linjerne med ligninger y, og et område der har et areal Bestem dette areal 57 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) agränser sammen med linjerne med ligninger y og et område der har et areal Bestem arealet Integralregning Side 7 6 Karsten Juul