Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Transkript

1 Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra Frtlkning a ' når er tiden Frtlkning a ' når ikke er tiden Frtlkninger a ' begrundet Bestem ' med Nspire Reglerne r at bestemme ' uden hjælpemidler Advarsler m regler ra ramme a. Eksempel på brug a regler ra ramme b. Eksempel på brug a regler ra ramme Vinkel g tangent Alæs tallet r på igur Alæs tallet 'r på igur Alæs løsninger til =t på igur Alæs løsninger til '=s på igur Er det graen r den aledede, dvs. '?... 7 Tangent 7. Bestem ligning r tangent Bestem punkt på gra når vi kender -krdinat Bestem punkt på gra når vi kender y-krdinat a. Bestem -krdinat når vi kender tangenthældning b. Bestem punkt på gra når vi kender tangenthældning Bestem tangenthældning Bestem røringspunkt r tangent Væksthastighed. Væksthastighed Alæs størrelsen når tidspunktet er kendt Alæs væksthastigheden når tidspunktet er kendt Alæs tidspunktet når størrelsen er kendt Alæs tidspunktet når væksthastigheden er kendt Udregn størrelsen når tidspunktet er kendt Udregn væksthastigheden når tidspunktet er kendt Udregn tidspunktet når størrelsen er kendt Udregn tidspunktet når væksthastigheden er kendt Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed Mntni. Vksende g atagende Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m Bestem mntnirhld Bestem mntnirhld r ud ra -gra Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Ekstrema 40. Maksimum g minimum Bestem med ' den værdi a hvr y er størst Bestem med ' den største værdi a y Bestem med ' den værdi a hvr y er mindst Bestem med ' den mindste værdi a y Bestem ekstrema Gør rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Lkalt maksimum g minimum Bestem lkale ekstrema Bestem r hver værdi a a antal løsninger til = a Beviser 50. Dierentiabel Grænseværdi. Kntinuert Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grænseværdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Tidligere udgave a dette hæte har skitet adresse til: Dierentialregning r B-niveau i st, udgave, 07 Karsten Juul. Nyeste versin a dette hæte kan dwnlades ra Hætet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en til kj@mat.dk sm plyser at dette hæte benyttes, g plyser hld, niveau, lærer g skle. 4/8-07

3 Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt. a. At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm ølger graen nær P. b. P kaldes tangentens røringspunkt. c. Grapunkterne nær P ligger nrmalt ikke på tangenten selv m det ser sådan ud på en tegning da stregen ikke er uendelig tynd. d. På iguren er linje l tangent til -gra i P. l P. Funktinsværdi g dierentialkvtient. a. At t er unktinsværdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm læses t er lig a r t P a b. At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthældningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm læses a er lig mærke a r l r c. r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r. d. 'r = tangents hældning i -gras punkt med -krdinat r. e. 'r = væksthastighed r på tidspunkt r. Hvis er tid. c g d er vedtægter. e g er begrundet i ramme 6.. Når er lig r, g vi lægger et lille tal til, så lægges ca. ' r gange dette lille tal til y. g. I ligninger a typerne m = n g 'm = p gælder: Tallet på m 's plads er en -værdi. Tallet på n 's plads er en y-værdi. Tallet på p 's plads er en tangenthældning eller væksthastighed. h. typerne i rammerne 8-, 8- løses med ølgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p. Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten. Denne metde indgår sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer.

4 . Frtlkning a ' vedr. gra. Frtlkning a ' vedr. graen. Løsningerne til ligningen ' = er = g = 7. Hvad rtæller dette m graen? ' = tangenthældning se d så det at løsningerne er = g = 7, rtæller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthældningen er. 4. Frtlkning a ' når er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når er tiden. Der er et tegnet dyr på skærmen. er dyrets højde målt i mm, g er tiden målt i minutter. Det er plyst at 0. Gør rede r betydningen a dette. Regel se e: 'r er væksthastighed r på tidspunkt r. I denne regel indsætter vi de aktuelle rd g tal: er væksthastighed r højden på tidspunktet 0. Dvs. På tidspunktet 0 minutter vkser dyrets højde med hastigheden mm pr. minut. Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du skal ikke bruge arve. Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sætningen at højden i løbet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen. 5. Frtlkning a ' når ikke er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når ikke er tiden. Der er et tegnet dyr på skærmen. er dyrets højde målt i mm, g er længden målt i mm. Det er plyst at 0. Gør rede r betydningen a dette. Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behøver ikke bruge arve. Når er lig r, g vi lægger et lille tal til, så lægges ca. ' r gange dette lille tal til y. I denne regel indsætter vi de aktuelle rd g tal: Når længde lig 0, g vi lægger et lille tal til længde, så lægges ca. gange det lille tal til højde. 6. Frtlkninger a ' begrundet. Symblet ' 0 betyder tangenthældning, så ' 0 = betyder tangenthældning er, så på tangenten gælder: når bliver større, så vil y blive større. Fr nær 0 er gra g tangent næsten ens, så når er ca. 0 g bliver større, * så vil blive ca. større. I ramme 4 betyder * : Når tidspunktet er ca. 0 minutter g der går ét minut, vil dyrets højde blive ca. mm større. dvs. væksthastigheden er ca. mm pr. minut. ca. h l I ramme 5 betyder * : Når er nær 0 g vi lægger et lille tal til, så bliver der lagt ca. gange dette lille tal til y, dvs. når vi lægger et lille tal til længden, så lægges gange dette lille tal til højden. h Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

5 7. Bestem ' med Nspire. 7a Fr at å Nspire til at dierentiere mht. bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire HUSK at skrive dette! 7b Fr at udregne ' skal vi ørst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a. Så indsætter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjælp a en brøkstreg. d 7c Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg. 7d Eksempel Her rtæller vi til Nspire g til læseren at m betyder '. := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln. 8. Reglerne r at bestemme ' uden hjælpemidler. 8a k 0 når k er en knstant..eks b g ln 0 k k.eks. g 4 4 8c a aa 8d.eks. 4 4 g,6, 6 4, 6 e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er ikke den sædvanlige e-tast. Brug tegn-palet. e 8e ln e Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". 8 k k g ln.eks. 8g g g eks. ln h g g 8i Da.eks. 4 ln g kan vi udregne g med reglen a aa. På de t næste sider er der lere eksempler på brug a reglerne 8a-8i. 9. Advarsler m regler ra ramme 8. 7 Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

6 0a. Eksempel på brug a regler ra ramme 8. En unktin er givet ved 4. Bestem. Her må vi ørst inde '. Dereter indsætter vi r i det dierentierede udtryk. Da 4 er 4 Vi dierentierer på hver side a + regel 8g. 0 Knstant skal ikke dierentieres når den er ganget med -udtryk regel 8, g knstant dierentieret er 0 regel 8a. Ptens dierentieres ved at gøre ekspnent mindre g gange med den prindelige ekspnent regel 8c. 6 så b. Eksempel på brug a regler ra ramme 8. En unktin er givet ved. så Bestem Her må vi ørst inde '. Dereter indsætter vi 4 r i det dierentierede udtryk. 8 Hera år vi Vinkel g tangent. Linjen l er tangent til graen r i punktet P4,. Bestem vinklen v mellem vandret g tangenten l. Figuren viser graen r 0,875 g tangenten l i punktet P4, g vinklen v mellem vandret g l. 0,875 0, 75 så l 's hældningskeicient er 4 0,75 4,5. A den viste trekant år vi tanv =,5 så v = tan -,5 = 56,099 dvs. v 56,. Dierentialregning r B-niveau i st Side 4 07 Karsten Juul

7 . Alæs tallet r på igur. Alæs tallet 4 på iguren. Sådan tænker vi Der står 4 i parentesen, så vi skal vi inde det punkt på graen hvr -krdinaten er 4. Der står, så y-krdinaten er acit. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering på igur. Husk Når vi alæser et tal på en igur, skal vi skrive tallet på iguren der hvr vi har alæst det. Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alæst.. Alæs tallet ' r på igur. Alæs tallet '4 på iguren. Sådan tænker vi Der står 4 i parentesen, så vi skal inde det punkt på graen hvr -krdinaten er 4. Der står, så tangenthældningen er acit. '4 = hældningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi tegner l. Vi alæser punkterne 4, g 6, 7 på l. l 's hældningskeicient er så ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i st Side 5 07 Karsten Juul

8 4. Alæs løsninger til =t på igur. Alæs løsningerne til ligningen 6 på iguren Sådan tænker vi Der står 6, så vi skal inde de punkter på graen hvr y-krdinaten er 6. Der står i parentesen, så acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal løse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alæser -krdinaten til hvert a disse punkter g år g 7. Se markeringen på iguren. Løsningerne til 6 er eller Alæs løsninger til ' =s på igur. Alæs løsningerne til ligningen 0 på iguren. Sådan tænker vi Der står 0, så vi skal inde de punkter på graen hvr tangenthældningen er 0. Der står i parentesen, så acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal løse 0. er tangenthældningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthældningen er 0. Vi alæser -krdinaten til dette punkt g år 5. Se markeringen på iguren. Løsningen til 0 er 5. Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes hældningskeicient. Dierentialregning r B-niveau i st Side 6 07 Karsten Juul

9 6. Er det graen r den aledede, dvs. '? 6. Gør rede r at g ikke er '. Se igur. g = P 's y-krdinat så g er psitiv ' = tangenthældning i Q så ' er negativ Da g ' er g ikke den aledede a. 6. g g P Q Figuren viser graen r t unktiner g '. Gør rede r hvilken gra der hører til hvilken unktin. A B Tangenten i P har hældningskeicient 0, så hvis A var -gra, g B var '-gra, så skulle y-krdinaten til Q være 0. Det er den ikke. Så må det mvendte gælde: A B -B er -gra, g A er '-gra-. I pgaver a disse typer skal man altid vise at det ene ikke kan være rigtigt. Så har man vist at det mdsatte gælder. P Q 6. Figuren viser graerne r tre unktiner, g g h. Gør rede r hvilken a unktinerne g g h der er '. Se igur. Fr < t er -graens tangenthældning ' negativ. Fr < t er g psitiv så g kan ikke være '. -Det er h der er den aledede a --. Dierentialregning r B-niveau i st Side 7 07 Karsten Juul

10 7. Bestem ligning r tangent. Tangent En unktin er givet ved. Bestem ligning r tangent til gra r i punktet,. med brug a rmel er plyst Se ramme 8., y g a er røringspunkt g hældning r tangent: er plyst Tangent: y Se c g ramme 8. 4 a Se d g ramme. y a y y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. Grønne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen. Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver. I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin. Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med hældningskeicienten a har ligningen y = a + y. med brug a Nspire-kmmand er plyst Vi skal bestemme en ligning r tangenten til graen r i punktet,. Nspire bestemmer tangentligning ud ra rskriten g -krdinaten : Nspire: Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. 8. Bestem punkt på gra når vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt på graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse er plyst Vi skal bestemme y-krdinat til grapunkt med -krdinat 5. y-krdinat = 5 Se c. y-krdinat = 5 5 y-krdinat = 50 Det punkt på graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i st Side 8 07 Karsten Juul

11 9. Bestem punkt på gra når vi kender y-krdinat. En unktin er givet ved. Bestem -krdinaten til de punkter på graen r hvr y-krdinaten er 4. Bevarelse y-krdinat = 4 = 4 Se c. = 4 Nspire løser ligningen = 4 mht. g år = eller = Nspire: De punkter på graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g. 0a. Bestem -krdinat når vi kender tangenthældning. En unktin er givet ved. Bestem -krdinat til hvert punkt på graen r hvr tangenthældningen er 9. Bevarelse. tangenthældning = 9 ' = 9 Se d. 6 = 9 Se ramme 7 g 8. Nspire løser ligningen 6 = 9 mht. g år = eller = Nspire: Det er punkterne med -krdinat g hvr tangenthældning er 9. 0b. Bestem punkt på gra når vi kender tangenthældning. En unktin er givet ved. Bestem krdinatsættet til hvert punkt på graen r hvr tangenthældningen er 9. Bevarelse Først bestemmer vi -krdinat sm i 0a. Dereter: y-krdinat = y-krdinat = Se c. y-krdinat = y-krdinat = y-krdinat = 4 y-krdinat = 0 De punkter på graen hvr tangenthældningen er 9, har krdinatsættene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i st Side 9 07 Karsten Juul

12 . Bestem tangenthældning. En unktin g er givet ved g. Bestem tangenthældningen i gra-punktet med -krdinat Bevarelse g. tangenthældning = g' Se d. tangenthældning = + da g Se ramme 7 g 8. tangenthældning = 4 Tangenthældningen i gra-punktet med -krdinat er 4.. Bestem røringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsættet til røringspunktet. l : y 9 7 er tangent til gra r. I røringspunktet skal -graens tangenthældning være lig l 's hældningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire løser ligning 9 mht. g år eller Nspire: Hvis er y-krdinat på -gra lig y-krdinat på l lig så y-krdinaterne er ikke ens, så grapunkt med -krdinat er ikke røringspunkt. Hvis er y-krdinat på -gra lig y-krdinat på l lig så y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthældningerne er ens, så grapunkt med -krdinat er røringspunkt. Krdinatsættet til røringspunktet er,. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i st Side 0 07 Karsten Juul

13 Væksthastighed. Væksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at måle = plantens højde i mm På iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens højde blive ca. 0,5 mm højere pr. dag. Vi siger at på tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at måle, er væksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum på -aksen er graen næsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at væksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. dage 4. Alæs størrelsen når tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t måles i sekunder. Bestem temperaturen på tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alæser at r dette punkt er T 4. Dette har vi vist på skitsen. T / C På tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C. t / s Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

14 5. Alæs væksthastigheden når tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t måles i sekunder. Bestem temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g på l alæser vi punkterne A,5 g B 7, 7. Alt dette har vi vist på skitsen. T / C A l B l 's hældningskeicient er temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder. l 's hældningskeicient er t / s ,75 Temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder er 0,75 C pr. sekund. 6. Alæs tidspunktet når størrelsen er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t måles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alæser at r dette punkt er t. Dette har vi vist på skitsen. T / C Temperaturen er 4 C på tidspunktet sekunder. t / s Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

15 7. Alæs tidspunktet når væksthastigheden er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t måles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturens væksthastighed er 0,75 C pr. sekund. T / C Vi tegner en linje m sm har hældningskeicient 0,75, g vi lægger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alæser at r røringspunktet er t. Alt dette har vi vist på iguren. Væksthastigheden r t er l 's hældningskeicient: På tidspunktet sekunder er temperaturens væksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr. sekund. 0 0,75 5 t / s 8. Udregn størrelsen når tidspunktet er kendt. Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram. Bestem dyrets vægt på tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage. Dyrets vægt er 4 gram på tidspunktet 0 dage. Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. 9. Udregn væksthastigheden når tidspunktet er kendt. Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vægt vkser på tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage. På tidspunktet 0 dage vkser dyrets vægt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0.,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

16 0. Udregn tidspunktet når størrelsen er kendt. Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vægt er 500 gram. 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage. vægt = 500 = , = 500 Nspire løser ligning 56, mht. g år 77, 56. Dyrets vægt er 500 gram på tidspunktet 78 dage.. Udregn tidspunktet når væksthastigheden er kendt. Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vægt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag. 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage. Vi år hastighed = 4 ' = 4 Se e.,0895,0 = 4 Nspire løser ligningen,0895,0 4 På tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. mht. g år 64, dage vkser dyrets vægt med hastigheden 4 gram pr. dag.. Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes længde ændres sådan at = hvr er længden på tidspunktet. Hvr hurtigt ændres længden på tidspunktet? er længden på tidspunktet. =. ' =. ' = = 6. På tidspunktet ændres længden med hastigheden 6. Et linjestykkes længde ændres sådan at = hvr er den hastighed sm længden ændres med på tidspunktet. Hvr hurtigt ændres længden på tidspunktet? er den hastighed sm længden ændres med på tidspunktet. =. = = 9. På tidspunktet ændres længden med hastigheden 9. Dierentialregning r B-niveau i st Side 4 07 Karsten Juul

17 . Vksende g atagende. Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskærm. Når vi trækker -punktet hen på et tal kan vi alæse unktinsværdien. På iguren kan vi se: Når vi trækker gennem tallene ra g med til g med 9, vil hele tiden blive større. Når vi trækker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er både atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i ét tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal være mindst t y-værdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet større eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at når vi i intervallet vælger større g større -værdi, så bliver y-værdien større g større. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at når vi i intervallet vælger større g større -værdi, så bliver y-værdien mindre g mindre. 4. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver står at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. På iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sådan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, Dierentialregning r B-niveau i st Side 5 07 Karsten Juul

18 5. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthældningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man prøver at tegne graen sådan at *, men ikke ** gælder, så bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gøre. Man kan bevise at hvis * gælder, så gælder ** gså. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen på nederste igur er vksende selv m der er ét punkt hvri tangenthældningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gælder. Sætning 5. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er atagende i intervallet. 6. Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m. Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist på tallinjen: Når : : m n, går -graen gennem punktet m, n. er atagende i -intervaller hvr er negativ. er vksende i -intervaller hvr er psitiv. Fr de -værdier hvr er 0, har graen vandret tangent. Dierentialregning r B-niveau i st Side 6 07 Karsten Juul

19 7. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 0, dvs. hvr 0. Nspire løser ligningen 0 mht. g år eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vælger vi et tal g udregner : 9 så negativ r så psitiv r 0 så psitiv r 0 A dette ølger at mntnirhldene er ølgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agrænser intervallerne, er de tal du ik sm løsning til '=0. Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i st Side 7 07 Karsten Juul

20 8. Bestem mntnirhld r ud ra -gra. Figuren viser graen r en unktin. Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6. På iguren har vi vist hvrdan vi alæser at -værdierne r de lkale ekstrema er g 4. På iguren ser vi at er atagende i intervallet 4 er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet Bestem mntnirhld r ud ra '-gra. Figuren viser graen r den aledede unktin ' r en unktin. Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6. Fr hvert er '-gras y lig -gras tangenthældning. På iguren har vi vist hvrdan vi alæser at 4, 5. På næsten samme måde kan vi alæse r andre værdier a end 4. F.eks. ser vi at g at er 0 når er eller er psitiv r 4 er negativ r er psitiv r 6 Hera ølger at er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet På -gra er ' lig tangenthældning. På '-gra er ' lig y-krdinat. På '-gra er ' ' lig tangenthældning. er vksende i intervallet 6 Dierentialregning r B-niveau i st Side 8 07 Karsten Juul

21 40. Maksimum g minimum. Ekstrema g Maksimum r er den største y-krdinat til et punkt på -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt på -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene går uendelig højt p. Der er ikke nget punkt på graen der har den største y-krdinat da man altid kan asætte et punkt højere ppe på graen, så unktinen g har ikke nget maksimum. Når vi skriver hvad maksimum eller minimum er, så skriver vi nrmalt gså hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. Størsteværdi g mindsteværdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver står at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en ællesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i st Side 9 07 Karsten Juul

22 4. Bestem med ' den værdi a hvr y er størst. 6 Højden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens højde. Bestem bredden så højden bliver størst mulig. 6 86, 9, hvr igurs bredde g højde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire løser ligningen 0 mht. r 9 g år : Vi udregner i en -værdi på hver side a : 6 4 så er psitiv r så er negativ r 9. 4 Hera slutter vi ølgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer bredden så højden er størst mulig: 5 A mntnirhldene ølger: er størst mulig når, dvs. Højden bliver størst mulig når bredden er. Dierentialregning r B-niveau i st Side 0 07 Karsten Juul

23 4. Bestem med ' den største værdi a y. 6 Højden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens højde. Bestem den størst mulige højde. 6 86, 9, hvr igurs bredde g højde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire løser ligningen 0 mht. r 9 g år : Vi udregner i en -værdi på hver side a : 6 4 så er psitiv r så er negativ r 9. 4 Hera slutter vi ølgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer den størst mulige højde: 5 6 A mntnirhldene ølger: er størst mulig når Den størst mulige højde er 74. Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

24 4. Bestem med ' den værdi a hvr y er mindst. Dette gøres sm vist i ramme 4 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r størst. 44. Bestem med ' den mindste værdi a y. Dette gøres sm vist i ramme 4 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r størst. 45. Bestem ekstrema. Når der står Bestem ekstrema, så skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 4 g Gør rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. Metde Gør rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 7. Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

25 47. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsætter graen uendelig højt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vælge et stykke a graen mkring P sådan at 5 er mindste y-krdinat på dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder på graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan vælge et stykke a graen mkring Q sådan at y er mindste y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan vælge et stykke a graen mkring Q sådan at y er største y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gælder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver står at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde både de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i st Side 07 Karsten Juul

26 48. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 0, dvs. hvr 8 0. Nspire løser ligningen 8 0 mht. g år = 6 eller =. 6 g deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vælger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette ølger at mntnirhldene er ølgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet. Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene ølger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r B-niveau i st Side 4 07 Karsten Juul

27 49. Bestem r hver værdi a a antal løsninger til = a a Undersøg mht. lkale ekstrema. b Bestem r hver værdi a a antal løsninger til ligningen a. a b A undersøgelsen i a ølger at graen r er sm vist på skitsen. På skitsen har vi vist hvrdan vi ser at hvis a 4, har a t løsninger g. På næsten samme måde ser vi: a 0 : 0 løsninger a 0 : løsninger 0 a : 4 løsninger a : løsninger a 89 : løsninger a 89 : løsning 89 a 0 løsninger, 0,0 89, Dierentialregning r B-niveau i st Side 5 07 Karsten Juul

28 Beviser 50. Dierentiabel. Graen r har et knæk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der ølger graen nær punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens hældningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gælder altså at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen hældningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens hældningskeicient, g tangenten har ikke ngen hældningskeicient. g Der gælder altså at g ikke eksisterer. Deinitin 50. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i st Side 6 07 Karsten Juul

29 5. Grænseværdi. Kntinuert. 5a u g v står r t regneudtryk. Når vi indsætter tal r, så vil der m resultaterne gælde: Fr u: Når det indsatte tal er nær 7, vil resultatet være nær 5. Når det indsatte tal er 7, vil resultatet være lig 5. Fr v: Når det indsatte tal er nær 7, vil resultatet være nær 5. Når det indsatte tal er 7, vil resultatet være lig. De resultater vi år når vi indsætter tal i regneudtrykket, kaldes unktinsværdier grønne tal. Det tal sm resultaterne unktinsværdierne er nær, kaldes grænseværdi rødt tal. Det røde tal er bestemt uden at bruge unktinsværdien a 7. Vi har kun brugt -værdier nær 7!!! Fr u: Funktinsværdi i 7 = grænseværdi r gående md 7. Så siger vi: u er kntinuert i 7. Fr v: Funktinsværdi i 7 grænseværdi r gående md 7. Så siger vi: v er ikke kntinuert i 7. Dette kan skrives med symbler: lim u 7 Symblet lim u 7 5b 5 g u 7 5 lim v 5 7 læses grænseværdi r gående md 7 a u g v 7 Hvis et regneudtryk u er pbygget a sædvanlige symbler ikke lim, så gælder: Regneudtrykket er kntinuert i ethvert tal hvr det er deineret dvs. i -værdier hvr det kan udregnes 6 5c Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nævneren bliver 0. Vi kan udregne u r værdier a sm er tæt på : Ved at vælge værdien a tilstrækkelig tæt på kan vi å værdien a u så tæt det skal være på 6. Vi siger: grænseværdien r gående md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sådan: lim 6 5d Vi kan regne s rem til denne grænseværdi ved at bruge ølgende metde: Vi aktriserer brøkens tæller g rkrter brøken. Så år vi et udtryk sm vi kan udregne når er : 6 lim lim da 6 = da er kntinuert i = se 6b. = 6 5e lim k udtryk k lim udtryk når k er en kntant 5 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 5g,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Udregning a grænseværdi med Nspire. e lim udregnet a Nspire 0 r På Nspire kan vi vælge grænseværdi-skabelnen på skabelnpaletten. Skabelnen ser sådan ud: i det tredje elt. : 7,5 7, 7,04 7 u: 5,5 5,04 5,006 5 : 7,5 7, 7,04 7 v: 5,5 5,04 5,006 Vi behøver ikke skrive nget Dierentialregning r B-niveau i st Side 7 07 Karsten Juul

30 5. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grænseværdi. Hvis er dierentiabel i, så gælder 5. lim Begrundelse r 5.: y t m t er tangent til -graen. ' = t 's hældk. Dette er deinitinen på dierentialkvtient. Vi tegner en linje m der skærer -graen i punkterne med -krdinater g. y-krdinater til disse punkter er g. Så m 's hældk. = Når nærmer sig til vil m 's hældk. nærme sig til t 's hældk., så t 's hældk. = lim m ' s hældk. = lim iølge rmlen y y a. Vi har nu indset at både venstre g højre side i ligningen i 64. er lig t 's hældk., så ligningen gælder. Dierentialregning r B-niveau i st Side 8 07 Karsten Juul

31 Dierentialregning r B-niveau i st Side 9 07 Karsten Juul 5. Udledning a rmlen r at dierentiere. Når er lim iølge 5. lim lim iølge en a kvadratsætningerne lim vi har rkrtet med iølge metden ra 5d Vi har nu undet rem til ølgende: 5.: 54. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk. Når h g er lim iølge 5. lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iølge 5 h g iølge 5. Vi har nu undet rem til ølgende: 54.: h g h g

32 Stikrdsregister atagende... 5, 6 dierentiabel... 6 dierentialkvtient...,, 8 dierentialkvtient på gra... 5 dierentialkvtient, udledning... 9 dierentialkvtients rskrit... dierentialkvtients rtlkning... dierentiatinsregler... ekstrema... 9, ekstremum... 9 rtlkning a dierentialkvtient... unktinsværdi... unktinsværdi på gra... 5 gra... 6 grænseværdi... 7, 8 hældningskeicient... 8,,, 6 lkale ekstrema..., 4 lkalt maksimum..., 4 lkalt minimum..., 4 løs ligning ud ra gra... 6 løsninger, antal... 5 maksimum... 9, mindsteværdi... 9, minimum... 9, mntnirhld... 5, 6, 7, 8 Nspire..., 8, 9, 0, 4, 7,, 4, 7 røringspunkt...,, 0 størsteværdi... 9, 0, tangent..., 8,, 6 tangent, vinkel... 4 tangenthældning... 9, 0 vinkel g tangent... 4 vksende... 5, 6 væksthastighed...,,, 4